UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA CATARINA PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA MECÂNICA

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1 UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA CATARINA PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA MECÂNICA MÉTODO DE GALERKIN LIVRE DE ELEMENTOS APLICADO A PLACAS DE MATERIAIS COMPOSTOS LAMINADOS Dissrtação submtida à UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA CATARINA para a obtnção do grau d MESTRE EM ENGENHARIA MECÂNICA TIAGO FRANCO DE GÓES TELES Florianópolis, Novmbro d 007

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3 ii UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA CATARINA PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA MECÂNICA MÉTODO DE GALERKIN LIVRE DE ELEMENTOS APLICADO A PLACAS DE MATERIAIS COMPOSTOS LAMINADOS TIAGO FRANCO DE GÓES TELES Esta dissrtação foi julgada adquada para a obtnção do título d MESTRE EM ENGENHARIA ESPECIALIDADE ENGENHARIA MECÂNICA sndo aprovada m sua forma final Marclo Krajnc Alvs, PhD - Orintador Frnando Cabral, PhD - Coordnador do Curso BANCA EXAMINADORA José Carlos Prira, Dr- Prsidnt Hazim Ali Al-Qurshi, PhD Cláudio Robrto Ávila da Silva Júnior, Dr

4 iii AGRADECIMENTOS Ao mu orintador Marclo Krajnc Alvs plo apoio, paciência, ddicação, principalmnt, plo xmplo Ao CNPq plos 6 mss d bolsa qu ajudaram a m mantr long da minha trra natal À Univrsidad Fdral d Santa Catarina ao POSMEC pla oportunidad d m intgrar ao corpo discnt como mstrando m ngnharia mcânica Aos profssors do curso: Edison da Rosa, José Carlos, Marclo Alvs Paulo d Tarso qu muito contribuíram para minha formação básica m anális d projtos Aos mus colgas qu iniciaram o mstrado comigo, Enildo Olivira, Guilhrm Machado, Pablo Mdiro, Rnato Rafalli Thiago Guinzani plo companhrismo cooprativismo durant nosso primiro ano Aos mus colgas do GMAC (grupo d mcânica aplicada computacional) pla troca contínua d matriais informaçõs Por fim, a Luiza a Jussara plo incntivo paciência

5 iv SUMÁRIO LISTA DE FIGURAS vi LISTA DE TABELAS vii NOMENCLATURA viii RESUMOxi ABSTRACT xii 1 INTRODUÇÃO 1 11 Motivação Objtivo do Trabalho1 1 Mtodologia 13 Rvisão Bibliográfica 3 14 Aprsntação do Trabalho 4 MATERIAIS COMPOSTOS LAMINADOS6 1 Introdução 6 Propridads da Lâmina 7 3 Comportamnto do Laminado 1 4 Toria d Primira Ordm d Mindlin 18 3 MODELO DE PLACAS Introdução 31 3 Elasticidad Infinitsimal 3D 3 33 Toria d Placas Toria d Mindlin Aplicação do Princípio da Mínima Enrgia Potncial Total Dtrminação da Formulação Fort Formulação Fraca do Problma da Placa d Mindlin 50 4 MÉTODO DE GALERKIN LIVRE DE ELEMENTOS Métodos sm Malha 53 4 Método d Galrkin Livr d Elmntos Aproximação por Mínimos Quadrados Móvis Funçõs Pso 6 45 Tipos d Função Pso 68

6 v 46 Imposição das Condiçõs d Contorno Essnciais Intgração Numérica Discrtização Numérica 75 5 RESULTADOS NUMÉRICOS Introdução 87 5 Avaliação da Dnsidad d Partículas Avaliação do Fator d Abrangência Avaliação da Função Pso Comparativo com Outros Métodos 95 6 CONCLUSÕES 99 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 101

7 vi LISTA DE FIGURAS Figura 1 Sistma d ixos d ortotropia da lâmina 8 Figura Sistmas d ixos d ortotropia rfrência 1 Figura 3 Idntificação das lâminas no laminado 4 Figura 31 Problma lástico tridimnsional 33 Figura 3 Hipótss cinmáticas aplicadas a matriais compostos laminados 35 Figura 33 Graus d librdad d um ponto da placa 36 Figura 34 Dirçõs normal tangnt à borda da placa 41 Figura 41 Fluxograma comparativo MFr FEM 54 Figura 4 Rprsntação do domínio do problma plo EFG 56 Figura 43 Funçõs pso m um problma unidimnsional 58 Figura 44 Domínio d influência rtangular circular 65 Figura 45 Suport do ponto x 66 Figura 46 Significado gométrico do parâmtro r I max 66 Figura 47 Células d intgração do Método d Galrkin livr d lmntos 75 Figura 51 Laminado simplsmnt apoiado (SS-1) com carrgamnto uniform 89 Figura 5 Laminado simplsmnt apoiado (SS-) com carrgamnto uniform 91 Figura 53 Laminado simplsmnt apoiado (SS-) com carrgamnto snoidal 94 Figura 54 Laminado simplsmnt apoiado (SS-1) com carrgamnto snoidal 97 Figura 57 Configuração dformada da placa 98

8 vii LISTA DE TABELAS Tabla 31 Formulação fort do problma da placa d Mindlin 49 Tabla 41 Algoritmo do método d Galrkin livr d lmntos 56 Tabla 51 Rsultados para avaliação da influência da dnsidad d partículas 89 Tabla 5 Rsultados para avaliação scolha do fator d abrangência 9 Tabla 53 Rsultados para avaliação scolha da função pso 94 Tabla 54 Rsultados comparativos com outros métodos 96

9 viii NOMENCLATURA CLPT FEM EFG FSDT MFr MLS TSDT E i toria clássica d laminados método d lmntos finitos método d Galrkin livr d lmntos toria d primira ordm método sm malha método dos mínimos quadrados móvis toria d trcira ordm módulo d lasticidad na dirção i G ij módulo d cisalhamnto no plano i j ν ij coficint d Poisson rfrnt à dformação na dirção j causada por uma solicitação na dirção i ε ii dformação no ixo i γ ij dformação angular total no plano i j σ ii tnsão normal no ixo i σ ij tnsão cisalhant no plano i j ( ) L sobrscrito L indica qu a grandza ncontra-s no sistma d ixos d ortotropia da lâmina L S matriz d flxibilidad L Q,, { x y z} matriz d rigidz bas cartsiana ortonormal do sistma d rfrência { 1,, 3} bas cartsiana ortonormal do sistma d ixos d ortotropia da lâmina r v vtors arbitrários θ ângulo formado ntr os ixos 1 x [ R ] matriz d rotação ntr os sistmas d rfrência ortotropia

10 ix [ ] T σ matriz d rotação ntr os sistmas d rfrência ortotropia para o vtor d tnsõs [ ] T ε dformaçõs u u, v w θ x θ y κ M [ C ] matriz d rotação ntr os sistmas d rfrência ortotropia para o vtor d campo d dslocamnto dslocamntos dfinidos na suprfíci média da placa ou laminado rotaçõs dfinidas na suprfíci média da placa ou laminado vtor das dformaçõs gnralizadas da placa ou laminado vtor dos sforços gnralizados da placa ou laminado matriz constitutiva qu rlaciona os sforços as dformaçõs gnralizadas [ A ], [ B ], [ D ] [ F ] matrizs auxiliars para a dtrminação d [ C ] N h z k z k + 1 númro d lâminas do laminado spssura total do laminado coordnadas infrior suprior da lâmina k do laminado ( ) ( k) sobrscrito ( k ) indica qu a grandza associada à k -ésima lâmina do laminado Ω Γ t Γ u Π( w ) b t u η subrgião do 3 R com frontira rgular ocupada por um corpo lástico rgião do contorno d um corpo com tração prscrita rgião do contorno d um corpo com dslocamnto prscrito funcional da nrgia potncial total força d corpo tração prscrita no contorno dslocamnto prscrito no contorno constant do método da pnalidad xtrior u 0 θ vtors dos dslocamntos rotaçõs gnralizados ρ g A t A u dnsidad do matrial aclração da gravidad ára do contorno da placa com tração prscrita ára do contorno da placa com dslocamnto prscrito

11 x {,, } α n s z [ α 3] [ ] N t p( x) a( x) M t bas cartsiana ortonormal auxiliar para impor as condiçõs d contorno ângulo formado ntr n x α matrizs d rotação ntr as bass {,, n s z } { x, y, z}, sforços gnralizados prscritos no contorno da placa bas intrínsca do MLS conjunto d coficints a dtrminar no MLS m númro d lmntos d p( x) w( x ) J( a ) I ( x) Φ A( x ) função pso do MLS norma d rro discrta função d forma global do EFG matriz momnto do EFG r I max máxima distância da partícula I às partículas adjacnts s r I r J fator d abrangência raio do domínio d influência do nó I distância paramtrizada ntr partículas matriz jacobiana

12 xi RESUMO O objtivo dst trabalho é dsnvolvr um programa d anális d placas d matriais compostos laminados usando o Método d Galrkin livr d lmntos sm o problma d travamnto ao cisalhamnto (shar locking), como acontc no Método d Elmntos Finitos Est rsultado é obtido através da mlhoria das funçõs d intrpolação, não sndo ncssários artifícios como a intgração numérica sltiva rduzida O Método d Galrkin livr d lmntos prtnc à class dos métodos sm malha, qu s caractriza plas funçõs d forma d suport compacto, fraca dpndência dos pontos d aproximação pla pouca dpndência da malha d intgração utilizada Foi adotada a toria d primira ordm para laminados, o qu quival à toria d placa d Mindlin, por sr snsívl ao problma d travamnto m placas d pquna spssura A condição d contorno ssncial foi imposta através do Método da Pnalidad Extrior Divrsos tsts foram ralizados para dtrminar os mlhors parâmtros do método, como a scolha da função pso, o domínio d influência a dnsidad d partículas Por fim, a ausência do fnômno d travamnto ao cisalhamnto é confirmada comparando os rsultados obtidos plo método d Galrkin livr d lmntos com outros métodos numéricos, com o método d lmntos finitos com soluçõs analíticas

13 xii ABSTRACT Th objctiv of this work is to dvlop a cod for laminatd composit plat analysis using th lmnt-fr Galrkin Mthod without th shar locking problm, as is th cas for th finit lmnt mthod This rsult is achivd through th improvmnt of th intrpolation functions, and dos not rsort to th rducd slctiv intgration schm Th lmnt-fr Galrkin Mthod blongs to th class of th so calld msh-fr mthods, which hav compact support, wak dpndnc on th approximation points and littl dpndnc on th intgration msh usd Th first ordr dformation thory for laminatd composits was adoptd, which is quivalnt to th Mindlin thory, as it is snsitiv to locking problm in thin plats Th ssntial boundary condition was imposd by Extrnal Pnalty Mthod Svral tsts hav bn don to dtrmin th bttr mthod paramtrs, lik wight function choic, th domain of influnc and particls dnsity At last, th shar locking absnc is confirmd comparing th rsults from lmntfr Galrkin Mthod to othr numric mthods, to Finit Elmnt Mthod and to analytical solutions

14 Capítulo 1 Introdução 11 Motivação Objtivo do Trabalho Dntro da ára d anális d projtos mcânica computacional, o método d lmntos finitos continua sndo a técnica numérica mais popular, como vidnciado plas numrosas publicaçõs dsd a década d 1970, Liu, Chua Ghista (006) Todavia, o método d lmntos finitos rqur a gração d malha, qu é xtrmamnt tdiosa consom muito tmpo do procsso d anális Tndo m vista a rdução do custo do procssamnto computacional o aumnto do custo d rcursos humanos, os métodos sm malha têm s aprsntado como uma altrnativa atrant Por xmplo, o método d Galrkin livr d lmntos prtnc à class dos métodos sm malha caractriza-s plas funçõs d forma d suport compacto, fraca dpndência dos pontos d aproximação pouca dpndência da malha d intgração utilizada Além disso, no método d lmntos finitos (FEM) o problma d travamnto ao cisalhamnto m placas cascas é suprado através d artifícios numéricos, como a intgração sltiva rduzida Comrcialmnt, são os lmntos MITC qu têm mlhors rsultados consqüntmnt maior aplicação, Bath, Brzzi Cho (1989) O fnômno do travamnto ao cisalhamnto (shar locking) é rsultado da inconsistência ntr a rotação o dslocamnto transvrso m placas cascas Quando a spssura diminui, o travamnto ao cisalhamnto aparc por causa da inabilidad d rprsntar um stado m qu a dformação transvrsa s anul O método d Galrkin livr d lmntos (EFG) prmit a dfinição d aproximaçõs suavs consistnts para a rotação o dslocamnto As funçõs d forma para a rotação são construídas com a corrspondnt drivada parcial das funçõs d forma para o dslocamnto Isto lva à liminação da inconsistência ntr os campos d dslocamnto rotação, consquntmnt, à liminação do travamnto ao cisalhamnto Contudo, o dsnvolvimnto d um procdimnto numérico qu sja gral ótimo para todas as catgorias é muito raro, bm como a anális matmática

15 Capítulo 1 Introdução dos squmas numéricos disponívis Assim, é crucial tr disponívl problmas tstados numricamnt usá-los d manira a avaliar a capacidad d um método Então, m função do cnário xposto acima, é dsnvolvida a implmntação numérica do método d Galrkin livr d lmntos aplicado à anális d placas d matriais compostos laminados sm o dfito do travamnto ao cisalhamnto (shar locking) No método d lmntos finitos o problma d travamnto é suprado através do artifício da intgração sltiva rduzida, ao passo qu nst trabalho é através da mlhoria das funçõs d intrpolação Nas aplicaçõs numéricas dst método srão aprsntadas avaliaçõs para dcidir qual mlhor dnsidad d partícula, mlhor fator d abrangência mlhor função pso para sta aplicação Na sqüncia, é vrificada a ausência d travamnto ao cisalhamnto comparado o dsmpnho com outros métodos Est conjunto d rsultados podrá contribuir para futuros trabalhos d psquisa nsta ára 1 Mtodologia O dsnvolvimnto dst trabalho sguiu as sguints tapas: psquisa rvisão bibliográfica, implmntação numérica, comparação d rsultados conclusão A tapa d psquisa rvisão bibliográfica tv o papl d contxtualizar o trabalho, dscobrir os avanços mais rcnts dos assuntos abordados confrir fundamntação tórica para o dsnvolvimnto numérico da aplicação do método A implmntação numérica do método d Galrkin livr d lmntos foi fita com bas nos aspctos tóricos psquisados aprovitando trabalhos da msma linha d psquisa já dsnvolvidos A validação do trabalho foi obtida através da comparação com outros métodos numéricos xistnts soluçõs analíticas disponívis na litratura Esta tapa ncssita do acompanhamnto das publicaçõs mais rcnts, d forma a confirmar a rlvância da psquisa Por fim, são fitas as considraçõs finais as oportunidads d psquisas futuras são idntificadas Na conclusão pondra-s quanto ao atndimnto dos objtivos iniciais da proposta, bm como quais pontos carcm d maior aprofundamnto

16 Capítulo 1 Introdução 3 13 Rvisão bibliográfica O histórico dos métodos sm malha é aprsntado por Chn, L Eskandarian (006) "Smooth Particl Hydrodinamics" (SPH) foi o primiro método sm malha, proposto m 1977, Lucy (1977 apud CHEN, LEE ESKANDARIAN, 006) Gingold Monaghan (1977 apud CHEN, LEE ESKANDARIAN, 006) Est método foi usado para modlar fnômnos astrofísicos sm contorno, como xplosõs d strlas nuvns d poira Dsd ntão tm sido fito xtnsivo dsnvolvimnto m muitas varidads com difrnts noms: método d difrnças finitas gnralizado (gnralizd finit diffrnc mthod), Liszka Orkisz (1980 apud CHEN, LEE ESKANDARIAN, 006); método d lmntos difusos (diffus lmnt mthod), Nayrols, Touzot Villon (199); método da partícula na célula (particl in cll mthod), Sulsky, Chn Schhryr (199 apud CHEN, LEE ESKANDARIAN, 006); "wavlt galrkin mthod", Qian Wiss (1993 apud CHEN, LEE ESKANDARIAN, 006); "rproducing krnl particl mthod" (RKPM), Liu, Jun Zhang (1995); método d Galrkin livr d lmntos (lmnt-fr Galrkin) (EFG), Blytschko, Lu Gu (1994); partição da unidad (partition of unity, PU), Babuska Mlnk (1996); "Hp clouds", Duart Odn (1996); método dos pontos finitos (finit point mthod), Onat t al (1996a,b); método livr d malha (fr-msh mthod), Yagawa Furukawa (000); "mshlss local boundary intgration quation mthod" "mshlss local Ptrov-Galrkin mthod" (MLPG), Atluri Zhu (000) Zhu (1999); "multiscal mthods", Liu t al ( ) As principais fonts d psquisa qu dram suport à laboração dst trabalho, sja plo mbasamnto tórico, sja pla implmntação numérica ou plo comparativo d rsultados, são aprsntadas a sguir: Mcânica do contínuo toria d placas: Malvrn (1969), Coimbra (1978), Flügg (197), Zinkiwicz (000a 000b), Cook (00); Matriais compostos laminados: Rddy (1997), Mndonça (005), Prira (004), Goswami (006); Travamnto ao cisalhamnto m placas: Cook (00), Blo (006), Donning Liu (1998); Visão Gral dos métodos sm malha: Liu (00); Chn, L Eskandarian (006); Blytschko t al (1996a); Méndz (001); Idlsohn Oñat (006);

17 Capítulo 1 Introdução 4 Implmntação numérica: Dhatt, Touzot (1984), Lon (1999); Soluçõs analíticas para placas: Rddy (1997), Young Budynas (00); Soluçõs numéricas para placas d compostos laminados: Frrira, Roqu Jorg ( ), Calixto (1998), Blo (006) 14 Aprsntação do Trabalho Est trabalho stá dividido m sis capítulos: introdução, matriais compostos laminados, modlo d placas, método d Galrkin livr d lmntos, rsultados numéricos conclusõs No primiro capítulo é aprsntado o contxto do trabalho, a motivação, os objtivos, a mtodologia adotada, as contribuiçõs, a divisão do trabalho as fonts d psquisa qu fundamntaram o dsnvolvimnto do tma Os três capítulos sguints mostram um rsumo das torias qu mbasam o dsnvolvimnto numérico O capítulo aborda os fundamntos d matriais compostos laminados com nfoqu na rlação constitutiva d placas usando FSDT, qu quival à toria d Mindlin O capítulo 3 trata da toria d placa usada para a aplicação do método sm malha Inicia com a aplicação das hipótss da placa d Mindlin na quação difrncial d um corpo lástico da mcânica do contínuo Obtém-s a forma fort a forma fraca do problma d placa acrscnta-s um trmo d pnalidad ao funcional para impor as condiçõs d contorno ssnciais O capítulo 4 aprsnta uma visão gral dos métodos sm malha dtalha o método d Galrkin livr d lmntos É aprsntada a aproximação por mínimos quadrados móvis usando funçõs pso do tipo splin são dsnvolvidas as funçõs d forma qu srão implmntadas para intrpolar os parâmtros nodais do problma d placa No quinto capítulo é aprsntada a vrificação do programa É avaliada a influência da dnsidad d partículas no rsultado do problma; é invstigada a mlhor scolha d função pso; é avaliado o mlhor fator d influência das funçõs pso;, por fim, é comparado com soluçõs analíticas, com soluçõs aproximadas plo método d lmntos finitos por outros métodos ncontrados na litratura

18 Capítulo 1 Introdução 5 No último capítulo é aprsntada a conclusão do trabalho, os pontos forts fracos ncontrados no método, o qu dv sr mais aprofundado, sugrida novas aplicaçõs avaliada a contribuição dst trabalho d psquisa

19 Capítulo Matriais Compostos Laminados 1 Introdução Pod sr dfinido formalmnt um matrial composto como: um conjunto d dois ou mais matriais difrnts, combinados m scala macroscópica, para funcionarm como uma unidad, visando obtr um conjunto d propridads qu nnhum dos componnts individualmnt aprsnta, Mndonça (005) As struturas laminadas, fabricadas m matriais compostos, consistm na sobrposição d várias lâminas, qu são formadas por fibras unidircionais nvolvidas por uma matriz (rsina) Estas fibras podm star orintadas difrntmnt têm a finalidad d ofrcr rsistência mcânica ncssária à strutura, nquanto qu a matriz garant sua rigidz A possibilidad do componnt possuir rsistência difrnt m dtrminadas dirçõs é uma das principais vantagns qu os matriais compostos laminados aprsntam m rlação aos matriais isotrópicos Com isso, pod-s projtar um componnt com rsistência lvada somnt nas dirçõs das solicitaçõs Considrando qu o matrial composto é formado por constituints distintos, as propridads quivalnts d cada lâmina são dtrminadas a partir das propridads lásticas d sus constituints Ess modlo considra o matrial composto laminar como sndo um matrial homogêno, porém anisotrópico Em consqüência das difrnts propridads matriais das difrnts lâminas, o laminado rsultant é modlado através da toria da lâmina quivalnt, qu considra uma adsão prfita na intrfac das lâminas, isto é, considra os dslocamntos as dformaçõs contínuas através da spssura do laminado Na anális d tnsõs d matriais compostos, divid-s o studo m duas áras: a micromcânica a macromcânica A micromcânica studa as intraçõs microscópicas ntr os lmntos constituints d uma lâmina Est studo é utilizado para dtrminar as constants d ngnharia do matrial composto Outra forma d s obtr stas constants é xprimntalmnt, através d nsaios d tração A macromcânica rfr-s ao

20 Capítulo Matriais Compostos Laminados 7 comportamnto da lâmina apnas quando propridads mcânicas aparnts médias são considradas Propridads da Lâmina O objtivo da micromcânica é dtrminar, para uma dada camada d matrial composto laminar rforçado por fibras, a quação constitutiva rfrnt ao matrial homogêno d camada quivalnt No studo da micromcânica, as sguints hipótss são fitas: A lâmina é macroscopicamnt homogêna ortotrópica; A lâmina é lástica linar livr d qualqur tnsão intrna ou térmica; As fibras são uniforms nas propridads diâmtros, são contínuas, parallas rgularmnt spaçadas; A matriz é considrada homogêna, isotrópica d comportamnto lástico linar; Exist prfita adsão ntr matriz fibra não xistm vazios Para o studo das propridads mcânicas d uma lâmina, dfin-s um sistma d coordnadas ortogonal qu coincid com o sistma d ixos d ortotropia da lâmina, ond a dirção 1 é a longitudinal das fibras; a dirção é transvrsal às fibras, porém no plano da lâmina; a dirção 3 é transvrsal m rlação as fibras ortogonal ao plano da lâmina A figura (1) mostra st sistma, Young Budynas (00)

21 Capítulo Matriais Compostos Laminados 8 Figura 1 Sistma d ixos d ortotropia da lâmina Com bas nst sistma d ixos, dfinm-s as propridads mcânicas lásticas da lâmina As constants d ngnharia ncssárias para dscrvr o comportamnto do matrial ortotrópico são: E i : módulo d lasticidad na dirção i ; ij G : módulo d cisalhamnto no plano i j ; ν ij : coficint d Poisson rfrnt à dformação na dirção j causada por uma solicitação na dirção i A quação (1) a sguir aprsnta a rlação ntr tnsão dformação dada pla matriz d flxibilidad para st matrial:

22 Capítulo Matriais Compostos Laminados 9 1 ν 1 ν E1 E E 3 ν 1 1 ν ε11 E1 E E 3 σ11 ε σ ν ν ε 33 E1 E E 3 σ 33 = γ 3 1 σ γ G 13 3 σ 13 γ 1 1 σ G G1, (1) sndo ε ii é a dformação no ixo i ; γ ij é a dformação angular total no plano i tnsão normal no ixo i ; σ é a tnsão cisalhant no plano i j ij j ; σ ii é a A partir da quação (1), nota-s qu xistm apnas nov coficints matriais indpndnts: E1, E, E3, G1, G3, G13, ν1, ν 3, ν 13, considrando a simtria da matriz d flxibilidad Como as dirçõs 3 são transvrsais às fibras a matriz é considrada isotrópica, é comum considrar a propridad d isotropia transvrsa para uma lâmina As consqüências dsta considração são mostradas na quação (), rduzindo d nov para sis as constants matriais: ν = ν ; G = G ; E = E () A matriz d flxibilidad, quação (1), pod sr scrita na forma matricial compacta como mostra a quação (3); L L L ε = S σ (3)

23 Capítulo Matriais Compostos Laminados 10 Na quação (3), o índic L indica qu são valors no sistma d ixos d ortotropia, ou sistma d ixos da lâmina Invrtndo a matriz d flxibilidad L L S, obtém-s a matriz d rigidz Q, i, L L 1 Q = S (4) quação (5), Dsta forma, pod-s scrvr a rlação constitutiva d uma lâmina, como mostra a L L L σ = Q ε (5) As propridads matriais d uma lâmina ortotrópica podm sr obtidas tanto por uma abordagm tórica quanto por tsts d laboratório Na abordagm tórica, chamada d abordagm micromcânica, as constants podm sr xprssas m trmos dos módulos d lasticidad, coficints d Poisson fraçõs volumétricas dos constituints Sja: E f : módulo d lasticidad da fibra; E m : módulo d lasticidad da matriz; ν f : coficint d Poisson da fibra; ν m : coficint d Poisson da matriz; V f : fração volumétrica da fibra; V m : fração volumétrica da matriz Então, as constants d ngnharia da lâmina são obtidas usando as quaçõs (6) a (11), Mndonça (005),

24 Capítulo Matriais Compostos Laminados 11 E1 = E f V f + Em Vm ; (6) ν1 = ν f V f + ν m Vm ; (7) E E f Em = E V + E V f m m f ; (8) G G f Gm = G V + G V f m m f ; (9) G f E = 1 f ( + ν f ) ; (10) G m E = 1 m ( + ν ) m (11) Os parâmtros d ngnharia podm sr dtrminados xprimntalmnt usando um corpo d prova do matrial apropriadamnt construído Por xmplo, E 1 ν 1 podm sr mnsurados através d um nsaio d tração uniaxial O nsaio consist m várias camadas do matrial com todas as fibras alinhadas com a dirção longitudinal O corpo d prova é ntão submtido a uma carga longitudinal as dformaçõs são mdidas por xtnsomtria A tnsão na dirção da fibra, σ 11, é obtida dividindo a carga aplicada pla ára da scção transvrsal do corpo d prova ε 11 ε são obtidos dirtamnt dos xtnsômtros instalados na dirção longitudinal transvrsal, rspctivamnt Para difrnts carrgamntos os valors d σ 11, ε 11 ε podm sr armaznados E 1 é a inclinação da curva qu rlaciona σ 11 ε 11 ν 1 é a inclinação da curva qu rlaciona ε ε 11 D manira similar as dmais constants são obtidas

25 Capítulo Matriais Compostos Laminados 1 3 Comportamnto do Laminado Como um laminado é composto d divrsas lâminas com orintaçõs difrnts, é ncssário adotar um sistma d coordnadas d rfrência para todas as lâminas, d modo qu s possa sobrpor as propridads particulars d cada lâmina obtr a propridad do laminado A figura () mostra a rotação do sistma d ortotropia m rlação ao sistma d rfrência O ixo x 3 do sistma d ortotropia coincid com o ixo z do sistma d rfrência Figura Sistmas d ixos d ortotropia rfrência Para dtrminar o comportamnto da lâmina no sistma d rfrência (tnsão, dformação matriz d rigidz), é ncssário rotacionar os valors obtidos no sistma d ortotropia para o sistma d rfrência Os dois sistmas d coordnadas cartsianas,,,, um vtor arbitrário r pod ortonormais são dfinidos plas bass { x y z} sr rprsntado como mostra a quação (1): { } 1 3 r = x x+ y y+ z z = x1 1 + x + x3 3 (1)

26 Capítulo Matriais Compostos Laminados 13 Sndo θ o ângulo formado ntr os ixos 1 rlacionados como indicado na quação (13), x, os vtors das bass são 1 = cos( θ) x+ sin( θ) y = sin( θ) x+ cos( θ) y 3 = z (13) Assim, o vtor r pod sr scrito como mostra a quação (14): r = x1 cos( θ) x sin( θ) x+ x1 sin( θ) + x cos( θ) y+ x3 z (14) As componnts do vtor r no sistma d ortotropia são transformadas nas componnts no sistma d rfrência através da matriz d rotação [ R ], conform as quaçõs (15) (16), i, [ R] x x1 y = [ R] x (15) z x 3 ( θ) ( θ) ( θ) ( θ) cos sin 0 = sin cos 0 (16) {,, } 1 3 Sndo [ σ ] σ L as matrizs qu rprsntam o tnsor tnsão nas bass {,, } x y z, rspctivamnt, a idntidad dada pla quação (17) é válida, i, [ ] [ ] L L L σ v v = σ v v (17)

27 Capítulo Matriais Compostos Laminados 14 Fazndo a transformação d bas do vtor L v, ou sja, fazndo v = [ R] v L quação (17), obtm-s a transformação das componnts do tnsor [ σ ] ntr os sistmas d coordnadas, quaçõs (18) (19) Val rssaltar qu, como as bass são ortonormais, 1 T a invrsa da matriz d rotação é igual à sua transposta, i, [ R] [ R] =, Malvrn (1969) na L T [ σ] [ R] [ σ][ R] = (18), analogamnt, L [ σ] = [ R][ σ] [ R] T (19) Dsd qu o tnsor [ σ ] sja simétrico, suas sis componnts m cada sistma d coordnadas stão rlacionadas como mostra a quação (0): ( ) ( ) ( ) + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) σ 11 cos 1 sin cos sin xx σ θ σ θ θ σ θ σ σ11 sin θ + σ 1 sin θ cos θ + σ cos θ yy σ zz σ 33 = σ σ13 sin( θ) + σ 3 cos yz ( θ ) σ σ13 cos( θ) σ 3 sin xz ( θ) σ xy σ sin( θ) cos( θ) + σ cos ( θ) sin ( θ) σ sin( θ) cos( θ) 11 1 (0) O tnsor tnsão pod sr xprsso m forma vtorial, como ( σ T L) = { σ, 11 σ,,,, σ 33 σ 3 σ13 σ1} (1) T σ = { σ xx, σ yy, σ zz, σ yz, σ xz, σ xy} ()

28 Capítulo Matriais Compostos Laminados 15 A quação (0) pod sr rarrumada a transformação passa a sr dada pla matriz [ T σ ], quação (3), i σ = L [ ] σ T σ (3) A quação (4) mostra os lmntos da matriz d rotação [ T σ ] : [ ] T σ ( θ) ( θ) ( θ) ( θ) ( θ) ( θ) ( θ) ( θ) cos sin sin cos sin cos sin cos = (4) cos( θ) sin( θ) sin( θ) cos( θ) 0 sin( θ) cos( θ) sin( θ) cos( θ) cos ( θ) sin ( θ) (5): A matriz [ T σ ] também é válida para o vtor d dformaçõs, conform a quação ε xx ε11 ε yy ε ε zz ε 33 γ yz = [ Tσ ] γ 3 γ xz γ13 γ xy γ1 (5) Porém, quando s trabalha com os componnts do tnsor dformação na forma vtorial, usa-s γ ij ao invés d ε ij, para i j, ond γ = ε Com a finalidad d mantr a consistência da nrgia intrna d dformação dada plo produto intrno da tnsão dformação, sja na forma vtorial ou tnsorial, i, ij ij

29 Capítulo Matriais Compostos Laminados 16 σ ε = σ ε, [ ] [ ] (6) é ncssário ftuar alguns algbrismos As quaçõs (7) (8) mostram os vtors dformação nos sistmas d ortotropia d rfrência, rspctivamnt ( ε T L) = { ε, 11 ε,,,, ε33 γ 3 γ13 γ1} (7) T ε = { ε xx, ε yy, ε zz, γ yz, γ xz, γ xy} (8) A quação (9) mostra a transformação dos vtors ε rotação para a dformação [ ] i j : L ε através da matriz d T ε, construída d forma a compnsar a rlação γ = ε, para ij ij ε xx ε yy ε zz ε11 ε ε33 = [ T ε ] γ yz γ 3 γ xz γ 13 γ xy γ1 (9) A quação (30) mostra os lmntos da matriz d rotação [ T ε ] :

30 Capítulo Matriais Compostos Laminados 17 [ ] T ε ( θ) ( θ) ( θ) ( θ) ( θ) ( θ) 1 cos sin sin 1 sin cos sin = (30) cos( θ) sin( θ) sin( θ) cos( θ) 0 sin( θ) cos( θ) sin( θ) cos( θ) cos ( θ) sin ( θ) sguir: As matrizs d rotação, [ T σ ] [ T ε ], stão rlacionadas conform a quação (31) a [ T ] = [ T ] ε 1 T σ (31) Rsumindo, as matrizs [ T σ ] [ T ε ] transformam as tnsõs dformaçõs dadas no sistma d coordnadas d ortotropia m tnsõs dformaçõs no sistma d coordnadas d rfrência, rspctivamnt O objtivo agora é obtr a rlação constitutiva no sistma d coordnadas d rfrência rprsntada pla quação (3): σ = [ Q] ε (3) Para isso tomam-s as quaçõs (5), (9) (31) substitui-s na quação (3) Como rsultado obtm-s a rlação dada pla quação (33): σ = L [ T ] Q [ T ] T σ σ ε (33)

31 Capítulo Matriais Compostos Laminados 18 A partir das quaçõs (3) (33) pod-s concluir a rlação ntr a matriz constitutiva no sistma d rfrência [ Q ] no sistma d ortotropia quação (34) abaixo: L Q, conform a L [ Q] = [ T ] Q [ T ] T σ σ (34) Uma vz calculadas as matrizs d rigidz das lâminas, pod-s stablcr o comportamnto mcânico do laminado Até aqui foram aprsntadas as rlaçõs d tnsão, dformação constitutiva para um sólido tridimnsional Para rduzir o custo computacional mlhorar o condicionamnto numérico do sistma modlado, simplifica-s o problma d três para duas dimnsõs, através d uma hipóts cinmática Usualmnt trabalha-s com as hipótss da Toria Clássica d Laminados (classical laminatd plat thory, CLPT) da Toria d Primira Ordm (firstordr shar dformation thory, FSDT) Nst trabalho srá abordada a Toria d Primira Ordm, cuja hipóts cinmática é a utilizada pla toria d placa d Mindlin, qu prvê as solicitaçõs d cisalhamnto transvrso Por simplificação, não srá considrado o carrgamnto térmico, ou sja, as tnsõs dformaçõs provnints d variação d tmpratura 4 Toria d Primira Ordm d Mindlin Para o dsnvolvimnto do modlo matmático da toria d primira ordm são assumidas as hipótss a sguir, Rddy (1997) Uma linha rta prpndicular à suprfíci média ants da dformação prmanc rta após a dformação; As normais transvrsas não sofrm dformaçõs, ε zz = 0 ; Com a dformação do laminado as normais transvrsas podm rotacionar m rlação à suprfíci média, difrindo da toria clássica qu assum a

32 Capítulo Matriais Compostos Laminados 19 consrvação da prpndicularidad; É nglignciada a tnsão normal transvrsal do laminado, ou sja, é considrado o stado plano d tnsõs adicionado das duas tnsõs cisalhants transvrsas (apnas σ zz = 0 ) O campo d dslocamntos é dado pla quação (335) a sguir: u= U x, y, z x+ V x, y, z y+ W x, y, z z, (335) ( ) ( ) ( ) ond: (,, ) = (, ) θ y(, ) (,, ) = (, ) + θ x(, ) (,, ) = w( x, y) U x y z u x y z x y V x y z v x y z x y W x y z (36) Na quação (36), as funçõs u, v, w, θ x θ y rprsntam os dslocamntos gnralizados u, v w são dslocamntos, dfinidos na suprfíci média, nas dirçõs x, y z, rspctivamnt θ x θ y rprsntam as rotaçõs das normais transvrsais sobr os ixos x y, obdcm a rgra da mão dirita O campo d dformaçõs infinitsimais stá rlacionado ao campo d dslocamntos gnralizados conform as quaçõs (37) a (4) a sguir: U u θ y 0 ε xx = = z = ε xx+ z κ xx x x x ; (37) V v θx 0 ε yy = = + z = ε yy+ z κ yy y y y ; (38) ε = 0 (39) ; zz

33 Capítulo Matriais Compostos Laminados 0 U V u θ y v θ x 0 γ xy = + = z + + z = γ xy + z κ xy y x y y x x ; (40) γ yz V W = + = + w θx (41) z y y ; γ xz U W = + = θ w y+ z x x (4) Os trmos 0 ε xx, 0 ε yy, 0 γ xy, κ xx, κ yy, κ xy, γ yz γ xz dfinm as dformaçõs gnralizadas podm sr rprsntadas por um vtor κ, conform mostra a quação (43): T κ = { ε xx ε yy γ xy κ xx κ yy κ xy γ yz γ xz} (43) Como a maioria dos laminados são tipicamnt finos são sujitos a tnsõs planas, tm-s σ 33 = σ 3 = σ13 = 0, porém a toria d primira ordm admit as tnsõs cisalhants transvrsas, σ 3 σ 13 Então, m virtud da imposição da condição σ 33 = 0, a matriz d flxibilidad os vtors tnsão dformação, no sistma d ortotropia, são da forma mostrada nas quaçõs (44), (45) (46)

34 Capítulo Matriais Compostos Laminados 1 L S = 1 ν E1 E ν E1 E G G G 13 ; (44) ( σ L T ) = { σ11 σ σ1 σ 3 σ13} T ( ε L ) = { ε11 ε γ1 γ 3 γ13} ; (45) (46) Com a matriz d flxibilidad L S, dada pla quação (44), as matrizs d rotação dos vtors tnsão dformação passam a sr dfinidos plas quaçõs (47) (48), rspctivamnt, ond θ é o ângulo formado ntr o ixo 1, alinhamnto das fibras, o ixo d rfrência x [ ] T σ ( θ) ( θ) ( θ) ( θ) ( θ) ( θ) ( θ) ( θ) ( θ) ( θ) ( θ) ( θ) ( θ) ( θ) cos sin sin cos 0 0 sin cos sin cos 0 0 = sin cos sin cos cos sin cos sin sin cos ( θ) ( θ) ( θ) ( θ) (47) [ ] T ε ( θ) ( θ) ( θ) ( θ) ( θ) ( θ) ( θ) ( θ) ( θ) ( θ) ( θ) ( θ) ( θ) ( θ) cos sin sin cos 0 0 sin cos sin cos 0 0 = sin cos sin cos cos sin cos( θ) sin( θ) sin( θ) cos( θ) (48)

35 Capítulo Matriais Compostos Laminados Na forma matricial compacta, as msmas rlaçõs válidas para o caso tridimnsional, valm para a Toria d Primira Ordm, bidimnsional, como mostram as quaçõs (49) a (5): L L ε = S σ (49) ; L L 1 Q = S ; (50) σ = [ Q] ε ; (51) L [ Q] = [ T ] Q [ T ] T σ σ (5) Os vtors tnsão dformação no sistma d rfrência passam a sr rdfinidos conform as quaçõs (53) (54), i, T σ T ε = = { σ xx σ yy σ xy σ yz σ xz} { ε xx ε yy γ xy γ yz γ xz} (53) (54) Os sforços gnralizados são d três tipos: mmbrana, momntos cortants Os sforços gnralizados d mmbrana são dfinidos pla quação (55); os momntos pla quação (56); os cortants pla quação (57); conform Prira (004): + h + h + h xx = σ xx yy = σ h h yy xy = σ h xy (55) N dz; N dz; N dz;

36 Capítulo Matriais Compostos Laminados 3 + h + h + h xx = σ xx yy = σ h h yy xy = σ h xy (56) M z dz; M z dz; M z dz; + h + h yz = σ h yz xz = σ h xz (57) Q dz ; Q dz Os sforços gnralizados podm sr rprsntados por um vtor M, conform mostra a quação (58): T M = N N N M M M Q Q { xx yy xy xx yy xy yz xz} (58) O objtivo agora é dfinir a rlação constitutiva ntr os sforços as dformaçõs gnralizadas, matriz [ C ] da quação (59), ond: M = [ C] κ (59) Para s dtrminar a matriz [ C ], é ncssário dfinir a idntificação das lâminas do laminado, bm como as coordnadas infrior suprior d cada lâmina A figura (4) mostra o critério adotado nst trabalho O laminado tm N lâminas, a spssura total do laminado é h uma lâmina qualqur k tm coordnada infrior z k coordnada suprior z k + 1

37 Capítulo Matriais Compostos Laminados 4 Figura 3 Idntificação das lâminas no laminado No caso d s considrar matriais compostos, têm-s, para cada lâmina k, a rlação constitutiva dada pla quação (60), ( k) σ = Q ε, (60) sndo qu a matriz ( k) Q rprsnta a matriz constitutiva associada à k -ésima lâmina A xprssão da matriz ( k ) Q é obtida pla quação (61), ond L( k ) Q significa a matriz d rigidz da lâmina no sistma d ixos d ortotropia pla quação (47) ( k) T σ é a matriz d rotação dfinida

38 Capítulo Matriais Compostos Laminados 5 ( k) ( k) L( k) ( k) = σ σ T Q T Q T (61) Consqüntmnt, a matriz ( k) Q tm a forma dada pla quação (6) abaixo ( k) ( k) ( k) Q11 Q1 Q13 ( k) ( k) ( k) Q1 Q Q3 ( k ) ( k) ( k) ( k) Q = Q31 Q3 Q Q Q ( k) ( k) Q ( k) ( k) Q (6) Obsrvando a forma da matriz transvrso, σ yz acarrta nas sguints rlaçõs: xz ( k) Q, conclui-s qu as tnsõs d cisalhamnto σ, são dsacopladas das tnsõs no plano x y, σ xx, σ yy σ xy o qu ( k) ( k) ( k) 0 σ xx Q11 Q1 Q 13 ε xx + z κ xx = ( k) ( k) ( k) 0 σ yy Q1 Q Q3 ε yy + z κ yy ( k) ( k) ( k) 0 σ xy Q 31 Q3 Q ε 33 xy zκ + xy (63) σ Q ( k) ( k) Q γ yz yz = ( k) ( k) σ xz Q54 Q γ 55 xz (64) obtm-s A partir da dfinição dos sforços gnralizados d mmbrana, quação (55),

39 Capítulo Matriais Compostos Laminados 6 N xx N yy = N xy + h h σ xx σ yy dz σ xy (65) Substituindo a quação (63) na quação (65) rsolvndo a intgral, obtm-s a quação (66), qu rlaciona os sforços d mmbrana gnralizados com as dformaçõs gnralizadas 0 N xx ε xx κ xx 0 N yy = [ A] ε yy + [ B] κ yy 0 N xy ε xy κ xy (66) As matrizs [ A ] [ B ] são dfinidas plas quaçõs (67) (68), i, ( k) ( k) ( k ) Q11 Q1 Q 13 N A = Q Q Q z z [ ] ( k) ( k) ( k) 1 3 ( k+ 1 k ) (67) k= 1 ( k) ( k) ( k) Q Q Q ( k) ( k) ( k ) Q11 Q1 Q 13 N ( k) ( k) ( k) ( zk+ 1 zk ) B = Q1 Q Q3 k= 1 ( k) ( k) ( k) Q31 Q3 Q33 [ ] (68) obtm-s Procdndo d forma análoga para os momntos gnralizados, quação (56),

40 Capítulo Matriais Compostos Laminados 7 M xx M yy = M xy + h h σ xx σ yy z dz σ xy (69) Substituindo a quação (63) na quação (69) rsolvndo a intgral, obtm-s a quação (70), qu rlaciona os momntos gnralizados com as dformaçõs gnralizadas 0 M xx ε xx κ xx 0 M yy = [ B] ε yy + [ D] κ yy 0 M xy ε xy κ xy (70) quação (71) A matriz [ B ] já foi dfinida pla quação (68) a matriz [ D ] é dfinida pla ( k) ( k) ( k ) Q11 Q1 Q 13 N 3 3 ( k) ( k) ( k) ( zk+ 1 zk ) D = Q1 Q Q3 k= 1 3 ( k) ( k) ( k) Q31 Q3 Q33 [ ] (71) Finalmnt, pod-s scrvr a quação (7) sobr os sforços cortants gnralizados, i, Qyz = k Q xz + h σ h σ yz dz σ xz (7) As tnsõs cisalhants no modlo matmático da toria d primira ordm são constants ao longo da spssura do laminado, ao passo qu as tnsõs rais variam parabolicamnt Portanto, o fator k σ é aplicado no cálculo dstas tnsõs para corrigir sta

41 Capítulo Matriais Compostos Laminados 8 discrpância k σ é chamado d fator d corrção do cisalhamnto é comumnt adotado o valor d 5 6 Substituindo a quação (64) na quação (7) rsolvndo a intgral, obtm-s a quação (73), qu rlaciona os cortants gnralizados com as dformaçõs gnralizadas, i, Q = k [ F] γ yz yz σ (73) Qxz γ xz A matriz [ F ] é dfinida pla quação (74), dada por [ ] Q ( k) ( k) Q ( ) N F = z ( k) ( k) k+ 1 zk k= 1 Q54 Q55 (74) Consquntmnt, a matriz [ C ] qu rlaciona os sforços dformaçõs gnralizadas, quação (59), pod sr dtrminada calculando-s sparadamnt as matrizs [ A ], [ B ], [ D ] [ F ] montando-as conform a quação (75), i, [ C] A A A B B B A A A B B B A A A B B B B B B D D D = B1 B B3 D1 D D3 0 0 B B B D D D F F F F (75)

42 Capítulo Matriais Compostos Laminados 9 Uma vz obtido os valors das dformaçõs gnralizadas do laminado, k, no sistma d coordnadas d rfrência, é possívl calcular as dformaçõs m cada lâmina, usando as rlaçõs aprsntadas na quação (76), ond intrss ( k) zk z z k + 1 Logo, ( k) ε, ( k) z é a coordnada do ponto d ( k) 0 ( k) ( k) 0 ( k) ε = ε + z κ ; ε = ε + z κ ; xx xx xx yy yy yy ( k) 0 ( k) ( k) ( k) γ = γ + z κ ; γ = γ ; γ = γ xy xy xy yz yz yz yz (76) Assim, aplica-s a quação (77) obtm-s o vtor das dformaçõs da lâmina no sistma d ixos d ortotropia, ( k) L ε, como ε ( k) L T ( k) ( k) T σ ε = (77) Por fim, usam-s as matrizs d rigidz da lâmina, no sistma d ixos d ortotropia ou d rfrência, para s obtr as tnsõs da lâmina, (78) (79), i, ( k) L σ ou ( k) σ, conform as quaçõs σ ε ( k) L ( ) ( ) k L = Q k L (78) σ k = Q ε ( k) ( ) ( k) (79) Nst capítulo foi mostrado como obtr a rlação constitutiva dos sforços dformaçõs gnralizados para uma placa d matrial composto laminado, considrando a Toria d Primira Ordm d Mindlin Também foram dfinidas as propridads, convnçõs simplificaçõs adotadas nst trabalho

43 Capítulo Matriais Compostos Laminados 30 Est conjunto d informaçõs é ssncial para o dsnvolvimnto da toria d placas, capítulo 3, postrior discrtização numérica utilizando o método d Galrkin livr d lmntos, capítulo 5

44 Capítulo 3 Modlo d Placas 31 Introdução O assunto d placas sob flxão suas xtnsõs, sgundo Zinkiwicz (000b), foi um dos primiros m qu o método d lmntos finitos foi aplicado, no início da década d 1960 Nsta época várias dificuldads foram ncontradas não totalmnt comprndidas, razão pla qual st tma continua sndo psquisado até os dias d hoj Placas cascas são formas particulars d sólidos tridimnsionais, cujo tratamnto não aprsnta nnhuma dificuldad tórica, ao mnos no caso da lasticidad A spssura dstas struturas é pquna quando comparada com as outras dimnsõs Assim o tratamnto numérico tridimnsional não é somnt custoso, mas também pod lvar a sérios problmas numéricos d mal-condicionamnto Uma placa d spssura h tm uma suprfíci média a uma distância d h d cada uma das suprfícis latrais Para anális, a suprfíci média fica localizada no plano xy, podndo sr idntificada por z= 0 Considrando a suprfíci média, é possívl simplificar um problma tridimnsional a um problma bidimnsional através d uma toria d placas Existm várias torias para anális d placas qu podm sr divididas m três catgorias principais: toria d placas finas, d placas smi-spssas d placas spssas A sguir alguns xmplos d torias: Toria d placa fina, também conhcida como toria clássica d placas ou toria d placa d Kirchhoff, m rconhcimnto a psquisa sobr toria d placas ralizada m 1850; Toria d placa smi-spssa, também conhcida como toria d placa d

45 Capítulo 3 Modlo d Placas 3 primira ordm, toria d placa d Mindlin ou Mindlin-Rissnr, dsnvolvida m torno d 1950; Torias d ordm suprior, a xmplo da toria d Kant a toria d trcira ordm d Raddy A toria d Kirchhoff dsprza o cisalhamnto transvrso, motivo plo qual só é aplicada a placas finas A toria d Mindlin considra o cisalhamnto trasvrso, porém assum sr constant, o qu lva a alguns rros como o aparcimnto d modos spúrios travamnto ao cisalhamnto (shar locking) As torias d ordm suprior prmitm uma mlhor aproximação das tnsõs cisalhants, porém com um custo computacional maior Como o objtivo dst trabalho é aplicar um método sm malha à toria d placa vrificar a mlhoria na aproximação, srá usada a toria d Mindlin, por sr mais snsívl aos problmas numéricos Assim, sta toria srá dtalhada na sqüência dst capítulo 3 Elasticidad Infinitsimal 3D O problma clássico da lasticidad linar sob pqunas dformaçõs dslocamntos 3D pod sr formulado, sgundo Malvrn (1969), como indicado na quação (31) div( σ) + b= 0 m Ω σ n= t m Γt u= u m Γu (31) A figura (31) ilustra st problma, no qual Ω é uma subrgião do rgular ocupada por um corpo lástico; prscrita; 3 R com frontira Γ t é a rgião do contorno dst corpo com tração Γ u é a rgião do contorno com dslocamnto prscrito; Ω=Γt Γ u é todo o contorno; Γt Γ u =

46 Capítulo 3 Modlo d Placas 33 Figura 31 Problma lástico tridimnsional Agora, o problma clássico da lasticidad pod sr scrito como: 1 dtrminar ui H Ω u= arg min ( ) Π ( w ) w S solução d (3) 1 Na quação (3), ( ) = { i Ω i i = 0 m Γ u} o funcional ( w) S u H u u pla quação (33) da nrgia potncial total, Zinkiwicz (000a), i, Π é dado 1 Π ( w) = σ ε d b w d t w d i Ω Ω Γ Ω i Ω i Γt (33) Est problma pod sr rformulado acrscntando ao funcional (33) um trmo d pnalidad qu incorpora a condição d contorno ssncial, ou sja, o funcional modificado irá impor implicitamnt o dslocamnto prscrito na rgião Γ u

47 Capítulo 3 Modlo d Placas 34 O funcional da nrgia potncial total modificado ( w) d contorno ssncial, é dado por Π, incorporando a condição η 1 1 Π η( w) = σ ε d b w d t w d u u d i Ω Ω Γ+ Γ Ω i Ω i Γt η Γ u (34) Dsta forma, o problma passa a sr: ( ) 1 dtrminar ui H Ω u= lim η 0 uη tal qu, (35) m qu u η é solução d: ( ) 1 Dado η>0 dtrminar ui H Ω uη = arg minπ w S η ( w) tal qu (36) 33 Toria d Placas As torias d placas usadas para anális d matriais compostos laminados difrm basicamnt na hipóts cinmática, Rddy (1997) A figura (3) ilustra as três hipótss cinmáticas mais comuns: a toria clássica (classical laminatd plat thory, CLPT), a toria d primira ordm (first-ordr shar dformation thory, FSDT) a toria d trcira ordm (third-ordr shar dformation thory, TSDT) A toria classica assum qu: uma linha rta prpndicular à suprfíci média ants do carrgamnto prmanc rta prpndicular após o carrgamnto, a placa é inxtnsívl ao longo da spssura as dformaçõs cisalhants são nulas A toria d primira ordm, ou d Mindlin, difr da toria clássica por admitir qu, na configuração dformada, a linha rta não é ncssariamnt prpndicular à suprfíci média

48 Capítulo 3 Modlo d Placas 35 as dformaçõs cisalhants não são nulas, porém constants ao longo da spssura Na toria d trcira ordm, o campo d dslocamnto prmit uma variação quadrática das tnsõs d cisalhamnto Figura 3 Hipótss cinmáticas aplicadas a matriais compostos laminados 34 Toria d Mindlin Sgundo Cook (00), a toria d Mindlin idaliza o comportamnto da placa, assumindo qu uma linha rta normal à suprfíci média ants do carrgamnto prmanc rta, mas não ncssariamnt normal à suprfíci média após a aplicação do carrgamnto A figura (33) mostra os graus d librdad d um ponto d um lmnto difrncial d placa

49 Capítulo 3 Modlo d Placas 36 Figura 33 - Graus d librdad d um ponto da placa Considra-s o corpo Ω rprsntando uma placa fina ond o fito da tnsão transvrsal cisalhant é considrado (Toria d Placa Smi-spssa) Hipótss: i) A toria d Mindlin considra o campo d dslocamnto dado por u( x, y, z) = u0( x, y) z θ ( x, y) (37) Na quação (37), os vtors u 0 θ são chamados d dslocamntos gnralizados (dslocamntos rotaçõs) são dfinidos plas quaçõs u ( x, y) = u( x, y) + v( x, y) + w( x, y) 0 x y z θ ( x, y) = θ x ( x, y) x+ θ y ( x, y) y (38) (39) O campo d dslocamnto também pod sr scrito d outra forma, como mostram as quaçõs (310) (311), i,

50 Capítulo 3 Modlo d Placas 37 u ( x, y, z) = U ( x, y, z) + V ( x, y, z) + W ( x, y, z) x y z (310) m qu U ( x, y, z) = u( x, y) z θ ( x, y) V ( x, y, z) = v( x, y) + z θ ( x, y) W ( x, y, z) = w( x, y) y x (311) A dpndência do campo d dslocamnto m rlação à coordnada z passa a sr xplícita, prmitindo qu o funcional do problma, quação (33), possa sr intgrado m z, tornando o problma bidimnsional ii) Considra-s qu a tnsão normal ao longo da spssura é nula, σ zz 0 iii) Os componnts do tnsor dformação infinitsimal podm sr xprssos plas quaçõs (31) (313) U V W ε xx = ; ε yy = ; ε xx = ; x y z (31) U V U W V W ε xy = γ xy = + ; ε xz = γ xz = + ; ε yz = γ yz = + y x z x z y (313) (313), obtm-s: Substituindo as componnts do campo d dslocamnto nas quaçõs (31) U u θ y o ε xx = = + z = ε xx+ z κ xx x x x, (314)

51 Capítulo 3 Modlo d Placas 38 V v θx o ε yy = = z = ε yy+ z κ yy y y y, (315) ε = 0 (316), zz U V u v θ y θ x o γ xy = + z γ xy z κ xy y x = + + = + y x y x, (317) γ yz V W = + = + w θ x (318) z y y, γ xz U W = + = θ w y+ z x x (319) o Os trmos ε xx, o ε yy, o γ xy, κ xx, κ yy, κ xy, γ xz γ yz dfinm as dformaçõs gnralizadas podm sr rprsntados por um vtor κ, conform mostra a quação (30), i, κ = { ε xx ε yy γ xy κ xx κ yy κ xy γ yz γ xz} T o o o (30) 35 Aplicação do Princípio da Mínima Enrgia Potncial Total O princípio da mínima nrgia potncial total pod sr formulado como: 1 dtrminar ui H Ω u = arg min w S ( ) Π ( w ) tal qu (31)

52 Capítulo 3 Modlo d Placas 39 1 Na quação (31), ( ) = { i Ω i i = 0 m Γ u} o funcional ( w) S u H u u quação (3) da nrgia potncial total, Shams (1985), i, Π é dado pla ( w 1 ) d b w σ ε d t w Π = i Ω Ω d Γ Ω i Ω i Γt (3) Considrando a hipóts cinmática, a dpndência do campo d dslocamnto m rlação à coordnada z passa a sr xplícita, prmitindo qu o funcional do problma, quação (3), possa sr intgrado m z, transformando o problma tridimnsional m bidimnsional O primiro trmo do funcional pod sr xprsso como mostra a quação (33), 1 1 ( ) ( ) σ uiε u dω= σ xxε xx σ yyε yy σ xyγ xy σ xzγ xz σ yzγ yz d Ω Ω Ω 1 o o = ( + z ) + ( + z ) + A h h σ xx ε xx κ xx σ yy ε yy κ yy o ( z ) σ xy γ xy+ κ xy + σ xz γ xz+ σ yz γ yz dz da (33) Os sforços gnralizados são d três tipos: mmbrana, momntos cortants Ests sforços foram dfinidos no capítulo, conform as quaçõs (55), (56) (57), podm sr rprsntados por um vtor M, conform a quação (58) Aplicando a dfinição d sforços gnralizados do campo d dformaçõs na quação (33), obtm-s a quação (34): 1 1 σ ( u) ε ( u) dω= M κ da i Ω i A (34) Supondo o matrial linar lástico, a rlação constitutiva é dada por

53 Capítulo 3 Modlo d Placas 40 M = [ C] κ, (35) m qu [ C ] é obtido conform visto no capítulo Substituindo a quação (35) na quação (34), ncontra-s a igualdad dada por 1 1 M κ da= [ ] κ κ da i A C i A (36) O sgundo trmo do funcional, considrando o pso próprio a hipóts cinmática, pod sr xprsso como biu d Ω h k Ω= hρ A i k = ρ gi u0 zθ dz da A h h g u dz da n k k+ 1 k { ρ ( )} = h h giu0 da A k = 1 (37) Na quação (37), ρ significa a dnsidad do matrial, g a aclração da gravidad, o sobrscrito k idntifica a lâmina n é o númro total d lâminas do laminado O contorno da placa pod sr dividido m três rgiõs A primira rgião é a suprfíci dlimitada plo contorno a spssura da placa, qu pod sr chamada d borda A h sgunda rgião é a suprfíci com coordnada z=+, ou suprfíci suprior A trcira h rgião é a suprfíci com coordnada z=, ou suprfíci infrior Dsta forma o trmo do funcional rfrnt ao carrgamnto prscrito, o trciro trmo, dv sr dividido m três, conform a quação (38),

54 Capítulo 3 Modlo d Placas 41 h t u d t u dz ds t u da t u da + i Γ= h( i ) + ( i ) + ( i ) Γt At At ( z=+ h / ) At ( z= h / ) (38) Por simplicidad, srá considrado o carrgamnto na borda da placa o distribuído na suprfíci nutra ( z= 0 ) Assim, o trmo d carrgamnto prscrito do funcional pod sr rprsntado como mostra a quação (39), h t u d t u dz ds t u da + i Γ= h( i ) + ( i ) Γt At At (39) O carrgamnto prscrito na borda pod tr 3 dirçõs: normal à suprfíci n, tangnt à suprfíci s na dirção d z, figura (34) Estas três dirçõs formam um sistma d coordnadas, (,, ), Rddy (1997) Logo, o carrgamnto prscrito na borda pod sr n s z dcomposto nstas coordnadas, conform a quação (330), t = tn n + ts s + tz z = tx x+ t y y+ tz z (330) Figura 34 Dirçõs normal tangnt à borda da placa

55 Capítulo 3 Modlo d Placas 4 Considrando α o ângulo formado ntr n x, a transformação d coordnadas ntr os dois sistmas é ralizada d acordo com a quação (331), n = cos ( α) x+ sin ( α) y s = sin ( α) x+ cos ( α) y (331) A dcomposição do vtor t pod sr rscrita m função da bas cartsiana como mostra a quação (33), t = tncos ( α) tssin ( α) x+ tnsin ( α) + tscos ( α) y+ tz z (33) Com bas na dcomposição do vtor t, o trmo d carrgamnto prscrito na borda da placa é dsnvolvido como At t u dz ds = ti u0 zθ dz da h h hi h A t { h h n s ( α) ( α) = t cos t sin u+ At ( α) s ( α) ( ) ( ) ( α) ( α) θ } + tnsin + t cos v+ + tz w+ tncos α tssin α z θ y+ tnsin + tscos z x dz da (333) A dfinição d sforços d carrgamnto prscritos gnralizados é dada por

56 Capítulo 3 Modlo d Placas 43 h h h n = s z h n = h s = h z N t dz; N t dz; N t dz; h h h n s h s M n = t z dz; M = t z dz (334) A quação (333) pod sr rscrita usando os sforços gnralizados, obtndo-s At h h { tiu dz ds = N ncos ( α) N ssin ( α) u+ At ( α) s ( α) + N nsin N cos + v+ n ( α) s ( ) ( α) ( α) θ } + N z w+ M cos M sin α θ y+ nsin s M + M cos x da (335) N t Os sforços d carrgamnto gnralizados podm sr rprsntados plos vtors M t, conform a quação (336), T N = N N N T M t = M n M s {,, } {, } t n s z (336) Na forma matricial, a quação (336) pod sr rscrita como At h h ([ α ] t 0 [ α ] t θ) tiu dz ds = 3 Niu Mi ds At (337) Na quação (337), as matrizs [ α 3] [ ] α são dfinidas pla quação

57 Capítulo 3 Modlo d Placas 44 [ ] ( α) ( α) ( ) ( ) [ ] cos sin 0 cos( α) sin( α) α3 = sin α cos α 0 α = sin( α) cos( α) (338) Aplicando a hipóts cinmática no trmo d carrgamnto prscrito na suprfíci nutra ( z= 0 ) obtm-s qiu da= qi u zθ da= qiu da A 0 0 t A A (339) Substituindo os trmos dsnvolvidos, quaçõs (34), (37), (337) (339) no funcional do problma, quação (3), ncontra-s n 1 k k+ 1 k Π ( u0, θ) = { ( )} 0 Miκ da A A ρ h h giu da k = 1 ([ α3 ] N t u0 [ α ] M t i iθ ) ds q u0 da A i t A (340) A quação (341) dtrmina a condição ncssária d optimalidad, dada por (, 0 ) 0, δπ u θ = ( δu, 0 δθ) (341) 36 Dtrminação da Formulação Fort O objtivo agora é dtrminar as quaçõs difrnciais d quilíbrio, quaçõs d Eulr-Lagrang, as condiçõs d contorno ssnciais naturais associadas ao modlo d placa d Mindlin

58 Capítulo 3 Modlo d Placas 45 Toma-s a quação (341) impõ-s uma função variacional arbitrária os dmais iguais a zro O dsnvolvimnto da quação (341), mostrando as cinco funçõs variacionais, δ u, δ v, δ w, δθ x δθ y, é aprsntado na quação (34), A δu δ v δu δ v δθ y δθ x N xx + N yy + N xy + + M xx M yy x y y x x y δθ y δθ x δ w δ w + M xy + Qxz δθ y+ + Qyz δθ x+ da y x x y n k k+ 1 k { ρ ( )} { xδ yδ zδ } h h g u+ g v+ g w da A k = 1 { ncos ( ) ssin ( ) n N α N α δu N sin( α) A N scos ( α) + δ v+ t zδ n ( α) s ( α) δθ y n ( α) s ( α) δθ x} + + N w+ M cos M sin M sin + M cos ds ( xδ yδ zδ ) ( δu δv δ wδθ x δθ y) q u+ q v+ q w da A = 0;,,,, (34) nulas, obtm-s A partir da quação (34) tomando δ u arbitrário as dmais funçõs variacionais A n k k+ 1 k { ρ ( )} δu δ u N xx + Nxy da h h g A xδu da x y k = 1 ( α) ( α) δ ( δ δ δ ) ncos s N N sin u ds q x u+ q y v+ q z w da At = 0, δu, δ v= δ w= δθ = δθ = 0 x y A (343) As propridads do cálculo aprsntadas nas quaçõs (344) a (347) são ncssárias para s obtr as quaçõs d Eulr-Lagrang, i, δ u N xx ( N xxδu) = N xx + δu x x x, (344)

59 Capítulo 3 Modlo d Placas 46 δu N xy ( N xyδu) = N xy + δu y y y, (345) A x ( δ ) N u da= N nδu ds xx A xx x t, (346) A y ( δ ) = A t N u da N n δu ds xy xy y (347) Nas quaçõs (346) (347), n = nx x+ ny é o vtor unitário normal à suprfíci da borda y da placa Aplicando-s stas propridads à quação (343), obtm-s N ( xx x xy y) ( ) ( ) n + 1 { ( )} xx xy k k k + A x y A k = 1 N ncos α N ssin α δu ds q x δu da At At N + N n + N n δu ds = 0, δu, δ v= δ w= δθ = δθ = 0 δuda ρ h h g xδu da x y A (348) Consquntmnt, a quação d Eulr-Lagrang as condiçõs d contorno são dadas plas quaçõs (349), (350) (351), i, + { ρ ( )} 1 n N N xx xy k k k + + h h gx+ q x = 0 m A x y k= 1, (349) ( α) s ( α) N n + N n = N ncos N sin m A (350), xx x xy y t

60 Capítulo 3 Modlo d Placas 47 u= u m Au (351) A partir da quação (34) tomando δ v arbitrário as dmais funçõs variacionais nulas, obtm-s, d manira análoga, a quação d Eulr-Lagrang as condiçõs d contorno, quaçõs (35), (353) (354), i, + { ρ ( )} 1 N n yy N xy k k k + + h h g y+ q y = 0 m A y x k= 1, (35) ( α) s ( α) N n + N n = N nsin + N cos m A (353), yy y xy x t v= v m A (354) u A partir da quação (34) tomando δ w arbitrário as dmais funçõs variacionais nulas, obtm-s, d manira análoga, a quação d Eulr-Lagrang as condiçõs d contorno, quaçõs (355), (356) (357), i, + { ρ ( )} 1 n Q Q xz yz k k k + + h h gz+ q z = 0 m A x y k= 1, (355) Q n + Q n = N z m A (356), xz x yz y w= w m Au (357)

61 Capítulo 3 Modlo d Placas 48 A partir da quação (34) tomando δθ x arbitrário as dmais funçõs variacionais nulas, obtm-s, d manira análoga, a quação d Eulr-Lagrang as condiçõs d contorno, quaçõs (358), (359) (360), i, M yy M xy + Qyz = 0 m A y x, (358) ( α) s ( α) M yyny+ M xynx = M nsin M cos + m At, (359) θ x = θ x m Au (360) A partir da quação (34) tomando δθ y arbitrário as dmais funçõs variacionais nulas, obtm-s, d manira análoga, a quação d Eulr-Lagrang as condiçõs d contorno, quaçõs (361), (36) (363), i, M M xx xy + + Qxz = 0 m A x y, (361) ( α) s ( α) M n + M n = M ncos M sin m A (36), xx x xy y t θ y = θ y m Au (363) A tabla (31) agrupa as quaçõs d quilíbrio as condiçõs d contorno da formulação fort do problma da placa d Mindlin

62 Capítulo 3 Modlo d Placas 49 Tabla 31 Formulação fort do problma da placa d Mindlin k= 1 + { ρ ( )} 1 n N N xx xy k k k + + h h gx+ q x = 0 x y k= 1 + { ρ ( )} 1 N n yy N xy k k k + + h h g y+ q y = 0 y x k= 1 + { ρ ( )} 1 n Q Q xz yz k k k + + h h gz + q z = 0 x y m A M y M x yy xx M xy + Qyz = 0 x M xy + + Qxz = 0 y ( α) s ( α) N n + N n = N ncos N sin xx x xy y N n + N n = N nsin + N yy y xy x ( α) scos( α) Q n + Q n = N xz x yz y z m At M yyny+ M xynx = M n sin + M M n + M n = M ncos M xx x xy y u v = u = v ( α) scos( α) ( α) ssin( α) w= w m Au θ = θ x x θ = θ y y

63 Capítulo 3 Modlo d Placas Formulação Fraca do Problma da Placa d Mindlin O princípio da mínima nrgia potncial total pod sr formulado como: Dtrminar ( u0, θ) G tal qu ( u0, θ) = arg min I( u, θ 0 ) ( u 0, θ ) G (364) Na quação (364), G é o spaço dfinido pla quação (365) I é o funcional dfinido pla quação (366), i, G= { u, sufrgular, u, = u, m Γ } ( 0 θ) ( 0 θ) ( 0 θ ) u (365) I u = da h g u da n 1 k k (, θ) [ C] κ κ { ρ } 0 0 A A k = 1 { θ} N u M ds q u da At 0 A 0 (366) O vtor das dformaçõs gnralizadas κ pod sr rprsntado m função d u 0 θ, como { ( ), ( ), ( ), ( ), ( ), ( ), (, 0 ), (, 0 )} o o o xx u yy u xy u xx yy xy xz u yz u κ = ε ε γ κ θ κ θ κ θ γ θ γ θ (367) A imposição da condição d contorno ssncial pod sr rlaxada através da introdução d um trmo d pnalidad cuja função é implicitamnt assgurar a satisfação da condição d contorno ssncial Dsta forma, podmos rformular a forma fraca do problma u0, θ tal qu da placa d Mindlin como: dtrminar ( )

64 Capítulo 3 Modlo d Placas 51 ( u0, θ) = lim ( u0 η, θη) η 0, (368) m qu ( u0 η, θη) é solução do problma: Dado η>0 dtrminar ( u0η, θη) solução d ( u0η, θη) = arg min Iη ( u, θ 0 ) ( u 0, θ ) (369) O funcional I η contmplando o trmo d pnalidad é dado por n 1 I η( u0, θ) = [ C] κiκ da ρ h giu0 da qiu0 da A A A k k k= 1 ([ α3 ] N t u0 [ α ] M t i iθ ) ds A t 1 + u0 u + θ θ ds η A u (370) Os quadrados das normas d ( u 0 u ) ( θ θ ) são dfinidos como u0 u0 = ( u u) + ( v v) + ( w w) θ θ = θ θ θ θ ( x x) + ( y y) (371) (37) Substituindo as quaçõs (371) (37) no trmo d pnalidad do funcional, obtm-s

65 Capítulo 3 Modlo d Placas 5 1 δ η Au + = u0 u0 θ θ ds 1 = δ ( u u) ( v v) ( w w) ( θx θx) ( θ y θ y) ds η Au 1 = {( u0 u0) δu0+ ( θ θ) δθ} ds η i i Au (373) A condição ncssária d otimalidad para qu ( u0, θ) sja mínimo é dada pla quação (374), forma fraca do problma, i, n ( t ) t = 1 {( 0) ( ) } ( ) κiδκ da ρ h giδ u da α3 Niu α Miθ ds k k [ ] { } 0 [ ] t C 0 [ ] A A A k 1 qiδ u0 da+ u0 u δu0+ θ θ δθ ds = 0, δu0, δθ A η i i Au (374)

66 Capítulo 4 Método d Galrkin Livr d Elmntos 41 Métodos sm Malha Uma boa dfinição dos métodos sm malha é dada por Mndéz (001), na qual os métodos livrs d malha têm o objtivo d liminar plo mnos part da dpndência da malha no método d solução através da construção do spaço d aproximação utilizando funçõs dfinidas intiramnt m trmos dos nós No contxto dos métodos sm malha, os nós são usualmnt chamados d partículas os lmntos são chamados d células d intgração, pois m alguns métodos, como o método d Galrkin livr d lmntos, usa-s uma malha smlhant à d lmntos finitos para aplicar uma rgra d intgração numérica visando a intgração da forma fraca do problma Nos últimos anos, os métodos sm malha têm sido objto d atnção xtnsivamnt aplicados a problmas da mcânica dos sólidos Várias abordagns foram propostas, a xmplo do smooth particl hydrodynamics (SPH), rproducing krnl particl mthod (RKPM), h-p clouds mthod, mshlss local Ptrov-Galrkin mthod (MLPG) lmnt-fr Galrkin mthod (EFGM), qu usam aproximação por mínimos quadrados móvis para construir as funçõs bas O procdimnto do método d lmntos finitos (FEM) dos métodos sm malha (MFr) podm m princípio sr sboçados plo fluxograma da figura (41), Liu (00) Ests dois métodos divrgm no stágio da criação da malha a difrnça fundamntal ntr sts dois métodos é a construção das funçõs bas ou d forma No FEM, as funçõs d forma são construídas usando lmntos, stas funçõs srão as msmas para cada lmnto Estas funçõs d forma são usualmnt prdfinidas para difrnts tipos d lmntos ants do início da anális por lmntos finitos Nos métodos sm malha, todavia, as funçõs d forma são construídas para um ponto particular d intrss As funçõs d forma mudam quando a localização do ponto d intrss muda A construção das funçõs d forma livr d lmntos é fita durant a anális, não ants, como no método d lmntos finitos

67 Capítulo 4 Método d Galrkin Livr d Elmntos 54 Uma vz stablcido o sistma global d quaçõs discrtizadas, os métodos sm malha sgum um procdimnto similar ao do método d lmntos finitos, xcto por algumas difrnças mínimas, m dtalhs da implmntação Figura 41 Fluxograma comparativo MFr FEM

68 Capítulo 4 Método d Galrkin Livr d Elmntos 55 4 Método d Galrkin Livr d Elmntos O método d Galrkin livr d lmntos consist basicamnt na construção d um conjunto d funçõs bas ou d forma qu dfinm o spaço d aproximação, o qual é utilizado para a dtrminação d uma aproximação pla aplicação do método d Galrkin Tais funçõs d forma são construídas através da aproximação por mínimos quadrados móvis, Rossi (005) O método d Galrkin livr d lmntos usa a aproximação por mínimos quadrados móvis (MLS) para construir as funçõs bas ou d forma Esta aproximação tm sido usada m statística dsd 190 sob o nom d rgrssão local para ajustar curvas suprfícis d dados distribuídos, Krysl Blystschko ( ) Sgundo Liu (00), as principais caractrísticas do método d Galrkin livr d lmntos são: O mprgo da aproximação por mínimos quadrados móvis para a construção da função d forma; O mprgo da forma fraca d Galrkin para dsnvolvr o sistma d quaçõs discrtizado; É rqurida uma malha d células para possibilitar a intgração cálculo das matrizs do sistma O procdimnto d solução do método d Galrkin livr d lmntos é similar ao do método d lmntos finitos Primiramnt é modlada a gomtria do domínio do problma um conjunto d nós é grado para rprsntar o domínio do problma, como mostra a figura (4) As matrizs do sistma são montadas via dois laços (loop) O laço xtrno é para todas as células d intgração da malha (quivalnt aos lmntos do FEM) o laço intrno é para todos os pontos d intgração numérica d cada célula

69 Capítulo 4 Método d Galrkin Livr d Elmntos 56 Figura 4 Rprsntação do domínio do problma plo EFG O algoritmo para anális d tnsõs usando o método d Galrkin livr d lmntos é aprsntado na tabla (41) Tabla 41 Algoritmo do método d Galrkin livr d lmntos Grar gomtria Grar a malha d nós células d intgração Para cada célula d intgração Para cada ponto d intgração (x) Idntificar os nós qu participam do cômputo do ponto x (suport d x) Calcular as funçõs d forma do suport d x no ponto x por MLS Calcular as matrizs nodais do ponto x Montar a matriz nodal na matriz global Fim cada ponto d intgração Fim cada célula d intgração Solucionar o sistma d quaçõs para os dslocamntos dos parâmtros nodais Calcular os dslocamntos usando as funçõs d forma MLS Calcular as tnsõs dformaçõs 43 Aproximação por Mínimos Quadrados Móvis Apsar da aproximação por mínimos quadrados móvis (MLS) sr usada dsd 190 m statística, foi inicialmnt aplicada na ngnharia m 1981 por Lancastr Salkauskas

70 Capítulo 4 Método d Galrkin Livr d Elmntos 57 (1981) Est método consist m uma aproximação por mínimos quadrados pondrada, na qual uma função d aproximação h u é construída a partir d um conjunto d dados discrtos ( ui, x I ), I = 1 n T, m qu n T é o númro total d partículas m um domínio Ω A função d aproximação é dfinida pla quação (41), i, h u m x p j x a j x p x a x j= 1 ( ) = ( ) ( ) = ( ) ( ) (41) Na quação (41), p( x) rprsnta a bas intrínsca, a( x) é o conjunto d coficints a dtrminar m é o númro d lmntos d p( x) Est método consist no uso d uma bas p( x) d uma função pso w( x ), qu dtrmina a influência d quantas partículas srão considradas para a dtrminação d a( x) Para dtrminar a( x) é aplicada a norma d rro discrta, J( a ), dada por n J( a) = w( x xi) p( xi) a( x) ui I= 1 (4) w x x I A função pso ( ) dtrmina quantas partículas n da vizinhança d x participa da dtrminação d a( x), ou sja, quais as partículas u I (localizadas m x I ) têm w( x x I ) 0 como mostra a figura (43) para o caso unidimnsional,

71 Capítulo 4 Método d Galrkin Livr d Elmntos 58 Figura 43 Funçõs pso m um problma unidimnsional h Tomando como xmplo a figura (43), a dtrminação d u ( ) pontos 3 4 Assim, a mdida d rro é dada pla quação (43), x dpnd dos ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) J a = w3 x p x3 a x u 3 + w4 x p x4 a x u 4 (43) Como rsultado da minimização d J( a h ) é obtida a rlação ntr u ( ) discrtos u I da vizinhança d x, como mostra a quação (44), x os valors n h u ( x) = Φ I( x) ui I= 1 (44) Na quação (44), ( x) Φ é chamada d função d forma global é obtida por I Φ = A I ( x) p( x) ( x) 1 b ( x) I (45)

72 Capítulo 4 Método d Galrkin Livr d Elmntos 59 Na quação (45), A( x ) é dnominada matriz momnto é obtida pla quação (46) Já b I ( x) é obtida pla quação (47), i, n ( x) = w( x x ) p( x ) p( x ) A I I I (46) I= 1 b x w x x p x ( ) = ( ) ( ) I I I (47) A bas intrínsca p( x) é comumnt a bas polinomial As quaçõs (48) (49) aprsntam as bass bidimnsional linar quadrática, rspctivamnt ( ) = [ 1 ] T p x x y ( ) 1 = T p x x y x x y y (48) (49) As drivadas parciais d ( x) Φ com rlação as componnts d x são dadas plas quaçõs I Φ I( x) p( x) 1 = A( x) bi ( x) + xi xi 1 A( x) 1 bi x + p( x) bi ( x) + p( x) A( x) x x i ( ) i (410)

73 Capítulo 4 Método d Galrkin Livr d Elmntos 60 1 Φ ( x) p( x) p( x) A( x) = x b x + b x + I 1 A( ) I( ) xi x j xi x j xi x j ( ) ( ) p( x) b ( x) p( x) A( x) + + ( ) + x x x x 1 1 I A( x) bi x i j j i 1 1 A( x) A x bi x I( ) ( ) xi x j xi x j ( ) ( ) + p x b x + p x + p( x) b x x + A + x j xi x j xi 1 bi ( x) + p( x) A( x) x x 1 1 I( ) A( ) bi ( x) ( x) p( x) i j I + (411) As drivadas da matriz momnto para o calculo das drivadas das funçõs d forma podm sr obtidas como A ( x) x i 1 = A ( x) A ( x) ( x) 1 1 x i A, (41) 1 1 A( x) A( x) A( x) 1 = A( x) xi x j x j xi 1 A( x) 1 1 A x A x A( x) A( x) A( x) x x x x ( ) ( ) i j i j 1, (413) n A( x ) w( x x ) x i ( ) p( x ) I = p xi I= 1 x i n ( x) w( x x ) A I = p xi xi x j I= 1 xi x j I ( ) p( x ) I (414) (415)

74 Capítulo 4 Método d Galrkin Livr d Elmntos 61 As drivadas d b ( x) I são obtidas por bi x w x x = x x ( ) ( ) i bi x w x x = x x x x ( ) ( ) i j i j i I I p x ( ) I p x ( ) I (416) (417) A ordm d consistência d uma aproximação, k, é dfinida como a ordm arbitrária polinomial qu pod sr rprsntada d forma xata plo procsso d ajust ou aproximação Uma das propridads importants da aproximação por mínimos quadrados móvis é a, ou capacidad d rprsntar xatamnt combinaçõs das funçõs da bas intrínsca p( x) sja, a consistência da aproximação dpnd da ordm monomial utilizada para dfinir p( x) S a ordm complta for k, a função aproximação grada trá consistência k Dst modo, T p x = 1 x y, m qu para satisfazr a consistência linar é ncssário apnas utilizar ( ) [ ] m=3 Nst caso são obtidas as rlaçõs xprssas nas quaçõs (418), (419) (40) A primira quação, (418), rprsnta uma propridad obrigatória para habilitar a função a rproduzir qualqur movimnto d corpo rígido Consquntmnt o conjunto Φ x, I = 1,,, n dfin uma partição da unidad, i, { I( ) T} n T Φ I( x ) = 1 I= 1 (418) Adicionalmnt, tmos n T Φ I( x ) xi = x (419) I= 1 n T Φ I( x ) yi = y I= 1 (40)

75 Capítulo 4 Método d Galrkin Livr d Elmntos 6 Como stas funçõs d forma obtidas da aproximação por mínimos quadrados móvis, m Φ x δ, as condiçõs d gral, não satisfazm a condição d dlta d Kronckr, i, ( ) I J IJ contorno ssnciais não podm sr impostas dirtamnt pla prscrição dos valors nodais D fato, no método d Galrkin livr d lmntos os valors ncontrados na solução do problma são parâmtros nodais, não soluçõs nodais, como no método d lmntos finitos Outra propridad important é a class da função d forma S a função pso suas k primiras drivadas form contínuas, ntão a função bas ou d forma suas k primiras drivadas também srão contínuas, ou sja, d class k C A aproximação por mínimos quadrados padrão é obtida s a função pso for constant por todo o domínio Contudo, todas as incógnitas srão totalmnt acopladas S a função pso tivr um grand domínio d influência, a aproximação s comportará como um Limitando a função pso a sr difrnt d zro polinômio d ordm maior qu a d p( x) m um pquno subdomínio, rsulta m um sistma d quaçõs sparso A formulação d lmntos finitos padrão srá obtida s a função pso for constant m cada lmnto 44 Funçõs Pso As funçõs pso dsmpnham um important papl no dsmpnho dos métodos sm malha Elas dvm sr construídas d forma qu: Sjam positivas; ; Garantam a solução única para a( x) Sjam funçõs monotônicas dcrscnts com rspito à distância d x para x I, ou sja, dvm aprsntar um dcréscimo m sua magnitud à mdida qu a distância d x com rlação x I aumnta

76 Capítulo 4 Método d Galrkin Livr d Elmntos 63 As funçõs pso são comumnt usadas como dpndnts da distância ntr dois pontos, r, como rprsnta a quação (41), w x x = w r = w r r = x x ( ) ( ) ( ); ond I I I I I (41) Mais spcificamnt, funçõs pso têm a forma dada como I ( ) w r x w r x ( k ( ( )) = ) I ( ) (4) Na quação (4), I ( k ( ) ( )) w r x é assumido sr contínuo juntamnt com as m drivadas com rlação a r Considram-s, ntão, as condiçõs qu o trmo k dv satisfazr, d manira a garantir qu as primiras m-ésimas drivadas d I ( k) ( ) xistam para cada ponto x, quação (43), m qu ( ) = ( ), ésimo vtor da bas cartsiana Tmos ntão qu w r com rlação à x i x x x x I j I j, sndo j o j- w ( k ) w r ( k ) w = k r = k( x x ) r x r x r I 1 I I I j j j (43) x x I j r O limit d ( ), quando x x, não xist Todavia, as drivadas da quação (43) I 1 xistirão s somnt s k > A quação (44) aprsnta a sgunda drivada da função pso, para k 1, dada por w x I j ( k 4) wi = k( k ) ( x xi) r + j r wi + k r + 4 k x xi r j r ( k ) ( 4k 4) ( ) w r I (44)

77 Capítulo 4 Método d Galrkin Livr d Elmntos 64 Calculando-s a m-ésima drivada da função pso, I ( k) ( ) w r, com rlação à x j, para o caso d problmas bidimnsionais, pod-s dizr qu: s k é um intiro positivo, a drivada da função pso ( k) ( ) wi r com rlação à j n sja um intiro positivo, porém k >, a drivada d função pso xistirá até a m-ésima ordm x xistirá até a m-ésima ordm, m= k Caso k não I ( k) ( ) w r com rlação à x j Assim, a scolha adquada das funçõs pso é mais ou mnos arbitrária à mdida qu a função sja positiva contínua, juntamnt com suas drivadas até o grau dsjado A scolha do tamanho da rgião m qu a função pso é não nula dv garantir qu a matriz momnto A( x ), dfinida na quação (46), sja invrtívl D acordo com as rfrências Bissl Blytschko (1996) Hurta Méndz (000), a distribuição d partículas dv satisfazr uma condição d stabilidad para qu xista a invrsa d A( x ) Esta condição d stabilidad pod sr nunciada como mostra a quação (45), card{ xi Φi( x) 0} dim A( x) (45) Nst ponto, é important dfinir suport domínio d influência O domínio d influência d uma partícula I é a rgião do domínio do problma, ΩI Ω, m qu a função pso w I é não nula A figura (44) mostra os dois tipos principais d domínio d influência para problmas bidimnsionais: rtangular circular O suport d um ponto qualqur x é o conjunto d partículas cuja função pso é difrnt d zro m x Por xmplo, para um problma bidimnsional, Ω R, um polinômio linar como bas T p x = 1 x y, a distribuição d partículas dv sr tal qu todo ponto do intrínsca, ( ) [ ] domínio, x Ω, possua um suport d plo mnos três partículas, isto é, x dv star incluído no domínio d influência d plo mnos três partículas Ainda: m problmas bidimnsionais não basta apnas obsrvar a cardinalidad d partículas cujo domínio d

78 Capítulo 4 Método d Galrkin Livr d Elmntos 65 influência contnha x, mas também s stas partículas formam um triângulo com ára não nula Figura 44 Domínio d influência rtangular circular Como xmplo, na figura (45), nota-s qu a vizinhança para os cômputos no ponto x, inclui os nós 1, 3, uma vz qu sus domínios d influência contêm o ponto x O nó 4 foi xcluído da vizinhança d x, já qu su domínio d influência não contém o ponto x

79 Capítulo 4 Método d Galrkin Livr d Elmntos 66 Figura 45 Suport do ponto x Assim, a abrangência do domínio d influência d uma partícula I dv sr calculada m função da distância d intgração A figura (46) ilustra o significado d x I m rlação às partículas adjacnts na malha d r I max, dfinindo como a máxima distância d x I às partículas adjacnts Est parâmtro não é ncssariamnt a máxima distância, mas sim algum valor rlacionado às distâncias das partículas Por xmplo, Blinha Diniz ( ) usam a distância média para o cálculo do domínio d influência das partículas x x 1 x 5 x I r I max x 3 x 4 Figura 46 Significado gométrico do parâmtro r I max

80 Capítulo 4 Método d Galrkin Livr d Elmntos 67 Nst trabalho, como também m Alvs Rossi (003), foi adotado o sguint procdimnto para dtrminar o domínio d influência d cada partícula I : Compõ-s a lista d nós adjacnts, L I, associada à x I ; Dtrmina-s o valor d r I max, dfinido pla quação (46), ri = ; com max max xi xi i L I i ; (46) Arbitra-s o valor do fator d abrangência s> 1, com s R ; Calcula-s o valor do raio do domínio d influência r I do nó I, conform quação (47), r I = s r Imax (47) O valor atribuído ao fator d abrangência, s, dv sr tal qu o domínio d influência d cada partícula I satisfaça às sguints condiçõs: Sja grand o suficint para qu o númro d partículas qu fazm part do suport d cada ponto d intgração garanta a invrtibilidad da matriz momnto; Sja grand o suficint para assgurar qu a informação pass plos quatro quadrants d todos os pontos d intgração, xcto os pontos do contorno; Sja suficintmnt pquno para confrir uma adquada caractrística local à aproximação por mínimos quadrados móvis; Não sja muito grand para não tornar o problma com o custo computacional muito lvado

81 Capítulo 4 Método d Galrkin Livr d Elmntos 68 Na scolha da bas p( x), quanto maior for sua dimnsão, maior srá a quantidad d partículas ncssárias no suport d cada ponto d intgração A condição d cardinalidad, quação (45), dv sr válida m todos os pontos do domínio Portanto, é ncssário tr cuidado no critério a utilizar para a scolha do fator d influência s, uma forma d implmntação mais robusta pod contmplar tsts d condicionamnto da matriz A( x ) 45 Tipos d Função Pso Várias são as funçõs pso utilizadas na litratura A sguir são aprsntadas as funçõs pso mais ncontradas: Função pso xponncial, quação (48), ( ) w r r α para r 1 = 0 para r> 1 ; (48) Função pso splin cúbica, quação (49), 3 3 4r + 4r para r 0, w( r) = 3 4r+ 4 r 3 r para 0,5< r 1 0 para r> 1 ; (49) Função pso splin quártica, quação (430), ( ) w r r + 8r 3r para r 1 = 0 para r> 1 ; (430)

82 Capítulo 4 Método d Galrkin Livr d Elmntos 69 Função pso splin d sétima ordm, quação (431), ( ) w r r + 1r 10r + r + 5 r para r 1 = 0 para r> 1 ; (431) Função pso splin usada no método SPH, quação (43), r + r para r 1 4 w( r) = ( r) < r 3 α 4 0 para > 1 3 para 1 ; (43) Função pso gaussiana, quação (433), ( ) w r r r I α α para r 1 = ri α 1 0 para r>1 (433) Nas quaçõs acima α é um parâmtro numérico para ajustar os psos A distância d x a xi, raio r I, é paramtrizada ntr [ 0,1 ] conform a quação (434), ri r= ; com ri = x x r I I (434)

83 Capítulo 4 Método d Galrkin Livr d Elmntos 70 O tipo d função pso mais comum no método d Galrkin livr d lmntos é a splin quártica, quação (430) A primira a sgunda drivada m rlação à x das funçõs pso são aprsntadas nas quaçõs (435) (436), para r 1, i, w r = x r x ( ) w( r) r( x) j w( r) w( r) r( x) r( x) w( r) r( x) = + x j xi r xi x j r x j xi j (435) (436) Para o cálculo das drivadas das funçõs pso é ncssário dtrminar as drivadas da distância paramtrizada r m rlação à x, qu pod sr fito como mostram as quaçõs (437) (438) Logo, ( ) ( x j x ji) r x x j = r r ( ) 1 δ ( xi xii) ( x j x ji) r x ji = 3 x j xi ri r r I (437) (438) As condiçõs obsrvadas nas quaçõs (439), (440) (441) mostram qu as drivadas d primira sgunda ordm da função pso, bm como da aproximação por mínimos quadrados móvis, são contínuas, i, ( ) w( ) w 0 = 1; 1 = 0 (439),

84 Capítulo 4 Método d Galrkin Livr d Elmntos 71 w r ( ) w( r) r = 0; = 0 r, r= 0 r= 1 (440) ( ) w r r r= 1 = 0 (441) 46 Imposição das Condiçõs d Contorno Essnciais No contxto dos métodos sm malha, as funçõs d forma gralmnt não vrificam a propridad do dlta d Kronckr Isto é, o conjunto d funçõs d forma, para os métodos sm malha, é uma partição da unidad, mas a função d forma associada a uma partícula não s anula m outras partículas Sndo assim, impor a condição d contorno d Dirichlt não é trivial como no método d lmntos finitos Nos últimos anos, muitas técnicas spcíficas para a implmntação das condiçõs d contorno ssnciais nos métodos sm malha têm sido dsnvolvidas O trabalho d Mndéz (004) trata da aplicação dos principais métodos nl foi proposta a classificação das técnicas m dois principais grupos: métodos basados na modificação da forma fraca métodos qu podm sr intrprtados como uma modificação das funçõs bas ou d forma No primiro grupo stão os métodos dos multiplicadors d Lagrang, da pnalidad d Nitsch Ests métodos prmitm o uso d funçõs qu não s anulam no contorno ssncial No sgundo grupo, várias altrnativas são também disponívis Pla introdução d uma xtnsão do parâmtro d dilatação m cada partícula, as funçõs d forma sm malha podm sr forçadas a vrificar a propridad do dlta d Kronckr no contorno Um método d transformação qu xprssa as variávis como uma combinação linar das variávis nodais prmit a dfinição das funçõs d forma qu vrificam a propridad do dlta d Kronckr Assim as condiçõs d contorno ssnciais são facilmnt impostas Um método considrando o princípio d D'Almbrt pod sr aplicado para impor todos os tipos d rstriçõs linars O método dos multiplicadors d Lagrang, Blytschko t al (1994), é um dos mais largamnt usados dvido à implmntação sr dirta para todos os tipos d problma

85 Capítulo 4 Método d Galrkin Livr d Elmntos 7 Multiplicadors d Lagrang são gralmnt usados m procdimntos numéricos são um modo ftivo para impor rstriçõs m problmas d otimização Est método introduz uma nova função, a dos multiplicadors d Lagrang O spaço d intrpolação dos multiplicadors d Lagrang dv sr cuidadosamnt slcionado: dv sr rico o suficint para obtr uma solução acitávl, mas o sistma d quaçõs rsultant torna-s singular s o númro d graus d librdad para a discrtização for muito grand O método da pnalidad, Zhu Atluri (1998) Gavt t al (001), impõ qu as condiçõs d contorno s vrifiqum d forma aproximada por mio d um fator d pnalização O uso do fator d pnalização não acarrta um aumnto do númro d graus d librdad, contudo pod lvar a um mal condicionamnto do sistma d quaçõs linars rsultant, caso a pnalidad scolhida sja muito lvada Por outro lado, caso a pnalidad scolhida sja fraca, ocorrrá uma violação indsjada da condição d contorno ssncial qu s qur impor Do ponto d vista pragmático, o problma fundamntal do método d pnalidad stá na scolha d um fator d pnalização adquado Já o método d Nitsch, Mndéz (004), não sofr do mal condicionamnto D toda forma, a implmntação do método d Nitsch não é trivial como a do método d Lagrang da Pnalidad, no sntido da modificação da forma fraca sr difrnt para cada problma particular Exist ainda o método do Lagrangano aumntado, qu consist m uma combinação natural dos métodos dos multiplicadors d Lagrang da pnalidad xtrior, Rossi (005) Assim, st método trata d um compromisso ntr a rprsntação xata da condição imposta a facilidad ocasionada plos trmos d pnalidad ao procsso d itração Altrnativamnt, a modificação das funçõs d forma para acoplar ao método dos lmntos finitos próximo ao contorno ssncial prmit a imposição dirta dos valors prscritos no contorno, Blytschko t al (1994), Krongauz Blytschko (1996), Hurta Méndz (000) Dsta forma, o domínio dv sr dividido m duas rgiõs: uma dfinida por um conjunto d nós associado ao método d lmntos finitos o outro dfinido por um conjunto d partículas associadas ao método livr d malha, EFG por xmplo Além disso, no domínio d transição ond os suports das funçõs d forma EFG FEM s sobrpõm, a função d forma rsultant é dada por uma soma das funçõs d forma EFG FEM Como rsultado, para satisfazr a condição d consistência, isto é, para rprsntar uma bas

86 Capítulo 4 Método d Galrkin Livr d Elmntos 73 complta d polinômios xatamnt até uma dtrminada ordm, um procdimnto spcial é rqurido nst domínio d transição Em Rossi (005), a imposição das condiçõs d contorno ssnciais foi ralizada plo uso d uma função d pso drivada, qu foi chamado d método modificado dos lmntos livrs d Galrkin m qu as funçõs pso são basadas na partição da unidad stndida, xtndd partitition of unity finit lmnt mthod (EPuFm) Estas funçõs psos EPuFm foram dispostas apnas na vizinhança do contorno ssncial do problma Assim, o domínio rstant foi cobrto através d funçõs pso EFG tradicionais Além disso, como o spaço d aproximação final construído com bas no MLS usando uma só bas intrínsca para todo o domínio, a sobrposição das funçõs pso EPF (EPuFm) EFG tornaram-s natural D fato, o método proposto pod sr visto como um método EFG convncional, qu contém um conjunto d funçõs d psos difrnts, com a habilidad d slcionar para cada partícula o tipo d função d pso adquada A st método foi dado o nom d método d Galrkin livr d lmntos modificado, modifid lmnt-fr Galrkin mthod (MEFG) A ncssidad do uso d funçõs d pso EPF surg do fato d qu é ncssário satisfazr uma condição d consistência qu stá associada com a bas intrínsca adotada Tal condição não é satisfita s form utilizadas funçõs d pso oriundas do PuFm clássico para uma bas intrínsca aumntada, fazndo com qu surjam pontos ond a matriz d momnto é singular Usando o MEFG proposto, as funçõs d forma rsultants satisfazm, no sntido d limit, as condiçõs d contorno ssnciais, possuindo a propridad d dlta d kronckr sobr tal contorno Além disso, as funçõs d forma rstants são construídas d forma qu o su suport não sobrponha o contorno ond as condiçõs d contorno ssnciais são prscritas Dsta forma, as condiçõs d contorno ssnciais são impostas da msma manira qu no método d lmntos finitos Existm ainda muitos outros métodos tstados na litratura, como: métodos d colocação, Blytschko Tabbara (1996), Mukhrj Mukhrj (1997) Zhu Atluri (1998); uso d funçõs singulars, Lancastr Salkauskas (1981) Duart Odn (1996); método dos lmntos finitos basados na partição da unidad (partition of unity finit lmnt mthod, PuFm), Mlnk Babuska (1996); método dos lmntos finitos gnralizados (gnralizd finit lmnt mthod, GFEM), Stroubolis t al (000)

87 Capítulo 4 Método d Galrkin Livr d Elmntos Intgração Numérica Um dos maiors dilmas m métodos sm malha são os cálculos das intgrais na forma fraca, m outras palavras, como obtr as matrizs do sistma d quaçõs Algumas abordagns têm sido propostas studadas como: Intgração Nodal, Bissl Blytschko (1996); Malha d intgração, Liu (00); Células d Wignr-Sitz, Chn, L, Eskandarian (006) Em gral, por simplicidad, como adotado nsta dissrtação, as intgraçõs numéricas são fitas via quadratura d Gauss usando uma malha d células d intgração Para problmas bidimnsionais, sta malha é simplsmnt a subdivisão do domínio m formas simpls, distintas sm sobrposição, como triângulos quadrilátros, contanto qu o domínio do problma sja cobrto pla união dstas formas A subdivisão da gomtria não prcisa sr d fato uma malha d lmntos finitos válida Em particular, pod xistir uma incompatibilidad arbitrária na malha cujos vértics não prcisam sr compartilhados com os lmntos adjacnts, como mostra a figura (47) A subdivisão m células não prcisa d nnhuma manira star rlacionada à distribuição das partículas EFG, mbora sja convnint posicionar stas partículas nos vértics das células d intgração Maiors dtalhs sobr intgração numérica, via quadratura d Gauss tablas d valors, podm sr ncontrados m Dhatt, Touzot (1984)

88 Capítulo 4 Método d Galrkin Livr d Elmntos 75 Figura 47 - Células d intgração do Método d Galrkin livr d lmntos 48 Discrtização Numérica O problma d placa a sr discrtizado plo método d Galrkin livr d lmntos pod sr dfinido pla sua forma fort, conform dtalhado no capítulo 3, como: Encontrar ( u, θ 0 ) qu satisfaça as quaçõs condiçõs d contorno aprsntadas na tabla (31) Para discrtizar é ncssário ncontrar a formulação fraca do problma Aplicando o u θ G, princípio variacional pod-s scrvr o problma como: Encontrar (, 0 ) {( 0, θ) suf rgular, ( 0, θ) ( ) } 0, θ m u G= u u = u Γ m qu o funcional I é dado pla quação (366), tal qu ( u0, θ) = arg min I( u0, θ ) ( ) u0, θ G A imposição da condição d contorno ssncial pod sr rlaxada modificando a formulação variacional através da introdução d um trmo d pnalidad qu implicitamnt, assgura a satisfação da condição d contorno ssncial A formulação fraca passa a sr u θ u, θ = lim, θ θ é solução d: Dado dtrminar (, 0 ) η > 0, dtrminar ( u, 0 θ ) η η pla quação (370) tal qu ( 0 ) η 0( u0 η η), m qu ( u, 0 ) η η solução ( u0, θ ) = arg min ( u0, ) η η η θ ( ) I u0, θ O funcional I η é dado,

89 Capítulo 4 Método d Galrkin Livr d Elmntos 76 A quação d quilíbrio associada pod sr dtrminada pla imposição da condição d stacionaridad no ponto d mínimo Nst caso, o problma pod sr formulado como: Encontrar ( u, θ 0 ) tal qu satisfaça a formulação fraca dada por n ( t ) t = 1 {( 0) ( ) } ( ) κiδκ da ρ h giδ u da α3 Niu α Miθ ds k k [ ] { } 0 [ ] t C 0 [ ] A A A k 1 qiδ u0 da+ u0 u δu0+ θ θ δθ ds = 0, δu0, δθ A η i i Au (44) Com a finalidad d s obtr as quaçõs discrtas rlativas à forma fraca, tanto os campos u 0 θ, quanto δ u 0 δθ srão construídos com bas na aproximação do método d Galrkin livr d lmntos, conform as quaçõs abaixo u x x u v x x v w x x w n n n h h h ( ) = Φ I( ) I, ( ) = Φ I( ) I, ( ) = Φ I( ) I I= 1 I= 1 I= 1 θ Φ θ θ Φ θ n n h I h I y ( x) = ( x) y, ( ) ( ) I x x = x xi I= 1 x I= 1 y, (443) δ u x x δu δ v x x δ v δ w x x δ w n n n h h h ( ) = Φ I( ) I, ( ) = Φ I( ) I, ( ) = Φ I( ) I I= 1 I= 1 I= 1 Φ Φ δθ δθ δθ δθ n n h I h I y ( x) = ( x) y, ( ) ( ) I x x = x xi I= 1 x I= 1 y (444) A fim d stablcr o problma na forma discrta vai s dnotar h K h V como o spaço d aproximação Com bas na discrtização aprsntada podmos formular o h h h u θ K solução d problma na forma discrta como: Encontrar (, 0 )

90 Capítulo 4 Método d Galrkin Livr d Elmntos 77 A h h h h [ C] κ( 0, θ ) iδκ( 0, θ ) A k= 1 u u da ( 3 t ) At {( 0) ( ) } ( ) k k h h h ρ h giδ u da α Niδ u α Miδθ ds n { } 0 [ ] t 0 [ ] 1 qiδ u da+ u u δ u + θ θ δθ ds=0, δu, δθ A η i i V h h h h h h h h 0 Au (445) h Os vtors dslocamnto u h 0 sua variação δu 0 podm sr xprssos na forma matricial como h u ( x) h h g g u0 ( x) = v ( x) = Φ ( x) { u } (446) h w ( x) h δ u ( x) δ u ( x) = δ v ( x) = Φ x δu δ w ( x) ( ) { } h h g g 0 h (447) O vtor g u rprsnta os graus d librdad associados ao problma é dfinido pla quação (448), sua variação g δ u é dfinida pla quação (449), i, u u v w u v w T g h h h h h h h h h h = θ y θ 1 x1 θ y θ x u v w θ θ h h h h h n n n yn xn (448) δ u δ u δ v δ w δθ δθ δu δ v δ w δθ δθ T g h h h h h h h h h h = y 1 x1 y x h h h h h δ u δ v n n δ wn δθ y δθ n xn (449) g Em qu a matriz ( x) Φ é dfinida como

91 Capítulo 4 Método d Galrkin Livr d Elmntos 78 g Φ ( x ) = Φ1( x) Φ ( x) Φa( x) Φn( x), (450) ond a( x) Φ rprsnta as matrizs m bloco: Φa( x) a( x Φ ) = 0 Φa( x) Φa( x) 0 0 (451) Os vtors rotação ( h h θ y, θ x) sua variação ( h h δθ y, δθ x) podm sr xprssos na forma matricial como indicado plas quaçõs (45) (453), rspctivamnt, i, h θ y ( x) g g h = ( x) { u } θ x ( x) Ψ (45) h δθ y ( x) g g h = ( x) { δu } δθ x ( x) Ψ (453) g m qu a matriz Ψ ( x), é dfinida como g Ψ ( x ) = Ψ1( x) Ψ ( x) Ψ a( x) Ψn( x), (454) ond a( x) Ψ rprsnta as matrizs m bloco:

92 Capítulo 4 Método d Galrkin Livr d Elmntos 79 Φ a( x) x Ψ a( x) = a( x) Φ y (455) A dtrminação das dformaçõs gnralizadas κ a partir dos dslocamntos gnralizados é g fita através da matriz dformação B ( x ), i, κ B g ( x) { u } g = (456) g A matriz dformação B ( x) é dfinida como g Β ( x ) = Β1( x) Β ( x) Βa( x) Βn( x), (457) ond a( x) Β rprsnta as matrizs m bloco:

93 Capítulo 4 Método d Galrkin Livr d Elmntos 80 Φa( x) x Φa( x) y Φa( x) Φa( x) y x Φa( x) x Β = ( x) ( x) a Φ a y Φa( x) Φa( x) x y x y Φ a( x) Φa( x) x x (458) Φ a( x) Φa( x) y y Por analogia, a variação das dformaçõs gnralizadas é obtida por δκ g = B g ( x) { δu } (459) Substituindo as rlaçõs matriciais dfinidas nas quaçõs (446) a (459) na quação d quilíbrio (445) obtm-s

94 Capítulo 4 Método d Galrkin Livr d Elmntos 81 At x u x u da g g g g [ C] B ( ) { } i B ( ) { δ } A n k k g g { } ( ) { } A ρ h gi Φ x δu da k = 1 g g g g ([ α ] ti ( ) { } [ ] t Φ δ α i Ψ ( ) { δ }) g g qi ( x) { δu } da A Φ 1 g g g g + ( x) { u } u0 Φ i Φ x δu 3 N x u M x u ds η {( ) ( ) { } Au g g g g ( Ψ ( x) { u } θ) i Ψ ( x) { δu }} ds + = 0, δu δθ (, 0 ) V h h h (460) Ralizando-s as intgraçõs indicadas na quação (460) ncontra-s: η θ { [ K ] K { } ( F F F F F F )} δ 0, + u u = δu g g N M q u g g (461) Os vtors matrizs qu aparcm na quação (461) são dfinidos nas quaçõs (46) a (469), i, g T g [ K] = B ( ) [ C] B ( ) A x x da, (46) F n T = ( x) { ρ h } g da A Φ k= 1, g g k k (463) g T N F = ( x) [ α3 ] N t Φ ds At, g T M F = ( x) [ α ] M t Ψ ds At, (464) (465)

95 Capítulo 4 Método d Galrkin Livr d Elmntos 8 F q = A Φ g T ( x) q da, (466) 1 g T u F = ( x) u0 ds η Φ Au, (467) 1 g T θ F = ( x) θ ds η Ψ Au 1 g T g 1 g T g η ( x) ( x) ds ( x) ( x) Κ = ds η Φ Φ + Ψ Ψ A u η A u (468) (469) Finalmnt, o problma discrtizado pod sr formulado como: dtrminar g u, solução d η [ ] { u g } g N M q u θ + K K = F + F + F + F + F + F (470) Para a dtrminação das intgrais d ára, ou sja, m A, ftua-s a mudança d variávis indicada plas quaçõs (471) (47), considrando células d intgração triangulars Logo, 3 x= x( ξ, η) = x N ( ξ, η) (471) i i= 1 i y y( ξ, η) yi Ni ( ξ, η) i= 1 3 = = (47)

96 Capítulo 4 Método d Galrkin Livr d Elmntos 83 As funçõs Ni ( ξ, η ), i= 1,,3, são dfinidas plas quaçõs (473), (474) (475), i, N ( ξ, η) = 1 ξ η 1, (473) N ( ξ, η) = ξ, (474) N ( ξ, η) = η 3 (475) Para possibilitar a intgração numérica é fita a paramtrização do domínio, conform a quação (476), m qu f ( x, y ) é uma função gnérica, J ( ξ, η ) é o dtrminant da matriz jacobiana plo método d Galrkin livr d lmntos A é o domínio da intgração, também chamada d célula d intgração 1 1 ξ f ( x, y) dx dy= f ( x( ξ, η), y( ξ, η)) J ( ξ, η) dη dξ A 0 0 (476) O dtrminant da matriz jacobiana é dado pla quação (477), i, J x y ξ ξ = dt[ J] = dt x y η η = dt N ( ξ, η) Ni ( ξ, η) yi ξ N ( ξ, η) Ni ( ξ, η) yi η 3 3 i xi i= 1 ξ i= i xi i= 1 η i= 1 (477) Uma vz fita a mudança d variávis a paramtrização do domínio da célula d intgração, pod-s calcular a intgral por mio da quadratura d Gauss, quação (478)

97 Capítulo 4 Método d Galrkin Livr d Elmntos 84 Nst trabalho foram usados doz pontos d intgração por célula, dvido ao fato da função d intrpolação não sr polinomial, Dhatt Touzot (1984) 1 1 ξ h( ξ, η) dη dξ h( ξi, ηi ) Wi (478) i= 1 Como rsultado, a intgração, para o caso d uma partição do domínio m células triangulars, é dada plas quaçõs (479), (480) (481), i, 1 x( ξ, η ) x( ξ, η ) J ( ξ, η ) W, g T g [ K ] B ( ) [ C] B ( ) i i i i i i i i= 1 (479) F 1 n { } Φ ( ) g k k g T ρ h x( ξi, ηi ) g J ( ξi, ηi ) Wi i= 1 k= 1 F q 1 g ( ξ η ) Φ i= 1 T x( î, i ) q J ( ξi, ηi ) Wi, (480) (481) No caso d intgrais d linha, a paramtrização é fita conform as quaçõs (48) (483), dadas por = xiφi τ (48) i= 1 x( τ ) ( ) = i= 1 y( τ ) yiφi ( τ ) (483) As funçõs φi ( τ ), i= 1,, são dfinidas plas quaçõs (484) (485), i,

98 Capítulo 4 Método d Galrkin Livr d Elmntos 85 1 τ φ1 ( τ ) = (484) 1+ τ φ( τ ) = (485) O quivalnt da matriz jacobiana, para a intgral d linha, é calculado sguindo os passos sguints: dfinm-s o vtor posição r ( τ ) sua drivada dr, quaçõs (486) (487), rspctivamnt, dadas por r ( τ ) = x( τ ) + y( τ ) x y (486) dx( τ ) dy( τ ) dr = x+ y dτ dτ dτ (487) Um comprimnto difrncial d arco ds é calculado conform a quação (488) ds= dr dr dx( τ ) dy( τ ) = dτ + dτ dτ x x1 y y1 = + dτ (488) = L d τ x = x y (, ) Na quação (488), L é o comprimnto m módulo da arsta ligando x = ( x, y ) A intgral d linha pod ntão sr dfinida como: a

99 Capítulo 4 Método d Galrkin Livr d Elmntos 86 x x1 1 L h( x) ds= h( x( τ) ) dτ 1 (489) Est procdimnto pod sr aplicado aos vtors d carga à contribuição da matriz d rigidz advinda do trmo d pnalidad, quaçõs (490) a (494), i, F 3 T N g ( x( τ )) Φ i [ α3 ] N t Wi i= 1 L, (490) F 3 T M g ( x( τ )) Ψ i [ α ] M t Wi i= 1 L, (491) F 1 L 3 T u g ( x( τ i) ) u0 Wi i= 1η Φ, (49) F 1 L 3 T θ g ( x( τ i) ) θ Wi i= 1η Ψ, (493) 1 L K 3 T η g g Φ ( x( τ i) ) Φ ( x( τ i) ) Wi i= 1η + 3 i= 1 1 T g g L ( ( )) ( ( )) x τ i x τ i Wi η Ψ Ψ (494)

100 Capítulo 5 Rsultados Numéricos 51 Introdução No capítulo antrior foi dtalhada a implmntação numérica proposta nst trabalho, ond o problma d placa d matriais compostos laminados foi discrtizado usando o método d Galrkin livr d lmntos Nst capítulo, o programa é tstado através da comparação com soluçõs analíticas são avaliadas a scolha do fator d influência o tipo d função pso adotada Os rsultados aprsntados foram adimnsionalizados, xcto quando indicado o contrário, conform as quaçõs (51), (5) (53), sndo h a spssura da placa, a o comprimnto caractrístico, q 0 a intnsidad do carrgamnto atuant (caso d carrgamnto distribuído) E o módulo d lasticidad na dirção transvrsal às fibras E h w= w q a (51) h h h xx = xx ; ; yy = yy xy = xy q0 a q0 a q0 a σ σ σ σ σ σ (5) h h σ xz = σ xz ; σ yz = σ yz q0 a q0 a (53) Em todos os xmplos foi considrado um laminado d carbono/ poxy com propridads do matrial ncontradas m divrsos artigos Foi nglignciada a inconsistência

101 Capítulo 5 Rsultados Numéricos 88 ntr os valors do módulo d cisalhamnto coficint d Poisson para não prdr a rfrência d outros rsultados publicados 5 Avaliação da Dnsidad d Partículas Para avaliar o fito da dnsidad d partículas na solução d problmas, srá usado como rfrência o problma dscrito a sguir: Dimnsõs da placa: a= 1m, b= 1m h= 10mm, h= 50mm ou h= 100mm ; Propridads do matrial (carbono/ poxy): E1 = 5 E, G1 = G13 = 0,5 E, G = 0, E, ν 1 = 0, k = ; 6 Sqüência d mpilhamnto: laminado simétrico [0/90/0]; Condiçõs d contorno ssnciais: placa simplsmnt apoiada (SS-1), ou sja, v= w= θ x = 0 m x= 0 x= a, u= w= θ y = 0 m y= 0 y= b ; Carrgamnto: sforço uniformmnt distribuído na suprfíci da placa d intnsidad q0 10 / = N m na dirção z ; Malha d 5 a 400 partículas no total; Função pso: splin d sétima ordm; Fator d abrangência: s= 1,8 A solução analítica para st problma é ncontrada m Rddy (1997) A figura (53) ilustra st problma

102 Capítulo 5 Rsultados Numéricos 89 Figura 51 Laminado simplsmnt apoiado (SS-1) com carrgamnto uniform A tabla (51) aprsnta os rsultados adimnsionalizados nos pontos: w m ( a /, b /,0), xx σ m ( /, /, / ) a b h yz σ m ( /,0) a na lâmina Tabla 51 Rsultados para avaliação da influência da dnsidad d partículas a / h Solução w σ xx σ yz 10 5 Partículas 0,8389 0,6908 0, Partículas 1,1176 0,7488 0, Partículas 1,1014 0,8140 0, Partículas 1,0690 0,7883 0,36 89 Partículas 1,0576 0,7785 0, Partículas 1,0499 0,7790 0,10