PROJETO DE REFORÇAMENTO DE PLACAS E CHAPAS UTILIZANDO O MÉTODO DE OTIMIZAÇÃO TOPOLÓGICA

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1 PROJETO DE REFORÇAMENTO DE PLACAS E CHAPAS UTILIZANDO O MÉTODO DE OTIMIZAÇÃO TOPOLÓGICA Valtr Untrbrgr Filho valtruf@googlmail.com Rsumo: Est trabalho tm como objtivo implmntar o Método d Otimização Topológica (MOT) no projto d rforçamnto d placas para imizar a flxibilidad da strutura. Inicialmnt o MOT é aplicado a struturas bastant simpls (para validação da mtodologia), postriormnt, d forma mais laborada, no projto d rforçamnto d struturas. Para a solução do MEF é utilizado o softwar comrcial ANSYS. A programação do algoritmo d otimização é scrita m APDL ( ANSYS Paramtric Dsign Languag ), uma linguagm do próprio ANSYS. Por fim são implmntadas rstriçõs d manufatura, qu são rstriçõs no algoritmo d otimização d forma qu s possa assgurar qu as struturas obtidas sjam ótimas factívis, ou sja, ótimas manufaturávis. Palavras chav: otimização topológica, ANSYS, rforçamnto d chapas 1. Introdução Uma constant m todos os projtos d Engnharia é su aprfiçoamnto, a constant busca por mlhorias. Por aprfiçoamnto ntnd-s não somnt mlhorar a qualidad do projto, mas também, tratando-s d struturas, rduzir custos ou pso sm qu sta sofra qualqur prda m trmos d dsmpnho. Dsta forma, grand part dos dsnvolvimntos stá basada na xpriência d um grupo d profissionais mpnhados m, na maior part das vzs, apnas mlhorar os projtos já xistnts. Nst sntido os métodos d otimização aprsntam-s como uma frramnta promissora para auxiliar o dsnvolvimnto d struturas. Est trabalho visa o studo do projto d rforçamnto d placas utilizando o Método d Otimização Topológica (MOT). O Método d Otimização Topológica é uma frramnta computacional capaz d sinttizar struturas mcânicas através da distribuição d matrial m uma rgião do spaço, rspitando as rstriçõs impostas; para isto faz uso da combinação d métodos d otimização com Métodos d Elmntos Finitos (MEF). Para a solução do MEF é utilizado o softwar comrcial ANSYS, cujo mprgo na indústria é bastant amplo dado su xclnt dsmpnho na solução das quaçõs do MEF disponibilidad d rcursos. Por st motivo, a programação do algoritmo é scrita m APDL ( Ansys Paramtric Dsign Languag ), uma linguagm do próprio ANSYS, o qu é bastant prático, já qu não é ncssária a troca d informaçõs ntr difrnts programas. A grand vantagm do método d otimização topológica frnt aos outros métodos tradicionais d otimização é a capacidad d forncr o liaut ótimo para uma dada aplicação, não ficando rstrito somnt a altraçõs na forma ou msmo nos parâmtros da strutura, como spssura, comprimnto, tc.. Por sts motivos, o MOT é muito mprgado no dsnvolvimnto d carrocrias automotivas, na indústria arospacial, mcanismos flxívis também m struturas para a absorção d impactos. Nst trabalho o MOT é primiramnt aplicado a uma placa plana simpls sm rforçamnto com o intuito d validar a mtodologia dsnvolvida. O objtivo é achar a topologia ótima da strutura. Postriormnt, é aplicado o MOT ao rforçamnto dsta msma strutura, porém, sm altrá-la. Vrificar-s-á qu a topologia ótima obtida para a strutura para o su rforçamnto são bastant difrnts, apsar d m ambos os casos as rstriçõs forças aplicadas srm iguais. Finalmnt, rstriçõs d manufatura srão implmntadas. Como um caso prático d Engnharia srá aprsntado uma caixa d prssão, qu s assmlha a um vaso d prssão, porém com sção transvrsal quadrada. O MOT srá aplicado ao rforçamnto da strutura. Também srão utilizadas rstriçõs d manufatura. 2. Concituação Ants d aprsntar a struturação do algoritmo d otimização, é ncssário introduzir alguns concitos fundamntais m Otimização Topológica (OT) aplicado a st trabalho Modlo d Matrial O modlo d matrial assumido para a otimização d struturas nst trabalho é o SIMP ( Simpl Isotropic Matrial with Pnalization ). Nst modlo as propridads do matrial são considradas constants para cada lmnto utilizado na discrtização da strutura as variávis do problma são as psudo-dnsidads dos lmntos. A psudo-dnsidad é dtrada por uma função contínua η ( X), tal qu 0 η ( X) 1 constitutivo K 0 do matrial bas, forncndo o tnsor constitutivo K, como mostrado na Eq. (1). K ( X) ( X) K 0, qu multiplica o tnsor = η (1)

2 As psudo-dnsidads podm assumir valors intrmdiários ntr zro um, o qu, fisicamnt, não é cornt, já qu o valor da propridad ftiva do tnsor constitutivo é dfinido pla sua microstrutura, nm todos os valors obtidos com a psudo-dnsidad são compatívis com os valors obtidos na microstrutura. Do ponto d vista matmático a xistência d dnsidads ntr zro um contribui para a rlaxação do problma. Entrtanto, a solução final aprsntará rgiõs com dnsidads intrmdiárias, dnoadas scala d cinza qu, mbora importants para a rsolução do problma, não são dsjávis do ponto d vista da Engnharia. Dsja-s uma solução m qu o layout final (ótimo) sja composto praticamnt por rgiõs vazias (ausência d matrial) ou rgiõs m qu as propridads do matrial bas sjam possívis d s construir. Dsta forma insr-s um fator d pnalização p na psudo-dnsidad, como visto na Eq. (2) com o intuito d rduzir a incidência d valors intrmdiários. Bndsø Sigmund (1999) mostram qu o valor idal para o fator d pnalização aplicado a lmntos planos é p = 3 (para matriais com coficint d Poisson ν = 0, 3 ). K p ( X) ( X) = η (2) 2.2. Função Objtivo K 0 Para st trabalho o Método d Otimização Topológica é laborado a partir do Princípio da Mínima Enrgia Potncial, ond o objtivo é imizar a flxibilidad da strutura. Assim o problma d otimização pod sr scrito sgundo a Eq. (3): X c Sujito a: n T T p ( X) = f u = u Ku = ( X ) ( u ) f V V ( Ω) V 0 = 1 T K u (3) 0 X X X Ku = f ond u é o vtor dslocamnto dos lmntos da strutura discrtizada, f é o vtor das forças aplicadas aos lmntos K é o tnsor constitutivo, ou matriz d rigidz global. u K são o vtor dslocamnto a matriz d rigidz d um lmnto, rspctivamnt. A fração volumétrica f é a razão ntr o volum da strutura otimizada, dado pla Eq. (4), o volum V 0 inicial da strutura. V V n ( Ω) = = 1 X v (4) 2.3. Critério da Otimalidad Cálculo da Snsibilidad O problma d otimização proposto podria sr rsolvido d divrsas maniras, tal como o Critério da Otimalidad, Programação Sqüncial Linar (SLP), Método das Assíntotas Móvis (MMA), ntr outros. É scolhido o Critério da Otimalidad dvido à sua simplicidad d implmntação boa ficiência. Sgundo Bndsø (2003), o sguint procsso itrativo hurístico da Eq. (5) pod sr mprgado para o cálculo das psudo-dnsidads: X + 1 = {( X ζ ), X } s X M { ( X ζ ), X } M {( 1 ζ ) X, X } ( 1+ ζ ) X, X { } X M {( X + ζ ), X } s X M { ( X + ζ ), X } M é dado pla Eq. (6) abaixo: s X (5)

3 M p = p 1 T ( X ) ( u ) κ κ ( K ) 0u L 1 λv = X λv (6) ond é o índic da itração, ζ é o valor do limit móvl, κ é o fator d amortcimnto do algoritmo d otimização λ é o multiplicador d Lagrang qu pod sr obtido plo método da dicotomia. Tanto ζ como κ controlam as modificaçõs qu podm acontcr m cada itração ls dvm sr ajustados para uma boa ficiência do método. Valors típicos para ζ κ são 0,2 0,5, rspctivamnt. A snsibilidad da função objtivo é dada pla Eq. (6): L X = p p 1 ( X ) ( ) T ( u K 0u ) A snsibilidad da função objtivo é um concito important nst trabalho. Ela é utilizada para analisar como qu a função objtivo, no caso d placas chapas, a flxibilidad, é altrada com a variação da psudo-dnsidad dos lmntos, como pod sr notado na Eq. (7). 3. O Problma d Otimização Topológica A strutura do algoritmo d otimização implmntado utilizando a linguagm APDL ( ANSYS Paramtric Dsign Languag ), é dada na Figura (1). Figura 1: Fluxograma das tapas do procsso d otimização topológica. (7) Rstriçõs d Manufatura

4 3.1. Inicialização das Variávis Na inicialização das variávis são dtrados os parâmtros ncssários para a simulação, como o númro d itraçõs, fator d pnalização, rstrição volumétrica, também as propridads do matrial (módulo d lasticidad, coficint d Poisson). Na inicialização das variávis também é fita a dfinição do matrial. Nst trabalho foram criados 1000 matriais com difrnts composiçõs do módulo d lasticidad, ou sja, matriais qu possuíam d 0,001 E até E. Estas difrnts composiçõs d matriais corrspondm ao módulo d lasticidad multiplicado pla psudo-dnsidad. A st srá aplicado o fator d pnalização, como proposto plo SIMP, para rduzir o númro d dnsidads intrmdiárias, na tntativa d s obtr soluçõs binárias para os lmntos, ou sja, l dv possuir matrial ou aprsntar ausência dl. Finalmnt, é nsta tapa qu o modlo da strutura é dfinido. El dv contr as condiçõs d contorno também as solicitaçõs aplicadas à strutura dv sr discrtizado. Algumas propridads do modlo, tal como o númro d nós, númro d lmntos, tc., são lidos, a partir do dimnsionamnto dstas variávis, variávis auxiliars são criadas Anális Estrutural Com a malha já grada, nsta tapa as quaçõs do método d lmntos finitos são rsolvidas, o qu é ralizado dirtamnt plo ANSYS Cálculo da Função Objtivo Anális da Snsibilidad Calcula a função objtivo, acha o valor do multiplicador d Lagrang com o método da dicotomia analisa a snsibilidad da função objtivo m rlação à variação da variávl d projto (Eq.(7)): a psudo-dnsidad Rstriçõs d Manufatura As rstriçõs dfinidas plo projtista para uma dada strutura são implmntadas no código d otimização. A rstrição d manufatura nst trabalho faz com qu lmntos d um msmo grupo adotm as msmas propridads, ou sja, no caso d uma rstrição d tiras vrticais, todos os lmntos dsta tira dvm aprsntar msma psudodnsidad. Para isso pod-s calcular uma média das snsibilidads dsts lmntos, calculada sgundo a Eq. (7), aplicá-la igualmnt a todos os lmntos do grupo. Isto garant qu todos aprsntm a msma psudo-dnsidad após o critério da otimalidad Critério da Otimalidad Aplicam-s, vntualmnt, filtros, qu dvm atuar dirtamnt no gradint da função objtivo. Nsta tapa também é aplicado o critério da otimalidad, ond o novo vtor psudo-dnsidad é calculado, como mostrado na quação (5) Critério d Convrgência É Vrificada a convrgência do procsso itrativo. O critério d parada é dfinido plo usuário é dfinido pla difrnça ntr a dnsidad d um lmnto m duas itraçõs conscutivas. Val lmbrar qu quanto mais rigoroso st critério, maior srá o tmpo d procssamnto, já qu mais itraçõs srão ncssárias para s atingir a convrgência Pós-Procssamnto São grados os rsultados da simulação, tanto na forma d imagns, como também tablas gráficos. Foi grada uma imagm da strutura analisada com as psudo-dnsidads calculadas para os lmntos. A imagm rprsnta as rgiõs mais mnos solicitadas da strutura, d forma qu as rgiõs mnos solicitadas são caractrizadas pla ausência d matrial, nquanto qu as rgiõs mais solicitadas são caractrizadas pla prsnça d matrial. 4. Vrificação da Mtodologia: Placa Plana A título d vrificação da mtodologia aprsntada, um xmplo bastant simpls d uma placa plana foi simulado Modlo Est xmplo considra uma placa plana quadrada, ngastada m um dos lados apoiada m um dos cantos opostos ao ngast. A placa stá sujita a uma força prpndicular à sua suprfíci no outro canto, como mostrado na Figura (2).

5 O matrial scolhido foi o aço, cujo módulo d lasticidad é rstrição volumétrica é d 40% do volum inicial. Figura 2: Modlo da placa plana submtida ao MOT. E = 210GPa o coficint d Poisson ν = 0, 3. A F Otimização da Placa Plana F 2 Os rsultados aprsntados na Figura (3) mostram a volução ao longo do procsso itrativo d otimização topológica. Foram ralizadas 30 itraçõs, mas caso o procsso convirja, d forma qu uma itração não aprsnt mais volução significativa m rlação à antrior, o algoritmo é finalizado. As figuras aprsntam a distribuição d massa na placa, ond o azul scuro rprsnta ausência d matrial (lmnto vazio) o vrmlho, dnsidad unitária. Val notar qu ao longo do procsso o númro d lmntos com psudo-dnsidads intrmdiárias vai dcrscndo, d forma qu no final os lmntos são praticamnt com ou sm matrial. Figura 3: Distribuição d massa na placa plana ao longo do procsso d OT. Em s tratando d um xmplo bastant simpls, o rsultado obtido não pod sr considrado surprndnt, mas sim, cornt intuitivo. Como a aplicação da força o apoio simpls stão localizados nos cantos opostos ao ngast da placa, ra d s sprar qu as rgiõs do ngast mais próximas aos cantos fossm mais solicitadas, ou sja, rgiõs opostas à aplicação da força. Assim, part da rgião ngastada aprsnta ausência d matrial, a strutura ótima obtida é praticamnt simétrica Otimização do Rforçamnto da Placa Plana Para o rforçamnto da strutura é adicionada uma sgunda camada d matrial. A primira camada, a strutura, não é altrada, d forma qu o MOT é aplicado somnt ao rforçamnto, rstrito à sgunda camada. Estruturas com mais do qu uma camada também são conhcidas como multilayr. O algoritmo d otimização para o rforçamnto da placa é xatamnt igual ao utilizado para a otimização da placa. A difrnça consist na dfinição das propridads do matrial, qu apnas dvm sr dfinidas com duas camadas. As psudo-dnsidads dvm sr aplicadas somnt a uma camada, a do rforçamnto. A sqüência d imagns aprsntadas na Figura (4) mostra a volução do procsso d OT para o rforçamnto da placa. Difrntmnt da otimização da strutura sm rforçamnto, foram ncssárias 75 itraçõs até s obtr um rsultado considrado satisfatório (convrgnt). Isto s dá porqu a variação da psudo-dnsidad d uma itração para a outra dpnd da anális d snsibilidad da strutura. A anális d snsibilidad md a variação da flxibilidad m função da variação das psudo-dnsidads da strutura. No caso da placa sm rforçamnto aprsntada, a variação das psudo-dnsidads xrc grand influência na snsibilidad, consquntmnt, na vlocidad d convrgência da otimização. Já no caso da placa com rforçamnto, a influência da variação da psudo-dnsidad do rforçamnto é amnizada pla rsistência à flxão da própria strutura, qu não é modificada plo método d otimização topológica aprsnta, portanto, lmntos chios.

6 Dsta forma, o fator mais rlvant na vlocidad d convrgência do procsso d otimização é a razão ntr as spssuras da strutura do rforçamnto. Quando maior for o rforçamnto m rlação à strutura, mais rápida srá atingida a convrgência. Figura 4: Evolução do procsso d OT para o rforçamnto da placa plana. Como pod sr obsrvado, o rsultado obtido para o rforçamnto da placa plana é bastant difrnt daqul obtido para a otimização da strutura sm rforçamnto,, apsar d não sr intuitivo, o rsultado é cornt. A utilização d duas barras parallas para rduzir a flxão d uma strutura plana é bastant usual Rstriçõs d Manufatura Frquntmnt o procsso d otimização topológica gra soluçõs qu, apsar d srm ótimas, são inxqüívis, do ponto d vista da Engnharia. Como altrnativa, podm sr implmntadas no algoritmo d otimização rstriçõs d manufatura, qu impõm limitaçõs à gomtria otimizada dvm sr aplicadas conform a ncssidad do projto. Nst trabalho foram implmntadas três tipos d rstriçõs d manufatura: Rptição d Padrõs: ond um padrão srá rptido por toda a xtnsão da strutura. Nst caso, a gomtria dst padrão é dtrada plo procsso d OT d acordo com as dformaçõs da strutura toda; Rstrição d Tiras: tiras, rprsntando barras rtas, mprgadas no msmo sntido. Foram utilizadas barras horizontais vrticais. Simtria: a gomtria obtida d um lado do rforçamnto dv s splhar do outro. Foram implmntadas rstriçõs d simtria horizontal vrtical. A Figura (5) aprsnta o rsultado obtido para o procsso d OT para o rforçamnto da placa plana com difrnts rstriçõs d manufatura. Nota-s qu, para o caso d rstrição d tiras horizontais, o rsultado s assmlha ao ótimo sm rstrição, mas st aprsnta grand dificuldad d convrgência, já qu a grand quantidad d lmntos xistnts m um msmo grupo (a tira horizontal) suaviza o fito da snsibilidad d cada lmnto ao calcular a média das snsibilidads. Já no procsso d otimização com rstrição d tiras vrticais, a simulação não dmonstrou a ncssidad d rforçamnto m uma rgião d forma significativa. Est rsultado não dv sr ncarado como ruim. O projtista dv tr a prcpção d qu sta rstrição d manufatura não é aconslhávl para sta aplicação. Ambos os casos d rstrição d simtria forncram distribuição d massa bastant próxima ao do caso sm rstriçõs. Em primiro lugar, a placa plana otimizada já aprsnta alto grau d simtria tanto horizontal como vrtical. Em sgundo, o fato d cada grupo possuir apnas dois lmntos (simétricos) faz com qu a snsibilidad dls sja bm mais significant. Finalmnt, a rstrição d rptição d padrão aprsnta o cntro dos padrõs com alta psudo-dnsidad, o qu condiz com as barras horizontais prsnts no rforçamnto otimizado. Já as rgiõs suprior infrior do padrão não ncssitam d rforçamnto. Figura 5: Otimização topológica com rstrição d manufatura. (a) rstrição d tiras vrticais; (b) rstrição d tiras horizontais; (c) simtria horizontal; (d) simtria vrtical () rptição d padrão.

7 5. Caso Prático: Caixa d Prssão Como um caso prático foi scolhido uma caixa d prssão. Esta consist m uma caixa rtangular, sujita a uma prssão intrna, similar a um vaso d prssão, porém, rtangular. Na tntativa d aproximar a caixa d prssão à ralidad, foram xtraídos dados rais d um vaso d prssão, mas aplicados à caixa d prssão: largura altura A = 0, 66m ; comprimnto L = 1, 98m prssão intrna P = 0, 827MPa. Para a aplicação do método d otimização é adotado fator d pnalização p = 3, fração volumétrica f v = 0, 4. As propridads do matrial são às do aço, as msmas utilizadas para a placa plana. Como a caixa d prssão é simétrica, apnas um oitavo dla foi simulado. A Figura (6) aprsnta o modlo otimizado da caixa d prssão, bm como a aplicação d rstriçõs d manufatura no msmo modlo. Nota-s qu, no modlo otimizado, as rgiõs d junção ntr latrais são as mais críticas, nquanto qu o canto (rgião d intrscção das três parts) aprsnta a rgião d mínima psudo-dnsidad, ou sja, mnos solicitada. No caso d rstrição d tiras vrticais há uma fort concntração d lmntos d psudo-dnsidad unitária. Por um lado, st rsultado é pouco intuitivo, já qu sta solução difr muito do caso sm o mprgo d rstrição d manufatura. Por outro lado, o mprgo d tais rstriçõs pod lvar a soluçõs totalmnt difrnts do qu o sprado, nst caso, o mprgo d uma larga faixa com alta psudo-dnsidad rduz fortmnt a flxibilidad da strutura na rgião, tanto qu do lado dirto dsta faixa, o procsso d otimização não aponta a ncssidad d rforçamnto (lmntos d baixa psudo-dnsidad, infriors a 0,3). Quando a dformação das latrais da caixa d prssão é obsrvada, prcb-s qu la é pouco dformada na rgião com rforçamnto, nquanto qu do lado squrdo já aprsnta ondulaçõs. Val notar qu st rsultado s assmlha com a construção d um barril, ond dois rforçamnto mtálicos são comumnt mprgados para garantir a rigidz da strutura. Já o caso da rstrição d tiras horizontais aprsnta um gradint no rforçamnto, com a rgião da junção das latrais com lmntos d psudo-dnsidads unitárias na xtrmidad infrior das latrais, ausência d rforçamnto. Quando s compara o rsultado com o rforçamnto sm rstriçõs, st mostra-s totalmnt cornt. Figura 6: Caixa d prssão (a) otimizada; (b) com rstrição d tiras vrticais; (c) com rstrição d tiras horizontais. 6. Conclusõs Inicialmnt o código d otimização topológica foi implmntado aplicado a struturas bastant simpls. Foi visto qu o método é bastant gnérico pod sr aplicado a difrnts struturas, consguindo obtr soluçõs ficints. Ao s aplicar o método d otimização topológica ao rforçamnto d struturas utilizando-s d lmntos d casca compostos, multilayr, obsrvou-s qu o a distribuição d massa (psudo-dnsidads) obtida é bastant difrnt do rsultado da otimização topológica da strutura não rforçada. O mprgo d rstriçõs d manufatura pod pnalizar a ficiência do projto d otimização, mas por outro lado, assgura qu st siga rstriçõs impostas plo projtista. Dsta forma pod-s obtr soluçõs qu são ótimas xqüívis, não ótimas tóricas. Porém o rsultado pod, muitas vzs, aprsntar grand quantidad d psudodnsidads intrmdiária o qu dificulta a intrprtação dos rsultados. O fato d um procsso d otimização topológica com o mprgo d rstriçõs d manufatura rsultar m uma solução com grand quantidad d psudo-dnsidads intrmdiárias pod significar qu la simplsmnt não é adquada àqula aplicação, não qu foi mal implmntada ou qu aqul tipo d rstrição sja ruim. Flizmnt o método d Otimização Topológica s mostrou bastant ficint m todos os casos simulados consguindo rduzir a flxibilidad da strutura. Todas as rstriçõs d manufatura simuladas possibilitaram análiss bastant compltas, msmo quando s chgou à conclusão d qu la não ra a mais adquada para a aplicação, como foi no caso da rstrição d tiras vrticais para a placa plana.

8 7. Rfrências Bndsø, M. P.; Sigmund, O.,1999. Matrial Intrpolations in Topology Optimization, Arch. Appl. Mch. 69, Bndsø, M. P.; Sigmund, O.,2003. Topology Optimization. Thory, Mthods and Applications, Springr, Brlin. Lippi, T. N., Rstriçõs d Manufatura aplicadas ao Método d Otimização Topológica, Dissrtação (Mstrado) Escola Politécnica, Univrsidad d São Paulo, pp. 76. Lops, R. A., Otimização Topológica Aplicada ao Projto d Estruturas Submtidas a Forças d Campo Mcânicas, Dissrtação (Mstrado) Escola Politécnica, Univrsidad d São Paulo. PLATES AND SHELLS REINFORCEMENT DESIGN USING TOPOLOGY OPTIMIZATION METHOD Valtr Untrbrgr Filho valtruf@googlmail.com Abstract. This projct has as goal th implmntation of th Topology Optimization Mthod (TOM) to dsign rinforcmnt of plats and shlls in ordr to imiz complianc. In a first action th TOM will b applid to vry simpl structurs (for thory validation) and thn, will b improvd to support multi-layrd shll structurs. For th solution of th FEM th commrcial softwar ANSYS is usd. Th algorithm programg is writtn using APDL (ANSYS Paramtric Dsign Languag). At last, manufacturing constraints will b insrtd into th cod, so that th optimizd structurs ar abl to b manufacturd. Kywords. Topology optimization, ANSYS, plat rinforcmnt, shll rinforcmnt