4 Modelagem numérica. 4.1 Métodos numéricos

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1 4 Modlagm numérica Nst capítulo, aprsnta-s uma brv dscrição dos métodos numéricos usados na rsolução da não linaridad do problma a formulação m lmntos finitos do fluxo dos acoplamntos implmntados. 4.1 Métodos numéricos Os sistmas d quaçõs a srm rsolvidos são não simétricos os problmas são, vntualmnt, não linars (Cunha, 2000 [77]). Para rsolução dsts sistmas, pod-s lançar mão dos métodos dos lmntos finitos (Assan, 1999 [75]) / ou difrnças finitas. O método das difrnças finitas m sua forma lmntar, qu é o mais antigo dos métodos acima, tm a vantagm d sr concitualmnt simpls d fácil ntndimnto (Frind, 1995 [58]), mas não é aplicávl quando a gomtria do contorno é irrgular. Já o método dos lmntos finitos é altamnt flxívl vrsátil na rprsntação d domínios com gomtria irrgular ou mio anisotrópico htrogêno; é um pouco mais complicado qu o das difrnças finitas, mas fornc uma frramnta mais podrosa vrsátil para sr usado quando os princípios básicos são dominados. Em trmos d prcisão global, sts métodos são ssncialmnt quivalnts. Qualqur um dsts métodos pod sr aplicado para solução d fluxo problmas d transport, qualqur um prmit a incorporação d intraçõs, por xmplo, químico-biológicas (Frind, 1995 [58]). O método dos lmntos finitos consist m, dado um domínio com uma gomtria qualqur, dividi-lo m sub-domínios mais simpls, chamados d lmntos (Campos, 1999 [76]). O método prmit qu sja obtida a solução ou uma aproximação dsta, para qualqur forma gométrica, utilizando a aproximação dos valors nodais no domínio do lmnto. Esta aproximação é fita utilizando-s funçõs d intrpolação no intrior do lmnto (Campos, 1999 [76]).

2 porosos com intração trmo-química 54 Sndo a anális numérica do transport d contaminants para casos rais, um problma d alto custo computacional, principalmnt quando s qur simular o transport multicomponnts, pod sr ncssário a parallização do problma, através da utilização d mais d uma máquina ou a msma com mais d um procssador, agilizando-s o procsso d convrgência do método Comportamnto oscilatório As soluçõs numéricas da quação d transport xibm, muitas vzs, um comportamnto oscilatório /ou grand disprsão numérica na rgião rlativamnt próxima às frnts d concntração. Ests problmas podm sr spcialmnt sérios para o transport qu tnham a advcção como procsso dominant caractrizado por baixas disprsividads. Um modo para vitar as oscilaçõs numéricas é usar os rsíduos pondrados. Por outro lado, as oscilaçõs podm, também, sr prvnidas slcionando uma apropriada combinação d discrtização no spaço no tmpo. Dois númros adimnsionais podm sr usados para caractrizar as discrtizaçõs no spaço no tmpo (Daus t al., 1985 [17]). Um dsts é o númro d Pclt, P i, qu dfin o tipo prdominant d transport d soluto (notavlmnt a taxa dos trmos d transport advctivo disprsivo) m rlação à baixa discrtização da malha d lmntos finitos (quação 4-1). sndo: P i = B i x i E ii (4-1) x i - comprimnto caractrístico d um lmnto finito; B i - trmo convctivo na quação d transport (vlocidad); E ii - trmo disprsivo na quação d transport (disprsividad). Para obtr rsultados numéricos acitávis, a discrtização spacial pod sr rfinada para mantr um baixo númro d Pclt. A oscilação numérica pod sr, virtualmnt, liminada quando os númros d Pclt não xcdm 2. Entrtanto, baixas oscilaçõs são acitávis podm sr obtidas com númros d Pclt local tão grand quanto 10 (Huyaorn and Pindr, 1983 [14]). Um sgundo númro adimnsional qu caractriza a xtnsão rlativa das oscilaçõs numéricas é o númro d Courant, Co i. O númro d Courant é associado à discrtização no tmpo (quação 4-2). sndo: Co i = B i t x i (4-2)

3 porosos com intração trmo-química 55 t - incrmnto d tmpo. O critério (quação 4-3) pod sr utilizado para stabilização da solução, st foi dsnvolvido por Prrocht Brot, 1993 [49]. P i Co i ω s = 2 (4-3) sndo: ω s - índic d prformanc. O método d Ptrov-Galrin foi dsnvolvido para s tntar obtr soluçõs qu não aprsntm oscilaçõs para númros d Pclt acima do limit. Est é um método d rsíduos pondrados, ond as funçõs d pondração são difrnts das funçõs d intrpolação. Estas funçõs d pondração utilizadas no método d Ptrov-Galrin são rsultants da tntativa d s stabilizar a solução da quação d transport ao s introduzir um trmo adicional, qu tm como objtivo mlhorar as propridads d stabilidad do sistma d quaçõs grado plo método (Campos, 1999 [76]). Alguns métodos da família d Ptrov-Galrin são listados a sguir: 1. SUPG ( Stram Upwind Ptrov-Galrin ) - propõ uma função d pondração com a qual s obtém a solução xata nodal para o problma unidimnsional a rgim prmannt (Broos Hughs, 1982 [12]). 2. SUPG / DG ( Stram Upwind Ptrov-Galrin with Discontinuity- Capturing ) - propõ uma mlhoria no método SUPG, incorporando um trmo para captura d dscontinuidad (Hughs t al., 1986 [21]). 3. GLS ( Galrin Last-Squar ) - propõ uma mlhoria no método SUPG, introduzindo no trmo d stabilização uma componnt disprsiva (Hughs t al., 1989 [30]). 4. STGLS ( Spac-Tim Galrin Last-Squar ) - propõ a stabilização da solução d transport, introduzindo uma função qu rprsnta tanto a discrtização spacial quanto a tmporal. Nst método há uma xpansão do númro d variávis do problma, já qu é ncssário calcular, simultanamnt, as concntraçõs a variação dstas no tmpo (Shaib Hughs, 1991 [22]). 5. CAU ( Consistnt Approximation Upwind ) - propõ uma forma consistnt da dtrminação da dirção d upwind (Galão Dutra do Carmo, 1988 [27]). Est método adiciona, d forma consistnt, uma prturbação não linar qu introduz um control da drivada na dirção d aproximação dos gradints, vitando oscilaçõs. Almida Galão (1996) [61]

4 porosos com intração trmo-química 56 aprsntam a gnralização do método CAU sua utilização combinada com os métodos d rfinamnto d malha, obtndo mlhors rsultados m rgiõs d gradints lvados. 6. GGLS ( Galrin Gradint Last-Squar ) - propõ a adição, ao método d Galrin, d um trmo dpndnt da malha, obtido através dos mínimos quadrados dos gradints da quação qu dscrv o problma (Franca Dutra do Carmo, 1989 [31]). 4.2 Métodos itrativos Por causa da não linaridad nas quaçõs difrnciais parciais qu dscrvm o fluxo parcialmnt saturado, tm-s um sistma d quaçõs algébricas provnint das aproximaçõs numéricas não linars. Consqüntmnt, é ncssário utilizar métodos itrativos para obtr a solução. Paniconi t al. (1991) [42] aprsnta uma discussão sobr a ficiência dos métodos itrativos. A sguir, nas sçõs aprsntam-s a dscrição gral d dois métodos itrativos qu são comumnt aplicados a problmas não linars. Os métodos chamam uma stimativa inicial como solução inicial, m cada método usa-s um algoritmo difrnt para obtr uma nova solução, até qu s tnha a convrgência da solução Método d Picard O método d Picard pod sr usado para rsolvr a não linaridad das quaçõs difrnciais discrtizadas m lmntos finitos difrnças finitas. Estas quaçõs rprsntam problmas d fluxo não confinado d água subtrrâna, intrusão salina fluxo d gás, dntr outros (Huyaorn Pindr, 1983 [14]). O algoritmo gral para itração d Picard pod sr dscrito como a sguir. Considra-s uma família d quaçõs não linars scritas na forma (quação 4-4): Sndo: f 1 (x 1, x 2,..., x n ) = 0, I = 1, 2,..., n. (4-4) x 1, x 2,..., x n - váriavis dsconhcidas.

5 porosos com intração trmo-química 57 Primiramnt, constrói-s a família d funçõs auxiliars g 1 (x 1, x 2,..., x n ) tal qu: E IJ x J = g I (4-5) 4-6): A solução da quação 4-5 pod sr xprssa na sguint forma (quação Sndo: x rr+1 J = (E rr IJ) 1 g rr I (4-6) rr - contador d itração com valor inicial igual a 1. (EIJ rr ) 1 - lmntos da matriz invrsa [E rr ] 1 Figura 4.1: Ilustração gráfica do método itrativo d Picard m uma variávl (Huyaorn Pindr, 1983 [14]). Da figura 4.1 tm-s duas séris. Séri d quaçõs não linars. Séri d funçõs auxiliars. y = x 1, E 11 = 1 (4-7) y = g 1 (x 1 ) (4-8)

6 porosos com intração trmo-química 58 Critério d convrgência Como critério d convrgência para ao método pod-s usar a sguint xprssão (quação 4-9). Sndo: max j x rr+1 j x rr j max j x rr+1 j ε - tolrância prscrita para valors d x. ε (4-9) Método Nwton-Raphson Para alguns problmas altamnt não linars, a taxa d convrgência d 1 a ordm obtida plo método d Picard pod não sr muito ficint. Nst caso, é ncssário mprgar o método d Nwton-Raphson, qu normalmnt convrg mais rapidamnt. Para dscrvr st método considra-s, novamnt, o sistma d quaçõs linars rprsntado pla quação 4-4. Assumindo qu as funçõs f 1 são contínuas, pod-s fazr a xpansão m séri d Taylor m torno do ponto inicial (x rr 1, x rr 2,..., x rr n ). Truncando os trmos d sgunda ordm ordm suprior, obtém-s a quação ( ) ( I = f I x rr+1 1, x rr+1 2,..., x rr 1 n fi x rr ( fi rr fi + x J f rr+1 Sndo: x rr+1 J ) + x rr+1 n 1 + x rr+1 1,..., x rr n ) x rr+1 J (4-10) - vtor dslocamnto, dfinido como x rr+1 J = x rr+1 J x rr J Para o caso simpls d uma variávl dsconhcida, as opraçõs d ambas as vrsõs do método d Nwton-Raphson (com sm atualização da drivada a cada passo d tmpo) podm sr rprsntadas graficamnt, conform mostra a figura 4.2. Pla figura 4.2 pod-s notar qu, quando o método d Nwton-Raphson usa atualização da drivada a cada passo d tmpo (inclinação variávl), convrg mais rápido qu para o msmo método qu não utiliza a atualização da drivada a cada passo d tmpo (inclinação constant).

7 porosos com intração trmo-química 59 Figura 4.2: Ilustração gráfica do método itrativo d Nwton-Raphson (Huyaorn Pindr, 1983 [14]). 4.3 Modlagm m lmntos finitos difrnças finitas Modlagm do fluxo monofásico O método d lmntos finitos d Galrin com funçõs linars é usado para obtr uma solução da quação d fluxo (quação 2-1), submtido à imposição das condiçõs iniciais d contorno. Discrtização spacial A variávl dpndnt, função carga d prssão h(x, z, t), é aproximada por uma função h (x, z, t) como sgu (quação 4-11). Sndo: h (x, z, t) = NumP N n=1 φ n (x, z)h n (t) (4-11) φ n - funçõs linars básicas qu satisfazm a condição φ n (x m, z m ) = δ mn ; h n - coficints dsconhcidos rprsntando a solução da quação 2-1 nos pontos nodais; NumP N - númro total d pontos nodais.

8 porosos com intração trmo-química 60 O método d Galrin postula qu o oprador difrncial associado à quação d Richards (quação 2-1) é ortogonal para cada função na bas N, isto é: Ω { θ t [ ( K Kij A + Kiz A x i )] h x j } + S φ n dω = 0 (4-12) Aplicando a primira idntidad d Grn à quação 4-12, trocando h por h, tm-s a quação Sndo: ( θ Ω t φ n + KKij A ( Kij A h Γ K Ω h φ n x j x i ) dω = ) n i φ n dγ + + Kiz A x j ( KKiz A φ n Sφ n x i Ω - domínio ocupado plo lmnto ; Γ - sgmnto do contorno do lmnto. ) dω (4-13) As condiçõs d contorno tipo fluxo natural (Numann) gradint podm sr incorporadas, imdiatamnt, ao squma numérico pla spcificação da intgral d linha na quação Após a intgração sobr os lmntos, o procdimnto lva a um sistma dpndnt do tmpo d quaçõs difrnciais ordinárias com coficints não linars. Na forma d matriz, as quaçõs são dadas pla quação [F ] d{θ} dt + [A]{h} + [G]T = {Q} {B} {D} (4-14) A nm = φ n φ m (K l K ij + D h ) φ l dω = Ω x i x j [ ] K K A 4A xx b m b n + Kxz A (c m b n + b m c n ) + Kzzc A n c m + [ ] Dh K 4A K (b mb n + c m c n ) (4-15)

9 porosos com intração trmo-química 61 G nm = = φ n φ m (D T v + D T a ) φ l dω Ω x i x j (D T v + D T a ) (c m b n + b m c n ) (4-16) 4A B n = φ n (K l K iz ) φ l dω = Ω x i 2 K ( ) Kxzbn A + Kzzc A n (4-17) D n = S l Ω φ l φ n dω = 12 A ( ) 3 S + Sn (4-18) F nm = δ nm Ω φ n dω = δ nm 3 A (4-19) Q n = σ 1l Λ φ l φ n dλ = σ 1n λ n (4-20) Discrtização no tmpo A intgração da quação 4-21 no tmpo é alcançada pla discrtização no domínio do tmpo numa squência d intrvalos finitos substituindo as drivadas no tmpo por difrnças finitas. Um squma implícito (m atraso) d difrnças finitas é usado tanto para condiçõs saturadas quanto para não saturadas. Sndo: [F ] {θ} j+1 {θ} j t j + [A] j+1 {h} j+1 + [G] j+1 {T } j+1 = {Q} j+1 {B} j+1 {D} j+1 (4-21) j nívl d tmpo corrnt m qu a solução stá sndo considrada; j - nívl d tmpo antrior; t j = t j+1 t j - variação do tmpo. A quação 4-21 rprsnta a séri final d quaçõs algébricas a srm rsolvidas. Os coficints θ, A, B, D, Q (para condiçõs d contorno tipo

10 porosos com intração trmo-química 62 gradint) são funçõs da variávl dpndnt h. A família dstas quaçõs é, gralmnt, d quaçõs não linars. Estratégia d solução numérica Por causa da naturza não linar da quação 4-21, um procsso itrativo pod sr usado para obtr soluçõs da quação da matriz global a cada novo passo d tmpo. Para cada itração um sistma d quaçõs algébricas linarizadas é, primiramnt, drivado da quação 4-21 qu, após incorporação das condiçõs d contorno, é rsolvido usando-s a liminação d Gauss. O procsso d liminação d Gauss tm a vantagm das matrizs dos coficints trm caractrísticas d banda simétricas na quação Dpois, os coficints na quação 4-21 são ravaliados usando a solução inicial, as novas quaçõs são rsolvidas novamnt. O procsso itrativo continua até qu um grau d convrgência satisfatório sja obtido, isto é, até qu, m todos os nós da rgião não saturada (rgião saturada), a variação absoluta no tor d umidad (carga d prssão) ntr duas itraçõs sucssivas torn-s mnor qu os pqunos valors dtrminados pla tolrância do tor d umidad absoluto imposto (carga d prssão) Modlagm do fluxo bifásico O fluxo bifásico pod sr rprsntado por uma formulação matricial (quaçõs ), conform dmonstrado por Borgs (2002) [81]. Duas mudanças foram fitas nsta formulação m rlação a d Borgs (2002) [81], acrscntou-s a influência da tmpratura no fluxo bifásico a dissolução d NAPLs foi dsprzada. Logo, sta quação srá aplicada a fluxo com transport sm dissolução d NAPLs a problmas d fluxo com uma fas gasosa outra líquida não isotérmico. [H w ] { p t+ t w { } } Sw [MSw ] = [H w ] {ρ w g z} + t [T mp] {T t } {q w } (4-22) [H n + R s H w ] { p t+ t w { } } Sw [MSn ] = t [H n + R s H w ] { p n/w + ρ n g z } + [T mp] {T t } {q n } (4-23)

11 porosos com intração trmo-química 63 Sndo: { } p t+ t w - vtor nodal da prssão da fas molhant no passo atual; { } S t+ t w - vtor nodal do grau d saturação da fas molhant no passo atual; d calor; {S t w} - vtor nodal do grau d saturação da fas molhant no passo antrior; {T t } - vtor nodal d tmptraturas dtrminado pla solução da quação {q w } - vtor nodal da vazão prscrita da fas molhant; {q n } - vtor nodal da vazão prscrita da fas não molhant; α - fator d pondração no tmpo (α [0, 1]). método das difrnças finitas m avanço (xplícito) α = 0.0; método das difrnças finitas m atraso (implícito) α = 1.0; método d Cran-Nicolson α = 0.5; Para cada lmnto dfinm-s as matrizs [H w ] (quação 4-24), [H n ] (quação 4-25), [T mp] (quação 4-26), [MS w ] (quação 4-27) [MS n ] (quação 4-28). [H w ] lm = rw µ w B l Ω [H n ] lm = rn µ n B g [T mp] lm = Ω Ω [B] T [K][B] dω (4-24) [B] T [K][B] dω (4-25) [B] T [DT ][B]dΩ (4-26) [MS w ] lm = 1 B l [MS] lm (4-27) Sndo: [MS n ] lm = ( 1 R ) s [MS] lm (4-28) B g B l [MS] lm = n [N][N] T dω (4-29) Sndo: [B] - matriz d drivadas das funçõs d intrpolação; [K] - tnsor d prmabilidads absolutas com influência dos coficints térmicos (D h, D T V D T a ); [N] - matriz das funçõs d intrpolação; [DT ] - matriz d difusividads térmicas no ar no vapor. Ω

12 porosos com intração trmo-química 64 Os lmntos do vtor dos graus d saturação são dados pla quação S t+α t w = (1 α) S t w + α S t+ t w (4-30) Implmntaram-s os modlos d Broos Cory (1964) [5] (citado por Borgs, 2002 [81]) d van Gnuchtn (1980) [11] (citado por Borgs, 2002 [81]) para o cálculo da prssão capilar. Est valor srá corrigido m função da tnsão intrfacial, utilizando a quação d Lvrtt (1941) [3] (citado por Dmond Robrts, 1991 [43]). O método das difrnças finitas possibilita a rsolução das quaçõs no tmpo. Com isso a variação do grau d saturação foi aproximada conform quação S w t St+ t w Sw t t (4-31) Com isso, a cada itração rcalculam-s os parâmtros qu dpndm dos graus d saturação / ou das prssõs. Os valors dos parâmtros ncontrados no passo antrior no atual são usados para calcular os coficints das matrizs dos vtors do problma m qustão, conform a quação X = (1 α) X t + α X t+ t (4-32) Sndo: X - parâmtro qualqur Logo, as quaçõs podm sr rscritas, rsultando nas quaçõs [H w ] { p t+ t w } [MSw ] { } S t+ t = [Hw ] {ρ w g z} w [MS w ] { S t w} + [T mp] {Tt } {q w } (4-33) [H n + R s H w ] { p t+ t w } [MSn ] { } S t+ t = [H n ] { p n/w + ρ n g z } [MS n ] { S t w} + [T mp] {Tt } {q n } (4-34) O sistma formado plas quaçõs pod sr rsolvido por mio d dois métodos, o método d solução simultâna (SS) o d prssão implícita - saturação xplícita (IMPES) (Borgs, 2002 [81]). Conform vrificado por Borgs (2002) [81], o método SS é mais ficaz, por isso foi implmntado, somnt, st método nst trabalho. Além disso scolhu-s, também, a prssão w

13 porosos com intração trmo-química 65 o grau d saturação da fas molhant como variávis indpndnts, conform pod sr visto nas quaçõs No método SS, as quaçõs d p w S w são rsolvidas simultanamnt, rsolvndo o sistma d quaçõs As prssõs os graus d saturação nodais foram implmntados, altrnadamnt, no vtor d incógnitas, da manira sugrida por Borgs (2002) [81], com o objtivo d obtr uma mnor largura d banda da matriz d coficints. { [ [H w ] [MS w ] [H n ] + R s [H w ] [MS n ] [H w ] {ρ w gz} [MS w ]{S t w} + [T mp] {T t } ] { [H w ] {p n/w + ρ n gz}[ms n ]{S t w} + [T mp] {T t } } {p t+ t w } {Sw t+ t } { } {q w } {q n } = } (4-35) A vlocidad d fluxo d cada fas m cada lmnto calculada pla li d Darcy, dada pla quacao {vw t+ t } = [H Dw ]{φw t+ t } (4-36) Sndo qu o vtor d vlocidads no passo atual é dado por: {v t+ t w } = { v t+ t w(i) v t+ t w(j) sndo i j duas dircos prpndiculars; [H Dw ] lm = rw µ w Ω } (4-37) [K][B]dΩ (4-38) Modlagm dos acoplamntos O método d lmntos finitos d Galrin é usado para rsolvr as quaçõs d transport d soluto d O 2 transfrência d calor submtidas às condiçõs d contorno iniciais. As quaçõs d transport d soluto, O 2 transfrência d calor têm a msma forma (m sua formulação linar), por isso a solução numérica srá dada somnt uma vz para a sguint quação d disprsão-convcção (quação 4-39): A c t B c i + x i x i ( ) c E ij + F c + G = 0 (4-39) x j Sndo qu c rprsnta as três variávis dsconhcidas c, c a T.

14 porosos com intração trmo-química 66 transport d solutos A = θ B i = q i E ij = θd ij F = S G = ρ c t ρ ĉ t (4-40) transfrência d calor A = C(θ) B i = C w q i E ij = λ ij F = 0 G = 0 (4-41) transport d oxigênio A = θ a + θk c B i = q i K c E ij = θ a D a ij + θd w ijk c F = θ t G = P (4-42) Acoplamnto térmico Os acoplamntos são ralizados como ilustra o fluxograma do programa d anális (figura 5.2 do capítulo 5 sção 5.2). Ests acoplamntos, mnos o trmo-hidráulico, são fitos d forma sqüncial sm itração no msmo passo d tmpo com a quação d fluxo. Já o acoplamnto trmo-hidráulico tm itração no msmo passo d tmpo até a convrgência, como ilustrado na figura 4.3. Est acoplamnto é chamado d Staggrd. A sguir dscrv-s a ordm d opração mostrada na figura 4.3: (a) a quação d fluxo bifásico é rsolvida, até convrgir, no passo d tmpo; (b) os valors d prssão são utilizados na solução do calor; (c) a quação d calor é rsolvida, até convrgir, no passo d tmpo;

15 porosos com intração trmo-química 67 Figura 4.3: Ilustração do acoplamnto trmo-hidráulico. (d) o valor d tmpratura é usado para rsolvr a quação do fluxo bifásico novamnt. O procsso itrativo continua até qu os valors d prssão / saturação d ar água a tmpratura alcancm um grau d convrgência satisfatório, dado pla tolrância. Aplicando o método d Galrin juntamnt ao torma d Grn com funçõs d aproximação smlhants às aprsntadas no fluxo. Após a intgração sobr os lmntos, o procdimnto lva a um sistma dpndnt do tmpo d quaçõs difrnciais ordinárias com coficints não linars. Na forma d matriz, as quaçõs são dadas pla quação [F T ] d{t } dt + [A T ]{T } + [G1 T ]{p v } + [G2 T ]{p g } = {Q T } (4-43) G1 T nm = φ n (LD atm ν v τ v θ g ) φ l Ω φ m dω = x i x j 4A [LD atm ν v τ v θ g (b m b n + c m c n )] G2 T nm = φ n (ρ v K g L) φ l Ω φ m dω = x i x j 4A [ρ v K g L (b m b n + c m c n )] Fnm T = δ nm H T Ω φ n dω = δ nm A 12 ( 3 HT + H T ) δnm (4-44)

16 porosos com intração trmo-química 68 Q T n = σ 1l Γ φ l φ n dγ = σ 1n λ n (4-45) A sguir, aprsntam-s a formulação para as três formas d acoplamnto químico, itrativo, sqüncial misto. Acoplamnto químico itrativo As quaçõs 4-46, aprsntam a formulação para st tipo d acoplamnto. Passo 1 Passo2 (C int C n ) t = L(C ) n+1/2 + 1 ( 2 Rquil δ t + t ) 2 = 1,, N c (4-46) (C n+1 ( C int )δ t + t ) 2 Intgrando (Passo 1 + Passo 2) = 1 ( 2 Rquil δ t + t ) 2 = 1,, N c (4-47) (C s+1 C s ) = ( LL(C ) s+1/2) t + R quil = 1,, N c (4-48) sndo: s s nívis d tmpo antrior atual, rspctivamnt; N c - númro d componnts prsnts m cada fas; C int - valor intrmdiário d concntração; t - incrmnto d tmpo; LL - oprador difrncial spacial; R quil - massa rlativa (M/M) grada ou consumida instantanamnt no quilíbrio do sistma no tmpo t + t quil ; δ ( ) t + t 2 - função dlta d Dirac (1/T ).

17 porosos com intração trmo-química 69 Acoplamntos químico sqüncial O acoplamnto sqüncial é ralizado m dois passos distintos, um físico (quação 4-49) outro químico (quação 4-50). Passo 1 (Físico) Passo 2 (Químico) (C phys C s ) t = LL(C ) s+1/2 = 1,, N c (4-49) (C s+1 C phys )δ (t + t) = R quil δ (t + t) = 1,, N c (4-50) sndo: C phys - concntração no final do passo físico. Acoplamnto químico misto O acoplamnto misto é uma combinação do itrativo com o sqüncial. O qu s faz nst tipo d acoplamnto é transportar, sparadamnt, alguns lmntos químicos cujos parâmtros d transport não dvm sr considrados como parâmtros médios (por xmplo, o oxigênio) os dmais são transportados como uma massa d contaminants. Discrtização spacial A aplicação do método d Galrin padrão lva a sguint séri d N quaçõs (4-51): Ω [ A c t B c i + x i x i ( ) ] c E ij + F c + G φ n dω = 0 (4-51) x j Aplicando-s o torma d Grn à drivada sgunda da quação 4-51 substituindo c por c, rsulta no sguint sistma d quaçõs difrnciais dpndnts do tmpo (quação 4-52):

18 porosos com intração trmo-química 70 Ω ) [( A c t B c i + F c c + G φ n E ij x i Na forma matricial, tm-s (4-53): [Q] d{c} dt + Γ E ij c x j φ n x i ] dω x j n i φ n dγ = 0 (4-52) + [S]{c} + {f} = {Q D } (4-53) Discrtização no tmpo O método d Galrin é, somnt, usado para a aproximação das drivadas spaciais, nquanto as drivadas no tmpo são discrtizadas plo princípio das difrnças finitas. A aproximação d primira ordm das drivadas no tmpo lva à sguint séri d quaçõs algébricas (quação 4-54): [Q] j+ɛ {c} j+1 {c} j t + α[s] j+1 {c} j+1 + (1 α)[s] j {c} j + α{f} j+1 + (1 α){f} j = 0 (4-54) Sndo qu a matriz d coficints [Q] j+ɛ é avaliada usando-s as médias pondradas dos valors nodais d A antrior corrnt. A quação 4-54 pod sr rscrita na sguint forma (quação 4-55): [G]{c} j+1 = {g} (4-55) Estratégia d solução numérica O procsso d solução m cada passo d tmpo é fito da sguint manira: primiro, um procdimnto itrativo é usado para obtr a solução da quação d Richards (quação 2-1) (vja a sção 4.3.1). Após alcançar a convrgência, as soluçõs das quaçõs d transport (4-55) são sqüncialmnt implmntadas, primiro para tmpratura, para O 2 finalmnt para transport multicomponnt d soluto. Isto é fito pla dtrminação d valors nodais d fluxo d fluido d carga d prssão através da aplicação da li d Darcy. Os valors nodais do tor d umidad do fluxo d fluido no nívl d tmpo antrior já são conhcidos da solução no passo d tmpo antrior. Valors para o tor d umidad fluxo d fluido são, subsqüntmnt, usados como ntrada para a

19 porosos com intração trmo-química 71 quação d transfrência d calor, lvando ao sistma d quaçõs algébricas linars dado por (4-55). A strutura da séri d quaçõs finais dpnd do valor do fator d pondração tmporal, α. Os squmas xplícito (α = 0) o totalmnt implícito (α = 1) rqurm qu a matriz global [G] o vtor {g} sjam avaliados m, somnt, um nívl d tmpo (nívl d tmpo corrnt ou antrior). Todos os outros squmas rqurm a avaliação m ambos os nívis d tmpo. Assim, todos os squmas xcto para a formulação xplícita (α = 0) lvam a uma matriz [G] m banda assimétrica. A séri d quaçõs algébricas associadas é rsolvida usando-s um rsolvdor d quaçõs matriciais assimétricas padrão (Numan, 1972 [6], citado por Simun Suarz, 1993 [47]). Plo contrário, o squma xplícito lva à matriz diagonal [G] qu é muito mais fácil d sr rsolvida (mas, gralmnt rqur pqunos passos d tmpo). Visto qu a quação d transfrência d calor (quação 3-32) é linar, um procdimnto itrativo não é ncssário para dtrminação do fluxo d calor. Os valors d tor d umidad, vlocidad tmpratura, obtidos da solução das quaçõs d fluxo d água transfrência d calor, são usados para avaliar os coficints da quação d transport d oxigênio (O 2 ) discrtizada. Finalmnt, o transport multicomponnt d soluto é rsolvido basado no conhcimnto do tor d umidad, vlocidads, tmpraturas concntraçõs d O 2 da solução antrior. A solução do sistma químico multicomponnt su acoplamnto com o transport d soluto s dá através d um programa d spciação química (Phrqc) qu é rsponsávl pla dtrminação do ph, índic d saturação da solução, concntraçõs das spécis lmntos, dntr outros. Visto qu o fluxo d água é considrado invariant com rspito à tmpratura, o transport d O 2 d soluto, similarmnt a transfrência d calor é considrada invariant com rspito ao transport d O 2 d soluto, finalmnt o transport d O 2 é assumido como indpndnt do transport multicomponnt soluto, não é ncssário rsolvr todas as quaçõs simultanamnt, é possívl rsolvê-las sqüncialmnt.