9.1 - Hamiltoniano atômico em um campo magnético. Vamos supor que conhecemos o Hamiltoniano eletrônico H 0

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1 9. Magntsmo Nst Capítulo, vamos plorar as dfrnts manfstaçõs do magntsmo m matras. Assm como no Capítulo antror, qu tratou dos matras smcondutors, vamos dscrvr uma ára qu têm não só uma físca básca muto rca ntrssant, mas também norms mpactos na socdad dvdo às aplcaçõs m dvrsos dspostvos, dsd os ímãs prmannts até matras usados m gravação magnétca. Vrmos qu há város tpos d fnômnos magnétcos studarmos, m partcular, o damagntsmo, o paramagntsmo o frromagntsmo. Para o studo dsts fnômnos, mas uma v é fundamntal a abordagm da Mcânca Quântca. Assm, nosso ponto d partda é a análs dos ftos ntrodudos por um campo magnétco trno no Hamltonano atômca Hamltonano atômco m um campo magnétco Vamos supor qu conhcmos o Hamltonano ltrônco H V d um átomo ou íon sm nnhum campo trno aplcado, vamos analsar as modfcaçõs qu ocorrm nst Hamltonano quando ntrodumos um campo magnétco trno. Estas modfcaçõs surgm tanto no trmo d nrga cnétca como na ntração do campo magnétco com os spns ltrôncos. Incalmnt, vamos analsar as modfcaçõs na nrga cnétca. A nrga cnétca do átomo ou íon d N létrons sm campo é m N p. (9.) Na prsnça d um campo magnétco dscrto por um potncal-vtor A tal qu A, a nrga cnétca s modfca assum a forma : m N A p. (9.) Por convnênca, vamos usar o calbr (gaug) d Coulomb, no qual A. Dsta forma (vrfqu!) podmos scrvr o potncal-vtor como A r. Por convnênca, arbtramos qu o campo magnétco aponta na drção : potncal-vtor torna-s: ˆ. Assm, o Pod parcr stranho qu a nrga cnétca sja modfcada pla prsnça d um campo magnétco, mas 4

2 4 A ˆ ˆ. (9.3) ubsttundo st rsultado na prssão da nrga cnétca, ncontramos N N A m m A A A (9.4) abndo qu, no calbr d Coulomb, o oprador comuta com A (vja aqu ) substtundo m (9.4) a prssão (9.3), obtmos: N m 4. (9.5) Agora, dntfcamos nsta prssão a componnt do oprador momnto angular admnsonal do létron 3 : p p l,. (9.6) Dsta forma, a nrga cnétca torna-s: N l m, 4. (9.7) O prmro trmo da prssão acma nada mas é do qu a nrga cnétca na ausênca d campo ( ). Podmos scrvr o sgundo trmo como: L l N m, (9.8) ond L é o momnto angular total do conjunto d N létrons V/G,579 8 m é o magnton d ohr. Fnalmnt, scrvmos ntão a varação na nrga cnétca causada pla aplcação do campo magnétco: A A A A 3 Por convnênca, vamos usar o oprador momnto angular d spn admnsonas, m undads d ħ.

3 L (9.9) 8m N O campo magnétco ntrag também com os momntos magnétcos d spn dos létrons. A hamltonana H qu dscrv sta ntração é spn H spn g, (9.) ond é a soma dos momntos angulars d spn d todos os létrons g, 3 é a chamada fator g do létron. omando a hamltonana d spn com a varação da nrga cnétca (9.9), chgamos fnalmnt à varação da Hamltonana do átomo d N létrons causada pla ntrodução do campo magnétco: H N L g. (9.) 8m Em últma análs, sta hamltonana dá orgm às mas dvrsas manfstaçõs do magntsmo nos átomos, como vrmos, m mutas stuaçõs o magntsmo dos sóldos srá domnado plo comportamnto dos íons ou átomos qu os compõm Damagntsmo d Larmor-Langvn Not qu o prmro trmo da Eq. (9.) é lnar m, nquanto qu o sgundo trmo é quadrátco. Dsta forma, spra-s qu, na mdda m qu o campo magnétco possa sr tratado como uma prturbação, o prmro trmo dv sr muto mas rlvant qu o sgundo. No ntanto, m átomos ou íons d camada fchada, ou sja, aquls m qu os númros quântcos d momnto angular total L spn total são nulos no stado fundamntal 4, o prmro trmo s anula, assm o sgundo trmo passa a sr rlvant. É prcsamnt st sgundo trmo qu dá orgm ao fnômno do damagntsmo. Vamos analsar m tora d prturbação a varação causada na nrga do stado fundamntal d um átomo ou íon d camada fchada dvdo ao trmo damagnétco. ja o stado fundamntal E a sua nrga não-prturbada, d modo qu: H. (9.) E Como dssmos, a prturbação damagnétca é o sgundo trmo da Eq. (9.): H da 8m N. (9.3) 4 Como vrmos m brv na nossa dscrção das chamadas gras d Hund. 43

4 Assm, m prmra ordm d tora d prturbação, a nrga do stado fundamntal é altrada por: N E H da. (9.4) 8m Esta prssão stá scrta d manra muto partcular dvdo à scolha da drção para a orntação do campo magnétco. Podmos torná-la mas gral s lmbrarmos qu r, no caso d um átomo sfrcamnt smétrco, Assm, obtmos fnalmnt r. (9.5) 3 E N, (9.6) m N ond r. Not qu é o rao médo quadrátco átomo ou íon. N As duas quantdads d maor ntrss prmntal m magntsmo são a magntação a suscptbldad magnétca. A magntação M é o momnto magnétco por undad d volum V do sóldo, é formalmnt dfnda por M F, (9.7) V ond F E é a nrga lvr d Hlmholt. Já a suscptbldad χ é proporconal à drvada da magntação com rlação ao campo: M F V (9.8) Voltando ao caso do damagntsmo, vamos supor qu nosso sóldo é uma colção d N átomos d camada fchada, a tmpratura ro. Nst caso, a magntação srá M NE n N, (9.9) V 6m ond n N / V é a dnsdad. Not qu a magntação damagnétca é proporconal tm drção contrára ao campo. Isso nos fa lmbrar a L d Ln do ltromagntsmo clássco: para s opor à varação d um fluo magnétco m um crcuto fchado, surgm 44

5 corrnts ndudas qu produm um momnto magnétco contráro ao campo aplcado. O damagntsmo d Larmor-Langvn sugr sta ntrprtação a nívl mcroscópco (atômco). Vamos calcular agora a suscptbldad: M n N. (9.) 6m Not qu a suscptbldad é ngatva constant (ndpndnt do campo). Esta é a assnatura prmntal do damagntsmo gras d Hund Vamos agora analsar o magntsmo d átomos ou íons qu não têm camada fchada qu portanto podm tr momnto angular /ou d spn dfrnts d ro. Para procdr com sta análs, prcsamos d um conjunto d rgras qu nos prmta prvr, a partr da strutura ltrônca do átomo, quas os sus númros quântcos L. A st conjunto d rgras mpírcas dá-s o nom d rgras d Hund. As rgras d Hund rsultam do fto combnado das ntraçõs létron-létron do acoplamnto spnórbta. Não vamos nos procupar com a justfcatva das rgras d Hund, mas apnas m nuncá-las. Vamos supor qu um dado átomo ou íon tm a últma camada com stados nãoprnchdos d momnto angular orbtal l. Dsta forma, lvando-s m conta as duas orntaçõs d spn os l valors possívs do númro quântco l, há um total d l stados possívs d létron para st sstma. sts nívs são smprnchdos com um númro n d létrons, há uma normdad d combnaçõs possívs para s ocupar sts stados. Dvdo à ntração létron-létron ao acoplamnto spnórbta, stas dfrnts combnaçõs têm nrgas dfrnts. As rgras d Hund dscrvm, para cada átomo, a combnação qu rsultará na mnor nrga. ão las:. Acoplamnto d ussl-aundrs jam L o momnto angular orbtal total, o spn total J = L + o momnto angular total. Os opradors J, L apromadamnt comutam com H, ou sja, na ausênca d campo magnétco (J smpr comuta, mas L comutam apnas s pudrmos dsprar o acoplamnto spn-órbta L., st sndo mportant apnas para átomos psados). Dsta forma, os dfrnts stados ltrôncos srão dscrtos plos númros quântcos quântcos: L, L,,, J, J, qu corrspondm aos opradors mostrados na abla 9. Opradors L L Autovalors L(L+) L 45

6 (+) J J(J+) J J abla 9. Opradors d momnto angular rlvants para o mgntsmo atômco sus rspctvos autovalors. Prmra gra d Hund O spn total é mámo, rsptado o Prncípo d Eclusão d Paul. Na prátca, sto qur dr qu, s a camada atômca tm um númro d létrons n mnor ou gual à condção d sm-prnchmnto ( n l ), todos os létrons trão a msma orntação d spn. Acma do sm-prnchmnto, comçamos a ocupar os stados com spn contráro. 3. gunda gra d Hund O valor d L é mámo, rsptada a prmra rgra o Prncípo d Eclusão. Isto sgnfca qu dvmos smpr comçar ocupando os orbtas com valors mas altos d l, como fcará mas claro nos mplos abao. 4. rcra gra d Hund As rgras antrors nos prmtm ncontrar os valors dos númros quântcos L, mas não o valor d J. gundo as rgras d adção d momnto angular da Mcânca Quântca, o valor d J pod varar ntr o valor mínmo d L o valor mámo d L. D fato, a rcra gra d Hund, qu é consquênca do acoplamnto spn-órbta, dtrmna qu J sja gual a um dos valors trmos, dpndndo do prnchmnto da últma camada: L, sn l J (9.) L, sn l D fato, a aplcação das rgras acma para dtrmnar os valors d L, J é bastant smpls, como dmonstram os mplos abao. Nsts mplos, ntrodumos também a notação spctroscópca ou trmo para dsgnar os númros quântcos d um dado átomo ou íon. Dados os valors d L, J, scrv-s o trmo como + X J, ond X =, P, D, F, G, H, I,... para L =,,, 3, 4, 5, 6,... rspctvamnt. Emplos:. Íon d Cr + - camada não-prnchda: 3d 4 l =

7 L l J Assm, no caso do Cr +, o trmo é 5 D.. Íon d Er 3+ - camada não-prnchda: 4f l = / L 6 J 5 / rmo: 4 I 5/. A Fg. 9. lustra a aplcação das rgras d Hund para todos os átomos ou íons com camada d ou f : 47

8 Fgura 9. rmos spctroscópcos para váras confguraçõs ltrôncas dos átomos com camada d ou f (Ashcroft-Mrmn) Paramagntsmo m solants Vamos agora analsar o paramagntsmo d solants contndo íons com J. Na sção antror, aprndmos a utlar as rgras d Hund para dfnr o valor d J d um íon ou átomo solado m su stado fundamntal. Dfndo st valor d J, na ausênca d campo magnétco trmos uma dgnrscênca d (J+) nívs no stado fundamntal, corrspondndo aos dfrnts valors d J. O campo magnétco aplcado na drção rá qubrar sta dgnrscênca. A prturbação agora é o prmro trmo da Eq. (9.). Lmbrando da tora d prturbação dgnrada, para ncontrarmos os nívs d nrga com o campo magnétco aplcado trmos qu dagonalar a sgunt matr: L g JLJ JLJ. (9.) 48

9 Plo orma d Wgnr-Eckart 5, podmos transformar sts lmntos d matr m lmntos d matr d J : g( J, L, ) g( J, L, ) J JLJ L g JLJ J, J JLJ J JLJ (9.3) Assm, trata-s d uma matr dagonal nsta bas. A quantdad g ( J, L, ) é o fator g d Landé 6 J ( J ) ( ) L( L ) g ( J, L, ). (9.4) J ( J ) Como J pod assumr J+ valors: -J, -J+,..., J-, J, os nívs d nrga com o campo aplcado têm os valors g J, como mostra a Fg. 9.. J = J = J + nívs dgnrados J = - J Fgura 9. Esquma dos nívs d nrga d um átomo com momnto angular total J, com sm campo magnétco aplcado. Agora podmos usar nossos conhcmntos d Físca Estatístca para obtr as dvrsas quantdads d ntrss para st sstma. A função d partção Z s scrv: Z J J Z J p g J, ond. rata-s da soma d uma progrssão gométrca com raão g k p, d modo qu o rsultado é: Z gj g g gj g J g J g g p F, (9.5) 5 Vja por mplo o lvro d Mcânca Quântca d Cohn-annoudj, p Aschroft, Apêndc P. 49

10 ond F é a nrga lvr d Hlmholt. A partr dss rsultado podmos calcular a N F magntação para um conjunto d N íons m um sóldo: M. Após alguma V álgbra (vrfqu!), chga-s no rsultado: ond N M g JJ g J, V (9.6) J J ( ) coth coth J J J J (9.7) é a chamada função d rlloun. A Fg. 9. mostra o comportamnto da função d rlloun (, portanto, da magntação) para alguns valors d J: Fgura 9. Função d rlloun para város valors d J ( 7-magntc-proprts-of.html). Podmos ntrprtar ss rsultado da sgunt manra: Para valors altos d g J, ou sja, campos magnétcos altos ou tmpraturas baas, a magntação k N N atng o su valor mámo, ou magntação d saturação: M sat g J V V (lmbr-s qu o momnto magnétco é μ gj ). Isso corrspond à stuação m qu todos os momntos magnétcos stão orntados na msma drção. No lmt oposto, ou sja, para valors pqunos d (campos magnétcos baos ou tmpraturas baas), os momntos magnétcos tndm a s orntar alatoramnt a magntação va gradualmnt a ro. No paramagntsmo, st portanto uma comptção ntr dos ftos: o campo magnétco, qu tnta orntar todos os momntos magnétcos na msma drção, a tmpratura, qu tnta torná-los com orntação dsordnada. 5

11 Vamos analsar com mas dtalh o comportamnto para, ou sja, k g J (tmpraturas altas ou campos baos). Nst lmt, 3 coth O( ). Assm, a magntação torna-s: 3 M N J( J ) g, (9.8) V 3k ou sja, a magntação é postva proporconal ao campo. Dla podmos trar a suscptbldad: M N J( J ) g. (9.9) V 3k A suscptbldad postva é uma assnatura do paramagntsmo, m contrast com a suscptbldad ngatva do damagntsmo. Além dsso, nota-s a dpndênca com a tmpratura na forma d ~, qu é conhcdo como L d Cur: Paramagntsmo d Paul m mtas Até o momnto, analsamos apnas a rsposta magnétca d sstmas qu podm sr apromados por uma colção d átomos qu ntragm fracamnt. No ntanto, há sóldos m qu sta apromação não pod sr fta. Em partcular, a rsposta magnétca dos létrons quas lvrs m mtas (nos quas a função d onda aprsnta natura dslocalada), não pod sr ncaada nst prfl. Vamos analsar agora a rsposta magnétca dsts létrons dslocalados m mtas através d um modlo d létrons lvrs. Na Fg. 9.3, mostramos a dnsdad d stados como função da nrga sparada por spn, ond a part supror do gráfco lustra a dnsdad dos spns parallos ao campo (+/), nquanto qu a part nfror lustra os spns -/. A lnha tracjada ndca a stuação ond o campo é nulo, portanto os stados +/ -/ são dgnrados m nrga. Ao lgarmos o campo magnétco, as nrgas dos stados com spn +/ -/ são modfcadas m drçõs opostas: pn +/ (parallo a ) - E E (9.3a) pn -/ (antparallo a ) - E E (9.3b) Assm, toda a dnsdad d stados dos létrons com spn +/ é dslocada para nrgas mas altas, vc-vrsa para os létrons com spn -/, como lustra a fgura. Dsta forma, uma crto númro d létrons com spn +/ m uma faa d nrgas fcara acma do nívl d Frm (rgão cna), o oposto ocorrra para alguns létrons com spn -/. Mas sso d fato não acontc, pos para gualar o nívl d Frm ntr as 5

12 duas orntaçõs d spn (o qu sgnfca mnmar a nrga do sstma), sta msma fração d létrons nvrt o spn. Dsta forma, o númro d létrons com spn +/ fca mnor qu o númro d létrons com spn -/: N N. Not qu, para campo magnétco nulo, tmos a condção N N. D(ε) Fgura 9.3 Dnsdad d stados para as duas orntaçõs d spn, para campos magnétcos nulo não nulo. Para mantr o nívl d Frm ngual ntr os dos spns, surg uma polaração magnétca no sstma. Esta é a orgm físca do paramagntsmo d Paul. Dsta forma a magntação é dada por: M N N D F D F. (9.3) V par qu usamos o fato d qu a dnsdad d stados para uma das orntaçõs d spn é mtad da dnsdad d stados total (aqula dada pla Eq. (5.8)). A partr da magntação, podmos obtr a suscptbldad d Paul: Paul M D F, (9.3) qu é postva ndpndnt da tmpratura. Além do paramagntsmo d Paul, qu é rsultado da ntração do campo magnétco com os spns dos létrons d condução, sts msmos létrons também rcm uma blndagm damagnétca dvdo ao su movmnto orbtal. Est fnômno é conhcdo como damagntsmo d Landau. Pod-s mostrar 7 qu, para létrons lvrs, a suscptbldad damagnétca d Landau é Landau Paul. (9.33) 3 7. E. Prls, Quantum hor of olds, Oford (955). 5

13 9.6 - Orgns da ntração magnétca Até o momnto, studamos stuaçõs m qu a magntação surg apnas sob a nfluênca d um campo magnétco, sndo nula na ausênca d campo dst. ambém nos rstrngmos a stuaçõs ond os átomos ou íons não ntragm magntcamnt ntr s, ou sja, os sóldos sram apnas uma colção d átomos não-ntragnts, portanto nnhum comportamnto coltvo sta. A partr dsta ção, studarmos a ntração magnétca ntr os momntos magnétcos átômcos, qu dará orgm à magntação spontâna dos sóldos msmo com = Incalmnt, vamos tntar rspondr à sgunt qustão: qual a orgm da ntração ntr spns? Podríamos ncalmnt pnsar qu s trata da ntração dpolar magnétca usual (lustrada na Fg. 9.4), mas sta tm magntud muto pquna. Para valors típcos dos momntos magnétcos dstâncas ntratômcas, notamos qu U 4 V, qu é bm mnor qu a nrga térmca a tmpratura ambnt, r 3 ou sja, sra nsufcnt para ordnar os spns. μ μ r Fgura 9.4 A ntração dpolar magnétca ntr dos momntos magnétcos a uma dstânca r é U. 3 r Na vrdad, a ntração ntr os spns m um sóldo surg prncpalmnt dvdo à combnação ntr ntração coulombana statístca d férmons (ant-smtra da função d onda ltrônca). rata-s da ntração d troca ("chang"). Vamos lustrar ss fnômno tomando como mplo a molécula d H, qu tm dos prótons dos létrons). Cada létron tm s = / portanto s = +/ ( ) ou -/ ( ). Assm, construímos os autostados d spn d létrons como lustrado na abla 9.: Dnomnação Auto-stado nglto rplto - abla 9. Autostados d spn d létrons, com sus rspctvos númros quântcos. 53

14 Para o stado snglto, o stado d spn é ant-smétrco pla prmutação dos létrons, nquanto qu para o trplto o stado d spn é smétrco. Como létrons são férmons, a função d onda total dv sr ant-smétrca. Isso mplca m qu a part spacal dv sr smétrca (lgant) para o snglto ant-smétrca (antlgant) para o trplto, como lustrado na Fg Fgura 9.5 Estados trplto snglto da molécula d H. Por mplo, na chamada apromação d Htlr-London 8, scrv-s a part spacal dos stados snglto trplto como: s t a r b r a r b r, (9.34) ond r r são as posçõs dos dos létrons a b são orbtas atômcos localados nos dos prótons a b. Assm, os dos stados d spn dstntos dão orgm a parts spacas dstntas, qu consquntmnt trão nrgas dfrnts (anda qu a Hamltonana não dpnda plctamnt das coordnadas d spn!): s t H H t s E t s (nrga dosnglto) E (nrga do trplto) (9.35) Para uma hamltonana d apnas dos létrons, como a da molécula d H, pod-s mostrar qu a nrga do snglto é smpr mas baa qu a nrga do trplto 9. Mas no caso d mas létrons, sso não ocorrrá ncssaramnt. pcamnt podmos tr dfrnças d nrga ntr snglto trplto da ordm d, a V. Essa é a chamada nrga d troca, qu é a nrga prmordalmnt rsponsávl pla ordm magnétca na maora dos matras. 8 W. Htlr and F. London, Ztschrft für Phsk, 44, 455 (97). 9 Problma do Capítulo 3 do Ashcroft, qu sugrmos como rcíco tra. 54

15 Anda qu a Hamltonana não dpnda das coordnadas d spn, a dscussão acma nos prmt scrvr uma Hamltonana ftva d dos spns, qu rprodu as nrgas dos stados snglto trplto. Consdrmos os opradors d spns para os dos létrons, s s, o spn total s s. abmos qu A partr daí, podmos obtr os autovalors d : 3 s s. (9.36) 4 s s s s Assm, os valors possívs para s s são 3 s s s s, para, para. (9.37) s s 3 4, (snglto) 4, (trplto). (9.38) Dsta forma, nossa hamltonana ftva d spn s scrv: H spn E 3E E E s s t s t s. (9.39) 4 Podmos vrfcar faclmnt qu sta Hamltonana fornc os valors corrtos da nrga para os stados d snglto trplto, ou sja: H spn s Es s H spn t Et t. Fnalmnt, podmos rdfnr nosso ro d nrga para lmnar o prmro trmo da Hamltonana d spn smplfcá-la: ond J H spn Js s, (9.4) E s E t é a chamada constant d troca. A hamltonana ftva d dos spn pod sr mdatamnt gnralada para o caso d um sóldo formado por N spns localados m uma rd. Esta abordagm nos lva à Hamltonana d Hsnbrg: H J s s j j j, (9.4) ond o somatóro é sobr todos os pars d spn j. Not qu o caso d J > favorc um alnhamnto ntr os spns, o qu chamamos d stado frromagnétco. Por outro lado, J < favorc spns ant-parallos, o chamado stado antfrromagnétco. 55

16 9.6 - Frromagntsmo: ora d campo médo Vamos consdrar m mas dtalh o caso frromagnétco (J > ), qu va dar orgm a um sstma d spns alnhados msmo com campo nulo. Not qu a tmpratura pod dsalnhar os spns, d modo qu dvmos sprar qu a magntação como função da tmpratura (no caso d = ) dva aprsntar um comportamnto qualtatvo como o mostrado na fgura abao. M() M Fgura 9.6 Magntação como função da tmpratura a campo nulo m um frromagnto. D fato, como vrmos, a magntação va rgorosamnt a ro para uma crta tmpratura C. Est comportamnto mplfca uma transção d fas qu ocorr a uma tmpratura crítca C (nst caso conhcda como tmpratura d Cur). Para < C tmos a fas frromagnétca, na qual o spns aprsntam algum alnhamnto portanto magntação fnta, nquanto qu para > C tmos a fas paramagnétca, com spns dsalnhados magntação nula a campo ro. Vamos dscrvr st comportamnto através d uma tora d campo médo para spns /. Lmbramos qu, nos nossos studos do paramagntsmo, obtvmos a magntação como função do campo magnétco qu (no caso d J = /) ra dada por: M tanh. (9.4) k Esta é a magntação méda por íon, não por volum. Um gráfco squmátco da magntação como função do campo fo mostrado na Fg. 9.. Podmos utlar st rsultado para dscrvr um frromagnto, supondo qu a ntração ntr os spns possa sr rprsntada por um campo magnétco ntrno ftvo nt. A tora d campo médo consst m supor qu ss campo magnétco é a soma do campo magnétco trno st campo ntrno qu sra proporconal à magntação méda do sstma M. Ou sja, prd-s nformação sobr as corrlaçõs locas ntr os spns, mas dscrv-s d forma apromada a ntração d troca ntr um spn sus vnhos. Dsta forma, o campo magnétco total qu atual sobr um dado spn sra: tot nt M (9.43) 56

17 ubsttundo st rsultado na prssão (9.4) da magntação d um paramagnto, chgamos ao rsultado: M M tanh (9.44) k Famos agora a substtução d varávs torna: m M k, d modo qu a quação s k m tanh m (9.45) rata-s d uma quação transcndnt. Não tmos solução analítca, mas podmos ncontrar grafcamnt as soluçõs. Vamos nos concntrar ncalmnt no caso m qu não há campo magnétco trno aplcado (=), qu stá lustrado na Fg Not qu st smpr uma solução trval com m=, mas abao da tmpratura crítca surg uma outra solução (d nrga mas baa, como pod sr vrfcado) com magntação não nula, qu corrspond ao stado frromagnétco. = c < c Fgura 9.7 olução gráfca da Eq.(9.45) com =. A tmpratura crítca (tmpratura d Cur) é obtda a partr da condção d qu a drvada da rta dscrta plo lado squrdo da Eq. (9.45) sja gual a (qu é a drvada da função tanh na orgm): m c k (9.46) 57

18 Usando a tora d campo médo, podmos ncontrar também o dsvo da magntação d saturação para baas tmpraturas, M M ( ) M ( ). Para sso, basta pandr a tangnt hprbólca: M ( ), obtmos: lm tanh. Dst modo, sabndo qu M ( ) M () M M () k M () k C (9.47) Portanto, a tora d campo médo prvê uma dpndênca ponncal do dsvo da k E magntação d saturação a baas tmpraturas:, o qu sugr um gap d nrga E no spctro d ctaçõs do sstma. Podmos ntndr mlhor st rsultado através do sgunt argumnto qualtatvo. Consdr o sstma no stado fundamntal, com todos os N spns alnhados, como mostra o panl supror da Fg Est stado fundamntal, na apromação d campo médo, tm nrga E N M. O stado ctado d mas baa nrga dntro da apromação d campo médo corrspondra a nvrtr um únco spn, como ndcado no panl nfror da msma fgura. Nst caso, o stado ctado sra composto por N spns alnhados spn contráro ao alnhamnto, com nrga gual a E N M M E M. Dsta forma, o prço nrgétco a sr pago para nvrtr um spn, ou m outras palavras o gap d nrga ntr o stado fundamntal o prmro stado ctado sra E, como quríamos dmonstrar. Fgura 9.8 Estado fundamntal prmro stado ctado d um frromagnto na apromação d campo médo. No ntanto, st comportamnto não é obsrvado prmntalmnt. O comportamnto obsrvado é mas suav, com uma l d potênca do tpo 3 M M ( ) A. Vrmos na próma sção qu sto stá assocado à stênca d stados ctados qu custam mnos nrga do qu a nvrsão complta d um únco spn. Estas ctaçõs são chamadas d ondas d spn ou mágnons. 58

19 Para fnalar sta sção, vamos brvmnt analsar o caso m qu o campo magnétco trno é não-nulo. Nst caso, a quação da rta do lado squrdo da Eq. (9.45) tm agora um cofcnt lnar gual a, como mostrado na Fg Dsta forma, torna-s claro pla solução gráfca qu smpr havrá uma ( apnas uma) solução não-nula para a magntação na quação transcndnt, msmo a tmpraturas muto altas. A Fg. 9.o compara os comportamntos da magntação como função da tmpratura m um frromagnto com campo trno nulo não-nulo. tanh (m) m Fgura 9.9 olução gráfca da Eq. (9.45) para campo magnétco não-nulo. M = > C Fgura 9. Análs comparatva da magntação como função da tmpratura para campo magnétco trno nulo não-nulo. Not qu, na ausênca d campo, a magntação va abruptamnt a ro m uma tmpratura crítca C, ndcando uma transção d fas d ª ordm (o parâmtro d ordm va contnuamnt a ro). Por outro lado, na prsnça d um campo magnétco trno, o parâmtro d ordm nunca é ro, mas s aproma dst valor assntotcamnt no lmt d tmpraturas altas. 59

20 9.8 - Mágnons Para rconclar a tora com o prmnto no caso do dsvo da magntação m rlação ao su valor d saturação a baas tmpraturas, tmos qu ntrodur o concto d ondas d spn ou mágnons. D fato, o prmro stado ctado d um frromagnto qu propusmos na sção antror, corrspondndo à nvrsão d um únco spn da rd, não corrspond à ctação d mas baa nrga do sstma. Para buscar stas ctaçõs, tmos qu sar da apromação d campo médo usar ums dscrção quântca do sstma d spns. Consdr um sstma d N spns m sítos d uma rd d ravas. O stado quântco do sstma é dado plo produto tnsoral:. (9.48) O stado fundamntal, qu dnotamos por, corrspond a todos os spns alnhados, ou sja com su valor mámo d. Como ond,...,, ntão,. (9.49) Consdrmos agora a nossa Hamltonana d Hsnbrg; H J, (9.5), (9.5) scrvndo m trmos dos opradors d abaamnto lvantamnto:, (9.5) podmos rscrvr a Hamltonana da sgunt manra (vrfqu!): H J J, (9.53),, ond, na últma passagm, utlamos a smtra da Hamltonana pla troca. Qurmos agora atuar com a Hamltonana no stado fundamntal, para ncontrar a nrga do msmo: 6

21 H E. (9.54) Para sso, ncalmnt vamos vr como os opradors, atuam: (9.55) Agora stamos m posção d calcular a nrga do stado fundamntal. Como, ntão o qu nos lva a H J, (9.56), E J, (9.57) Esta é, portanto, a nrga do stado fundamntal do sstma. Como lustração, vamos tomar o caso concrto d uma rd cúbca com acoplamnto d troca apnas ntr prmros vnhos com magtud J. Nst caso, E N, NJ 3 J. (9.58) Vamos agora buscar os stados ctados, qu são mportants para a dscrção do comportamnto do sstma a tmpraturas maors qu ro. Insprados pla nossa dscussão da sção antror, podríamos propor um stado m qu (N ) spns stvssm no stado apnas um no stado, localado na posção, como lustrado pctorcamnt na Fg. 9.. (-) Fgura 9. Ilustração da tntatva d formar um stado ctado d spn localado m um síto da rd. D manra mas rgorosa, st stado quântco pod sr construído da sgunt forma : Vrfqu qu st stado stá normalado (dsd qu o stado fundamntal também stja). 6

22 . (9.59) Podmos agora atuar com a Hamltonana nst stado para ncontrar sua nrga. No ntanto, ao farmos sso, ncontramos o sgunt (contas no quadro-ngro): H, (9.6) E J ou sja, o stado não é nm ao mnos um auto-stado d H. Not qu a Hamltonana, ao atuar nst stado localado, transfr parcalmnt a ctação d spn do síto para todos os dmas sítos qu ntragm com l através da constant d troca. Isto sugr qu talv sjamos mas bm sucddos s tntarmos um stado ctado qu sja uma combnação lnar d ctaçõs d spn m todos os sítos da rd. Na vrdad, um olhar cudadoso rvla qu a Hamltonana (9.53) é bm smlhant à Hamltonana do modlo tght-bndng, qu studamos no Capítulo 5. Esta analoga nos sugr a sgunt proposta para um auto-stado: k N k, (9.6) ond. Vamos tstar sta proposta. Atuando com a Hamltonana nst stado, dpos d alguma álgbra (quadro-ngro), chgamos ao sgunt rsultado: com Fnalmnt, sabndo qu J J k k H k E, (9.6) k k E J E. (9.63), podmos scrvr (vrfqu): k E k E Jsn. (9.64) 6

23 Esta é a rlação d dsprsão para mágnons ou ondas d spn. Vamos novamnt aplcar st rsultado para o cado d um crstal cúbco com parâmtro d rd a acoplamnto d troca J apnas ntr prmros vnhos. Nst caso a soma m tm apnas os 6 prmros vnhos: k k a k a a E k E 4 sn sn sn J. (9.65) rá ntrssant consdrar o lmt. Nst caso, k a E Jk E k. (9.66) Not qu, nst lmt, a rlação d dprsão torna-s quadrátca sotrópca m torno d k =. Ants d analsarmos as mplcaçõs dst rsultado, vamos comntar sobr alguns aspctos dos mágnons qu nos ajudam a ntrprtá-los fscamnt: (a) O mágnon dscrto plo stado k (Eq. (9.6)) rprsnta uma suprposção d stados cujo spn total é gual a N. (b) Est dcréscmo d uma undad no spn total stá dstrbuído gualmnt por todos os sítos da rd, ou sja, a probabldad d ncontrarmos um dado spn com valor d é gual a /N, ond N é o númro total d spns. Em outras palavras, a ctação d spn tm gual probabldad d sr ncontrada m qualqur síto da rd. Nss sntdo, masuma v podmos far uma analoga do mágnon com a função d loch d um létron dscrto na apromação tght-bndng, qu dscrvmos no Capítulo 5. (c) Podmos calcular (damos como rcíco opconal) a função d corrlação d spn transvrsal: k k cosk N ond, (9.67). Est rsultado sugr a vsão pctórca clássca do stado d mágnon mostrada da Fg. 9., na qual a propagação do mágnon stá assocada a uma prcssão dos spns na qual st corênca d fas ntr os spns vnhos, dscrta matmatcamnt pla Eq. (9.67). Fgura 9. Vsão clássca dos spns da rd na qual s propaga um mágnon. 63

24 Vamos agora obtr a dpndênca do dsvo da magntação m rlação à magntação d saturação com a tmpratura, no lmt d baas tmpraturas, qu dssmos sr proporconal a 3/, contrarando a dpndênca ponncal obtda na sção antror pla apromação d campo médo. Da msma manra qu fmos no caso d fônons, podmos obtr o númro d mágnons no stado fundamntal m qulíbro térmco a tmpratura pla dstrbução d Planck: n k, (9.68) E k k ak k ond usamos a apromação d baas nrgas, qu é sufcnt a baas tmpraturas, com Ek ak com a J E. Como cada mágnon rtra uma undad do spn total do sstma, o dsvo da magntação é proporconal ao númro total d mágnons, qu dv sr obtdo a partr da (9.68) fando a ntgral por toda a Zona d rlloun: M M () q k Fando a substtução V V k k dk. (9.69) ak k d 4 3 ak k 3 k Z Z M V M () k 3 dq aq Z q. (9.7) Dsta forma, fca dmonstrada a dpndênca sprada com a tmpratura. frêncas: - Ashcroft Mrmm, Capítulos 3 a Kttl, Capítulos Ibach Lüth, Capítulo 8. - ransdn & Joachan, Phscs of Atoms and Molculs, Longman. - Cohn-annoudj, Du Laloë, Quantum Mchancs, Wl. 64