OTIMIZAÇÃO DE TOPOLOGIA APLICADA AO PROJETO DE ESTRUTURAS BI E TRIDIMENSIONAIS VICTOR MARK PONTES DOS SANTOS

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1 UIVERSIDADE FEDERAL DE GOIÁS ESCOLA DE EGEHARIA CIVIL CURSO DE GRADUAÇÃO EM EGEHARIA CIVIL OTIMIZAÇÃO DE TOPOLOGIA APLICADA AO PROJETO DE ESTRUTURAS BI E TRIDIMESIOAIS VICTOR MARK POTES DOS SATOS GOIÂIA

2 VICTOR MARK POTES DOS SATOS OTIMIZAÇÃO DE TOPOLOGIA APLICADA AO PROJETO DE ESTRUTURAS BI E TRIDIMESIOAIS Monografia aprsntada ao Curso d Graduação m Engnharia Civil da Univrsidad Fdral d Goiás para obtnção do título d Engnhiro Civil. Orintador: Dra. Slvia Rgina Msquita d Almida GOIÂIA

3 VICTOR MARK POTES DOS SATOS OTIMIZAÇÃO DE TOPOLOGIA APLICADA AO PROJETO DE ESTRUTURAS BI E TRIDIMESIOAIS Monografia aprsntada ao Curso d Graduação m Engnharia Civil da Univrsidad Fdral d Goiás para obtnção do título d Engnhiro Civil. Aprovada m / /. Prof. Dr. Slvia Rgina Msquita d Almida Univrsidad Fdral d Goiás (Prsidnt) Prof. Dr. Frdrico Martins Alvs da Silva Univrsidad Fdral d Goiás (Eaminador) Prof. Dr. Znón José Guzmán uñz Dl Prado (Eaminador) Univrsidad Fdral d Goiás Atsto qu as rvisõs solicitadas foram fitas: Orintador Em: / /

4 Ddico st trabalho aos amigos familiars mais próimos qu m auiliaram durant todos os últimos cinco anos d faculdad, principalmnt a minha família qu m todo momnto stv smpr comigo. Sm ls st trabalho com crtza não podria sr ralizado nm u tria forças para chgar ao final do curso d ngnharia. Por isto st trabalho é ddicado a vocês. Qu tnhamos boa sort!

5 AGRADECIMETOS Aprovito para agradcr a todos qu m acompanharam m ajudaram durant toda minha vida principalmnt os cinco últimos anos. Agradço spcialmnt a toda minha família, a mus pais, Smith, Irans, a mus quatro irmãos. Sou grato também aos amigos qu conhci na faculdad, principalmnt a Caio, Tarcizio, Gustavo, Rodolfo, Rafal Dias, Tiago, Tago Wllington. Acrdito qu crsci muito com ls, tanto pssoal como profissionalmnt. Também não posso squcr dos profssors qu m dram bas para comprndr aprndr sobr a ngnharia civil, tornando-s não apnas rspitados colgas d profissão mas também amigos. Em spcial, agradço aos profssors Slvia, Znon, Frd, Rnata, Char Admir E, por ultimo d maior importância, mu agradcimnto a Dus qu nos protg. V. M. P. Santos Agradcimntos

6 RESUMO Os projtos d ngnharia buscam smpr struturas mais ficints sob dtrminado aspcto, sja rigidz, custo, durabilidad tc. Com os quipamntos frramntas computacionais modrnos utilizam-s bons métodos d dimnsionamnto na prática usual d projto. o ntanto, procdimntos qu fornçam soluçõs ótimas ainda ncontram-s m dsnvolvimnto ou são utilizados apnas por grands mprsas. Ess trabalho aprsnta uma mtodologia basada no método dos lmntos finitos para obtnção da topologia ótima d struturas. A otimização d topologia é o ramo da otimização qu trata da distribuição d uma quantidad fia d matrial m uma rgião do spaço a fim d maimizar uma dtrminada caractrística do comportamnto strutural. st trabalho ssas técnicas são aplicadas a struturas m duas m três dimnsõs. As variávis d projto são as dnsidads m pqunas rgiõs do spaço associadas à malha d lmntos finitos. Assim, foram fitas implmntaçõs com dnsidads constants m cada lmnto ou dnsidads aplicadas aos nós do lmnto. A função objtivo é a flibilidad média da strutura as rstriçõs são as quaçõs d quilíbrio do sistma discrto, o volum constant as rstriçõs latrais qu limitam os valors das variávis d projto. Utiliza-s o filtro d snsibilidad d Sigmund para rsolvr os problmas d instabilidad numérica caractrísticos da técnica o critério d optimalidad como método d otimização. Aprsntam-s rsultados numéricos m D m 3D qu mplificam a potncialidad da técnica. Palavras-chav: Otimização d topologia. D. 3D. Flibilidad média. V. M. P. Santos Rsumo

7 LISTA DE FIGURAS Figura. Emplo d solução via OT prmitindo dnsidads intrmdiárias sm pnalização:... 8 Figura. - Solução via OT prmitindo dnsidads intrmdiárias com pnalização: Figura.3 Emplo d solução m tabuliro d adrz: Figura.4 - Emplo d dpndência d malha para a viga m balanço: Figura.5 Emplo d solução m ilhas:... 4 Figura.6 Localização das camadas d variávis: Figura.7 Emplo d solução com duas abordagns: Figura.8 Rgião w d influência da variávl d projto i para a altração da snsibilidad analítica c / i... 7 Figura.9 Atuação do filtro d snsibilidad na ABE Figura. Fluograma do procdimnto d OT utilizado Figura 3. Tnsõs atuando m um volum infinitsimal rprsntativo da strutura m 3D Figura 3. Tnsõs atuando m uma ára rprsntativa da strutura m D Figura 3.3 Emplos d lmntos finitos: Figura 3.4 umração dos nós nos sistmas d coordnadas locais dos lmntos utilizados Figura 3.5 Procsso d numração dos nós da strutura com gração automática d malha: Figura 3.6 Graus d librdad do nó n: Figura 3.7 Função d intrpolação do nó j: Figura 4. Viga analisada no mplo Figura 4. Topologias ótimas para as análiss do mplo : Figura 4.3 Viga analisada no mplo com malha d 4 rmin =,5 lmntos: Figura 4.4 Topologias ótimas para as análiss do mplo : Figura 4.5 Topologias ótimas para as análiss do mplo 3: Figura 4.6 Viga analisada no mplo 4 com malha d 4 rmin =,5 lmntos: V. M. P. Santos Lista d Figuras

8 Figura 4.7 Topologias ótimas para as análiss do mplo 4: Figura 4.8 Viga do mplo 5 com malha d 8 5 rmin =, lmntos: Figura 4.9 Topologias ótimas para a viga do mplo 5: Figura 4. Topologias ótimas para a viga do mplo 5: Figura 4. Viga do mplo 6: Figura 4. rsultados das vigas 3D:... 5 V. M. P. Santos Agradcimntos

9 LISTA DE ABREVIATURAS E SIGLAS D 3D - Duas Dimnsõs - Três Dimnsõs MEF - Método dos Elmntos Finitos OT PL PLS PM PQ PQS - Otimização d Topologia - Métodos d Programação Linar - Métodos d Programação Linar Sqüncial - Métodos d Programação Matmática - Métodos d Programação Quadrática - Métodos d Programação Quadrática Sqüncial SIMP - Solid Isotropic Matrial with Pnalization - Matrial Sólido Isotrópico com Pnalização ABE - Abordagm Basada no Elmnto AV - Abordagm com Variávis odais V. M. P. Santos Lista d Abrviaturas Siglas

10 LISTA DE SÍMBOLOS Símbolos romanos B ĉ d - matriz d compatibilidad discrta; - snsibilidad após o Filtro d Sigmund - dnsidad nos nós do lmnto; dist - função qu md a distância ntr os pontos i j; E EF E s E f F Fˆ Ĥ f - matriz constitutiva lástica; - Elmnto Finito; - módulo d lasticidad do matrial sólido; - módulo d lasticidad na rgião do domínio stndido m função d sua dnsidad ; - carga qu atua m um ponto infinitsimal do volum; - o vtor d forças nodais da strutura; - vtor d cargas concntradas nos nós do lmnto; - oprador do filtro d snsibilidad d Sigmund qu stablc a influência d cada variávl d projto na corrção da snsibilidad analítica; k - rigidz d um ponto infinitsimal do volum; K - matriz d rigidz da strutura; K - matriz d rigidz do lmnto ; K S L i l - matriz d rigidz do lmnto para matrial sólido; - função lagrangana; - função d intrpolação associada ao nó i do lmnto; - matriz das funçõs d intrpolação; - númro d lmntos finitos da malha; V. M. P. Santos Lista d Símbolos

11 VP p Q r min u u û û i - númro d variávis d projto; - coficint d pnalidad do modlo SIMP; - vtor d cargas distribuídas aplicadas à suprfíci S do lmnto; - o raio da circunfrência ou da sfra cntrada na variávl d projto qu dfin a rgião w d influência dssa variávl no filtro d snsibilidad d Sigmund; - dslocamnto ocorrido m ponto um infinitsimal do volum; - vtor dos dslocamntos m um ponto no intrior do lmnto; - vtor dos dslocamntos nodais do lmnto; - dslocamnto nodal corrspondnt ao nó i do lmnto; U Û V V t W - nrgia d dformação lástica da strutura; - vtor d dslocamntos nodais da strutura; - volum do lmnto. - volum total da strutura; - trabalho das forças trnas; Símbolos grgos - tnsão transvrsal; - vtor das dformaçõs; inf - vtor dos multiplicadors d Lagrang associados às rstriçõs latrais infriors das dnsidads; sup - vtor dos multiplicadors d Lagrang associados às rstriçõs latrais supriors das dnsidads; inf - multiplicador d Lagrang associado à rstrição latral infrior da dnsidad do lmnto ; V. M. P. Santos Lista d Símbolos s

12 sup - multiplicador d Lagrang associado à rstrição latral suprior da dnsidad do lmnto ; vol - multiplicador d Lagrang associado à rstrição d volum. - coficint d Poisson do lmnto; - conjunto d lmntos finitos do domínio tndido; - conjunto d nós prtncnts ao lmnto ; w - conjunto d lmntos finitos utilizados na homognização d um lmnto no Filtro d Sigmund; - dnsidad d cada lmnto; min - mnor valor d dnsidad qu o lmnto pod assumir; - vtor das tnsõs; - tnsão normal; - tnsão cisalhant; Símbolos matmáticos - o oprador difrncial matricial; - drivada parcial. V. M. P. Santos Lista d Símbolos s

13 SUMÁRIO. ITRODUÇÃO OBJETIVOS ORGAIZAÇAÕ DO TEXTO COCEITOS BÁSICOS SOBRE OTIMIZAÇÃO DE TOPOLOGIA O MODELO SIMP FORMULAÇÃO TRADICIOAL DO PROBLEMA DISCRETO VIA METODO DOS ELEMETOS FIITOS AÁLISE DE SESIBILIDADE E CRITÉRIO DE OPTIMALIDADE ISTABILIDADES UMÉRICAS FORMULAÇÃO DO PROBLEMA COM USO DE VARIÁVEIS ODAIS.6. FILTRO DE SESIBILIDADE DE SIGMUD PROCEDIMETO DE OTIMIZAÇÃO FORMULAÇÃO E IMPLEMETAÇÃO DOS PROBLEMAS BI E TRIDIMESIOAL EQUAÇÕES GERAIS DA ELASTICIDADE AÁLISE PELO MEF Sistmas d coordnadas sistmas d numração nodal Funçõs d intrpolação MATRIZ DE RIGIDEZ DO ELEMETO FLEXIBILIDADE MÉDIA DA ESTRUTURA RESULTADOS EXEMPLO EXEMPLO EXEMPLO EXEMPLO EXEMPLO EXEMPLO COCLUSÕES E SUGESTÕES OBJETIVOS V. M. P. Santos sumário

14 CAPÍTULO ITRODUÇÃO Popularmnt, otimização pod sr ncarada como o ato corriquiro d ralizar tarfas com a maior ficiência possívl. o campo técnico, é a part da ciência qu trata da busca sistmática pla mlhor solução para um problma, basada m modlos matmáticos obdcndo a condiçõs impostas. As técnicas d otimização podm sr mprgadas m várias áras da ciência como, por mplo, conomia, física, ngnharias, ntr outras. a formulação d um problma d otimização, é ncssário stablcr quais as grandzas sofrrão variaçõs durant o procsso, dnominadas variávis d projto, quais prmancrão constants, dnominadas parâmtros d projto. É ncssário também stablcr o critério plo qual a qualidad da solução é julgada, podndo sr produtos mais conômicos, mais dnsos, mais rígidos tc., dnominado função objtivo. Por fim, também é ncssário qu s dlimit quais são as soluçõs qu atndm às condiçõs impostas plo problma, por mplo, o atndimnto às quaçõs d quilíbrio d compatibilidad, às condiçõs construtivas tc. Essas condiçõs são dnominadas rstriçõs sparam as soluçõs possívis m viávis não viávis, dlimitando a rgião viávl do problma. A qualidad dos projtos d struturas tm grand dpndência tanto do conhcimnto quanto da priência do ngnhiro qu o labora. O rfinamnto das técnicas d anális o aumnto da capacidad d procssamnto dos computadors contribuíram para a mlhoria dos projtos, fazndo com qu divrsas soluçõs possívis possam sr ploradas m um spaço d tmpo razoávl. Ainda assim, nm todas as soluçõs possívis são avaliadas, dada a alatoridad da busca pla mlhor solução, dificilmnt a solução adotada é a solução ótima do problma. A otimização é uma técnica cintífica qu visa à obtnção da mlhor solução do problma sm qu sja ncssário avaliar todas as soluçõs possívis, mas garantindo qu a solução ncontrada sja a ótima. As técnicas d otimização strutural podm sr dcompostas m três tipos, otimização paramétrica, otimização d forma otimização d topologia. A difrnça s ncontra na abordagm no campo d atuação d cada técnica. a otimização paramétrica as variávis d projto são parâmtros qu dfinm as caractrísticas da strutura. A forma mais comum d otimização paramétrica é a otimização d dimnsõs, como a altura, a largura V. M. P. Santos Capítulo

15 Otimização d topologia aplicada a struturas bi tridimnsionais 4 ou a spssura da pça (vr FALCO, ). o ntanto, outros parâmtros podm sr tomados como variávis d projto como a armadura m sçõs d concrto armado(eboli, 989) ou as coordnadas d cabo m struturas protndidas(almeida, ), ntr outros, ou ainda uma combinação d parâmtros dimnsõs (ALMEIDA, 4). A otimização d forma busca obtr o mlhor contorno da strutura, sja intrno ou trno. Gralmnt são utilizadas curvas spcíficas qu rprsntam o formato da pça (m gral são usadas as curvas splin). Em alguns casos, s usa uma combinação d parâmtros forma, como fito por Mlo () para otimização d pórticos d concrto armado. A otimização d topologia (OT), objto d studo dst trabalho, é a part da otimização voltada para a obtnção da distribuição ótima d matrial m uma rgião do spaço dnominada domínio stndido (BEDSØE; SIGMUD, 3). Para tanto, busca maimizar ou minimizar uma qualidad strutural scolhida plo projtista, mantndo o volum d matrial constant pré-dtrminado atndndo às condiçõs d quilíbrio. o âmbito da indústria, o problma pod sr formulado para qu, além das rstriçõs citadas, a solução também atnda as condiçõs d manufatura, como a ncssidad d furos, a imposição d simtria ou d rptiçõs d padrão. Isso é particularmnt important na fabricação d lmntos pré-moldados na construção civil. Os métodos mprgados para solução d problmas d otimização dividm-s m dois grands grupos: métodos d programação matmática (PM) métodos hurísticos. Os métodos d PM basiam-s na toria d mínimos d funçõs ncssitam d uma formulação matmática qu possibilit a anális d snsibilidad, ou sja, a obtnção das drivadas da função objtivo das rstriçõs m rlação às variávis d projto. Esss métodos são gralmnt mais ficints do ponto d vista d custo computacional, mas ncssitam d um mbasamnto tórico qu nm smpr é simpls ou possívl d sr dsnvolvido. Como mplo dsts métodos podm sr citados o critério d optimalidad, os métodos d programação linar (PL) ou d programação quadrática (PQ). São também amplamnt aplicados métodos qu nvolvm aproimaçõs sucssivas do problma original m um problma quivalnt, d PL ou d PQ, sua solução d forma sqüncial. ssa catgoria stão os métodos d programação linar sqüncial (PLS), d programação quadrática sqüncial (PQS). V. M. P. Santos Capítulo

16 Otimização d topologia aplicada a struturas bi tridimnsionais 5 Os métodos hurísticos são frqüntmnt inspirados na obsrvação da naturza não têm comprovação matmática formal, mas forncm bons rsultados. Gralmnt são d mais fácil implmntação, porém rqurm maior sforço computacional. Como mplo, podm sr citados os algoritmos gnéticos, basados na toria d volução d Darwin, as rds nurais, basadas na forma d aprndizagm na rd d nurônios do cérbro dos animais, o método d Branch and Bound, basado no crscimnto d árvors no procsso d jardinagm... OBJETIVOS O objtivo dst trabalho é a implmntação computacional da técnica d otimização d topologia para struturas bidimnsionais tridimnsionais. O problma analisado tm como objtivo a maimização da rigidz utiliza o critério d optimalidad como algoritmo d otimização. Para tanto foram implmntados códigos utilizando a linguagm d programação do MATLAB m C... ORGAIZAÇÃO DO TEXTO Est trabalho stá organizado m cinco capítulos como sgu. o primiro capítulo é aprsntada uma introdução ao tma. o sgundo capítulo são aprsntados os concitos básicos sobr otimização d topologia o modlo utilizado para rprsntação física matmática do problma. Também são aprsntados nss capítulo os principais problmas d instabilidad numérica rlacionados com a técnica o principal squma d rgularização utilizado para contornálos. o trciro capítulo são aprsntadas a formulação matmática o quacionamnto do problma d otimização d topologia m 3D visando à obtnção da strutura mais rígida possívl. o quarto capítulo srão mostrados alguns rsultados obtidos com a implmntação computacional fita nst trabalho. O quinto capítulo aprsnta as conclusõs finais do trabalho as sugstõs para trabalhos futuros. V. M. P. Santos Capítulo

17 CAPÍTULO COCEITOS BÁSICOS SOBRE OTIMIZAÇÃO DE TOPOLOGIA Est capítulo aprsnta os concitos básicos sobr otimização d topologia. Aprsnta-s o problma d otimização suas rstriçõs, assim como os fundamntos rlacionados com o modlo d distribuição d matriais. A técnica é sujita a instabilidads numéricas como a formação d soluçõs m tabuliro d adrz ou m ilhas a dpndência d malha. Aprsntam-s ntão alguns métodos corrtors para vitar problmas d instabilidad numérica. Por fim, aprsnta-s o método d otimização adotado. Tradicionalmnt o problma d OT é formulado como um problma d distribuição d matrial no qual cada ponto do domínio rprsnta uma rgião chia d matrial ou uma rgião vazia. O problma mais comumnt abordado m OT é o d maimização da rigidz da strutura, qu corrspond à minimização d sua flibilidad média. A quantidad d matrial a sr distribuída no domínio stndido é mantida constant durant o procsso, havndo apnas a rdistribuição dos matriais. Dv-s atndr ainda implicitamnt às quaçõs d quilíbrio da strutura. Há ainda as rstriçõs qu impõm qu as variávis assumam valors ou, ond rprsnta a ausência d matrial a prsnça d matrial. Assim, o problma d minimização d flibilidad é rprsntado m (.). c dv V f k u f u dv t (.) Ond: c f u k - é a flibilidad média da strutura; - é a carga qu atua m um ponto infinitsimal do volum; - é o dslocamnto ocorrido m ponto um infinitsimal do volum; - é a rigidz d um ponto infinitsimal do volum; V. M. P. Santos Capítulo

18 Otimização d topologia aplicada a struturas bi tridimnsionais 7 V t - é a dnsidad d matrial no ponto infinitsimal; - é o domínio stndido; - é o volum total da strutura. O problma como aprsntado m (.) é mal posto não aprsnta solução no campo contínuo (SIGMUD; PETERSSO, 998 apud BESØE; SIGMUD, 3). Soluçõs podm sr obtidas por mio d uma rlaação na abordagm vazio - chio. ss âmbito, dstacam-s o método d homognização proposto por Bnsø Kikuchi (988, apud BESØE; SIGMUD, 3) o modlo SIMP (Solid Isotropic Matrial with Pnalization), proposto por Bnsø 3 (989, apud BESØE; SIGMUD, 3). A implmntação ralizada nst trabalho é basada no modlo SIMP é aprsntada a sguir... O MODELO SIMP Em OT é ncssário um modlo qu rlacion a dnsidad d matrial m dtrminada rgião do domínio stndido à rigidz. O primiro modlo avaliado para tanto foi o modlo binário, no qual a dnsidad rlativa, dfinida como a rlação ntr a quantidad d matrial o volum, assum valor, para matrial sólido, ou valor, para vazio, sm valors intrmdiários. O uso d técnicas d programação discrta para rsolvr st tipo d problma não convrg para uma solução única. Para contornar o problma foram dsnvolvidas técnicas qu promovm uma rlaação na abordagm -, prmitindo qu a dnsidad rlativa vari continuamnt ntr. A forma mais simpls d rlaação consist m rlacionar a dnsidad do lmnto à propridad do matrial qu confr rigidz, no caso o módulo d lasticidad, como mostra a quação (.). Ess procdimnto rsulta m soluçõs indsjávis por aprsntar uma quantidad considrávl d lmntos com dnsidads intrmdiárias (Figura.), tornando-s inviávl do ponto d vista construtivo. E ES (.) SIGMUD, O.; PETERSSO, J. umrical instabilitis in topolog optimization: a surv on procdurs daling with chckrboard, msh-dpndnc and local minima. Structural Optimization Brlin, vol 6, n, pp :68 75, 998. BEDSØE M. P.; KIKUCHI Gnrating optimal topolog in structural dsign using a homognization mthod. Computr Mthods in Applid Mchanics and Enginring, orth Holland, vol 7, pp 97 4, BEDSØE, M.P. Optimal shap dsign as a matrial distribution problm. Structural Optimization. Brlin, vol, n 4, 93, 989.

19 Otimização d topologia aplicada a struturas bi tridimnsionais 8 Ond: - - é a dnsidad rlativa na rgião do domínio stndido; E s E - é o módulo d lasticidad do matrial sólido; - é o módulo d lasticidad na rgião do domínio stndido m função d sua dnsidad. 8 5 (a) (b) (c) Figura. Emplo d solução via OT prmitindo dnsidads intrmdiárias sm pnalização: (a) Domínio stndido, condiçõs d apoio d carrgamnto d uma viga m balanço; (b) Solução inicial do problma d OT; (c) Solução final do problma d OT sm pnalização. O modlo SIMP (Solid Isotropic Matrial with Pnalization - Matrial Sólido Isotrópico com Pnalização) propõ a introdução d um coficint d pnalização p sobr a dnsidad, como mostra a quação (.3). Ess procdimnto torna as soluçõs com dnsidads intrmdiárias dsfavorávis do ponto d vista da otimização (BEDSØE; KIKUCHI, 988 4, apud BESØE; SIGMUD, 3). E p ES (.3) O coficint p m (.3) torna as soluçõs com dnsidads intrmdiárias dsfavorávis. O método d otimização scolhrá como mais vantajosa a utilização d dnsidads próimas d zro d um, pois as dnsidads intrmdiárias acarrtarão pouco ganho d rigidz para grand variação d dnsidad. Dnsidads próimas d um sofrm pouco fito da pnalização garantm maior ganho d rigidz. Embora dnsidads próimas d zro não aprsntm nnhuma contribuição à rigidz, também não há gasto d matrial. Assim, o algoritmo naturalmnt abandona ssas soluçõs privilgia as dnsidads ou, rsultando m uma topologia final do tipo vazio-sólido, mbora dnsidads intrmdiárias tnham sido admitidas durant o procsso d otimização (Figura.) 4 Idm

20 Otimização d topologia aplicada a struturas bi tridimnsionais 9 (a) (b) (c) Figura. Solução via OT prmitindo dnsidads intrmdiárias com pnalização: (a) Solução inicial; (b) Solução inicial intrmdiária; (c) Solução final... FORMULAÇÃO TRADICIOAL DO PROBLEMA DISCRETO VIA METODO DOS ELEMETOS FIITOS O modlo matmático utilizado nst trabalho para obtnção do campo d dslocamntos é o Método dos Elmntos Finitos (MEF), o qual consist na discrtização da strutura m um númro finito d lmntos. Trata-s d um método discrto aproimado cujas variávis são os dslocamntos nodais da strutura. Tnsõs dslocamntos no intrior do lmnto são dscritos m função dos dslocamntos nodais através d funçõs d intrpolação. O problma é formulado d forma a s obtr o sistma d quaçõs (.4), qu rprsnta as quaçõs d quilíbrio discrtas do problma. Fˆ K Uˆ (.4) Ond: Û Fˆ K - é o vtor d dslocamntos nodais da strutura; - o vtor d forças nodais da strutura; - é a matriz d rigidz da strutura. o caso da OT, o domínio stndido é discrtizado m uma malha d lmntos finitos. Assim, na abordagm tradicional a rgião do domínio é o próprio lmnto. O modlo SIMP (quação.3) stablc qu a propridad mcânica qu confr rigidz ao matrial dpnd d sua dnsidad. Assim, a matriz d rigidz K d um lmnto com dnsidad pod sr calculada m função da matriz d rigidz para matrial sólido K S.

21 Otimização d topologia aplicada a struturas bi tridimnsionais K p K S (.5) A matriz d rigidz da strutura K pod sr scrita como aprsntada m (.6). Rssalta-s qu o somatório aprsntado m (.6) não s rfr a um somatório matmático simpls, mas nvolv uma opração d montagm das contribuiçõs dos lmntos, caractrística do MEF. l K K (.6) Da quação (.5), vê-s qu lmntos com dnsidad nula não aprsntam rigidz st fator gra um sistma d quaçõs (.4) instávl. Assim, as implmntaçõs via MEF utiliza-s um limit infrior próimo, mas difrnt d zro, min, com o principal objtivo d impdir a divisão por zro na solução do sistma d quaçõs. o problma d OT abordado nst trabalho, as variávis d projto são as dnsidads d cada lmnto. Assim, o problma d minimização d flibilidad m sua forma discrta é rprsntado m (.7). Obtr ρ Qu minimiz Sujito a ˆ T c F Uˆ KρUˆ Fˆ l V Vt min (.7) Ond: c V V t l - é a flibilidad média; - é a dnsidad d matrial do lmnto - é o volum do lmnto; - é o volum da strutura; - é o numro d lmntos finitos. A quação (.4) prsnt no problma (.7) é uma rstrição indirta do problma. É utilizada para s obtr o campo d dslocamntos, mas não é utilizada dirtamnt plo algoritmo d otimização. Mais dtalhs sobr a implmntação computacional no problma d OT são aprsntadas no Capítulo 3 dst trabalho.

22 Otimização d topologia aplicada a struturas bi tridimnsionais.3. AÁLISE DE SESIBILIDADE E CRITÉRIO DE OPTIMALIDADE A anális d snsibilidad é o cálculo das drivadas da função objtivo das rstriçõs m rlação às variávis d projto. As rstriçõs dirtas do problma d otimização (.7), rprsntadas m (.8) (.9), forncm gradints triviais ( ou -). l V V (.8) t (.9) mín Já a rstrição indirta (.) intrfr no cálculo da snsibilidad da função objtivo, pois sta é função d Û qu dpnd d via (.4). Considrando-s (.5), a função objtivo s transforma m: c Fˆ T Uˆ l p T U K U (.) S Sgundo Bndsø Sigmund (3), a snsibilidad da função objtivo (.) m rlação à variávl d projto, lvando-s m conta a quação d quilíbrio (.4),é dada por: c p p U T K S U (.) o caso m qu as variávis d projto são variávis nodais, há duas camadas d variávis: as variávis d projto (dnsidads nos nós dos lmntos, d n ); as dnsidads usadas na anális plo MEF (dnsidads no intrior do lmnto, ). ss caso, a snsibilidad m rlação às variávis d projto são dadas pla quação (.3). O algoritmo d otimização adotado nst trabalho driva do critério d optimalidad, o qual consist na minimização da função Lagrangana do problma (.7), aprsntada m (.). L T ρ, λ, λ, λ, λ cρ λ Kρ vol q sup v Vol inf vol sup q Uˆ Fˆ inf min (.)

23 Otimização d topologia aplicada a struturas bi tridimnsionais Ond: q - é vtor dos multiplicadors d Lagrang associados à quação d quilíbrio; inf - é o vtor dos multiplicadors d Lagrang associados às rstriçõs latrais infriors das dnsidads; sup - é o vtor dos multiplicadors d Lagrang associados às rstriçõs latrais supriors das dnsidads; inf - é o multiplicador d Lagrang associado à rstrição latral infrior da dnsidad do lmnto ; sup - é o multiplicador d Lagrang associado à rstrição latral suprior da dnsidad do lmnto ; vol - é o multiplicador d Lagrang associado à rstrição d volum. A quação d quilíbrio (K U = F) é smpr rspitada na anális via MEF. S o método scolhido para a atualização das variávis rspitar as rstriçõs latrais, pod-s afirmar qu a rmoção dssas não afta o valor ótimo ncontrado. Assim, simplificando-s a prssão (.), tm-s: v Lρ, vol cρ vol (.3) Vol O critério d optimalidad implmntado nst trabalho consist basicamnt m um método minimização da quação (.3) smlhant ao método da bissção pod sr ncontrado m dtalhs m Bndsø Sigmund (3)..4. ISTABILIDADES UMÉRICAS A OT frqüntmnt pod aprsntar instabilidads numéricas tais como a solução m tabuliro d adrz, soluçõs m ilhas dpndência d malha. A solução m tabuliro d adrz consist na altrnância lado a lado d lmntos chios vazios (Figura.3). Tal solução é indsjávl por aprsntar uma falsa rigidz. umricamnt, o algoritmo d otimização ntnd sr sta uma boa solução, mas sab-s qu lmntos ligados apnas por um nó possum localmnt pquna rsistência rigidz.

24 Otimização d topologia aplicada a struturass bi tridimnsionais 3 (a) (b) Figura.3 Emplo d solução m tabuliro d adrz: (a) Domínio stndido, condiçõs d apoio d carrgamnto d uma viga m balanço; (b) Solução m tabuliro d adrz. Quando s utiliza a OT spra-s qu o otimizador aprsnt uma única soluçãoo ótima. o ntanto há casos m qu, o rfinamnto da malha conduz a soluçõs difrnts, comoo mostra a Figura.4 para a strutura da Figura.3(a).. Tal s dá plo fato d a função objtivo (.) aprsntar múltiplos mínimos locais dvido à prsnça do fator d pnalização p introduzido plo modlo SIMP. c = 39,99 (a) c = 4,44 (b) c = 4,75 (c) c = 4,437 (d) Figura.4 - Emplo d dpndência d malha para a viga m balanço: (a) Solução para malhaa 3 ; (b) Solução para malha 6 4; (c) Solução para malha 9 6; (d) Solução para malha 8. A solução m ilhas consist na obtnção rgiõs compostas por lmntos totalmnt chios circundados por lmntos vazios (Figura.5). Assim como no caso antrior, tal solução é indsjávl por aprsntar uma falsa rigidz. V. M. P. Santos Capítulo 5

25 Otimização d topologia aplicada a struturas bi tridimnsionais 4 (a) (b) Figura.5 Emplo d solução m ilhas: (a) Domínio stndido, condiçõs d apoio d carrgamnto d uma viga m balanço; (b) Solução m ilhas..5. FORMULAÇÃO DO PROBLEMA COM USO DE VARIÁVEIS ODAIS A abordagm com variávis nodais rsultou da busca por técnicas altrnativas qu rsolvssm os problmas d instabilidad numérica caractrísticos da OT. Ralmnt a abordagm propicia uma diminuição da ocorrência d soluçõs m tabuliro d adrz. o ntanto, ss problma não é totalmnt liminado, prmancndo a ncssidad d s utilizar squmas d rgularização. Atualmnt a técnica é utilizada apnas como uma inicialização ao aprndizado d outras abordagns srá aprsntada nst trabalho por ssa caractrística didática. a Abordagm com Variávis odais (AV) dissociam-s os concitos d variávis d projto d dnsidads usadas na anális via MEF, criando duas camadas d variávis, uma dpndnt da outra, porém distintas. As variávis d projto são dnsidads mdidas nos nós d da malha d lmntos finitos, nquanto qu na anális via MEF, utiliza-s um valor único d dnsidad por lmnto. A proposta mais simpls para a rlação ntr as variávis d projto a dnsidad no lmnto é a média das dnsidads nos sus nós, corrspondndo à quação (.4), no caso D à quação (.5) no caso tridimnsional. Ond: (.4) d i 4 i (.5) d i 8 i - é o valor rprsntativo da dnsidad do lmnto;

26 Otimização d topologia aplicada a struturas bi tridimnsionais 5 d i - é a dnsidad nos nós do lmnto; - é o conjunto d nós prtncnts ao lmnto. A Figura.6 aprsnta a rprsntação squmática dos pontos ond s localizam as duas camadas d variávis. (a) (b) ó da malha d EF. Variávl d projto. Dnsidad usada na anális via MEF. Figura.6 Localização das camadas d variávis: (a) na ABE; (b) na AV. Obsrva-s qu um msmo nó pod star ligado a mais d um lmnto. Para s calcular a snsibilidad da flibilidad média m rlação a um nó utiliza-s a rgra da cadia. c c d j d j j (.6) Ond j é o conjunto d lmntos finitos da strutura conctados ao nó j. Considrando-s as quaçõs (.4) (.5), tm-s : d 4 j d 8 j (.7) (.8) Ond a quação (.7) rfr-s ao caso D a quação (.8) ao caso 3D. Substituindo-s (.7) ou (,8), conform o caso, (.) m (.6) obtém-s:

27 Otimização d topologia aplicada a struturas bi tridimnsionais 6 c d c d j 4 j j 8 j T p U K (.9) p p S U T p U K (.) S U Ond a quação (.9) rfr-s ao caso D a quação (.) ao caso 3D. A Figura.7 aprsnta rsultados para a OT da strutura da Figura.3(a) obtidos com mprgo d malha d 85 lmntos, utilizando-s Abordagm Basada no Elmnto (ABE) Aborgadm com Variávis odais (AV). Obsrva a diminuição da ocorrência d soluçõs m tabuliro d adrz com o uso da AV, sm, no ntanto, lograr êito m rlação à total liminação. Assim, prmanc a ncssidad d s utilizar squmas d rgularização. (a) (b) Figura.7 Emplo d solução com duas abordagns: (a) Solução usando ABE; (b) Solução usando AV..6. FILTRO DE SESIBILIDADE DE SIGMUD Para vitar soluçõs como as aprsntadas nas Figuras.3 a.5, é ncssário introduzir algum squma d rgularização. O squma mais conhcido é o filtro d snsibilidad proposto por Sigmund (SIGMUD, ), qu propõ um método hurístico d homognização das snsibilidads, d forma a vitar variaçõs bruscas m sus valors. Para isso, altra-s a snsibilidad analítica da função objtivo m rlação a cada variávl d projto através d uma média pondrada com os valors das snsibilidads m rlação às variávis d projto próimas. Sja i a variávl d projto para a qual s dsja corrigir a snsibilidad analítica da função objtivo prssa por c/ i. a ABE, i é igual a i, já na AV, i é igual a d i. Dfin-s assim, para cada variávl i a rgião d vizinhança i w, como mostra a Figura.8. Para isso dfin-s qu os pontos vizinhos da variávl d projto i qu influm na

28 Otimização d topologia aplicada a struturas bi tridimnsionais 7 snsibilidad c / i são os qu s ncontram dntro da rgião d vizinhança w i formada por um círculo, no caso D, ou d uma sfra, no caso 3D, cntrado no ponto d mdição da variávl d projto raio prdtrminado r min. w w i i j j (a) (b) Figura.8 Rgião w d influência da variávl d projto i para a altração da snsibilidad analítica c / i : (a) ABE i = r i ; (b) AV i = d i. A nova snsibilidad srá ntão dada por: cˆ i i VP j Hˆ j VP j Hˆ j j c j (.) Ond: i j - indica o ponto d mdição da variávl d projto i, rlacionada à snsibilidad c / i qu s dsja corrigir; i - indica os pontos d mdição das variávis d projto inclusas na rgião w cntrada na variávl d projto i ; VP - indica o númro d variávis d projto; c j - é a snsibilidad analítica da função objtivo c m rlação à variávl d projto j ; dada por (.), no caso da ABE, ou por (.9) ou (.), no caso da AV; ˆ c i - é a snsibilidad corrigida da função objtivo c m rlação à variávl d projto i ; Ĥ f - é o oprador qu stablc a influência d cada variávl d projto j na corrção da snsibilidad analítica c / i.

29 Otimização d topologia aplicada a struturass bi tridimnsionais 8 a quação (.), o oprador Ĥ é dado por: j { j ˆ rmin dist( i, j) VP dist ( i, j) r i,, VP H j min }, (.) Sndo: dist r min - uma função qu md a distância ntr os pontos i j; - o raio da circunfrência ou da sfra cntrada na variávl d projto qu dfin a rgião w d influência dssa variávl. A atuação do filtro d snsibilidad é rprsntada na Figura.9, ond (b) rprsnta a solução sm filtro (c) a solução com filtro, ambas para uma malha d, nquanto (d) rprsnta a solução sm filtro () a solução com filtro, ambas para uma malhaa d 4 4, utilizando a ABE. Vrifica-s qu o filtro limina tanto a solução m tabuliro d adrz como a dpndência d malha. Obtêm-s rsultadoss smlhants quando s utiliza a AV. (a) (b) (d) (c) () Figura.9 Atuação do filtro d snsibilidad na ABE: (a) Domínioo stndido, condiçõs d apoio d carrgamnto d uma viga m bi-apoiada; (b) Rsultado sm filtro (r mín =,) com malha ; (c) Rsultado obtido com filtro, r mín =,5 com malha ; (D) Rsultado sm filtro (r mín =,) com malha 4 4; (c) Rsultado obtido com filtro, r mín = 3, com malha 4 4. Rssalta-s qu, na implmntação ralizada nst trabalho o raio do filtro d snsibilidad d Sigmund rfr-s ao númro d lmntos abrangidos na rgião i w, o raio ral é dado por r min multiplicado pla dimnsão do lmnto. Para qu o procdimnto sja V. M. P. Santos Capítulo 5

30 Otimização d topologia aplicada a struturas bi tridimnsionais 9 indpndnt da malha, o raio do squma d rgularização dv s rfrir à msma porção do domínio stndido. Assim, nas implmntaçõs ralizadas nst trabalho, ao s multiplicar o númro d lmntos da malha por um coficint n, multiplica-s também o valor d r mín..7. PROCEDIMETO DE OTIMIZAÇÃO O procsso gral d otimização consist basicamnt m três tapas: obtnção da função objtivo das rstriçõs para o conjunto d variávis corrnts; anális d snsibilidad; aplicação do critério d otimização para obtnção d novo conjunto d variávis d projto. o caso d OT aplicada ao problma d minimização d flibilidad, não é ncssário calcular sparadamnt as rstriçõs do problma ou sua snsibilidad m rlação às variávis d projto, pois su cálculo é trivial é fito dntro do algoritmo d otimização. Então, o procsso pod sr dscrito plo fluo d procdimntos mostrado na Figura.. A partir d um conjunto d dnsidads pré-stablcidas faz-s a anális via MEF para obtnção dos dslocamntos nos nós dos lmntos; calcula-s a flibilidad média da strutura a snsibilidad da função objtivo m rlação às variávis d projto; altra-s a snsibilidad analítica com uso d um squma d rgularização, no caso dst trabalho o filtro snsibilidad d Sigmund; aplica-s o algoritmo d otimização, no caso dst trabalho critério d optimalidad, para obtnção d um novo conjunto d variávis d projto, d manira qu su somatório obdça à fração d volum adotada; vrifica-s s o critério d convrgência foi atingido. O procdimnto s rpt até qu a condição d parada sja satisfita. inicialização Anális via MEF Solução ótima ão convrg Aplicação d filtros d corrção Critério d otimização Figura. Fluograma do procdimnto d OT utilizado.

31 Otimização d topologia aplicada a struturas bi tridimnsionais 3 O fluo d procdimntos aprsntado na Figura. aplica-s tanto à ABE quanto à AV.

32 CAPÍTULO 3 FORMULAÇÃO E IMPLEMETAÇÃO DOS PROBLEMAS BI E TRIDIMESIOAL st capítulo srão aprsntados os concitos rlativos à anális d struturas plo Método dos Elmntos Finitos (MEF) os dtalhs das implmntaçõs computacionais ralizadas para obtnção dos rsultados aprsntados no Capítulo 4. Apontar-s-á o sistma d coordnadas d numração scolhido na rprsntação dos lmntos finitos bidimnsionais tri-dimnsionais m sguida srão postas as funçõs d intrpolação linar, compatibilidad constitutivas do matrial para compor o cálculo da matriz d rigidz dos lmntos rtangulars haédricos. 3.. EQUAÇÕES GERAIS DA ELASTICIDADE Os problmas d anális d tnsõs dformaçõs no rgim lástico linar m três dimnsõs nvolvm a dtrminação d sis componnts d tnsão sis componnts d dformação. A Figura 3. rprsnta as tnsõs m um lmnto infinitsimal da strutura as prssõs (3.) (3.) rprsntam as componnts d tnsão d dformação, rspctivamnt, m qualqur ponto da strutura d coordnadas (,, z), scrita m forma matricial. z z z z z z z Figura 3. Tnsõs atuando m um volum infinitsimal rprsntativo da strutura m 3D. V. M. P. Santos Capítulo 4

33 Otimização d topologia aplicada a struturas bi tridimnsionais 3 z z z z ),, ( σ (3.) z z z ε ε ε z ),, ( ε (3.) A rlação tnsão dformação dpnd das propridads físicas do matrial, no caso d matriais com comportamnto lástico linar, pod sr rprsntada gnricamnt pla prssão matricial (3.3). A matriz E é dnominada matriz constitutiva lástica é dada pla prssão (3.4). E ε σ (3.3) E E (3.4) o caso m qu a hipóts d pqunas dformaçõs d pqunos dslocamntos é atndida, a rlação ntr dformaçõs dslocamntos m um ponto qualqur d coordnadas (,, z) é prssa pla quação matricial (3.5), dnominada quação d compatibilidad ntr dformaçõs dslocamntos. o caso tridimnsional o oprador difrncial é dado por (3.6). ε u (3.5)

34 Otimização d topologia aplicada a struturas bi tridimnsionais 33 z z z (3.6) o caso bidimnsional, as tnsõs importants para a anális s rduzm a três o vtor d tnsõs é prsso por (3.7) o das dformaçõs por (3.8). Figura 3. Tnsõs atuando m uma ára rprsntativa da strutura m D. ), ( σ (3.7) ε ε ), ( ε (3.8)

35 Otimização d topologia aplicada a struturas bi tridimnsionais 34 Para struturas m stado plano d tnsõs, há dformaçõs z, mas a msma pod sr calculada a partir das dformaçõs, não sndo portando ncssária no quacionamnto do problma. A matriz constitutiva lástica fica ntão rduzida à forma aprsntada m (3.9) o oprador difrncial s rduz ao aprsntado m (3.). E E (3.9) (3.) As quaçõs (3.) a (3.) rfrm-s a sistmas contínuos, ou sja, são válidas m qualqur ponto d coordnadas (,, z), no caso tridimnsional, ou d coordnadas (, ), no caso bidimnsional. 3.. AÁLISE PELO MEF A anális dsnvolvida nst trabalho basia-s no Método dos Elmntos Finitos (MEF), um método para anális d sistmas discrtos, m sua formulação m dslocamntos. Ess tipo d anális é utilizada m casos m qu a dscrição do comportamnto global da strutura com uso d quaçõs gnéricas como as aprsntadas d (3.) a (3.) s torna muito complo d difícil solução. ss caso, dscrv-s o contínuo por um conjunto d lmntos, os quais rprsntam partiçõs do msmo, dscrv-s o campo d dslocamntos m qualqur ponto no intrior do lmnto m função dos dslocamntos m pontos discrtos dnominados nós. A Figura 3.3 aprsnta os dois lmntos finitos utilizados nst trabalho: um lmnto plano quadrangular com 4 (quatro) nós, dnominado Q4, usado nas análiss bidimnsionais; um lmnto haédrico com 8 (oito) nós, dnominado H8, usado nas análiss tridimnsionais.

36 Otimização d topologia aplicada a struturas bi tridimnsionais 35 (a) (b) Figura 3.3 Emplos d lmntos finitos: (a) lmnto quadrangular com 4 nós para problmas bidimnsionais (Q4); (a) lmnto haédrico com 8 nós para problmas tridimnsionais (H8). Assim, o campo d dslocamntos no intrior do lmnto pod sr dscrito com a utilização d funçõs d intrpolação i a partir dos dslocamntos nodais û i do lmnto como mostra a prssão (3.), qu também pod sr aprsntada na forma matricial (3.). u EL, z,, z, ˆ (3.) i i u i u uˆ (3.) Substituindo a prssão do campo d dslocamntos discrtizado (3.) na rlação d compatibilidad (3.5), tm-s a quação d compatibilidad do sistma discrto. ε B uˆ (3.3) Ond B é a chamada matriz d compatibilidad cinmática do sistma discrto, prssa por: B (3.4) A nrgia d dformação lástica U do sistma discrto é dada pla quação (3.5), nquanto qu o trabalho das forças trnas W é dado por (3.6). U W V dv T σ ε (3.5) T T U Q ds Uˆ Fn (3.6) S Ond: U - é o vtor d dslocamntos m qualqur ponto da strutura;

37 Otimização d topologia aplicada a struturas bi tridimnsionais 36 Û Q Fˆ - é o vtor d dslocamntos nodais da strutura; - é o vtor d cargas distribuídas aplicadas à suprfíci S da strutura; - é o vtor d cargas concntradas nos nós da strutura. Substituindo-s (3.3) (3.3) m (3.5) (3.) m (3.6), tm-s: Uˆ T T U B E B dv Uˆ (3.7) V W Uˆ T T Q Uˆ T ds Fˆ (3.8) S O PTV conduz à prssão (3.9), a qual é válida qualqur qu sja o conjunto d dslocamntos nodais Û. Assim, para qu a prssão (3.9) sja válida, é ncssário qu a prssão (3.) sja vrdadira. Uˆ T V B T E B Uˆ Uˆ T T dv Q ds Fˆ (3.9) S V B T E B Uˆ T dv Q Fˆ ds (3.) S A quação (3.) pod sr rsumida na forma (3.), qu rprsnta o sistma d quaçõs algébricas, ond K rprsnta a matriz d rigidz da strutura. K Uˆ Fˆ (3.) A matriz d rigidz da strutura K é obtida pla montagm das matrizs d rigidz dos lmntos. A prssão (3.) rprsnta a matriz d rigidz d um lmnto finito prnchido por matrial sólido: T K S B Ε B dv (3.) V 3... Sistmas d coordnadas sistmas d numração nodal As implmntaçõs do MEF trabalham normalmnt com dois sistmas d coordnadas dois sistmas d numração dos nós: o sistma global, qu s rfr a toda a strutura; o sistma local, próprio do lmnto. o sistma d coordnadas global são mdidos os dslocamntos nodais da strutura as forças quivalnts. o sistma d

38 Otimização d topologia aplicada a struturas bi tridimnsionais 37 coordnadas locais são mdidos dslocamntos no intrior do lmnto, tnsõs dformaçõs. Para implmntação é ncssário qu sja dtrminada a squência d numração dos nós nos dois sistmas. Os lmntos bidimnsionais são rprsntados m um plano cartsiano com sistma local d coordnadas nas dirçõs origm no cntro do lmnto como mostrado na Figura 3.4(a). Os lmntos tridimnsionais são rprsntados m um sistma d coordnadas local com coordnadas nas dirçõs, z com origm no cntro do lmnto como mostrado na Figura 3.4(b). Os nós do lmnto rcbm uma numração local qu pod variar d acordo implmntação. st trabalho utilizam-s as numraçõs locais aprsntadas da Figura (a) (b) Figura 3.4 umração dos nós nos sistmas d coordnadas locais dos lmntos utilizados: (a) lmntos rtangulars para as implmntaçõs m D; (b) coordnadas para lmntos haédricos para as implmntaçõs m 3D. Os nós da malha d lmntos finitos rcbm também uma numração global. O sistma global d coordnadas tm coordnadas X Y, no caso D, X, Y Z, no caso 3D. st trabalho são usadas malhas rgulars, fazndo com qu sja fácil a implmntação d gração automática d malha. Os nós das struturas bidimnsionais são numrados primiramnt na dirção Y, d cima para baio dpois na dirção X, como mostrado na Figura 3.5(a). Os nós das struturas tridimnsionais são numrados primiramnt na dirção Y, d cima para baio, dpois na dirção Z, por fim na dirção X, como mostrado na Figura 3.5(b). Os sistmas d coordnadas local global são parallos, difrnciando-s apnas por uma translação dos ios d coordnadas.

39 Otimização d topologia aplicada a struturass bi tridimnsionais (a) (b) Figura 3.5 Procsso d numração dos nós da strutura com gração automática d malha: (a) struturas D; (b)struturas 3D. Os graus d librdad dos lmntos utilizados nst trabalho são as translaçõss nas dirçõs dos ios d coordnadas. Assim, as struturas D têm (dois) graus d librdad por nó as struturas 3D têm 3 (três) graus d librdad por nó, como mostra a Figura 3.6. Os graus d librdad são numrados por nó, primiro m, dpois m dpois m z, s for o caso. n 3n 3n n 3n (a) (b) Figura 3.6 Graus d librdad do nó n: (a) struturas D; (b) struturas 3D. 3.. Funçõs d intrpolaçãoo Uma das principais caractrísticas das funçõs d intrpolação é qu su valor é unitário nas coordnadas do nó a qu la s rfr nula nas coordnadas dos dmais nós. O caso do lmnto Q4 utilizado nst trabalho tm dimnsõs unitárias suas funçõs d intrpolação podm sr dscritas gnricamnt pla prssão (3.3). j, ( ) ( ) j j j j (3.3) V. M. P. Santos Capítulo 5

40 Otimização d topologia aplicada a struturas bi tridimnsionais 39 Ond as coordnadas j j são as coordnadas dos nós do lmnto, dadas por: = 4 = -,5 = 3 =,5, = = -,5 3 = 4 =,5. A matriz das funçõs d intrpolação tm a forma aprsntada m (3.4) a matriz d compatibilidad discrta B assum a forma aprsntada m (3.5). 3 4 (3.7) 3 4 o caso do lmnto H8, as funçõs d intrpolação podm sr dscritas gnricamnt pla prssão (3.5) a matriz das funçõs d intrpolação tm a forma aprsntada m (3.6). j,, z ( j ) ( j ) ( z z j ) (3.5) z j j j Ond as coordnadas j, j z j são as coordnadas dos nós do lmnto, dadas por: = = 3 = 4 = -,5 5 = 6 = 7 = 8 =,5; = = 5 = 6 =,5 3 = 4 = 7 = 7 = -,5; z = z 3 = z 5 = z 7 = -,5 z = z 4 = z 6 = z 8 =,5 8 8 (3.6) 8 (a) (b) Figura 3.7 Função d intrpolação do nó j: (a) struturas D; (b) struturas 3D.

41 Otimização d topologia aplicada a struturas bi tridimnsionais 4 As funçõs d intrpolação prssas m (3.3) m (3.6) têm por caractrística obtr valor unitário no nó j diminuir linarmnt até chgar a zro nos dmais nós MATRIZ DE RIGIDEZ DO ELEMETO A matriz d compatibilidad do sistma discrto no lmnto Q4 é obtida substituindo-s (3.4) m (3.4), sndo prssa m (3.7) B (3.7) A matriz d compatibilidad do sistma discrto no lmnto H8 é obtida substituindo-s (3.6) m (3.4), sndo prssa m (3.8). z z z z z z z z z B (3.8) A matriz d rigidz do lmnto é obtida substituindo-s (3.7) (3.9), no caso D, ou (3.8) (3.4), no caso 3D, m (3.). o caso do lmnto Q4 a matriz d rigidz é uma matriz 88. o caso do lmnto H8 a matriz d rigidz tm dimnsõs 44. A matriz d rigidz da strutura é calculada somando as matrizs d rigidz dos lmntos posicionando-as d manira corrta na matriz lvando m conta as numraçõs corrtas dos nós nos lmntos na strutura.

42 Otimização d topologia aplicada a struturas bi tridimnsionais FLEXIBILIDADE MÉDIA DA ESTRUTURA Flibilidad é um concito aplicado a um ponto da strutura. st trabalho, a mdida d flibilidad utilizada como função objtivo é prssa pla flibilidad média da strutura. A flibilidad média do lmnto, c, é dada por: c V T ε σ dv (3.9) Substituindo as prssõs (3.3) (3.3) m (3.9) chga-s a: c ˆ ˆ T T u B Ε B dv u (3.3) C Considrando-s a prssão (3.) a função antrior pod sr scrita como: c uˆ K uˆ (3.3) T A flibilidad média da strutura é calculada como a soma das flibilidads dos lmntos qu a compõm, portanto: c l c (3.3) Substituindo-s (3.3) m (3.3), tm-s: c l u ˆ K uˆ (3.33) T Ao aplicar o modlo SIMP calculado por (.5) chga-s à prssão da flibilidad média da strutura utilizada na implmntação computacional: c O vtor l uˆ K uˆ (3.34) p T S û d dslocamntos nodais do lmnto é um subconjunto do vtor d dslocamntos da strutura U, obtido pla rsolução do sistma d quaçõs (3.).

43 CAPÍTULO 4 RESULTADOS Est capítulo aprsnta os rsultados obtidos pla implmntação computacional ralizada nst trabalho dscrita no Capítulo 3. Para cada rsultado srão dscritas inicialmnt as dimnsõs da strutura, o tamanho da malha os parâmtros prtinnts ao procsso como raio do filtro d Sigmund, o coficint d pnalização do modlo SIMP, os vínculos d apoio a distribuição dos carrgamntos. Em todos os casos utilizou-s módulo d lasticidad E =, coficint d Poisson ν =,5. Rssalta-s qu os valors das propridads do matrial não influnciam a topologia ótima, mas apnas o valor da função objtivo para ssa topologia. 4.. EXEMPLO Aprsnta-s a sguir a OT d uma viga bi-apoiada com carga pontual aplicada no mio do vão localizada na fac suprior, como ilustra a Figura Figura 4. Viga analisada no mplo. Primiramnt foi fita a anális para malha d lmntos, com sm squma d rgularização. a anális com squma d rgularização utilizou-s o filtro d snsibilidad d Sigmund com raio r min igual a,6 lmntos. Em ambas as análiss utilizous o fator d pnalidad p igual a 3 qu o volum da strutura corrsponda a 5% do volum stndido. Os rsultados obtidos são aprsntados nas Figuras 4.(a) (b). V. M. P. Santos Capítulo 4

44 Otimização d topologia aplicada a struturas bi tridimnsionais 43 A sguir, fz-s a anális da msma strutura variando-s a malha com o intuito d comprovar qu o filtro d snsibilidad fornc rsultados indpndnts da malha. Como o raio do filtro d snsibilidad é mdido m função do númro d lmntos, su valor aumnta na msma proporção m qu crsc o númro d lmntos da malha, a fim d qu o filtro atu sobr a msma rgião do domínio stndido. Os rsultados obtidos são aprsntados nas Figuras 4.(a) a (f). Rsultados sm squma d rgularização Rsultados com squma d rgularização (a) (b) (c) (d) () (f) Figura 4. Topologias ótimas para as análiss do mplo : (a) malha d 5 5 sm squma d rgularização; (b) malha d 5 5 r min = ; (c) malha d 8 3 sm squma d rgularização; (d) malha d 8 3 r min =,4; () malha d 4 4 sm squma d rgularização; (f) malha d 4 4 r min = 3,. Os rsultados aprsntados nas Figuras 4.(a), (c) () mostram rsultados sujitos à instabilidad d tabuliro d adrz. Obsrva-s também qu as soluçõs são qualitativamnt difrnts, vidnciando solução dpndnt da malha. O problma pod sr corrigido com o uso do filtro d snsibilidad como mostra os rsultados das Figuras 4. (b), (d) (f). Essas soluçõs são qualitativamnt quivalnts livrs dos trchos m tabuliro d adrz. Obsrva-s ainda qu a flibilidad média da strutura obtida com uso do filtro d snsibilidad é maior qu a da strutura obtida sm su uso. Tal s dá porqu, na anális com o filtro, as soluçõs das Figuras 4.(a), (c) () foram cluídas da rgião viávl do problma. 4.. EXEMPLO A sguir modifica-s a posição da carga para a viga bi-apoiada do mplo antrior como ilustra a Figura 4.3.

45 Otimização d topologia aplicada a struturas bi tridimnsionais (a) 6 6 (b) (c) 3 9 (d) () (f) Figura 4.3 Viga analisada no mplo com malha d 4 r min =,5 lmntos: (a) caso d carga A; (b) caso d carga B; (c) caso d carga C; (d) caso d carga D() caso d carga E; (f) caso d carga F.. Em todas as análiss foram utilizadas uma malha d 4 lmntos, raio do filtro d snsibilidad r min igual a,5, fração d volum igual a 5% do volum stndido fator d pnalização p igual a 3. Os rsultados obtidos são aprsntados na Figura 4.4. Obsrva-s a mudança na solução à mdida qu a carga muda d posição.

46 Otimização d topologia aplicada a struturas bi tridimnsionais 45 (a) (b) (c) (d) () (f) Figura 4.4 Topologias ótimas para as análiss do mplo : (a) caso d carga A; (b) caso d carga B; (c) caso d carga C; (d) caso d carga D; () caso d carga E; (f) caso d carga F EXEMPLO 3 Uma situação comum m projto é a vrificação para combinaçõs d carrgamnto dfinidas m norma. A msma strutura dv star sgura para duas ou mais combinaçõs, as quais vão provocar sforços limits m lmntos divrsos qu atuarão m momntos divrsos da vida útil da strutura. o caso da otimização, ssa situação pod sr rprsntada por cargas não simultânas. Têm-s ntão tantos vtors d cargas nodais quantas form as combinaçõs d carrgamnto considradas, m consquência, tm-s o msmo númro d configuraçõs d dslocamntos nodais. ss caso, há várias formas d s considrar a função objtivo. st trabalho a função objtivo considrada srá a soma da flibilidad média da strutura nas combinaçõs d carrgamnto. A fim d mplificar a potncialidad da técnica m projto, srá analisada uma situação m qu s têm duas cargas rprsntando combinaçõs distintas d carrgamnto. Para tanto, analisa-s a sguir a viga do mplo com combinação d carrgamnto formada plos casos A B, não simultânos. Analisa-s também a combinação d carrgamnto formada plos casos C D, não simultânos. Os rsultados são aprsntados na Figura 4.5.

47 Otimização d topologia aplicada a struturas bi tridimnsionais 46 (a) (b) (c) (d) Figura 4.5 Topologias ótimas para as análiss do mplo 3: (a) caso d carga A+B, simultânas; (b) caso d carga A+B, não simultânas; (c) caso d carga C+D, simultânas; (d) caso d carga C+D, não simultânas. Obsrva-s qu ao contrário doqu s pod imaginar os rsultados para cargas simultânas não simultânas para os msmos carrgamntos não ncssáriamnt são iguais EXEMPLO 4 Analisa-s a sguir a viga do mplo prscrvndo-s um furo uma rgião m qu obrigatoriamnt dv havr matrial. A Figura 4.6 ilustra as rgiõs qu dvm sr prscritas com ausência com obrigatoridad d istência d matrial na rgião rprsntada plo quadrado d lado no intrior da strutura. 8,5 8,5,,5,, Figura 4.6 Viga analisada no mplo 4 com malha d 4 r min =,5 lmntos: (a) caso d ausência obrigatória d matrial; (b) caso d prsnça obrigatória d matrial.

48 Otimização d topologia aplicada a struturas bi tridimnsionais 47 A Figura 4.7 aprsnta os rsultados da anális do mplo 4. Obsrva-s qu o algoritmo d otimização tv sucsso ao conduzir a topologias ótimas atndndo aos rquisitos d projto d ausência d prsnça obrigatória d matrial. Figura 4.7 Topologias ótimas para as análiss do mplo 4: (a) ausência d matrial no rtângulo intrno; (b) prsnça obrigatória d matrial no rtângulo intrno EXEMPLO 5 O quinto mplo m duas dimnsõs analisado nst capítulo é uma viga ngastada na trmidad squrda, como mostra a Figura 4.8. Foram analisados 3 casos d carga pontual na trmidad dirita: no canto suprior; no mio; no canto infrior. Utilizou-s uma malha d 85 lmntos, aplicou-s filtro d snsibilidad com raio r min igual a,5 lmntos. Adotou-s fator d pnalidad p do modlo SIMP com valor 3 fração d volum d 5% (a) (b) (c) Figura 4.8 Viga do mplo 5 com malha d 8 5 r min =, lmntos: (a) caso d carga A; (b) caso d carga B; (c) caso d carga C. Figura 4.8. A Figura 4.9 aprsnta os rsultados obtidos para os casos d carga indicados na

49 Otimização d topologia aplicada a struturas bi tridimnsionais 48 (a) (b) (c) Figura 4.9 Topologias ótimas para a viga do mplo 5: (a) caso d carga A; (b) caso d carga B; (c) caso d carga C. Por fim, obtém-s a topologia ótima da viga m qustão com uma combinação dos casos d carga A C agindo simultanamnt m sparado. (a) (b) Figura 4. Topologias ótimas para a viga do mplo 5: (a) caso d carga A+C, simultânas; (b) caso d carga A+C, m sparado EXEMPLO 6 Osto mplo aprsntado nst capítulo analisa uma viga ngastada com modlagm tridimnsional, Utilizou-s uma malha d 6 lmntos, aplicou-s filtro d snsibilidad com raio r min igual a,5 lmntos. Adotou-s fator d pnalidad p do modlo SIMP com valor 3 fração d volum d 5% stá rprsntada Figura 4..

50 Otimização d topologia aplicada a struturass bi tridimnsionais 49 z z (a) (b) z z Rstrito m, z Rstrito m (c) (d) Figura 4. Viga do mplo 6: (a) carga no mio da fac dirita; (b) carga pontual no canto infrior da fac dirita.(c) carga distribuída no canto infriorr da fac dirita; (d) condiçõs d apoio rstritas nas três dirçõs apnas nos nós no mio da spssura. V. M. P. Santos Capítulo 5

51 Otimização d topologia aplicada a struturas bi tridimnsionais 5 A Figura 4. aprsnta os rsultados tridimnsionais para os casos mostrados na Figura 4. (a) (b) (c) (d) Figura 4. rsultados das vigas 3D: (a) carga no mio da fac dirita; (b) carga pontual no canto infrior da fac dirita.(c) carga distribuída no canto infrior da fac dirita; (d) condiçõs d apoio rstritas nas três dirçõs apnas nos nós no mio da spssura.