FUNDAMENTOS TEÓRICOS DA MECÂNICA DA FRATURA SUMÁRIO

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1 SUMÁRIO SUMÁRIO... 1 Capítulo - I Obetvos do Capítulo Introdução Comportamento Mecânco dos Materas Sóldos até a Ruptura Determnação do Módulo Elástco e da Flexbldade de um Materal A Energa Elástca Armazenada em um Sóldo Comportamento Elástco Comportamento Plástco Tensão de fluênca ou escoamento Tensão de ruptura Propredades Mecâncas dos Materas Tensão Deformação Módulo de Elastcdade de Young (E) Maleabldade e Ductldade Dagramas Tensão-Deformação Lmte de Resstênca à Tração Dureza Tenacdade Fluênca Resstênca à Fluênca Fadga... 5 Capítulo - II Introdução Análse do Estado das Tensões Tração e Vetores de Acoplamento das Tensões Componentes das Tensões Tensão em um Ponto Tensões sobre um Plano Normal Representação Dyádca das Tensões Equações de Equlíbro

2 .3.1 Prncípos Físcos e Matemátcos Momento Lnear Momento Angular Tensões Prncpas Análse do Movmento de uma Deformação Elástca dos Corpos u Defnção do vetor deslocamento u Análse das Deformações A Defnção Tensor das Deformações A Defnção do Tensor Gradente de Deformação Equações de Compatbldade Capítulo - III Obetvos do Capítulo Introdução Introdução a Elastcdade Lnear Fundamentos da Teora da Elastcdade Lnear Densdade de Energa de Deformação Materas Elástcos Lneares Teora Elastodnâmca Lnear Equação Consttutva o Fluxo de Deformações em um Materal Sóldo Elástco- Lnear A Le de Hooke Generalzada para Sóldos Elástcos Lneares Equação Consttutva o Fluxo de Deformações em um Materal Sóldo Elástco- Lnear A Vsão do Contínuo para a Le de Hooke Densdade de Energa de Deformação na Elastcdade Equações de compatbldade Equação Consttutva dos Materas Elástcos Lneares Complementardade da Densdade da Energa de Deformação Equação do Potencal Vetoral Generalzado para a Deformação Elástca Equação Consttutva para o Fluxo do Potencal Vetoral das Taxas de Deformações nos Fludos Equação do Potencal Vetoral Generalzado para a Massa Fluda A Equação de Movmento Elastodnâmco Lnear... 85

3 Problemas de Valor de Contorno O Campo de Tensão Elástco Lnear Equações Báscas da Elastcdade para o Corpo Homogêneo e Isotrópco Equlíbro de um corpo elástco sob uma força de corpo Problemas Planos da Teora da Elastcdade Problemas Bdmensonas na Elastcdade Equações de Equlíbro e Compatbldade para os Problemas Planos Estado Plano de Tensão ou Deformação Função de Tensão de Ary para Problemas B-Dmensonas Problema de Deformação Plana: Problema de Tensão Plana Funções de Ary em Coordenadas Cartesanas Equação B-harmônca Condções de Contorno Funções de Ary Coordenadas Polares O Laplacano e a Equação B-Harmônca em termos das Varáves Complexas Equação de Laplace em termos de Varáves Complexas Representação de Funções B-Harmôncas de Ary-Westergard por Funções Analítcas de uma Varável Complexa As Funções de Ary-Westergard em termos de uma Varável Complexa Funções de Ary-Westergard para a Equação B-harmônca da MEL Forma Complexa da Função Harmônca de Tensão Funções de Tensão em termos de Funções Harmôncas Complexas Deslocamento Correspondente a uma dada Função de Tensão Equações de Kosolov Referêncas Bblográfcas

4 Capítulo - I PROPRIEDADES MECÂNICAS DOS MATERIAIS RESUMO 1. 1 Obetvos do Capítulo 4

5 1. Introdução as propredades dos materas Vamos agora estudar as propredades dos materas sob o ponto de vsta básco do prncípo de Causa e Efeto ou Estímulo e Resposta dado pelos sstemas físcos em estudo. Pode-se dzer que a físca que estuda as propredades fenomenológcas dos materas está baseada neste prncípo unto com as relações da álgebra e geometra dos corpos em estudo. CAUSA OU ESTÍMULO EFEITO OU RESPOSTA + ALGEBRA E GEOMETRIA FÍSICA FENOMENOLÓGICA OU ESTUDO DAS PROPRIEDADES DOS MATERIAIS As propredades dos materas são classfcadas bascamente em propredades mecâncas, térmcas, elétrcas, magnétcas e óptcas, podendo haver propredades que envolvam duas ou mas áreas tas como: propredades termoelétrcas, eletro-óptcas, etc. tas propredades geralmente estão relaconadas a efetos conugados. Veamos a tabela abaxo: Tabela - I. 1. CAUSA X EFEITO = PROPRIEDADES Força Mecânca Deformação ou trnca Mecânca Mecânca Força Elétrca Corrente ou transporte de cargas Elétrca elétrcas Força Magnétca Orentação de cargas magnétcas Magnétca Pulso de Luz Absorção, lumnescênca, Óptca transparênca Calor ou Pulso Térmco Transporte de calor ou varação de temperatura Térmca Vamos ncalmente estudar as propredades mecâncas dos materas. 5

6 O estudo expermental das propredades mecâncas dos materas sóldos é feto utlzando-se bascamente o chamado prncípo de causa e efeto ou estímulo e resposta. Este prncípo se basea no fato de que as propredades dos materas podem ser nferdas da função de transferênca que assoca a causa ao seu efeto. A causa utlzada no estudo das propredades mecâncas é a aplcação de uma força externa F sobre o corpo de prova, conforme mostra a fgura abaxo: Fgura Força F aplcada sobre um corpo de prova de massa, M, e volume, V. A condção de equlíbro do ensao é dada pela resstênca mecânca do corpo á força aplcada, sto é dz-se que há equlíbro de forças quando: externa F ext F ext R nt (1. 1) A partr do momento em que o corpo começa a se deformar sso é porque a força começa a ultrapassar o lmte de resstênca do materal e este se drge para a ruptura do mesmo. Antes da ruptura, porém nos temos dos tpos prncpas de comportamento com respeto a deformação do materal : o comportamento elástco, e o comportamento plástco. 6

7 Comportamento Mecânco dos Materas Sóldos até a Ruptura O comportamento mecânco para os materas sóldos, no que dz respeto a deformação, é dvddo em fráges e ductes (Fgura - 1. ). Os fráges, são aqueles que se rompem logo após o fm do seu lmte elástco, não apresentando quase nenhuma deformação plástca (processo reversível). Fgura Comportamento típco da tensão x deformação dos materas frágés e dúctes. A le de Hooke dz que, de acordo com a Fgura - 1. e a Fgura , um materal, dentro do seu lmte elástco lnear, atuado por uma força, F, ou tensão,, apresentará uma deformação dada por: E, (1. ) onde = F/A é a tensão aplcada e A é a área da secção transversal do corpo sob ação da força F. E é o módulo elástco do materal. O alongamento percentual ou deformação é dada por: = l/l, conforme mostra a Fgura

8 Fgura Dstensão máxma das lgações químcas de um materal antes de se romper, mostrando o tamanho crítco mínmo, l o, a partr do qual a ruptura acontece, segundo o modelo de Grffth para um monocrstal. Fgura adaptada a partr da orgnal contda em MARDER [1996]. A partr da relação (1. ), percebe-se que um materal frágl deal apresenta módulo elástco constante até a ruptura, enquanto que o dúctl não. Isto sgnfca que, a separação entre os planos crstalnos do materal frágl deal se dá contnuamente, sem que ocorra quase nenhum acúmulo de defetos na forma de dscordâncas (Fgura ). Os dúctes, por outro lado, são aqueles que após o lmte elástco apresentam deformações plástcas por meo de dscordâncas na rede crstalna, acumulando defetos e se rompendo após o encruamento (processo rreversível, Fgura - 1. ). De acordo com a teora do encruamento (hardenng) a relação entre a tensão,, e a deformação,, é dada por: m ref, (1. 3) ref onde: ref é a tensão ncal e ref é a deformação ncal e m, é um expoente fraconáro. Observe que a relação (1. 3), mostra o termo em potênca, que pode ser relaconada a uma auto-smlardade com a escala da deformação, ref, que afeta o aspecto mcroestrutural da superfíce de fratura. Será mostrado, no modelamento fractal da superfíce de fratura no Capítulo IV, que este fato está relaconado com a rugosdade desta superfíce, devdo a auto-smlardade fractal onde o expoente de encruamento, m, estará relaconado com a dmensão fractal, D, da mesma. Porque o materal encrua antes de abrr uma trnca rugosa. 8

9 A partr da relação (1. 3), percebe-se que no caso do materal dúctl, tanto a tensão de fratura, f, como o módulo elástco, E, passa a depender da presença, ou não, deste acúmulo de defetos mcroscópcos Determnação do Módulo Elástco e da Flexbldade de um Materal Exstem dferentes métodos expermentas para se determnar o módulo elástco ou a flexbldade de um materal. A Fgura apresenta uma montagem expermental que pode ser usada para determnar o módulo elástco por meo da equação (1. 4) [DOS SANTOS 1999] abaxo. onde 3 S E 3 4w e X u, (1. 4) S é a separação dos clndros de apoo, w é a largura do corpo de prova, e é a sua espessura, X é a carga aplcada e u é a sua deflexão do ponto de aplcação da força na dreção vertcal. Fgura Montagem expermental do ensao de flexão a três pontos com entalhe plano. Até o lmte de ruptura, o valor do módulo elástco do materal pode ser calculado pela equação (1. 4), conforme mostra na Fgura Caso ocorra um crescmento de trnca acma deste lmte máxmo de carga tolerável pelo materal, o valor da equação (1. 4) passa a representar a flexbldade do materal ao nvés do seu módulo elástco. Para materas fráges, ou até mesmo dúctes, a relação (1. ) é muto útl, porque ela consttu a base da mecânca da fratura elástca lnear, conforme será vsto a segur. 9

10 A Energa Elástca Armazenada em um Sóldo Consdere um corpo traconado contnuamente até o lmte da sua ruptura, conforme mostra a Fgura A energa de deformação total armazenada em um materal até este lmte é dado pela área debaxo da curva mostrada na Fgura - 1., sto é, pela ntegral da curva, x E, ou sea: u ( ) ( )d. (1. 5) o Embora exstam dferentes comportamentos mecâncos, conforme mostra a Fgura - 1., é nteressante, a prncípo, entender o mas smples deles, que corresponde a um materal frágl que segue a le elástca de Hooke. Para este materal frágl, pode-se supor que o corpo responde a solctação externa de acordo com a equação (1. ). Portanto, substtundo a expressão (1. ) em (1. 5) tem-se que a energa de deformação elástca total armazenada em um materal frágl, até o lmte de sua ruptura, calculada pela le de Hooke, é dado por: reescrevendo (1. 6) em termos de (1. ) tem-se: E u( ) Ed, (1. 6) o 0 u( ). (1. 7) E Consderando o corpo totalmente dstenddo até o lmte máxmo de sua resstênca mecânca, tem-se que a tensão máxma de alongamento corresponde a tensão de fratura do materal, f. Logo, para o caso da fratura elástca lnear (materal frágl deal), de acordo com a le de Hooke dado em (1. ), tem-se: f E max, (1. 8) onde, f, é o módulo de ruptura ou a tensão de fratura do materal, E é o seu módulo elástco, máx é o alongamento máxma do corpo em relação ao seu comprmento ncal. De acordo com a Fgura - 1., para os materas fráges, a ntegral é obtda susbttundo-se (1. 8) em (1. 7) obtendo-se a energa de deformação elástca total por undade de volume que pode ser armazenada no corpo antes que ele se rompa, fornecendo 10

11 Para um corpo de volume, V c, tem-se que: Logo, substtundo-se (1. 9) em (1. 10) tem-se: U u f f. (1. 9) E du u, (1. 10) dv f f Vc. (1. 11) E Esta é a quantdade máxma de energa por undade de volume que um corpo pode armazenar, desde que se consdere que este é formado por um materal dealmente frágl, como uma cerâmca, por exemplo Comportamento Elástco É aquele em que a deformação é reversível, ou sea, as lgações químcas dos átomos do materal não sofreram recombnação, e a força externa aplcada não ultrapassou o lmte energétco do poço de potencal destas lgações (cessando a causa cessa o efeto). Ex. mola Comportamento Plástco É aquele em que a deformação é rreversível, ou sea, as lgações químcas dos átomos do materal se moveram sofrendo algum tpo de recombnação com outros átomos da vznhança, sto é, os planos crstalnos se deslocaram uns em relação aos outros e a força externa aplcada removeu os átomos para fora do poço de potencal, ou sea, para fóra da posção de equlíbro (cessando a causa o efeto permanece). Ex. mantega, pxe, metas. 11

12 Fgura Dagrama de tensão x deformação para deformação elástca Tensão de fluênca ou escoamento 1

13 Tensão de ruptura 13

14 1. 4 Propredades Mecâncas dos Materas Os materas estruturas usados na prátca da engenhara, em sua maora, devem ter resstênca. A resstênca é uma medda das forças externas aplcadas ao materal, as quas são necessáras para vencer as forças nternas de atração entre as partículas elementares do mesmo. Resumdamente, a resstênca se deve à soma das forças de atração entre os elétrons carregados negatvamente e os prótons carregados postvamente, no nteror do materal. Os materas, de acordo com suas aplcações, devem ser capazes de resstr à ação de forças consderáves, sofrendo apenas dstorções bastante pequenas. Contudo, propredades muto dversas podem ser deseadas. Assm é que o materal deve ser capaz de sofrer deformação permanente, a expensas de quantdades de energa tão pequenas quanto possível. Ou sea, o materal deve ser maleável e dúctl. No caso dos processos de conformação, os metas perdem sua maleabldade, tornando-se duros e resstentes. Dz-se que, neste caso, o materal fca encruado. Assm sendo, o engenhero proeta seu processo de conformação para utlzar a maleabldade ou ductldade do materal e ao mesmo tempo faz com que o metal, após o processo, possua resstênca sufcente para a aplcação a que se destna. Outras propredades mecâncas são a elastcdade, dureza e tenacdade, bem como a fluênca e a fadga, dentre outras. Em cada caso concreto, estas propredades estão assocadas ao comportamento do materal dante da aplcação de um sstema de forças externas. Geralmente, o engenhero está nteressado na "densdade de força" necessára para provocar uma determnada quantdade defnda de deformação, temporára ou permanente. Vamos agora defnr os concetos mas mportantes relaconados as propredades mecâncas dos materas Tensão A tensão é uma medda da "densdade de força" e é defnda como forca por undade de área. A tensão é expressa em Newtons por metro quadrado (N/m². Porém, em termos de cênca dos materas, talvez sea mas convenente expressá-la em Newtons por mlímetro quadrado (N/mm²). Além dsso, esta undade fornece um valor de tensão que é mas fácl de vsualzar, consderando, por exemplo, que a forca necessára para romper uma barra de aço de um metro quadrado de seção transversal, é muto elevada para poder ser vsualzada 14

15 em termos de valores fntos. Então, a tensão é calculada dvdndo a forca pela área na qual ela está agndo Deformação A deformação se refere à alteração (de forma) proporconal produzda em um materal sob nfluênca de tensão. Ela é uma relação numérca, medda como o número de mlímetros de alteração para cada mlímetro do comprmento orgnal. A deformação pode ser elástca ou plástca. A deformação elástca é reversível e desaparece quando a tensão é removda. Quando a deformação é de natureza elástca, os átomos são deslocados de suas posções ncas pela aplcação de tensão. Porém, quando esta tensão é removda, os átomos retornam às posções ncas que tnham em relação aos seus vznhos. A deformação elástca é aproxmadamente proporconal à tensão aplcada (Fg. 1) e, para fns prátcos, podemos dzer que o materal obedece à le de Hooke ( = E. ). Esta le estabelece que, para um corpo elástco, a deformação é dretamente proporconal à tensão aplcada. Fgura Dagrama de tensão x deformação para deformação elástca A deformação plástca se dá quando o materal é tensonado acma do seu lmte de elastcdade. Com a deformação plástca, os átomos se movmentam dentro da estrutura do materal, adqurndo novas posções permanentes com respeto a seus vznhos. Quando a tensão é removda, apenas a deformação elástca desaparece e toda a deformação plástca permanece (Fg. ) Fgura Dagrama de tensão x deformação para deformação plástca 15

16 Módulo de Elastcdade de Young (E) O módulo de elastcdade de Young é a relação entre a tensão aplcada e a deformação elástca que ela produz. Em outras palavras, é a tensão necessára para produzr uma quantdade untára de deformação elástca. O módulo de Young está vnculado à rgdez do materal e o seu valor é bastante mportante para o engenhero de construções. O módulo de elastcdade é expresso em termos de tensão de tração ou de tensão de compressão e suas undades são as mesmas para esses dos tpos de tensão. Assm sendo: E = tensão / deformação = N/mm² / mm/mm = N/mm², (1. 1) Em vrtude do elevado valor numérco de E, ele normalmente é expresso em GN/m ou MN/mm. A sofstcada tecnologa das últmas décadas do século XX, freqüentemente envolve consderações sobre a massa de materal necessára para fornecer determnada resstênca e rgdez a uma estrutura. Isto é partcularmente mportante na ndústra aeroespacal e em outras ndústras de transporte, ou, de fato, em qualquer stuação em que se gaste energa devdo à força da gravdade. Desta manera, o módulo de elastcdade é geralmente expresso como módulo de elastcdade específco, no qual E está relaconado à densdade relatva do materal: Módulo de elastcdade específco = E / densdade relatva, (1. 13) 16

17 Maleabldade e Ductldade A maleabldade refere-se à capacdade do materal se deformar sem fraturar, quando submetdo à compressão, enquanto que a ductldade se refere à capacdade do materal se deformar sem fraturar, quando submetdo a esforços de tração. Todos os materas dúctes são maleáves, mas nem todos os materas maleáves são necessaramente dúctes. Isto porque um materal maco pode ter pouca resstênca e romper faclmente quando submetdo à tração. Fgura Componentes do teste de tração. A fgura mostra um corpo de prova rosqueado. Porém, em mutos equpamentos, o corpo de prova é plano, e é seguro por grampos de frcção. A ductldade é geralmente expressa em prátcos, pela porcentagem de alongamento do comprmento padrão de um corpo de prova padronzado, que é submetdo à tração até a ruptura. A fgura 4 mostra que, para tornar os resultados comparáves, é necessáro haver uma relação padronzada entre o comprmento padrão do corpo de prova e a área da seção transversal do mesmo. Já que a maor parte da deformação plástca se dá no "pescoço" (entre Z e Y), é claro que a percentagem de alongamento quando se consdera ZY como comprmento padrão, não será a mesma quando se consdera XY como comprmento padrão. Conseqüentemente, os corpos de prova para tração devem ser geometrcamente smlares, sendo conhecdos como corpos de prova proporconas. Fgura

18 Dagramas Tensão-Deformação Quando os valores da tensão e da deformação correspondente, obtdos num teste de tração, são colocados num gráfco, verfca-se que cada tpo de materal é representado por uma curva característca. Os materas de ductldade desprezível, como os aços de alta dureza, ferro funddo e concreto, apresentam uma deformação até a fratura, de valor nulo ou muto pequeno (Fg. 5 ()). Ou sea, eles não apresentam lmte de escoamento, só ocorrendo a deformação elástca. Por outro lado, um materal dúctl apresenta um lmte de elastcdade (ou lmte de proporconaldade) além do qual á ocorre deformação plástca. O lmte de escoamento é a tensão máxma que um materal pode suportar, antes que se nce o escoamento plástco. Nos materas ferrosos macos (ferro maleável e aços de baxo carbono) e em alguns materas plástcos, o níco do escoamento plástco é caracterzado por um lmte de escoamento bastante defndo (Fg. 5 ()). Nessas condções, é fácl calcular a tensão de escoamento. Nos outros materas, nclundo pratcamente todos os metas e lgas dúctes, bem como a maora dos materas plástcos, o lmte de elastcdade não é bem defndo (Fg. 5 (v)). Sob mutos aspectos, nos proetos de engenhara, o lmte de escoamento de um materal é de maor mportânca que o lmte de resstênca (tensão máxma suportada pelo materal, durante o escoamento plástco). Por sto, dervou-se um valor de tensão para substtur o lmte de escoamento, naqueles materas que não apresentam este lmte bem defndo. Esta tensão é conhecda como tensão de prova e é defnda como a tensão necessára para produzr uma deformação plástca (ou sea, uma deformação permanente) de 0,1% ou 0,5% para alguns materas, no comprmento padrão de corpo de prova. Esta tensão é obtda da manera ndcada nas Fgs. 5 () e (v). Os materas que passam por alguns tratamentos como o encruamento ou, no caso de algumas lgas, por um tratamento térmco aproprado, elas são geralmente mas resstentes e menos dúctes do que os mesmos materas que estão nas condções normas de dureza. Isto é ndcado na curva tensão/deformação da Fg. 5 (). Fgura Dagramas tensão/deformação representatvos de város tpos de materal. () Materal não dúctl (frágl). () Materal semdúctl. () e (v) Materas dúctes. 18

19 T = lmte de resstênca à tração; B = Tensão de ruptura; Y = Lmte de escoamento; P = Tensão de prova Lmte de Resstênca à Tração O lmte de resstênca à tração do materal é calculado através da relação entre a força máxma aplcada durante o teste e a área ncal da seção transversal do corpo de prova. As undades envolvdas são as de tensão. Geralmente as mas convenentes são MN/m² ou N/mm² que, evdentemente, são guas numercamente. É mportante notar que ao longo de todo o ensao de tração, a tensão é calculada com base na área ncal da seção transversal. Isto é, não se leva em consderação a dmnução de área da seção transversal unto ao "pescoço", nos estágos fnas da deformação plástca. Por esta razão, os chamados dagramas "tensão/deformação" na realdade são dagramas força/alongamento modfcados. O dagrama tensão/deformação verdadero, para ser reconstruído, necessta que se leve em consderação a dmnução da seção transversal, medndo-se o dâmetro mínmo no pescoço para cada medda da força aplcada (Fg. 6). Geralmente é mpratcável a medda da tensão verdadera por este método. Na prátca, usa-se mas freqüentemente o valor da tensão de engenhara. Fgura Tensão de engenhara = Força / Área ncal da tensão transversal. É convenente lembrar que a ordenada usualmente denomnada, na maora dos dagramas publcados, como "tensão", quase sempre se refere a esta "tensão de engenhara" em lugar da tensão verdadera. A redução da seção transversal nos materas dútes, durante o escoamento plástco, leva à aparente anomala de que a tensão de ruptura sea menor do que o lmte de resstênca à tração. Porém, a Fg. 6 mostra que, de fato, a tensão verdadera de ruptura é maor que o lmte de resstênca à tração. 19

20 Dureza Em lnhas geras, a dureza é defnda como a capacdade do materal resstr à abrasão superfcal. A dureza relatva dos mneras é constatada através da escala de Moh (Tabela 1). esta escala consste de uma lsta de materas agrupados de tal manera que qualquer mneral da lsta pode rscar os que se localzam abaxo dele. Então o damante, que é a substânca mas dura que se conhece, encabeça a lsta com o índce de dureza gual a 10. A dureza superfcal de qualquer substânca pode ser vnculada à Escala de Mohr, determnandose quas as substâncas padrão desta escala que rscam a referda substânca. Tabela - I.. Escala de Mohr Mneral Índce de dureza Damante 10 Corndo 9 Topázo 8 Quartzo 7 Feldspato 6 Apatta 5 Fluorta 4 Calcta 3 Gesso Talco 1 Obvamente, a Escala de Moh é nadequada, quando se trata de uma determnação rgorosa de dureza de materas semelhantes às lgas metálcas. Para essas substâncas, foram desenvolvdos város tpos de teste de dureza. Os nstrumentos semelhantes ao Esclerômetro de Turner (que meda a rscabldade) foram logo abandonados e substtuídos por equpamentos que medem a resstênca das camadas superfcas do materal à penetração de uma blha de alguma forma geométrca. Desta forma, a dureza não é mas defnda em termos de resstênca à abrasão. No ensao de Brnell a blha é uma esfera de aço enquanto que no ensao da Prâmde de Damante a blha usada é uma prâmde de damante. O teste de Rockwell emprega um cone de damante ou uma esfera de aço. Em todos estes testes, o índce de dureza (H) é obtdo do valor: 0

21 Força aplcada / Área superfcal da massa produzda, (1. 14) As undades são as mesmas da tensão. Porém, essas undades nunca são empregadas quando se escreve o valor da dureza, pos em qualquer escala de dureza as condções de teste são padronzadas. Fgura Componentes da maora das máqunas de dureza. A blha pode ser uma esfera de aço como ndcado na fgura, ou então uma prâmde de damante ou um cone de damante Para a maora das lgas metálcas, o lmte de resstênca à tração é aproxmadamente proporconal à dureza, apesar de não exstr nenhuma conexão fundamental entre essas duas propredades, a não ser no que dz respeto à rgdez geral do materal Tenacdade A tenacdade é medda em termos da energa necessára para fraturar um corpo de prova padrão. Sendo assm, a tenacdade não deve ser confundda com o lmte de resstênca à tração, o qual é meddo em termos da tensão necessára para fraturar um corpo de prova padrão. A área sob a curva tensão/deformação está dretamente relaconada à energa necessára para fraturar o materal, pos a energa é o produto da força méda pela dstânca na qual ele atua.. Fgura Dagramas tensão/deformação para () uma lga tratada para aumentar a resstênca, () a mesma lga na condção dúctl ou de pouca dureza. A energa, ndcada pela área sob a curva, necessára para fraturar o corpo de prova, é maor no caso do materal menos resstente e mas dúctl. 1

22 De fato, alguns materas que em seu estado normal de ductldade e pouca dureza, são extremamente tenazes, perdem sua tenacdade quando são submetdos a determnados processos de endurecmento e encruamento. Estas relações estão ndcadas pela área sob cada curva de tensão/deformação, pelo fato de que empregam carga de choque. Uma parte da energa cnétca de um pêndulo osclante, é gasta na fratura de um corpo de prova padrão, convenentemente entalhado. Em ambos os métodos de determnação da tenacdade ao mpacto, que são os métodos Izod e Charpy, a undade utlzada é o Joule. Esses ensaos dão uma ndcação prátca do comportamento do materal sob condções de carga de choque. Em mutas crcunstâncas, a tenacdade é mas mportante como crtéro de avalação do materal, do que a resstênca à tração. Fgura Componentes das máqunas de ensao de mpacto. A energa necessára para fraturar a atmosfera é medda na escala, em oules Fluênca A fluênca pode ser defnda como sendo uma deformação contínua, com a passagem do tempo, em materas suetos a uma tensão constante. Esta deformação é plástca e ocorre mesmo que a tensão atuante estea abaxo do lmte de escoamento do materal. A temperaturas abaxo de 0,4 T (onde T é a temperatura absoluta de fusão do materal (escala Kelvn)) a taxa de fluênca á altamente mportante. Por esta razão a fluênca é muto pequena mas a temperaturas maores que esta, a fluênca é altamente mportante. Por esta razão a fluênca é comumente vsta como sendo um fenômeno de elevadas temperaturas, assocado a plantas de vapor e tecnologa de turbnas de gás.

23 No entanto, para alguns dos metas e lgas mas macos e com baxo ponto de fusão, a fluênca ocorrerá de forma sgnfcatva a temperaturas ambentes. Antgos telhados de chumbo flundo ao longo dos séculos, devdo ao seu própro peso, adquram uma dferença de espessura mensurável entre a cumeera, mas fna, e os beras, mas grossos. Quando um materal metálco é tensonado de forma adequada, orgna-se de medato uma deformação elástca (Fg. 10), que é seguda por uma deformação plástca que ocorre em três estágos: () Fluênca prmára, ou transente, OP, ncando-se com uma velocdade rápda que dmnu com o tempo, à medda que o encruamento prossegue. () Fluênca secundára, ou de regme permanente, PS, na qual a velocdade de deformação é completamente unforme e passa por seu menor valor. () Fluênca tercára, SX, na qual a velocdade de deformação aumenta rapdamente, até que a fratura ocorra em X. Este estágo concde com o empescoçamento da peça. A fluênca em materas polmércos abaxo da temperatura de transção vítrea segue, de forma grossera, a mesma confguração dos metas. A relação que exste entre tensão, temperatura e a resultante taxa de fluênca está mostrada na fgura 11. A baxas tensões e/ou baxas temperaturas pode ocorrer alguma fluênca prmára, mas essa ca a um valor desprezível no estágo secundáro e presume-se que é devdo ao encruamento do materal. Com o aumento das tensões e/ou temperaturas (curvas B e C) a taxa de fluênca secundára também aumenta levando à fluênca secundára também aumenta levando à fluênca tercára e nevtavelmente à fratura. Fgura Curva típca de fluênca mostrando os três estágos de fluênca durante um ensao à alta temperatura e durante longo tempo. 3

24 Fgura Varação das velocdades de fluênca com a tensão e com a temperatura. Na curva A o estágo fnal de fluênca torna-se desprezível, provavelmente devdo ao encruamento. Na curva C a velocdade de fluênca secundára é mas elevada que na curva B, devdo à utlzação de uma tensão mas elevada e/ou elevada temperatura Resstênca à Fluênca A amplação do conhecmento do mecansmo de fluênca (que sugere dos tpos separados de deformação plástca, () devdo ao movmento normal de dscordânca e que ocorre dentro de materas crstalnos e () aquele que é de característca vscosa e está assocado com as regões não crstalnas do contorno de grão) possbltou aos centstas de materas o desenvolvmento de materas resstentes à fluênca com maor confança do que era possível há poucas décadas atrás. Como a fluênca depende do movmento de dscordânca, é obvo que qualquer evento que reduza o movmento destas dscordâncas, e também lmte a formação de novas, se oporá efetvamente a fluênca. Geralmente, os metas com estruturas crstalnas compactas (CFC ou HC) são os mas aproprados e suas resstêncas à fluênca podem ser levadas por um ou mas dos seguntes métodos: () A adção de um elemento de lga que formará uma solução sólda com o metal base. Isto só será realmente efetvo se os átomos solutos tverem baxa mobldade. Se, por outro lado, eles se dfundem lvremente com a atvação térmca eles também permtrão que as dscordâncas se movmentem, e, desse modo, a recuperação- e portanto, posterormente a fluênca - pode ocorrer. 4

25 () A adção de um elemento de lga que cre o endurecmento por dspersão. Precptados coerentes e pequenos precptados não coerentes são geralmente produzdos por tratamento de precptação, sendo essencal que à temperatura de servço tas partículas permaneçam fnamente dspersas e não coalesçam. Os precptados fnamente dspersos formam barreras dspersvas ao movmento de dscordâncas. () Tratamento de lga para garantr grãos grandes quando for possível, á que sto reduz a superfíce total de contornos de grão por undade de volume do materal, e, desse modo, reduzndo a formação de vazos, o que auxla bastante o movmento de dscordâncas Fadga Os engenheros estão centes á há longo tempo que cargas "vvas" e tensões alternadas de pequenas ampltudes podem causar a falha num elemento que, entretanto, pode suportar uma consderável carga "morta". Sob a ação de cargas não constantes o materal pode tornar-se fatgado. Então, enquanto a fluênca é um fenômeno assocado com a extensão do componente sob uma força constante agndo durante um longo tempo e geralmente a altas temperatura, a fadga refere-se à falha de um materal sob ação de tensões flutuantes e repetdas. A falha por fadga ocorrerá, é evdente, se a tensão máxma está acma do lmte de fadga. Apesar desta, estar anda bem abaxo da tensão normal de escorregamento estátco para o materal, sabe-se que a deformação plástca por deslzamento ocorre durante o contínuo cclo de tensão. Tas bandas de deslzamento, como aparecem nas superfíces, são tanto de ntrusão como de extrusão (Fg. 1). Fgura O deslzamento localzado que dá orgem a extrusões e ntrusões que podem ncar as trncas de fadga. 5

26 Embora tal ntrusão sea geralmente muto pequena, aproxmadamente da ordem de 1 m, pode, é claro, agr como um concentrador de tensões e ncar uma trnca por fadga. Consdera-se que uma fratura por fadga se desenvolve três estágos - nucleação, crescmento da trnca e fratura ncal (Fg. 13). Fgura Os estágos de falha de fadga. Uma fratura por fadga é geralmente fácl de dentfcar, á que a regão de crescmento da trnca surge polda devdo ao esfregamento das superfíces de fratura, uma contra a outra, a medda que a tensão se alterna. A fratura fnal é crstalna. A superfíce de fratura, resultante, tem uma aparênca característca, sendo uma falha por fadga, conseqüentemente fácl de ser dentfcada. Como a trnca se propaga lentamente a partr da fonte, as superfíces fraturadas atrtam-se entre s devdo à natureza pulsante da tensão e, desse modo, as superfíces tornam-se poldas. Freqüentemente marcas na forma de concha estão presentes, mostrando a dreção de espalhamento da trnca de fadga. Fnalmente a peça não é mas capaz de suportar seu carregamento e a fratura fnal ocorre. Esta superfíce recém-fraturada é tpcamente crstalna na aparênca. 6

27 1. 5 Estudo da Consstênca de um Corpo Sóldo - Análse de Causa e Efeto O estudo da consstênca de um corpo (sóldo, líqudo, ou gasoso) é um estudo fenomenológco de causa e efeto, onde se aplca uma força deformante sobre a superfíce deste corpo em estudo e observa-se o efeto da deformação. Este estudo está baseado no fato de que as forças exercdas sobre o contorno de um meo são transmtdas através do meo. Fgura Estudo da consstênca de um corpo nas dreções normal e tangencal Comportamento Elástco e Plástco Um corpo pode apresentar propredades de consstênca em duas dreções fundamentas (normal e tangencal) e os comportamentos báscos deste corpo em relação a tensão de deformação são: a) COMPORTAMENTO ELÁSTICO (Reversível) é aquele em que cessando a causa (tensão) cessa também o efeto (deformação). b) COMPORTAMENTO PLÁSTICO (Irreversível) é aquele em que cessando a causa (tensão) o efeto permanece (deformação). A condção de não ruptura em todas as partes do corpo deformado é necessára, para o estudo da consstênca. 7

28 Fgura Comportamentos báscos de um corpo sueto à uma tensão de deformação numa dreção genérca. a) elástco (reversível) b) plástco (rreversível) Estudo da deformação de um corpo sóldo Os materas sóldos tendem a se deformarem (ou eventualmente) se romperem quando submetdos a solctações mecâncas. O dagrama de tensão-deformação é o mecansmo gráfco de análse do comportamento dos sóldos frentes as tensões e suas respectvas deformações. Este dagrama tensão-deformação vara muto de materal para materal, e, para um mesmo materal podem ocorrer resultados dferentes em város ensaos dependendo da temperatura do corpo de prova ou da taxa de crescmento da carga. Os tpos de esforços mas comuns a que são submetdos os materas para uma análse através do dagrama de tensão-deformação são: a) TRAÇÃO As forças atuantes tendem a provocar um alongamento do corpo na dreção de aplcação da força. b) COMPRESSÃO As forças atuantes tendem a produzr uma redução do corpo na dreção de aplcação da força. c) FLEXÃO As forças atuantes provocam uma deformação do corpo no exo perpendcular a dreção da força d) TORÇÃO As forças que atuam no corpo se stuam em um plano perpendcular ao exo da secção transversal do corpo tendendo a fazer grar uma parte do corpo em relação a outra. e) FLAMBAGEM É um esforço de compressão em uma barra de secção transversal pequena em relação ao comprmento, que tende a produzr uma curvatura da barra. 8

29 f) CISALHAMENTO As forças atuantes tendem a produzr um efeto de corte, sto é, um deslocamento lnear entre secções transversas. Todos os tpos de esforços ctados acma estão mostrados na Fgura Fgura Dferentes tpos de esforços que podem ser realzados sobre um corpo sóldo, a) esforço de tração, b) esforço de compressão, c) esforço de flexão, d) esforço de torção, e) esforço de flambagem, f) esforço de csalhamento Le de Hooke na sua forma smplfcada A le de Hooke estabelece o grau no qual uma estrutura se deforma ou se o esforço depende da magntude da tensão mposta. Na parte ncal do dagrama da Fgura , a tensão,, é dretamente proporconal à deformação específca,, e podemos escrever: E. (1. 15) sendo que = l/l. Esta relação é conhecda como Le de Hooke sendo que o coefcente E, é chamado de módulo de elastcdade do materal. Para uma força aplcada ndependentemente nos os três exos prncpas de um corpo temos de uma forma geral que: e para o caso de csalhamento E, (1. 16) onde G é o módulo de csalhamento. G, (1. 17) 9

30 No dagrama x do aço puro e de três tpos de aço ( Fgura - 1. ), exstem váras dferenças de tensões de escoamento, tensões últmas e valores fnas de deformação específca (ductbldade). Todos eles têm o mesmo módulo de elastcdade, ou sea, a sua capacdade de resstr a deformações é a mesma, dentro da regão lnear do dagrama. Fgura Dagrama x para dferentes aços. O processo de deformação no qual a tensão e a deformação são proporconas é chamado de deformação elástca; um gráfco da tensão (ordenada) em função da deformação (abcssa) resulta em uma relação lnear, conforme mostrado na Fgura A nclnação (coefcente angular) deste segmento lnear corresponde ao módulo de elastcdade E. esse módulo pode ser consderado como sendo uma rgdez, ou uma resstênca do materal à deformação elástca. Fgura Dagrama x, mostrando as dferentes regões de deformação. 30

31 A deformação elástca não é permanente, o que sgnfca que quando a carga aplcada é lberada, a peça retorna à sua forma orgnal. À medda que o materal é deformado além do ponto P ( Fgura ), a tensão não é mas proporconal à deformação ( a Le de Hooke dexa de ser válda), ocorrendo então uma deformação permanente e não recuperável, ou chamada de deformação plástca Coefcente de Posson Quando uma tensão de tração é mposta a um corpo de prova metálco, por exemplo, um alongamento elástco e sua deformação correspondente, Z, resultam na dreção da tensão aplcada ( no caso, dreção, z) conforme mostra a Fgura Como resultado deste alongamento, exstrão constrções nas dreções lateras (x e y), perpendculares à tensão aplcada; a partr dessas contrações, as deformações compressvas X e Y podem ser determnadas. Se a tensão aplcada for unaxal (apenas na dreção z) e o materal for sotrópco, então X = Y. Um parâmetro conhecdo por coefcente de Posson,, é defndo como sendo a razão entre as deformações lateral e axal, ou sea, v x y. (1. 18) z z Fgura Alongamento axal (z) (deformação postva) e contrações lateras (x e y) (deformações negatvas) em resposta à composção de uma tensão de tração. As lnhas sóldas representam as dmensões após a aplcação da tensão; as lnhas traceadas, antes da aplcação da tensão. 31

32 O snal negatvo está ncluído nesta expressão para que sea sempre um número postvo, uma vez que X e Z terão sempre snas opostos. Teorcamente, o coefcente de Posson para materas sotrópcos deve ser de ¼; adconalmente, o valor máxmo para ( ou aquele valor para o qual não exste qualquer alteração líquda no volume) é de 0,5. Para mutos metas e outras lgas, os valores para o coefcente de Posson varam na faxa entre 0, e 0,35. Para materas sotrópcos, os módulos de csalhamento e de elastcdade estão relaconados entre s e com o coefcente de Posson de acordo com a expressão: E G(1 v). (1. 19) Estados múltplos de carregamento; generalzação da le de Hooke Consderemos elementos estruturas suetos à ação de carregamentos que atuam nas dreções dos três exos coordenados, produzndo tensões normas X, Y e Z todos dferentes de zero ( Fgura ). Fgura Estado múltplo de carregamentos. Consderando um cubo elementar de um certo materal adotando arestas de comprmento untáro sobre a ação do carregamento multaxal esse cubo elementar se deforma tornando-se um paralelepípedo-retângulo cuos lados têm comprmentos 1 + X, 1 + Y, 1 + Z, onde são as deformações específcas dos três exos coordenados ( Fgura ). 3

33 Fgura Ação do carregamento multaxal. Questonáro 1 - Onde se dá a dferença entre a deformação elástca e a plástca. - Por que é necessáro defnr o módulo de elastcdade específco a = E/d. 3 - Exemplo de maleáves não dúctes. 4 - Por que alguns materas não apresentam defndos os lmtes de elastcdade. 5 - Porque é necessáro defnr a tensão de estétco (estruturas) perda da ). - Exemplo gz x quadro negro. 6 - Por que se defne a tenacdade (energa) x área. (lg. prmára). 7 - Em automóves por que se usa alta tenacdade. Qual você escolhera para do automóvel : tensão de fluênca e de escoamento. 8 - Porque cclos é mas efcente que deformação, acúmulo de defetos. 9 - Por que se em nucleação, crescmento e da tensão. 33

34 Capítulo - II ELEMENTOS DE MECÂNICA DOS SÓLIDOS RESUMO. 1 - Introdução Uma abordagem a solução de problemas em mecânca dos sóldos é estabelecer relações prmero entre cargas aplcadas e tensões nternas e, subseqüentemente, consderar as deformações. Uma outra abordagem é examnar as deformações ncalmente, e então proceder às tensões e as cargas aplcadas. Desprezando-se da eventual solução o camnho seleconado, é necessáro dervar as relações dos componentes ndvdualmente. Neste capítulo, a prmera sére de equações as quas descrevem o equlíbro entre forças externas e tensões nternas são dervadas. 34

35 . Introdução a Mecânca do Contínuo 35

36 . 3 Vetores e Tensores 36

37 . 4 - Análse do Estado das Tensões..1 Tração e Vetores de Acoplamento das Tensões Um corpo deformável sueto a um carregamento externo é mostrado na Fgura Podem exstr cargas aplcadas sobre o exteror, propramente chamada de forças superfcas, e cargas dstrbuídas dentro do nteror do corpo, conhecdas como forças nternas. Um exemplo da últma é o efeto da gravdade, a qual produz o peso-específco do corpo. Focando a atenção sobre um elemento com uma área A n sobre ou dentro do corpo e orentada conforme especfcada por um vetor normal ˆn, nós acumulamos a força resultante F n e o momento M n. Ambas são grandezas vetoras e não são, em geral, A n na segunte paralelas a n. Logo buscamos a ntensdade das resultantes sobre a área forma. Fgura Corpo deformável sob carregamento externo. Fn dfn f lm ; ( vetor) ( a) Vn 0 V dv n n Fn dfn Tn lm ; ( tensor) ( b), (. 1) An 0 A da n n 37

38 Onde M n dm n Cn lm ; ( tensor) ( c), An 0 A da n n T n é conhecdo como vetor das tensões ou tração, e C n é chamado de vetor do acoplamento das tensões. A teora da elastcdade elementar procede da superposção de que C n = 0, enquanto a tração T n representa a ntensdade das tensões em um ponto para uma orentação partcular de elemento de área especfcada por ˆn. Uma descrção completa no ponto requer que o estado das tensões sea conhecdo para todas as dreções, tal que necessáro, mas não sufcente, para esta proposta. T n ele mesmo é.. Componentes das Tensões Nós agora estudamos um paralelepípedo retangular nfntesmal no ponto em questão e construímos uma sére de coordenadas cartesanas x paralelas ao lado, conforme mostrado na Fgura. correspondente a cada exo coordenado exste um vetor untáro e ˆ. Mostrado na fgura são as trações T que atuam sobre cada face, com o subscrto escolhdo correspondente a face normal ê. Novamente enfatza-se que, em geral, T não é paralelo a e ˆ, o qual é perpendcular a face do paralelepípedo. Fgura -.. Tensor das tensões normas e csalhantes em um corpo. 38

39 , onde é a dreção do vetor normal o elemento de área e é a dreção da componente do vetor tensão. Cada tração pode ser escrta em termos das componentes cartesanas na forma: f f eˆ f eˆ f eˆ f eˆ, (. ) Na notação de somatóra de Ensten (convenção de soma), ou Mas ê1 f f f f ê f ê ê (. 3) T ê 13 (. 4) a qual expandndo explctamente em três equações fornece: T 1 11 ê 1 1 ê 13 ê 3 1 ê (. 5) T 1 ê 1 ê 3 ê 3 ê (. 6) ou anda ou T3 31ê1 3ê 33ê3 3 ê ê1 T 1 T 1 3 ê T ê ê 3 T (. 7) (. 8) T ê ê (. 9) Os coefcentes 11, 1,..., 33, são conhecdos como componentes das tensões ou smplesmente como tensões, enquanto que toda a matrz forma o tensor das tensões quando a regra de transformação aproprada é verfcada. O subscrto e a convenção dos snas para as componentes das tensões são como segue: 39

40 T atua. 1) O prmero subscrto refere-se à normal e ˆ, a qual denota a face sobre a qual ) O segundo subscrto corresponde à dreção e ˆ na qual a tensão atua. 3) As tão chamadas componentes normas são postvas se elas produzem tensões, e negatvas se elas produzem compressões. As componentes de csalhamento ( ) são postvas se dreconadas na dreção postva x enquanto atuam sobre a face com a undade normal com undade normal eˆ, ou se dreconadas na dreção negatva x enquanto atuam sobre a face eˆ. Enquanto é algumas vezes vtal dstngur entre tensão e compressão a dferença entre csalhamento postvo e negatvo é gualmente arbtráro...3 Tensão em um Ponto Nós agora estamos em posção de proceder o prncpal obetvo desta secção, e então estabelecer condções sufcentes para descrever completamente o estado tensões em um ponto. Nós mostraremos que sto pode ser realzado por especfcação das trações T sobre cada um dos três planos e ˆ as quas pela equação (. 5) a (. 7), é equvalente a especfcar as nove componentes das tensões. Então, se a tração T n atua sobre qualquer elemento arbtráro da superfíce, defnda por um ˆn aproprado, pode ser avalada, a proposção é provada e o tensor das tensões completamente especfca o estado das tensões no ponto., referdo a qualquer sstema cartesano convenente, 40

41 Fgura Forças agndo sobre um tetraedro elementar em um ponto P. O tetraedro dferencal na Fgura -. 3 mostra a tração T n atuando sobre o plano dentfcado por ˆn, ao longo com trações sobre as faces ndcadas por ê e a força nterna f por undade de volume. A força sobre a face nclnada é T nda n enquanto a força sobre cada uma das outras faces é T da, 1,,3, desde que elas têm normas untáras nas dreções negatvas ê. tal que As áreas dos planos estão relaconadas por (. 8), onde da da cos( nˆ, eˆ ) da nˆ. ê (. 10) n n onde da da da n nˆ. eˆ n (. 11) n nˆ.ˆ e cos( nˆ, ê ) (. 1) é a componente de ˆn na dreção e ˆ e também a dreção cosseno. A força de equlíbro para o tetraedro da: T da n n 1 T1dA 1 TdA T 3dA3 f ( hdan ) (. 13) Onde h é a altura do tetraedro. Usando as equações (. 10) a (. 1), a equação (. 13) tornase:

42 h ( TndAn T n f ) dan 0 3 (. 14) Logo, resolvendo T n em componentes cartesanas Tê e tomando o lmte quando h 0 a condção de equlíbro é satsfeta se: T ê T n (. 15) O próxmo passo é escrever T em termos das componentes das tensões usando a equação (. 4). Contudo, é convenente prmero mudar o índce mudo sobre o r.h.s da equação (. 15) de para, então: T n T n n ê (. 16) O qual permte que os coefcentes de ê nas equações (. 15) e (. 16) seam equaconadas fornecendo: T n (. 17) Recprocamente, se as componentes T são conhecdas, a magntude de T n pode ser avalada como: T n 1/ ( T T T ) (. 18) n desde que T n representa uma componente da tração que atua sobre um plano arbtráro como defndo por ˆn, o conhecmento das componentes da tensão referdas as coordenadas cartesanas é realmente sufcente para especfcar completamente o estado das tensões no ponto. Na equação (. 17), T e n são ambas componentes dos vetores (tensor de ordem 1) tal que a são as componentes de um tensor de ordem. Portanto, se as componentes das tensões são conhecdas em um sstema de coordenadas, dto o sstema x, elas podem ser avaladas por outro sstema de coordenadas, dto o sstema x, pela le de transformação para os tensores de segunda ordem. Onde cada dreção cosseno é: ' (. 19) k l 4 kl cos( x ', x ) (. 0) conforme ntroduzdo anterormente ( ) representa o cosseno do ângulo entre os exos x, e x.

43 Desde que a regra de transformação executa um papel mportante na teora da elastcdade, vale a pena reafrmar que, sto é, a dreção dos cossenos não são smétrcos...4 Tensões sobre um Plano Normal É algumas vezes útl resolver T n em componentes que são normas e tangencas ao elemento dferencal de superfíce da n, conforme mostrado na Fgura Fgura Elemento dferencal de superfíce A componente normal é calculada por: N T. nˆ (. 1) nn n T. ê. nˆ (. ) ou da equação (. 17): nn T. n (. 3) n n (. 4) a componente tangencal é: s T sˆ (. 5) ns n 43

44 T. ê. sˆ (. 6) T. s (. 7) onde n s (. 8) ns s ê. sˆ (. 9) Isto freqüentemente convenente calcular ns usando o teorema de Ptágoras como ns ( T ) 1/ T nn (. 30) conduzndo a resolução a um passo a mas, as componentes cartesanas de N e s podem ser avaladas: N nˆ. ê (. 31) nn( k ). êk nn k nn n k (. 3) onde k = 1,, 3. a partr da equação (. 4) para ns, a smples adção dá n n n (. 33) k T k 1,, 3. (. 34) nn( k) n nn( k) onde T k são as componentes cartesanas de T conforme dado pela equação (. 17)...5 Representação Dyádca das Tensões Concetualmente, pode ser útl ver o tensor das tensões como uma grandeza tpo vetoral tendo uma magntude e dreções assocadas, especfcadas por vetores untáros. O 44

45 dyádco, atrbuído ao matemátco J. Wllard Gbbs, é uma tal representação. Nós escrevemos o tensor das tensões ou dyádco das tensões como:.ê. ê (. 35). ê. ê ê 3 1. ê 1. ê. ê 1. ê. ê ê 3. ê. ê. ê. ê. ê ê 3 3. ê. ê. ê 3 3 (. 36) Onde os duplos vetores ustapostos são chamados dyádcos. As trações correspondentes são avaladas por uma operação análoga ao produto escalar ou a operação de produto na artmétca vetoral: T. ê. ê (. 37) A operação ponto (.) de ê sobre [] selecona componentes com o segundo vetor dado gual a ê desde que ê.ê =. A equação (. 37) é dêntca a equação (. 4). Smlarmente, as componentes normas e tangencas da tração T n sobre um plano defndo pela normal n são:.ˆ. n nˆ (. 38) nn T n. nˆ (. 39).n. n (. 40) e.ˆ. n sˆ (. 41) ns T n. sˆ (. 4).n. s (. 43) como prevamente achado nas equações (. 4) e (. 5), respectvamente. 45

46 . 5 - Equações de Equlíbro A partr de agora vamos estudar as equações de equlíbro ara os sóldos as quas são decorrentes da Mecânca Newtonana..3.1 Prncípos Físcos e Matemátcos O estado das tensões em um ponto em qualquer dreção tem sdo mostrado ser completamente determnado pelas componentes do tensor cartesano das tensões. Naturalmente, as tensões varam dentro do corpo. As equações que governam a dstrbução das tensões são conhecdas como as equações de equlíbro e são dervadas a partr da aplcação dos prncípos fundamentas da físca do momento angular e do momento lnear à regão mostrada como na Fgura -. 5 com a área superfcal A e o volume V. Fgura Corpo em equlíbro. O prncípo do momento lnear é: d u FV FA m dt (. 44) ou fdv TdA V A V. udv (. 45) no qual é a densdade de massa; u é o vetor deslocamento, e o símbolo (.. ) sgnfca a dervada em relação ao tempo duas vezes. 46

47 As equações precedentes podem ser escrtas na forma de componentes reconhecendo-se que: f f. ê ( a) (. 46) e logo T T ê (. 47).n. ê (. 48) a partr da equação (. 30). Consderando o vetor posção r. Onde r x. ê (. 49) Mas E a resultante das forças é dada por: nt fntdv (. 50) V F e F F rdv ext nt V (. 51) F ext V x dv Logo substtundo (. 50) e (. 5) em (. 53) temos: (. 5) V x fnt dv rdv (. 53) V 47

48 .3. Momento Lnear Para problemas estátcos, o r.h.s. das equações (. 45) são zero. Substtundo-se as equações (. 54),(. 47) e (. 46) em (. 45) nós temos que as equações estátcas do momento lnear são: f. dv [ T ].ˆ nda 0 (. 54) ou equvalentemente V A V f. ê dv n ê da 0 A (. 55) V f. dv n daê 0 (. 56) A V f. dv n da 0 A (. 57) Supondo que as componentes das tensões são funções contínuas de classe C 1 e possuem dervadas contínuas, pode-se usar o teorema da dvergênca para transformar a ntegral de superfíce em uma ntegral de volume. Portanto, (.[ T]) dv V A [ T ]. nda ˆ Logo substtundo (. 58) em (. 54) tem-se: f dv (.[ T ]) dv 0 V V (. 58) (. 59) V ( f.[ T]) dv 0 (. 60) V ( f ) dv 0 x (. 61) 48

49 Como todo elemento de V em equlíbro, a regão de ntegração é arbtrára, valendo para qualquer volume V, a equação (. 61) é satsfeta se o ntegrado desaparece. Portanto, f x 0 (. 6) Esta é a condção de equlíbro para o momento lnear, a qual representa as três equações de equlíbro em termos das nove componentes desconhecdas da tensão..3. Momento Angular O prncípo do momento angular é: ( r f ) dv ( r T ) da ( r u ) dv V No qual r é o vetor posção como mostrado na Fgura O equlíbro dos momentos demanda que: ( r f ) dv ( r [ T ]) nˆ da 0 onde V r x A A V 1ê1 xê x3ê3 (. 63) (. 64) (. 65) a forma escalar de (. 64) é: V k x f k dv A k x lk n da 0 l (. 66) onde k 0 se quasquer dos,, k são guas 1 se,, k é uma permutação cíclca de 1,,3 (. 67) 1 se,, k é uma permutação de 1,3, Usando o teorema da dvergênca temos: V x l ( k x lk ) dv k x lknlda 0 (. 68) A 49

50 V x lk k ( lk x ) dv 0 k x fkdv (. 69) x x l l V usando (. 67) em (. 70) temos: V V x lk k [ x ( fk ) lk ] dv 0 (. 70) x x l x 1 se l k lk dv k lk l dv 0; l (. 71) xl 0 se l V l usando a expressão (. 6) temos: V [ ( lk k x fk ) lk l ] dv 0 xl 0 (. 7) V k lk l dv V k k dv 0 (. 73) Como a relação é válda para qualquer volume temos: 0 (. 74) k k a equação (. 74) pode ser avalada para = 1,,3, onde 0 (. 75) (. 76) Logo 0 (. 77) (. 78) 50

51 31 13 (. 79) ou anda de forma geral 1 1 (. 80) (. 81) a qual é uma condção da smetra do tensor das tensões e que, além dsso, mplca que tem ses componentes ndependentes, em vez de nove componentes. A equação (. 81) é muto mportante em todo o campo da mecânca dos sóldos. Nós podemos reescrever a equação (. 17) como: T n (. 8) e a equação (. 6) como: f x 0 (. 83) A qual é agora uma sére de três equações e ses ncógntas. Desde que elas são usadas repetdamente, esta é útl escrever as últmas equações na forma explícta: f x1 x x3 0 ( a) (. 84) f 1 3 x1 x x3 0 ( b) (. 85) f x1 x x3 0 ( c) a qual representa um sstema que é anda estatcamente ndetermnado. (. 86) 51

52 . 6 - Tensões Prncpas Em todo ponto em um corpo exste um plano, chamado de plano prncpal, tal que o vetor tensão se estende ao longo da normal n a este plano. Isto é, T n n (. 87) onde é a tensão normal que atua sobre este plano. A mplcação é que não exste csalhamento agndo sobre o plano prncpal. A dreção de n é referda à dreção prncpal. A ntrodução da equação (. 87) na equação (. 17) fornece: ( ) n 0 (. 88) A qual é uma sére de três equações homogêneas para a dreção dos cossenos n que defnem a dreção prncpal. Desde que n n = 1, então para evtar a solução trval (0, 0, 0) devemos ter: a qual em uma forma matrcal é: det n 0 (. 89) Esta é uma equação cúbca em que pode ser escrta como: (. 90) 3 I I I 0 (. 91) 1 Onde I 1, I, I 3 são grandezas escalares que são ndependentes do sstema de coordenadas na qual as componentes das tensões são expressos. Elas são chamadas nvarantes das tensões como: 3 I1 (. 9) I 1 ( ) (. 93) I 3 1 k pqr p q kr (. 94) 6 5

53 Em uma forma extendda temos: I (. 95) I ( (. 96) ) I (. 97) Devdo à smetra do tensor das tensões exstem três raízes reas ( 1,, 3 ), referente as tensões prncpas da equação (. 90). Assocado a cada tensão prncpal exste uma dreção prncpal satsfazendo a equação (. 88) e n n =1. As três dreções prncpas e os planos assocados são mutuamente ortogonas. Pode ser mostrado que as tensões prncpas correspondem ao valor máxmo, ntermedáro e mínmo das tensões normas em um ponto (crculo de Mohr). Contudo, a máxma tensão de csalhamento neste ponto é gual a metade da dferença entre as tensões prncpas máxma e mínma que atua sobre o plano, fazendo um ângulo de 45 o graus com a dreção das tensões. Um conhecmento das tensões prncpas é mportante porque elas formam a base da teora das falhas dos materas. 53

54 . 7 Análse do Movmento de uma Deformação Elástca dos Corpos u Defnção do vetor deslocamento u A sére fundamental das equações de campo que governam o movmento de um corpo elástco sotrópco e homogêneo consste da relação do deslocamento da deformação para pequenas deformações. Portanto, consdere o deslocamento u conforme mostrado na Fgura Fgura Vetor deslocamento u provocado por uma deformação elástca. O deslocamento do corpo é dado por: x X u (. 98) sendo logo e a dferencal de x u. (. 99) r dr ur du du u. (. 100) r dr ur dx dx du (. 101) 54

55 ou sea du du dr. (. 10) dr e a velocdade é: dx dx du v (. 103) dt dt dt E a aceleração é então: d x d X d u a (. 104) dt dt dt E o estramento é dado por: dx F I u (. 105) dx 55

56 Análse das Deformações Consdere um corpo flexível como uma gelatna, sofrendo pequenas deformações, conforme mostra a Fgura ') ', ', '( ' ),, ( x x x r r e x x x r r (. 106) ) ' ( ) ' ( ) ' ( ' ê x x ê x x ê x x r r u (. 107) Fgura Deformação trdmensonal em um corpo flexível. onde ou de tração normas deformações l l x u l l x u l l x u ; ; (. 108) de csalhamento ou tangencas defor l l x u l l x u l l x u l l x u l l x u l l x u. ; ; ; ; (. 109) Chamando de:

57 podemos escrever: l, (. 110) l u x. (. 111) Para uma deformação qualquer temos: Para o caso de temos duas stuações: u, (. 11) x Fgura Casos de a) deformação e b) rotação do ponto de vsta de deslocamento vetoral. Para o caso de formação pura temos: e l l 1 1 l l 1 1, (. 113) logo , (. 114)

58 1 e para o caso de rotação pura temos: ( 1 1 ), (. 115) e l l 1 1 l l 1 1, (. 116) logo , (. 117) ( 1 1 ) 1 0, (. 118) Para que uma rotação pura não sea ncluda no cálculo das deformações, conforme é mostrado no exemplo da Fgura -. 8 acma, devemos construr um tensor de deformações smétrco onde =, logo de uma forma geral devos ter: 1 u u ( ), (. 119) x x Observe que esta construção também nclu as deformações normas, sendo portanto uma defnção absolutamente geral. 58

59 .5.3 A Defnção Tensor das Deformações Somando-se as contrbuções de cada deformação para encontrar a deformação resultante em uma dada dreção temos: u 1 11x1 1x 13x3, (. 10) u 1x1 x 3x3, (. 11) u 3 31x1 3x 33x3, (. 1) Escrevendo sob a forma de matrz nós temos que o tensor das deformações é dado por: u u u x x x 1 3, (. 13) Escolhendo a orgem onde o vetor u = (u 1, u, u 3 ) é nulo, o tensor dá a relaçào entre dos vetores; o vetor coordenada r = (x 1, x, x 3 ) e o vetor deslocamento u = (u 1, u, u 3 ). 59

60 A Defnção do Tensor Gradente de Deformação Defnndo a deformação E e a torção W, como sendo: e onde 1 E u u ou 1 u 1 W u u ou 1 u E u,, (. 14) W u,, (. 15) u E W (. 16) ou sea, se O u é defndo como: u u u u u x x y z (. 17) Observe que se o tensor das deformações é smétrco o tensor das torções é nulo, u u (. 18) logo Sendo a deformação defnda como: W 0 (. 19) 1 T u u (. 130) 60

61 .5.5 Equações de Compatbldade 61

62 Capítulo - III TEORIA DO CAMPO ELASTOSTÁTICO CLÁSSICO RESUMO Neste capítulo é apresentado o desenvolvmento da solução da equação do campo elástco lnear por meo da defnção de problemas planos (deformação plana e tensão plana) nserndo-se as equações de compatbldade com a fnaldade de se obter a equação bharmônca. A solução geral da equação bharmônca é desenvolvda utlzando-se varáves complexas e as condções de Cauchy-Remmann. Em seguda um desenvolvmento matemátco é feto para se obter as equações de Kosolov. Esta equações tornam-se faclmente aplcável ao problema da fratura elástca lnear na obtenção do campo de tensão/deformação ao redor de uma trnca Obetvos do Capítulo ) Apresentado o desenvolvmento da solução da equação do campo elástco lnear por meo da defnção de problemas planos (deformação plana e tensão plana) ) Inserr as equações de compatbldade com a fnaldade de se obter a equação bharmônca ) Apresentar e desenvolver a solução geral da equação bharmônca utlzando-se varáves complexas e as condções de Cauchy-Remmann. v) Apresentar desenvolvmento matemátco para se obter as equações de Kosolov. 6

63 3. - Introdução Neste capítulo nós dscutremos a teora clássca da elastcdade como uma generalzação dos métodos matemátcos dos capítulos anterores para o contínuo 63

64 3. 3 Introdução a Teora da Elastcdade Lnear A teora da elastcdade lnear se desenvolveu no âmbto da Físca Clássca, antes da teora atômca de Dalton, ou melhor, antes de se conhecer a estrutura íntma da matéra e a natureza das lgações químcas entre os átomos ou moléculas de um sóldo. Com sso, um corpo sóldo fo estudado segundo o prncípo de causa e efeto (ou estímulo e resposta) usando-se a mecânca newtonana e consderando-o como um meo contínuo. Desta forma, a Le de Hooke fo estabelecda pela observação expermental (empírca) onde observou-se que a deformação sofrda (efeto ou resposta) por um corpo é proporconal a forca aplcada por undade de área (causa ou estímulo). Fgura Estudo de causa (força) e efeto (deformação) aplcado sobre um sóldo contínuo. 64

65 Fundamentos da Teora da Elastcdade Lnear A teora da elastcdade estuda o comportamento mecânco de um materal em relação a solctação de carga ou força externa, sob o ponto de vsta da deformação elástca reversível, até o lmar da fluênca ou ruptura. Esta teora possu seu suporte fundamental na le de Hooke Densdade de Energa de Deformação 65

66 3.4. Materas Elástcos Lneares O assunto da elastcdade trata do comportamento daquelas substâncas que tem a propredade de restaurar seu tamanho e forma quando as forças que produzem a deformação são removdas. Nós encontramos esta propredade elástca de alguma forma em todos os corpos sóldos. Quando nós empurramos uma peça de um materal, esta cede - o materal é deformado. Se a força é pequena o bastante, os deslocamentos relatvos dos város pontos do materal são proporconas à força nós dzemos que o comportamento é elástco. Suponhamos que nos tomamos um bloco retangular de materal de comprmento, l, largura, w, e de altura, h, conforme mostra a Fgura A elongação de uma barra sob uma tensão unforme. Se nós puxamos nas extremdades com uma força, F, então o comprmento aumenta de uma quantdade l. Nós suporemos em todos os casos que a varação no comprmento é uma pequena fração do comprmento orgnal. Como é de fato, para materas como a madera, e aço, o materal quebrará se a varação no comprmento é mas do que alguns por cento do comprmento orgnal. Para um grande número de materas, os expermentos mostram que para extensões sufcentemente pequenas a força é proporconal a extensão. F l, (3. 1) Esta relação é conhecda como Le de Hooke. A elongação l da barra dependerá também de seu comprmento. Nós podemos representar sto com o segunte argumento. 66

67 Se cementarmos dos blocos um ao outro, extremdade a extremdade, as mesmas forças atuarão em cada bloco, cada um dstenderá l. Então a elongação de um bloco de comprmento, l, será duas vezes maor do que o de um bloco de mesma secção transversal, mas com comprmento, l. De forma a obter um número mas característco do materal, e menos de qualquer forma partcular, nós escolhemos tratar com a razão l/l da extensão do comprmento orgnal. Esta razão é proporconal à força mas ndependente de l. F l/l, (3. ) Se expressarmos a dependênca de F(l) em sére de Taylor teremos: F (l) = F(l = 0) + (F/)l + ( F/l )l, (3. 3) Como os l são muto pequenos os termos de ordem superor (l, l 3, etc) são desprezíves portanto fcamos apenas com. F (l) = (F/l)l, (3. 4) Este prmero termo é nulo porque na ausênca de deformação não há forcas aplcadas. Portanto chamando de k = F/l temos: F (l) = kl, (3. 5) A força F também dependerá da área do bloco. Suponhamos que nós pomos dos blocos lado a lado. Então para uma dada elongação l nós termos a força F em cada um dos blocos, ou duas vezes a mas a combnação dos dos blocos. A força, para uma dada quantdade de elongação, deve ser proporconal a área A da secção transversal do bloco. F ~ Al/l, (3. 6) Para obter a le na qual o coefcente de proporconaldade é ndependente das dmensões do corpo, nós escrevemos a Le de Hooke para um bloco retangular na forma: F = YAl/l, (3. 7) Como conseqüênca dreta da le de Hooke nós temos que a densdade volumétrca de forças, f, é uma constante, ndependente da deformação, l, dada por: f = df/dv = Y/l, (3. 8) A constante Y é uma propredade que depende exclusvamente da natureza do materal, e é conhecda cpmo Modulus de Young. 67

68 A força por undade de área é chamada de tensão (stress), e a elongação por undade de comprmento é chamada de deformação (stran). A equação pode portanto ser reescrta da segunte forma: F/A = Yl/l, (3. 9) Ou tensão = Modulus de Young x deformação, (3. 10) Ou anda = Y, (3. 11) Exste uma outra parte da Le de Hooke... 68

69 Teora Elastodnâmca Lnear 3.4. Equação Consttutva para o Fluxo do Potencal Vetoral (Fluxo de Deformações em um Materal Sóldo Elástco-Lnear Le de Hooke) A sére fundamental das equações de campo que governam o movmento de um corpo elástco sotrópco e homogêneo consste da relação do deslocamento da deformação para pequenas deformações. Portanto, consdere o deslocamento u conforme mostrado na Fgura Vetor deslocamento u provocado por uma deformação elástca. O deslocamento do corpo é dado por: x X u (3. 1) sendo logo e a dferencal de x ou sea u. (3. 13) r dr ur du du u. (3. 14) r dr ur dx dx du (3. 15) 69

70 du du dr. (3. 16) dr e a velocdade é: dx dx du v (3. 17) dt dt dt E a aceleração é então: d x d X d u a (3. 18) dt dt dt E o estramento é dado por: dx F I u (3. 19) dx Defnndo a deformação E e a torção W, como sendo: e onde 1 E u u ou 1 u 1 W u u ou 1 u E u,, (3. 0) W u,, (3. 1) u E W (3. ) ou sea, se O u é defndo como: u u u u u x x y z (3. 3) Observe que se o tensor das deformações é smétrco o tensor das torções é nulo, u u (3. 4) logo Sendo a deformação defnda como: W 0 (3. 5) 70

71 1 T u u (3. 6) A Le de Hooke Generalzada para Sóldos Elástcos Lneares A Le de Hooke na sua forma generalzada é dada por: Ckl kl, (3. 7) Esta equação matrcal dá orgem a uma matrz C kl de 9 lnhas e 9 colunas em um total de 81 elementos na matrz. Porém por smetra temos que: C kl C ; C C ; C C, (3. 8) kl kl lk kl kl Logo reduzmos os elementos para o número de 1, os quas escrtos de forma explcta temos; e e logo xx yy zz yz zx xy C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C Defnndo o módulo de csalhamento, G, como sendo dado por: e o módulo de Posson para,como xx yy zz yz zx xy, (3. 9) yz G yz, (3. 30) zx G zx, (3. 31) yz G yz, (3. 3) G kl, (3. 33) 71

72 v, (3. 34) como: As equações de tensões podem ser escrtas em termos do módulo elástco, E, xx E ve ve, (3. 35) xx yy zz e yy ve E ve, (3. 36) xx yy zz e zz ve ve E, (3. 37) xx yy zz A matrz anteror pode ser escrta como: xx yy zz yz zx xy podem escrtas como: para v / 1 v E ve ve ve E ve ve ve E G G G xx yy zz yz zx xy, (3. 38) De uma forma geral, sto é, para um materal sotrópco as equações de tensão temos:, (3. 39) kk onde G : é o módulo de csalhamento como: v ( kk ), (3. 40) 1 v As equações de deformação podem ser escrtas em termos do módulo elástco, E, e xx 1 [ xx v( yy zz )], (3. 41) E 7

73 e Sabendo que: yy zz 1 [ yy v( xx zz )], E (3. 4) 1 [ zzx v( xx zz )], E (3. 43) E (1 v) G, (3. 44) È possível também montar a matrz nversa da matrz de rgdez da equação (3. 38) acma e esta passa a se chamar de matrz de flexbldade onde: S, (3. 45) kl kl Com C kl 1 S kl, ou sea: 1 v v E E E v 1 v xx xx E E E yy v v 1 yy zz E E E zz yz 1, (3. 46) yz G zx zx 1 xy xy G G De uma forma geral, sto é, para um materal sotrópco as equações de tensão podem escrtas como: 1 v ( ), (3. 47) 1 v kk Onde G : é o módulo de csalhamento 73

74 3.4.4 Equação Consttutva o Fluxo de Deformações em um Materal Sóldo Elástco-Lnear Mas uma vez usando as mesmas consderações de Gbbs para os fluxos dervados de potencas os quas podem ser geralmente expressos em temos de gradente de grandezas escalares ou vetoras, no calo da teora da elastcdade temos a le de Hooke generalzada a qual é dada por: J Uo ε I γ como o tensor deformação é dado por (3. 0) e (3. 6): Logo (3. 48) torna-se: J Uo ou fnalmente na notação tensoral temos: kk. (3. 48) 1 E u u. (3. 49). u u u. (3. 50) J Uo E tr E. (3. 51) Observe que as notações (3. 0) e (3. 6), assm como as notações (3. 40), (3. 48), (3. 50) e (3. 51) são todas equvalentes. A equação de fluxo (3. 48) ou (3. 50) também pode ser escrta em termos da equação geral Erro! Fonte de referênca não encontrada. proposta por Gbbs usando-se a segunte relação: e obtendo-se E. (3. 5) (1 v) como 1 JUo. ui u u (1 v) (3. 53) 1 T. u. u. u, pode-se defnr o Tensor de Eshelby-Rce como sendo: temos: 1 T 1 Tv. u. u u u I (1 v) 74 (3. 54)

75 J Uo T v. (3. 55) A Vsão do Contínuo para a Le de Hooke Desenvolveremos a segunda parte da Le de Hooke consderando ncalmente a ação de um corpo sóldo elástco sotrópco que se deforma de acordo com essa le, a qual pode ser escrta, na sua forma generalzada, para um corpo sotrópco da segunte forma: Consdere um corpo em sua forma prmtva, não deformada, como mostrado pela lnha chea na Fgura O corpo em sua geometra deformada está mostrado pela lnha nterrompda. Fgura Corpo deformado mostrando o ponto a deslocado após a deformação local s. Um elemento a desloca-se para a posção a, da dstânca S. Usando componentes paralelas a uma referênca convenentes x, y, z temos S. S ˆ ˆ kˆ. (3. 56) Onde, e,, para dada deformação são funções das coordenadas de posção prmtva x, y, z dos elementos do corpo. Podemos então defnr deformações normas da segunte manera: xx, (3. 57) x yy, (3. 58) y 75

76 zz. (3. 59) z Da resstênca dos materas, sabemos que as tensões e deformações normas estão relaconadas com pequenas deformações pela Le de Hooke da segunte manera: xx 1 [ xx v( yy zz )], (3. 60) E yy 1 [ yy v( xx zz )], (3. 61) E zz 1 [ zz v( xx zz )]. (3. 6) E Onde E é o módulo elástco de Young e v é o coefcente de Posson. Recordamos que o módulo de csalhamento, G, é relaconado com E e v, pela segunte relação E G. (3. 63) (1 v) Para chegar a le de deformação de Hooke, obtemos as tensões normas em termos dos deslocamentos. Para fazê-lo, somamos as equações (3. 60) a (3. 6) e coletamos os termos da segunte forma: xx 1 v yy zz [ xx yy zz ]. (3. 64) E Observando as defnções de (3. 56) a (3. 59) pode-se verfcar que o prmero membro da equação (3. 64) é o dvergente de S, ou.s, logo reordenando (3. 64), obtemos: E xx yy zz.s. (3. 65) 1 v Resolvendo a equação (3. 60) para xx, temos: xx E v )], (3. 66) xx ( yy zz Somando e subtrando v xx no segundo membro da equação acma e substtundo xx por /x, obtemos: 76

77 xx E v( xx yy zz ) v xx, (3. 67) x Empregando a equação (3. 65) para substtur a soma das tensões normas, podemos reordenar a equação acma da segunte forma: ve xx ( 1 v) E.S, (3. 68) x 1 v Dvdndo por (1 + v) e observando a equação (3. 65) unto com a defnção de, dada por: A partr de (3. 65) temos que: 1 3 xx yy zz. (3. 69) 1 E.S, (3. 70) 3 (1 v) Logo podemos escrever a equação (3. 68) na forma: E ve 1 E xx. S. S, (3. 71) ( 1 v) x (1 v)(1 v) 3 (1 v) Onde os últmos termos são adconas, cua soma é zero. Logo, pondo em evdênca os termos semelhantes E v 1 E xx. S, (3. 7) ( 1 v) x (1 v) 3 (1 v) e combnado os coefcentes do termo.s, obtemos: Ou E v 1 E xx. S, (3. 73) ( 1 v) x 3(1 v) (1 v) E 1 E xx. S, (3. 74) ( 1 v) x 3 (1 v) Substtuído agora E /( 1 v) por G, dado de acordo com (3. 63), obtemos: xx G G. S, (3. 75) x 3 77

78 Coletando os termos e exprmndo as equações correspondentes para outros componentes de tensão, obtemos as relações deseadas de tensão-deslocamento, ou sea: e e xx G G. S, x 3 (3. 76) yy G G. S, y 3 (3. 77) zz G G. S, (3. 78) z Densdade de Energa de Deformação na Elastcdade A densdade de energa de deformação, W = W( kl ), é uma função potencal das deformações defnda como: Cua convexdade e condção de establdade é dada por: Usando (3. 79) temos: onde W ( ) d, (3. 79) kl 0 W W ( '' ) W ( ) ( '' kl kl ), (3. 80) kl dw ( ) d, (3. 81) Logo W kl kl kl C, (3. 8) W ( '' ) W ( ) ( '' kl kl ), (3. 83) 78

79 Equações de compatbldade A partr da regra de Schwartz temos que: W kl W kl, (3. 84) Portanto Desta forma o Jacobano fca: kl kl, (3. 85) W kl W kl W W W kl kl, (3. 86) Logo W W kl W kl W kl 0, (3. 87) Equação Consttutva dos Materas Elástcos Lneares Consderando o caso de materas elástcos lneares a densdade de energa de deformação pode ser expandda em sére de Taylor da segunte forma: 1 W ( ) W ( ) (0) kl W... kl, (3. 88) kl Consderando que o prmero termo da expansão acma se anula por ser uma posção de equlíbro, nível zero da densdade de energa potencal, temos: 1 W ( kl ) C kl kl, (3. 89) Combnando as equações (3. 89) e (3. 7) ou (3. 8) temos: 79

80 1 W, (3. 90) Substtundo a equação (3. 47) em (3. 90) temos: v W ( ) ( ), (3. 91) 1 v Complementardade da Densdade da Energa de Deformação A exstênca de uma únca nversa da relação consttutva (3. 85) kl kl, (3. 9) Assegura a exstênca da complementardade da densdade de energa de deformação, W* = W*( ), defnda por transformada de Legendre como: W * A partr da regra da cadea dervando a equação (3. 93) temos: W * W, (3. 93) W, (3. 94) Substtundo a equação (3. 7) ou (3. 8), para 0 temos: W *, (3. 95) Portanto, * W, (3. 96) É dreta a tarefa de mostrar que a convexdade de W* segue da convexdade de W. Para um materal frágl elástco lnear a combnação de (3. 90) com (3. 93) fornece: 80

81 W W * 1, (3. 97) Pode-se escrever para este caso que: W * 1 * ( kl ) C kl kl, (3. 98) Onde o tensor C* kl é o nverso do tensor C kl e da mesma forma: C * kl * kl Segue de (3. 96) e (3. 98) que: * kl * lk * kl * kl C ; C C ; C C, (3. 99) * W ( kl ) * C kl kl, (3. 100) Para um materal sotrópco a equação (3. 100) se reduz a e W* torna-se: v v 1 kk, (3. 101) E E W * 1 v v ( kl ) kl kl kk ll, (3. 10) E E Se uma le de potênca entre tensão e deformação exste, dada pela equação (3. 7), de tal forma que a deformação é uma função homogênea de grau n da tensão (equação (3. 100)), então a equação (3. 97) mplca que W* deve ser uma função homogênea das componentes da tensão de grau n+1. Isto segue do teorema de Euler para funções homogêneas, portanto: W * * 1 W 1, (3. 103) n 1 n 1 Combnado (3. 93) com (3. 103) temos: n W, (3. 104) n 1 Quando a tensão é proporconal a deformação (n = 1) então as equações (3. 97), (3. 103) e (3. 104) tornam-se dêntcas a equação (3. 90) e (3. 97). 81

82 Equação do Potencal Vetoral Generalzado para a Deformação Elástca Dada a equação da contnudade: d. J Xo Xo. (3. 105) dt Substtundo (3. 53) em (3. 105) temos: 1 d u.. ui u u. (3. 106) (1 v) dt Para cte, temos: 1 d u. u. u u I (1 v). (3. 107) dt Onde a dervada materal de X é dada por: d u v u u. (3. 108) dt t Logo 1 u. ui. u u vu. (3. 109) (1 v) t Caso I) Para fluxos estaconáros temos: 1. ui. u u vu. (3. 110) (1 v) v u ) temos: Caso II) Para regmes onde os fluxos são perpendculares aos gradentes(. 0 Onde v u 1. ui. u u 0. (3. 111) (1 v) 8

83 Equação Consttutva para o Fluxo do Potencal Vetoral das Taxas de Deformações nos Fludos Nós sabemos que um fludo se dlata contnuamente sob a ação de uma força. Logo, de forma análoga, ao caso de deformação elástca podemos escrever a Le de Hooke para a teora de fludos, e obter uma expressão analítca para o fluxo de energa sob a forma de tensão nos fludos, a partr do que chamamos tensão em um ponto, ou sea, de acordo com a descrção da tensão em um volume qualquer, da segunte forma: J, (3. 11) kk onde é o coefcente de vscosdade, e 1 ( ), (3. 113) x x 83 Segundo o mesmo racocíno feto para os sóldos podemos escrever as relações entre os coefcentes de vscosdade, e a partr da relação (3. 5).. (3. 114) (1 v) Para um fludo ncompressível onde o volume se conserva temos que o módulo de Posson vale v 0. 5, logo teremos uma relação entre os coefcentes de vscosdade e dado por:. (3. 115) 3 De uma forma geral a força vscosa pode ser dada substtundo-se (3. 11) em Erro! Fonte de referênca não encontrada. e consderando a stuação de estado estaconáro, obtém-se: f sendo.( ). (3. 116) vs. J kk Fnalmente temos: J Uo Na forma vetoral podemos escrever: T ( ), (3. 117). v v v. (3. 118)

84 chamando de: Portanto, T ( ) J. v, (3. 119) 1 D v v. (3. 10) J Uo D tr D. (3. 11) A densdade de momento lnear sob a forma de taxa de csalhamento (ou gradente de velocdades) é dada pela transferênca de momento durante a taxa de csalhamento (ou gradente de velocdades) cua densdade generalzada é dada por: Equação do Potencal Vetoral Generalzado para a Massa Fluda Dada a equação da contnudade: d. J Xo Xo. (3. 1) dt Substtundo Erro! Fonte de referênca não encontrada. em (3. 1) temos: Para = cte, temos: d. Xo Xo. (3. 13) dt Onde a dervada materal de X é dada por: Xo d dt Xo. (3. 14) Logo d dt. Xo Xo t Xo. (3. 15) Caso I) Xo. Para fluxos estaconáros temos: Xo t Xo. (3. 16) 84

85 Caso II) Xo 1. Xo 0. (3. 17) Para regmes onde os fluxos são perpendculares aos gradentes( ) temos: Onde. 0 1 Xo Xo 0. (3. 18) t A Equação de Movmento Elastodnâmco Lnear A partr de condções de equlíbro nós temos que: fdv T. ds 0 V S (3. 19) ou sea, o campo das tensões aplcado sobre a superfíce de um sóldo em equlíbro é gual a densdade volumétrca de força armazenada por este sóldo. Da condção de não-rotação temos: r f dv r T. ds 0 (3. 130) V S As equações (3. 6) e (3. 7) consttuem a base matemátca para a teora da elastcdade lnear. Contudo, consderando que o deslocamento u se propaga no espaço e no tempo temos: du du dr u (3. 131) dt dr dt t ou du dr u u (3. 13) dt dt t ou dr u u u (3. 133) dt t As equações de equlíbro podem a partr de agora serem expressos de forma a nclur a propagação dnâmca da deformação u, de acordo com a ª e 3ª Les de Newton. 85

86 Para o caso estátco temos: V fdv V S T. ds V fdv T. ds 0 S udv (3. 134) (3. 135) Aplcando o teorema da dvergênca no segundo termo do lado esquerdo da equação (3. 134) temos: T. ds. TdV (3. 136) Substtundo (3. 136) em (3. 134) temos: fdv. TdV V S V V V udv (3. 137) Como o volume em (3. 137) é arbtráro ele pode ser escolhdo gual ao volume de controle V fcando portanto, as equações do balanço do momentum (3. 134) fdv.t u ou T f u (3. 138), onde é a densdade do corpo. Observe que de uma forma geral temos: T. nˆ nˆ. T T (3. 139) A relação tensão-deformação lnear é dada a partr da Le de Hooke, na forma tensoral, onde: ou E T Itr E (3. 140) T E E (3. 141) kk onde E ve e (3. 14) 1 v 1 v 1 v módulo de Posson. Substtundo (3. 140) em (3. 138) temos: 86 onde e são as constantes elástcas do sóldo e E é o módulo elástco de Young e v é o

87 ou Substtundo (3. 140) em (3. 139) temos: logo ItrE E u sendo 87 f. (3. 143) f. (3. 144) I tre. E u (3. 145) ItrE Enˆ T Itr nˆ Enˆ T (3. 146) E Mas a partr de (3. 6) temos: 1 E u u (3. 147) Substtundo (3. 6) ou (3. 147) em (3. 144) e (3. 146) temos: 1 f tr u u 1. I. u u u (3. 148) e u u 1 I tr nˆ u unˆ T (3. 149) ou logcamente para a equação (3. 148) temos: Reescrevendo (3. 150) temos: ou f... u. u. u u u u u u (3. 150) f.. (3. 151) f. (3. 15) u u u e para a equação (3. 150) temos: u u nˆ. nˆ. u u T (3. 153)

88 nˆ. (3. 154) u u nˆ. u nˆ u temos: ou Portanto, e como nˆ.. u nˆ. u nˆ (3. 155) u T nˆ.. u nˆ. u nˆ (3. 156) u T f. (3. 157) u u u nˆ.. u nˆ. u nˆ (3. 158) u T f k (3. 159) Fcamos com, k. u u u (3. 160) e nˆ. u nˆ. u nˆ (3. 161) u T Esta é a equação dferencal parcal dependente do tempo para problemas em elastcdade em um corpo de volume V, onde k é a densdade volumétrca de força (força por undade de volume) em alguma função da posção e do tempo sueta a condção (3. 161), sobre a superfíce S lgada ao volume V Problemas de Valor de Contorno 88

89

90 3.7 O Campo de Tensão Elástco Lnear Exstem três modos fundamentas de solctação de carga ou de carregamento, baseado nos três exos fundamentas do espaço trdmensonal de tensão. Fgura Modos fundamentas de solctação de carga ou carregamento para a fratura. Nesta secção nós dscutremos a teora clássca da elastcdade como uma generalzação dos métodos matemátcos dos capítulos anterores para o contínuo Equações Báscas da Elastcdade para o Corpo Homogêneo e Isotrópco Um corpo elástco tem um únco estado natural, para o qual o corpo retorna quando todas as cargas externas são removdas. Todas as tensões, deformações e deslocamentos de partículas são meddas a partr deste estado natural; seus valores são contados como zero naquele estado. Exstem duas formas de descrever um corpo deformado: A abordagem materal e a espacal. Consdere a descrção espacal. O movmento de um contínuo é descrto pelo campo de velocdades nstantâneas,,, campo de deslocamento,,, 1 3 v x x x t. Para descrever a deformação no corpo, um 1 3 u x x x t é especfcado o qual descreve o deslocamento de uma partícula localzada em x1, x, x 3 no tempo t a partr de sua posção no estado natural. Váras meddas de deformação podem ser defndas para o campo de deslocamento. O tensor de deformação de Almans é expressa em termos de,,, equação: u x x x t de acordo com a segunte