Introdução ao Método dos Elementos Finitos RESUMO
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- Marcos Salazar Correia
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1 ERMAC 00: I ECOTRO REGIOAL DE MATEMÁTICA APLICADA E COMPUTACIOAL - d ovmbro d 00, São João dl-r, MG; pg Introdção ao Método dos Elmntos Fntos J. A. J. Avla Dpartamnto d Matmátca Estatístca - DEMAT, UFSJ , São João Dl - R, MG avla_jaj@fsj.d.br RESUMO st mncrso aprndrmos a mportânca do Método dos Elmntos Fntos m rlação aos otros métodos nmércos sa aplcabldad m problmas da cênca da ngnhara. Em partclar, rsolvrmos nmrcamnt, plo Método dos Elmntos Fntos Galrkn, a Eqação d Condção do Calor D nma placa qadrada. Srão mostrados rsltados nmércos da dstrbção d tmpratra drant o rgm transnt até o rgm staconáro. Palavras-chav: Método d Galrkn, Método dos Elmntos Fntos, Eqação d Condção do Calor.
2 66. ITRODUÇÃO O stdo d mtos fnômnos físcos q acontcm na ngnhara, bologa, ocanografa, astronoma, cosmologa, tc., sam domínos q são gomtrcamnt mto complcados dfícs d dsnhar, o qal dfclta sa rsolção. O Método d Dfrnças Fntas, nm prmro momnto, tratara d rsolvr-las com o so d transformaçõs conforms o otras transformaçõs, porém, sto não é fácl, pos, nvolv sstmas d qaçõs dfrncas parcas líptcas. É assm q ma nova técnca potntíssma chamada Método dos Elmntos Fntos nos ajda a rsolvr sts tpos d problmas. O objtvo dst mncrso é conhcr sabr aplcar o Método dos Elmntos Fntos Galrkn na solção nmérca d Eqaçõs Dfrncas Parcas. Para comprndr st método rsolvrmos nmrcamnt, por xmplo, a qação d condção do calor D nma placa qadrada ntára com condção ncal d contorno. Comçarmos com a formlação clássca da qação d condção do calor, logo passarmos à formlação ntgral, aproxmarmos sta últma formlação plo Método d Galrkn dscrtzarmos o domíno plo Método d Elmntos Fntos. Rsltados nmércos srão aprsntados.
3 67. EQUAÇÃO DE CODUÇÃO DO CALOR EM D Sab-s q a transfrênca d calor é o transport d nrga nm corpo matral dvdo às dfrnças d tmpratra, o sja, smpr q xstr ma dfrnça d tmpratra m m mo o ntr mos ocorrrá transfrênca d calor. Est fnômno acontc m três mcansmos dfrnts: Condção Convcção Radação st trabalho stdarmos a transfrênca do calor por condção, q é a troca d nrga ntr as parts d m mo contno q, stando m dfrnts tmpratras, transfrm nrga térmca pla transfrênca d nrga cnétca ntr as partíclas ndvdas o grpo d partíclas, no nívl atômco.. Proprdads Físcas Uma proprdad físca do matral (o mo ond ocorr a condção) s chama condtvdad térmca, k, q dpnd da natrza do matral. st trabalho assmrmos q o matral é sotrópco. A dfsvdad térmca do mtal é dfnda por: k () c ond k é a condtvdad térmca, a dnsdad c o calor spcífco. As ndads d mddas para k, c são W/ m o o k C, kg/m, c J/ kg C () Sgndo a Eq.() Eq. () a ndad d mdda da dfsvdad térmca é, o W/ m C k Wm J/sm m c o J/ kg Ckg/m J J s () Em forma gral sabmos q k dpnd da tmpratra. st trabalho o é consdrado constant. Em HOLMA (986) podmos ncontrar valors das proprdads d algns mtas, vja Tabla.
4 68 Mtal k W/ m o C Tabla. Proprdads d algns mtas a 0 o C cj/ kg o C kg/m Prata Oro Cobr 86,0 8,954 8, Almíno Aço m /s, ,7 0 4, ,48 0 5, 0 5. Formlação Dfrncal O domíno, R, para a Eqação d Condção do Calor é dfndo como, x, y R : 0 x, 0 y (4) ond pod sr, por xmplo, ma placa qadrada d m crto mtal. st trabalho srá ma placa d cobr d [m ]. O contorno d é dfndo por, 4 (5) Dnot-s a dstrbção transnt d tmpratra pla fnção scalar x, y, t A formlação matmátca do problma d Condção do Calor D sm font é., x, y, t 0, T t x, y,0 0, x, y 00 o o C, 500 C, t 0, T 4 (6) Sgndo a forma dada da Eq. (6) é chamada d Problma d Valor Incal d Contorno PVIC. A tmpratra nos cantos sprors da placa dv satsfazr: 0,,,, 00 o, 0, t t C t T (7) a Fgra tmos o domíno com sas rspctvas condçõs d contorno.
5 69 Fgra.. O domíno sas condçõs d contorno.. Formlação Intgral a prmra qação d Eq. (6) mltplqmos por xy, Pla Eq. (), da da x y t ntgrmos m,,, (8) k da da x y t c,, (9) c da k da x y t,, (0) c da k ds k da, x, y t n () o qvalntmnt, c da k da k ds, x, y t n () ond n é o vtor normal à crva. Eq. () é a Formlação Intgral da Eqação d Condção do Calor D.
6 70. MÉTODO DOS ELEMETOS FIITOS GALERKI ão é ntnção d st mncrso abarcar todos os casos q pod sr stdado plo Método dos Elmntos Fntos sm lmntos smpls com ordm d aproxmação lnar. Estdarmos os lmntos tranglars d Lagrang, o sja, com nós nos vértcs do trânglo. o MEF xstm dos tpos d stdos o global o local.. Estdo Global É qando s trabalha com todo o domíno do problma com todos os nós q xstm nl. Dfnamos a solção aproxmada global d por ond n n,,, x y t t x y () n é o númro d nós da dscrtzação d as fnçõs bass globas. Como Eq. Erro! Font d rfrênca não ncontrada. é valda para qalqr ntão é valda para ma famíla fnta, j, n, sto é, j c j da k j da k j ds t n () dss modo a Eq. () é, na vrdad, m sstma d A drvada tmporal d sra, sas drvadas parcas, n - qaçõs. x, y, t tx, y () t t, t (4) x, y, t x, y x, y, t x, y x x y y Sbsttndo Eq. () m Eq. (), c t da k t da k t ds j n n n n j j j,, n (5) o qvalntmnt, t c da t k da t k ds, j, n n n n j j j n
7 7 n n n n c da t k da t k ds t, j, j j j n Assm, tmos n n n c da t k da k ds t 0,, j j j j j n j j (6) Sjam as matrzs globas, nn M m c da (7) j j j j j j + (8) K k k da k da n n x x y y n K k j k ds j nn (9) ond M é a matrz massa K K K a matrz rgdz. Logo, j j j j j 0 m k k (0) o qvalntmnt, MK f 0 0 () ond f f x y, 0 é o trmo font. Podmos obsrvar q Eq. () rprsnta m sstma lnar d EDO.. Estdo Local Chamado, também, stdo Elmntar é qando s trabalha com m lmnto arbtráro do domíno com todos os nós q xstm nl. a Fgra tmos m lmnto arbtráro d cjos nós são,,,,,, n x y n x y n x y ()
8 7 Fgra. Elmnto arbtráro com ss rspctvos nós. Dfna-s a solção aproxmada lmntar d por x y t t w x y,,, ond as bass locas lnars para cada lmnto são: () w x, y x y xy y y x x x y A w x, y x y x y y y x x x y A w x, y x y xy y y x x x y A (4) ond A é a ára d cada lmnto. Para cada lmnto arbtráro,, dfnamos a x x b y y d x y x y a x x b y y d x y x y a x x b y y d x y x y (5) O Jacobano d m lmnto arbtráro,, é dfndo por J ab ab (6) J A. Sbsttndo qaçõs (5) (6) m Eq. (4) tmos q as bass locas fcam w x, y d b x a y,,, (7) J Com a únca fnaldad d smplfcar os cálclos d ntgras sobr, transformarmos o trânglo nm tranglo ê cntrado na orgm, tal como mostra a Fgra.
9 7 Fgra. Transformação do tranglo no tranglo ê. Consdrando sta transformação, tmos w, w w,, (8) Fazndo algns cálclos ncontramos as coordnadas d ára (o coordnadas natras),,, dadas por d b x a y,,, (9) J D aq tmos q as bass locas concdm com as coordnadas d ára, w,, w w,,,, (0) Dss modo, o cálclo da ntgral d ma fnção f f x, y, sra,,,, sobr m lmnto qalqr, f x y dxdy J f dd J ˆ f ˆ dd () As drvadas das coordnadas d ára sram b a x J y J b a x J y J b a x J y J ()
10 74 f para calclar a ntgral d x, y x sobr, tmos f f f f x x x x dxdy J + d ˆ d f f f b + b b d d ˆ () D forma análoga para a sgnt ntgral f f f f dxdy a + a a d d y (4) ˆ A fórmla para calclar a ntgral sobr m lmnto ê é dada por Sja p q r d d, p, q, r (5) ˆ 0 pqr!!! p q r! m sgmnto do contorno d. Dfnmos o comprmnto d por L, L a b, L a b, L a b (6) A fórmla para calclar a ntgral d lnha sobr o sgmnto é dada por pq!! w w ds L ds L, p, q pq! (7) p q p q ˆ 0 Procdndo d forma análoga, como no caso global, chgamos ao sgnt sstma lnar d EDO M K f 0 0 (8) ond f 0 é o trmo font.. Cálclo das Matrzs Vtors Elmntars Agora calclarmos as matrzs lmntars: a matrz massa a matrz d rgdz os vtors lmntars: vtor carga.... Matrz Massa M m j c w w da j (9)
11 75 c w w dxdy cj w w dd cj d d j j j Então, j M m cj Ij (0) ond Ij j dd é calclada pla formla dada m Eq. (5), sto é, s j I j j dd () s j 4... Matrz Rgdz A Matrz Rgdz lmntar é dada por K K K () ntão Cálclo d K j x xj y yj () K k k w w w w da (4) k k w w w w da k w w da w w da k I I j x xj y yj x xj y yj j j ond, I w w da (5) j x xj I w w da (6) j y yj Calclando I j tmos q I w w da b b b b j b j b j j da x xj ˆ J (7) j b ˆ k bs da J k s b ˆ kk bs js da J ond j é o dlta d Kronckr. Obsrv q para k s j, tmos
12 76 I ˆ j bb da bb A ˆ j j j J J J bb (8) Por tanto, I j b bj (9) J D forma análoga tmos para I ˆ j a a da a a A ˆ j j j J J J a a (40) o sja, Sbsttndo qaçõs (9) (4) m Eq. (4), I j a a j (4) J k J J J j j j j j K k k bb a a bb a a (4) Cálclo d K Com ajda da Eq. (), calclmos a normal xtror m cada lado do lmnto, vja Fgra 4:,, n,,, n,,, n, v n n x x y y a b b a v n n x x y y a b b a v n n x x y y a b b a (4) Como as normas q prcsamos dvm sr ntáras, ntão b a n, n, (44) n n b a n, n, (45) n n b a n, n, (46) n n
13 77 Fgra. Frontra d m lmnto arbtráro. Sja n o vtor normal à crva. Então w K kj k w j ds kii j (47) n ond w IIj w n j ds w wjds n n n n w w ds w w ds w w ds j j j (48) Para calclar a matrz do domíno. Sponhamos q, ntão II j dvmos sabr qal é o lado do lmnto q faz part da frontra II w n + w n w ds j x y j a Ij Calclo d a I j a L Ij w n + n ˆ n + n x wy wjds b a jds J L L! J! b n an ˆ n n jds b a J L bn an J b n an b n an 0 L bn an bn an 0 J 0 0 0
14 78 Sponhamos q, ntão II w n + w n w ds j x y j b Ij Calclo d b I j Sponhamos q, ntão L I w w w ds b a J L 0 bn an bn an J 0 bn an bn an n + n n n b j x y j II w n + w n w ds j x y j c Ij Calclo d c I j.4 Domíno Dscrtzado L I w w w ds b a J b n an 0 b n an L J b n an 0 bn an n + n n n c j x y j a Fgra 4, obsrvamos ma malha para. Esta malha nos fornc os sgnts dados:,,, 8 (49) n c n Fgra 4. Malha para o domíno.
15 79 ond é o úmro d lmntos, c é o úmro d nós no contorno. n é o úmro d nós, Por xmplo, para o lmnto, como mostra a Fgra 5, é o úmro d ncógntas Fgra 5. Elmnto númro da Malha. tmos q para 9, j k 7 dfnmos a sgnts matrz lmntar o vtor drvada lmntar, rspctvamnt, () () () () m99 m9 m 97 9 () () () () () () () m mj m 9 m m7, () () () () m79 m7 m 77 7 (50) a Fg. 5, a scolha do nó concdr com o nó 9 é fta plo softwar grador d malha. D forma análoga, tmos para () () () () () () k99 k9 k 97 k99 k9 k 97 () () () () () () () () () () k kj k9 k k7, k k j k 9 k k 7 () () () () () () k79 k7 k 77 k79 k7 k 77 (5) () () 9 f 9 () () () (), f f () () 7 f 7 (5) Do msmo modo faz para todos os lmntos da malha..5 Ensamblagm Consst m montar todas as global cja ordm é n n. matrzs lmntars nma únca matrz chamada d matrz.5. Montagm Uma manra d vsalzar todas as matrzs lmntars nma únca matrz é como mostramos a contnação
16 80 () m 0 0 () 0 m 0 ( ) 0 0 m f () () 0 k 0 0 k 0 f () () k 0 0 k 0 0 ( ) ( ) k k f (5).5. Obtnção da Matrz Vtor Global O grador d malha nos fornc m arqvo d dados, assm como mostra a Tabla. Tabla Elmnto j k Como o, ntão dvmos laborar tablas cada ma com sa rspctva matrz lmntar. A sgr stas tablas,
17
18 8 Obsrv q a cor scra, m cada tabla, rprsnta as componnts das matrzs lmntars. O passo sgnt é magnar-s q stas tablas rprsntam matrzs d ordm. Comprnddo sso, agora só tmos q somar stas matrzs, rsltando m ma únca matrz (o tabla). Esta matrz é chamada matrz global. Tabla. Matrz global d ordm ,0+6, ,+9 4, ,0+7 5, ,+0 7, ,0+ 8,0 9 8,+ 8, ,+6 0, , ,8 7 0, ,5 + 0,8 0,9 0,0+ 6 0,0+ 7 0,0+ 0,0+ 7 9,0+ 9,0 0 9,+ 9, 0,0 0, + 0, ,4+ 9,4,7+ 0,7,8+,8,9+,9,0,0,+9, +0,+,+, A strtra da matrz global tm a sgnt forma ond os qadradnhos brancos rprsntam os zros da matrz. D forma análoga, dvmos laborar colnas cada ma com s rspctvo vtor lmntar. A sgr stas colnas,
19 8 Tabla. Vtor global d ordm Agora xprssmos m forma matrcal m m5 0 0 m8 0 m m 0 0 m5 m6 0 0 m m 0 0 m6 m7 0 m m m47 m m4 4 m m 0 0 m m m m6 m6 0 0 m m m m 0 0 m 0 m 0 m m8 0 0 m m88 0 m8 0 m8 8 0 m9 m9 0 m95 m96 m97 0 m99 m9 0 m 9 9 m m m0 8 m0 9 m0 0 m m m 7 m 8 m 9 m 0 m k k5 0 0 k8 0 k 0 0 f 0 k 0 0 k5 k6 0 0 k9 0 0 f 0 0 k 0 0 k6 k7 0 k9 0 0 f k k47 k k4 4 f4 k5 k5 0 0 k k59 k f 5 0 k6 k6 0 0 k k f6 0 0 k7 k k77 0 k79 0 k f 7 k8 0 0 k k88 0 k8 0 k8 8 f8 0 k9 k9 0 k95 k96 k97 0 k99 k9 0 k 9 9 f 9 k k k0 8 k0 9 k0 0 k 0 0 f k k 7 k 8 k 9 k 0 k f M g g K g K g g f g (54)
20 84 g g g g g M K f (55) g ond f 0 g g g K K K..5. Obtnção da Matrz Vtor a Rsolvr Análs na matrz M. Usando as condçõs d contorno m m5 0 0 m8 0 m m 0 0 m5 m6 0 0 m m 0 0 m6 m7 0 m m m47 m m4 m5 m5 0 0 m m59 m m6 m6 0 0 m m m7 m m77 0 m79 0 m 7 0 m8 0 0 m m88 0 m8 0 m8 0 m9 m9 0 m95 m96 m97 0 m99 m9 0 m 9 m m m 0 8 m0 9 m0 0 m m m 7 m 8 m 9 m 0 m D forma análoga para a matrz K. Dss modo tmos m99 m9 0 m9 9 k99 k9 0 k9 9 f9 m0 9 m0 0 m 0 0 k0 9 k0 0 k 0 0 f 0 m m m k k k f o qvalntmnt 0 m m 0 m m m m m m m m 7 m 8 M 6 c k9 k9 0 k95 k96 k k k k k k 7 k 8 K 6 c 7 8
21 85 M K f M K (56) ond f 0. Assm, M K f (57) ond f f M K.6 Solção do Sstma d EDO Malha tmporal O tamanho d passo tmporal é dfndo por: os nós tmporas, por ond t 0 0 é o tmpo ncal. Condção Incal Rgra do Médo ponto Gnralzado D Eq. (60), tmos q Faça para n, T t (58) tn t0 nt, n, (59) t 0 0 (60) 0 0 (6) n n n M t K M t K t n f f (6) Obsrv q Eq. (6) rprsnta m Sstma d Eqaçõs Lnars, vja LEWIS t. al (004). ond Ax b (6) A M t K x n n n n b M t K t f f (64) Para rsolvr o Sstma Lnar m Eq. (6) samos o método SOR. Lmbrando q 0. st trabalho samos 0,5.
22 86 4. RESULTADOS UMÉRICOS O códgo comptaconal fo mplmntado na Lngagm Fortran (Compaq Vsal Fortran). Os programas foram rodados nm laptop T6500 Procssador Intl Cor TM Do. Para a gração da malha s so o softwar (lvr) Gmsh.5.0 para pós-procssamnto s so o softwar (comrcal) Tcplot Malha Estrtrada não Estrtrada As Fgras mostram dos tpos d malhas q foram gradas com o softwar Gmsh, ma Malha Estrtrada ma Malha não Estrtrada. Fgra 4. Malha Estrtrada. Fgra 4. Malha não Estrtrada A Tabla 4. mostra o úmro d lmnto o úmro d nós das das malhas. Tabla 4. Elmntos nós das malhas Tpo d Malha n Estrtrada ão Estrtrada Rsltados mércos O úmro d ncógntas q rslto da malha strtrada fo 48 da malha não strtrada fo 77. O tmpo CPU após atngr o stado prmannt é mostrado na Tabla 4.. Tabla 4. úmro d ncógntas tmpo CPU. Tpo d Malha Estrtrada 48 ão Estrtrada 77 4 Tmpo CPU m [s]
![87 As Fgras 4. 4.4 mostram a convrgênca ao longo do tmpo da dstrbção d tmpratra m ambas as malhas. Uso-s m t 50 s atng o stado staconáro m [s] com 400.](/docs-images/26/8476965/images/23-0.png "Também, pod-s obsrvar q a dstrbção d tmpratra na placa qadrada comça a dmnr nformmnt dsd a part spror até m poco mas da mtad da placa m forma d lpss concêntrcas.")
23 87 As Fgras mostram a convrgênca ao longo do tmpo da dstrbção d tmpratra m ambas as malhas. Uso-s m t 50 s atng o stado staconáro m [s] com 400. Também, pod-s obsrvar q a dstrbção d tmpratra na placa qadrada comça a dmnr nformmnt dsd a part spror até m poco mas da mtad da placa m forma d lpss concêntrcas. Por xmplo, o valor da tmpratra no cntro da placa, sto é, m 0.5,0.5 é d 95,84[ o C ]. Fgra 4. Dstrbção d tmpratra na malha strtrada. Fgra 4.4 Dstrbção d tmpratra na malha não strtrada. A sgr mostrarmos algns qadros, m nstants d tmpo dfrnts, do stado transnt da condção do calor até atngr o stado staconáro. t 0 [ s]
24 88 t 0,5 [ s] t [ s] t [ s] Fgra 4.5 Dstrbção d tmpratra m algns nstants d tmpo, dsd o tmpo ncal até o tmpo m q atng o stado staconáro. Dss modo conclímos a smlação nmérca da condção do calor nma placa qadrada.
25 89 5. REFERÊCIAS BIBLIOGRÁFICAS HOLMA J. P. Hat Transfr. 6 a Edção. McGraw-Hll Book Company, w York, 986. LEWIS Roland W, ITHIARASU Prmal SEETHARAMU, Kankanhally. Fndamntals of th Fnt Elmnt Mthod for Hat and Fld Flow. John Wly and Sons, 004
Elementos Finitos. são perpendiculares à aresta comum às duas facetas, são iguais e têm sentidos tais que
ora as Estrtras II Métoo os Elmntos Fntos Elmntos Fntos I. Estaos Planos nsão Dformação.. Estátca Cnmátca Pças Lamnars on são as forças o corpo o lgação (massa, prssão fnação, tc.) σ σ ma vz q as componnts
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Resolver problemas com amostragem aleatória significa gerar vários números aleatórios (amostras) e repetir operações matemáticas para cada amostra.
Dscplna: SComLMol Numann, Ulam Mtropols (945-947) Numann Ulam [945] prcbram qu problmas dtrmnístcos podm sr transormados num análogo probablístco qu pod sr rsolvdo com amostragm alatóra. Els studavam dusão
Sistemas de coordenadas em movimento
Sistmas d coordnadas m movimnto Na suprfíci da Trra stamos m movimnto d translação m torno do Sol rotação m torno do ixo trrstr, além, é claro, do movimnto qu o sistma solar intiro tm pla nossa galáxia.
A seção de choque diferencial de Rutherford
A sção d choqu difrncial d Ruthrford Qual é o ângulo d dflxão quando a partícula passa por um cntro d força rpulsiva? Nss caso, quando tratamos as trajtórias sob a ação d forças cntrais proporcionais ao
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Deformações na Notação Indicial
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