THAIS HELENA SANTANA DE OLIVEIRA ESQUEMAS DE CÁLCULO DA CONDUTIVIDADE TÉRMICA NAS FACES DE VOLUMES FINITOS

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1 HAIS HELENA SANANA DE OLIVEIRA ESQUEMAS DE CÁLCULO DA CONDUIVIDADE ÉRMICA NAS FACES DE VOLUMES FINIOS rabalo d Graduação aprsntado como rquisito parcial para a conclusão do Curso d Engnaria Mcânica, Stor d cnologia, Univrsidad Fdral do araná. Orintador: rof. Dr. Carlos Hnriqu Marci CURIIBA 008

2 FOLHA DE AROVAÇÃO rabalo d Conclusão d Curso dfndido pla aluna HAIS HELENA SANANA DE OLIVEIRA aprovado m 8 d dzmbro d 008 pla banca julgadora: rof. Luciano Kiyosi Arai, D. Sc. rof. Ricardo Carvalo d Almida, D. Sc. rof. Carlos Hnriqu Marci, Dr Eng.

3 RESUMO Muitos problmas m ngnaria têm sus modlos matmáticos rsolvidos numricamnt. ara rsolvr problmas qu nvolvm fnômnos na ára d dinâmica dos fluidos, usualmnt, utiliza-s o método dos volums finitos como método numérico para solução das quaçõs difrnciais parciais. Aproximaçõs são fitas para s obtr o valor da propridad d transport nas facs dos volums. Nst trabalo são rsolvidos analítica numricamnt cinco problmas físicos utilizando, além dos métodos usuais (média armônica média aritmética), outros cinco squmas para cálculo da condutividad térmica nas facs. O objtivo principal é avaliar o dsmpno dsts métodos m rlação ao rro d discrtização. O dsmpno dos squmas foi distinto para cada um dos cinco problmas. Quando utilizadas aproximaçõs d difrnças cntrais para cálculo d, m pards compostas por dois mios, obsrvou-s uma rdução na ordm d acurácia do rro d discrtização d a para 1 a ordm. alavras-cav: condutividad térmica, rro numérico, rro d discrtização, volums finitos.

4 LISA DE SÍMBOLOS A A a,b B C CDS CFD E E EE E M F g L m MDF MEF MVF N,Q p E p L p V S t DMA u UDS matriz dos coficints ára coficints rsultants da discrtização matriz do trmo font coficint da Equação Gral do Erro Cntral Diffrnc Scm Computational Fluid Dynamics rro d discrtização vizinos à dirita do ponto fac dirita do volum d control norma do rro numérico ao longo do domínio constant dos trmos advctivos dnominação dos pontos d intgração no método d Gauss spaçamnto da mala condutividad térmica spssura da pard númro d pontos finitos posicionados ntr E Método d Difrnças Finitas Método dos Elmntos Finitos Método dos Volums Finitos númro d pontos ou volums d control ponto gral do volum d control variávis auxiliars do método DMA ordm ftiva ordm assintótica ordns vrdadiras trmo font tmpratura tmpo ridiagonal Matrix Algoritm vtor vlocidad Upwind Diffrncing Scm

5 W WW vizinos à squrda do ponto x coordnada spacial, posição no domínio w psos dos pontos d intgração no método d Gauss Ltras Grgas x Φ Φ ρ Γ distância ntr dois nós conscutivos solução numérica da variávl d intrss solução analítica xata da variávl d intrss massa spcífica do fluido coficint d difusão Subíndics a,b pontos intrmdiários localizados ntr E fac localizada à dirita do ponto gral E ponto localizado à dirita do ponto gral ponto gral nodal w fac localizada à squrda do ponto gral W ponto localizado à squrda do ponto gral 1 mala fina mala grossa

6 SUMÁRIO 1 INRODUÇÃO ROBLEMA MOIVAÇÃO OBJEIVO ESRUURA DO RABALHO... 7 REVISÃO BIBLIOGRÁFICA O MÉODO DOS VOLUMES FINIOS Formulação do roblma Discrtização do domínio d cálculo Discrtização do modlo matmático Obtnção da solução numérica AROXIMAÇÕES NUMÉRICAS ARA AS RORIEDADES Média Aritmética Esquma Média armônica Esquma Média aritmética das tmpraturas nodais Esquma Média armônica d - prfil linar com inclinação constant ntr E Esquma Média armônica d - prfil linar com inclinaçõs difrnts ntr E Esquma Intgração d Gauss Esquma VERIFICAÇÃO DA SOLUÇÃO NUMÉRICA MEODOLOGIA FORMULAÇÃO DO ROBLEMA Modlo Matmático Condiçõs d Contorno domínio d cálculo Variávis d intrss Dfinição dos roblmas DISCREIZAÇÃO DO DOMÍNIO DE CÁLCULO DISCREIZAÇÃO DO MODELO MAEMÁICO Coficints dos volums intrnos Aplicação das condiçõs d contorno OBENÇÃO DOS RESULADOS Algoritmo VERIFICAÇÃO DE SOLUÇÕES NUMÉRICAS RESULADOS ROBLEMA ROBLEMA ROBLEMA ROBLEMA ROBLEMA CONCLUSÃO REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS... 49

7 5 1 INRODUÇÃO Nst capítulo dfin-s o problma tratado no prsnt trabalo, m sguida são aprsntados a motivação objtivos do trabalo. or fim s dscrv a strutura aplicada a st documnto. 1.1 ROBLEMA O problma abordado nst trabalo é a anális do comportamnto d difrnts métodos d aproximaçõs numéricas para o cálculo da condutividad térmica nas facs dos volums d control m problmas d difusão advcção. 1. MOIVAÇÃO roblmas d ngnaria podm sr rsolvidos por três métodos: métodos xprimntais, analíticos ou numéricos. Os métodos xprimntais nvolvm a configuração ral do problma, não podndo muitas vzs sr implmntado dvido aos altos custos /ou à dificuldad d s rproduzir adquadamnt o fnômno. Os métodos analíticos prmitm dtrminar a solução xata, mas nvolvm muitas simplificaçõs, o qu o torna viávl somnt às aplicaçõs bastant spcíficas. No ntanto, os métodos numéricos podm sr aplicados a uma grand divrsidad d problmas, porqu aprsntam mnos rstriçõs. A ára do concimnto dnominada d Dinâmica dos Fluidos Computacional (CFD) consist na aplicação d métodos numéricos m problmas qu nvolvam fnômnos físicos nas áras d mcânica dos fluidos, transfrência d calor massa combustão. Optando s plo método numérico, é ncssária inicialmnt a dfinição d um modlo matmático para o problma. Aplicando-s um método numérico a um modlo matmático qu rprsnt um fnômno físico ral, obtém-s uma simulação ou solução numérica. O método numérico consist na discrtização das quaçõs qu rprsntam o fnômno d intrss, ou sja, aproximar as suas drivadas através d um sistma algébrico d quaçõs qu, quando rsolvido, fornc os valors das variávis m pontos discrtos no

8 6 tmpo /ou spaço. Existm três principais corrnts d métodos para a solução numérica d quaçõs difrnciais: difrnças finitas, volums finitos lmntos finitos. O método das difrnças finitas (MDF) o método dos lmntos finitos (MEF) não trabalam com volums d control, mas com pontos da mala, o qu não confr caractrísticas consrvativas às propridads, limitando a intrprtação física dos problmas. No método dos volums finitos, o domínio d cálculo é dividido m volums d control qu são dlimitados por facs, ou suprfícis, nas quais as propridads d transport dvm tr sus valors ncssariamnt concidos, ou calculados. Quando a propridad aprsnta dscontinuidads ou gradints ao longo do domínio d cálculo, é ncssário aplicar os camados squmas numéricos para dtrminar su valor. Nst trabalo os problmas são d difusão advcção. Em problmas dssa naturza, a propridad d transport é a condutividad térmica. Atualmnt os dois métodos mais utilizados m aproximaçõs são as médias aritmética armônica dos valors nodais da condutividad térmica. Divrsos autors dsnvolvram aprsntaram outros métodos na litratura, mas até oj a média armônica é a mais consagrada. Assim como no rsultado xprimntal, a solução numérica aprsnta crto nívl d rro, qu é causado plo mprgo d alguma aproximação numérica no modlo matmático. Dvido ao aparcimnto dsss rros é ncssário um procsso d vrificação para garantir a acurácia a confiabilidad dos valors ncontrados. O procsso d vrificação é utilizado para quantificar o rro numérico. El md quão bm o modlo matmático é rsolvido numricamnt. ara mdir a fidlidad do modlo matmático com o fnômno físico é utilizado o procsso d validação. Est faz a comparação ntr os rsultados numéricos xprimntais. Muitos problmas m ngnaria têm sus modlos matmáticos rsolvidos numricamnt. or isso sforços são fitos para mlorar a qualidad dos rsultados numéricos, ou sja, a acurácia a confiabilidad dos valors ncontrados. Com o objtivo d rduzir os rros, novos métodos d aproximaçõs são dsnvolvidos analisados. 1.3 OBJEIVO rtsci (008) rsolvu numricamnt cinco problmas unidimnsionais difusivos advctivos. Foram utilizados st métodos difrnts para o cálculo da condutividad térmica na fac do volum d control. Não foi possívl analisar a utilização dsss squmas

9 7 m malas muito finas dvido à grand influência d rros d arrdondamnto na solução numérica. O objtivo principal dst trabalo é calcular o rro numérico médio da tmpratura analisar o su comportamnto m rlação ao rfino da mala para os msmos problmas squmas tratados por rtsci (008). Espra-s alcançar st objtivo com o uso d uma prcisão computacional maior. rtnd-s com isso rduzir os rros d arrdondamnto. A prcisão computacional utilizada é quádrupla. 1.4 ESRUURA DO RABALHO No sgundo capítulo é aprsntada uma rvisão bibliográfica sobr o método dos volums finitos uma dscrição dtalada dos squmas d cálculo das propridads nas facs dos volums d control. Concitos importants sobr vrificação numérica são também abordados. No trciro capítulo é dscrita a mtodologia utilizada para rsolução dos problmas adotados nst trabalo. A mtodologia consist na formulação do problma, discrtização do domínio d cálculo, discrtização do modlo matmático, obtnção dos rsultados vrificação d soluçõs numéricas. No quarto capítulo, são xpostos os rros numéricos aprsntados na rsolução dos cinco problmas para os difrnts squmas. E por fim, as conclusõs são xpostas no quinto capítulo, juntamnt com as rcomndaçõs para futuros trabalos.

10 8 REVISÃO BIBLIOGRÁFICA Est capítulo aprsnta uma rvisão bibliográfica sobr o método dos volums finitos. Em sguida são aprsntadas algumas aproximaçõs numéricas para o cálculo da condutividad térmica. Ao final do capítulo, é fita uma brv dscrição da vrificação d rros numéricos..1 O MÉODO DOS VOLUMES FINIOS A solução numérica d um modlo matmático é obtida através d um método numérico. Sgundo Malisa (004), um método numérico m CFD tm como objtivo rsolvr uma ou mais quaçõs por xprssõs algébricas nvolvndo a variávl dpndnt, ou incógnita. O valor da variávl indpndnt é calculado para um númro finito d pontos do domínio, ou sja, d forma discrta. Espra-s qu, quanto maior o númro d pontos no domínio scolido, mnor sja a difrnça ntr a solução numérica analítica, isto é, mnor s aprsnt o rro numérico. Em CFD, é important qu as quaçõs d consrvação sjam satisfitas para qu a solução do scoamnto stja corrta. Um método qu atnd a st rquisito é o método dos volums finitos, ou método dos volums d control (MALISKA, 004). El s dstaca dos dmais métodos numéricos dvido a sua capacidad d tratar adquadamnt as nãolinaridads, tais como a advcção. A obtnção da solução numérica plo método dos volums finitos pod sr dividida nas sguints tapas: formulação do problma; discrtização do domínio d cálculo; discrtização do modlo matmático; solução do sistma d quaçõs. A sguir, tm s, m linas grais, uma noção das tapas mncionadas acima. No Capítulo 3 é aprsntada a mtodologia para a solução numérica d cinco problmas propostos usando-s o método dos volums finitos, nl as tapas são mais dtaladas.

11 9.1.1 Formulação do roblma A formulação do problma é obtida através da dfinição do modlo matmático, das condiçõs d contorno, das propridads dos matriais da gomtria do domínio d cálculo. O modlo matmático para a transfrência d calor, o scoamnto d fluidos a transfrência d massa pod sr xprssa pla Eq..1, ( ρφ ) + ( ρuφ) = ( Γgradφ) + S (.1) t ond t rprsnta o tmpo, ρ a massa spcífica do mio, φ uma propridad consrvada, u vtor vlocidad, Γ o coficint d difusão S o trmo-font. O primiro trmo é o trmo transint, rfrnt à taxa d variação d φ do lmnto d fluido. Em sguida vm o trmo convctivo, rprsnta o fluxo d φ no lmnto d fluido. O trciro é o trmo difusivo, qu corrspond à taxa d variação d φ dvido à difusão. O último é o trmo font, qu fornc a taxa d aumnto d φ dvido às fonts..1. Discrtização do domínio d cálculo No caso d volums finitos, é grada uma mala sobr o domínio qu consist m um conjunto d volums d control sobr os quais a solução numérica é obtida (SCHNEIDER, 007). As figuras.1.a..1.b mostram qu para uma discrtização por volums finitos xistm duas situaçõs para os volums qu contêm a frontira: volum intiro ou mio volum. Do ponto d vista da implmntação, das condiçõs d contorno, o sgundo caso é mais fácil d sr implmntado uma vz qu os nós dos volums stão sobr as frontiras. O primiro caso, Fig. (.1.a), é prfrida porqu facilita a gnralização do cálculo dos coficints, além d liminar o problma da não consrvação das propridads nas frontiras do domínio (ERSCHI, 008).

12 10 Figura.1 Discrtizaçõs cartsianas não-uniforms para volums finitos (SCHNEIDER, 007) A aplicação das condiçõs d contorno nas malas com volums intiros na frontira é mais difícil, o qu gra um aumnto no sforço computacional. Nst caso, para diminuir st sforço computacional, pod-s mprgar a técnica d volums fictícios, Fig... Nsta técnica todos os volums são considrados intrnos, inclusiv os d frontira. Figura. Discrtização com volums fictícios nas frontiras m uma mala unidimnsional Na Fig.. o ponto rprsnta um nó gral, qu stá crcado por contornos ou suprfícis, dnominados facs, dados por w. Sus vizinos à squrda à dirita são idntificados por W E, rspctivamnt. A posição dos pontos W, E das facs w no domínio são dnominados x W, x, x E, x w x, rspctivamnt. A distância ntr o ponto o ponto W é rprsntada por x w, assim como a distância ntr E é dada por x. A distância ntr as facs do volum d control é dada por x. Da msma forma, a distância ntr as facs dos volums d control E W são x E x W, rspctivamnt..1.3 Discrtização do modlo matmático A discrtização matmática para o método d volums finitos (MALISKA, 004) consist na intgração das quaçõs difrnciais qu compõm o modlo matmático sobr os

13 11 volums d control postrior aproximação numérica dos trmos rsultants suas condiçõs d contorno iniciais, formando o conjunto d quaçõs discrtizadas dnominadas sistma d quaçõs algébricas. Aplicando-s o orma da divrgência d Gauss é fito o balanço das propridads nas facs dos volums d control. Essas propridads muitas vzs são dpndnts d alguma variávl, o qu torna ncssário o uso d aproximaçõs numéricas para qu las sjam obtidas. As aproximaçõs utilizadas nst trabalo são dtaladas na sção.. ara o cálculo do gradint da variávl d intrss podm sr usados squmas d primira ordm, como UDS (Upwind Diffrncing Scm), ou d sgunda ordm, como CDS (Cntral Diffrnc Scm). A quação algébrica para os fnômnos advctivos-difusivos unidimnsionais é rprsntada pla Eq.(.), ond a p, a w, a b p são coficints p, W, E são a tmpratura no volum d control, no volum ost no volum lst d, rspctivamnt. a = a + a + b p w W E p (.).1.4 Obtnção da solução numérica O conjunto d quaçõs algébricas linars obtido a partir da aplicação da discrtização do modlo matmático é rsolvido com métodos dirtos ou itrativos. Os métodos dirtos são aquls qu não prcisam d uma stimativa inicial das variávis para obtr a solução. Os métodos itrativos rqurm uma stimativa inicial para dar andamnto ao procsso d solução. Um método muito utilizado é o DMA (ridiagonal Matrix Algoritm) m qu o sistma d quaçõs rsultants toma a sguint forma: [ A ]( N + ) x( N + ) [ ]( N + ) x1 = [ B] ( N + ) x1 (.3) ond N é o númro d volums d control rais, [A] é a matriz d coficints tridiagonal, [] é o vtor d incógnitas [B] é o vtor do trmo indpndnt.

14 1 004): O algoritmo para aplicar o método DMA pod sr rsumido por (MALISKA, 1. Estimar o campo d variávis iniciais (=0) calculando as variávis auxiliars p Q p com os coficints da Eq. (.) nas Eqs. (.4) (.5). (0) = p a a p (0) (0) (.4) Q (0) = p b a p p (0) (0) (.5). Calcular p Qp para os volums =1 a =N+1 através das Eqs. (.6) (.7). a ( ) p ( ) = (.6) a ( ) a ( ) ( 1) p w p bp ( ) + aw ( ) Q p ( 1) Q p ( ) = (.7) a ( ) a ( ) ( 1) p w p 3. Obtr a tmpratura para o ponto =N+1 através da Eq. (.8). ( ) Q ( ) p = p (.8) 4. Obtr a tmpratura para os pontos =N-1 a =0 através da Eq. (.9). ( ) = ( ) * ( + 1) Q ( ) p p p + p (.9) Após a obtnção dos valors numéricos, rsultants da solução do sistma linar d quaçõs algébricas, é possívl visualizar analisar os rsultados, além d ralizar stimativas d rros numéricos.. AROXIMAÇÕES NUMÉRICAS ARA AS RORIEDADES Como já foi visto na tapa d discrtização do modlo matmático, no método dos volums finitos xist a ncssidad d s aplicar funçõs d intrpolação, ou squmas numéricos, na quação matmática. Os cinco problmas abordados nst trabalo tratam d

15 13 fnômnos advctivos difusivos, por isso nsta sção são aprsntados squmas d cálculo da propridad rfrnt à transfrência d calor, a condutividad térmica. A condutividad térmica é um parâmtro qu dpnd principalmnt da tmpratura. Essa situação pod sr ncontrada m divrsos problmas, como no caso d matriais compósitos, com propridads anisotrópicas também m procssos com mudança d fas (ERSCHI, 008). Rconcndo a dpndência com a tmpratura, lmbrando qu sta só é concida nos nós do volum d control, é possívl vrificar qu a condutividad térmica nas facs gralmnt não tm sus valors obtidos dirtamnt. É prciso ntão introduzir squmas numéricos. Evidntmnt, só é ncssário aplicar funçõs d intrpolação nas propridads quando o su valor variar ao longo do domínio - ou do tmpo -, aprsntando gradints ou dscontinuidads. ropridads constants ou uniforms são xcçõs constitum simplificaçõs dos fnômnos rais (ERSCHI 008). A Fig..3 rprsnta o domínio d cálculo para o problma da condução pura d calor, unidimnsional com propridads variávis mala uniform, com nós cntrados. Ela srá utilizada para facilitar a aprsntação dos divrsos métodos d cálculo da condutividad térmica na fac, ntr os volums d control E. D forma análoga é possívl aproximar a condutividad térmica na fac w. As condutividads térmicas (quando variávis) são concidas apnas nos nós dos volums d control, pois são função da tmpratura nsss pontos. Sndo assim, rprsntam as condutividads térmicas nos nós W, E, rspctivamnt. Figura.3 Domínio d cálculo com variávl..1 Média Aritmética Esquma 1 O método da média aritmética na litratura (LIU MA, 005) supõ uma distribuição linar da condutividad térmica ntr dois nós vizinos da mala. A condutividad térmica m uma das facs é o valor médio d nos pontos vizinos à fac.

16 14 ara ss squma a xprssão para o cálculo da condutividad térmica na fac lst ( ), do volum d control, torna-s, com uma intrpolação linar (média aritmética): ( ) E xe = + (.10) x Considrando mala uniform, tm-s: + E = (.11) ond E rprsntam as condutividads térmicas nos nós adjacnts à fac... Média armônica Esquma atanar (1980) foi o primiro a sugrir o uso da média armônica para o cálculo da condutividad térmica nas facs do volum d control. Em rlação à média aritmética, st método aprsnta muitas vantagns. A principal sria a sua capacidad d lidar com mudanças abruptas na condutividad sm rqurr um rfinamnto xcssivo da mala. ara o problma rprsntado pla Fig..3, obtido através da média armônica é dado por: ( x + x ) E E = (.1) x E + x E Considrando mala uniform, tm-s qu: + E = (.13) E..3 Média aritmética das tmpraturas nodais Esquma 3 Liu Ma (005) também abordaram o problma da dtrminação dos coficints d difusão nas suprfícis d control no método dos volums finitos. Els psquisaram divrsos squmas d cálculo prsnts na litratura propusram um novo método, comparando os rsultados numéricos com a solução analítica das quaçõs d difusão difusão-advcção d calor. Est lva m considração a média aritmética das tmpraturas dos nós vizinos à fac para obtr o valor da condutividad térmica.

17 15 Est método considra a condutividad térmica na fac do volum d control função da tmpratura na própria fac. Como st valor não pod sr obtido dirtamnt da solução numérica, foi utilizada uma função d intrpolação linar para sta aproximação. Sndo assim, a condutividad térmica na fac pod sr dada por: = ) (.14) ( ond é a tmpratura na fac do volum d control, obtida através da Eq. (.15). + E = (.15)..4 Média armônica d - prfil linar com inclinação constant ntr E Esquma 4 Est squma proposto por rtsci (008) aproxima o valor d na fac através da média armônica dos dois pontos intrmdiários a b. Nst caso, considra-s um prfil linar d tmpratura ntr os pontos E. A inclinação dsta rta é constant ntr os dois pontos, Fig..4, a tmpratura dos pontos intrmdiários a b é facilmnt dtrminada plas Eqs. (.16) (.17), através d intrpolação linar. a E 3 + E = + = (.16) 4 4 b E + 3 E = + 3 = (.17) 4 4 Figura.4. rfil d tmpraturas com inclinação constant Dsta forma, a condutividad térmica na fac é dada por: a b = (.18) a + b

18 16 ond as condutividads térmicas nos pontos a b, rspctivamnt a b, são dados por: = ) (.19) a ( a = ) (.0) b ( b..5 Média armônica d - prfil linar com inclinaçõs difrnts ntr E Esquma 5 Est método, proposto por rtsci (008), também aproxima o valor d na fac através da média armônica d nos dois pontos intrmdiários a b. orém, nst squma, o prfil linar d tmpratura ntr os pontos E possui inclinaçõs difrnts, com a mudança ocorrndo na intrfac ntr os dois volums. Assim, a condutividad térmica nos pontos a b, dada plas Eqs. (.1) (.) é função da média aritmética das tmpraturas da fac do nó ou E (para a b, rspctivamnt). A tmpratura na fac é dtrminada por outra aproximação, qu é função das tmpraturas E d E, dada pla Eq. (.3). Figura.5. rfil d tmpraturas com inclinaçõs difrnts Assim, a condutividad térmica nos pontos a b é dada por: + a = (.1) + E b = (.) E = + ( E ) (.3) + E..6 Intgração d Gauss Esquma 6 7 O método da intgração d Gauss é uma técnica para intgrar numricamnt uma função, posicionando os pontos d amostragm d tal forma a obtr uma mlor prcisão,

19 17 com um mnor númro d pontos do domínio. ambém dnominado quadratura gaussiana, st método aproxima o valor da intgral dfinida d uma dada função através da soma pondrada d valors da função m pontos spcíficos. Ests pontos não são scolidos a priori, mas os valors dos pontos psos podm sr ncontrados m tablas. Sndo assim, o método scol os pontos para s calcular a aproximação m uma manira ótima, m vz d considrar apnas os pontos igualmnt spaçados, como no caso do método d Nwton- Cots. Considrando o problma rprsntado pla Fig..3, xist um númro m d pontos finitos posicionados ntr os volums E dnominados g1, g, g3,... O método d cálculo d -i, plo squma d intgração d Gauss com m pontos, é dado por: = = m j j j i g w 1 ) ( (.4) ond w rprsnta os psos, j é o índic g j são os pontos d intgração no intrvalo [x,x E ]. A ab..1 aprsnta os valors d w g j para dois três pontos. ara a intgração d Gauss, utilizando dois pontos, é possívl dtrminar através da Eq. (.4), com dados da ab..1, o qu rsulta m: = E E E E (.5) abla.1. Valors d w g j para a intgração d Gauss Esquma sos ontos Gauss dois pontos w 1 =1/, w =1/ i i g + + = 3 1 i i g + + = Gauss três pontos w 1 =5/18, w =8/18, w 3= 5/ i i g + + = i g + = i i g + + =

20 18 Através da intgração d Gauss para três pontos, é possívl dtrminar através da Eq. (.4), com dados da ab..1, o qu rsulta m: = 18 ( + ) ( ) E E E + ( + ) ( ) 5 E E (.6) 5.3 VERIFICAÇÃO DA SOLUÇÃO NUMÉRICA É possívl dtrminar o rro numérico (E) através da comparação ntr a solução analítica (Φ) da variávl d intrss a sua solução numérica (φ ) obtida através d simulação, isto é, E( φ) = Φ φ (.7) O rro numérico (E) é causado por divrsas fonts d rro: rros d truncamnto (ε τ ), rros d itração (ε n ), rros d arrdondamnto (ε π ) rros d programação (ε p ). Assim, pods scrvr E (φ ) = E (ε τ, ε n, ε π, ε p ) (.8) Essas quatro fonts d rro podm tr magnituds sinais difrnts, podndo avr canclamntos parciais ou totais ntr sss rros. O rro d itração é dfinido como a difrnça ntr a solução xata das quaçõs discrtizadas a solução numérica m uma dada itração. É causado principalmnt plo mprgo d métodos itrativos para rsolução do sistma d quaçõs algébricas, pla xistência d não-linaridads no modlo matmático plo uso d métodos sgrgados m modlos com mais d uma quação (MARCHI, 001). Erros d programação ocorrm dvido à implmntação d um modlo numérico m um programa computacional, ao uso incorrto d um modlo numérico na aproximação d um modlo matmático ao uso incorrto do programa, ntr outros. O rro d truncamnto origina-s das aproximaçõs numéricas mprgadas na discrtização do modlo matmático (MARCHI SILVA, 00) dcorr do truncamnto d

21 19 um procsso infinito. O rro é o rsíduo qu rsulta quando s substitui a solução analítica xata da variávl dpndnt na quação discrtizada do modlo matmático. Em gral, st tipo d rro diminui à mdida qu s rduz o spaçamnto da mala. Os rros d arrdondamnto são os rros qu ocorrm principalmnt dvido à rprsntação finita dos númros rais nas computaçõs, ou sja, são rros d truncamnto, oriundos da ncssidad d s limitar o númro d dígitos usados para armaznar os valors das variávis. Els dpndm do compilador (softwar) usado para grar o código computacional do computador (ardwar) mprgado m sua xcução. Estão rlacionados ao númro d bits usados para rprsntar as variávis nos computadors ao númro d trmos mprgados no cálculo d séris infinitas d funçõs pré dfinidas da linguagm d programação. Quanto maior é a prcisão usada para rprsntar as variávis, mnors são os rros d arrdondamnto; ntrtanto, maior é a mmória computacional ncssária para o armaznamnto dstas variávis (SCHNEIDER, 007). Quando o rro da solução numérica é grado apnas plos rros d truncamnto, ou todos os outros rros são dsprzívis m rlação a l, o rro numérico srá ntão camado rro d discrtização, é dado pla Eq. (.9), também camada d quação gral do rro: pl p p3 ( ) = C + C + C... E φ (.9) ond φ é a variávl d intrss, é o tamano dos volums d control da mala, C 1, C, C 3,... são coficints qu indpndm d p L, p, p 3,... são as ordns vrdadiras do rro d discrtização, rprsntadas por númros intiros positivos. A ordm assintótica do rro d discrtização (p L ) é dada plo mnor xpont (primiro trmo) da Eq.(.9). A ordm assintótica é atingida quando 0. Na prática, p L rprsnta a inclinação da curva do rro m um gráfico log( E ) vrsus log(), quando 0. Normalmnt, dfin-s a ordm d um squma como a ordm do rro d truncamnto da função d intrpolação m rlação à séri d aylor. Marci (001) dmonstrou qu as ordns vrdadiras do squma CDS são p v=, 4, 6, tc,, portanto, a sua ordm assintótica é p L =. Dsta forma, diz-s qu o rro d truncamnto da aproximação numérica CDS é d ª ordm. As stimativas do rro d discrtização, grado por rros d truncamnto, podm sr divididas m dois tipos básicos: stimativas a priori ou a postriori da obtnção da solução numérica (MARCHI, 001). As stimativas a priori prmitm prvr, ants msmo d s

22 0 obtr qualqur solução numérica, o comportamnto assintótico do rro d discrtização com rlação ao tamano () dos lmntos da mala. ftiva do rro ( Quando s conc a solução analítica do problma, é possívl dtrminar a ordm p E ) basada m duas soluçõs numéricas. ara duas malas difrnts, 1 (mala fina) (mala grossa), a ordm ftiva do rro d discrtização é dada por: p E E( φ ) log E( φ1) = log( q) (.30) ond E φ ) E φ ) são os rros numéricos nas malas grossa fina, rspctivamnt. A ( ( 1 razão d rfino da mala (q) é dada por: q = 1 (.31) A ordm ftiva calculada através da Eq. (.30) ncssita d duas soluçõs numéricas, su valor rprsnta a inclinação média da curva do rro d discrtização, vrsus, ntr 1.

23 1 3 MEODOLOGIA Nst capítulo é aprsntada a mtodologia utilizada para solução numérica d cinco difrnts problmas qu tratam d fnômnos d advcção difusão, usando o método dos volums finitos. Sguindo as tapas para a obtnção da solução numérica usando métodos dos volums finitos primiramnt formulou-s os problmas, ou sja, dfiniu-s o modlo matmático, as condiçõs d contorno, a gomtria d cálculo, as variávis d intrss por fim foram aprsntadas as propridads d cada problma. Na sgunda tapa, o domínio d cálculo é discrtizado. Na trcira tapa, discrtização do modlo matmático, são mostrados todos os passos para obtr o sistma d quaçõs algébricas. A última tapa dscrv como os rsultados são obtidos. Ao final do capítulo é aprsntada a forma d vrificação. 3.1 FORMULAÇÃO DO ROBLEMA Modlo Matmático Nst trabalo, todos os problmas stão rlacionados à transfrência d calor têm as sguints caractrísticas comuns: rgim prmannt; campo unidimnsional; scoamnto incomprssívl; massa spcífica vlocidad constants. A partir dssas ipótss simplificadoras, a Eq. (.1) torna-s: d d d F = + S dx dx dx (3.1) ond é a tmpratura, x é a posição no domínio, a condutividad térmica S o trmo font. A constant F do trmo d advcção é dada por: F = c u (3.) p ρ ond c é o calor spcífico à prssão constant. O modlo matmático gral para todos os p problmas tratados nst trabalo é rprsntado pla Eq.(3.1).

24 3.1. Condiçõs d Contorno domínio d cálculo As condiçõs d contorno são do tipo Diriclt: ( 0) = (3.3) 0 ( L) = (3.4) L ond L é o comprimnto, na dirção x, do domínio d cálculo (Fig. 3.1) as tmpraturas 0 L para cada problma stão aprsntadas na ab A ára da pard é unitária. Figura 3.1 Gomtria do domínio d cálculo abla 3.1 Condiçõs d contorno para os cinco problmas roblma 1 roblma roblma 3 roblma 4 roblma , x L X L Variávis d intrss As variávis d intrss nss trabalo são: a tmpratura no domínio ( x ) a norma do rro numérico da tmpratura no domínio (E M ). Elas possum solução analítica, qu são rprsntadas por x x para a tmpratura E M x para a norma do rro numérico.

25 3 A norma é dada plo somatório dos módulos dos rros numéricos da tmpratura m todos os nós, dividido plo númro d volums, é dada pla Eq. (3.5). A solução analítica para a norma do rro numérico é zro. E M = N = 1 x x ( ) ( ) N x (3.5) A solução analítica da tmpratura no domínio tm uma função difrnt para cada um dos cinco problmas, como é aprsntado na sção 3.1.4, dvido às difrnts caractrísticas aprsntadas por ls Dfinição dos roblmas Cada problma aprsnta uma função difrnt d condutividad térmica (). Os quatro primiro problmas são xclusivamnt difusivos sm gração d nrgia. O quinto é um problma qu além d difusivo, é também advctivo - dvido à prsnça do parâmtro F difrnt d zro - com gração d calor parâmtro S não nulo. As funçõs d condutividad térmica o parâmtro S F d cada problma são aprsntados na ab. 3.. abla 3. arâmtros do modlo matmático para os cinco problmas roblma 1 roblma roblma 3 roblma 4 roblma 5 F S S x 3 1, para x [0,1/) 100, para x [0,1/) 0,01+ 10, para x [1/,1], para x [1/,1] roblma 1 O primiro problma trata-s d um caso d condução pura d calor através d uma pard plana composta por um único matrial. Ou sja, não xist advcção (F=0), nm gração d calor (S=0). A difusão d calor ocorr unidimnsionalmnt é normal à ára unitária da pard. A condutividad térmica, para st problma, varia xponncialmnt com a tmpratura, como é mostrado na Fig. 3..

26 4 3,0,8,6,4 Condutividad -,,0 1,8 1,6 1,4 1, 1,0 0,8 0,0 0, 0,4 0,6 0,8 1,0 mpratura - Figura 3. Variação d com a tmpratura para o problma 1 A solução analítica da tmpratura, rprsntada pla Eq.(3.6), foi obtida substituindo-s a função da condutividad térmica (ab. 3.) aplicando as condiçõs d contorno para st problma na Eq.(3.1). x x = ln[ 1+ ( 1) x] (3.6) roblma O sgundo problma, assim como o primiro, não aprsnta o fnômno d advcção não possui gração d nrgia, portanto, um problma xclusivamnt difusivo. Est caso s basia no problma A, d Liu Ma (005). Na adaptação para o problma foi altrado somnt o comprimnto do domínio d cálculo, d 0 x para 0 x 1. A difusão d calor ocorr unidimnsionalmnt é normal à ára unitária da pard, composta somnt d um matrial. A condutividad térmica m x é igual à tmpratura cúbica no ponto. ara vitar um coficint d difusão nulo, no contorno squrdo a tmpratura é 0., ao invés d 0, como nos outros problmas. A rprsntação gráfica da função da condutividad térmica vrsus a tmpratura é mostrada na Fig. 3.3.

27 5 1,0 0,8 Condutividad - 0,6 0,4 0, 0,0 0,0 0, 0,4 0,6 0,8 1,0 mpratura - Figura 3.3 Variação d com a tmpratura para o problma A solução analítica da tmpratura, rprsntada pla Eq.(3.7), foi obtida da msma forma qu para o problma 1. x x = [( x (3.7) ) + (1 ( 0 ) ) ] roblma 3 O trciro problma tm caractrísticas smlants ao problma 1. A única difrnça é qu nst problma a condução d calor ocorr através d uma pard composta por dois matriais, d condutividads térmicas constants 1. Est caso foi basado no problma D, d Liu Ma (005) prmit analisar a distribuição d tmpratura m uma situação d dscontinuidad mudança abrupta das propridads d transport. A difrnça m rlação ao problma original é a altração nas funçõs da condutividad térmica, tmpratura do contorno squrdo o comprimnto do domínio d cálculo, d 0 x para 0 x 1. A rprsntação gráfica da função da condutividad térmica vrsus a tmpratura é mostrada na Fig. 3.4.

28 6 1 Condutividad térmica ,0 0,1 0, 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 osição - x Figura 3.4 Variação d com a tmpratura para o problma 3 A solução analítica da tmpratura, rprsntada pla Eq.(3.8), foi obtida da msma forma qu para o problma 1. x x x x x = = x < 1 (3.8) ( x 1) 1 x 1 roblma 4 O quarto problma assim como no problma antrior, a condução d calor ocorr m uma pard composta por matriais difrnts. Est problma difrncia-s do problma 3 por aprsntar condutividads térmicas 1 qu variam m função da tmpratura. Est caso foi basado no problma B, d Liu Ma (005), prtnd-s analisar a distribuição d tmpratura m uma situação m a qu as propridads d transport são dpndnts da tmpratura com ordns d grandza bastant difrnts. A difrnça m rlação ao problma original é a altração nos valors da condutividad térmica, tmpratura do contorno squrdo o comprimnto do domínio d cálculo, d 0 x para 0 x 1. A rprsntação gráfica da função da condutividad térmica vrsus a tmpratura é mostrada na Fig. 3.5.

29 ,0 160,8 150,6 Condutividad Condutividad -,4,, , ,0 0,1 0, 0,3 0,4 0,5 mpratura - 1,6 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 mpratura - Figura 3.5 Variação d 1 com a tmpratura para o problma 4 A solução analítica da tmpratura, rprsntada pla Eq.(3.9), foi obtida da msma forma qu para o problma 1. x λ + x = ln 1 x 100 x x = ln[ + λ( x 1) ] ln 101 λ = 00 ( 1) 0 x < 1 1 x 1 (3.9) roblma 5 O problma 5, difrnt dos dmais, aprsnta os trmos font advctivo não nulos. ortanto, rprsnta o fnômno d condução advcção, com gração d calor. Est caso é basado no problma F, d Liu Ma (005), m qu a vlocidad d scoamnto na dirção x é constant. A camada d fluido é constituída d um único matrial, na qual a condutividad térmica varia com a tmpratura. A rprsntação gráfica da função da condutividad térmica vrsus a tmpratura é mostrada na Fig. 3.6.

30 8 1,0 0,8 Condutividad térmica - 0,6 0,4 0, 0,0 0,0 0, 0,4 0,6 0,8 1,0 mpratura - Figura 3.6 Variação d com a tmpratura para o problma 5 A solução analítica proposta da tmpratura no domínio stá rprsntada pla Eq.(3.10). Substituindo-s ssa quação na Eq.(.), obtv-s a função do trmo font S x, Eq. (3.11). 10x x 1 x = (3.10) x 1 10x x x 0x 10x S x = (3 4 + ) (3.11) ( 1) 3. DISCREIZAÇÃO DO DOMÍNIO DE CÁLCULO ara rsolução dos cinco problmas é utilizada a mala uniform d nós cntrados. Uma mala uniform é aqula qu possui o msmo tamano d lmntos, ou volums d control. ara uma mala d nós cntrados x = x = x = x = x w W E =. O tamano () foi obtido através da divisão do comprimnto do domínio d cálculo(l) plo númro d volums d control(n), Eq. (3.1). As soluçõs numéricas foram calculadas para difrnts númros d volums d control, como mostra a ab L = (3.1) N

31 9 abla 3.3 Númro d volums d control tamanos d malas mprgados N H N 0, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , DISCREIZAÇÃO DO MODELO MAEMÁICO O modlo matmático para os cinco problmas aprsntados na sção 3.1 é rprsntado pla Eq. (3.1). O primiro passo, para a discrtização do modlo matmático, é intgrar a quação govrnant ao longo d cada volum d control do domínio. Como é um problma unidimnsional, na dirção coordnada x, aprsnta uma ára unitária, tm-s: x d x d d F dx = + S x x dx (3.13) w dx w dx dx ond x w x rprsntam as coordnadas das facs ost lst, rspctivamnt. Aplicando o orma da Divrgência d Gauss, a Eq. (3.13) rsulta m: F d d w + p (3.14) dx dx w ( ) = S ond w rprsntam as tmpraturas nas facs lst ost, rspctivamnt, S p o trmofont (valor médio no volum d control) é o spaçamnto. ara rsolvr a quação difrncial, é ncssário transformar as drivadas m quaçõs algébricas. ara isso, faz-s a aplicação do squma numérico CDS sparadamnt nos trmos da Eq. (3.14). Considrando qu as facs dos volums d control stjam cntradas ntr os nós, a aproximação para os trmos rsulta nas Eqs. (3.15) a (3.18).

32 30 w + E = (3.15) W + = (3.16) d dx = E (3.17) d dx w = w W (3.18) ond w rprsntam as condutividads térmicas nas facs lst ost, rspctivamnt. Insrindo as Eq. (3.15) a (3.18) na Eq. (3.14), é obtida a sguint xprssão: + E W + ( E ) F = w ( ) W + S p (3.19) ara continuar o procsso d discrtização é ncssário dfinir como aproximar nas facs do volum d control. Os squmas d cálculo, qu são utilizados para as aproximaçõs nst trabalo, foram aprsntados na sção Coficints dos volums intrnos Os coficints gnéricos stão rprsntados plas Eqs.(3.0) a (3.3). Els foram obtidos colocando a Eq. (3.19) na forma da Eq.(.). Os coficints aprsntados na ab. 3.4 foram obtidos aplicando-s as condiçõs spcíficas d cada problma. a p = w + (3.0) a w F = + (3.1) w a F = (3.) b = S (3.3)

33 31 abla 3.4 Coficints dos volums intrnos Coficint roblma 1 roblma roblma 3 roblma 4 roblma 5 a p + w w + + w + w + w a w w w w w + w a b p S 3.3. Aplicação das condiçõs d contorno Nst trabalo as condiçõs d contorno são aplicadas através da técnica dos volums fictícios. A Fig. 3.7 ilustra a condição d contorno aplicada ao volum d control squrdo (=1), o volum fictício corrspondnt (=0). Figura 3.7 Condição d contorno para x = x0 la Fig. 3.7, a tmpratura na fac lst do volum fictício é igual a 0. A tmpratura na frontira squrda é dada pla média aritmética do nó fictício com o nó ral adjacnt, rsultando m: + E = 0 (3.4) Isolando-s na Eq.(3.4), tm-s: = 0 (3.5) E +

34 3 A Fig.3.8 ilustra a condição d contorno aplicada ao volum d control dirito (=N), o volum fictício corrspondnt (=N+1). Figura 3.8 Condição d contorno para x = xl la Fig. 3.8, a tmpratura na fac ost do volum fictício w é igual a L. A tmpratura na frontira dirita é dada pla média aritmética do nó fictício com o nó ral adjacnt, rsultando m: W + = L (3.6) Isolando-s na Eq.(3.6), tm-s: = + (3.7) W L Comparando-s as Eqs. (3.5) (3.7) com a Eq.(.), obtém-s os coficints gnéricos para os volums fictícios, ab.3.5. od-s prcbr qu apnas o trmo font varia, os outros parâmtros são constants. Na ab. 3.6 stão os valors dos trmos fonts para as duas frontiras para cada um dos cinco problmas. abla 3.5 Coficints gnéricos dos volums d control fictícios Coficint Contorno Esqurdo Contorno Dirito a p 1 1 aw 0 1 a 1 0 bp 0 L

35 33 abla 3.6 rmos-fonts nas frontiras para os cinco problmas roblma 1 roblma roblma 3 roblma 4 roblma 5 bp contorno squrdo bp contorno dirito 0 0, OBENÇÃO DOS RESULADOS ara rsolvr o sistma d quaçõs qu surg da discrtização das quaçõs difrnciais nvolvidas foi utilizado o método DMA, já dscrito no Capítulo. Os programas computacionais foram implmntados na linguagm FORRAN/95, com o compilador Intl Fortran 9.1, tipo d projto Consol Application. ara a obtnção das variávis d intrss foi utilizada prcisão quádrupla. Na maior part das simulaçõs o rro d máquina foi atingido. O númro d itraçõs máximo variou ntr , dpndndo do problma squma. O programa para cálculo das variávis tm nom atanar_1dp_1p.x, vrsão rlas. El é um programa qu tm como bas antanar_1dp_1p1.x, dsnvolvido para as simulaçõs d rtsci (008). A principal difrnça do programa original é a mudança da prcisão dupla para a prcisão quádrupla. O computador mprgado para a rsolução do problma 1 foi o CFD-08 do LENA (Laboratório d Exprimntação Numérica - UFR), qu possui um procssador Intl ntium com 3,00Gz, com mmória d 1,93GB RAM. Os dmais problmas foram simulados no computador CFD-14 do LENA, qu possui um procssador Dual Cor 400+, com,0ghz, com mmória d 768MB RAM. Foram ralizadas 700 simulaçõs com o programa atanar. Cada simulação foi idntificada plo nom do programa, o númro do problma squma, por fim o tamano da mala. A mala mais grossa é idntificada por 001, a sgunda mais grossa por 00, assim até a mala mais fina rprsntada por 00. or xmplo, atanar_1dp_1p_p53_003 rfr-s à simulação fita para o problma 5, rsolvido com o squma 3, com tamano d mala() igual a 0,15. Os tamanos d malas stão rprsntados na ab. 3.3.

36 Algoritmo sguir. ara os cinco problmas abordados nst trabalo utilizou-s o algoritmo dscrito a 1. Lr os dados do problma (tipo d problma, tipo d squma, númro d volums d control, númro máximo d itraçõs, númro d vzs a fazr os cálculos). Discrtizar o domínio d cálculo, Eq. (3.1) 3. Calcular a solução analítica para a variávl x x d acordo com o problma rlacionado, Eqs. (3.6) a (3.10) 4. Estimar a condição inicial: tmpratura no domínio x =0.5 para todos os nós 5. Calcular o trmo font b para os nós intrnos (=1 a =N), (Eq.3.8), a condutividad térmica para todos os nós (=0 =N+1), quaçõs da ab Calcular os coficints nos volums fictícios (=0 =N+1), ab Calcular a condutividad térmica nas facs () d acordo com o squma slcionado 8. Calcular os coficints nos volums rais (=1 a =N), ab Solução do sistma d quaçõs através do método DMA 10. Calcular a variávl E M, Eq.(3.5) 11. Voltar à tapa 5 até atingir o númro máximo d itraçõs fixado 1. Visualizar os rsultados 3.5 VERIFICAÇÃO DE SOLUÇÕES NUMÉRICAS A anális das soluçõs numéricas da tmpratura é fita graficamnt. ara cada problma foram laborados dois gráficos. O primiro mostra o módulo do rro numérico m função do rfino da mala m scala bi-logarítmica. Com st gráfico prtnd-s analisar o comportamnto do rro d discrtização. No sgundo gráfico, ordm ftiva vrsus log(), é possívl obsrvar s as ordns ftivas do rro d discrtização tndm a ordm assintótica m função do rfino, como é sprado. O squma d aproximação utilizado para rsolução da quação do modlo matmático é o squma d difrnças cntrais (CDS), portanto, como visto no Capítulo, a

37 35 ordm assintótica do rro numérico é dois. A razão d rfino, calculada pla Eq.(.31) é uniform igual a dois, para todos os problmas squmas. A ordm ftiva p E é calculada usando-s o programa computacional RICHARDSON_3p1.

38 36 4 RESULADOS Est capítulo aprsnta os principais rsultados obtidos. Ests são comparados com os valors ncontrados para a simulação dos msmos problmas m prcisão dupla, obtidos por rtsci (008). Essa comparação tm por objtivo analisar principalmnt o comportamnto dos rros d arrdondamnto. Os arquivos d rsultados foram grados do dia 8/10/008 ao dia 10/11/008. ara obtnção dos rsultados das variávis globais locais foi utilizada prcisão quádrupla, o númro máximo d itraçõs foi fixado até atingir o rro d máquina. A variávl d intrss analisada é a norma do rro numérico médio (E M ). O rro numérico médio foi obtido através da Eq.(3.5). E M indica o grau d afastamnto qu a solução numérica da tmpratura ao longo do domínio x stá d sua solução numérica x x. As ordns ftivas foram calculadas através da Eq.(.30), com valors do rro numérico (E) obtidos m malas grossa fina, com razão d rfino (q) constant igual a. Foram fitas 140 simulaçõs para cada problma. Em cada problma as aproximaçõs para o cálculo da condutividad térmica nas facs dos volums d control foram ralizadas com os st squmas aprsntados no Capítulo. O númro d nós utilizado, conform ab. 3.3, foi d a nós, totalizando 0 simulaçõs para cada problma-squma. Os rsultados do prsnt trabalo foram obtidos para númros pars d volums. Númros ímpars podrão aprsntar rsultados difrnts. 4.1 ROBLEMA 1 ara st problma pod-s prcbr através da Fig. 4.1 qu à mdida qu a mala é rfinada o módulo do rro médio tnd a zro, como sprado. Os valors obtidos foram muito smlants para todos os squmas, sndo qu o Esquma 1 (Média Aritmética) aprsnta o mlor rsultado, ou sja, o mnor módulo do rro numérico médio.

39 37 Módulo do rro númrico médio (E M ) 1 0,1 0,01 1E-3 1E-4 1E-5 1E-6 1E-7 1E-8 1E-9 1E-10 1E-11 1E-1 1E-13 1E-14 1E-7 1E-6 1E-5 1E-4 1E-3 0,01 0,1 1 Esquma 1 Esquma Esquma 3 Esquma 4 Esquma 5 Esquma 6 Esquma 7 Figura 4.1 Módulo do rro médio do problma 1-prcisão quádrupla ara as simulaçõs ralizadas m prcisão quádrupla, Fig. 4.1, os rsultados não tivram influência do rro d arrdondamnto nas malas mais rfinadas, como ocorru quando s utilizou prcisão dupla, Fig ,1 0,01 módulo do rro d discrtização 1E-3 1E-4 1E-5 1E-6 1E-7 1E-8 1E-9 1E-10 Esquma1 Esquma Esquma3 1E-11 1E-5 1E-4 1E-3 0,01 0,1 1 Figura 4. Módulo do rro médio do problma 1-prcisão dupla

40 38 A ordm ftiva p E do módulo do rro d discrtização tnd a ordm assintótica p L,, igual a dois, Fig Os valors da ordm ftiva d E M oscilam m torno da ordm assintótica para malas mais finas m simulaçõs com prcisão dupla, Fig.4.4, dvido ao rro d arrdondamnto. Ordm Eftiva E,06,04,0,00 1,98 1,96 1,94 1,9 1,90 1,88 1,86 1,84 1,8 1,80 1,78 Esquma 1 Esquma Esquma 3 Esquma 4 Esquma 5 Esquma 6 Esquma 7 1E-6 1E-5 1E-4 1E-3 0,01 0,1 1 Figura 4.3 Ordm ftiva do problma 1-prcisão quádrupla,5,0 ordm ftiva - p E 1,5 1,0 Esquma1 Esquma Esquma3 0,5 1E-5 1E-4 1E-3 0,01 0,1 Figura 4.4 Ordm ftiva do problma 1-prcisão dupla

41 39 4. ROBLEMA Em rlação ao rro d discrtização, nota-s qu st tnd a zro à mdida qu a mala é rfinada. É possívl notar um ligiro afastamnto ntr os squmas à mdida qu 0. Com isto é possívl concluir qu o squma 1(método da média aritmética) o squma 5 são os qu aprsntam um mnor rro d discrtização m rlação aos dmais. Módulo do Erro Númrico Médio (E M ) 1 0,1 0,01 1E-3 1E-4 1E-5 1E-6 1E-7 1E-8 1E-9 1E-10 1E-11 1E-1 1E-13 1E-14 1E-7 1E-6 1E-5 1E-4 1E-3 0,01 0,1 1 Esquma 1 Esquma Esquma 3 Esquma 4 Esquma 5 Esquma 6 Esquma 7 Figura 4.5 Módulo do rro médio do problma -prcisão quádrupla 1 0,1 módulo do rro d discrtização 0,01 1E-3 1E-4 1E-5 1E-6 1E-7 1E-8 Esquma1 Esquma Esquma3 Esquma4 Esquma5 Esquma6 Esquma7 1E-9 1E-5 1E-4 1E-3 0,01 0,1 1 Figura 4.6 Módulo do rro médio do problma -prcisão dupla

42 40 A ordm ftiva tnd a ordm assintótica para todos os squmas, Fig ara st problma nas malas mais finas xist a influência do rro d arrdondamnto no cálculo das ordns ftivas nas simulaçõs com prcisão dupla, Fig. 4.8,5,0 Ordm Eftiva E 1,5 1,0 0,5 0,0 Esquma 1 Esquma Esquma 3 Esquma 4 Esquma 5 Esquma 6 Esquma 7 1E-7 1E-6 1E-5 1E-4 1E-3 0,01 0,1 1 Figura 4.7 Ordm ftiva do problma -prcisão quádrupla,5,0 ordm ftiva - p E 1,5 1,0 0,5 0,0 Esquma1 Esquma Esquma3 Esquma4 Esquma5 Esquma6 Esquma7 1E-5 1E-4 1E-3 0,01 0,1 Figura 4.8 Ordm ftiva do problma -prcisão dupla

43 ROBLEMA 3 Nst problma a condutividad térmica ( ) aprsnta valor constant difrnt m cada um dos mios d qu o domínio é composto. lo fato d sr indpndnt da tmpratura, as aproximaçõs com os squmas, 4 5 possum rsultados idênticos para o rro numérico. O msmo acontc com os squmas 3, 6 7. O método é o mlor squma para ss problma pois aprsntou rro numérico praticamnt nulo (para a mala mais fina E ). or sta razão nos gráficos são aprsntados somnt os squmas ,1 Módulo do rro numérico médio (E M ) 0,01 1E-3 1E-4 1E-5 1E-6 Esquma 1 Esquma 3 1E-7 1E-6 1E-5 1E-4 1E-3 0,01 0,1 Figura 4.9 Módulo do rro médio do problma 3 -prcisão quádrupla 0,1 Módulo do rro numérico médio (E M ) 0,01 1E-3 1E-4 1E-5 Esquma 1 Esquma 3 1E-5 1E-4 1E-3 0,01 0,1 Figura 4.10 Módulo do rro médio do problma 3-prcisão dupla

44 4 Nst problma obsrva-s qu o valor d p E não ating a ordm assintótica obtida a priori da solução numérica. O qu s vrifica é qu ocorr uma dgnração, da ordm do rro, da ordm dois para a ordm unitária, para os squmas 1 3. A ordm ftiva não xist no squma porqu o rro é praticamnt nulo. p L 1,45 1,40 1,35 Ordm Eftiva E 1,30 1,5 1,0 1,15 1,10 Esquma 1 Esquma 3 1,05 1,00 0,95 1E-6 1E-5 1E-4 1E-3 0,01 0,1 Figura 4.11 Ordm ftiva do problma 3 - prcisão quádrupla 1,45 1,40 1,35 Ordm ftiva E 1,30 1,5 1,0 1,15 1,10 Esquma 1 Esquma 3 1,05 1,00 0,95 1E-5 1E-4 1E-3 0,01 0,1 Figura 4.1 Ordm ftiva do problma 3 - prcisão dupla

45 ROBLEMA 4 ara st problma, assim como no problma 3, o domínio d cálculo é composto por dois mios. Nst caso, porém, as condutividads térmicas são variávis dpndnts da tmpratura. O mlor dsmpno foi atribuído ao squma 5 (média armônica d prfil linar com inclinação variávl ntr E), qu aprsntou valors muito próximos dos obtidos com os squmas 6, Fig Módulo do Erro Numérico Médio (E M ) 1 0,1 0,01 1E-3 1E-4 1E-5 1E-6 1E-7 1E-8 1E-9 1E-10 1E-11 1E-1 1E-13 1E-14 1E-15 1E-16 1E-17 1E-7 1E-6 1E-5 1E-4 1E-3 0,01 0,1 1 Esquma 1 Esquma Esquma 3 Esquma 4 Esquma 5 Esquma 6 Esquma 7 Figura 4.13 Módulo do rro médio do problma 4-prcisão quádrupla 1 0,1 0,01 módulo do rro d discrtização 1E-3 1E-4 1E-5 1E-6 1E-7 1E-8 1E-9 1E-10 Esquma1 Esquma Esquma3 Esquma4 Esquma5 Esquma6 Esquma7 1E-11 1E-5 1E-4 1E-3 0,01 0,1 1 Figura 4.14 Módulo do rro médio do problma 4-prcisão dupla

46 44 Nst problma, quatro métodos mprgados para calcular nas facs do volum d control (squmas 1, 3, 6 7) dgnram a ordm do rro numérico. À mdida qu a mala é mais rfinada p 1, não a, como sprado como ocorr com os dmais squmas. E A pquna influência d rro d arrdondamnto obsrvada nas simulaçõs das malas mais finas ftuadas com prcisão dupla para o rro médio ordm ftiva, Fig , foi rduzida para simulaçõs com prcisão mais alta, Fig ,0,5,0 Ordm Eftiva E 1,5 1,0 0,5 0,0-0,5 Esquma 1 Esquma Esquma 3 Esquma 4 Esquma 5 Esquma 6 Esquma 7-1,0 1E-7 1E-6 1E-5 1E-4 1E-3 0,01 0,1 1 Figura 4.15 Ordm ftiva do problma 4 - prcisão quádrupla,5,0 ordm ftiva - p E 1,5 1,0 0,5 0,0 Esquma1 Esquma Esquma3 Esquma4 Esquma5 Esquma6 Esquma7 1E-5 1E-4 1E-3 0,01 0,1 Figura 4.16 Ordm ftiva do rro do problma 4 - prcisão dupla

47 ROBLEMA 5 O problma 5 é govrnado por advcção difusão d calor, com gração d calor. À mdida qu mala é rfinada, o módulo do rro numérico médio tnd a zro, conform sprado. O método mais apropriado para calcular na fac do volum d control foi o squma 4 (média armônica d prfil linar com inclinação uniform ntr E). Módulo do Erro Numérico Médio (E M ) 1 0,1 0,01 1E-3 1E-4 1E-5 1E-6 1E-7 1E-8 1E-9 1E-10 1E-11 1E-1 Esquma 1 Esquma Esquma 3 Esquma 4 Esquma 5 Esquma 6 Esquma 7 1E-13 1E-7 1E-6 1E-5 1E-4 1E-3 0,01 0, Figura 4.17 Módulo do rro médio do problma 5-prcisão quádrupla 1 0,1 0,01 módulo do rro d discrtização 1E-3 1E-4 1E-5 1E-6 1E-7 1E-8 1E-9 1E-10 1E-5 1E-4 1E-3 0,01 0,1 1 Esquma1 Esquma Esquma3 Esquma4 Esquma5 Esquma6 Esquma7 Figura 4.18 Módulo do rro médio do problma 5-prcisão dupla