Departamento de Engenharia Mecânica. Universidade Federal de Minas Gerais

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1 Dpartamnto d Engnhara Mcânca Unvrsdad Fdral d Mnas Gras UMA FORMULAÇÃO VARIACIOAL DO TIPO MÍIMOS QUADRADOS PARA EQUAÇÕES DIFERECIAIS ORDIÁRIAS APLICÁVEL AO TRATAMETO UMÉRICO DE PROBLEMAS DE COTROLE ÓTIMO Tlma Crstna Pmnta d Frtas Dssrtação d Mstrado m Engnhara Mcânca orntada plo Dr. Rcardo Luz Utsch d Frtas Pnto. UFMG Blo Horzont Outubro d 996

2 S o homm é formado plas crcunstâncas, é ncssáro formar as crcunstâncas humanamnt K. Mar F. Engls A Sagrada Famíla

3 À mnha mã, m mmóra.

4 AGRADECIMETOS Gostara d agradcr: Ao profssor Rcardo Luz Utsch d Frtas Pnto, pla proposta do tma, pla orntação, plo rgor do su trabalho. Aos profssors do Dpartamnto d Engnhara Mcânca, bm como aos colgas do curso d pós-graduação. À CAPES, plo apoo fnancro no dsnvolvmnto dsta dssrtação. À mnha famíla, d modo spcal, aos mus amgos. v

5 RESUMO st trabalho, dmonstra-s qu, sob algumas condçõs d rgulardad, a solução d um problma d valor ncal dscrto por quaçõs dfrncas ordnáras concd com as trmants d um funconal do tpo mínmos quadrátcos. A quvalênca ntr os dos problmas prmt a formulação d um procdmnto para o tratamnto numérco d problmas d control ótmo, com a prvsão d dscontnudads no vtor d control. O procdmnto consst na substtução dos vínculos dfrncas prsnts no problma d control ótmo por um problma varaconal dnomnado problma varaconal acssóro. A construção do funconal d mínmos quadrados pod sr ntrprtada como uma técnca d pnalzação ata para os vínculos dfrncas, forncndo um mo natural para a utlzação do método d Rtz no tratamnto das rstrçõs dfrncas qu fazm part dos problmas d control ótmo. Emplos rsolvdos lustram a aplcação do procdmnto. v

6 ABSTRACT Th quvalnc btwn an ntal valu problm dscrbd by ordnary dffrntal quatons and th trmum of a last squar typ functonal s showd to happn undr crtan rgularty condton hypothss. Ths allows th formulaton of a numrcal procdur for optmal control problms wth control dscontnuts. Ths procdur s basd on th substtuton of dffrntal constrants of th optmal control problms by a accssory varatonal problm. Th constructon of th last squar functonal can b ntrprtd as an actly pnalzaton tchnqu for th dffrntal constrants cratng a natural mans for th Rtz Mthod applcaton on th dffrntal quatons that ar prsnt on th optmal control problms. Th procdur s llustratd by man of numrcally solvd ampls. v

7 SUMÁRIO LISTA DE FIGURAS... LISTA DE TABELAS... LISTA DE SÍMBOLOS... Pág. CAPÍTULO - ITRODUÇÃO... CAPÍTULO - REVISÃO BIBLIOGRÁFICA Introdução Rsolução numérca d problmas d control ótmo Aplcação d técncas do tpo lmntos fntos na solução numérca d problma d control ótmo O método d mínmos quadrados... 8 CAPÍTULO 3 - FUDAMETOS MATEMÁTICOS Introdução Formulação do problma d control ótmo Hpótss Montagm do problma d valor ncal Tormas d stênca uncdad d quaçõs dfrncas ordnáras Comntáros... 6 CAPÍTULO 4 - FORMULAÇÃO VARIACIOAL ALTERATIVA PARA SISTEMAS DIÂMICOS DESCRITOS POR EQUAÇÕES DIFERECIAIS ORDIÁRIAS Introdução Uma formulação varaconal para problmas d valor ncal Equvalênca ntr o problma d valor ncal o problma varaconal assocado Prova do torma 3 va tora d control ótmo Comntáros v

8 CAPÍTULO 5 - FORMULAÇÃO VARIACIOAL PARA PROBLEMAS DE VALOR IICIAL COM DESCOTIUIDADES O TEMPO Introdução Formulação varaconal para problmas d valor ncal com dscontnudads no tmpo Equvalênca ntr o problma d valor ncal o problma varaconal Comntáros CAPÍTULO 6 - APLICAÇÃO A PROBLEMAS DE COTROLE ÓTIMO 5 6. Introdução Uma formulação altrnatva para problmas d control ótmo Aplcação do método d Rtz dntro do contto do método dos lmntos fntos Comntáros CAPÍTULO 7- EXEMPLOS DE APLICAÇÃO Introdução Problma ordnáro d control ótmo com stado ncal fnal fos Problma d trajtóra ótma Um problma com control dscontínuo Comntáros CAPÍTULO 8 - PROBLEMAS SUPLEMETARES Introdução Análs da dtrmnação do movmnto d um osclador harmônco Formulação do problma Solução numérca va formulação Lagrangana Solução numérca va mínmos quadrados Problma com dscontnudad no vtor d control Comntáros CAPÍTULO 9 - COCLUSÕES Comntáros fnas Conclusõs Sugstõs Sínts... 9 v

9 REFERÊCIAS... 9 APÊDICE A - CODIÇÕES ECESSÁRIAS PARA OS PROBLEMAS VARIACIOAIS A. Introdução A. Condçõs ncssáras d prmra ordm para problmas varaconas APÊDICE B - CODIÇÕES ECESSÁRIAS PARA PROBLEMAS DE COTROLE ÓTIMO B. Introdução B. Formulação do problma d control ótmo com dnâmca fraconada B.3 Hpótss... B.4 Condçõs ncssáras...

10 LISTA DE FIGURAS 7. Rsultados para o stado para o Problma (7.) Rsultados para o control para o Problma (7.6) Rsultados para o stado para o Problma (7.6) Rsultados para o stado para o Problma (7.5) Soluçõs numércas para o funconal Lagrangano Soluçõs numércas para o funconal do tpo Mínmos Quadrátcos Rsultados para o stado para o Problma (8.8) LISTA DE TABELAS 7. Valors para u(.) - Problma (7.6) Valors para (.) - Problma (7.6) S. Valors para (.) - Formulação Lagrangana Valors para (.) - Formulação Tpo Mínmos Quadrados Valors numércos para u(.) - Problma (8.8)... 85

11 E α f f F F F g h LISTA DE SÍMBOLOS LETRAS LATIAS Espaço ucldano d dmnsão α Índc rprsntando os nstants das junçõs Vtor d rstrçõs dfrncas -ésma componnt do vtor d rstrçõs dfrncas Vtor d rstrçõs dfrncas com o control plctamnt m função do tmpo. -ésma componnt do vtor d rstrçõs dfrncas Vtor d rstrçõs dfrncas para o -ésmo lmnto Trmo d contorno do funconal objtvo na forma d Boza Vtor d rstrçõs d contorno h Função d varávs d contorno (ond O,..., n h ) h j j-ésma componnt do vtor d rstrçõs d contorno Ή, H Função Hamltonana,k,j Índcs I Funconal do problma acssóro J Funconal objtvo l Função ntgrando L Função ntgrando L n α p P R R R j r s t t f t Função ntgrando para o -ésmo lmnto úmro d componnts do vtor α úmro d lmntos Vtor d parâmtros Vtor d parâmtros ncorporado o vtor stado ncal Função rsíduo assocado ao vínculo dfrncal Vtor d rsíduos para o -ésmo lmnto j-ésma componnt do vtor d rsíduos para o -ésmo lmnto úmro d cofcnts assocados à apromação do vtor d stado úmro d cofcnts assocados à apromação do vtor d control Instant ncal Instant fnal Tmpo-varávl global

12 u u k u û u, w j ^ w z Vtor d control k-ésma componnt do vtor d control Vtor d control para o -ésmo lmnto Forma apromada para o vtor d control para o -ésmo lmnto Varávs d control para o -ésmo lmnto Vtor d stado j-ésma componnt do vtor d stado Vtor d stado para o -ésmo lmnto Forma apromada para o vtor d stado para o -ésmo lmnto Vtor d control Varávl d stado adconal LETRAS GREGAS α,k α β,k β β j β k γ,k ν ν j Cofcnts assocados às funçõs d bas X k para o -ésmo lmnto Vtor d cofcnts α Cofcnts assocados às função d bas U k para o -ésmo lmnto Vtor d cofcnts β k para o -ésmo lmnto j-ésma componnt do vtor d apromação para o control para o -ésmo lmnto Cofcnt qu dtrmna a drção conjugada na k-ésma tração Cofcnts assocados às funçõs d bas X k para o -ésmo lmnto Vtor d multplcadors d Lagrang j-ésma componnt do vtor d multplcadors d Lagrang δ Domíno d dfnção da varávl t - conjunto abrto ond, f rprsntam t o t f rspctvamnt Λ, λ Vtor d funçõs vtoras Λ j, λ j j-ésma componnt do vtor d funçõs vtoras µ Vtor d funçõs vtoras µ j j-ésma componnt do vtor d funçõs vtoras ξ Τ Τ Tmpo totalmnt normalzado - varávl local Tmpo normalzado - varávl global Tmpo normalzado na -ésma junção Ø k,ψ k Soluçõs contínuas para o sstma d quaçõs dfrncas ordnáras Ø k,ψ k Prolongamntos das funçõs F(.)

13 Tlma Crstna Pmnta d Frtas CAPÍTULO ITRODUÇÃO A partr da formalzação da tora d control ótmo com o Prncípo d Mámo d Pontryagn no fnal dos anos 5 (POTRYAGI t al., 96), a otmzação d sstmas dnâmcos tm sdo modlada, m dvrsos campos do conhcmnto, na forma d problmas d control ótmo. Consdrando-s a compldad das soluçõs analítcas, como rgra gral, a rsolução dsts problmas g a utlzação d procdmntos numércos. Para sso, uma das mtodologas adotadas consst na paramtrzação do problma d control ótmo através da utlzação do Método dos Elmntos Fntos, o qu lva a um problma d programação matmátca (AKAMICHI WASHIZU, 978a, 978b, 978c; SHEELA, 98; FREITAS PITO, 98; HARGRAVES, 986). Por sua vz, a aplcação do Método dos Elmntos Fntos na solução d problmas d control ótmo aprsnta algumas dfculdads. Uma dlas, talvz a maor, stá no tratamnto numérco das rstrçõs dfrncas, ou sja, do sstma d quaçõs dfrncas ordnáras qu rprsnta a dnâmca do sstma qu compõ o problma d control ótmo. O tratamnto numérco dstas rstrçõs g a aplcação d uma das vrsõs do Método dos Rsíduos Pondrados (FILAYSO, 97) a um sstma d quaçõs dfrncas qu aprsnta rdundânca d varávs dnâmcas, dvdo à prsnça das varávs d control, com condçõs d contorno, como rgra gral, complas. st trabalho, propõ-s a substtução das rstrçõs dfrncas prsnts nos problmas d control ótmo por um problma varaconal dnomnado Problma Varaconal Acssóro. Trata-s d um problma varaconal com um funconal do tpo mínmos quadrados, cuja solução concd com a trajtóra d stado procurada, cujo valor mínmo absoluto é conhcdo a pror.

14 Tlma Crstna Pmnta d Frtas 3 O procdmnto pod sr usado também como uma forma altrnatva d s obtr uma formulação varaconal d sstmas dnâmcos dscrtos por quaçõs dfrncas ordnáras, partcularmnt m substtução à formulação Lagrangana d problmas físcos (SMITH, 974). Ao longo do trabalho, dmonstra-s qu, sob hpótss bastant razoávs para aplcaçõs prátcas, o problma varaconal acssóro possu uma trmant únca, a qual satsfaz ntgralmnt os vínculos dfrncas orgnas. Ou sja, o problma varaconal acssóro pod sr vsto como uma técnca d pnalzação ata (Xng t al., 989) qu não ntroduz soluçõs spúras. Est rsultado rprsnta a prncpal contrbução tórca do prsnt trabalho. O fato d qu a trajtóra d stado mnmza o funconal do tpo mínmos quadrados é fácl d s confrmar. A nstênca d mínmos spúros, ao contráro, g racocíno laborado. Por outro lado, quando da aplcação do Método dos Elmntos Fntos para a solução numérca d problmas d control ótmo, a utlzação do problma varaconal acssóro stablc um mo natural matmatcamnt consstnt para o tratamnto das rstrçõs dfrncas. Isto rprsnta uma contrbução prátca do trabalho. o Capítulo, aprsnta-s uma classfcação dos métodos numércos para a solução d problmas d control ótmo, fazndo-s uma rvsão bblográfca sobr aquls qu utlzam o Método dos Elmntos Fntos. Uma brv rvsão sobr a solução do problma nvrso do cálculo d varaçõs também é aprsntada. O Capítulo 3, aprsnta alguns fundamntos tórcos nvolvndo problmas d control ótmo a solução d quaçõs dfrncas ordnáras. Partcularmnt, um torma sobr stênca uncdad d soluçõs d quaçõs dfrncas ordnáras qu stnd rsultados antrors é dmonstrado. o Capítulo 4, aprsnta-s a quvalênca ntr um problma varaconal do tpo mínmos quadrados problmas d valor ncal. A prova é ralzada tanto va cálculo varaconal, utlzando rsultados tórcos rproduzdos no Apêndc A, quanto va tora d control ótmo.

15 Tlma Crstna Pmnta d Frtas 4 Os rsultados aprsntados no Capítulo 4 são gnralzados no Capítulo 5 para os casos m qu as funçõs nvolvdas são contínuas por parts, hpóts válda para a maor part dos problmas físcos. A quvalênca ntr o problma varaconal o problma d valor ncal é ralzada utlzando rsultados da tora d control ótmo rproduzdos no Apêndc B. o Capítulo 6, a técnca é aprsntada como um camnho altrnatvo na rsolução numérca d problmas d control ótmo através da aplcação do Método d Rtz ao problma varaconal acssóro, dntro do contto do Método dos Elmntos Fntos. Alguns mplos ddátcos são aprsntados no Capítulo 7. O Capítulo 8 complmnta a mplfcação do procdmnto com a solução d dos problmas um pouco mas laborados, cada um plorando um aspcto m partcular. A conclusão do trabalho s stablc no Capítulo 9, ond aparcm alguns comntáros conclusõs complmntars, além d sugstõs para dsnvolvmntos futuros.

16 Tlma Crstna Pmnta d Frtas 5 CAPÍTULO REVISÃO BIBLIOGRÁFICA. Introdução st capítulo aprsnta-s uma brv rvsão dos procdmntos utlzados na rsolução numérca d problmas d control ótmo. Mas dtalhadamnt, aprsnta-s aquls qu s basam no Método dos Elmntos Fntos, abordando-s as váras vrsõs do Método d Rsíduos Pondrados. A rvsão trata também do problma nvrso do cálculo d varaçõs, ou sja, da obtnção d formulaçõs varaconas para sstmas d quaçõs dfrncas.. Rsolução numérca d problmas d control ótmo Sgundo a classfcação ralzada por Frtas Pnto (98) (vd também PEREIRA, 994), os métodos para a solução numérca d problmas d control ótmo podm sr dvddos m três catgoras prncpas: a. métodos clásscos; b. métodos d paramtrzação; c. métodos híbrdos. Os métodos clásscos rprsntam todos aquls qu são dsnvolvdos drtamnt m domínos d funçõs, mbora possam, como rcurso complmntar, utlzar algum procsso d dscrtzação ou d paramtrzação (vd TAPLEY LEWALLE, 967). Os métodos d paramtrzação rprsntam aquls qu, através da paramtrzação das varávs dnâmcas nvolvdas, transformam o problma d control ótmo m um problma d programação matmátca. Dsta forma, o problma, orgnaramnt d dmnsão nfnta, passa a tr dmnsão fnta gual ao númro d parâmtros a srm dtrmnados. Ests métodos têm rcbdo também a dnomnação d Métodos d Transcrção Drta (MADEIRA, 996). Em Frtas Pnto (98) utlza-s subótmos no lugar d híbrdos.

17 Tlma Crstna Pmnta d Frtas 6 Fnalmnt, os métodos híbrdos são aquls qu nvolvm uma paramtrzação parcal do problma, ou sja, paramtrzam apnas algumas das varávs dnâmcas. Esta catgora é rprsntada, bascamnt, plos métodos subótmos, os quas, como rgra gral, trabalham clusvamnt com a paramtrzaçâo das varávs d control. Quanto aos métodos d paramtrzação, d acordo com a manra como sta paramtrzação ocorr, podm sr dvddos m duas sub-classs: ) métodos do tpo dfrnças fntas; ) métodos do tpo lmntos fntos. Os métodos do tpo dfrnças fntas rcbm sta dnomnação porqu apromam as varávs dnâmcas por funçõs dscrtas, as quas são rprsntadas por um númro fnto d pontos. Dsta manra, tornam fnta a dmnsão do problma. A partr das funçõs dscrtzadas, utlzam fórmulas d dfrnças m substtução às opraçõs d drvação. Já os métodos do tpo lmntos fntos trabalham com a pansão das varávs dnâmcas m spaços lnars d funçõs d dmnsão fnta. É dsta forma qu paramtrzam o problma, como rgra gral para o tratamnto das quaçõs dfrncas qu compõm o problma, rcorrm a alguma vrsão do método d rsíduos pondrados. Isto s torna ncssáro porqu, com as apromaçõs adotadas para as varávs dnâmcas, as quaçõs dfrncas não podm mas sr rgorosamnt satsftas. O método d rsíduos pondrados (GRADALI, 956) s basa na gênca d qu a ntgral d uma função rsíduo R( ), pondrada por alguma função pso w(.), convnntmnt scolhda, sja nula. Ou sja, mpõ-s a rlação b w ( z) R( z) dz, a sndo o ntrvalo [a, b] a função pso w ( ) apropradamnt spcfcados. Estm váras vrsõs do método d rsíduos pondrados, dstacando-s os Métodos d Colocação, Sub-Domínos, Galrkn, Momntos Mínmos Quadrados

18 Tlma Crstna Pmnta d Frtas 7 (FIETCHER, 984). Todos utlzam a msma da cntral, dfrndo, porém, na scolha da função pso..3 Aplcação d técncas do tpo lmntos fntos na solução numérca d problmas d control ótmo Os prmros trabalhos qu nvolvram a paramtrzação d problmas d control ótmo, na manra do método dos lmntos fntos, vsando a obtnção d soluçõs numércas (ZARADICK PARKI, 969; LY t al., 97) não fzram mnção plícta do método dos lmntos fntos. Dntro dst contto podmos ctar também alguns trabalhos mas rcntmnt publcados: Dontchv (978), Srsna Chou (979), Troltzsch (99). Em todos sts trabalhos, as varávs dnâmcas são panddas m uma dtrmnada bas d funçõs, mbora o concto d lmntos fntos não tnha sdo plctamnt mnconado plos sus autors. Para fto d classfcação, pod-s ntrprtar sts trabalhos como casos spcas d aplcação da técnca d lmntos fntos com a partcularzação para apnas um lmnto. A utlzação plícta do método dos lmntos fntos m problmas d control ótmo fo aprsntada, provavlmnt pla prmra vz, por akamch Washzu (978a, 978b, 978c), qu aplcaram o Método d Rtz a um funconal aumntado m qu os vínculos dnâmcos aparcm assocados a multplcadors d Lagrang. sts trabalhos, a técnca d lmntos fntos é utlzada plctamnt, com a dvsão do domíno d dfnção do problma m lmntos a pansão das varávs dnâmcas m spaços d funçõs, d dmnsão fnta, prvamnt scolhdos. Dntro do contto do método dos lmntos fntos utlzando o método d rsíduos pondrados para o tratamnto das rstrçõs dfrncas, podmos ctar: ) utlzando o Método d Galrkn, os trabalhos d Frtas Pnto (98) d Dnh (987); ) utlzando o O tratamnto d akamch Washzu aprsnta algumas nconsstêncas tórcas, conform dmonstra Frtas Pnto (98), Apêndc A.

19 Tlma Crstna Pmnta d Frtas 8 Método d Colocação, os trabalhos d Hargravs Pars (986) d Stryk (993); ) utlzando o Método d Sub-Domínos, o trabalho d Prra (994). Tratando da solução numérca d problmas d control ótmo, porém d problmas com parâmtros dstrbuídos (nvolvndo quaçõs dfrncas parcas) tmos anda Chn Mlls (98), Allny (98), Rao t al, (98a), Rao t al. (98b), Lascka (984), Gorchakov (986), Macknroth (987), Chang (988), Casas (99)..4 O método dos mínmos quadrados Embora stam város mplos d aplcação do método dos mínmos quadrados, dntro do contto do método dos lmntos fntos na solução d problmas físcos, (FLETCHER, 979; CHATTOT t al., 98; MILTHORPE STEVE, 978), nnhum dos trabalhos sobr solução numérca d problmas d control ótmo, basado no concto d lmntos fntos, utlza o método dos mínmos quadrados. a vrdad, o método dos mínmos quadrados, basado na mnmzação d um funconal, não tm sua concpção nsprada na da d rsíduos pondrados. Entrtanto, d um ponto d vsta formal (FLETCHER, 984), l pod sr nquadrado como um método d rsíduo pondrado tndo como função pso, para cada cofcnt α a sr dtrmnado R ω ( ). α st trabalho aprsnta-s o método dos mínmos quadrados como uma altrnatva para o tratamnto numérco das quaçõs dfrncas prsnts nos problmas d control ótmo, sndo, d acordo com a psqusa bblográfca ralzada, o únco trabalho na ára com sta abordagm. A aplcação da técnca é basada na quvalênca ntr a solução d um problma varaconal com funconal do tpo mínmos quadrados a solução d problmas d valor ncal. Assm, a construção do funconal d mínmos quadrados pod sr ntrprtada, dntro

20 Tlma Crstna Pmnta d Frtas 9 do contto d pnalzação (XIG t al., 989), como uma formulação varaconal altrnatva ao problma nvrso do cálculo d varaçõs. O problma nvrso do cálculo d varaçõs, o qual trata da obtnção d uma formulação varaconal a partr das quaçõs dfrncas qu rprsntam a dnâmca d um sstma tm sdo tnsvamnt studado (DOUGLAS, 94; VAIBERG, 964; TOTI, 969, 973; ATHERTO HOMSY, 975; SATILLI, 977; BAMBI MORRO, 98; PASWAL, 984; STEPAKOVA, 984; OLIVEIRA, 986), sndo os trabalhos d Vanbrg (964) d Tont (969), talvz os qu trouram mas mpacto. A obtnção da formulação varaconal, nst caso, s vncula ao fato do oprador sr auto-adjunto, sndo mutas vzs ncssáras manpulaçõs trabalhosas sobr as quaçõs para adquá-las a sta condção (VAIBERG, 964; BAMBI MORRO, 98). A formulação d mínmos quadrados, dfrntmnt, é aplcávl com facldad a uma gama bastant tnsa d sstmas d quaçõs dfrncas. Tm, além dsso, a garanta d ocorrênca d mínmo absoluto sobr a solução do problma orgnal. Porém, cra a possbldad d stênca d mínmos spúros, o qu não ocorr no caso do problma nvrso. o prsnt trabalho, através d argumntos tórcos, sta possbldad é lmnada sob hpótss bastant razoávs para o tratamnto d problmas prátcos. Est fato, o fato da mtodologa sr prftamnt aplcávl a problmas d control ótmo, consttum, aparntmnt, os aspctos mas rlvants dst trabalho.

21 Tlma Crstna Pmnta d Frtas CAPÍTULO 3 FUDAMETOS MATEMÁTICOS 3. Introdução st capítulo, aprsnta-s uma class d problmas d control ótmo na forma d Bolza, qu nvolv rstrçõs d contorno duplo qu, além do stado ( ) do control υ( ), possu um vtor d parâmtros p a sr otmzado. Mostra-s qu as rstrçõs dfrncas prsnts nsta catgora d problmas, ndpndntmnt das rstrçõs d contorno, podm sr rscrtas como um problma d valor ncal, bastando, para sto, stndr o vtor d parâmtros p d modo a ncorporar o stado ncal. os capítulos subsqunts aprsnta-s uma formulação varaconal altrnatva para o problma d valor ncal, a qual prmt o dsnvolvmnto d um procdmnto para a solução numérca do problma. Est procdmnto, por sua vz, ncssta d alguns rsultados tórcos sobr a stênca uncdad d soluçõs d quaçõs dfrncas ordnáras, os quas são formulados nst capítulo através d dos tormas. O prmro trata-s d uma transcrção d um torma d stênca uncdad prsnt m Pontryagn (96a), aprsntado para quaçõs dfrncas ordnáras d prmra ordm. O sgundo é uma tnsão do prmro, m qu as condçõs d rgulardad das funçõs nvolvdas são rlaadas para suportar dscontnudads no tmpo. A mportânca do sgundo torma stá no fato d qu, normalmnt, as quaçõs dfrncas prsnts nos problmas d control ótmo possum dscontnudads no tmpo ntroduzdas com as dscontnudads no vtor d control.

22 Tlma Crstna Pmnta d Frtas 3. Formulação do problma d control ótmo Para o contto do prsnt trabalho, consdr o sgunt problma d control ótmo: Mnmzar t J[ ; u; p] g[ ( t ); ( t); t, t, p] [ ( τ ), υ( τ ), τ ] dτ ; t (3.a) sujto a ( t ); ( t); t, t p],,..., n h (3.b). ( τ ) f [ ( τ ), τ ], τ [ t, t]; (3.c) [ h, ; ond ( ) [ ( ),..., ( )]' n dnota o vtor d varávs d stado; ( ) [ ( ),..., ( )]' u u un dnota o vtor d varávs d control; [,..., ]' p p pnp dnota um vtor d parâmtros a srm otmzados; f( ) [ f ( ),..., fn( )]'. A prssão (3.a) caractrza um funconal na forma d Bolza 3. As prssõs (3.b) (3.c) rprsntam, rspctvamnt, rstrçõs d contorno rstrçõs dfrncas. A consdração do vtor d parâmtros (p), prsnt no funconal-objtvo nas rstrçõs d contorno, faclta o tratamnto d problmas prátcos. As funçõs nvolvdas no problma dvm satsfazr crtas condçõs d rgulardad stablcdas no conjunto d hpótss a sgur. 3 Problmas cujo funconal-objtvo possu um trmo d contorno um trmo ntgral ( J h dt) são dtos na forma d Bolza. O funconal é dto na forma d Mayr s aprsnta apnas o trmo d contorno (J h ), ou na forma d Lagrang s aprsnta apnas o trmo ntgral ( J dt).

23 Tlma Crstna Pmnta d Frtas 3.3 Hpótss Com rlação ao problma (3.), dvm sr consdradas as sgunts hpótss: H: j( )( j,..., n) dvm sr funçõs contínuas para τ [ t, t]; H : uk( )( k,..., nu) dvm sr funçõs contínuas por parts suavs por parts para τ [ t, t]; H3: As funçõs f (,..., n), hj( j,..., nh) suas drvadas parcas prmras são contínuas m rlação a todos os sus argumntos, nos domínos consdrados. Aqu, como funçõs contínuas por parts, stamos ntndndo funçõs com um númro fnto d dscontnudads d prmra spéc (POTRYAGI, 96b, p. ). Obsrv qu, m dcorrênca das hpótss H H3, na vrdad, as varávs d stado srão suavs, não apnas contínuas como gdo pla hpóts H. 3.4 Montagm do problma d valor ncal Com um artfíco smpls, podmos rscrvr o problma (3.) na sgunt forma: Mn t [ ; ; ] [ ( ), ] [ ( τ), ( τ), τ] ; t JuP gt P u dr (3.a) sujto a h[ t ( ), P ],,..., nh; (3.b) ( τ) f[ ( τ), u( τ), τ], τ [ t, t]; (3.c) t ( ). (3.d) ond [ ;...; on]' dnota um vtor adconal d parâmtros qu rprsnta o stado ncal, conform dmonstra (3.d), P ' p ; ' ' rprsnta o vtor d parâmtros stnddo para ncorporar.

24 Tlma Crstna Pmnta d Frtas 3 Com a nclusão do vtor d parâmtros das rstrçõs d contorno (3.d), ntroduzmos m (3.) um problma d valor ncal, caractrzado plas rstrçõs (3.c) (3.d). D fato, scolhdos o vtor o control u(τ) (m conformdad com a hpóts H), as rstrçõs (3.c) (3.d) podm sr rscrtas como: ( τ) F ( τ); τ, ( t ) τ [ t, t]; (3.3a) (3.3b) τ ; τ τ ; τ ; τ. ond F ( ) f ( ) u( ) É mportant obsrvar qu, assocado às dscontnudads no control, o lado drto da prssão (3.3a) possurá dscontnudads no tmpo. A stênca uncdad da solução do problma (3.3) é rlvant para o studo a sr fto nos prómos capítulos. Esta é a motvação da aprsntação dos tormas nuncados a sgur. 3.5 Tormas d stênca uncdad d quaçõs dfrncas ordnáras D acordo com Pontryagn (96a), p.8 9, tmos: TEOREMA : Sja o sstma normal d quaçõs dfrncas ordnáras ( ) F ( ); τ τ τ τ [ t, ] tf (3.4a) t ( ) X. (3.4b) ond [,..., ]' n [,..., ]' F F Fn

25 Tlma Crstna Pmnta d Frtas 4 F S F ( ) ( )(,..., n ) são funçõs contínuas d todos os sus argumntos nos domínos consdrados, ntão, para cada condção ncal (3.4b), uma solução contínua do Problma (), a sabr ( ) φ( ), φ [ φ,..., ]' φn st é únca. acma, Assm, s strm duas soluçõs d (3.), a sabr ( ) φ( ), como dfnda ( ) ψ ( ), ψ [ ψ,..., ]' ψn as quas satsfazm as msmas condçõs ncas ( ) ( ), ψ t φ t Χ cada uma válda sobr um rspctvo ntrvalo d valors d τ contndo t, ntão stas soluçõs concdrão nos ntrvalos ond ambas valrm smultanamnt. Consdr agora uma tnsão do Torma, ond as funçõs F ( )(,..., ) n suas drvadas parcas prmras são apnas contínuas por parts, ou sja, admtm um númro fnto d dscontnudads d prmra spéc. TEOREMA : Sja o sstma normal d quaçõs dfrncas: ( τ ) F[ ( τ );τ ], [ t, t f ] ( t ), t t, t [ ] τ (3.5a) (3.5b) Sjam F ( )(,..., ) as drvadas parcas ( )(,..., n ) n contínuas para todo t [ t, t ] o f o f F funçõs, cto para um númro fnto d valors d τ, a sabr, τ [ t,...,t m ] sobr os quas las possum dscontnudads d prmra spéc. S para τ [ ] as funçõs F ( )(,..., ) n t,...,t m :

26 Tlma Crstna Pmnta d Frtas 5 a. são contínuas à drta com ( t ) spcfcado; ou f b. são contínuas à squrda com ( tf), spcfcado; ntão s (3.5) aprsnta solução contínua, a solução é únca. Ou sja, s strm duas soluçõs d (3.5), a sabr, ( ) φ( ) ( ) ψ ( ) ond φ [ φ,..., ]' φn ψ [ ψ,..., ]' ψn Então φ ( ) ψ ( ) ond ambas valrm smultanamnt. PROVA: A prova do Torma, qu é uma vrsão stndda do Torma, s procssa, para a possbldad (), a partr da dvsão do ntrvalo [t o, t f ] nos sub-ntrvalos ond ( k,..., m), [ t, t k ) τ,,,..., m, k k τ [ t, ] t k rprsntam os pontos d dscontnudad d F ( )(,..., ) n drvadas parcas prmras. m t f ou d suas Assm, as quaçõs (3.5) são rscrtas na sgunt forma: ( τ ) F[ ( τ );τ ], τ [ t, t k k), k,,..., m, (3.6a) ( τ ) F[ ( τ );τ ], τ [ tm, tm ] (3.6b) t k,..., m, (3.6c) ( t ), ( ) ( ) k t k τ F t k ond ( t ) m [ ( τ ), τ ] dτ. k ot qu as prssõs (3.6c) vsam prsrvar a contnudad d ( ), qu as funçõs F ( )(,..., ) suas drvadas parcas prmras são contínuas sobr qualqur dos n sub-ntrvalos τ [ t t k ) k,,..., m., k Com as prssõs (3.6), a prova do torma é ralzada através d um racocíno d ndução, apoado no Torma.

27 Tlma Crstna Pmnta d Frtas 6 F ( ) Para sso, consdr ncalmnt apnas o sub-ntrvalo [t, t ). Como f ( ) são funçõs contínuas para todo τ [ t, t ) soluçõs contínuas d (3.6), φ ( ) ψ ( ), d acordo com o Torma, duas possívs, a prncípo dstntas, na vrdad concdrão sobr st ntrvalo. Isto stablc o prmro passo para a prova por ndução. k m arbtráro. Suponhamos, agora, qu as soluçõs φ ( ) ψ ( ) concdam para [ t, t ) τ, Em vrtud d (3.6c), ou sja, consdrando a contnudad d φ ( ) ψ ( ) ( t ) φ ( t ) ψ ( tk) φ( tk). φ φ k ( t ) ψ ( t ), k k k, tmos Isto sgnfca qu as duas soluçõs concdm para τ [ t, t ], com k k, além dsso, ambas dvm rsolvr: ( τ ) F[ ( τ );τ ], [ t t k ), τ ( )., k t k k Ora, mas para τ [ t t k ), val o Torma, ou sja, sobr st ntrvalo st uma,, k somnt uma, solução contínua. Então φ ( ) ψ ( ) concdm também para τ [ t, t k k ) sja, a concdênca d φ ( ) ψ ( ) para [ t,tk) t t τ mplca na concdênca para τ [ ).., k. Ou Dst modo, por ndução, podmos conclur qu φ ( ) ψ ( ), na vrdad, dvm sr concdnts sobr todo o ntrvalo smabrto [t o, t f ). Mas, consdrando a contnudad d ambas, dvmos tr φ ( t ) φ( t ) φ ( t ) ψ ( t ), k f f f, o qu complta a concdênca d φ ( ) ψ ( ) para todo o ntrvalo fchado [t o,t f ], conform quríamos dmonstrar. Para a possbldad (), a prova dcorr d racocíno análogo. A dfrnça rsd apnas no fato d qu o procsso d ndução dv sr fto d t t para t, camnho nvrso do adotado para a possbldad (). f m

28 Tlma Crstna Pmnta d Frtas Comntáros. Sob a hpóts d contnudad do control u ( ), consdrando srm ( )( n) d class C, as funçõs F ( )(,..., ) n F,..., srão contínuas com drvadas parcas também contínuas para todo τ [ t o,t ]. Assm, para cada control u ( ) spcfcado, as rstrçõs (3.c) (3.d) stablcm um problma d valor ncal cuja stênca uncdad d solução pod sr garantda plo Torma. Ocorr qu, para grand part dos problmas prátcos d ngnhara, a hpóts d contnudad do control é bastant rstrtva, o qu torna a aplcação do Torma muto lmtada. Por sua vz, a hpóts d varávs d control contínuas por parts, gralmnt satsfatóra para os problma ras, acarrta a prsnça d dscontnudads d F prmra spéc, tanto m F( ) como m ( ). Est tpo d dscontnudad stá cobrto plo Torma.. Obsrv qu as condçõs d rgulardad mpostas a F( ) plo Torma nclum a contnudad das drvadas parcas prmras, cto a drvada m rlação à varávl ndpndnt (τ). a ltratura, a contnudad das drvadas parcas prmras é mutas vzs substtuída por uma condção mas fraca conhcda como condção d Lpschtz (ICE, 99; WALTMA, 986; MILLER, 98). Esta condção rlaa a contnudad d F ( ) m rlação a todos os sus argumntos (SIMMOS, 99), dfrntmnt do Torma, qu rlaa apnas a contnudad na drvada m rlação à varávl ndpndnt. A condção d Lpschtz, no ntanto, não substtu o Torma uma vz qu não prvê dscontnudads na função F ( ). Assm, sgundo nossa rvsão bblográfca, a stênca a uncdad d soluçõs d quaçõs dfrncas ordnáras para funçõs F( ) contínuas por parts é aprsntada, pla prmra vz na ltratura, através do Torma.. a ltratura, nquanto a contnudad das funçõs é rlvant tanto para a prova da uncdad quanto da stênca d soluçõs, a contnudad da drvada é mportant apnas para a qustão da uncdad (SIMMOS, 99; CROI, 986). Assm, é possívl trabalhar a qustão da stênca abandonando compltamnt a rgulardad

29 Tlma Crstna Pmnta d Frtas 8 das drvadas, como mostra Mllr (98). A prova para st caso, ntrtanto, s faz sob argumntos bastant sofstcados. CAPÍTULO 4 FORMULAÇÃO VARIACIOAL ALTERATIVA PARA SISTEMAS DIÂMICOS DESCRITOS POR EQUAÇÕES DIFERECIAIS ORDIÁRIAS 4. Introdução st capítulo aprsnta-s uma formulação varaconal altrnatva para sstmas dnâmcos dscrtos por quaçõs dfrncas ordnáras, consdrando-s funçõs d class C. A da consst m substtur um problma d valor ncal por um problma varaconal do tpo mínmos quadrados cuja solução concd com o problma orgnal. Isto vablza o tratamnto numérco das rstrçõs dfrncas prsnts m problmas d control ótmo através d técncas do tpo lmntos fntos. A quvalênca dos dos problmas é comprovada através d um torma. Duas formas dstntas d dmonstração são aprsntadas. A prmra é ralzada va cálculo d varaçõs, utlzando-s condçõs ncssáras na forma ntgral (SAGA, 969). A sgunda s procssa va tora d control ótmo, utlzando-s um conjunto d condçõs ncssáras para a solução d um problma na forma d Mayr, obtdo após

30 Tlma Crstna Pmnta d Frtas 9 manpulação do problma varaconal. Ambas as provas utlzam o Torma aprsntado no capítulo antror. Embora a prova obtda, va cálculo varaconal, sja o camnho mas natural para a dmonstração do Torma, dada a naturza varaconal do problma, a prova utlzando tora d control ótmo mostrou-s ncssára para gnralzaçõs postrors. os capítulos subsqunts a formulação srá stndda para funçõs contínuas por parts aplcada à rsolução numérca d problmas d control ótmo. 4. Uma formulação varaconal para problmas d valor ncal Consdr o problma d valor ncal: ( τ) F ( τ); τ [ t, t ] ( t ) τ (4.a) (4.b) ond F ' [ ]; ( ) ( ) ;...; z( ) n ' [ ]; ( ) F ( ) ;...; z( ) Fn F sndo f ( ) ( ) funçõs contínuas d f ( ) d τ. As quaçõs (4.a) rprsntam o modlo d um sstma dnâmco com parâmtros concntrados, dscrtos sgundo uma formulação d spaço d stados. D acordo com o Torma aprsntado no Capítulo 3, as quaçõs (4.a) aprsntam uma únca solução satsfazndo as condçõs ncas (4.b). Ou sja, o problma d valor ncal (4.) possu uma, somnt uma, solução únca.

31 Tlma Crstna Pmnta d Frtas 3 Rlaconado com o problma (4.), consdr o sgunt problma varaconal: Mn [ ] t I R' Rdτ (4.a) t com t ( ). (4.b) ond sndo ( ) ( ) F conform (4.). ' [ ( τ ) F[ ( τ ); τ ]], R (4.c) O problma varaconal (4.) é construído com bas no rsíduo das quaçõs dfrncas (4.la), conform ndca a prssão (4.c), pod sr ntrprtado como um funconal d pnalzação. ot qu (4.a) é strtamnt não-ngatva, assumndo o valor nulo s, somnt s, R( ) for dntcamnt nula. Isto sgnfca qu a solução do Problma (4.) fornc o mínmo absoluto para (4.a). Entrtanto, a adoção do problma (4.) m substtução ao problma (4.) pod aprsntar, a prncípo, soluçõs spúras (mínmos locas do problma (4.) com rsíduo não dntcamnt nulo). Esta suspta é rforçada s consdrarmos qu, conform vrmos adant, a utlzação das condçõs ncssáras para (4.) dfrm d (4.). Ou sja, as quaçõs d Eulr-Lagrang para o Problma (4.) não concdm com as quaçõs dfrncas do problma d valor ncal, como ocorr no caso do problma nvrso do cálculo d varaçõs. ão obstant, conform srá dmonstrado plo Torma 3, a solução d (4.) é a únca trmant para (4.). Dssa forma, o problma (4.) pod sr vsto como uma pnalzação ata para (4.), ou sja, a trmant d (4.a) é únca concd atamnt com a solução do problma (4.). 4.3 Equvalênca ntr o problma d valor ncal o problma varaconal assocado sgunt torma: Para stablcr a quvalênca ntr os Problmas (4.) (4.), consdr o

32 Tlma Crstna Pmnta d Frtas 3 TEOREMA 3: Sjam [ ( τ );τ ] (τ) a τ contínuas para todo τ [, ] a solução do Problma (4.). F suas drvadas parcas prmras m rlação a t t. Então, a trmant d (4.) é únca concd com PROVA: A prova s stablc va cálculo varaconal utlzando-s condçõs ncssáras na forma ntgral (vr Apêndc A) o Torma. Para sto, sja L [ ( τ ); ( τ ); τ ] R' R. (4.3) Consdrando as condçõs d rgulardad supostas para F ( ), pod-s conclur qu ( ) L é uma função contínua com prmras drvadas parcas contínuas m rlação a todos os sus argumntos (quas sjam, ( ), ( ), τ ) para [, ] τ. t t Isto prmt afrmar qu as trmants d (4.) (Apêndc A) dvm satsfazr, além da condção ncal (4.b), as sgunts condçõs ncssáras: L [ ( τ ); ( τ ); τ ] τ L[ ( τ ); ( τ ); τ ] t L[ ( τ ); ( τ ); τ ] t dτ C, (4.4a) (4.4b) A quação (4.4a) rprsnta as quaçõs d Eulr-Lagrang, na forma ntgral (SAGA, 969), a quação (4.4b) as condçõs d transvrsaldad partcularzadas para o problma. Substtundo (4.3) m (4.4a) (4.4b), ftuando as opraçõs ndcadas, obtmos: [ ( τ ); τ ] T τ F R Rd C, to τ [ t, ] (4.5a) R t (4.5b)

33 Tlma Crstna Pmnta d Frtas 3 Obsrvamos qu R ( ), qu rprsnta o lado squrdo d (4.5a), é d class C, pos o lado drto d (4.5a) é, por construção, uma função contínua dfrncávl m rlação a τ. Vsando a manpulação d (4.5a) (4.5b), consdr a sgunt dfnção: g F ( ) [ ( ); ] τ τ τ, [, ] τ (4.6) Consdrando a rgulardad d R ( ) (4.6), podmos dfrncar a quação (4.5a) m rlação a τ, obtndo, m trmos d R( ) g ( ) : t t d dt [ R( τ )] R( τ ) g( τ ) [, ] τ (4.7a) t t Como as soluçõs d (4.7) são as trmants d (4.), para provar o torma, dvmos dmonstrar qu a solução d (4.), somnt a solução d (4.), rsolv (4.7). Qu a solução d (4.), a sr dnotada por ( ), rsolv (4.7), é vdnt. D fato, R(τ) O, [ t, t ] satsfaz (4.7a) (4.7b). Rsta-nos ntão provar a uncdad d ( ). τ, Para sto, suponha a stênca d ˆ ( ), uma outra trmant, não ncssaramnt concdnt com ( ), sja: Rˆ ( τ ) ˆ( τ ) F[ ˆ ( τ ); τ ], [ t, t ] F ( ) [ ˆ ( ); ] h τ τ τ, [, ] ˆ sndo Rˆ ( ) o valor do rsíduo corrspondnt a ( τ ) τ (4.8a) τ (4.8b) ˆ. t t Consdrando (4.8), as quaçõs (4.5) podm sr scrtas, m trmos d Rˆ ( ), como o sgunt problma d valor ncal: d dt [ R ˆ ( τ )] Rˆ ( τ ) h( τ ) ˆ( t ) [, ] τ (4.9a) t t R (4.9b) qu, por sua vz, dfn um problma d valor ncal, do tpo d [ Rˆ ( τ )] H [ Rˆ ( τ ); τ ], [ t, ] dt τ t (4.la)

34 Tlma Crstna Pmnta d Frtas 33 ond H Rˆ ( τ ) [ ; τ ] h( τ ) Rˆ ( τ ). ( t ) R ˆ (4.lb) D acordo com as hpótss d rgulardad d F ( ), consdrando a contnudad d ˆ ( ), obsrva-s qu H ˆR ( τ ),τ é uma função contínua d Rˆ ( τ ) d τ, nquanto [ ] [ Rˆ ( τ ); τ ] h( τ ) H Rˆ é uma função contínua d τ. Assm, d acordo com o Torma do Capítulo 3, o problma d valor ncal (4.9) aprsnta solução únca. Ora, ˆ τ τ, (4.) R ( ), [ ] t t rsolv as quaçõs (4.9). Portanto, (4.) é a únca solução d (4.9). Dsso rsulta qu ˆ ( ) satsfaz a: ˆ( τ ) F[ ˆ ( τ ); τ ], [ t, t ] ˆ( t ) ; τ (4.a) (4.b) ond a quação (4.b) dcorr da condção (4.b). Comparando as prssõs (4.) (4.) vmos qu, na vrdad, ˆ ( ) ( ) concdm. Ou sja, o Problma (4.) admt ( ), a solução d (4.), como únca trmant, o qu complta a prova do torma. 4.4 Prova do Torma 3 va tora d control ótmo Conform mnconado antrormnt, mbora o cálculo varaconal sja o camnho natural para a prova do Torma 3, l não s mostrou capaz d suportar as gnralzaçõs a srm ncluídas nos prómos capítulos. Em contrapartda, a prova va tora d control ótmo, mbora não tão natural, s mostrou bm adaptada para as gnralzaçõs. Com st objtvo, consdr o racocíno a sgur, qu utlza o conjunto d condçõs ncssáras aprsntado por Frtas Pnto (99), para problmas d control ótmo com

35 Tlma Crstna Pmnta d Frtas 34 rstrçõs d contorno duplo, prvndo-s o control contínuo por parts. O conjunto d condçõs ncssáras s ncontra padronzado para problmas na forma d Mayr (FREITAS PITO, 99), gndo qu o Problma (4.) sofra d níco algumas manpulaçõs. PROVA: Prmramnt rscrvmos o Problma (4.) sgundo a sgunt formulação d control ótmo: Mn t t R τ Rdτ (4.a) sujto a (t ) (4.b) ( τ ) ω( τ ) τ, (4.c) t t [ ] ond [ ω ( τ ) [ ( τ ); τ ] R F (4.d) F ω [,..., ] ' n [ F,..., ] ' Fn [ ω,..., ] ' ωn A prssão (4.a) rprsnta o funconal objtvo, na forma d Lagrang, o qual dv sr mnmzado sujto às rstrçõs d contorno (4.b) às rstrçõs dfrncas (4.c). Para rscrvrmos (4.) na forma d Mayr, consdr a varávl d stado adconal z ( ), dfnda como: z R' R (4.3a) ond z(t ) (4.3b) Isto prmt rscrvr o problma (4.) como:

36 Tlma Crstna Pmnta d Frtas 35 Mn z( t) h (4.4a) sujto a ( t j o) h z( t) ; hj j j,..., n; (4.4b) n (4.4c) hn z to t o o (4.4d) hn z t t o 3 (4.4) ( ) [ ( ) ( ) ] ( j τ Fj τ ; ω τ ; τ ωj τ ), τ [ t, t ] j,..., n ; (4.4f) z ( τ ) L[ ( τ ); ω( τ ); τ ] R' R, [ t, ] τ t (4.4g) ond nh n 3 dnota o númro total d rstrçõs d contorno, prssadas d (4.4b) a (4.4). Para utlzarmos os rsultados prsnts m Frtas Pnto (99), o problma (4.4) dv satsfazr as sgunts hpótss: ) ( j,..., ) j n ( ) z dvm sr funçõs contínuas para [, ] τ ; t t ) ω ( )( k,..., ) dvm sr funçõs contínuas por parts para [, ] k n τ ; ) as funçõs F (,..., n), H j( j,,,..., n) L ( ), suas drvadas parcas prmras são t t contínuas m rlação a todos os sus argumntos, nos domínos consdrados. D acordo com o nuncado do Torma 3, as hpótss acma são váldas para o Problma (4.4). Assm, sgundo Frtas Pnto (99, p.-4 3) (vr apêndc B), para qu ( ( ) ; z( ) ; ω( ) ) fornça um mínmo para o Problma (4.4), dvm str multplcadors: ν o, ν [ ν ;...; ]', νn h funçõs vtoras ( ) [ λ λn] λ ;...; η ( ) tas qu: I:

37 Tlma Crstna Pmnta d Frtas 36 II: ( )( j,..., ) j n λ ( ) ν ν {, }; νo o (4.5a) η são funçõs contínuas para todo τ [, ] ' ( τ ) η( τ ), [ t, ] t η ( τ ) [ t, t ] λ j( to) νj;,..., n; ( t ) νn λ j( t ) ;,..., n; η ( ) ν ; λ L t t com τ (4.5b) τ (4.5c) j (4.5d) η (4.5) j (4.5f) t (4.5g) III: λ L ω ( τ ) η( τ ), ' [, ] τ (4.5h) t t IV: A função H n j λj ( t) j( t) η( ) z ( ) é contínua para todo [, ] τ ; t t n j n j λj λj ( t ) j( t) η( t) z ( t) νn (4.5) ( t ) j( t) η( t) z ( t) νn 3 (4.5) A prssão (4.5a) dntfca a stênca d soluçõs normas ( ν ) ou anormas ( ν ) 4. As quaçõs (4.5b) (4.5c) são as quaçõs adjuntas, acompanhadas das quaçõs (4.5d) - (4.5g) qu rprsntam as condçõs d transvrsaldad para (t o ) (t ). A prssão (4.5h) rprsnta a otmaldad do control, nquanto as condçõs d quna d Wstrass-Erdmann (GELFAD FOMI, 963, p.6) stão mbutdas na contnudad d 4 O studo da normaldad das soluçõs consttu um dos ramos da tora d control ótmo. A prncpal caractrístca das chamadas soluçõs anormas é qu a nfluênca do funconal objtvo fca dscaractrzada, m consquênca do aumnto d ν (vd HESTEES, 966, p. 7-83).

38 Tlma Crstna Pmnta d Frtas 37 λ j( j,..., n), η( ) Ή. Por fm, as quaçõs (4.5) (4.5j) rprsntam as condçõs d transvrsaldad para t t, rspctvamnt. Tndo m vsta (4.5c), obtmos: η ( τ ) Κ const. [, ] τ (4.6) t t Por outro lado, d (4.5d) (4.5g) concluímos qu: η ( τ ) ν νn [, ] τ (4.7) t t Analsmos a possbldad d soluçõs anormas, ou sja, ν. st caso, tríamos o qu, lvado m (4.5g) forncra η ( τ ) νn λ ( τ ), τ [, ] t t Est rsultado, lvado às prssõs (4.5d), (4.5), (4.5) (4.5f), produzra ν,,..., n 3; volando a condção (4.5a). Isto sgnfca qu o Problma (4.4) não admt soluçõs rrgulars. Logo, dvmos tr Agora, a partr das dfnçõs d R( ) L ( ) ν (4.8), obtmos: L R ω L R R (4.9a) (4.9b) o qu, consdrando (4.7) prmt rscrvr (4.5b) (4.5h) como: d R λ ( τ ) R, dt [ t, ] τ t (4.a) λ ( τ ) R τ [, ] (4.b) t t Manpulando (4.a) (4.b) obtmos:

39 Tlma Crstna Pmnta d Frtas 38 d dt R R R [, ] τ (4.a) t t Por outro lado, a prssão (4.b) juntamnt com (4.5f) prmt scrvr: R ( t ) (4.b) As prssõs (4.a) (4.b) formam o sgunt problma d valor ncal: d dt R G[ R( τ );τ ] [ t, ] (4.a) R ( t ) (4.b) ond sndo ( ) ( τ ) G Rφ φ R ( τ ). Consdrando a contnudad d λ ( ), stablcda plas condçõs ncssáras, (4.b), podmos conclur qu R ( ) é contínua sobr todo o ntrvalo τ [, ]. t t Além dsso, como G ( ) é função contínua d ( τ ) R d τ R G é também uma função contínua, sgundo o Torma, o problma d valor ncal (4.) possu uma, somnt uma, solução. Como R ( τ ) [, ] τ (4.3) t t rsolv as quaçõs (4.), rsulta qu sta é a solução procurada.

40 Tlma Crstna Pmnta d Frtas 39 Por sua vz, a substtução d (4.3) m (4.c) (4.d) prmt conclur mdatamnt qu ( τ ) F[ ( τ ); τ ] [, ] τ (4.4) t t A valdad d (4.4) da condção ncal (4.b) complta a quvalênca dos Problmas (4.) (4.), conform dsjávamos dmonstrar. 4.5 Comntáros ) a dmonstração do Torma 3, a utlzação d condçõs ncssáras na forma ntgral para o problma (4.) prmtu a hpóts d sr a função ntgrando L ( ) d class C. Entrtanto, o usual na ltratura d cálculo varaconal é aprsntar as condçõs ncssáras na forma dfrncal (GELFA FOMI, 963), gndo-s qu as funçõs nvolvdas sjam d class C. A adoção da forma dfrncal, portanto, tornara nvávl a prova do Torma 3 va cálculo varaconal. ) Um aspcto postvo mportant rlaconado com o funconal (4.a), m rlação a um funconal obtdo va solução do problma nvrso do cálculo d varaçõs, stá na garanta d qu a trmant, no caso únca, fornc um mínmo absoluto para (4.). A garanta d mínmo ocorr sm a ncssdad d vrfcação da varação sgunda. Isto raramnt acontc na formulação varaconal obtda va problma nvrso do cálculo d varaçõs, torna-s anda mas rlvant s consdrarmos a dfculdad d análs d condçõs d sufcênca, no caso do problma nvrso (GELFAD FOMI, 963). Est aspcto srá consdrado m dtalhs no mplo aprsntado no Capítulo 8.

41 Tlma Crstna Pmnta d Frtas 4 ) ot qu para ftos d dmonstração, stamos admtndo o pré-conhcmnto d ( ) na dfnção d (4.6). Isto, ntrtanto, não rprsnta uma fação a pror da solução. D fato, m (4.8b), a dfnção d h ( ) s aplca à ˆ ( ) prssupostamnt dfrnt d ( )., uma solução arbtrára v) ot qu a utlzação da contnudad do rsíduo R ( ) nas dmonstraçõs do Torma 3 tanto va cálculo varaconal como va control ótmo não fo uma mposção, mas sm uma consquênca das condçõs ncssáras. CAPÍTULO 5 FORMULAÇÃO VARIACIOAL PARA PROBLEMAS DE VALOR IICIAL COM DESCOTIUIDADES O TEMPO 5. Introdução st capítulo, os rsultados do capítulo antror são gnralzados para suportar dscontnudads d prmra spéc no tmpo. Para sto, propõ-s a substtução d problmas d valor ncal por problmas varaconas nos msmos molds antrors, mas consdrando qu as funçõs nvolvdas sjam apnas contínuas por parts. A quvalênca ntr os dos problmas é dmonstrada rcorrndo-s à tora d control ótmo. A dmonstração s apóa na tnsão do torma d stênca uncdad quaçõs dfrncas ordnáras, aprsntada no Capítulo 3 (Torma ), m condçõs ncssáras para problmas d control ótmo com dnâmca fraconada.

42 Tlma Crstna Pmnta d Frtas 4 Esta tnsão s mostrará spcalmnt rlvant no prómo capítulo, com aplcação da técnca à solução numérca d problmas d control ótmo m gral, pos prmtrá a ncorporação d dscontnudads no control. 5. Formulação varaconal para problmas d valor ncal com dscontnudads no tmpo Consdr o sgunt problma d valor ncal: ( τ ) F[ ( τ );τ ], τ [ t, t ] (5.a) t (5.b) ( ) ond sndo F ( ) ( ) ( ) [ ( ) ( ) ] n ;...; ( ) [ F ( ) ( ) ] Fn F ;...; F sofrr um númro fnto d dscontnudads d prmra spéc no tmpo. funçõs contínuas m ( ) contínuas por parts m τ, ou sja, podndo Rlaconado com o Problma (5.), podmos crar o sgunt problma varaconal: t Mn [ ] I R Rdτ (5.a) t t dado, (5.b) com ( ) ond [ ( τ ) F[ ( τ ); ] R τ sndo ( ) ( ) F conform (5.). 5.3 Equvalênca ntr o problma d valor ncal o problma varaconal

43 Tlma Crstna Pmnta d Frtas 4 Problma (5.) (5.). Através do Torma 4 adant, srá dmonstrada a concdênca das soluçõs dos A prova do torma sgurá o racocíno do tm 4.4, com argumntos da tora d control ótmo. Apnas, m vrtud das dscontnudads nvolvdas, srá ncssára a utlzação d rsultados tórcos mas forts, dsnvolvdos para problmas dtos com dnâmca fraconada, qu são compostos por uma squênca d sub-problmas. Para cada subproblma, corrspondndo a um sub-ntrvalo d tmpo, tmos um vtor d stado um vtor d control própros, stando os sub-problmas rlaconados apnas através das rstrçõs d contorno. Condçõs ncssáras para problmas dssa naturza foram dsnvolvdas m Frtas Pnto (99), stão aprsntadas no Apêndc B. TEOREMA 4: S [ ( τ );τ ] contínuas m ( ) contínuas por parts (contínuas à drta) m τ para τ [, ] F suas drvadas parcas prmras são funçõs trmant d (5.) é únca concd com a solução do problma (5.). t t, ntão, a PROVA. O prmro passo para a prova do torma consst m rscrvr o problma (5.) na forma do sgunt problma d control ótmo: t Mn R Rdτ (5.3a) t sujto a ( t) ; (5.3b) ( τ ) ω( τ ) (5.3c) ond [ ω ( τ ) [ ( τ ); τ ] ( ) [ ( ) ( ) ] n ( ) [ F ( ) ( ) ] Fn ( ) [ ω ( ) ( ) ] ωn R F (5.3d) ;...; F ;...; ω ;...;

44 Tlma Crstna Pmnta d Frtas 43 A prssão (5.3a) rprsnta o funconal objtvo, aqu na forma d Lagrang, o qual dv sr mnmzado sujto às rstrçõs d contorno (5.3b) às rstrçõs dfrncas (5.3c). Vsando utlzarmos os rsultados tórcos contdos m Frtas Pnto (99), dvmos rscrvr o Problma (5.3) na forma d Mayr, com dnâmca fraconada. Para st fm, para cada ntrvalo [ t, t], dfnmos um vtor d stado um vtor d control na forma ( ) ( τ ), τ [ t -,t], τ,..., m ; (5.4a) ( τ ) ω( τ ), τ [ t -, t),,..., m ; ω (5.4b) ω (5.4c) m ( t) ω ( t),,..., m; ω ( tm ) ω( tm ) Além dsso, rlaconado ao funconal objtvo, dfnmos as m varávs d stado adconas: ond R τ [ t, t],,..., ; z ( t ) ; ( t) z ( t),..., m; z L, m (5.4d) z [ R ] [ R ],,..., m; (5.4) (5.4f) L (5.4g) ( τ ) F ( τ ) [ τ ], τ [ t, t], ω ;,..., m ; (5.4h) F φ τ, [ ( τ ) τ ] F ( τ ) ϕ ( τ ), τ sndo qu as funçõs φ ( ) ( ) τ < t [ ] τ, τ [ t,t ) ; -,..., m ; (5.4) ; d Frtas Pnto (99). As funçõs φ ( ) ( ) t ϕ rprsntam prolongamntos das funçõs F ( ), no spírto ϕ para cumprrm adquadamnt o papl d

45 Tlma Crstna Pmnta d Frtas 44 prolongamntos, são funçõs d d τ construídas d modo a satsfazr, para,..., m ; as sgunts proprdads: ) φ [ ( t ) t ] F[ ( t ); t ], ϕ ; [ ( t ); t ] F ( t ); [ t ]; φ F ) [ ( t ) t ] ( t ); τ ϕ τ [ t ]; τ ; F [ ( t ) t ] ( t ); ; [ t ]; τ [ t ]; ϕ F ) [ ( t ) t ] ( t ); ϕ v) ( ) ; F [ ( t ) t ] ( t ); ; [ t ]; φ é d class C sobr um pquno ntrvalo fnto à squrda d t t τ > ; ( ), δ ϕ é d class C sobr um pquno ntrvalo fnto à drta d t, τ t δ ; Com stas dfnçõs tmos: t t podmos rscrvr o problma (5.3) como: ( t ) m z m [ R ] [ R ] z ( t),,..., m ; Mn h (5.5a) sujto a ( ) j j t, j,...,n; z ( t ) ; j ( t ) j ( t ),..., m; j,...,n; ( )( ) j; z ( t ) z ( t ),..., m; ( ) ; h j (5.5b) h h n (5.5c) k k η η (5.5d) h k k η η (5.5) hk t t,..., m ;

46 Tlma Crstna Pmnta d Frtas 45 k ( ) ( m ) ; ( τ ) f ( τ ) ω ( τ ); τ j η (5.5f) j [ ; ] ω ( τ ), τ [ τ, τ], j j,..., n ;,..., m ; (5.5g) z ( τ ) g [ ( τ ); ω ( τ ); τ ] [ R ] [ R ], τ [ τ, τ],,..., m ; (5.5h) ond n h ( n )( m ) m (5.5b) a (5.5f). dnota o númro total d rstrçõs d contorno, prssadas d Condçõs ncssáras para a solução d (5.5) são aprsntadas m Frtas Pnto (99) sob as sgunts hpótss: ) Os nstants (,,..., m ) t satsfazm as dsgualdads t < t,..., m ; ) j ( )( j,..., n;,..., m ) z ( )(,..., m ; ) dvm sr funçõs contínuas para todo τ [ t, τ],...,m ; ) w ( )( j,..., n ;,..., m ) j τ dvm sr funçõs contínuas por parts para todo [ t, τ],...,m ; hj f ( )( j,..., n ;,..., m ), g ( )(,...,m ) v) As funçõs ( j,,..., nh), j suas drvadas parcas prmra stão dfndas são todas contínuas m rlação a todos os sus argumntos, nos domínos consdrados. ot qu todas stas hpótss são váldas no caso m qustão. Assm, sgundo Frtas Pnto (99), para qu ( )(,..., m ); z ( )(,..., m ); u ( )(,..., m ); fornçam um mínmo para o Problma (5.5), dvm str multplcadors: ν, ν [ ν;...; νn ], h

47 Tlma Crstna Pmnta d Frtas 46 para,..., m, I: funçõs ( ) [ ] λ λ,..., λn η ( ), tas qu s vrfqum: ν ν, ν {,}; (5.6a) II: λ ( )( j,..., n ;,..., m ) ( )(,..., m ) j η são funçõs contnuas para todo [, ],,...,. τ τ τ m com L λ ( τ ) η ( τ ), τ [ τ, τ ],,..., m ; (5.6b) η τ, τ τ, τ (5.6c) ( ) [ ] j ( τ ) ν j, j,..., n; λ ( t ) ν k, j,..., n;,..., m; j k n ( n )( ) j; λ ( t ) ν k, j,..., n;,..., m; j k n ( n )( ) j; m j ( t m ), j,..., n; ( t ) ν n ; ( t ) ν k,,..., m; k n ( n ) ; ( t ) ν k,,..., m; k n ( n ) ; m η ( ) ν ; λ (5.6d) (5.6) (5.6f) λ (5.6g) η (5.6h) η (5.6) η (5.6j) t (5.6k) m III: L λ ( τ ) η ( τ ), τ [ τ, τ ],,..., m ; (5.6l) ω IV: As funçõs Η n j São contínuas para todo τ [ τ, τ ]; n j λ λ j j ( τ ) ( τ ) η z ( τ ),..., m j ( t ) j ( t ) η ( t ) z ( t ) ν ( n )( m ) (5.6m)

48 Tlma Crstna Pmnta d Frtas 47 [ λ ( t )] ( t ) λ ( t ) t η t z ( t ) z ( t ) ν,,...,m; [ ] ( ) ( ) ( t ) η (5.6n) nhm nh m j m j m m m j m m m ( t ) ( t ) η ( t ) z ( t ) ν h λ (5.6o) n Das quaçõs (5.6), (5.6f), (5.6) (5.6j), obtmos ( t ) λ ( t ),,...,m; ( t ) η ( t ),,...,m. λ (5.7a) η (5.7b) Por outro lado, das quaçõs (5.6c) concluímos qu η ( τ ) K const., τ [ τ, τ ],,...,m ; o qu, por sua vz, consdrando (5.7b) nos prmt conclur qu ( τ ) K const.,,...,m. Além dsso, a consdração d (5.6h) (5.6k) prmt conclur qu ou sja, - ν n ν η para K (5.8) ( τ ) ν ν τ [ τ τ ],,...,m. η n, -, (5.9) Para o caso d uma solução rrgular, ou sja, com ν, tríamos η o qu lvado m (5.6l), forncra λ j ( τ ) o, τ [ τ, τ ],,...,m ; - ( τ ) o τ [ τ, τ ],,...,m ; j,...,n., - As rlaçõs antrors, lvadas nas prssõs (5.6d) - (5.6k) (5.6m) - (5.6o), mplcara m ν j, j,...,nh; o qu lvara à volação da condção (5.6a), dmonstrando a mpossbldad d s tr ν. Portanto o não admt solução rrgular dvmos tr ν. (5.) Agora consdrando ν m (5.9), qu

49 Tlma Crstna Pmnta d Frtas 48 L w L R R, R, (5.a) (5.b) podmos rscrvr (5.6b) (5.6l) na forma d R ' λ ( τ ) R, τ [ τ -, τ ],,...,m ; (5.a) dt ' λ τ R τ τ τ,,...,m (5.b) ( ) [ ]., - Por sua vz, a substtução d (5.b) m (5.a) lva a d R λ ( τ ) λ, τ [ τ -, τ ], dt,...,m. (5.3) Sjam as funçõs λ ( ) G ( ) dfndas como: ( τ ) λ ( τ ), τ [ τ, τ ],,...,m ; λ - (5.4a) R G( τ ), τ [ τ -, τ ],,...,m (5.4b) R G( t ) t,,...,m. (5.4c) R G ( tm ) tm. (5.4d) Consdrando as rlaçõs (5.7) vmos qu λ ( ) é uma função vtoral contínua qu rsolv o sgunt problma d valor ncal: d λ ( τ ) G( τ ) λ( τ ), τ [ τ, τ f ]; (5.5a) dt λ ( ), (5.5b) t f ond (5.5b) fo rcuprada a partr d (5.6g).