2 o CONGRESSO BRASILEIRO DE P&D EM PETRÓLEO & GÁS

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1 o CONGRESSO RSILEIRO DE P&D EM PETRÓLEO & GÁS UM NOVO ESQUEM DE DISCRETIZÇÃO PR O MÉTODO DE VOLUMES FINITOS PLICDO À PROPGÇÃO DE OND ESCLR Carlos lxandr Santóro, Paulo César Olvra Unvrsdad Fdral do Espírto Santo, Programa d Pós-Graduação m Engnhara Mcânca, v. Frnando Frrar, s/n Campus d Goabras Vtóra - ES - CEP , -mal: casantoro@trra.com.br Unvrsdad Fdral do Espírto Santo, Dpto d Engnhara Rural Cntro d Cêncas gráras - lgr - ES CP6, CEP 95-, -mal: pacol@npd.ufs.br Rsumo O objtvo dst trabalho fo aprsntar um novo squma d dscrtzação para o método d volum fnto, dnomnado FLE, aplcado ao problma d propagação d onda scalar. O novo squma é comparado ao tradconal squma d Dfrnça Cntral ao squma Flux-Spln por mo d dos problmas tst. Os rsultados mostraram qu para uma msma malha, o novo squma aprsntou rsultados mas próxmos das soluçõs tomadas como rfrênca, do qu os outros dos squmas. Palavras-Chav: volum fnto; propagação d onda scalar; smulação numérca NEW DISCRETIZTION SCHEME TO THE FINITE VOLUME METHOD PPLIED TO SCLR WVE PROPGTION bstract Th am of ths work was to prsnt a nw dscrtzaton schm, to th fnt volum mthod, appld to scalar wav propagaton problm. Th nw schm s compard to th tradtonal Cntral Dffrnc schm and Flux-Spln schm by mans of th two tst problms. Th rsults obtand showd that undr th sam grd, th nw schm provd a bttr approxmaton of th rfrnc solutons, than th othrs two schms. Kywords: fnt volum, scalar wav propagaton, numrcal smulaton

2 . Introdução Est trabalho fo dsnvolvdo com o objtvo d aprsntar a aplcação d um novo squma d dscrtzação para o método d volums fntos, dnomnado FLE. Com o objtvo d rduzr sforço computaconal, ss novo squma admt qu, o fluxo da varávl dpndnt, transportada ao longo d cada volum d control, var d forma xponncal. Em rlação ao squma FLU-SPLINE, dsnvolvdo por Varjão (979) usado por Nckl (985) Olvra (997) o novo squma dfr do msmo, por somnt uma constant no trmo font adconal, caractrístco do squma FLU-SPLINE. Os autors antrormnt ctados, mostraram m sus trabalhos, qu o squma FLU- SPLINE para uma dtrmnada malha, possu um dsmpnho mlhor qu o squma d dfrnça cntral, rdundando m um mnor sforço computaconal, para s alcançar um dtrmnado nívl d rro com rlação à uma solução d rfrênca m problmas nvolvndo dfusão convcção. O novo squma proposto srá aqu comparado com os squmas d DIFERENÇ CENTRL FLU- SPLINE por mo d problmas tst nvolvndo propagação d onda scalar m mo homogêno. dmt-s qu o ltor stja famlarzado com o método d volums fntos, sndo, portanto omtdos alguns passos não ssncas ao longo da drvação do squma.. Dsnvolvmnto Numérco do Esquma FLE.. Método d Volum Fnto s quaçõs d consrvação (massa, quantdad d movmnto, nrga, tc.) podm sr scrtas, para uma varávl scalar, como t r ( ρ) dv( ρv ) dv ( grad) S (.) ou anda, ( ρ) dv( ) S r t r ond, ρv r grad rprsnta o fluxo total (convctvo mas dfusvo) da varávl. formulação do método FLE srá construída a partr d stuaçõs undmnsonas m rgm prmannt postrormnt stndda a stuaçõs bdmnsonas transnts ou não.... Dscrtzação para Dfusão Pura... Dfusão Undmnsonal m Rgm Prmannt quação d govrno nst caso é: d S d (.) ond, S é o chamado trmo font é o fluxo dfusvo dado por: d d (.3) forma dscrta da quação d govrno é obtda pla ntgração da quação (.) sobr um volum d control adotando-s a hpóts d qu os fluxos são constants m cada fac do volum d control. Obsrvando a fgura., a quação d dscrtzação para o volum d control ao rdor do ponto pod sr scrta como, S (.4) S admtrmos qu o fluxo ao longo d um volum d control pod sr rprsntado por: (.5) ond, é a varávl ndpndnt local varando d, trmos.

3 Uma xprssão para pod sr obtda pla combnação das quaçõs (.3) (.5): d d (.6) Sua solução para constant no volum d control é: ( ) C (.7) Fgura. Volums d control mostrando as posçõs dos fluxos. dotando qu o ponto da malha ncontra-s no cntro do volum d control, para a quação (.7) torna-s: ( ) (.8) dotando o msmo procdmnto para o volum d control ( ), obtém-s com um rfrncal no sntdo contráro d, conform pod sr vsto na fgura.: ( ) (.9) ond, é a varávl ndpndnt local varando d, sndo,. s quaçõs (.8) (.9) rprsntam a varação d dntro d um volum d control. Essas quaçõs na ntrfac ntr os volums d control tornam-s: ( ) (.), ( ) (.) plcando-s a condção d contnudad d, ou sja, ( ) ( ) obtém-s:

4 ond, sndo, ( ) ( ) ( ) E assm a xprssão para os fluxos pod sr colocada na forma: hat D hat ( ) ( ) C ( ) (.) (.3) (.4) D (.5a) C D D (.5b) (.5c) quação d dscrtzação para é obtda pla substtução dos fluxos na quação (.4) pla xprssão tal como a quação (.3). Portanto, [ hat D ( )] [ hat D ( )] S (.6) O trmo font S é lnarzado como sgu. S Sc Sp ond, Sc é a part constant Sp a part função da varávl. quaçõs (.6) (.7) são usadas na quação (.4) para grar a quação d dscrtzação para : P IP IM CON (.7) (.8) ond, IP D IM D P IP IM CON Sp ( hat hat ) Sc (.9a) (.9b) (.9c) (.9d) xtnsão do squma a problmas b trdmnsonas não ofrc nnhuma dfculdad pod sr vsta m dtalhs m Patankar (98). 3. plcação do Esquma FLE a problmas d propagação d ondas Problma Tst O problma aqu smulado é o da propagação d uma onda scalar undmnsonal m uma barra d sção rta proprdads constants, mostrada na fgura 3., ngastada m uma xtrmdad submtda na outra, a um carrgamnto constant, no caso a dformação q.

5 q Fgura 3. Caractrístcas da barra undmnsonal. Utlzou-s o squma d Dfrnças Fntas para a dscrtzação do trmo transnt da quação d govrno, na sua forma mas smpls ncondconalmnt stávl. O squma pod sr faclmnt adaptado para uma dscrtzação totalmnt xplícta. O squma d dscrtzação aqu mprgado, é totalmnt mplícto, obtndo-s dsta forma, um sstma d quaçõs cujas matrz d cofcnts é dagonalmnt domnant trdagonal. Utlza-s para a solução dst sstma, lmnação gaussana d forma tratva, por causa da prsnça dos fluxos no trmo font. O objtvo é avalar o dslocamnto no cntro da barra (ponto ) ao longo do tmpo admnsonal. quação dfrncal parcal admnsonal, qu govrna a propagação da onda na barra, no caso d proprdads do mo assumdas como constants, é: θ θ L θ s condçõs ncas d contorno são: ( ) (, τ ) θ, τ, θ(, τ > ) θ(, τ > ) Os rsultados para o dslocamnto da sção cntral da barra ao longo do tmpo admnsonal, são plotados para os três squmas nas fguras 3.(a) 3.(b) para malhas com 9 ( /9) 7 ( /7) volums d control, rspctvamnt 4 passos no tmpo (t /4) m comparação com uma solução d rfrênca obtda por dfrnça cntral com 43 volums d control Malha : 9 VC. Malha : 7 VC Dslocamnto (admnsonal) Rf rê nca VC Df. Cntr al F lux-sp ln Esquma Novo Dslocamnto (admnsonal) Rfrênca - 43 VC Df. Cnt ral F lux- Sp ln Esq um a Novo Tmpo (admnsonal) (a) Tmpo (admnsonal) (b) Fgura 3. Dslocamnto da onda (ponto ), com t /4, (a) /9 (b) /7. Nota-s qu, o novo squma, ao s aumntar o númro d volums d control, aproxma-s da solução d rfrênca, mas rapdamnt, qu os outros dos squmas aqu utlzados, não aprsntando o undrshoot grado plo squma FLU-SPLINE. Problma Tst O problma a sr smulado é a propagação d uma onda sísmca numa placa plana. quação dfrncal d govrno pod sr scrta como: S Y Y Para grar uma onda sísmca, faz-s ncssáro, a ntrodução d um trmo font. Nst caso srá usada a xprssão abaxo, obtda d ordng &Lns (997). S ( ) [ ( ) ] π π f c t d ππ f t c d

6 ond, t é o tmpo; t d é o tmpo dfasado, computando uma crta translação tmporal para o cálculo do trmo font, d acordo com: t π d t ; f c f c é um parâmtro rlaconado com a frqüênca d cort da font sísmca, ond: s condçõs ncas d contorno são: (, Y, τ ) nos contornos da placa mpõ- s (, Y, τ). (, Y, τ ) f 3 f π. cort c Os rsultados dos três squmas, para o dslocamnto da onda na lnha cntral (Y,5) da placa, ao longo do tmpo admnsonal, são plotados na fgura 3.3 (a) 3.3 (b) para malhas com 7 ( /7) 8 ( /8) volums d control rspctvamnt 8 passos no tmpo (t /8) m comparação com uma solução d rfrênca obtda por dfrnça cntral com 43 x 43 volums d control. 5 5 Dslocamnto (admnsonal) MLH: 7 x 7 VC Rf rênca: 43 x 43 VC DIF. CENTRL Dslocamnto (admnsonal) MLH: 8 x 8 VC Rf rênca: 43 x 43 VC DIF. CENTRL -5 F LU-SPLINE F LE -5 F LU-SPLINE F LE (admnsonal) (a) (admnsonal) (b) Fgura 3.3 Dsloc. da onda ao longo da lnha cntral (Y,5), para (a) 7 x 7 (b) 8 x 8 volums d control. Novamnt o squma FLE mostra-s mas fcnt, pos sob a msma malha, aproxma-s d forma mas rápda da solução d rfrênca qu os outros dos squmas. 4. Conclusõs Nst trabalho, o squma FLE fo mprgado m problmas un bdmnsonas, rgdos por quaçõs dfrncas parcas hprbólcas (propagação d onda scalar). O squma fo tstado por mo d problmas tst, m comparação aos squmas d DIFERENÇ CENTRL FLU-SPLINE, para avalar sua capacdad m rsolvr sta class d problmas d ngnhara. Os rsultados aqu obtdos plo squma FLE, quando comparados aos squmas ctados, afrmam sua habldad m ldar com as dfculdads contdas m problmas hprbólcos, podndo-s conclur qu, o squma FLE pod sr mprgado m problmas hprbólcos, mprgando-s malhas mnos rfnadas, para obtr-s um dtrmnado nívl d rro, moblzando portanto, um mnor sforço computaconal. 5. Rfrêncas ORDING, R. P., LINES, L. R. Ssmc Modlng and Imagng wth th Complt Wav Equaton. Socty of Exploraton Gophyscsts NIECKELE,. O. Dvlopmnt and Evaluaton of Numrcal Schms for th Soluton of Convcton-Dffuson Problms Ts d Doutorado, Unvrsty of Mnnsota, US. OLIVEIR, P. C. Esquma Flux-Spln plcado m Cavdads brtas com Convcção Natural Dssrtação d Doutorado, Unvrsdad Estadual d Campnas, Uncamp, SP. PTNKR, S.V. Numrcal Hat Transfr and Flud Flow. McGraw-Hll, Hmsphr Publcaton, 98. VREÃO, L. M. C. Flux-Spln Mthod for Hat, Mass and Momntum Transfr Ts d Doutorado, Unvrsty of Mnnsota/US.