VALTER UNTERBERGER FILHO PROJETO DE REFORÇAMENTO DE PLACAS E CHAPAS UTILIZANDO MÉTODO DE OTIMIZAÇÃO TOPOLÓGICA

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1 VALTER UTERBERGER FILHO PROJETO DE REFORÇAMETO DE PLACAS E CHAPAS UTILIZADO MÉTODO DE OTIMIZAÇÃO TOPOLÓGICA Trabalho d Formatura aprsntado à Escola Politécnica da Univrsidad d São Paulo São Paulo 007

2 VALTER UTERBERGER FILHO PROJETO DE REFORÇAMETO DE PLACAS E CHAPAS UTILIZADO MÉTODO DE OTIMIZAÇÃO TOPOLÓGICA Trabalho d Formatura aprsntado à Escola Politécnica da Univrsidad d São Paulo Ára d Concntração: Engnharia Mcânica Orintador: Profssor Doutor Emílio Carlos lli Silva São Paulo 007

3 FICHA CATALOGRÁFICA Sumário Untrbrgr Filho, Valtr Projto d rforçamnto d placas chapas utilizando o mtodo d otimização topológica / V. Untrbrgr Filho. -- São Paulo, 007. p. 87 Trabalho d Formatura - Escola Politécnica da Univrsidad d São Paulo. Dpartamnto d Engnharia Mcânica..Otimização topológica.rstriçõs d manufatura I.Univrsidad d São Paulo. Escola Politécnica. Dpartamnto d Engnharia Mcânica II.t.

4 Rsumo Uma constant m todos os projtos d Engnharia é a contínua busca por mlhorias. Por aprfiçoamnto ntnd-s não somnt mlhorar a qualidad do projto, mas também, tratando-s d struturas, rduzir custos ou pso sm qu su dsmpnho sja prjudicado. Para tanto o ngnhiro prcisa d frramntas capazs d auxiliar o dsnvolvimnto d sus projtos com qualidad d forma rápida pouco onrosa. st trabalho é aprsntado um studo do rforçamnto d placas chapas utilizando o Método d Otimização Topológica (MOT), com o objtivo d maximizar a rigidz da strutura minimizar su pso. O MOT é uma frramnta computacional capaz d sinttizar struturas mcânicas através da distribuição d matrial m uma rgião do domínio dtrminado plo usuário, rspitando as rstriçõs impostas; para isto faz uso da combinação d métodos d otimização com Métodos d Elmntos Finitos (MEF). Para a solução do MEF é utilizado o softar comrcial ASYS, cujo mprgo na indústria é bastant amplo dado su xclnt dsmpnho disponibilidad d rcursos. Para scrvr o algoritmo d otimização foi scolhida a linguagm do próprio ASYS, dnominada APDL ( Ansys Paramtric Dsign Languag ). Além d sr d fácil aprndizagm, com o uso dsta linguagm não é ncssário scrvr um algoritmo para a solução do MEF, já qu o softar já dispõ dst rcurso. O MOT é aplicado ao rforçamnto d strutura. Para isto é criada uma strutura com duas camadas, mais conhcida como multilayr (duas placas coladas uma na outra), sndo qu uma rprsnta a strutura, a outra, o rforçamnto. O MOT é aplicado somnt ao rforçamnto. À msma placa dscrita acima é aplicado o rforçamnto. Vrifica-s qu a distribuição d massa é compltamnt difrnt daqula aprsntada pla otimização da strutura. Por fim são implmntadas rstriçõs d manufatura, qu são rstriçõs no algoritmo d otimização qu garantm qu as struturas obtidas sjam manufaturávis. Como xmplo é analisado o projto do rforçamnto d um vaso d prssão.

5 Abstract On of th major challngs in Enginring is th constant improvmnt. As improvmnt undrstood not only to obtain dsigns ith bttr quality, but also, considring th fild of structural dsign, to try to rduc its costs and ight ithout any lost in prformanc. Thrfor, th nginr nds tools abl to hlp him quickly, fficintly and ith lo cost in th dsign dvlopmnt. This ork prsnts a plat and shll rinforcmnt study using th Topology Optimization Mthod (TOM), ith th purpos to maximiz th structur stiffnss and rduc its ight. Th TOM is a computational tool abl to find th optimal matrial distribution in a dsign domain rspcting th constraints imposd by th usr. For that, th TOM uss a combination of th Finit Elmnt Mthod (FEM) and optimization mthods. To solv th FEM problm is usd th commrcial softar ASYS, hich is vry common in th industry du to its xcllnt prformanc and availabl rsourcs. For th optimization algorithm is chosn th ASYS on programming languag, calld APDL ( ASYS Paramtric Dsign Languag ). Using APDL it is not ncssary to dvlop th FEM algorithm, onc th softar alrady is abl to solv this problm. Th TOM is usd to dtrmin th rinforcmnt optimal gomtry. For that a multi-layrd structur (to layrs) is cratd, hr on of thm rprsnts th structur and th scond on, th rinforcmnt. To th sam plat dscribd abov is applid th rinforcmnt (in th scond layr). It is vrifid that mass distribution is compltly diffrnt from that on obtaind by th structur s optimization. At last, manufacturing constraints ar implmntd in ordr to gt structurs dsigns that can b manufacturd. As an xampl ths manufacturing constraints ar applid to th rinforcmnt dsign of a multi-layrd squar plat and to th dsign of a prssur vssl rinforcmnt.

6 LISTA DE FIGURAS LISTA DE TABELAS LISTA DE ABREVIATURAS E SIGLAS COVEÇÕES E LISTA DE SÍMBOLOS ITRODUÇÃO.... Objtivo Justificativa... MÉTODO DOS ELEMETOS FIITOS Introdução Elmntos Bidimnsionais Elmntos d Casca OTIMIZAÇÃO ESTRUTURAL Introdução Concitos Grais Formulação do problma d otimização Problmas d otimização strutural Otimização Topológica Concituação Modlo d matrial Aspctos uméricos da Otimização Topológica FORMULAÇÃO DO PROBLEMA DE OTIMIZAÇÃO TOPOLÓGICA Minimização da Flxibilidad Média Critério da Otimalidad IMPLEMETAÇÃO UMÉRICA Introdução Inicialização das Variávis Anális Estrutural Cálculo da Função Objtivo Rotina d Otimização Anális da Convrgência Pós-Procssamnto Exmplo d Aplicação Rsultados: Placa Submtida a uma Força... 5

7 5.. Rsultados: Placa Submtida a duas Forças REFORÇAMETO DE ESTRUTURAS RESTRIÇÕES DE MAUFATURA Rstriçõs d Manufatura na Placa Plana Caso Prático: Caixa d Prssão COCLUSÃO E COMETÁRIOS REFERÊCIAS BIBLIOGRÁFICAS AEXO A Códigos APDL para Placa Plana AEXO B Códigos APDL para Placa Plana com Rforçamnto

8 Lista d Figuras Figura : Domínio a sr otimizado... 3 Figura : umração local dos nós d um lmnto quadrado Figura 3: Gomtria do lmnto bidimnsional as coordnadas local global Figura 4: Gomtria do lmnto PLAE8 d 8 nós Figura 5: Elmnto SHELL63 utilizado no ASYS Figura 6: Domínio admissívl m um problma d otimização bidimnsional... 7 Figura 7: Difrnts tipos d otimização strutural Figura 8: Exmplo d DFE (squrda) a forma otimizada obtida (dirita)... Figura 9: Fluxograma d um procsso d otimização típico... Figura 0: Configuração da Microstrutura Método da Homognização... 5 Figura : Exmplo d solução com instabilidad d tabuliro (m dstaqu)... 9 Figura : Dpndência d malha no problma d Otimização Topológica Figura 3: Barra sob tração uniaxial Figura 4: Exmplo d como furos mnors podm aumntar o prímtro para um dado volum. V é o volum P é o prímtro intrno dos furos Figura 5: Domínio a sr otimizado Figura 6: Fluxograma do Algoritmo d Otimização Figura 7: Rprsntação da placa plana sujita a uma força Figura 8: Rprsntação da placa plana sujita a duas forças Figura 9: Modlo da placa plana discrtizada Figura 0: Distribuição d massa após 5 itraçõs Figura : Distribuição d massa após a 0ª itração... 5 Figura : Distribuição d massa após a 5ª itração... 5 Figura 3: Distribuição d massa após a 0ª itração Figura 4: Distribuição d massa após a 5ª itração Figura 5: Estrutura final obtida Figura 6: Curva d convrgência da função objtivo Figura 7: Duas forças aplicadas. Rstrição volumétrica d 30% Figura 8: Duas forças aplicadas. Rstrição volumétrica d 40% Figura 9: Duas forças aplicadas. Rstrição volumétrica d 50%... 56

9 Figura 30: Curva d convrgência da função objtivo para a rstrição volumétrica d 30% Figura 3: Curva d convrgência da função objtivo para a rstrição volumétrica d 50% Figura 3: Elmnto SHELL9. Em dstaqu a rprsntação das camadas do lmnto Figura 33: Distribuição d massa após a 5ª itração para Figura 34: Distribuição d massa após a 30ª itração para Figura 35: Distribuição d massa após a 45ª itração para Figura 36: Distribuição d massa após a 60ª itração para Figura 37: Distribuição d massa após a 75ª itração para = = = = = Figura 38: Convrgência da função objtivo para a placa com rforçamnto... 6 Figura 39: Distribuição d massa após a 45ª itração para Figura 40: Distribuição d massa após a 60ª itração para Figura 4: Distribuição d massa após a 75ª itração para = = = Figura 4: Convrgência para placa com rforçamnto. Rlação d spssuras d = Figura 43: Distribuição d massa após a 45ª itração para Figura 44: Distribuição d massa após a 75ª itração para = = Figura 45: Convrgência da função objtivo para a placa com rlação =

10 Figura 46: Fluxograma das tapas do procsso d OT com rstriçõs d manufatura Figura 47: Rprsntação da rstrição d manufatura d tira vrtical: sm (squrda) com (dirita) Figura 48: Otimização com rstrição d tiras horizontais... 7 Figura 49: Otimização com rstrição d tiras vrticais... 7 Figura 50: Convrgência da função objtivo para a otimização com rstriçõs d tiras horizontais Figura 5: Convrgência da função objtivo para a otimização com rstriçõs d tiras vrticais Figura 5: Rprsntação da aplicação d rstrição d simtria Figura 53: Otimização com rstrição d simtria horizontal Figura 54: Otimização com rstrição d simtria vrtical Figura 55: Rstrição d rptição d padrão (LIPPI, 007) Figura 56: Otimização com rstrição d rptição d padrão Figura 57: Convrgência da função objtivo para a otimização com rstriçõs d rptição d padrão Figura 58: Modlo da caixa d prssão utilizado na simulação m ASYS Figura 59: Método d otimização topológica aplicado ao rforçamnto da caixa d prssão Figura 60: Convrgência da função objtivo para o rforçamnto da caixa d prssão Figura 6: Otimização da caixa d prssão com rstrição d tiras vrticais... 8 Figura 6: Otimização da caixa d prssão com rstrição d tiras horizontais... 8 Figura 63: Convrgência da função objtivo para o rforçamnto com rstrição d tiras vrticais Figura 64: Convrgência da função objtivo para o rforçamnto com rstrição d tiras horizontais

11 Lista d Tablas Tabla : Componnts E E para EPT EPD... 7

12 Lista d Abrviaturas Siglas D 3D APDL CAD CAE CAM DFE EPD EPT MEF MOT OT SIMP Bidimnsional Tridimnsional ASYS Paramtric Dsign Languag Computr Aidd Dsign Computr Aidd Enginring Computr Aidd Manufacturing Domínio Fixo Estndido Estado Plano d Dformação Estado Plano d Tnsão Método dos Elmntos Finitos Método d Otimização Topológica Otimização Topológica Simpl Isotropic Matrial ith Pnalization

13 Convnção Lista d Símbolos A Altura da Caixa d Prssão A Ára da suprfíci do lmnto B Matriz das drivadas das funçõs d intrpolação d Matriz d valors nodais E ( X) Tnsor constitutivo ou matriz d rigidz E Módulo d Elasticidad E 0 Tnsor constitutivo do matrial isotrópico f Vtor d forças concntradas f Fração volumétrica v ( X) ( X) f Função objtivo g Rstriçõs d dsigualdad H Matriz das funçõs d intrpolação h ( X) Rstriçõs d igualdad J Matriz Jacobiana J Dtrminant da matriz Jacobiana K L Lc n P p t U u u V 0 ( Ω) Matriz d rigidz do lmnto Lagrangano Largura da Caixa d Prssão Função d intrpolação úmro d lmntos Prssão Intrna Fator d pnalização Vtor d forças distribuídas Enrgia potncial Vtor dslocamnto Dslocamnto na dirção x Volum inicial da strutura V Volum do domínio discrtizado v Volum do lmnto v Dslocamnto na dirção y Dslocamnto na dirção z Espssura da strutura Espssura do rforçamnto X Vtor das variávis do projto x Dirção x no sistma d coordnadas global x Vtor posição y Dirção y no sistma d coordnadas global z Dirção z no sistma d coordnadas global χ ( X) Função discrta ε Tnsor das dformaçõs

14 Γ t Contorno do domínio com forças distribuídas aplicadas Γ u Contorno do domínio rstrito Ω Domínio fixo stndido do projto mat Ω Rgião do domínio fixo ond há prsnça d matrial Ω Domínio fixo stndido d um lmnto λ Vtor d multiplicadors d Lagrang η Dirção η no sistma d coordnadas local η ( X) Função psudo-dnsidad contínua κ Fator d amortcimnto ν Coficint d Poisson Π Funcional da nrgia potncial ρ Dnsidad do matrial isotrópico 0 ( X) ρ Dnsidad σ Tnsor das tnsõs ξ Dirção ξ no sistma d coordnadas local ψ Dirção ψ no sistma d coordnadas local ζ Limit móvl

15 ITRODUÇÃO Uma constant m todos os projtos d Engnharia é su aprfiçoamnto, a constant busca por mlhorias. Por aprfiçoamnto ntnd-s não somnt mlhorar a qualidad do projto, mas também, tratando-s d struturas, rduzir custos ou pso sm qu sta sofra qualqur prda m trmos d dsmpnho. Dsta forma, grand part dos dsnvolvimntos stá basada na xpriência d um grupo d profissionais mpnhados m, na maior part das vzs, apnas mlhorar os projtos já xistnts. st sntido os métodos d otimização aprsntam-s como uma frramnta promissora para auxiliar o dsnvolvimnto d struturas. st trabalho visa o studo do rforçamnto d placas chapas utilizando o Método d Otimização Topológica (MOT). Outros métodos d otimização, como otimização d forma paramétrica srão aprsntados, mas apnas suprficialmnt. O Método d Otimização Topológica é uma frramnta computacional capaz d sinttizar struturas mcânicas através da distribuição d matrial m uma rgião do spaço, rspitando as rstriçõs impostas; para isto faz uso da combinação d métodos d otimização com Métodos d Elmntos Finitos (MEF). A grand vantagm do método d otimização topológica frnt aos outros métodos tradicionais d otimização é a capacidad d forncr o liaut ótimo para uma dada aplicação, não ficando rstrito somnt a altraçõs na forma ou msmo nos parâmtros da strutura, como spssura, comprimnto, tc.. Inicialmnt o MOT foi dsnvolvido para a aplicação m struturas visando a maximização d rigidz. Hoj é mprgado também m projtos d mcanismos flxívis, m projto d matriais d struturas para a absorção d impacto, ntr outras (BEDSØE, 003). st trabalho srá aprsntado o Método d Otimização Topológica aplicado a struturas, utilizando como frramnta auxiliar o método d lmntos finitos, qu srá implmntado através do uso d um softar comrcial.

16 . Objtivo Justificativa Conform aprsntado na sção antrior, prcb-s qu, cada vz mais, o ngnhiro prcisa d frramntas capazs d auxiliar o dsnvolvimnto d sus projtos com qualidad d forma rápida pouco onrosa. as últimas décadas os métodos computacionais vêm ganhando spaço têm s tornado cada vz mais rsponsávis plos bons rsultados obtidos, ntr os quais pod-s citar o MEF, os métodos d otimização até msmo frramntas como o CAD, CAM CAE. Assim, o objtivo dst trabalho é comprndr implmntar o Método d Otimização Topológica, inicialmnt aplicando m struturas bastant simpls para validar a mtodologia mprgada, postriormnt aplicar a msma mtodologia, porém mais dsnvolvida, no projto d rforçamnto d struturas. É important rssaltar qu o critério utilizado para dtrminar a strutura ótima foca a sua rigidz, d forma qu o uso do MOT busca a rdução da dflxão dos lmntos da strutura, através da minimização d sua nrgia potncial total. Por fim são implmntadas rstriçõs d manufatura, qu são rstriçõs no algoritmo d otimização d forma qu s possa garantir qu as struturas obtidas sjam ótimas factívis, ou sja, ótimas manufaturávis. Val rssaltar qu, dvido às rstriçõs, podm xistir outras struturas tóricas ótimas, mas nada s pod afirmar com rlação à possibilidad d sua fabricação. É utilizado o método das dnsidads com pnalização, ou SIMP ( Simpl Isotropic Matrial ith Pnalization ), nquanto qu o critério da otimalidad é scolhido como algoritmo d otimização. Filtros são utilizados para vitar soluçõs matmáticas indsjávis, tais como a instabilidad d xadrz dpndência d malha. Para a solução do MEF é utilizado o softar comrcial ASYS, uma frramnta computacional muito mprgada, principalmnt para cálculo strutural. A programação é fita toda m APDL ( ASYS Paramtric Dsign Languag ), uma linguagm do próprio ASYS, qu tm como grand vantagm não sr d difícil aprndizagm.

17 3 MÉTODO DOS ELEMETOS FIITOS. Introdução O objtivo dst capítulo é aprsntar d forma bastant dirta rsumida os principais concitos nvolvidos no Método dos Elmntos Finitos (MEF) utilizados nst trabalho. Tanto os concitos como formulaçõs aqui aprsntados foram basados basicamnt m (BEDSØE, 003), (MEYE, 004) (LOPES, 005). Considr um corpo tridimnsional gnérico ocupando um domínio é part d um grand domínio Ω m R ou mat Ω qu 3 R. Est é scolhido d tal forma qu sja possívl aplicar forças concntradas f m qualqur rgião do corpo forças distribuídas t ao longo d sua suprfíci Γ t. a rgião dtrminada por Γ u o corpo stá rstrito, como mostrado na Figura. Figura : Domínio a sr otimizado. A partir do Princípio da Mínima Enrgia Potncial Total pod-s scrvr, d forma gnérica, a quação contínua da nrgia: Ω Π( u, v) = U ( u, v) dω fudω tudγ (.) Ω Γt t

18 4 ond U ( u, v) é a nrgia potncial m função dos dslocamnto u v. A primira intgral da quação. rprsnta a nrgia d dformação, nquanto qu a soma das duas últimas intgrais rfr-s ao trabalho das forças xtrnas. Tanto para o caso bidimnsional como para o tridimnsional a nrgia potncial é scrita da msma forma, sndo qu a difrnça ntr ambos os casos ncontra-s no vtor dslocamnto, qu para o caso bidimnsional é = [ u,v] nquanto qu para o caso tridimnsional é = [ u, v, ] u. u, Com s trata d um problma d lmntos finitos, as quaçõs são trabalhadas na forma discrta. Assim, a nrgia potncial pod sr scrita como função do vtor dformaçãoε, do tnsor constitutivo ou matriz d rigidz E, como mostrado na quação (.). U ( u, v) = ε ( u) E ε ( v) (.) Utilizando as formulaçõs do MEF, as dformaçõs função da matriz das drivadas das funçõs d intrpolação nodais d dslocamnto ε podm sr scritas m B da matriz d valors d, qu podrão sr mlhor comprndidas no próximo tópico quando form dmonstradas para a aplicação m lmntos bidimnsionais. Para problmas planos isotrópicos as matrizs podm sr rprsntadas d uma forma simplificada, com mnos lmntos, dvido à sua simtria mprgando-s, nst caso, o índic. Isto também srá mostrado adiant. ε T ( B ) d = (.3) Intrpolando os dslocamntos u no intrior d cada lmnto, basado nos valors nodais d dslocamnto d, tm-s: u T ( ) d = (.4)

19 5 Substituindo-s as quaçõs (.), (.3) (.4) na quação (.), obtém-s o funcional da nrgia potncial total. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Γ Ω Ω Γ Ω Ω Π = d d d T T T T d t d f d B E d B (.5) Dv-s minimizar a funcional d nrgia m rlação ao campo d dslocamntos igualar a zro. Esta é a condição d nrgia d dformação mínima, condição ncssária suficint para assgurar o quilíbrio m toda a strutura, bm como qualqur uma d suas parts. ( ) ( ) ( ) ( ) 0 d d Γ = Ω Ω = Π Γ Ω Ω d d d T T T t f d B E B d (.6) S tratando d MEF, dv-s discrtizar o domínio Ω m n lmntos, d tal forma qu: = Ω Ω = n i i (.7) Aplicando-s a quação (.7) m (.6): ( ) ( ) ( ) ( ) 0 = Γ + Ω = Ω = Γ = Ω = Ω n T n T n T d d d t f d B E B (.8)

20 6. Elmntos Bidimnsionais A sguir srá aprsntada a formulação matmática para a aplicação do MEF m um lmnto plano, bidimnsional com quatro nós. Para st tipo d lmnto os carrgamntos dvm sr coplanars à sua suprfíci. Dssa forma pod-s tr o lmnto m dois stados possívis: Estado Plano d Tnsão (EPT): ond as tnsõs são prpndiculars à suprfíci são nulas, ou sja, σ = 0, porém as dformaçõs nsta dirção não prcisam sr obrigatoriamnt nulas, ε 0. Estado Plano d Dformação (EPD): ond as dformaçõs na dirção z prpndicular ao plano são nulas, ou sja, ε = 0, porém as tnsõs atuants nsta dirção não prcisam sr nulas, σ 0. z z z Para lmntos planos considram-s duas variávis dslocamnto u v nas dirçõs x y rspctivamnt. st caso pod-s utilizar uma notação compacta, numrando dirçõs x y, como xmplificado na quação (.9): x x x = =, y x u u u = = (.9) v u S form considradas somnt dformaçõs infinitsimais: u ε x =, x v u v ε y =, ε xy = + (.0) y y x Ou simplsmnt na forma compacta: ij = ( + u ) ε (, j =,) u i, j j, i i (.)

21 7 A Li d Hook dscrv uma rlação linar ntr as tnsõs σ ij as dformaçõs ε ij através do tnsor d lasticidad E ijkl : σ = (, j, k, l =, ) ij Eijklε kl i (.) Esta rlação pod também sr scrita na forma clássica, m uma matriz quadrada ond os lmntos principais s ncontram na diagonal os trmos cruzados prnchm, d forma simétrica, o rstant da matriz. Como s trata d um problma isotrópico, pod-s rprsntar as matrizs quadradas utilizando-s apnas uma vz os lmntos rptitivos na matriz, ou sja, ao invés d rprsntarmos uma matriz x, pod-s utilizar um vtor com três lmntos. Para idntificar sta formulação vtorial utiliza-s o índic. σ = Eε σ x E = σ y E τ xy 0 E E 0 0 ε x 0 ε y G γ xy (.3) Com sta técnica d armaznagm divrsas opraçõs podm sr ftuadas dntro do programa d MEF através do produto d vtors, ou do produto matrizvtor d forma bastant rápida ficint. Os valors d E d E são difrnts para o caso da adoção do EPT ou EPD, ambos são função do coficint d Poisson ν do módulo d lasticidad E, como mostrado na Tabla. G é o modulo d lasticidad transvrsal ou d cisalhamnto, é igual para o EPT o EPD. Tabla : Componnts E E para EPT EPD Estado Condiçõs E E G EPT σ = 0, 0 EPD σ 0, ε = 0 z z E ν ε z z E( ν ) ( + ν )( ν ) ν E E νe ( + ν ) ( ν )

22 8 Para o lmnto plano, isotrópico com 4 nós o sistma d coordnadas (local) srá considrado, primiramnt, no cntro do lmnto, alinhado ao sistma d coordnadas global ( ) y x,, como mostrado na Figura. Figura : umração local dos nós d um lmnto quadrado. Os vtors posição dslocamnto do lmnto também podm sr scritos d uma forma bastant compacta, vtorial, com a numração fazndo rfrência a cada um dos nós: = 4 3 x x x x x, = 4 3 y y y y y, = 4 3 u u u u u, = 4 3 v v v v v, = v u d (.4) As funçõs d intrpolação rfrnciadas ao cntro do lmnto, ou sja, a um sistma d coordnadas local ( ) y x,, é dscrito por: ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) = = y x y x y x y x y x 4, 4 3 (.5) Assim, os dslocamntos d qualqur ponto do lmnto podm sr xprssos m trmo da função d intrpolação: ( ) ( ) T y x y x u u,,, ( ) ( ) T y x y x v v,, (.6)

23 9 Ou na forma vtorial considrando o vtor dslocamnto [ ] T u,v = d : T T T T v u d H v u 0 0 d = = (.7) ond = H [ ] v v v v u u u u = d Através das drivadas das funçõs d intrpolação m rlação ao sistma d coordnadas pod-s dtrminar a matriz das drivadas das funçõs d intrpolação B. Val notar qu sta opração nada mais é do qu drivar a quação (.7) m rlação ao sistma d coordnadas, d forma qu a drivada do vtor dslocamnto d nos fornc o vtor das dformaçõs ε, nquanto qu a drivada da matriz H dá origm à matriz B. T T T T T T x y y x d B v u 0 0 ε = = (.8) = x x x x y y y y y y y y x x x x B

24 0 o sistma d coordnadas locais o lmnto é quadrado, com o ixo d coordnadas localizado no cntro do lmnto. Mas não ncssariamnt o lmnto stará alinhado com a coordnada global srá prfitamnt quadrado, como mostrado na Figura 3. Ests lmntos d difrnts tamanhos formas são criados durant a discrtização d uma strutura são dnominados isoparamétricos. Crias, ntão, um sistma d coordnadas local para o lmnto ( ξ, η), uma mudança d variávl, fazndo rfrência às coordnadas globais, é ncssária para rsolução corrta do MEF. Figura 3: Gomtria do lmnto bidimnsional as coordnadas local global. As coordnadas d um ponto gnérico ( x, y) do lmnto isoparamétrico são obtidas m função das coordnadas nodais do lmnto, utilizando polinômios bilinars do lmnto rtangular. A aproximação para as componnts horizontal vrtical do dslocamnto mcânico d cada ponto no domínio do lmnto é dada pla quação (.9). A quação (.0) rprsnta a função d intrpolação no sistma d coordnadas local. x = 4 i= T ( ξ, η) = x, y = (, η) i x i 4 i= T i ξ y i = y (.9) ( ξ )( η) ( + ξ )( η) ( )( ) ( )( ) + ξ + η ξ + η = = (.0) 3 4 4

25 Com o uso da rgra da cadia pod-s drivar a função d intrpolação m rlação ao sistma d coordnadas global: x ξ x ξ = + = + = y y x x y y x x η η η ξ ξ ξ (.) Ou scrito na forma matricial, ond J é a matriz Jacobiana d transformação: = y x y x y x Jacobiana Matriz 443 η η ξ ξ η ξ (.) Dsta forma ambos os sistmas podm sr rlacionados através da sguint quação: = η ξ T y x J (.3) E d forma análoga pod-s scrvr a rlação ntr as funçõs d intrpolação: ( ) ( ) ξ J x = η ξ η ξ,, i i (.4) Dsta forma é possívl obtr a matriz d rigidz d um lmnto, quação (.5). O fator d intgração da rfr-s à suprfíci do lmnto, pod-s aplicar o Jacobiano para transformar a quação scrita m sistma local ( ) η ξ, para o sistma d coordnadas globais ( ) y x,.

26 T ( B ) E ( B ) K = da (.5) A A K da = Kdxdy = Kdt Jdξdη (.6) x y Aplicando a quação (.6) na (.5) rsulta: T ( B ) E ( B ) K = J dξdη (.7) A O lmnto aqui utilizado para xplicar o MEF pod não rprsntar d forma satisfatória a dformação d flxão no su plano. Isso s dá porqu as funçõs d intrpolação utilizadas são linars, não prmitindo qu os lados do lmnto s curvm, d forma qu quando submtido a um carrgamnto d flxão no su plano st pod rspondr d forma mais rígida qu a ral. Pod-s utilizar mais nós nas latrais do lmnto afim d mlhor aproximar o campo d dslocamntos do lmnto. Isso, porém, rqur quaçõs maiors, portanto, um gasto computacional mais lvado. o softar ASYS o lmnto isoparamétrico bilinar d quatro nós d lasticidad plana é dnominado PLAE 4, nquanto qu o PLAE 8 é o lmnto plano d oito nós. Pod-s stndr as msmas formulaçõs matmáticas aqui mostradas para o lmnto PLAE 8 sm grands dificuldads. Dv-s atntar apnas para a função d intrpolação dst lmnto, qu é bastant difrnt, obviamnt, por aprsntar um númro maior d nós. Est lmnto stá rprsntado na Figura 4 suas funçõs d intrpolação s ncontram na sqüência.

27 3 Figura 4: Gomtria do lmnto PLAE8 d 8 nós. ( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) η ξ η ξ η ξ η ξ η ξ η ξ η ξ η ξ η ξ η ξ η ξ η ξ = + = + = = + + = = + = = P O M L K J I (.8).3 Elmntos d Casca Existm dois tipos d lmntos tridimnsionais utilizados plo ASYS. O primiro, mais conhcido, é o sólido. O sgundo, qu srá utilizado nst trabalho, chama-s casca, mas é comumnt utilizado o su nom m inglês: shll. O lmnto d casca é, na vrdad, um lmnto plano, mas classificado como 3-D por possuir spssura, qu dv sr dtrminada plo usuário, não obrigatoriamnt, constant ao longo do lmnto. Ests lmntos são abstraçõs da ngnharia, uma vz qu suprfícis gométricas não possum spssura, porém

28 4 são capazs d rprsntar muito bm struturas cujas dimnsõs são muito maiors qu sua spssura. A grand difrnça dst tipo d lmnto m rlação aos lmntos planos é qu l aprsnta flxão normal ao su plano, nls podm sr aplicadas forças prpndiculars ao plano. Dsta forma cada nó aprsnta sis graus d librdad (3 translaçõs 3 rotaçõs). O lmnto SHELL63, apsar d sr o mais antigo dntro d sua catgoria, é hoj ainda o mais difundido m anális d cascas. El é capaz d analisar grands dflxõs, mas não plasticidad. Como altrnativa ao SHELL63 podr-s utilizar o SHELL93, qu nada mais é do qu uma vrsão aprimorada do SHELL63, sndo capaz d analisar também plasticidad. El possui 8 nós, dsta forma, ofrc rsultados ainda mais ralistas, mas também rqur maior tmpo d procssamnto. Já o lmnto SHELL9 é uma das mais novas cascas implmntadas no ASYS. Além d considrar plasticidad grands dflxõs também pod sr utilizado para modlos d compósitos laminados. A Figura 5 traz uma rprsntação gráfica do lmnto SHELL63. Figura 5: Elmnto SHELL63 utilizado no ASYS. A msma formulação matmática aprsntada para os lmnto isotrópico bidimnsional d quatro nós também pod sr mprgada nos lmntos d casca, com a grand difrnça d o lmnto possuir, agora, dslocamnto na dirção Z. Dsta forma, o vtor dslocamnto adquir mais uma variávl é rprsntado por [ u, v, ] T u =. Como consqüência, o vtor dformação dobra d tamanho, ou sja, nquanto qu no lmnto bidimnsional possui apnas três variávis, s form considrados

29 5 os dslocamntos também na dirção Z o vtor passa a tr sis variávis, como mostrado na quação (.9): [ ε ε ε γ γ γ ] T ε = x y z yz zx xy (.9) E d forma análoga aos lmntos bidimnsionais, a nrgia potncial a matriz d rigidz d um lmnto d casca podm sr dtrminadas pla quação (.30) (.3) rspctivamnt (KIKUCHI, 99). Porém a intgração dv sr fita ao longo do volum do lmnto, difrntmnt do lmnto plano, cuja intgração dv sr na ára, como mostram as quaçõs abaixo: T { ε } E ε Ω Π = dzd A h h (.30) = A T ( B ) E ( B ) dzdω h K (.3) h Com o uso da matriz d transformação d coordnadas, como mostrado na quação (.3) pod-s facilmnt obtr a matriz d rigidz d um lmnto no sistma global (quação.33). Esta dmonstração pod sr facilmnt ncontrada m bibliografias não srá dsnvolvida nst trabalho. V K dv = Kdxdydz = Kdt Jdξdηdψ (.3) x y z K = A h h T ( B ) E ( B ) J dψdηdξ (.33) Val rssaltar qu o método d otimização qu srá mprgado nst trabalho considra qu a spssura do lmnto d casca é constant dfinida plo projto, ou sja, o rforçamnto da strutura s dará pla otimização somnt d sua topologia.

30 6 3 OTIMIZAÇÃO ESTRUTURAL 3. Introdução O problma d otimização tm como objtivo ncontrar a mlhor solução dntro d um spaço d soluçõs possívis, ou sja, dtctar o máximo ou o mínimo d uma dada função objtivo, sm violar as rstriçõs do problma. 3. Concitos Grais 3.. Formulação do problma d otimização Como já dito antriormnt, o problma d otimização consist m ncontrar a mlhor solução sm violar nnhuma das rstriçõs impostas, ou sja, maximizar ou minimizar a função objtivo, dpndndo do proposto. A função objtivo, dnominada f ( X), dtrmina o dsmpnho do projto. Como xmplo, la pod dtrminar pso, dformação, custos, confiabilidad, tc.. X = x, x, K, x n, x n R, Ela é dpndnt das variávis d projto, o vtor ( ) n qu podm sr altradas ao longo do procsso d otimização. Dsja-s justamnt ncontrar os valors das variávis d projto qu conduzm a função objtivo ao valor mínimo. As rstriçõs podm sr d igualdad ou d dsigualdad dfinm o spaço viávl do problma d otimização, ou sja, o domínio admissívl ond as rstriçõs são satisfitas. Por xmplo, são as rstriçõs qu garants qu não s chgu a uma solução ond a sção transvrsal d uma viga é ngativa, ou qu as tnsõs m um vaso d prssão não xcdam o limit admissívl do matrial. O problma d otimização pod sr formulado matmaticamnt, sgundo (BECKER, 005; LOPES, 005), da sguint manira: T min { f ( X) h( X) = 0, g( X) 0} (3.) n x R tal qu

31 7 i ( X) 0 g i = K,, I Rstrição d dsigualdad k ( X) = 0 h k = K,, K Rstrição d igualdad X MI _ j X X Rstrição latral j MAX _ j A Figura 6 rprsnta o domínio admissívl (spaço viávl) m um problma d otimização bidimnsional, localizada na part intrna da ára limitada plas rstriçõs. O ponto ótimo s dá no ncontro d duas rstriçõs, como na maioria dos casos. Figura 6: Domínio admissívl m um problma d otimização bidimnsional. 3.. Problmas d otimização strutural Os problmas d otimização strutural stão divididos m três catgorias principais: Otimização Paramétrica ( sizing optimization ): dfin-s para uma dada strutura uma forma física. Esta pod sr variada através d parâmtros, como sçõs transvrsal, spssuras, comprimntos, tc.. A otimização consist na obtnção da combinação d parâmtros qu consiga lvar a sua função objtivo ao xtrmo (máximo ou mínimo), dsd qu todas as rstriçõs stjam satisfitas.

32 8 Otimização d forma ( shap optimization ): objtiva otimizar uma forma pré-dtrminada d uma strutura, também sm violar as rstriçõs. Comumnt st tipo d otimização é utilizado m problmas locais é amplamnt mprgado principalmnt na indústria automobilística aronáutica. Como xmplo pod-s citar su uso para minimizar as tnsõs provocadas por rbaixos /ou ntalhs. Uma dsvantagm dst método é qu l proporciona soluçõs com pqunas altraçõs m rlação ao projto original dforma a malha ou xig a rdfinição da malha do MEF durant o procsso d otimização. Otimização topológica ( topology optimization ): concntra-s na mlhor distribuição do matrial ao longo da strutura, dntro d um dtrminado domínio, d forma qu a função objtivo otimizada (maximizada ou minimizada). A Figura 7 contribui para a comprnsão dos tipos d otimização dscritos. o primiro caso (a) tnta-s otimizar a strutura modificando as sçõs transvrsais das vigas, no (b) as variávis são os parâmtros qu dscrvm a forma dos furos, nquanto m (c) é aprsntado um típico caso d otimização topológica. Figura 7: Difrnts tipos d otimização strutural.

33 9 3.3 Otimização Topológica A busca por mlhorias, não somnt d dsmpnho como também d sforços (custos), é uma constant nos projtos d struturas mcânicas. Para atndr tais rquisitos, s faz uso, ntr outras frramntas, do Método d Otimização Topológica (MOT). Os métodos d otimização, d uma forma gral, vêm s dsnvolvndo dsd ants da década d 60, quando a otimização ra basada na programação matmática a anális d snsibilidad. Porém a formulação dsnvolvida na época prmitia a solução somnt d problmas paramétricos d struturas rticuladas, o qu du origm a otimização paramétrica. a década d 70 foram dsnvolvidos divrsos métodos d otimização d forma qu, analogamnt aos métodos d otimização paramétrica, já ram basados m métodos d lmntos finitos, métodos numéricos basados na programação matmática analis d snsibilidad. A grand dsvantagm da otimização d forma é qu a gomtria da strutura varia, sndo qu a cada nova itração do procsso d otimização o modlo d lmntos finitos dv sr também modificado. Para suprir tal dificuldad Bndsø Kikuchi (BEDSØE; KIKUCHI, 988) propusram o MOT basado m um método d otimização d distribuição d matrial m um domínio fixo, d forma qu o modlo d lmntos finitos (a discrtização) não prcisa sr modificado. A topologia da strutura s dá pla prsnça ou ausência d matrial nos lmntos da malha grados no procsso d discrtização. Para isso o autor s basia na paramtrização das propridads do matrial através do concito d microstrutura. Com a utilização do concito d microstrutura Bndsø Kikuchi (BEDØE; KIKUCHI, 988) stablcram um modlo d matrial qu dfinia a mistura m microscala d dois ou mais matriais, prmitindo qu houvss stágios intrmdiários ntr as condiçõs d ausência d matrial sólido, já qu o problma d otimização considrando-s lmntos com dnsidad binária não tm solução (SIGMUD, PETERSSO, 998). Após a consolidação do método d otimização topológica surgiram várias linhas d dsnvolvimnto aplicação dst, como sua intgração aos sistmas d

34 0 CAD, aplicação m projtos d mcanismos flxívis d microstruturas pizlétricas, tc.. Sab-s qu st método é atualmnt amplamnt mprgado principalmnt na indústria automobilística, aronáutica spacial. A grand vantagm do procsso d otimização topológica é a capacidad d altração da topologia da strutura, não ficando somnt limitado à sua forma. A forma da strutura é o contorno xtrno, nquanto qu o layout ou topologia, além da forma xtrna ngloba também furos intrnos conctividad Concituação O objtivo da Otimização Topológica (OT) é ncontrar a distribuição d matrial idal d uma strutura m um dtrminado domínio, rspitando as condiçõs d contorno, d modo qu a função objtivo sja otimizada. A distribuição ótima d matrial é consguida d forma itrativa com o uso d algoritmos d otimização, qu gralmnt combinam os métodos d otimização com um método numérico d anális, gralmnt o MEF. O domínio no qual a strutura pod xistir é dnominado Domínio Fixo Estndido (DFE), rprsntado pla ltra grga Ω. O DFE é uma rgião do spaço ond pod xistir a strutura, limitada plas condiçõs d contorno: um dado carrgamnto, as fixaçõs às quais a strutura é submtida, ou msmo as rstriçõs do domínio, como rgiõs qu obrigatoriamnt dvm contr matrial ou rgiõs qu dvm aprsntar ausência dl. Para não limitar possívis soluçõs, dv-s smpr adotar o maior domínio Ω possívl. a implmntação numérica o DFE é discrtizado m lmntos finitos as variávis d projto são associadas a cada lmnto da malha. Dsta forma, o modlo d lmntos finitos do domínio fixo não é altrado ao longo do procsso d otimização, sndo qu apnas a distribuição d matrial nos lmntos é modificada. A Figura 8 ilustra, do lado squrdo, o domínio fixo stndido: a rgião ond o carrgamnto é aplicado, as fixaçõs da strutura, as rgiõs qu dvm sr compostas, bm como as qu dvm aprsntar ausência d matrial. A rgião cinza é a qu dv sr otimizada. Do lado dirito é aprsntado o rsultado da aplicação do MOT nsta strutura. Val notar qu todas as rstriçõs impostas são satisfitas: o

35 quadrado branco, qu dtrminava a rgião sm matrial, pod sr obsrvado na strutura otimizada, assim como a rgião rtangular prta (rgião sólida), qu caractrizava prsnça obrigatória d matrial. Figura 8: Exmplo d DFE (squrda) a forma otimizada obtida (dirita). Sgundo Bndsø (BEDSØE, 003), o procsso d otimização topológica pod sr dividido m três tapas: Pré-procssamnto da gomtria dos carrgamntos É dtrminado o DFE adquado ao problma, qu inclui o spaço a sr otimizado, as rstriçõs, as fixaçõs os carrgamntos; Dtrminação das rgiõs fixas (sólidas) das rgiõs qu dvm aprsntar ausência d matrial; Construção da malha da strutura inicial. Essa discrtização dv sr rfinada o suficint para garantir uma boa rsolução do rsultado. Ela também dv possibilitar a dscrição corrta das rgiõs dtrminadas com sm matrial. Otimização Calcula a distribuição ótima d matrial d forma itrativa no domínio dtrminado através da dnsidad dos lmntos. A otimização faz uso do dslocamnto calculado plo MEF.

36 Establc o projto inicial, gralmnt com distribuição homogêna das dnsidads. As tapas abaixo são xcutadas d forma itrativa. Para a dada distribuição d dnsidads são calculados utilizando o método dos lmntos finitos os dslocamntos tnsõs rsultants. Vrifica-s s a strutura satisfaz o critério da mínima nrgia potncial total. S afirmativo, o procsso itrativo é intrrompido. Caso contrário, continua raliza a próxima itração. Atualiza as variávis d projto, ou sja, as dnsidads, basado nas condiçõs d otimalidad, qu srão vistos mais adiant. Volta ao início do procsso itrativo, ou sja, ao sgundo tópico aprsntado na otimização. Pós-procssamnto dos rsultados Intrprta a distribuição ótima das dnsidads do matrial dfin a topologia da strutura otimizada. Figura 9: Fluxograma d um procsso d otimização típico. A Figura 9 aprsnta um fluxograma das tapas d um procsso d otimização topológica típico (nst xmplo foi utilizado o método das dnsidads,

37 3 ond as variávis d projto são as dnsidads dos lmntos), mas rprsnta muito bm as tapas do procsso d otimização d forma global Modlo d matrial Como já mncionado, para a aplicação do método d otimização topológica srá utilizado o método dos lmntos finitos,, para isto, a strutura dv sr discrtizada. A princípio a dnsidad d cada um dos lmntos da malha é igual, ou sja, a massa da strutura é distribuída d forma uniform nos lmntos, durant o procsso d otimização dsja-s dtrminar quais lmntos srão matriais quais srão vazios. Considrando o domínio Ω, procura-s dtrminar o domínio mat Ω, caractrizado pla prsnça d matrial, qu dfinirá a topologia ótima da strutura. Esta strutura pod sr dfinida por uma função discrta η ( x), dfinida m cada ponto ( x ) do domínio da sguint forma: mat s x Ω η ( X) = (3.) mat 0 s x Ω / Ω Sndo o matrial isotrópico, pod-s scrvr o tnsor constitutivo d cada lmnto ( x ) como função do tnsor constitutivo do matrial bas E 0 da função discrta mncionada: E ( X) ( X) E 0 =η (3.3) Dsta forma o lmnto assum dnsidads quivalnts ao valor da função discrta η ( X) para cada lmnto, ou sja, é caractrizada ou pla prsnça ou pla ausência d matrial, não havndo stágios intrmdiários. O problma assum um carátr ssncialmnt binário. Contudo, o problma d otimização discrto não tm solução a tntativa d rsolvê-lo rsulta m uma solução qu dpnd da discrtização da malha (SIGMUD, PETERSSO, 998).

38 4 A abordagm mais comum para rsolvr st problma é substituir a função discrta por uma função contínua,, consqüntmnt, as variávis do problma também assumm valors contínuos (BEDSØE, 003), d forma qu as variávis possam assumir valors intrmdiários ntr zro um. A considração d variávis com valors intrmdiários é quivalnt a supor uma mistura m microscala d dois matriais distintos, d forma qu o valor da variávl grada por sta mistura assuma valor intrmdiário ao dos dois matriais. Essa suposição não tm significado físico algum, é apnas um rcurso matmático para a rlaxação do problma. Existm divrsos modlos d matriais dscritos na litratura, ntr os quais, dstacam-s o método das dnsidads o método da homognização, qu ainda srão aprsntados. st trabalho srá utilizado o método das dnsidads ou SIMP (Solid Isotropic Matrial ith Pnalization) Método da homognização o método da homognização a função η ( x) é dfinida a partir da scolha d uma microstrutura composta por células unitárias d dimnsõs infinitsimais qu s rptm indfinidamnt ao longo da strutura. Est matrial é intrprtado como um matrial composto, já qu sua célula unitária é composta por dois matriais (STUMP, 006). Os primiros studos utilizavam uma célula quadrada com um quadrado (ou rtângulo) sm matrial no cntro. Postriormnt surgiu a microstrutura composta por camadas laminadas altrnadas (matrial / vazio). As microstruturas quadradas são dtrminadas plas variávis d projto a, b o ângulo θ, nquanto qu as microstruturas com camadas altrnadas são dtrminadas plo parâmtro γ (BEDSØE; KIKUCHI, 988, SUZIKI; KIKUCHI, 99).

39 5 Célula Célula Figura 0: Configuração da Microstrutura Método da Homognização. Através da dfinição da célula unitária d sus parâmtros, como mostrado na Figura 0, é possívl dfinir as propridads mcânicas do matrial, as chamadas propridads homognizadas. Basta variar os valors d a, b, θ (ou γ na célula ) ao longo do DFE durant a otimização para obtr a distribuição d matrial nss domínio. ota-s qu a paramtrização da microstrutura pod proporcionar dnsidads intrmdiárias na rprsntação gráfica do MOT, ou sja, aprsnta rgiõs brancas para ( X ) = η ( X ) 0 η (quando a = b = ou γ = na célula ), min rgiõs prtas, com sólido, para ( X) = também rgiõs cinzas para η ( X) < η( X) η (quando a = b = 0 ou γ = 0 na célula ) min <, com valors d a, b, θ (ou γ na célula ) ntr zro um. Est método é bastant robusto capaz d dscrvr as propridads ftivas d um matrial homognizado, porém rqur alto custo computacional uma complxa implmntação numérica, visto qu utiliza métodos ortotrópicos anisotrópicos, o qu acarrta uma dificuldad adicional na implmntação do MEF Método das dnsidads O método das dnsidads consist m uma quação matmática qu dfin as propridads m cada ponto do domínio Ω. Est modlo é classificado como artificial, já qu s basia na idéia d qu a microstrutura não é conhcida, porém su tnsor constitutivo é. Esta paramtrização é dtrminada por uma função

40 6 contínua η ( X), tal qu 0 ( X) η X Ω, dnominada psudo-dnsidad, qu multiplica o tnsor constitutivo do matrial bas, forncndo o tnsor constitutivo d cada lmnto. E ( X) ( X) E0 = η (3.4) Analogamnt ao tnsor constitutivo, a dnsidad ftiva da strutura também pod sr dfinida pla psudo-dnsidad, com ρ 0 sndo a dnsidad do matrial bas: ( ) = η( X) ρ0 ρ X (3.5) A grand vantagm do método das dnsidads é qu o modlo d matrial possui uma única variávl por lmnto (no caso do problma discrtizado), o qu rprsnta grand ficiência computacional m trmos d capacidad d armaznamnto tmpo d procssamnto. Já no método da homognização o modlo d matrial é dfinido por mais parâmtros, no caso a, b θ (ou γ na célula ). Do ponto d vista físico st modlo não é adquado, já qu a quação (3.4) dfin como viávl qualqur valor d propridad ftiva ntr zro (ou bastant próximo a zro) E 0. Sab-s qu isto não é vrdad, já qu o valor da propridad ftiva do tnsor constitutivo é dfinido pla sua microstrutura, nm todos os valors obtidos com a psudo-dnsidad são compatívis com os valors obtidos na microstrutura. Do ponto d vista matmático a xistência d dnsidads ntr zro um contribui para a rlaxação do problma. Entrtanto, a solução final aprsntará rgiõs com dnsidads intrmdiárias, dnominadas scala d cinza qu, mbora importants para a rsolução do problma, não são dsjávis do ponto d vista da Engnharia. Dsja-s uma solução m qu o layout final (ótimo) sja composto praticamnt por rgiõs vazias (ausência d matrial) ou rgiõs m qu as propridads do matrial bas sjam possívis d s construir.

41 7 Para tanto pnaliza-s a psudo-dnsidad para tntar rduzir o índic d lmntos com dnsidad intrmdiária rtornar ao problma discrto. Est método é dnominado SIMP (Solid Isotropic Matrial ith Pnalization). Isto é ralizado com a insrção d um fator d pnalização p, como mostrado abaixo: E p ( X) = ( X) E0 η (3.6) Como 0 η ( X), o fator d pnalização tnd smpr a lvar o tnsor constitutivo a zro (já qu p > 0 ), rduzindo o númro d dnsidads intrmdiárias. Inflizmnt caso η ( X) sja próximo à unidad o fator d pnalização não o lva a um, mas também não o rduz a zro, o lmnto srá considrado na itração sguint como um lmnto cinza, ou sja, com dnsidad intrmdiária. Porém, a pnalização não tm nnhum fito quando η ( X) = ou ( X) = 0 η. O valor atribuído à pnalização é muito discutido m litraturas. Bndsø (BEDSØE & SIGMUD, 999) sugr os sguints valors a p : p 4 max, 0 ν + ν 0 (no caso -D) (3.7) 0 0 ν 3 ν p max 5, 0 7 5ν ν 0 (no caso 3-D) (3.8) 0 ond ν é o coficint d Poisson do matrial. Além da vantagm computacional dst método, citado antriormnt, l é fácil d sr implmntado. Sua grand dsvantagm m rlação ao modlo da homognização é qu aprsnta maior incidência d scala d cinza, além d sr um modlo hurístico, não rprsntando uma microstrutura adquadamnt. Caso s apliqu alguns métodos d filtragm no SIMP pod-s obtr rsultados tão xprssivos quanto àqul grados plo método da homognização.

42 Aspctos uméricos da Otimização Topológica A utilização d modlos basados m microstrutura ou basados m modlos artificiais (como o método da homognização o das dnsidads, rspctivamnt) prmitiu obtr soluçõs numéricas para os problmas d otimização. Porém, sts métodos, por si só, não assguram uma boa qualidad nos rsultados alcançados. Para a aplicação na Engnharia, não é intrssant a obtnção d soluçõs com grands quantidads d lmntos com grands rgiõs d cinza, ou msmo rsultados qu aprsntm a strutura prnchida por lmntos altrnados com sm matrial, grando uma imagm análoga a um tabuliro d xadrz. Dsja-s um rsultado bm dfinido, com os limits ntr ausência xistência d matrial bastant claros. Ests problmas dpndm d divrsos fators, ntr os quais: tipo d lmnto utilizado, dnsidad da malha d lmntos finitos, algoritmo d otimização o modlo d matrial. A sguir srão aprsntados os principais problmas ncontrados na solução d problmas d otimização topológica: instabilidad d xadrz (ou tabuliro), dpndência d malha scala d cinza Instabilidad d Xadrz O problma da instabilidad d xadrz ( Chckrboard ) é caractrizado plo surgimnto d rgiõs ond lmntos com sm matrial (prtos brancos) s altrnam ntr lmntos vizinhos, formando uma topologia smlhant a um tabuliro d xadrz, como mostrado na Figura. Gralmnt st é o primiro problma qu s dpara ao implmntar um algoritmo d otimização topológica, já qu o surgimnto da instabilidad d tabuliro não é causado pla formulação do MOT. Sab-s atualmnt qu o surgimnto da instabilidad d xadrz stá rlacionado às frramntas utilizadas nas aproximaçõs do método dos lmntos finitos, mais spcificamnt à implmntação numérica qu suprstima a rigidz da strutura composta pla malhas m forma d xadrz.

43 9 Figura : Exmplo d solução com instabilidad d tabuliro (m dstaqu). Jog Habr (996) atribum o problma à difrnça d ordm d intrpolação dos campos d dnsidads (variávis) d dslocamntos, propõm qu a formulação do MOT lva a um problma similar às formulaçõs d MEF para o scoamnto d Strok, ond s tm o campo d prssão vlocidad a srm dfinidos. Os autors afirmam qu o problma pod sr rduzido quando são utilizadas funçõs d intrpolação difrnts, mas d msma ordm, para ambos os campos (dnsidads dslocamntos). Os lmntos d alta ordm possum funçõs d intrpolação qu rprsntam mlhor o campo d dslocamntos, o qu prmit rduzir o rro induzido aos trmos d dformaçõs d cisalhamnto dos msmos (LOPES, 005). Apsar da complxidad do problma d instabilidad d xadrz, xistm divrsas propostas d solução, sndo algumas dlas, inclusiv, bastant simpls. Jog Habr (996) propõm um conjunto d tsts para analisar s uma dtrminada combinação d intrpolaçõs d dnsidads dslocamntos gra rsultados stávis ou instávis. A primira dla é utilizar lmntos d alta ordm para rprsntar o campo d dslocamntos, a outra, gralmnt mais complicada, é aplicar métodos d filtragm ou d control d gradint. É important dstacar qu a utilização d lmntos d alta ordm pod não vitar o aparcimnto da instabilidad d xadrz para dtrminados valors do fator d pnalização p (apud. LOPES, 005). O inconvnint fica por conta do aumnto considrávl do custo computacional ncssário quando comparado à utilização d lmntos d baixa ordm.

44 30 Prfrm-s, ntão, soluçõs mnos onrosas qu utilizam lmntos d baixa ordm. Dsta forma utilizam-s lmntos d baixa ordm aliados a métodos d filtragm ou d control d gradint, pois sts são d baixo custo computacional d fácil aplicação. Basicamnt os filtros tndm a amnizar a distribuição d dnsidads, não prmitindo grands variaçõs da dnsidad ntr lmntos vizinhos. A suavização da variação das variávis d projto nos problmas d OT pod sr ftuada através d rstriçõs na formulação do problma d otimização, bm como através da rstrição dos gradints das variávis d projto (LOPES, 005). Val lmbrar qu algumas soluçõs mprgadas para combatr a instabilidad d tabuliro também são ficints na prvnção d outros possívis problmas, como para a solução da dpndência d malha, qu srá vista adiant. Isso s dv ao fato d qu o padrão gométrico do tabuliro possui a msma caractrística d oscilação brusca do campo d dnsidads qu a solução ótima do problma discrto pod aprsntar (STUMP, 006). Os métodos d filtragm objtivam impdir variaçõs bruscas ntr as dnsidads d lmntos vizinhos. Lops (005) classifica os filtros d acordo com a forma com qu os lmntos vizinhos são considrados: filtros d vizinhança fixa: ond os lmntos vizinhos são considrados aquls qu compartilham uma arsta /ou um nó; filtros spciais: considra-s vizinho todos aqul lmntos qu stão dntro d um raio d varrdura m torno d um lmnto cntral. st trabalho srá utilizado o filtro d snsitibilidads, aprsntado por Bndsø (003), qu tm s mostrado bastant ficint. El é puramnt hurístico, mas produz rsultados bastant similars àquls obtidos por uma rstrição local do gradint das dnsidads. Rqur pouco custo computacional adicional possui a grand vantagm d uma fácil implmntação. C X Est filtro atua dirtamnt na distribuição dos gradints da função objtivo, d forma qu, para um dado lmnto i, o gradint modificado da função objtivo é calculado a partir da sguint quação:

45 3 C = i X ˆ H j X n n i j Hˆ = j j= Hˆ j X j C X j = r dist( i, j), { j dist( i,j) } min r min ond n é o númro total d lmntos na discrtização da malha, r min é o raio d atuação do filtro dist( i, j) a distância ntr os cntróids dos lmntos i j. Assim, utiliza-s o valor do gradint modificado da função objtivo para atualizar o critério da otimalidad Dpndência d Malha O problma d dpndência d malha ( msh dpndnc ) é caractrizado plas difrnts struturas finais obtidas (para o msmo domínio fixo stndido condiçõs d contorno) m função da dnsidad da malha utilizada. A insrção d um maior númro d buracos, sm altrar o volum d matrial, aumnta a ficiência da strutura. Dsta forma, quando s rfina a malha com a intnção d qu a dfinição dos contornos da strutura mlhorass, obsrva-s qu a topologia da strutura s altra, aumntando su númro d mmbros, como mostrado na Figura. Figura : Dpndência d malha no problma d Otimização Topológica.

46 3 Comumnt divid-s o problma d dpndência d malha m dois principais grupos, conform sua origm: Topologia final obtida tornando-s cada vz mais complxa conform a malha d lmntos finitos vai sndo rfinada. st caso a função objtivo é otimizada (minimizada ou maximizada) com o rfinamnto da malha; O problma não aprsnta unicidad d solução, ou sja, obtém-s difrnts soluçõs ótimas com o msmo valor da função objtivo. Como xmplo pod-s citar o caso d uma barra sob tração uniaxial ond as soluçõs d uma única barra d maior diâmtro ou d divrsas barras d diâmtro mnor, porém com a msma ára da barra única, aprsntam a msma rigidz, como mostrado na Figura 3 (SIGMUD; PETERSSO, 998). Figura 3: Barra sob tração uniaxial. Os problmas d dpndência d malha são, normalmnt, d difícil solução. Contudo podm-s aplicar técnicas qu possibilitam a rdução d tal fnômno. Estas consistm, basicamnt, ou m adicionar rstriçõs ao problma d otimização, rduzindo dirtamnt o númro d possívis soluçõs, ao aplicando-s filtros na implmntação numérica (BEDSØE, 003). Algumas dstas técnicas srão aprsntadas a sguir, d forma bastant rsumidas:

47 33 a) Control d Prímtro: O método consist m incluir rstriçõs aos furos da strutura, controlando sua quantidad tamanho através do valor máximo do prímtro (Figura 4). A princípio, st método é a única rgularização aplicávl ao problma discrto, portanto é um método ncssário para s utilizar otimização intira no problma d otimização topológica (STUMP, 006). Figura 4: Exmplo d como furos mnors podm aumntar o prímtro para um dado volum. V é o volum P é o prímtro intrno dos furos. Considrando-s novamnt o problma das barras sob tração uniaxial citadas antriormnt, a proposta do control d prímtro é bastant intrssant, pois prmit controlar, d crta forma, o númro d barras na strutura otimizada, o qu, m alguns casos, pod rduzir o custo d fabricação. Como dstaqu ngativo da rstrição d prímtro pod-s rssaltar qu a unicidad d solução não é garantida, pois o problma passa a possuir múltiplos mínimos locais. b) Rstrição Local do Gradint das Dnsidads: Consist m aplicar uma rstrição local qu impd o surgimnto d oscilaçõs bruscas no campo d dnsidads, sgundo a quação: ρ G x i (3.9)

48 34 A quação acima dtrmina qu a distância ntr dois lmntos sm matrial, ou sja, vazios, dv sr suprior a G. Sgundo Sigmund Ptrsson (998), sta técnica é capaz, além d vitar o problma d dpndência d malha, também o d instabilidad d xadrz. Por outro lado, o grand númro d rstriçõs locais insridas ao problma d otimização é difícil d sr tratado, além d aumntar considravlmnt o custo computacional, já qu a quantidad d rstriçõs dobra nst caso. c) Rstrição Global do Gradint das Dnsidads: Est método consist na insrção da sguint rstrição global ao método d otimização topológica: ( ρ + ρ dω) M ρ = H (3.0) Ω ot qu para qualqur discrtização d lmntos finitos da strutura Ω pod-s dtrminar um limit M para o módulo d ρ d tal forma qu a rstrição prmanc inativa. A implmntação dst método rqur bastant cuidado na dtrminação d M, qu dv sr dtrminado d forma xprimntal. Esta rstrição também pod sr formulada sm o trmo ρ da quação (3.0), d tal manira qu a rstrição s torna bastant smlhant à rstrição d prímtro Escala d Cinza Est problma já foi mncionado antriormnt nst trabalho ao xplicar o Método das Dnsidads. A scala d cinza ( gray scal ) consist m rgiõs compostas por lmntos d psudo-dnsidads intrmdiárias qu aparcm ao s utilizar a formulação com variávis contínuas. Est problma stá ligado dirtamnt à microstrutura scolhida. Como já visto, no SIMP é utilizado o fator d pnalização p para tntar rduzir a incidência d scala d cinza.

49 35 A scolha adquada do fator d pnalização é important para não rtornar ao problma d não-xistência da solução, como ocorr quando p é scolhido lvado dmasiadamnt, já qu a mdida qu p aumnta, o problma rlaxado s aproxima novamnt do problma discrto. Para amnizar os fitos da aplicação do fator d pnalização, é fito o método da continuação, ao longo d um procsso itrativo. Est método s inicia com p =, após o método atingir a convrgência, é aumntado m uma unidad, com o intuito d liminar rgiõs com dnsidads intrmdiárias. Obtém-s uma sgunda solução, difrnt da primira, qu corrspond a um mínimo local próximo ao global, mas com mnos rgiõs d dnsidad intrmdiárias. Est procsso é rptido até qu s atinja o limit suprior, qu, sgundo Bndsø (BEDSØE, 003), é aproximadamnt p = 3, para o caso bidimnsional, como mostrado na quação 3.7 considrando-s ν 0 0, 3.

50 36 4 FORMULAÇÃO DO PROBLEMA DE OTIMIZAÇÃO TOPOLÓGICA 4. Minimização da Flxibilidad Média Considr um corpo tridimnsional gnérico constituído por um matrial lástico linar ocupando um domínio mat Ω qu é part d um grand domínio Ω m 3 R. Suponha qu são aplicadas forças concntradas f m qualqur rgião do corpo forças distribuídas t ao longo d sua suprfíci Γ t. a rgião dtrminada por Γ u o corpo stá rstrito, como mostrado na Figura 5. Figura 5: Domínio a sr otimizado. A partir das quaçõs (.) (.) introduzidas no capítulo, pod-s scrvr o Princípio da Mínima Enrgia Potncial Total d forma gnérica, mostrada na quação (4.): Π( u, v) = ε ( u) E ε ( v) dω fudω tudγt (4.) Ω Ω Γ t ond ε é a dformação, função dos dslocamntos u v, E caractriza a rigidz da strutura.

51 37 A primira intgral da quação (4.) rprsnta a nrgia d dformação, nquanto qu a soma das duas últimas intgrais rfr-s ao trabalho das forças xtrnas, sndo qu o sgundo trmo rfr-s às forças d suprfíci o trciro, às forças d corpo. Estas forças atuants gram dformaçõs no corpo, qu são armaznadas na forma d nrgia. Est fnômno é rprsntado plo Princípio da Mínima Enrgia Potncial Total. Ou sja, minimizando a nrgia potncial armaznada tm-s a condição d dformaçõs mínimas, assim assgura-s o quilíbrio m toda a strutura, bm como qualqur uma d suas parts. Para isso calcula-s o funcional da nrgia m rlação ao campo d dslocamntos iguala-s a zro, visto na quação (4.). Π( u, v) u = Ω ( u) E ε ( v) dω f ( u) dω t( u) dγ = 0 ε ( u) (4.) Ω Γ t t Com os concitos acima aprsntados pod-s scrvr a formulação d minimização da flxibilidad (ou sja, minimização da nrgia potncial total) d uma strutura mcânica sujita a dadas rstriçõs. Est problma também pod sr visto como uma tntativa d maximizar a rigidz da strutura. Bndsø (BEDSØE, 003) propõ scrvr o problma da sguint forma: max E E tal qu Adm Ω η min a u U ( X) dω V min E 0 < η η η ( u, u) b( u) max ond V corrspond à rstrição d volum máximo adotado no projto η ( X) é a variávl do projto rstrita por limits supriors infriors dfinidos plo projto. o problma m qustão, d otimização topológica, sta variávl é a psudodnsidad, qu irá dtrminar s um lmnto srá composto por prsnça ou ausência d matrial. Val lmbrar qu sta variávl dpnd do modlo d matrial adotado qu, nst studo, srá o SIMP.

52 38 a( u, v) = ε ( u) E ε ( v)dω é a forma bilinar corrspondnt à nrgia d Ω dformação, nquanto qu b( ) = fudω + trabalho das forças xtrnas. u tudγ é o trmo linar rfrnt ao Ω Γ t A formulação aprsntada antriormnt é válida para sistmas contínuos. Como srá utilizado o MEF no procsso d otimização, dv-s considrar o domínio discrtizado, d forma qu as quaçõs aprsntadas não são adquadas para a solução do problma. Considrando a discrtização do domínio Ω m n lmntos finitos d manira qu t Ω = n i= Ω i (4.3) o problma d minimização da flxibilidad média sujita à rstrição d volum pod sr scrita d forma matricial: min X tal qu C = f f V T u V ( Ω) V 0 0 X X X min Ku = f max ond f V é a fração volumétrica, ou sja, a fração d matrial qu s qur mantr no domínio fixo stndido, V 0, o volum inicial da strutura. A flxibilidad média da strutura é dada por: n ( u ) T T C = f u = u Ku = K u (4.4) = T

53 39 Com a dfinição da quação da flxibilidad média o concito da função objtivo fica bastant claro: dsja-s minimizar a flxibilidad média altrando a quantidad d matrial X d cada lmnto. Como visto antriormnt, a variávl X, dnominada psudo-dnsidad do lmnto, é dtrminada plo modlo d matrial utilizado compõ sua matriz d rigidz K no modlo d lmntos finitos. O conjunto das matrizs d rigidz dos lmntos compõ a matriz d rigidz da strutura K. Como srá utilizado o método SIMP, dv-s rscrvr a quação (4.4) considrando as variávis d projto, as psudo-dnsidads, com a dvida pnalização: C n = p ( X ) ( ) = T u K u (4.5) A rstrição d volum é scrita igualmnt à formulação da rstrição d volum para o mio contínuo, porém, adotando-s o volum do domínio discrtizado, dado por V ( Ω) = n = X v : f V ( Ω) V (4.6) V 0 4. Critério da Otimalidad O critério da otimalidad é um método spcífico d programação dsnvolvido nos anos 60 por Karush-Kuhn-Tuckr para a rsolução d problmas d otimização strutural. Por sr um método smi-mpírico, não aprsnta nnhuma justificativa matmática na atualização d variávis. O ponto ótimo é scolhido (ncontrado) através da vrificação d divrsos pontos no spaço. Sua grand vantagm, principalmnt m rlação aos métodos probabilísticos, é qu, apsar d sr smimpírico, é xtrmamnt ficint do ponto d vista computacional, além d sua fácil implmntação. Por outro lado, o método é spcífico, ncssitando sr

54 40 dsnvolvido para cada tipo d problma, difrntmnt dos métodos d programação matmática, qu podm sr programados d forma gnérica. Portanto, caso s dsj modificar a função objtivo ou até msmo algumas rstriçõs, st dv sr altrado. Por sr considrado d fácil implmntação por já xistirm trabalhos dntro do grupo d studos d Otimização Topológica coordnado plo Prof. Emílio. Silva, como o ralizado por Lops (LOPES, 005), o critério da otimalidad foi scolhido para aplicação nst trabalho. Rlmbrando o problma gnérico d otimização aprsntado no tópico (3.) tal qu min x R i n ( X) 0 { f ( X) h( X) = 0, g( X) 0} g i = K,, I Rstrição d dsigualdad k ( X) = 0 h k = K,, K Rstrição d igualdad X MI _ j X X Rstrição latral j MAX _ j pod-s scrvr o Lagrangano do problma: L = λ k : λ i : g i : f K ( X) + h ( X) + λ ( g ( X) g ) k = k k I λ (4.7) i= i i i é o vtor d multiplicadors d Lagrang para rstrição d igualdad; é o vtor d Lagrang para rstrição d igualdad; é o valor da i-ésima rstrição d dsigualdad. O ponto ótimo é dtrminado quando a drivada da função d Lagrang é igual a zro para qualqur variávl j. L X j f = X K I ( X) h ( X) g ( X) j + k= k i λ k + λi = 0 (4.8) X X j i= j

55 4 tal qu: g h i k ( X) ( X) λ 0 i g i = 0 = 0 S aplicarmos tal concito spcificamnt para o problma d otimização topológica para minimizar a dflxão, como proposto nst trabalho, como rstrição a rdução d massa, tm-s: L = C + λ com λ : t λ : n n T ( V fvv0 ) + λ ( f ) + λ ( X min X ) + λ3 ( X X max ) Ku (4.9) = = multiplicador d Lagrang para a rstrição d volum; multiplicador d Lagrang para a condição d quilíbrio; λ λ 3 : multiplicadors d Lagrang para o limit infrior suprior da variávl d projto. Para dtrminar o ponto ótimo dv-s drivar a quação (4.9) com rlação à variávl d projto volum ( V = f ( X ) X. Val notar qu a única variávl dpndnt d ), d forma qu o problma fica bastant simplificado: X é o L X C = X V + λ + + X λ λ 3 (4.0) Além do mais, nas dnsidads intrmdiárias os limits supriors infriors da variávl d projto não stão ativos, obviamnt, pod-s considrar os multiplicadors d Lagrang λ λ 3 nulos. L X C = X V + λ (4.) X

56 4 Como C = u T Ku, pod-s xpandir a quação (4.) aplicar a rgra da cadia. v é o volum do lmnto. Ragrupando os trmos rsulta: L X = K X T u ( u K) + λv T u u + (4.) X Ku = f, pod-s drivar ambos os lados m função da psudodnsidad Sabndo qu à sguint quação: X, aplicar, novamnt, a rgra da cadia do lado squrdo. Chga-s K X u u + K X f = X (4.3) Isolando o trmo u X da quação (4.3) já substituindo na quação (4.): L X = u T K u + X T f K ( u K) K K u + λv (4.4) X X Ragrupando os trmos: L X = f X K X T T u u u + λv (4.5) A quação (4.5) é d xtrma importância nst trabalho. O primiro trmo do lado dirito rprsnta a parcla da drivada rlativa às forças d campo, nquanto qu o sgundo trmo, a parcla da quação rfrnt à flxibilidad da strutura. st trabalho as forças d campo são nglignciadas. Esta hipóts dv sr rvista caso s quira aplicar tal mtodologia a struturas cujo comprimnto for muito maior do qu sua altura, d forma qu o próprio pso da strutura caus dflxõs significativas, ou para struturas qu srão submtidas a aclraçõs forts, como rotors ou ixos dsbalancados, ond o próprio movimnto pod causar dformaçõs na strutura.

57 43 o caso d problmas d Otimização Topológica ond o carrgamnto é dsprzado o primiro trmo é zro. st caso a drivada Lagrangana é ngativa a convrgência da função objtivo é monotônica. Est rsultado é muito cornt, do ponto d vista físico, uma vz qu a flxibilidad da strutura diminui com o aumnto d matrial na strutura (LOPES, 005). S for insrido na quação (4.5) também o modlo d matrial SIMP, proposto nst trabalho, como mostrado na quação (4.5), já assumindo a nãoxistência d forças d campo, tm-s: L X = p p ( X ) ( ) T ( u K 0u ) + λv (4.6) O ponto ótimo é dtrminado pla igualdad da drivada do lagrangano m rlação à psudo-dnsidad a zro para cada lmnto. p p ( X ) ( u ) T ( K 0u ) = λv (4.7) A quação (4.7) dtrmina qu a nrgia potncial é constant igual a m todo o domínio fixo stndido para os lmntos qu possum dnsidads intrmdiárias. Para lmntos cuja dnsidad mnor qu a unitária, para X max X = X a nrgia potncial é min = X, é maior (BEDSØE, 003). Assim, Bndsø (BEDSØE, 003) propõ um modlo hurístico para a dtrminação da dnsidad do matrial. O valor da dnsidad d matrial do lmnto na itração ( k +) pod sr obtido com o uso da sguint xprssão: X k + = max min {( X ζ ), X } s X M max{ ( X ζ ), X } min {( ζ ) X k, X min } ( + ζ ) X, X max X M k k X M k s (4.8) k min { } {( X + ζ ), X } s X M min{ ( X + ζ ), X } k k max k k k k k k k max min max

58 44 ond M k é dado por: M k p = p ( X ) ( ) T ( u K u ) κ 0 λv ond k é o índic da itração, ζ é o valor do limit móvl κ é o fator d amortcimnto do algoritmo d otimização. Tanto ζ como κ controlam as modificaçõs qu podm acontcr m cada itração ls dvm sr ajustados para uma boa ficiência do método. Valors típicos para ζ κ são , rspctivamnt. ot qu a atualização da psudo-dnsidad ( X k + ) dpnd do valor prsnt do multiplicador d Lagrang λ, portanto st dv sr ajustado m um loop intrno ao procsso itrativo da variávl d projto para satisfazr a rstrição d volum. Isso ocorr porqu ao longo do procsso itrativo para dtrminar as psudo-dnsidads, ou sja, conform as variávis do projto são atualizadas, o volum da strutura vai dcrscndo, até qu a rstrição d volum stja plnamnt satisfita. Portanto, para a dtrminação do multiplicador d Lagrang é comumnt utilizado o método da dicotomia ou o Método d ton. O algoritmo dscrito acima stá sndo mprgado com muito sucsso m divrsos problmas struturais d otimização topológica é considrado como um método ftivo (apsar d hurístico) na solução d problmas d larga scala. Isso s dá plo fato d cada variávl sr atualizada indpndntmnt das outras variávis, com xcção da atualização d volum qu dv rspitar a rstrição imposta.

59 45 5 IMPLEMETAÇÃO UMÉRICA 5. Introdução os capítulos antriors foram aprsntados os concitos básicos da toria d Otimização Topológica. Com o intuito d validar tal mtodologia, implmntou-s uma formulação d otimização topológica a uma strutura bastant simpls submtida a forças concntradas. Considrou-s o problma clássico d flxibilidad média ond o objtivo ncontrar a mlhor distribuição d massa qu minimiza a flxibilidad da strutura condicionada à rstrição d massa. Como sugrido nos capítulos antriors, o algoritmo d otimização combina o método d lmntos finitos com o critério da otimalidad. A rotina foi implmntada com a linguagm APDL do ASYS, softar comrcial amplamnt difundido no mrcado. Est, por sua vz, foi utilizado para a rsolução do método dos lmntos finitos, d forma qu não foi ncssário programar rotinas para rsolução do MEF. Dv-s também dstacar qu o próprio ASYS é rsponsávl plo pós-procssamnto da otimização, capaz d laborar gráficos claros bm struturados. Por outro lado, a opção do uso d um softar comrcial d código font fchado nos dixa limitados aos rcursos por l disponibilizados. O ASYS, por xmplo, não disponibiliza algumas grandzas fundamntais para a solução do problma, como a matriz d rigidz, força nodal rfrnt a um dtrminado lmnto, tc. d forma qu jogos algébricos são ncssários para consguir tais propridads. a Figura 6 é aprsntado o fluxograma das tapas do procsso d otimização implmntada nsta primira part do trabalho, qu tm como objtivo apnas validar os concitos aprsntados. Val notar qu é muito smlhant àqula aprsntada na Figura 9, com a difrnça d não possuir o filtro. A sguir cada uma das tapas srá xplicada dtalhadamnt.

60 46 Figura 6: Fluxograma do Algoritmo d Otimização. 5.. Inicialização das Variávis Dtrmina o valor d algumas variávis básicas para a simulação tais como: Modulo d lasticidad ( E ) do matrial bas; Coficint d Poisson (ν ); Rstrição d volum; Fator d pnalização ( p ); úmro máximo d itraçõs no procsso d otimização;

61 47 a inicialização das variávis também é fita a dfinição do matrial. st trabalho foram criados 000 matriais com difrnts composiçõs do módulo d lasticidad, ou sja, matriais qu possuíam d 0,00 E até E. Estas difrnts composiçõs d matriais corrspondm ao módulo d lasticidad multiplicado pla psudo-dnsidad. A st srá aplicado o fator d pnalização, como proposto plo SIMP, para rduzir o númro d dnsidads intrmdiárias, na tntativa d s obtr soluçõs binárias para os lmntos, ou sja, l dv possuir matrial ou aprsntar ausência dl. sta tapa também é importado o modlo d lmntos finitos. Est modlo contém a gomtria da strutura, as condiçõs d contorno, os carrgamntos aplicados à strutura também a malha d lmntos finitos. Val lmbrar qu a gomtria foi criada através d comandos APDL, mas o softar também prmit qu gomtrias sjam importadas dirtamnt d CADs. a inicialização das variávis as propridads do modlo, tais como númro d lmntos d nós, são lidas armaznadas m variávis. Vtors, qu srão utilizados no método d otimização, são alocados com dimnsõs adquadas ao tamanho do modlo. Finalmnt, dfin-s a psudo-dnsidad d cada lmnto. Como já mncionado, inicialmnt considra-s uma distribuição homogêna da dnsidad, d forma qu sta vai sndo modificada ao longo das itraçõs do procsso d otimização. Isso é fito para garantir qu, inicialmnt, o modlo satisfaça a rstrição d volum. 5.. Anális Estrutural O modlo importado pla rotina d otimização já stá com a malha grada com as forças condiçõs d contorno dfinidas, como xplicado antriormnt. Basta, portanto, rsolvr as quaçõs do MEF, o qu é ralizado dirtamnt plo ASYS d forma bastant ficaz rápida.

62 Cálculo da Função Objtivo Consist na avaliação na dtrminação da snsibilidad da função objtivo. Como dito antriormnt, muitos dos parâmtros ncssários ao longo da anális não stão disponívis d forma dirta plo softar. Esta é uma dificuldad qu s dparou ao tntar calcular a função objtivo, já qu não s tm as matrizs d rigidz dos lmntos. Para contornar a situação, foi utilizada a função SEE (ASYS, 00) do ASYS qu fornc a nrgia potncial da strutura. Multiplicando-a por dois obtém-s a flxibilidad da strutura, já qu sta é o dobro da nrgia potncial. Finalmnt, a nrgia potncial da strutura é a somatória da nrgia potncial dos lmntos Rotina d Otimização Aplicam-s, vntualmnt, filtros, qu dvm atuar dirtamnt no gradint da função objtivo. sta tapa também é aplicado o critério da otimalidad, ond o novo vtor psudo-dnsidad é calculado, como mostrado na quação (4.8) Anális da Convrgência Vrifica-s a convrgência do procsso itrativo. O critério d parada é dfinido plo usuário é dfinido pla difrnça ntr a dnsidad d um lmnto m duas itraçõs conscutivas. Val lmbrar qu quanto mais rigoroso st critério, maior srá o tmpo d procssamnto, já qu mais itraçõs srão ncssárias para s atingir a convrgência. Dsta forma, dv-s dfinir cuidadosamnt o critério d parada, lvando-s m conta não somnt a prcisão ncssária, mas também o tmpo ncssário para qu as itraçõs sjam xcutadas Pós-Procssamnto Aprsntação dos rsultados. sta tapa é laborada uma figura com a distribuição das dnsidads um gráfico com a função objtivo m cada itração.

63 49 5. Exmplo d Aplicação Até agora foram introduzidos divrsos concitos fundamntais para a aplicação d métodos d otimização topológica, bm como possívis dificuldads ncontradas ao implmntar tal método. st capitulo foi proposto um fluxograma d um procsso d otimização topológica usando MEF o algoritmo d otimização. Srá visto agora um xmplo d aplicação d otimização topológica da strutura com o intuito d validar toda a mtodologia aprsntada. Foi adotada uma strutura bastant simpls: uma placa plana quadrada, ngastada m um dos lados. Em um dos cantos da placa oposto ao ngast, foi utilizado um apoio simpls, nquanto qu no outro foi aplicada uma força prpndicular à placa, como pod sr visto na Figura 7. O qu s dsja obsrvar é como o matrial é distribuído na placa quando s dsja minimizar a flxibilidad média da strutura rspitando a rstrição volumétrica, notar qu sta distribuição varia s a posição d aplicação da força ou a rstrição d volum, por xmplo, form altradas. Para isto, srá aplicada, m um sgundo caso, uma força na borda da placa ntr o apoio simpls o ngast, como mostrado na Figura 8. Para ambos os casos foram adotadas as propridads do aço carbono: módulo d lasticidad E = 0GPa, coficint d Poisson ν = 0, 3. Foi mprgado o método das dnsidads com pnalização, o SIMP, com fator d pnalização p = 3. As placas são quadradas com lado d m foram discrtizadas com 640 lmntos quadrados, cada um com 0,05m d comprimnto. Figura 7: Rprsntação da placa plana sujita a uma força.

64 50 Figura 8: Rprsntação da placa plana sujita a duas forças. a Figura 9 é aprsntado o modlo grado m ASYS, já discrtizado. As condiçõs d contorno stão dfinidas podm sr obsrvadas na imagm, tanto no lado squrdo da placa como também no canto infrior dirito. A força aplicada também pod sr obsrvada pla cruz m vrmlho no canto suprior dirito, caractrizando uma força aplicada prpndicular à vista do dsnho, ou sja, uma força normal à placa. Figura 9: Modlo da placa plana discrtizada.

65 5 5.. Rsultados: Placa Submtida a uma Força. Primiramnt foi simulada a placa plana sujita a uma única força, com F 0k = o volum rstrito a 40% do volum inicial. Os gráficos a sguir rprsntam a volução do procsso d otimização. O númro máximo d itraçõs stipulado foi 30, mas caso o critério d convrgência stablcido (critérios d parada) sja atingido ants do númro máximo d itraçõs, o algoritmo é finalizado. Cada uma das figuras rprsnta a topologia obtida ao final d 5 itraçõs. A scala colorida rprsnta o valor da psudo-dnsidad, ou sja, dfini quais as rgiõs da placa qu aprsntarão ausência d matrial quais srão prnchidas. Val lmbrar qu dnsidads intrmdiárias não são dsjávis, stas podm sr rduzidas com o mprgo do fator d pnalização proposto plo SIMP. Figura 0: Distribuição d massa após 5 itraçõs. A Figura 0 aprsnta a distribuição d massa obtida plo método d otimização após 5 itraçõs. Val lmbrar qu s considra inicialmnt distribuição homogêna d massa, ou sja, part-s d psudo-dnsidad igual para todos os lmntos, sta dv assumir, d início, o msmo valor da rstrição volumétrica. o xmplo aqui aprsntado, a rstrição volumétrica é d 40% do volum inicial, d forma qu a psudo-dnsidad é 0, 4 para todos os lmntos. st xmplo foi adotado limit móvl ζ = 0, 05, o qu significa qu a cada itração a psudo-

66 5 dnsidad pod sr incrmntada (ou rduzida) m 0, 05. Val notar qu após a 5 itração o valor máximo da psudo-dnsidad é 0, 65, o qu corrspond à cor vrd clara, qu o valor mínimo tangívl é 0, 5, corrspondnt à cor azul scuro. Já ao final da décima itração, o valor máximo da psudo-dnsidad é 0, 9, corrspondnt à cor laranja, nquanto qu o mínimo é zro, como pod sr obsrvado na Figura. Figura : Distribuição d massa após a 0ª itração. Figura : Distribuição d massa após a 5ª itração.

67 53 Figura 3: Distribuição d massa após a 0ª itração. Val notar qu a partir da 5ª itração, aproximadamnt, a forma da placa otimizada pouco s altra. Basicamnt a otimização vai rduzindo a quantidad d lmntos qu aprsntam psudo-dnsidads intrmdiárias (ntr zro um). Figura 4: Distribuição d massa após a 5ª itração. S tratando d um xmplo bastant simpls, o rsultado obtido não pod sr considrado surprndnt, mas sim, cornt intuitivo. Como a aplicação da força o apoio simpls stão localizados nos cantos opostos ao ngast da placa, ra d s sprar qu as rgiõs do ngast mais próximas aos cantos fossm mais solicitadas,

68 54 ou sja, rgiõs opostas à aplicação da força. Assim, part da rgião ngastada aprsnta ausência d matrial, a strutura ótima obtida é praticamnt simétrica, como obsrvado na Figura 5. Figura 5: Estrutura final obtida. A Figura 6 aprsnta a curva d convrgência da função objtivo. Val notar qu a partir da 5ª itração a função pouco s altra, como já foi obsrvado. A flxibilidad média da strutura é aprsntada m m. Figura 6: Curva d convrgência da função objtivo.

69 Rsultados: Placa Submtida a duas Forças. O objtivo principal dst xmplo é mostrar qu o algoritmo implmntado é gnérico, ou sja, pod sr usado para difrnts struturas. Dsta forma, uma sgunda força foi aplicada na borda da placa ntr o apoio simpls o ngast. O algoritmo d otimização utilizado foi o msmo, somnt alguns parâmtros foram altrados. Foi adotado F = 8k, F = 0,8 F = 6, 4k a msma strutura foi otimizada para 30%, 40% 50% d rstrição volumétrica. Figura 7: Duas forças aplicadas. Rstrição volumétrica d 30%. Como ra sprado, o método d otimização apnas criou um braço qu suporta a força F aplicada. Dv-s obsrvar, m primiro lugar, qu o braço grado é praticamnt prpndicular á rgião com matrial qu vai canto infrior squrdo até o cntro da placa, o qu corrspond à mnor distância ntr F a rgião otimizada obtida no xmplo. Em sgundo lugar, todos os cantos são arrdondados, o qu rduz as tnsõs concntradas na placa. Dv sr obsrvado também qu o apoio no canto suprior squrdo na Figura 7, qu no caso do xmplo stava bastant próximo do canto suprior da placa, dslocou-s para baixo dvido à rstrição volumétrica mais rigorosa, d apnas 30% do volum inicial.

70 56 S a rstrição volumétrica for aliviada, ou sja, for prmitida uma fração maior d matrial, a forma pouco s altra, a strutura fica apnas mais robusta, como pod sr obsrvado na Figura 8 na Figura 9. Figura 8: Duas forças aplicadas. Rstrição volumétrica d 40%. Figura 9: Duas forças aplicadas. Rstrição volumétrica d 50%. Da anális dos gráficos d convrgência da função objtivo para as rstriçõs volumétricas d 30% 50% (Figura 30 Figura 3), pod-s obsrvar qu quanto mais rígida a rstrição, ou sja, quanto mnos matrial é prmitido, maior é a

71 57 flxibilidad da strutura, o qu é d s sprar. Quanto à convrgência, não s pod afirmar qu a rstrição volumétrica xrça grand influência, uma vz todos os casos simulados convrgiram aproximadamnt na 5ª itração. Figura 30: Curva d convrgência da função objtivo para a rstrição volumétrica d 30%. Figura 3: Curva d convrgência da função objtivo para a rstrição volumétrica d 50%.

72 58 6 REFORÇAMETO DE ESTRUTURAS O rforçamnto consist m adicionar massa (matrial) à strutura d forma a torná-la mais rsistnt. Em s tratando d chapas placas, muitas vzs isso é fito aumntando a spssura da strutura, dixando-a mais psada custosa, mas também mais rsistnt. st caso, todas as rgiõs da strutura são rforçadas igualmnt, inclusiv rgiõs qu não ncssitariam d rforço. O objtivo da otimização topológica aplicada ao rforçamnto d chapas é dtctar as rgiõs da strutura mais solicitadas nlas aplicar o rforçamnto, ou sja, somnt aplicar o rforço nas rgiõs qu ncssitam, vitando assim o aumnto dsncssário d massa. Para isto é utilizado o lmnto SHELL9 do ASYS, qu prmit o uso d até 00 camadas com spssuras difrnts, muito usado para modlar compósitos lmntos compostos por difrnts matriais. É composto por 8 nós, aprsnta sis graus d librdad (3 rotaçõs 3 translaçõs). A Figura 3 squmatiza o lmnto SHELL9. Figura 3: Elmnto SHELL9. Em dstaqu a rprsntação das camadas do lmnto. st trabalho são utilizadas duas camadas: uma para rprsntar a strutura a outra, o rforçamnto. O método d otimização topológica é aplicado somnt à camada do rforçamnto, sm altrar a strutura.

73 59 Quanto ao algoritmo d otimização mprgado para a strutura multilayr (com mais d uma camada), não há difrnça alguma quando comparado com aqul aprsntado no capítulo antrior, ou sja, o algoritmo utilizado é o msmo para o caso da otimização d struturas com sm rforçamnto. A difrnça consist na dfinição das propridads do matrial, qu nst caso dvm sr dfinidas para duas camadas, apnas a m uma é ralizada a otimização. O código font (m APDL) utilizado para a otimização do rforçamnto da strutura é aprsntado no Anxo B. O msmo xmplo do capítulo antrior foi utilizado para vrificação da mtodologia mprgada: uma placa plana, ngastada m um dos lados, um apoio simpls m um dos cantos do lado oposto ao ngast, uma força, d magnitud F 0k =, aplicada no outro canto (Figura 7). Foi adotada rstrição volumétrica d 40% a rlação ntr a spssura da strutura ( ) a spssura do rforçamnto ( ) é =. A sqüência d figuras abaixo aprsnta a volução do procsso d otimização topológica a cada 5 itraçõs. las é rprsntada a distribuição d massa do rforçamnto, ou sja, a psudo-dnsidad d cada lmnto, uma vz qu a topologia da strutura prmanc inaltrada. Figura 33: Distribuição d massa após a 5ª itração para =.

74 60 Como s pod obsrvar msmo após a 5ª itração a prsnça d dnsidads intrmdiárias é ainda bastant fort (uma vz qu o limit móvl é ζ = 0, 05, já é possívl havr psudo-dnsidads iguais a, mas isto não ocorr, xcto no lmnto ond a força é aplicada). Isto s dá porqu a variação da psudo-dnsidad d uma itração para a outra dpnd da anális d snsibilidad da strutura. A anális d snsibilidad md a variação da flxibilidad m função da variação das psudodnsidads da strutura. o caso da placa sm rforçamnto aprsntada no Capítulo 5, a variação das psudo-dnsidads xrc grand influência na snsibilidad, consquntmnt, na vlocidad d convrgência da otimização. Já no caso da placa com rforçamnto, a influência da variação da psudo-dnsidad do rforçamnto é amnizada pla rsistência à flxão da própria strutura, qu não é modificada plo método d otimização topológica aprsnta, portanto, lmntos chios. Dsta anális, pod-s concluir qu quanto maior for a spssura do rforçamnto m rlação à spssura da chapa, ou sja, quanto mais significativo for o rforçamnto da strutura, mais rápida é a convrgência do procsso d otimização. Isso srá mostrado mais adiant. Figura 34: Distribuição d massa após a 30ª itração para =.

75 6 Como pod sr obsrvado na Figura 34, o rforçamnto concntra-s próximo às bordas da placa, com alta dnsidad nas proximidads da rgião ngastada. o cntro, fort tndência d aprsntar ausência d rforçamnto. Abaixo sgum as figuras qu aprsntam a distribuição d massa para 45, itraçõs. Figura 35: Distribuição d massa após a 45ª itração para =. Figura 36: Distribuição d massa após a 60ª itração para =.

76 6 Figura 37: Distribuição d massa após a 75ª itração para =. Finalmnt após a 75ª itração o procsso d otimização aprsntou a gomtria do rforçamnto da placa plana bm dfinida (apsar d uma quantidad d dnsidads intrmdiárias considrada ainda alta). Figura 38: Convrgência da função objtivo para a placa com rforçamnto.

77 63 A Figura 38 aprsnta a volução da convrgência da função objtivo, a flxibilidad da strutura (m m ), ao longo das itraçõs. Val notar qu apsar d trm sido xcutadas 75 itraçõs a flxibilidad da strutura ainda não aprsnta stabilidad, ou sja, ainda há variação da flxibilidad ao longo do procsso itrativo. Porém, a partir da 65ª itração, aproximadamnt, sta variação é bastant pquna. Como mncionado antriormnt, a rlação ntr as spssuras da strutura do rforçamnto tm rlação dirta com a convrgência do procsso d otimização. Para xmplificar tal fnômno a msma placa, porém com rlação difrnt ntr a spssura da strutura do rforçamnto (mantndo a spssura total da placa aproximadamnt igual) foi simulada. Enquanto no caso antrior a rlação é dada por =, nst sgundo caso a rlação é = 3. Figura 39: Distribuição d massa após a 45ª itração para = 3. Val notar qu após a 45ª itração (Figura 39) a prsnça d psudodnsidads na ordm da unidad, d cor vrmlha, é bastant suprior quando comparada ao caso aprsntado antriormnt. O msmo pod-s dizr ao s analisar a distribuição d massa após a 60ª itração (Figura 40): é bm maior a prsnça da

78 64 cor amarla do lado dirito da placa, oposto ao ngastamnto, no cntro a prsnça d psudo-dnsidads nulas (ou vazias) é bastant intnsa. Mas val notar qu o rsultado final após a 75ª itração é aproximadamnt o msmo para ambas as rlaçõs d spssuras (Figura 4). Figura 40: Distribuição d massa após a 60ª itração para = 3. Figura 4: Distribuição d massa após a 75ª itração para = 3.

79 65 O gráfico com a convrgência da função objtivo corrobora com os rsultados aprsntados acima. Enquanto para o primiro caso aprsntado a função objtivo ainda variava bastant até a 65ª itração, com o rforçamnto maior m rlação à spssura da chapa, a função objtivo pouco varia a partir da 55ª itração. Figura 4: Convrgência para placa com rforçamnto. Rlação d spssuras d = 3. Para finalizar sta anális, também foi simulado o procsso d otimização topológica para a spssura do rforçamnto lvmnt suprior ao da strutura, ou xprsso m trmos d razão d spssuras: = 3. Como sprado, por aprsntar uma rlação d spssuras maior do qu os outros dois casos, a convrgência é mais lnta, mas o rsultado ao final d 75 itraçõs também condiz com as outras simulaçõs. Ao obsrvar a distribuição d massa após a 45ª itração, aprsntada na Figura 43, prcb-s qu não há nnhum lmnto com psudo-dnsidad d ordm unitária (d cor vrmlha), difrntmnt dos outros casos aprsntados (Figura 35 Figura 39). ota-s também qu os gradints d psudo-dnsidads são bastant

80 66 xtnsos, ou sja, dificilmnt s obsrva uma grand difrnça d psudo-dnsidad ntr dois lmntos vizinhos; a mudança é smpr bastant suav, prcorrndo todas as cors da scala até atingir um lmnto d alta dnsidad. Isso comprova qu a variação da snsitividad é pquna ao longo da simulação. Figura 43: Distribuição d massa após a 45ª itração para = 3. A Figura 44 aprsnta a distribuição d massa obtida após a 75ª itração para a placa m qustão. Como já mncionado antriormnt, o rsultado é pouco difrnt daqul obtido nas simulaçõs antriors provavlmnt com mais algumas itraçõs atingiria o msmo grau d dfinição dos outros. A Figura 45 mostra a convrgência da função objtivo para a msma placa. Apsar d trm sido xcutadas 75 itraçõs a curva ainda não dá sinais d convrgência, mas a variação d flxibilidad é bastant pquna d uma itração para a outra. As duas principais conclusõs qu s dv tirar dsta anális é qu quanto mais significativa for a spssura do rforçamnto, mais rápida srá a convrgência da simulação, indpndntmnt dsta rlação, o rsultado atingido srá praticamnt o msmo.

81 67 Figura 44: Distribuição d massa após a 75ª itração para = 3. Figura 45: Convrgência da função objtivo para a placa com rlação = 3.

82 68 7 RESTRIÇÕES DE MAUFATURA Frquntmnt o procsso d otimização topológica gra soluçõs com gomtrias bastant complxas qu, apsar d srm ótimas numricamnt, podm sm inxqüívis do ponto d vista da Engnharia, ou msmo inviávis. Como mncionado no Capítulo 3 uma das altrnativas para contornar tal problma é aplicar a otimização d forma para a suavização d curvas da gomtria obtida plo procsso d OT (ou simplsmnt através do uso d funçõs d intrpolação). Porém, isso não garant qu a gomtria obtida sja factívl, m muitos casos la dv sr modificada drasticamnt para tal, o qu a faz prdr a caractrística d solução ótima. Como altrnativa, podm sr implmntadas no algoritmo d otimização rstriçõs d manufatura, qu impõm limitaçõs ao projto para satisfazr uma ncssidad do projtista. Como xmplo, pod-s dstacar a rstrição d fundição, qu garant qu todos os furos concavidads d uma pça sigam a msma dirção, a dirção do mold, d forma qu não s tnha problmas para xtraí-la da matriz. As rstriçõs, d forma gral, dvm sr aplicadas com cautla, já qu com o aumnto do númro d rstriçõs, pod havr um dcréscimo da otimalidad da solução as rstriçõs limitam o númro d soluçõs, d forma qu a solução ótima pod sr pior do qu o msmo caso sm rstriçõs. Isto significa, no propósito dst trabalho, obtr uma strutura mnos rígida. Lippi (LIPPI, 007) laborou um trabalho ond aprsnta rstriçõs para difrnts procssos d manufatura, como fundição, frsamnto, tornamnto xtrusão. Harzhim (HARZHEIM) aplica o MOT com sm rstrição d manufatura a difrnts pças para a indústria automobilística aponta as difrnças ntr las. st trabalho srão aprsntadas 3 difrnts rstriçõs visando o projto d rforçamnto d placas chapas: Rptição d Padrõs: ond um padrão srá rptido por toda a xtnsão da strutura. st caso, a gomtria dst padrão é dtrminada plo procsso d OT; Rstrição d Tiras: tiras, rprsntando barras rtas, mprgadas no msmo sntido. Foram considradas barras horizontais vrticais.

83 69 Simtria: a gomtria do rforçamnto obtida d um lado dv s splhar no outro. Foram implmntadas rstriçõs d simtria horizontal vrtical. st trabalho, as rstriçõs d manufatura dvm assgurar qu um grupo d lmntos siga o msmo padrão, ou sja, no caso da rstrição m tiras, todos os lmntos d uma msma linha dvm aprsntar as msmas propridads, consquntmnt, a msma psudo-dnsidad. Como já aprsntado antriormnt, a psudo-dnsidad é dtrminada com bas na anális d snsibilidad, qu analisa a variação da função objtivo, no caso, a flxibilidad da strutura, m rlação à psudo-dnsidad dos lmntos. Assim sndo, sts lmntos dvm possuir também a msma snsibilidad, d forma qu, após xcutado o critério d otimalidad (ncssário para satisfazr a rstrição volumétrica), as propridads dos lmntos do msmo grupo são smlhants. Matmaticamnt, as rstriçõs d manufatura implmntadas nst trabalho dtrminam para todos os lmntos do msmo grupo a msma snsibilidad, qu corrspond à média da snsibilidad dos lmntos do grupo. O fluxograma das tapas do procsso d otimização topológica com rstriçõs d manufatura é aprsntado na Figura 46. Val rssaltar qu st fluxograma é idêntico àqul aprsntado na Figura 6 adicionada a rstrição d manufatura. Para comprovar a ficiência da mtodologia aprsntada as rstriçõs são tstadas na placa plana aprsntada no capítulo antrior. Em sguida o método d OT com sm rstrição é aplicado a um caso prático: uma caixa d prssão, qu simula um vaso d prssão com sção transvrsal quadrada, como srá visto adiant.

84 70 Rstriçõs d Manufatura Figura 46: Fluxograma das tapas do procsso d OT com rstriçõs d manufatura. 7. Rstriçõs d Manufatura na Placa Plana. A placa plana utilizada é a msma aprsntada no capítulo 6. O númro d itraçõs para cada um dos casos variou d acordo com a vlocidad d convrgência do procsso. Em todos os casos a rstrição volumétrica é 40%, o fator d pnalização utilizado é p = 3 a rlação ntr as spssuras da strutura do rforçamnto é = 3.

85 7 Primiramnt são aplicadas as rstriçõs d tiras horizontais vrticais, qu fazm com qu lmntos d uma msma linha/coluna aprsntm as msmas caractrísticas. Para isso é calculada a snsibilidad média do grupo, nst caso d uma linha ou coluna, aplica-s sta snsibilidad média igualmnt para todos os lmntos. Um grupo tnd smpr a assumir as caractrísticas dos lmntos nl prdominants. A Figura 47 xmplifica o uso da rstrição d tiras vrticais. Figura 47: Rprsntação da rstrição d manufatura d tira vrtical: sm (squrda) com (dirita). A Figura 48 a Figura 49 aprsntam os rsultados da otimização topológica com rstrição d tiras horizontal vrtical, rspctivamnt. ota-s uma norm prsnça d psudo-dnsidads intrmdiárias, principalmnt no caso d tiras vrticais. Ests rsultados, apsar d não dsjávis do ponto d vista da Engnharia, são bastant cornts, como xplicados a sguir. Figura 48: Otimização com rstrição d tiras horizontais.

86 7 S for analisado o rsultado do procsso d otimização da msma placa sm rstriçõs d manufatura aprsntado na Figura 4, nota-s uma grand concntração d lmntos com alta psudo-dnsidad m duas linhas horizontais, rsultado st bastant smlhant ao apontado pla otimização com rstrição d tiras horizontais (apsar d nst caso as psudo-dnsidads atingirm o valor máximo d 0, 55 ). Por outro lado, o procsso d otimização com rstrição d tiras vrticais aprsntou duas rgiõs, nas xtrmidads da placa, com psudo-dnsidads mais lvadas (com valor máximo d 0, 46 ). Porém, a difrnça d dnsidad no cntro da placa nstas duas rgiõs é muito pquna, o qu torna o rsultado qustionávl, ou sja, o rforçamnto nstas rgiõs pod não aprsntar grand mlhoria na rigidz da strutura. Figura 49: Otimização com rstrição d tiras vrticais. Voltando ao rsultado aprsntado na Figura 4 nota-s do lado dirito grand concntração d lmntos com alta psudo-dnsidad (suprior a 0,70) na xtrma squrda, uma rgião d rforçamnto mais larga com dnsidads unitárias. Isso xplica a pquna suprioridad do rforçamnto obtido nas xtrmidads no caso d rstriçõs d tiras vrticais. a vrdad, o rsultado obtido com o uso d rstriçõs d tiras vrticais não dv sr ncarado como ruim. Dv-s tr a prcpção d qu a otimização com

87 73 rstriçõs d tiras vrticais não é adquada para sta aplicação dificilmnt l trará bnfícios à strutura. A Figura 50 a Figura 5 mostram a volução da convrgência da função objtivo para ambos os casos. ota-s qu no primiro caso a volução é continua, porém mnos significant a partir da 00ª itração. Já o caso d tiras vrticais, a flxibilidad da strutura aprsnta rdução até, aproximadamnt, a 0ª itração, a partir d ntão s stabiliza. Figura 50: Convrgência da função objtivo para a otimização com rstriçõs d tiras horizontais. Figura 5: Convrgência da função objtivo para a otimização com rstriçõs d tiras vrticais.

88 74 Em ambos os casos o fato da rstrição d manufatura calcular a média da snsibilidad dos lmntos do msmo grupo faz com qu a snsibilidad d cada lmnto prca significância, já qu sta é dissolvida junto com a d outros lmntos. Dsta forma, quanto mais lmntos cada grupo possuir, maior podrá sr a quantidad d dnsidads intrmdiárias, a não sr qu todos aprsntm a msma snsibilidad, sja sta alta ou baixa. Ou sja, para qu uma linha ou coluna intira aprsnt psudo-dnsidad unitária a grand maioria dos lmntos dst grupo também dv aprsntar, ou m linguagm matmática, quanto mnor o dsviopadrão da snsibilidad dos lmntos d um msmo grupo, mlhor srá o rsultado. O númro lvado d lmntos dntro d um grupo também contribui para a dissolução das snsibilidads dos lmntos (no cálculo da média), já qu quanto maior o númro d lmntos, mnor a probabilidad d todos aprsntarm snsibilidads similars. A quantidad d lmntos m cada grupo é uma vantagm da rstrição d simtria implmntada nst trabalho, qu aprsnta apnas dois lmntos m cada grupo. o caso gnérico, a rstrição d simtria também pod aprsntar divrsos lmntos m um msmo grupo, como acontc no caso da simtria radial. A Figura 5 squmatiza a rstrição d simtria vrtical. A distribuição das psudo-dnsidads d ambos os lados da linha d simtria (m vrmlho) são splhadas, d forma qu a distância dos lmntos simétricos m rlação à linha d simtria é igual. Os lmntos m amarlo rprsntam dois lmntos simétricos. Figura 5: Rprsntação da aplicação d rstrição d simtria. Os rsultados obtidos para a otimização com rstrição d simtria são aprsntados na Figura 53 na Figura 54. A convrgência da função objtivo para ambos os casos é bastant smlhant a da otimização sm rstriçõs, porém stabilizando-s no patamar d 5 m.

89 75 Isso ajuda a xplicar o porquê da otimização com rstrição d simtria aprsntar um rsultado bastant próximo ao do caso sm rstrição. Em primiro lugar, a placa plana otimizada já aprsnta alto grau d simtria tanto horizontal como vrtical. Em sgundo, o fato d cada grupo possuir apnas dois lmntos (simétricos) faz com qu a snsibilidad dls sja bm mais significant. Figura 53: Otimização com rstrição d simtria horizontal. Figura 54: Otimização com rstrição d simtria vrtical.

90 76 A última rstrição d manufatura implmntada é a rptição d padrão. Esta rstrição faz com qu uma gomtria otimizada s rpita, uma ao lado da outra, divrsas vzs ao longo da strutura como mostrado na Figura 55. A rgião qu dfin o padrão a sr rptido dv sr dtrminada plo usuário. O MOT somnt dtrmina a gomtria dsta rgião. Padrão a sr rptido por toda a strutura ρ Figura 55: Rstrição d rptição d padrão (LIPPI, 007). Os rsultados obtidos para a placa plana são aprsntados na Figura 56. O rtângulo vrmlho dstaca o padrão rptido ao longo da placa. Figura 56: Otimização com rstrição d rptição d padrão.

91 77 Comparado com os outros casos d otimização com rstrição d manufatura aprsntados, st é o qu aprsnta rsultados mnos intuitivos. O fato d a xtrmidad dirita da placa otimizada sm rstriçõs aprsntar lmntos com psudo-dnsidads bastant baixas (vr Figura 4) faz com qu o lado dirito da rgião amarla (lado dirito do padrão) aprsnt baixa psudo-dnsidad, o qu impd a formação sprada do rforçamnto no sntido horizontal. As rgiõs suprior infrior do padrão ram spradas d baixa psudo-dnsidads, já qu tanto o cntro como as xtrmidads suprior infrior da placa plana são pouco solicitadas. Por fim, a rgião amarla é formada pla intrscção das duas rgiõs d rforçamnto apontadas plo procsso d otimização. Figura 57: Convrgência da função objtivo para a otimização com rstriçõs d rptição d padrão. A Figura 57 aprsnta a volução da convrgência da função objtivo para o caso dscrito acima. A flxibilidad da strutura stabilizou-s m 49,6 rapidamnt. m Comparando-s a flxibilidad obtida nos procssos d otimização com as rstriçõs d manufatura aplicadas, os casos d simtria, por s assmlharm mais ao rforçamnto otimizado sm rstriçõs, aprsntaram mnor flxibilidad da strutura, na ordm d 5 piors, na ordm d 50 m. Os outros casos aprsntaram rsultados bm m. Como dito antriormnt, isso não qur dizr qu a

92 78 rstrição d simtria é mais ficint qu as outras, mas para sta aplicação la s mostrou mais adquada. 7. Caso Prático: Caixa d Prssão. Até st ponto toda a toria foi aplicada ao caso d uma placa plana, já qu sta é bastant simpls, ncssita d pouco tmpo d procssamnto, principalmnt, sus rsultados são fácis d srm intrprtados. Inflizmnt, os problmas xistnts na Engnharia são bm mais complxos do qu uma placa plana. Como um caso prático foi scolhido uma caixa d prssão. Esta consist m uma caixa rtangular, sujita a uma prssão intrna, similar a um vaso d prssão, porém, rtangular. A scolha por uma caixa d prssão, não um vaso d prssão, s dá por dois motivos: a caixa d prssão não aprsnta distribuição d tnsõs uniform, qu nm um vaso d prssão (com xcção das rgiõs d solda), o qu a torna mais intrssant para anális da ncssidad d rforçamnto; m sgundo lugar, para s aplicar a rstrição d manufatura, é ncssário conhcr a as coordnadas dos lmntos (localização), o qu é mais fácil m struturas compostas d parts planas. a tntativa d aproximar a caixa d prssão à ralidad, foram xtraídos dados rais d um vaso d prssão aprsntado por Jur (JUR, 007), mas aplicados à caixa d prssão: largura altura A = 0, 66m ; comprimnto L =, 98m prssão intrna P = 0, 87MPa. Para a aplicação do método d otimização é adotado fator d pnalização p = 3, fração volumétrica f = 0, 4. As propridads do matrial são as v do aço, as msmas utilizadas para a placa plana. Como a caixa d prssão é simétrica, apnas um oitavo dla foi simulado. O modlo m ASYS é aprsntado na Figura 58. A sta strutura, além do método d otimização topológica para dtrminação d su rforçamnto, também foram aplicas as rstriçõs d manufatura d tiras horizontais vrticais.

93 79 Figura 58: Modlo da caixa d prssão utilizado na simulação m ASYS. A Figura 59 aprsnta a distribuição d massa para o rforçamnto da caixa d prssão. A imagm aprsnta a vista complta do intrior da caixa (vista por baixo). ota-s qu as rgiõs d junção ntr latrais são as mais críticas, nquanto qu o canto (rgião d intrscção das três parts) aprsnta a rgião d mínima psudo-dnsidad, ou sja, mnos solicitada. a imagm também é possívl visualizar a dformação nas latrais da caixa, mas isto não é alvo dst studo, mas ajudará na intrprtação d alguns rsultados. Figura 59: Método d otimização topológica aplicado ao rforçamnto da caixa d prssão.

94 80 A Figura 60 aprsnta a convrgência da função objtivo para a dtrminação do rforçamnto ótimo da caixa d prssão. A flxibilidad da strutura é rduzida drasticamnt com o mprgo do rforçamnto, caindo d pouco mais qu 00 m para aproximadamnt 70 m. A partir da 5ª itração, a flxibilidad pouco s altra mostrando qu a solução ótima da strutura é atingida. Figura 60: Convrgência da função objtivo para o rforçamnto da caixa d prssão. A Figura 6 a Figura 6 aprsntam a distribuição d massa para o rforçamnto da caixa d prssão lvando-s m conta as rstriçõs d manufatura d tiras transvrsais (no plano da sção transvrsal da caixa d prssão ) longitudinais, rspctivamnt. o caso d rstrição d tiras vrticais há uma fort concntração d lmntos d psudo-dnsidad unitária, formando um cinturão m volta da caixa d prssão. Por um lado, st rsultado parc bastant stranho, já qu sta solução difr muito do caso sm o mprgo d rstrição d manufatura. Por outro lado, como já mncionado antriormnt, o mprgo d tais rstriçõs podm lvar a soluçõs totalmnt difrnts do qu o sprado. st caso, o mprgo d uma larga faixa com alta psudo-dnsidad rduz fortmnt a flxibilidad da strutura na rgião, tanto qu do lado dirto dsta faixa, o procsso d otimização não aponta a

95 8 ncssidad d rforçamnto (lmntos d baixa psudo-dnsidad, infriors a 0,3). S a dformação das latrais da caixa d prssão for obsrvada, srá possívl prcbr qu la é pouco dformada na rgião com rforçamnto, nquanto qu do lado squrdo já aprsnta ondulaçõs. Val notar qu st rsultado s assmlha com a construção d um barril, ond dois rforçamntos mtálicos são comumnt mprgados para garantir a rigidz da strutura. Figura 6: Otimização da caixa d prssão com rstrição d tiras vrticais. Figura 6: Otimização da caixa d prssão com rstrição d tiras horizontais.