OTIMIZANDO ELEMENTOS ESTRUTURAIS PLANOS ATRAVES DE METODO ADAPTATIVO

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1 OTIMIZANDO ELEMENTOS ESTRUTURAIS PLANOS ATRAVES DE METODO ADAPTATIVO Elian Rgina Flôrs Olivira Univrsidad Fdral d Ubrlândia UFU, Instituto d Física INFIS Ubrlândia, MG -mail: lian@infis.ufu.br Elain Goms Assis Univrsidad Fdral d Ubrlândia UFU, Faculdad d Engnharia Mcânica FEMEC Ubrlândia, MG -mail: lainga@mcanica.ufu.br Rsumo. Um procsso adaptativo usando gradints ou dnsidads da nrgia d dformação pod lvar a um bom modlo d lmntos finitos, idntificando-s d forma clara quais as rgiõs rqurm ou não rfinamnto d malha. O modlo dv contr uma stratégia d adaptação para vitar a formação d lmntos distorcidos, principalmnt quando s usa o método adaptativo d rlocação nodal (Método r), qu possui ssa caractrística qu lh é dsfavorávl. D manira hurística é dlinado o acoplamnto do concito d malha forma otimizadas, passando por uma rmalhagm, qu tm a função d atnuar no procsso itrativo o problma da distorção no uso do método r. Exmplos d aplicação são utilizados para studar a influência, do modlo proposto, na otimização d forma d s usar o módulo intrmdiário d rmalhagm, o qual quilibra o dsbalancamnto das áras dos lmntos na discrtização do modlo. Introdução A otimização d forma tm atraído grand atnção da comunidad cintífica muitas técnicas têm sido dsnvolvidas usadas com sucsso m análiss projtos d ngnharia. Gralmnt, stas técnicas consistm m variar alguns contornos do modlo a sr projtado a fim d mlhorar su comportamnto mcânico, como por xmplo, rduzir as altas concntraçõs d tnsõs qu normalmnt acontcm m locais d cantos furos ou próximos a ls. Est procsso normalmnt é fito impondo rstriçõs usando um método d otimização slcionado, ond aspctos tais como dfiniçõs gométricas, gração d malhas, anális procssamnto d rsultados são normalmnt nvolvidos. Além disso, outros lmntos fazm um papl dcisivo no procsso d otimização, tal como a anális d snsibilidad o algoritmo d otimização utilizado. O primiro passo é dfinir os modlos físicos gométrico ond no modlo gométrico as variávis d projto são facilmnt impostas prmitm uma xplícita intgração com outras frramntas d projto, tal como os sistmas CAD ou CAM. O modlo físico é usado para obtr a rsposta da part strutural, submtida a açõs xtrnas com uma anális numérica d snsibilidad das variávis prdominants finalmnt, um algoritmo d otimização apropriado dv sr usado para rsolvr o problma d um modo ficaz sguro. Como o progrsso da otimização muitas vzs dpnd do dsnvolvimnto d um bom modlo d lmntos finitos, st trabalho utiliza uma técnica para stimar rros numéricos na discrtização d problmas bidimnsionais, utilizando-s o lmnto finito triangular hirárquico com função d forma quadrática. Vrifica-s a xistência da homognidad do rro ao longo do domínio nos lmntos; caso sta não ocorra, os nós livrs pré stablcidos, srão ralocados m função da difrnça d gradint do rro, riniciando-s uma nova anális do modlo físico otimizando a malha automaticamnt. São avaliados dois métodos adaptativos usando ralocação nodal (método r): método hurístico método gométrico. Com o objtivo d atnuar o problma da distorção qu ocorr no uso do procsso itrativo do método r, st trabalho dsnvolv uma técnica d rmalhagm automática d lmntos finitos, usando o lmnto triangular hirárquico d grau, através do balancamnto da ára dos lmntos da malha obtndo-s um método gométrico d rlocação nodal. A otimização d forma é basada 49

2 no método d otimização d malha, Clapis [1999], sndo qu a formulação da otimização d forma lva m conta a homognização da dnsidad d nrgia d dformação por distorção dos lmntos finitos. O critério d otimalidad é smpr o da máxima dnsidad d nrgia d dformação por distorção. Em linguagm Fortran foi implmntado o acoplamnto do otimizador d forma com o rmalhador com o otimizador d malha d manira itrativa automática. A avaliação da potncialidad dos métodos é fita por mio d uma strutura tradicional citada na litratura, como aprsntado por Olivira [003]. Otimização da malha d lmntos finitos. Uma malha d lmntos finitos é considrada ótima, gralmnt, quando a norma do rro é a msma para todos os lmntos, sndo assim como o método (FEM) é basado na minimização da nrgia total, torna-s natural stimar-s o rro d discrtização m um modlo basando-s também na norma dsta nrgia. O modlo físico utilizado nst trabalho é a quação d lasticidad linar. A aproximação plo método d lmntos finitos consist m minimizar a nrgia potncial total, dada pla quação (1) n T T T 1 d, (1) f 1 u B D B u f u m rlação as variávis nodais as coordnadas nodais. Na quação (1) n é o númro total d lmntos da malha ncssários para discrtizar a strutura, D é a matriz d constants lásticas, B é a matriz d transformação d dslocamntos m dformaçõs, u é o vtor d dslocamntos associados ao lmnto, u é o vtor global d dslocamntos, f é o vtor carga aplicada é o volum ocupado plo lmnto. Método 1 Método Hurístico McNic Marcal (1971) considraram o problma d distribuir os nós d uma malha d forma mlhorada para obtr mlhors rsultados. A técnica utilizada consist m minimizar a nrgia potncial total, dada pla quação (1).m rlação as variávis nodais as coordnadas nodais. S c é o vtor d coordnadas nodais, a condição para qu a nrgia potncial sja mínima é qu as drivadas da quação (1) m rlação a c u s igualm a zro. Considrando a dcomposição do vtor u sgundo Olivira (003), chgamos à sguint quação n K u f, K K T D B d nh un f n K B ou sja 1 Khn Khh uh f h O rro por lmnto pod sr stimado, m trmos da nrgia d dformação, corrspondnt às variávis hirárquicas como: T u K u, h hh h u (3) h ond: {, } rprsnta os novos graus d librdad hirárquicos introduzidos, conform mostra a Fig. 1 K hh a matriz d rigidz dos parâmtros hirárquicos. 3 3 () 3 y x Figura 1 - Parâmtros hirárquicos do lmnto triangular 50

3 Considrando como uma prssão ngativa agindo num lmnto finito do modlo gométrico da strutura, Clapis (1999), o vtor das forças nodais quivalnts, lmnto triangular linar é dado por, y x y x y x T D D para um (4) Impondo-s a condição gométrica d qu a forma do contorno não dv sr altrada lvando-s m conta a suprposição dos vtors D para todos os lmntos, obtém-s um vtor d carga nodal quivalnt global, D G. Tm-s, portanto, novas condiçõs d contorno consquntmnt uma nova quação d quilíbrio global. A dirção d 0 do movimnto dos nós com uma ou duas dirçõs livrs para s movrm pod sr obtida d: K d sndo: D G 0 (5) 0 K 0 é a matriz d rigidz obtida do modlo gométrico, d 0 é a dirção d busca ond s procura homognizar a distribuição da dnsidad do rro d discrtização D G é o vtor carga nodal quivalnt global. Através d uma busca unidimnsional, utilizando-s o método da scant, calcula-s o fator d scala *, o qual minimizará a norma do vtor dsbalancamnto, ou sja: MIN D x d 0 (6) ond {x} é o vtor d coordnadas dos nós móvis. Dvido a rlocação nodal, a dnsidad do rro d discrtização também s altra o procsso d busca é ralizado d modo itrativo com a anális d novos modlos físicos discrtizados. O programa xcuta automaticamnt o balancamnto dos rros ntr os lmntos, usando o método do gradint conjugado para grar novas dirçõs d busca no caso d não havr convrgência numa dtrminada dirção. A condição d ótimo para o problma é qu o rro d discrtização sja uniformmnt distribuído ao longo d todo o domínio. Método Método Gométrico Considr um nó os lmntos finitos circunvizinhos ao msmo, Figura. Sndo o cntróid d cada lmnto o ponto ond atuam forças atrativas, com origm no nó comum. A intnsidad d cada uma é o indicador d rro do lmnto. A rsultant dstas forças nos fornc uma nova posição do nó, caso xista dsquilíbrio ntr os indicadors dos rros d discrtização na rgião considrada, Chng (1993). y Figura Esquma d rposicionamnto nodal x 51

4 A soma das contribuiçõs d todos os lmntos circunvizinhos, para a coordnada x, val: m xn * m1 m1 ( x* xn ) xn * (7) ond m indica o númro da itração, x n x * são, rspctivamnt, a posição do nó considrado dos cntróids dos lmntos circunvizinhos, * é o rro por lmnto finito. Est pod sr stimado, m trmos da norma da nrgia d dformação, Eq. (1), ond o critério d parada é a homognização do msmo ao longo do domínio. Analogamnt, para a coordnada y, tm-s quação para yn como a aprsntada na quação (7). Nota-s qu apnas os nós dos vértics do lmnto têm a prmissão d movrm sndo qu os nós do mio do lado, s houvr, não podm participar do procsso d rposicionamnto. Suas coordnadas são localizadas no mio ntr os nós da xtrmidad. Est procsso tm naturza itrativa ond os nós s movm m dirção aos lmntos d indicador d rro maior até não s tr difrnça nos indicadors d rro dos lmntos ou a rlocação dos nós tornar-s suficintmnt pquno. Algoritmo d otimização d forma Propomos um método d otimização d forma com bas no método d otimização d malha, Clapis (1999). Enquant o Método 1 lva m considração o dsbalancamnto do rro d discrtização do modlo, a formulação da otimização d forma toma por bas o dsbalancamnto da dnsidad d nrgia d dformação por distorção dos lmntos finitos. O critério d otimalidad utilizado é o da máxima dnsidad d nrgia d dformação por distorção, d forma qu os lmntos com mnor nrgia migrm para as áras ond as dnsidads d nrgia são maiors. Sja U D uma prssão ngativa agindo num lmnto finito do modlo gométrico da D, para um lmnto triangular é dado pla strutura. O vtor das forças nodais quivalnts, quação (4). Da suprposição dos vtors D para todos os lmntos obtém-s um vtor d D. A dirção d 0 do movimnto dos nós pod sr obtido carga nodal quivalnt global, G utilizando-s a quação (5). d, passa a sr uma dirção d busca procurando homognizar a distribuição Portanto, 0 da dnsidad d nrgia d distorção, conform a quação (6), ond {x} é o vtor das coordnadas nodais dos nós livrs para ralocarm-s nas duas ou m uma das dirçõs. Algoritmo d rmalhagm O código numérico d rmalhagm prmit rstruturar malhas d lmntos finitos m problmas bidimnsionais, utilizando lmntos triangulars hirárquicos com funçõs d forma d grau. Automaticamnt, o vtor dsbalancamnto, na formulação gométrica d rlocação nodal, é função do difrncial ntr as áras dos lmntos funcionando como cargas nodais passando plos cntróids dos lmntos circunvizinhos ao nó considrado, Chug (1993). Vrifica-s s xist uma homognidad d áras dos lmntos da malha na rgião considrada, caso sta não ocorra, os nós livrs, pré-stablcidos, srão dslocados m função da rsultant das cargas a nova coordnada x, val: A x xn m xn m xn m * 1 1 * * A (8) 5

5 ond m indica o númro da itração, x n x * são, rspctivamnt, a posição do nó considrado dos cntróids dos lmntos circunvizinhos, A * é a ára d cada lmnto finito.analogamnt para a coordnada y, tm-s quação análoga a quação (8). Est procsso tm naturza itrativa ond os nós s movm até diminuir a distorção ntr as áras dos lmntos ou a rlocação dos nós até o valor m m xn 1 xn tornar-s suficintmnt pquna. Exmplo d aplicação - Coluna d auto strada O projto d otimização conjunta d forma malha d uma das colunas da pista d uma dtrminada auto strada é considrado nst xmplo. Oda (1977), Kikuchi (1986), Rossow (1976) Clápis (1999) utilizaram dst msmo tipo d strutura para avaliarm suas propostas na busca da forma idal ou mlhorada, do lmnto strutural considrado. A Figura 3 mostra as caractrísticas d projto, considrando-s para fito d somnt avaliar o método proposto, qu a strutura é d aço m vz d concrto armado o qu usualmnt é utilizado para confccionar um componnt strutural dst port. Os dados adotados são: módulo d lasticidad MPa, coficint d Poisson 0.30, spssura constant da strutura d 1000 mm limit d scoamnto à tração igual a 7 x 10 7 N/m. Convém salintar qu a scolha do matrial basia-s no critério da nrgia d distorção (von Miss) lvando m conta o scoamnto, o qu não é apropriado para o caso quando s usa um matrial frágil como o concrto, ond o mais apropriado sria utilizar um critério d ruptura. Dvido à simtria m rlação ao ixo vrtical, utiliza-s somnt a mtad do modlo físico na otimização conjunta d forma malha,. As Figuras 4 (b). 4 (c) mostram, rspctivamnt, o modlo gométrico utilizado na otimização d forma com 156 lmntos triangulars linars o modlo gométrico utilizado na rmalhagm na otimização da malha com 156 lmntos triangulars hirárquicos m xpansão quadrática na função d forma. 16 m 1000 N/m 1 m 4 m 8 m 6 m Figura 3 Sção transvrsal da coluna d uma auto-strada (a) (b) (c) Figura 4 Discrtizaçõs da coluna: (a) modlo físico, (b) modlo gométrico da forma (c) modlo gométrico utilizado na rmalhagm na otimização da malha 53

6 Após 4 itraçõs, considrando-s o stado plano d tnsõs, chgou-s à forma otimizada utilizando-s somnt o programa otimizador d forma o critério d parada pré-stablcido, Figura 5. Nota-s, nst caso, qu o volum da sção transvrsal passou d um volum inicial d 48,5m 3 para um volum final d 38,9m 3 (rdução d 4,68%), bm como s obsrva uma mlhor concordância do contorno na rgião ond xist uma alta concntração d tnsõs. Notas também nsta rgião uma grand distorção dos lmntos finitos ocasionado pla rlocação nodal no balancamnto da nrgia d distorção. Fazndo-s a mudança d forma com a intrcalação dos módulos d rmalhagm d otimização d malha no procssamnto numérico stimando-s para a anális m qustão o númro d itraçõs para cada módulo, tm-s para o método hurístico: 1 itração para a forma; 6 itraçõs para a rmalhagm; 10 itraçõs para a otimização d malha. Para os rros d discrtização após a otimização da malha. O procsso é rfito 8 vzs até qu o critério d parada sja atingido. Através do método gométrico tm-s: 1 itração para a forma; 5 itraçõs para a rmalhagm, 7 itraçõs para a otimização d malha. Para os rros d discrtização após a otimização da malha o procsso é rfito 9 vzs utilizando-s o critério d parada antrior. Obsrva-s qu no procsso d otimização d forma intrcalando-s a otimização d malha, a rdução do volum da sção transvrsal é muito maior a distorção dos lmntos finitos é bm mnor do qu no caso ond foi utilizado somnt o otimizador d forma, obtndo-s uma discrtização final d qualidads física gométrica mlhorada qu s dv a influência da introdução do módulo d rmalhagm. Usando-s a otimização conjunta forma malha, plo método hurístico, o volum passou d um valor inicial d 48,5 m 3 para um volum final d 3,47 m 3 (rdução d 49,37%). Plo método gométrico, o volum final foi para 33,06m 3 (rdução d 46,7%), nquanto qu s utilizando o módulo somnt do otimizador d forma o volum final é d 38,9 m 3 (rdução d 4,68%). Figura 5 Tnsõs quivalnts após otimização d forma 4 itraçõs Figura 6 (a) Otimização da forma / tnsõs quivalnts método hurístico (1 itração, 8ª vz), (b) Rmalhagm método hurístico (7 itraçõs, 8ª vz), (c) Otimização da malha método hurístico (10 itraçõs, 8ª vz). (a (b (c Fazndo-s a mudança d forma com a intrcalação dos módulos d rmalhagm d otimização d malha no procssamnto numérico stimando-s para a anális m qustão o númro d itraçõs para cada módulo, tm-s para o método hurístico: 1 itração para a 54

7 forma, Figura 6: (a); 7 itraçõs para a rmalhagm; 6(b); 10 itraçõs para a otimização d malha, Figura 6(c). A snsibilidad do uso do programa quanto ao númro d itraçõs a sr utilizada m cada um dos três módulos (forma, rmalha malha), dpnd da intuição xpriência do projtista. No módulo d otimização d forma o númro d itraçõs pod sr aumntado até qu não ocorra grand distorção dos lmntos finitos. No módulo d rmalhagm o critério d parada utilizado foi m função do balancamnto das áras dos lmntos finitos no módulo d otimização d malha o númro d itraçõs foi fixado m função da obtnção d rros d discrtização dos lmntos finitos mais homogênos sndo qu na maioria dos casos fz-s ncssário alguns tsts iniciais para s obtr a mlhor solução do problma. Conclusõs Dsnvolvu-s um programa d lmntos finitos para otimizar a forma d um lmnto strutural basado na homognização da nrgia d distorção ntr os lmntos, adaptado itrativamnt com um rmalhador com um otimizador d malha, a cada itração ou a partir d crto númro d itraçõs prviamnt fixado. Conclui-s qu o otimizador d forma dv sr acoplado ao otimizador d malha dsd qu o modulo d rmalhagm sja introduzido para corrigir a distorção dos lmntos após a otimização da forma a convrgência do sistma sja alcançada. Na formulação numérica do modulo otimizador d forma optamos por usar o lmnto triangular linar, pois usando-s o lmnto triangular hirárquico o programa s torna lnto d difícil convrgência. A utilização do programa m struturas ond havia alta concntração d tnsõs nos cantos, a técnica d intrcalar o otimizador d forma com o rmalhador com o otimizador d malha lvou a uma forma ótima na qual houv um dcréscimo no valor das tnsõs quivalnts a uma mlhor distribuição d tnsõs ao longo do contorno móvl quando comparado com o uso somnt do programa otimizador d forma. Pod-s obsrvar ainda qu, na mdida m qu o procdimnto aqui aprsntado tnd a suavizar a distribuição d tnsõs no contorno, o msmo pod rsultar m conomia d matrial, pois o volum final é mnor qu o inicial, o qu abr a prspctiva d utilizá-lo no projto ótimo d componnts struturais. O programa utiliza o método d lmntos finitos, qu é uma ficint técnica para obtr soluçõs aproximadas para problmas ond a solução xata é difícil d sr obtida, a discrtização inicial da malha, o tipo o númro d lmntos influnciam nos rsultados finais da forma ótima. A partir do xmplo mostrado, pod-s concluir qu o algoritmo dsnvolvido aprsnta rsultados satisfatórios, quando comparado com a bibliografia ncontrada. Rfrências [1] Clápis, A. P., 1999, Um método hurístico d otimização d forma d componnts struturais no stado plano d lasticidad linar, Ts d Doutorado, Univrsidad Estadual d Campinas, Campinas, SP, Brasil. [] Chng, Jung-Ho, 1993, Adaptativ grid optimization for structural analysis-gomtry-basd approach, Comp. Mth. in Applid Mch. and Eng., 107,1- [3] Kikuchi N., Chug, K. Y., Torigaki, J. E., Taylor, J. E., 1986, Adaptativ finit lmnts mthods for shap optimization of linarly lastic structurs, Comp. Mth. in Applid Mch. and Eng., [4] McNic B.M. and Marcal P.V., 1971, Optimization of Finit Elmnt Grids Basd on Maximum Potntial Enrgy, Tchnical Rport no. 7, Brown Univrsity, Providnc. [5] Oda, J., Yamazaki, K., 1977, On a tchniqu to obtain an optimum stngth shap by th finit lmnt mthod, Bulltin of JSME, vol. 0, pp [6] Olivira, E. R. F., 003, Otimização d forma d lmntos struturais planos, Ts d Doutorado, Univrsidad Fdral d Ubrlândia, MG, Brasil [7] Rossow, M. P., Taylor, J. E., 1976, An optimal structural dsign algorithm using opmality critria, Socity Engnring Scinc, 13 th Annual Mting, Hampton, VA. 55