Palavras-chave: verificação, aproximação numérica, função de interpolação, equação de Laplace, equação de advecção-difusão.

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1 AVALIAÇÃO DE ESQUEMAS NUMÉRICOS ARA ROBLEMAS DIFUSIVOS 2D RESOLVIDOS COM VOLUMES FINITOS Nil Franco d Carvalho nil@up.du.br Univrsidad ositivo (U) Curitiba, R, Brasil Carlos Hnriqu Marchi marchi@ufpr.br Univrsidad Fdral do araná (UFR) Dpartamnto d Engnharia Mcânica (DEMEC) Curitiba, R, Brasil Rsumo. O objtivo principal dst trabalho é avaliar o dsmpnho d alguns squmas numéricos para rsolvr problmas difusivos bidimnsionais com o método d volums finitos. ara aproximar a intgral da drivada da variávl dpndnt nas facs dos volum d control, os squmas usados são: difrnça cntral (CDS) com intgração numérica obtida plas rgras do rtângulo, trapézio Simpson; função biquadrática com intgral analítica. ara aproximar a variávl dpndnt nas facs dos volum d control, os squmas usados são: CDS; difrnça para trás (UDS); função biquadrática com intgral analítica. Os problmas rsolvidos são dfinidos plas quaçõs bidimnsionais d Laplac advcção-difusão, com númro d clt quatro. São aprsntados rsultados do rro numérico sua ordm ftiva vrsus tamanho dos volums d control para malhas com 2x2 a 512x512 volums três variávis d intrss. Entr os squmas avaliados para uma msma malha, a função biquadrática rsulta no mnor rro numérico para todas as variávis d intrss tstadas. alavras-chav: vrificação, aproximação numérica, função d intrpolação, quação d Laplac, quação d advcção-difusão.

2 1 INTRODUÇÃO No âmbito do Método d Volums Finitos (MVF) (atankar, 1980; Maliska, 2004), pods dfinir função d intrpolação como o mio utilizado para s calcular o valor da incógnita do problma, d sua drivada normal, nas facs dos volums d control qu são utilizados para discrtizar o domínio d cálculo (Marchi, 1993). O tipo d função d intrpolação pod sr considrado como uma das principais caractrísticas d um modlo numérico pois dtrmina o nívl do rro da solução numérica obtida. Nst trabalho, função d intrpolação é considrada sinônimo d squma numérico aproximação numérica. Os problmas rsolvidos nst trabalho são dfinidos plas quaçõs bidimnsionais d Laplac advcção-difusão. No caso da quação d Laplac, para obtr a intgral da drivada da variávl dpndnt m cada fac d um volum d control, os squmas avaliados são: squma d difrnça cntral (CDS) (atankar, 1980) com intgração numérica obtida plas rgras do rtângulo, trapézio Simpson; função biquadrática (Bckr t al.,1981; Bath, 1995) com intgral analítica. No caso da quação d advcção-difusão, além da função biquadrática, o problma é rsolvido com os squmas CDS UDS (Courant t al.,1952; atankar,1980). A Fig. 1 aprsnta o domínio d cálculo as condiçõs d contorno para o problma da advcção-difusão bidimnsional m studo. Nsta figura, o símbolo rprsnta o númro d éclt, é a variávl dpndnt ou primária, x y são as dirçõs coordndas, S é um trmo font. Figura 1 Domínio d cálculo condiçõs d contorno para o problma da advcçãodifusão Os objtivos dst trabalho são: (i) avaliar o rro numérico da solução para problmas puramnt difusivos (éclt nulo) quando s utilizam difrnts técnicas d intgração nas facs dos volums d control, considrando-s variávis primárias scundárias; (ii) ainda, para os problmas puramnt difusivos, dtrminar uma rlação para o sforço computacional ntr as difrnts formas d intgração numérica stablcndo uma comparação com o sforço computacional da função biquadrática para a cobrtura do domínio d cálculo; (iii) avaliar o rro numérico da solução das variávis primárias scundárias m problmas d advcção-difusão, comparando os squmas UDS, CDS a função biquadrática; (iv) para o problma d advcção-difusão, dtrminar a rlação para o sforço computacional ntr os squmas d intrpolação, ; (v) para os problmas aprsntados variávis avaliadas, dtrminar a ordm ftiva da aproximação. A importância dst trabalho stá na vrificação do fito das difrnts formas d intgração numérica nas facs dos volums d control m comparação com o squma d intrpolação mais utilizado (intgração rtângulo). O trabalho aprsnta também a formulação d uma função biquadrática para a cobrtura do volum d control como um squma qu

3 prmit avaliar com mnor rro as variávis scundárias, por prmitir a drivação intgração analíticas dssa função. 2 MODELOS MATEMÁTICO E NUMÉRICO 2.1 Dfinição do problma sua discrtização A quação d advcção-difusão bidimnsional considrada nst trabalho é 2 2 p k S, 0 x, y 1, (1) 2 2 x y x y ond p k são os númros d éclt nas dirçõs x y, rspctivamnt. A Tabla 1 aprsnta as condiçõs d contorno usadas a solução analítica d cada problma. Tabla 1 Dfinição das condiçõs d contorno éclt Trmo font Condiçõs d contorno Solução analítica Nulo S=0 ( x,0) (0, (1, 0 ( x,1) sn( x) snh( ( x, sn( x) snh( ) ( x,0) (0, (1, 0 Não-nulo S=S * px ky px ( 1)( 1) ( 1) ( x, sn( x) p k ( x,1) sn( x) ( 1)( 1) p ( 1) Os dois problmas abordados nst trabalho s difrm plo númro d éclt o trmo font utilizado. No caso dos númros d éclt (p = k = 0) trmo font nulos, a Eq. (1) s rduz a d Laplac, qu aprsnta apnas os trmos difusivos. O outro problma lva m considração valors não-nulos para os númros d éclt o trmo font dado por (Schnidr, 2007) S * px ( sn( x) pcos( x))( 1) 2 p cos( x) ( p k ( 1)( 1) ky 1). (2) A discrtização do domínio d cálculo é fita utilizando-s malhas uniforms. O númro total d volums (NV) é calculado por NV=N x N y, sndo N x N y o númro d volums nas dirçõs x y, rspctivamnt. 2.2 Funçõs d intrpolação A intgração da Eq. (1) sobr o volum d control (Fig. 2), dlimitado plas facs ost (w), lst (), nort (n) sul (s), rsulta m

4 A x s n y w x s n y w dxdy S dx y y dy x x dx k dy p (3) Figura 2 Volum d control lmntar suas facs A intgração da Eq. (3) pod sr fita com divrsos tipos d função d intrpolação para xprssar o valor da incógnita, d sua drivada normal, nas facs dos volums d control. Essas funçõs d intrpolação são utilizadas para s obtr a solução aproximada do problma. Assim, para caractrizar qu a solução é aproximada, a incógnita (rprsntação da solução analítica) srá substituída pla incógnita (rprsntação da solução aproximada). Após a intgração da Eq. (3) para uma dada função d intrpolação, obtém-s S s N n W w E b A A A A A. (4) A Eq. (4) rprsnta cada uma das quaçõs d um sistma linar, cuja matriz dos coficints (A) é pntadiagonal (5 nós nvolvidos nas intrpolaçõs) b é o vtor dos trmos indpndnts (atankar, 1980). Esquma UDS. O squma d difrnças à montant (Upwind Diffrnc Schm ou UDS), dsnvolvido por Courant t al. (1952), aplicado ao trmo advctivo da Eq. (3) na fac lst () do volum (Fig. 2), rsulta m 0 0 u u E (5)

5 ond u é a componnt do vtor vlocidad na dirção x. Esquma CDS. O squma d difrnças cntrais (Cntral Diffrnc Schm ou CDS) (atankar,1980), aplicado aos trmos advctivo difusivo da Eq. (3) na fac lst () do volum (Fig. 2), rsulta m 1 E 2 E x x 1 (6) O squma aprsntado lva m considração 5 nós: cntral (), lst (E), ost (W), nort (N) sul (S). Ou sja, os valors intrpolados são considrados constants m cada fac, conform s obsrva nas Eqs. (5) (6) para a fac lst. Esqumas d 9 nós. odm sr usadas outras formas d intgração numérica, assim, incluir mais pontos na aproximação da solução. or xmplo, podm sr incluídos os nós SW, SE, NW NE, da Fig. 2, rsultando m um squma com 9 nós para cada volum d control. A Fig. 2 aprsnta os pontos 1, 2 3, prtncnts à fac lst. No squma bidimnsional d 9 nós para MVF, utilizando-s o squma CDS, para a fac lst na posição 2, mostrada na Fig. 2, tm-s 2 E N NE 4 E N x 2 x 2 NE (7), para a fac lst na posição 3, 3 E S SE 4 E S x 2 x 3 SE (8) Tndo-s valors difrnts para a variávl sua drivada na fac lst, Eqs. (6) a (8), dv-s dfinir como considrá-las. Nst trabalho, a intgração numérica m cada fac é fita d três formas: (i) rgra do rtângulo; (ii) rgra do trapézio, (iii) rgra d Simpson (Burdn Fairs, 2003). Aproximaçõs m cada fac. A intgral d todas as suprfícis do volum d control é igual à soma das intgrais m cada uma das facs, assim F n ds f S f n ds, (9) i S i

6 na qual o índic i rprsnta cada uma das facs do volum d control, f rprsnta a variávl ou a sua drivada m cada uma das facs, n é o vtor normal à cada fac. A aproximação na fac da Fig. 2, pla rgra do rtângulo, é dada por F f n ds ( f n) 1 y, (10) S pla rgra do trapézio, por y F f n ds [( f n) 2 ( f n) 3], (11) S 2 pla rgra d Simpson, por y F f n ds [( f n) 2 4( f n) 1 ( f n) 3]. (12) S 6 Função Biquadrática. A Fig. 3 aprsnta o subdomínio h d um volum gnérico. Tomando-s o produto d um conjunto d polinômios m x com um conjunto d polinômios m y, as funçõs d forma para um lmnto d 9 nós podm sr obtidas (Bckr t al.,1981; Bath, 1995). A cobrtura para o domínio ral dv sr tal qu NV. (13) 1 h A intrpolação para a cobrtura 9 i1 h pod sr scrita, na forma compacta, como sndo ( x, ( x,, (14) h i i na qual ( x, são as funçõs d forma para cada volum gnérico. i As funçõs d forma dfinidas sobr o domínio h dvm satisfazr 1 s i j i ( x j, y j) i, j 1,2,,9. (15) 0 s i j Na dscrição aprsntada para a dtrminação das funçõs d forma, i, foi usado o sistma d coordnadas cartsianas locais. ara propósitos d implmntação computacional o uso d um sistma d coordnadas natural é a mlhor opção (Bath, 1995). Os índics i j, utilizados na dfinição das funçõs d forma, dvm sr associados aos nós vizinhos (dados por ltras vr Fig. 3) do nó cntral (). A intgração nas facs dos volums d control pod sr rsolvida analiticamnt, portanto, sm aproximação por intgração numérica.

7 Figura 3 - Elmnto rtangular qu cobr o volum d control 3 RESULTADOS ara os dois problmas da Tabla 1, foram fitas as sguints análiss: 1. éclt=0 S=0 (quação d Laplac): CDS com intgração pla rgra do rtângulo (forma tradicional - utiliza 5 nós) CDS com intgração pla rgra do trapézio (utiliza 9 nós) CDS com intgração pla rgra d Simpson (utiliza 9 nós) Função biquadrática 2. éclt=4 S=S * (quação d advcção-difusão): UDS (5 nós) CDS (5 nós) Função biquadrática Em todas as análiss, o solvr Gauss-Sidl (atankar, 1980) foi utilizado para a solução dos sistmas d quaçõs, fazndo-s itraçõs até s atingir o rro d máquina. As malhas usadas foram: 2x2, 4x4, 8x8, 16x16, 32x32, 64x64, 128x128, 256x x512 volums. As simulaçõs foram ralizadas m um computador com procssador Intl Cor 2 Duo d 2,66 GHz 3 GB d mmória RAM. Em todas as figuras abaixo, h = x = y. 3.1 Média do rro d discrtização (L) A média do rro d discrtização (L) da variávl primária é calculada pla média da norma L 1 do rro d discrtização, dfinida por L L1 NV NV 1 NV. (16) A Fig. 4a aprsnta a média do rro d discrtização (L) para éclt nulo. od-s obsrvar qu as intgraçõs numéricas do tipo trapézio Simpson rsultam m rros maiors

8 do qu os da intgração do tipo rtângulo. O uso da função biquadrática rsulta no mnor nívl d rro. Ainda considrando-s a Fig. 4a, para dois nívis spcíficos d L, no caso L= (Tabla 2) L=3, (Tabla 3), dtrminou-s a razão ntr o númro d nós ncssário com a função biquadrática o númro d nós dos outros squmas. Esta razão indica o nívl d rdução do sforço computacional (mmória tmpo d CU) ao s usar a função biquadrática m rlação aos outros squmas. O nívl d rro utilizado para dtrminar o númro d nós m cada um dos squmas lvou m considração um rro mnor ou, no máximo, 5% maior qu o considrado m cada anális. A função biquadrática rduz m crca d 60%, 78% 89% a quantidad d nós da malha ncssária para s rsolvr o msmo problma com CDS, rspctivamnt, intgração rtângulo, Simpson trapézio. Figura 4 - Média do rro d discrtização (L) A Fig. 4b aprsnta a média do rro d discrtização (L) para éclt não-nulo (=4; S=S * ) nas dirçõs x y. Novamnt, a função biquadrática rsulta m mnor nívl d rro. Na Fig. 4b, para dois nívis spcíficos d L, no caso L= (Tabla 4) L=3, (Tabla 5), também s dtrminou a razão ntr os númros d nós qu utiliza a função biquadrática os squmas UDS CDS. ara L=3, , a função biquadrática rduz m crca d 78% 99,7% a quantidad d nós da malha ncssária para s rsolvr o msmo problma, rspctivamnt, com CDS UDS. Tabla 2 - Rdução d nós d malha (=0; S=0) para a média do rro d intrpolação malha L razão ntr númro d nós CDS - rtângulo 11 x 11 1, ,47 CDS - trapézio 22 x 22 9, ,88 CDS - Simpson 15 x 15 1, ,59 Função Biquadrática 7 x 7 8, ,00

9 Tabla 3 - Rdução d nós d malha (=0; S=0) para a média do rro d 3, intrpolação malha L razão ntr númro d nós CDS - rtângulo 202 x 202 3, ,49 CDS - trapézio 378 x 378 3, ,72 CDS - Simpson 270 x 270 3, ,45 Função Biquadrática 128 x 128 3, ,00 Tabla 4 - Rdução d nós d malha (=4; S=S * ) para a média do rro d intrpolação malha L razão ntr númro d nós UDS 14 x 14 9, ,00 CDS 10 x 10 9, ,04 Função Biquadrática 7 x 7 7, ,00 Tabla 5 - Rdução d nós d malha (=4; S=S * ) para a média do rro d 3, intrpolação malha L razão ntr númro d nós UDS 498 x 498 3, ,87 CDS 56 x 56 3, ,64 Função Biquadrática 26 x 26 2, , Outras variávis ara os dois problmas da Tabla 1, também foram ralizadas análiss para as sguints variávis (scundárias), dfinidas matmaticamnt na Tabla 6: I = drivada m rlação a y na posição (0,5;1); q = intgração da drivada m rlação a y no contorno nort (y=1). A Tabla 6 aprsnta o valor da solução analítica das variávis scundárias. Tabla 6 Dfinição d variávis scundárias éclt Font Drivada no contorno nort Intgração da drivada no contorno nort 1 Nulo S=0 I 3, q 2, y dx 0 y y1 0, 5; 1 1 Não-nulo S=S * I 0, q 0, y dx 0 y y 1 0, 5; 1 A solução numérica d I é obtida através da aproximação DDS (Downstram Diffrnc Schm) d 1ª ordm: I y 2 CN y 0, 5; 1, (17)

10 ond CN é o valor analítico da variávl principal na posição (0,5;1) é o valor da solução numérica para a variávl principal no nó qu prtnc ao volum adjacnt ao contorno nort na posição x=0,5. No caso do númro d volums par, o valor d é calculado como a média dos dois nós vizinhos à coordnada x=0,5. A solução numérica d q é fita lvando-s m considração o cálculo d I, m cada nó qu prtnc ao volum adjacnt ao contorno nort, a sua intgração numérica através da rgra do rtângulo. A Fig. 5 aprsnta o rro da solução numérica das duas variávis scundárias para os dois problmas. od-s vr qu a função biquadrática rsulta no mnor nívl d rro nos quatro casos. Figura 5 - Módulo dos rros d variávis scundárias Considrando-s a Fig. 5c, para o nívl d rro d q, dtrminou-s a razão ntr o númro d nós ncssário com a função biquadrática o númro d nós dos outros squmas. Os rsultados são aprsntados na Tabla 7. A função biquadrática rduz m crca d 88%, 95,9% 96% a quantidad d nós da malha ncssária para s rsolvr o msmo problma com CDS, rspctivamnt, intgração Simpson, trapézio rtângulo. Considrando-s a Fig. 5d, para o nívl d rro 3, d q, dtrminou-s a razão ntr o númro d nós ncssário com a função biquadrática o númro d nós dos outros squmas. Os rsultados são aprsntados na Tabla 8. A função biquadrática rduz m crca

11 d 94,9% 98,7% a quantidad d nós da malha ncssária para s rsolvr o msmo problma, rspctivamnt, com CDS UDS. Tabla 7 - Rdução d nós d malha (=0; S=0) no nívl d rro 1, para q(x;1) intrpolação malha nívl d rro razão ntr númro d nós CDS - rtângulo 494 x 494 9, ,90 CDS - trapézio 490 x 490 9, ,50 CDS - Simpson 288 x 288 9, ,46 Função Biquadrática 99 x 99 9, ,00 Tabla 8 - Rdução d nós d malha (=4; S=S * ) no nívl d rro 3, para q(x;1) intrpolação malha nívl d rro razão ntr númro d nós UDS 364 x 364 3, ,82 CDS 182 x 182 3, ,70 Função Biquadrática 41 x 41 3, ,00 ara a função biquadrática o cálculo d I q foram fitos d forma spcífica. Como a função qu faz a cobrtura do volum finito possui drivada analítica conhcida, foi possívl calcular o valor d I utilizando ssa dfinição. O msmo pod sr dito m rlação à intgral da drivada no contorno nort (q). O valor da intgração analítica da drivada é conhcido para cada volum adjacnt ao contorno nort, ntão, o valor da intgração total é dado plo somatório dsss valors. Evidntmnt, o valor analítico para as variávis scundárias s basia na solução numérica obtida para a variávl primária. 3.3 Ordm ftiva A ordm ftiva prmit vrificar a postriori das soluçõs numéricas s a ordm assintótica dos rros d truncamnto é atingida (Marchi, 2001). A ordm ftiva (p E ) é dfinida como a inclinação local da curva do rro d discrtização (E) da solução numérica () vrsus o tamanho (h) dos lmntos da malha num gráfico logarítmico. À mdida qu h é rduzido, a ordm do rro d discrtização das soluçõs numéricas tnd à ordm assintótica dos rros d truncamnto, ordm sta qu é um rsultado tórico, obtido a priori das soluçõs numéricas. Conform Marchi (2001), a ordm ftiva (p E ) é obtida a partir d p E g log f r, (18) ond f g são as soluçõs numéricas obtidas rspctivamnt com as malhas fina grossa, r é a razão d rfino d malha, dfinida por h g r, (19) h f

12 ond h f h g são os tamanhos dos volums das malhas fina grossa, rspctivamnt. ara as malhas utilizadas nst trabalho, a razão d rfino é igual a 2. A Fig. 6a aprsnta a ordm ftiva da média do rro para éclt nulo. od-s obsrvar qu a ordm ftiva dos três squmas CDS da função biquadrática tndm à ordm 2 com a rdução d h. Na Fig. 6b, para éclt não-nulo (=4; S=S * ), o squma UDS tnd à ordm 1 com a rdução d h, tanto o squma CDS quanto a função biquadrática tndm à ordm 2. Figura 6 Ordm ftiva do rro d L A Fig. 7a aprsnta a ordm ftiva do rro da variávl q para éclt nulo. Obsrva-s qu os três squmas CDS tndm à ordm 2 com a rdução d h, a função biquadrática ating um máximo (próximo a 2,5) comça a s rduzir com a rdução d h, mas smpr com valors maiors do qu 2. Na Fig. 7b, para éclt não-nulo (=4; S=S * ), o comportamnto da função biquadrática é análogo ao da Fig. 7a, o squma UDS tnd à ordm 1 com a rdução d h, o squma CDS tnd à ordm 2. A sguir são aprsntados alguns rsultados visando mnsurar o sforço computacional ncssário para s rsolvr os problmas com as divrsas aproximaçõs numéricas já aprsntadas. As Tablas 9 10 aprsntam rsultados do númro d itraçõs no solvr o tmpo d CU para obtr as soluçõs numéricas. Nsts casos, utilizou-s como critério d convrgência a média da norma l1 do rsíduo das quaçõs adimnsionalizada plo valor dst msmo parâmtro na primira itração. A tolrância usada foi Tabla 9 Númro d itraçõs tmpo d CU para =0, S=0 malha 256 x 256 intrpolação itraçõs tmpo d CU (s) razão CDS - rtângulo ,00 CDS - trapézio ,02 CDS - Simpson ,67 Função Biquadrática ,82 ara o problma d clt nulo, conform a Tabla 9, o squma CDS com intgração numérica pla rgra do rtângulo foi o qu aprsntou o mnor tmpo d CU. A coluna razão na Tabla 9 aprsnta a razão ntr o tmpo d CU dos outros squmas o qu lvou mnos tmpo. A função biquadrática foi a qu lvou mais tmpo, 82% a mais.

13 ara o problma d clt não-nulo, conform a Tabla 10, o squma CDS foi o qu aprsntou o mnor tmpo d CU. A coluna razão na Tabla 10 aprsnta a razão ntr o tmpo d CU dos outros squmas o qu lvou mnos tmpo. A função biquadrática foi a qu lvou mais tmpo, 88% a mais. Tabla 10 Númro d itraçõs tmpo d CU para =4, S=S * malha 256 x 256 intrpolação itraçõs tmpo d CU (s) razão UDS ,06 CDS ,00 Função Biquadrática ,88 Figura 7 - Ordm ftiva do rro d q 4 CONCLUSÃO A solução numérica das quaçõs d Laplac advcção-difusão bidimnsionais, com condiçõs d contorno d Dirichlt Método d Volums Finitos foi obtida com várias funçõs d intrpolação. Além dos squmas UDS CDS, squmas d 9 nós basados na intrpolação linar do CDS uma função biquadrática foram tstados. Com bas nos rsultados obtidos, vrificou-s qu: 1) O rro d discrtização da solução numérica obtida com a função biquadrática é mnor do qu a d todos os outros squmas tstados, tanto na solução da quação d Laplac quanto na solução da quação d advcção-difusão, para as três variávis tstadas. 2) A média do rro d discrtização (L) do squma (rgra do rtângulo) d 5 nós é mnor do qu a dos squmas (rgras do trapézio Simpson) d 9 nós na solução da quação d Laplac. 3) ara o msmo nívl d rro d L, a função biquadrática rduz m crca d 60% a quantidad d nós da malha ncssária para s rsolvr a quação d Laplac m rlação ao squma com CDS intgração rtângulo. Esta rdução pod chgar a 78% no caso da solução da quação d advcção-difusão. 4) Em rlação ao squma qu convrg no mnor tmpo d CU para uma msma malha, a função biquadrática gasta 82% a mais d tmpo d CU para atingir o msmo critério d

14 convrgência no caso da quação d Laplac, 88% a mais no caso da quação d advcção-difusão. Agradcimntos O sgundo autor é bolsista do CNq (Conslho Nacional d Dsnvolvimnto Cintífico Tcnológico, do Brasil). REFERÊNCIAS Bath, K. J. Finit Elmnt rocdurs. 2. d. Nw Jrsy: rntic Hall, Bckr, E. B.; Cary, G. F.; & Odn, J. T. Finit Elmnts: An Introduction. Englwood Cliffs, NJ: rntic-hall, Burdn, R. L.; Fairs, J. D. Anális Numérica. São aulo: ionira Thomson Larning, Courant, R.; Isaacson, E.; & Rs, M. On th solution of nonlinar hyprbolic diffrntial quations by finit diffrncs. Communications on ur and Applid Mathmatics, v. 5, p , Maliska, C. R. Transfrência d Calor Mcânica dos Fluidos Computacional. 2. d. Rio d Janiro - RJ: LTC - Livros Técnicos Cintíficos Editora S.A., Marchi, C. H. Esqumas d alta ordm para a solução d scoamntos d fluidos sm disprsão numérica. RBCM, XV, n. 3, p , Marchi, C. H. Vrificação d Soluçõs Numéricas Unidimnsionais m Dinâmica dos Fluidos. Ts (Doutorado - rograma d ós-graduação m Engnharia Mcânica) UFSC, Florianópolis, atankar, S. V. Numrical Hat Transfr and Fluid Flow. Washington D. C.: Hmisphr ublishing Corporation, Schnidr, F. A. Vrificação d soluçõs numéricas m problmas difusivos advctivos com malhas não-uniforms. Ts (Doutorado - rograma d ós-graduação m Métodos Numéricos m Engnharia) UFR, Curitiba, 2007.