Econometria: Regressão por Variáveis Instrumentais (VI)

Transcrição

1 Economtra: Rgrssão por Varávs Instrmntas VI Slds do crso d conomtra d Marco Cavalcant da Pontfíca Unvrsdad Católca do Ro d Janro PUC-Ro

2 Smáro Motvação para o so d VI Prncpas casas do vés do stmador d MQO Erros d mnsração Smltandad Estmação por VI Mínmos Qadrados m Estágos

3 Motvação para o so d VI Vmos antrormnt q: Sob a hpóts cov,, MQO é consstnt Sob a hpóts E, MQO é não-vsado I II S ssas hpótss form voladas, MQO srá vsado nconsstnt, sndo ncssáro bscar m novo método d stmação O método d rgrssão por varávs nstrmntas VI é ma solção possívl q fornc stmadors consstnts dos parâmtros d ntrss 3

4 Prncpas casas do vés do stmador d MQO As razõs mas comns para a stênca d corrlação ntr o dstúrbo algma varávl plcatva são: Omssão d varávs rlvants Erros d mnsração 3 Smltandad O caso já fo dsctdo antrormnt A sgr, vrmos brvmnt os casos 3 4

5 Erros d mnsração Consdr o modlo d rgrssão smpls: * ond cov*, E*. Nss modlo, a stmação por MQO dvra grar stmadors consstnts dos parâmtros. Spõ-s, porém, q a varávl * sja obsrvada com rro Isto é, o q obsrvamos na prátca é * ond E cov*, E* cov, E 5

6 Erros d mnsração Emplo: Para plcar o CR d m alno da PUC, podmos star ntrssados m sar como varávs plcatvas dntr otras: rnda famlar, númro d horas ddcadas ao stdo, tmpo ncssáro para o trajto casa-puc tc. Todas ssas varávs stão sjtas a rros d mnsração, pos os alnos podm rrar dlbradamnt o não ao rspondr à psqsa S os rros form pramnt alatóros, sto é, não stvrm corrlaconados com otras varávs rlvants, as hpótss do modlo acma srão satsftas. 6

7 Erros d mnsração Rscrvndo o modlo m fnção da varávl obsrvada : Agora, a stmação por MQO não gra ε * Agora, a stmação por MQO não gra stmadors consstnts dos parâmtros, pos: 7 ] [ ] [, cov * * * * * E E E E E E E σ ε ε

8 Erros d mnsração Lmbr q n n n ˆ ε 8 E not q n ε * * var var var σ σ

9 Erros d mnsração Aplcando a L dos Grand Númros: plm ˆ σ cov, var * σ σ ε σ σ * σ Prgnta : o stmador d MQO é smpr nconsstnt na rgrssão acma? Prgnta : o vés assntótco do stmador d MQO é para cma, para bao, o dpnd? Prgnta 3: o q acontcrá s o rro d mnsração for na varávl dpndnt? 9

10 Smltandad Consdr a qação: γ' v ond é a ncdênca da AIDS por país m%, é a porcntagm d jovns q sam camsnha nas rlaçõs sas d alto rsco, v é m vtor q ncl otras varávs rlvants para plcar, tal q covv,. Não sra razoávl sprar q o modlo strtral q rlacona as varávs acma contvss ma sgnda qação, δ' w α α, o sja, q também dpndss d?

11 Smltandad Sponha q stjamos ntrssados m stmar a prmra qação q é a mas ntrssant do ponto d vsta da formlação d polítcas sóco-conômcas Srá q a stmação por MQO é ma boa altrnatva? A rsposta é, m gral, não! D fato, mostrarmos a sgr q, na prmra qação, m gral a condção cov, é volada, portanto, o stmador d MQO é nconsstnt.

12 Smltandad O fato d q dvm sr corrlaconados na qação pod sr vrfcado faclmnt. Not q: qando vara, vara na msma drção, pla qação ; qando vara, também vara, pla qação ; 3 logo, há corrlação ntr : qando vara, também vara!

13 Smltandad No nosso mplo: dgamos q crto país tnha m alto m dcorrênca d algm fator pramnt alatóro por mplo, maor promscdad, o q mplca maor ncdênca d AIDS, ctrs parbs. Mas sso sgnfca, por sa vz, q mas jovns sarão camsnha para s protgr pos a maor ncdênca d AIDS torna o so sm protção mas arrscado. Logo, há corrlação ntr os fators m a porcntagm d jovns q sam camsnha. 3

14 Smltandad Em trmos mas formas, tmos m sstma d das qaçõs das ncógntas o modlo strtral : Rsolvndo o sstma para m fnção δ'w γ'v α α 4 das varávs ógnas v w dos dstúrbos, obtmos a forma rdzda : ] [ ] [ α α α α α α α δ'w γ'v γ'v δ'w

15 Smltandad Para q o stmador d MQO da prmra qação sja consstnt, é ncssáro q cov,. O sja, a covarânca ntr cada trmo q compõ na forma rdzda dv sr nla. Por hpóts, spõ-s: covw,covv,cov,. Isso anla a maor part dos trmos. Mas a forma rdzda do modlo mostra plctamnt q também dpnd d. Logo, é vdnt q, m gral, há corrlação ntr : cov, E α σ α 5

16 Smltandad Portanto, o stmador d MQO aplcado à qação é vsado nconsstnt! Ess tpo d vés do stmador d MQO é dnomnado vés d qaçõs smltânas o smplsmnt vés d smltandad. Em gral, não é possívl sabr a drção do vés. Em modlos smpls, porém, sso é possívl. 6

17 Smltandad Por mplo, sponha q o modlo sja: Novamnt tmos n δ'w α α 7 E portanto n ˆ var, cov ˆ plm α α σ

18 Smltandad Otros mplos: Crmnaldad X númro d polcas m dtrmnada rgão Horas trabalhadas X saláro médo m dtrmnado stor da ndústra ofrta dmanda Consmo d bbdas alcoólcas X prodtvdad do trabalhador Consmo d bbdas alcoólcas X dsmpnho do alno Abrtra comrcal X crscmnto conômco Dmocraca X crscmnto conômco Corrpção X crscmnto conômco 8

19 Varávs Instrmntas Consdr a qação: ond: E cov, * Indpndntmnt do motvo para a stênca d corrlação ntr, o método d varávs nstrmntas VI fornc m stmador consstnt dos parâmtros d ntrss. O método s basa na tlzação d ma varávl adconal z, não nclída m *, q satsfaça crtas condçõs. 9

20 Varávs Instrmntas Tas condçõs são: Covz, Covz, Qando ma varávl z satsfaz ambas as condçõs acma, dzmos q z é m nstrmnto váldo para. Val notar q a condção não é tstávl, pos rfr-s à covarânca ntr z m rro não obsrvávl Você prcsa d ma boa hstornha para jstfcar s nstrmnto! A condção, porém, pod sr tstada m ma rgrssão d m z [tst d sgnfcânca d qal cofcnt?]

21 Varávs Instrmntas Vjamos como tas condçõs prmtm stmar consstntmnt o parâmtro. Lmbr q o stmador d MQO poda sr ntrprtado como m stmador d momntos q sava os sgnts momntos poplaconas: E ; E Analogamnt, o stmador d VI é m stmador d momntos q sa E ; Ez ond vdntmnt samos a condção [covz,].

22 Varávs Instrmntas Logo, tmos os momntos poplaconas: E ss análogos amostras: [ ] E E z ˆ ˆ ˆ ˆ n VI VI n VI VI z n n

23 Varávs Instrmntas Rsolvndo: ˆ VI ˆ VI n z z ˆ VI n z z Compar ssas fórmlas com as fórmlas d MQO. O q mda? 3

24 Varávs Instrmntas Pla LGN: p ˆVI cov z, lm cov z, ond fca vdnt a rlvânca da condção [covz, ], na a. galdad, samos a condção [covz,]. Logo, vmos q m nstrmnto váldo prmt ftvamnt obtr m stmador consstnt do parâmtro 4

25 Varávs Instrmntas Inflzmnt, não é smpr fácl ncontrar nstrmntos váldos para nossos modlos Na vrdad, é mto dfícl! Uma das razõs dssa dfcldad rsd no fato d q as das condçõs rqrdas d m nstrmnto são mtas vzs confltants Emplo: stmação d qação d saláro m fnção da dcação Varávl omtda: habldad do ndvído vsa cofcnt da dcação Possívl nstrmnto: dcação da mã corrlaconada com a dcação do ndvído Mas: dcação da mã também dv sr corrlaconada com a habldad do ndvído prsnt no rro! 5

26 Varávs Instrmntas Val notar q a condção pod sr satsfta com ma corrlação ntr z dfrnt d zro, mas baa. Ess é o caso d m nstrmnto fraco Em consqênca dsso, a varânca assntótca do stmador VI amnta o sja, o stmador prd prcsão. D fato: var ˆ VI n var var [ corr, z] Por ssa razão, dvmos procrar m nstrmnto q tnha a mas alta corrlação possívl com 6

27 Mínmos Qadrados m Estágos O q acontc qando tmos dos nstrmntos váldos para a varávl ndógna? O sja, tmos o modlo ond: E cov, * covz, ; covz, covz, ; covz, Srá mlhor sar z o z como nstrmnto? 7

28 Mínmos Qadrados m Estágos A rsposta é: é mlhor sar os dos! Not q podmos scolhr a combnação lnar d z z q tnha a maor corrlação possívl com Além dsso, como z z tm corrlação zro com, qalqr combnação lnar dssas varávs também trá corrlação zro com Tmos, portanto, m nstrmnto váldo rlatvamnt fcnt Sob homocdastcdad, ss sra o mlhor nstrmnto possívl 8

29 Mínmos Qadrados m Estágos Como ncontramos a combnação lnar d z z com a maor corrlação possívl com? Smplsmnt rgrdndo contra z z : ˆ ˆ π ˆ πz ˆ π z D poss dssa nova varávl, podmos tlzá-la como nstrmnto para nos msmos molds vstos antrormnt 9

30 Mínmos Qadrados m Estágos ˆ Usar como nstrmnto para é qvalnt a stmar por MQO a rgrssão: ˆ ˆ ˆ Logo, qando tmos mas d m nstrmnto o stmador VI pod sr obtdo através d das rgrssõs por MQO: ˆ Estma Estma ˆ ˆ π ˆ πz ˆ π ˆ ˆ ˆ ˆ z Por ssa razão, ss stmador é dnomnado mínmos qadrados m stágos 3

31 Sstmas d Eqaçõs: Idntfcação A stmação d ma qação q faça part d m sstma d qaçõs smltânas pod sr fta plo método d MQE ˆ ˆ ˆ Logo, qando tmos mas d m nstrmnto o stmador VI pod sr obtdo ˆ através d das rgrssõs por MQO: Estma Estma ˆ ˆ π ˆ πz ˆ π ˆ ˆ ˆ Por ssa razão, ss stmador é dnomnado mínmos qadrados m stágos ˆ z 3