com atrito Universidade Estadual de Santa Cruz, DCET, Ilhéus, BA

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Tomás Franca Gorjão
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Rvista Cintífica do Dpartamnto d Química Exatas volum 1 númro ano 1 páginas 7-3 Univrsidad Estadual do Sudost da Bahia Jquié - Bahia Corpo dslizando sobr uma suprfíci sférica convxa com atrito A. J. Mania 1 E.

1 Rvista Cintífica do Dpartamnto d Química Exatas volum 1 númro ano 1 páginas 7-3 Univrsidad Estadual do Sudost da Bahia Jquié - Bahia Corpo dslizando sobr uma suprfíci sférica convxa com atrito A. J. Mania 1 E. Mania 1 Univrsidad Estadual d Santa Cruz, DCET, Ilhéus, BA Univrsidad d S. Paulo, IFSC, São Carlos, SP mania@usc.br, drian_mania@hotmail.com Rsumo É proposto o studo da dinâmica d um bloco qu s mov sobr uma suprfíci sférica, convxa, sob a ação dos atritos d Coulomb viscoso. Prtnd-s obtr soluçõs analíticas gráficas sob divrsas situaçõs d intrss. Palavras-chav: forças d atrito, suprfíci sférica, nrgia. Abstract Th study of th dynamic of a block is considrd whn it movs on a convx surfac with both Coulomb's and fluid friction ar prsnt. It is intndd to obtain analytical solutions and plotting for svral situations of intrst. Kywords: friction forcs, sphrical surfac, nrgy. Introdução Em cursos d mcânica é aprsntado o problma d um corpo qu stá dslizando m uma suprfíci sférica sm atrito até o ponto ond la dcola continua caindo m quda livr [1,]. Há também o caso ond o corpo rola sm dslizamnto. Um método ficint qu pod sr usado na rsolução dss problma é o Multiplicadors d Lagrang. Ests são problmas bm conhcidos. Uma variação é introduzir o atrito cinético ntr suprfícis, dfinir uma vlocidad adimnsional, obtr soluçõs analíticas graficar situaçõs rlvants [3]. Um caso mais complto é considrar quando ambas as forças d atrito stão prsnts, como F µ Nθˆ a (força d Coulomb) F β v θˆ v (força d naturza viscosa). Esta última rprsnta o fito da prsnça atmosférica, por xmplo. Estamos considrando qu a magnitud dsta força viscosa sja proporcional ao quadrado da vlocidad, m vz d linarmnt proporcional, o qu torna possívl a combinação com o trmo cntrípto. Soluçõs analíticas são possívis casos mais compltos são ntão obtidos [4]. A constant d proporcionalidad β com dimnsão [massa/comprimnto] é um parâmtro intrínsco qu dpnd da ára d contato A do bloco com o mio qu provoca a fricção, bm como do coficint d viscosidad κ ond o bloco stá imrso. Esta pod sr scrita como β κ A. Então, considrando um bloco qu dsliza sobr uma suprfíci sférica convxa, d raio R, dsd um ponto d posição angular θ rlativa à linha vrtical passando plo su cntro, Fig.1, usando a sgunda Li d Nwton, tmos as quaçõs, ma mg sn θ µ N β v N mg cosθ mv K nas dirçõs tangncial ( θˆ ) normal ( rˆ ), rspctivamnt. K é o raio da trajtória dscrita plo cntro d massa do bloco. Agora, scrvndo, 7

2 Rvista Cintífica do Dpartamnto d Química Exatas volum 1 númro ano 1 páginas 7-3 Univrsidad Estadual do Sudost da Bahia Jquié-Bahia Figura 1 - Forças qu atuam m um bloco d massa m dslizando sobr uma suprfíci sférica d raio R. O bloco tm altura h, su cntro d massa xcuta uma trajtória d raio KR+h. No instant mostrado, l stá localizado m um ângulo θ com rspito ao ixo vrtical. a dt dt v K 1 K, (1) dv m qu γ V ( snθ µ cosθ ), () V v gk é uma vlocidad adimnsional γ ( µ β K m) é o fator d atrito. Esta quação pod sr facilmnt rsolvida s multiplicarmos ambos os lados por squrdo dsta quação uma difrncial xata, d θ ( V ) γ γ θ ( ) sn θ µ cosθ γ θ. Sndo o lado. (3) Agora, intgrando com a ajuda d uma tabla d intgrais, dsd um ângulo inicial θ até um ângulo final θ, rarranjando os trmos, s obtém, V { } γ 1 V 1 + γ ( θ θ ) γ ( θ ) ( 1 µ γ ) cosθ + ( µ + γ ) snθ [( 1 µ γ ) cosθ + ( µ + γ ) sn θ ] θ. (4) Em particular, daqui para a frnt, vamos considrar a situação para θ, i.., o bloco part do topo da suprfíci justamnt como no caso convncional sm atrito. A solução final para a vlocidad adimnsional, torna-s, V V K µ β θ m 4µ µ + K β m K µ β θ m 1 + K 4 µ m cosθ β 6µ + K 4 β snθ m. (5) S o caso sm a força viscosa é para sr considrado, ntão rcupramos a solução conhcida[3], µ θ ( 4µ ) ( cosθ ) µ θ 6µ snθ V V +. (6) 1 + 4µ 8

3 Rvista Cintífica do Dpartamnto d Química Exatas volum 1 númro ano 1 páginas 7-3 Univrsidad Estadual do Sudost da Bahia Jquié-Bahia Na Eq. 5, há duas possibilidads para o movimnto do bloco. Ou l chga ao rpouso sobr a suprfíci, ou l prd o contato com a sfra dcola. É sprado qu a primira situação ocorra s houvr um valor d θ ntr 9 para a qual V. Na sgunda situação o bloco dcola da sfra s a componnt da força normal for igual a zro. Esta condição é ncontrada d N mg ( cosθ V ), substituindo a xprssão para V, rarranjando os trmos dntro da intgral s obtém, N γ ( θ θ ) ( 3 µ γ + γ ) cosθ + ( µ + γ ) sn θ ( 1 µ γ ) 1 + γ V γ θ. (7) A nrgia dissipada plas forças d atrito quando o bloco transita por um comprimnto também sr xplorada. Fazndo, dw f ( F + F ) K ( µ N + β v ) K a v Kd θ pod. (8) A nrgia total W f gasta pod sr ncontrada por intgrar sta última xprssão, ou tomando o ngativo da difrnça ntr as nrgias potncial cinética. Isto vai rsultar m, γ θ γ θ ( µ + γ ) ( γ cosθ snθ ) + ( 1 µ γ ) V ( 1 ) W f mgk 1. (9) 1 + γ Discussão Para propósito d simplificação usarmos K 1. m m 1. kg nsta sção. Nas Figs. (-4) stão rproduzidas soluçõs numéricas m forma d gráficos d V vrsus θ, Eq. 5, m três situaçõs altrnadas com a prsnça ou não do atrito. Figura - Curvas comparativas m situaçõs dinâmicas com a prsnça do atrito ntr as suprfícis, para a vlocidad adimnsional como uma função do ângulo θ. As curvas foram truncadas ants do bloco dcolar, ou ants d atingir o ponto d rpouso. Os parâmtros µ, β V, com V sndo a vlocidad adimnsional inicial no topo da sfra, stão xibidos também. Para rfrência, a curva padrão sm atrito é mostrada. A scolha dos valors para a 9

4 Rvista Cintífica do Dpartamnto d Química Exatas volum 1 númro ano 1 páginas 7-3 Univrsidad Estadual do Sudost da Bahia Jquié-Bahia vlocidad inicial o coficint d atrito cinético são apropriados para xibir casos rlvants do movimnto do bloco quando st dsliza no trajto sférico. Figura 3 - Curvas comparativas m situaçõs dinâmicas com a prsnça do atrito viscoso, para a vlocidad adimnsional como uma função do ângulo θ. Figura 4 - Curvas comparativas da vlocidad adimnsional como uma função do ângulo θ, m situaçõs dinâmicas com a prsnça d ambas as forças d atritos. O movimnto comça no topo com V V prossgu até trminar contatando o ixo horizontal ou alcançar a vlocidad d scap, dpndndo daquilo qu ocorrr primiro. Nos casos nos quais a força d atrito d Coulomb stá prsnt a vlocidad inicial V não pod sr zro, pois do contrário o atrito vai mantr o bloco m quilíbrio stávl no topo da suprfíci. Já a prsnça da força d atrito viscosa tm como função rtardar o movimnto, diminuindo a força cntrípta, mbora a situação dinâmica sja a msma, as curvas difrm, inclusiv no ponto d scap da suprfíci. Também é intrssant studar situaçõs nas quais o bloco mais s aproxima do quador d su trajto na suprfíci sférica quando sujito a ssas forças. Da Eq. 5, colocando V para θ π, rsolvndo para V, fornc, π γ V ( µ γ ) + ( µ + γ ) 1 (1) 1 + γ 3

5 d volta, pondo θ π δ, para obtr, V µ β Rvista Cintífica do Dpartamnto d Química Exatas volum 1 númro ano 1 páginas 7-3 Univrsidad Estadual do Sudost da Bahia Jquié-Bahia [ ( 1 + µ µ β ) sn δ ( 3µ β ) cosδ ] K m com os casos limits V sn δ (3 µ ) cosδ V 1 β cosδ quando β µ, rspctivamnt. Estas soluçõs formam a rgião limitant para o movimnto do bloco nvolvido com a prsnça do atrito. Solução com os valors limitants d µ β 4, uma vlocidad adimnsional d,99996 é mostrada m tracjado. Nas Figs. (5-7) são mostradas soluçõs numéricas m forma d gráficos das nrgias dissipadas plas forças d atrito, d acordo com a Eq. 9, m situaçõs dinâmicas concomitants com os casos antriors. (11) Figura 5 - Curvas comparativas m situaçõs dinâmicas da nrgia dissipada pla prsnça da força d atrito ntr suprfícis. Figura 6 - Curvas comparativas m situaçõs dinâmicas da nrgia dissipada pla prsnça da força d atrito viscosa. 31

6 Rvista Cintífica do Dpartamnto d Química Exatas volum 1 númro ano 1 páginas 7-3 Univrsidad Estadual do Sudost da Bahia Jquié-Bahia Figura 7 - Curvas comparativas m situaçõs dinâmicas da nrgia dissipada pla prsnça d ambas as forças d atrito. Finalizando, pod sr dito qu o studo da dinâmica do bloco qu dsliza sobr uma suprfíci d formato sférico, s traduz m um xclnt método d trinamnto discnt no qu tang a obtr soluçõs numéricas gráficas, sndo d utilidad nas disciplinas d curso básico d física computacional. Agradcimntos Os autors são gratos à Univrsidad Estadual d Santa Cruz plo apoio incntivo durant a ralização dst trabalho. Rfrências [1] Uma xclnt xposição stá na página do Prof. Á. F. García, Física con ordnador - Curso Intractivo d Física n Intrnt. ; [] Página traduzida para o português plo Prof. Evrton G. d Santana, d Física con ordnador Curso Intractivo d Física n Intrnt. [3] C. Mungan, Sliding on th surfac of a rough sphr. Th Physics Tachr, vol 41, Sptmbr 3. [4] A. J. Mania, A. W. Mol and C. S. S. Brandão, Sliding Block on a Smicircular Track with Friction. Rvista Brasilira d Ensino d Física, vol. 4, no. 3, stmbro. 3

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