Transformada de Fourier em tempo discreto

Transcrição

1 Capítulo 2*: Transformada d Fourir m tmpo discrto Prof. Alan Ptrônio Pinhiro Univrsidad Fdral d Ubrlândia Faculdad d Engnharia Elétrica alanptronio@ufu.br *Basado no capítulo 5 do livro txto: Sinais Sistmas d Alan V. Oppnhim, 2ª dição.

2 Contxto Sinais Sistmas 2 Vamos rlmbrar a big pictur Introdução Trans. Fourir TEMPO CONTÍNUO Trans. Fourir TEMPO DISCRETO Caractri. no tmpo frq. d sinais sistmas Amostragm Transf. Z Aplicaçõs control 2d 15

3 Introdução ao Sinais Sistmas 2 Cnas do capítulo passado... Introdução Concito d Procsso discrtização: mmória n=0 n=1 n=2 n=3 n=4 Rprsntação: Amostragm (Ts Fs) t=n.ts 3d 15

4 Formulação matmática TFTD Sinais Sistmas 2 : x 1 [ n] = X ( ) 2π 2 π n dω sínts Introdução X ( ) = x[ n] n = Difrnça ntr: n (i) séri, (ii) TF m tmpo contínuo anális (iii) TF m X ( ) = x[ n] n= n 4d 15 (iv) transformada discrta d Fourir (DFT) X ( m) = N 1 n 0 x( n) j2πnm / N

5 Sinais Sistmas 2 Caractrística important do krnl discrtizado: n é priódico a cada 2π(para msmo n) Isto qur dizr qu j0n = j2πn = j4πn =... Introdução O ixo d frquências agora não é mais dado m Hrtz! Frquência vai d 0 a ϖ Para convrtr m Hrtz: rgra d três ond ϖquival a Fs/2 Hrtz 5d 15

6 Sinais Sistmas 2 Introdução Condiçõs para xistência: x[n] for somávl Ou tivr nrgia finita Outra caractrística important: simtria par Séris mais comuns: n= x [ n] < n= x [ n] X ( n) = X 2 * < ( N n) 6d 15

7 Sinais Sistmas 2 Exmplo: stim a TF do sinal: x n [ n] = a u[ n], a < 1 Introdução 7d 15

8 Propridads Sinais Sistmas 2 Introdução Gralmnt similars a do tmpo contínuo 1) Simtria do spctro j ω+ 2π ) X ( ) = ( Não val para o tmpo contínuo 2) Linaridad X ( ) X X ( ) ( ) par d ω ímpar d ω I [ n] + bx [ n] ax ( ) bx ( ) ax d 15

9 Sinais Sistmas 2 Introdução 3) Dslocamnto tmpo-frquência-tmpo x [ ] ( n I X ) I [ n n ] n X ( ) x 0 x 0 I [ ] ( j( ω ) 0 ) n X 0n ω Exmplo: considr a rsposta idal do filtro passa-baixas com frquência cort. A partir dla, projto o filtro passa alta com rsposta a frq. similar a: 9d 15

10 Sinais Sistmas 2 4) Expansão no tmpo Exmplo: x k ( )[ n] x = [ n k] 0,, s n for múltiplo d k s n não for múltiplo d k Introdução 10d 15

11 Sinais Sistmas 2 Introdução 5) Convolução 6) Multiplicação no tmpo logo Y Y x[n] y h[n] [ n] = x[ n] h[ n] Y ( ) = X ( ) H( y[n] [ n] = x [ n] x [ n] y 1 2 [ n] I X ( ) [ n] I X ( ) x1 1 n ( ) = y[ n] = x1 [ n] x2[ ] n= n= 1 jθ j( ω θ ) ( ) = X 1( ) X 2 ( ) 2 π 2 π n dθ n ) x2 2 Convolução priódica d 11d 15

12 Sinais Sistmas 2 7) Qustão da dualidad Introdução Exist dualidad tmpo contínuo NÃOxist dualidad 12d 15

13 Sinais Sistmas 2 Introdução 13d 15

14 Sinais Sistmas 2 Introdução 14d 15

15 Sistmas caractrizados por quaçõs d difrnças Sinais Sistmas 2 Formato: x[n] h[n] y[n] X( ) H( ) Y( ) Introdução Matmatizando: N k = 0 N k = 0 a k a k y jkω M [ n k] = bk x[ n k] Y k = 0 M ( ) jkω = ( b ) k X k = 0 15d 15 H ( ) ( ) Y ( ) = X M k = 0 = N k = 0 b a k k jkω jkω

16 Exrcícios Sinais Sistmas 2 1)Considr o sistma abaixo formado plos módulos. Os sistmas são filtros passa baixas com frquências d cort m 4 ganho unitário na banda d passagm. Dtrmin a comportamnto global do sistma. Introdução 16d 15 2)Dtrmin a rsposta ao impulso do sistma LIT causal qu é caractrizado pla quação d difrnças: 3 1 y [ n] y[ n 1] + y[ n 2] = x[ n] Dados/dicas: roots([1-3/4 1/8]) ans = Polo=(1 -r. -jw ) Fraçõs parciais : chamar -jw =u (função Matlab: rsiduz)