MGCSTERM - MGCSFORT PROGRAMAS MULTIGRID - CORRECTION STORAGE PARA SIMULAÇÃO NUMÉRICA DE ESCOAMENTOS LAMINARES E TRANSFERÊNCIA DE CALOR

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1 Laboratório d Computação m Fnômnos d Transport MGCSTERM - MGCSFORT ROGRAMAS MULTIGRID - CORRECTION STORAGE ARA SIMULAÇÃO NUMÉRICA DE ESCOAMENTOS LAMINARES E TRANSFERÊNCIA DE CALOR José Antonio Rabi Grupo d squisa d Computação m Fnômnos d Transport Dpto. Enrgia - Divisão d Engnharia Mcânica-Aronáutica - IEME Instituto Tcnológico d Aronáutica - ITA São José dos Campos - S Maio

2 ÍNDICE I. INTRODUÇÃO... 1 I.1. SOLUÇÃO NUMÉRICA DE ROBLEMAS EM ENGENHARIA... 1 I.2. CONVERGÊNCIA DA SOLUÇÃO NUMÉRICA... 1 I.3. OBJETIVO E ORGANIZAÇÃO DO RELATÓRIO... 2 II. MODELO MATEMÁTICO... 3 II.1. EQUAÇÕES DO ESCOAMENTO LAMINAR... 3 II.2. EQUAÇÃO GERAL DE TRANSORTE... 4 II.3. CONDIÇÕES DE CONTORNO... 4 II.3.1. ard sólida... 5 II.3.2. Linha d simtria... 5 II.3.3. rfil d ntrada... 5 II.3.4. rfil d saída... 5 III. MÉTODO NUMÉRICO... 6 III.1. FORMULAÇÃO EM VOLUMES FINITOS... 6 III.2. DISCRETIZAÇÃO DOS TERMOS DA EGT... 7 III.2.1. Discrtização dos trmos convctivos... 7 III.2.2. Discrtização dos trmos difusivos... 8 III.2.3. Discrtização dos trmos convctivos difusivos - squma WUDS... 9 III.2.4. Discrtização do trmo font... 9 III.2.5. Forma final da quação algébrica... 9 III.3. TRATAMENTO DOS TERMOS FONTES III.3.1. Trmo font da EGT para a quantidad d movimnto III.3.2. Trmo font da EGT para a nrgia III.4. TRATAMENTO DAS CONDIÇÕES DE CONTORNO III.5. ACOLAMENTO RESSÃO-VELOCIDADE III.5.1. Equação d corrção da prssão i

3 III.5.2. Condiçõs d contorno para a quação da corrção da prssão III.5.3. Atualização da prssão, das vlocidads dos fluxos mássicos III.6. ARÂMETROS DE SUB-RELAXAÇÃO III.7. MÉTODO MULTIGRID III.7.1. Formulação corrction storag - CS III.7.2. Transfrência d valors ntr as malhas III.7.3. Obtnção da matriz dos coficints m malhas mais grossas III.7.4. Tratamnto das coordnadas da malha computacional III.7.5. Estratégia d mudança d nívl d malha IV. DESCRIÇÃO DOS ROGRAMAS IV.1. FLUXOGRAMA DO ALGORITMO MULTIGRID CS IV.2. ROGRAMA MGCSTERM IV.2.1. Módulo principal grnciador - MAIN IV.2.2. Módulo d ntrada d dados - INUT IV.2.3. Módulo d construção da malha computacional - GRID IV.2.4. Módulo d cálculo da matriz dos coficints - COEFIC IV.2.5. Módulo d suavização do sistma algébrico - SMOOTH IV.2.6. Módulo d cálculo do rsíduo - RESID IV.2.7. Módulo d rstrição - RESTRI IV.2.8. Módulo d prolongamnto - ROLON IV.2.9. Módulo d transfrência d valors - TRANSFER IV.3. ROGRAMA MGCSFORT IV.3.1. Módulo principal grnciador - MAIN IV.3.2. Módulo d ntrada d dados - INUT IV.3.3. Módulo d inicialização d grandzas do scoamnto - INIT IV.3.4. Módulo d tratamnto do campo d vlocidads - CALCUV IV.3.5. Módulo d tratamnto do campo d corrçõs para a prssão - CALC IV.3.6. Módulo d cálculo d gradint d prssõs - CALCD IV.3.7. Módulos d prolongamnto d rstrição - ROLON RESTRI IV.4. LISTA DAS VARIÁVEIS EMREGADAS NOS ROGRAMAS IV.5. ESTRUTURA DO ARQUIVO DE DADOS ii

4 V. EXEMLOS V.1. SOLUÇÃO DE ROBLEMA TÉRMICO V.2. SOLUÇÃO DE ROBLEMAS HIDRODINÂMICOS V.2.1. Escoamnto laminar ntr placas planas parallas V.2.2. Escoamnto ntr placas com xpansão abrupta iii

5 I. INTRODUÇÃO I.1. SOLUÇÃO NUMÉRICA DE ROBLEMAS EM ENGENHARIA É cada vz mais crscnt o mprgo d métodos numéricos para a solução d problmas m ngnharia. As soluçõs numéricas obtidas têm sido d qualidad confiávis (mdiant a validação física / numérica), msmo m problmas rlativamnt complxos. O dsnvolvimnto da ára d Mcânica dos Fluidos Transfrência d Calor Computacional é graças não só à disponibilidad d computadors d alta vlocidad, grand capacidad d armaznamnto baixo custo, como também ao uso d métodos numéricos ficints prcisos. Atualmnt, a simulação numérica já stá incorporada à solução d problmas d ngnharia aronáutica arospacial, procssos d produção d nrgia, fnômnos ambintais projtos d quipamntos térmicos. Nsss problmas, o scoamnto d fluidos (com ou sm transfrência d calor) stá prsnt dv sr adquadamnt dscrito por sr fundamntal m tais procssos. I.2. CONVERGÊNCIA DA SOLUÇÃO NUMÉRICA ara qu crtos dtalhs padrõs do scoamnto possam sr rproduzidos, são mprgadas malhas computacionais bm rfinadas, o qu tnd a aumntar o tmpo ncssário para s obtr a solução numérica. Em métodos itrativos clássicos, a taxa d convrgência é máxima no início dos cálculos, passando porém a dcair snsivlmnt à mdida qu o procsso itrativo volui. Através d considraçõs da álgbra linar, mostra-s [1, 2, 3] qu tal comportamnto vm do fato d o método itrativo sr ficint na rmoção somnt daqulas componnts d Fourir do rro cujos comprimntos d onda são mnors qu ou comparávis ao spaçamnto da malha. Após algumas itraçõs, as componnts d baixo comprimnto d onda já stão suavizadas o procsso d convrgência torna-s lnto m dcorrência do baixo dsmpnho do método itrativo na rdução das componnts d comprimnto d onda lvado. Com bas nssa obsrvação, a idéia do método multigrid é cobrir um spctro maior d comprimntos d onda através da itração não apnas m uma única malha, mas m uma sqüência d malhas cada vz mais grossas. Comprimntos d onda d componnts do rro qu são grands m malhas finas são transformados m comprimntos mnors m malhas grossas, sndo o rro ali mlhor suavizado. O procsso d convrgência é aclrado através d itraçõs m spaçamntos 1

6 variados, nos quais as componnts do rro com comprimntos d onda corrspondnts podm sr ficintmnt rduzidas. I.3. OBJETIVO E ORGANIZAÇÃO DO RELATÓRIO Est rlatório dscrv os programas computacionais MGCSTERM MGCSFORT dsnvolvidos para a solução numérica d problmas m rgim prmannt d mcânica dos fluidos transfrência d calor m coordnadas cartsianas bidimnsionais. O primiro dls rsolv um problma térmico simpls, no qual o campo d vlocidads é conhcido constant. O sgundo rsolv problmas nvolvndo scoamntos laminars incomprssívis com propridads constants (sm transfrência d calor). Os programas foram scritos m linguagm FORTRAN 90, no ambint Microsoft Fortran owr Station, A discrtização é fita sgundo uma formulação m volums finitos, para a qual são mprgadas malhas computacionais struturadas ortogonais, podndo ou não sr uniforms. O sistma d quaçõs algébricas rsultant é rsolvido por mio dos algoritmos itrativos Gauss- Sidl TDMA - TriDiagonal Matrix Algorithm [4, 5] a taxa d convrgência é aclrada mdiant a aplicação do método multigrid. Val mncionar qu sts programas fazm part d um projto amplo qu visa a laboração d um pacot computacional mais complto, com o intuito d rsolvr problmas complxos d mcânica dos fluidos transfrência d calor qu lvm m conta modlos d turbulência, outros sistmas d coordnadas, rgim transint, propridads variávis, ntr outros aspctos. Assim, os problmas abordados plos programas aqui aprsntados são rlativamnt simpls, sja no modlo físico-matmático, sja na gomtria. A organização do txto é dscrita a sguir. O Cap. I situa o rlatório faz uma brv introdução aos principais assuntos por l nvolvidos. No Cap. II são aprsntadas as quaçõs govrnants as condiçõs d contorno dos problmas abordados. O Cap. III diz rspito à implmntação da solução numérica, nquanto qu o Cap. IV é rsrvado para a aprsntação dscrição dos programas MGCSTERM MGCSFORT. O Cap. V ilustra a aplicação d ambos programas na solução d alguns problmas simpls. 2

7 II. MODELO MATEMÁTICO II.1. EQUAÇÕES DO ESCOAMENTO LAMINAR O movimnto d um fluido o transport d nrgia através dl são dscritos plas quaçõs para a massa, para a quantidad d movimnto para a nrgia, as quais rprsntam matmaticamnt o princípio d consrvação dstas grandzas. ara os problmas rsolvidos por MGCSTERM MGCSFORT, qu nvolvm apnas scoamntos laminars incomprssívis, m rgim prmannt m coordnadas cartsianas bidimnsionais, stas quaçõs são simplificadas assumm as formas aprsntadas a sguir [6, 7]. Equação da continuidad (consrvação d massa) : ( ρu ) + ( ρv ) = 0 (II-1) x y Equação da quantidad d movimnto - dirção x : x µ U µ U + = + + s y x x y y x U (II-2) 2 ( ρu ) ( ρuv ) Equação da quantidad d movimnto - dirção y : x µ V + = y x x 2 ( ρuv ) ( ρv ) + µ V + s y y y V (II-3) Equação da nrgia : x + = y ( ρut ) ( ρvt ) K x C T K + x y C T + S y T (II-4) Nstas quaçõs, a simbologia sgu a usual: U V para as vlocidads nas dirçõs x y rspctivamnt, ρ para a dnsidad, µ para a viscosidad, para a prssão d movimnto (difrnça ntr as prssõs stática hidrostática), T para a tmpratura, C p para o calor spcífico a prssão constant, K para a condutividad térmica S T para o trmo font (gração intrna d calor). Os trmos s U s V guardam os trmos fonts viscosos, dados por s U U V U V = µ + µ sv = µ + µ x x y x x y y y (II-5) qu s anulam pla quação da continuidad, Eq. (II-1), para fluidos com ρ µ constants. 3

8 II.2. EQUAÇÃO GERAL DE TRANSORTE As quaçõs d transport antriors podm sr scritas d um modo gnralizado, sob a forma conhcida na litratura como quação gral d transport (EGT). ara problmas m coordnadas cartsianas bidimnsionais m rgim prmannt, a EGT é dada por x + = y ( ρuφ) ( ρvφ) φ φ Γ + Γ + S, (II-6) x φ x y φ y φ ond φ é uma grandza do scoamnto (dnsidad, componnts da vlocidad, tmpratura, tc.), Γ φ é o coficint d difusão dsta grandza S φ é o trmo font. Os valors assumidos por φ, Γ φ S φ para as grandzas rsolvidas por MGCSTERM MGCSFORT são mostrados na Tab. II-1. Ela não contém os trmos rfrnts à dnsidad (φ = 1, Γ φ = 0, S φ = 0) por sta não sr uma grandza rsolvida uma vz qu os scoamntos analisados são incomprssívis ( ρ constant). Tab. II-1 Coficints d difusão trmos fonts da EGT. φ Γ φ S φ U µ x V µ y T K C S T Os trmos do lado squrdo da Eq. (II-6) rprsntam o balanço convctivo da variávl φ são os mais dlicados para o tratamnto numérico m problmas hidrodinâmicos dvido às nãolinaridads. Os dois primiros trmos do lado dirito rprsntam o balanço dos fluxos difusivos. O trmo font é o rsponsávl por acomodar todos aquls trmos qu não s ncaixam na forma dada pla Eq. (II-6), possibilitando stablcr normais grais para qu sua solução possa sr stablcida. II.3. CONDIÇÕES DE CONTORNO Os tipos d condiçõs d contorno para as componnts da vlocidad implmntados m MGCSFORT são: (1) pard sólida, (2) linha d simtria, (3) prfil d ntrada ou (4) prfil d saída. A slção aplicação d um dtrminado tipo s faz conform à gomtria / física do 4

9 problma d intrss invstigado, como ilustra a Fig. II-1. A discussão sobr a implmntação numérica d cada um srá vista no Capítulo III. Em MGCSTERM, somnt a condição d contorno d Dirichlt (valor prscrito) foi aplicada. Fig. II-1 Condiçõs d contorno implmntadas m MGCSFORT (n rfr-s à dirção normal à frontira t à dirção tangncial) II.3.1. ard sólida Em scoamntos laminars, a condição d adrência é aplicada sobr as pards. ara suprfícis imprmávis, é atribuído o valor zro para ambas as componnts da vlocidad. II.3.2. Linha d simtria Ao longo d uma linha d simtria são atribuídos valors nulos para o gradint na dirção normal da vlocidad tangncial para a componnt da vlocidad normal à linha. II.3.3. rfil d ntrada Os prfis d ntrada a srm prscritos podm sr xtraídos d dados xprimntais ou d outra forma d informação mpírica ou simplsmnt arbitrados conform o intrss. II.3.4. rfil d saída Assum-s star o scoamnto totalmnt dsnvolvido. Dst modo, são dsprzados os gradints das vlocidads na dirção principal do scoamnto. 5

10 III. MÉTODO NUMÉRICO III.1. FORMULAÇÃO EM VOLUMES FINITOS A rgião d cálculo ond s busca a solução do problma é dividida m volums d control (VC) não-suprpostos, cada um nvolvndo um único ponto nodal da malha computacional. Em MGCSTERM MGCSFORT as malhas são struturadas, ortogonais, podndo ou não sr uniforms (rgulars), como ilustra a Fig. III-1. Os pontos nodais localizam-s no cntro do VC (squma cll-cntrd) são numrados a partir do canto infrior squrdo até NI NJ, númro d VCs nas dirçõs x y rspctivamnt. A xistência d pontos nodais sobr as frontiras do domínio (VC d dimnsão nula) rlaciona-s com a aplicação das condiçõs d contorno. Fig. III-1 Disposição dos volums d control no domínio d cálculo. As variávis são armaznadas sgundo um arranjo colocalizado [4, 5], para o qual podm surgir problmas rlacionados ao acoplamnto prssão-vlocidad à dtcção d campos oscilatórios [5]. ara vitá-los, m MGCSFORT é ralizado um squma spcial d intrpolação para s obtr os valors das vlocidads nas facs do VC, dscrito na sção III.5. 6

11 A Fig. III-2 mostra o squma d cada VC, aprsntando a nomnclatura d suas principais dimnsõs (δx, δy) distâncias intrnodais ( x w, x, y n, y s ). Com bas na Fig. III-1, sts valors são calculados plas xprssõs δx = x x δy = y y i i 1 j j 1 Fig. III-2 Esquma nomnclatura d cada volum d control. 1 1 x = x x x = x x 2 2 ( ) ( ) w i i 2 i+1 i 1 1 ( ) ( ) 1 y = y y y = y y 2 2 s j j 2 n j+1 j 1 (III-1) III.2. DISCRETIZAÇÃO DOS TERMOS DA EGT A manira rcomndada [4] d s obtr as quaçõs algébricas no método d volums finitos é partir da EGT na forma consrvativa, Eq. (II-6), intgrá-la sobr o VC da Fig. III-2 sgundo x y φ φ d Γ Γ dv Sφdv (III-2) x x y y δ δ ( ρuφ) + ( ρvφ) v = φ + φ + δv v v ond δv = δx δy. O próximo passo é a discrtização da Eq. (III-2) qu srá aprsntada sparada rsumidamnt para os sguints trmos: trmos convctivos (intgral do lado squrdo); trmos difusivos (primira intgral do lado dirito) trmo font (última intgral do lado dirito). Uma dscrição mais dtalhada dsts procdimntos d discrtização pod sr ncontrada m [8]. III.2.1. Discrtização dos trmos convctivos Fazndo a hipóts d qu a grandza avaliada no mio da fac do VC sja constant ao longo da msma, a intgração dos trmos convctivos rsulta m C φ C w φ w + C n φ n C s φ s (III-3) ond os fluxos mássicos (convctivos) através das facs do VC são dados por C = (ρu) δy, C w = (ρu) w δy, C n = (ρv) n δx, C s = (ρv) s δx. (III-4) Nst ponto é introduzido o squma d intrpolação, prmitindo o cálculo das grandzas d suas drivadas nas facs do VC. Em MGCSTERM é adotado o squma WUDS - Wightd Upstram Diffrncing Schm [9], a sr discutido no itm III.2.3 por também abrangr a 7

12 discrtização dos trmos difusivos. Em MGCSFORT é adotado o squma FBDC - Flux Blndd Dfrrd Corrction [10], qu faz uma combinação linar dos squmas CDS - Cntral Diffrncing Schm UDS - Upwind Diffrncing Schm, aprsntados a sguir. No squma FBDC, os valors sobr a fac são calculados sgundo UDS UDS CDS UDS ( 1 ) ( ) CDS φ = λφ + λ φ = φ + λ φ φ fac fac fac fac fac fac (III-5) ond o fator d combinação λ varia ntr 0 (UDS puro) 1 (CDS puro). No procdimnto numérico, o trmo ntr parêntss (última xprssão) é calculado com valors oriundos do nívl itrativo antrior, dnotados com astrisco. No squma UDS, os valors da grandza na intrfac são dados por [, 0] [, 0] E w w [ w, 0] W [ w, 0] C φ = max C φ max C φ C φ = max C φ max C φ [ n, 0] [ n, 0] N s s [ s, 0] S [ s, 0] C φ = max C φ max C φ C φ = max C φ max C φ n n (III-6) ond o oprador max[a,b] fornc o maior ntr a b. or sua vz, no squma CDS, sts valors são dados por ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) φ = f φ + f φ φ = f φ + f φ x, x, E w x,w W x,w φ = f φ + f φ φ = f φ + f φ n y, y, N s y, S S y, S ond, por xmplo, o fator d intrpolação linar f x, é calculado sgundo f x, x = f x,i = x E x x x = x x x i i 1 i+1 i 1 Exprssõs análogas podm sr obtidas para f com rlação às dmais facs. (III-7). (III-8) III.2.2. Discrtização dos trmos difusivos la hipóts d drivada constant ao longo da fac ( lmbrando qu no caso Γ φ = µ pois φ = U, V ), a intgração dos trmos difusivos sobr o VC rsulta m µ φ δ y µ φ δ y µ φ δ x µ φ δx x + x y y w n s. (III-9) No procdimnto numérico, o squma CDS é novamnt utilizado para s calcular os gradints nas facs do VC φ φ E φ φ φ φw φ φ N φ φ φ φ =, =, =, = x x x x y y y y w w n n s s S. (III-10) 8

13 III.2.3. Discrtização dos trmos convctivos difusivos - squma WUDS O squma WUDS usa dois coficints α β qu srvm como psos ntr os procssos d convcção difusão. Tomando a fac lst como xmplo, o valor da tmpratura d sua drivada na intrfac são aproximados por 1 1 T T = + α T + α TE = β 2 2 x TE T x. (III-11) Os coficints α β são xprssos por mio d xponnciais [8], acarrtando dificuldads rlacionadas com o tmpo d computação. ara contorná-las, m MGCSTERM são adotadas as sguints aproximaçõs [11] ond α 2 = β 2 p ( ) ( K / Cp ) ( δy / x ) 1 = ρ = U x ρu δy C = = K / C D 2 2 (III-12) (III-13) é o númro d clt do VC (basado na distância x ) D = K C p δy x (III-14) é o fluxo difusivo através da fac. Exprssõs análogas são propostas para as dmais facs [4], com calculado com bas nos rspctivos fluxos convctivos difusivos. III.2.4. Discrtização do trmo font lo Torma do Valor Médio, a intgral do trmo font é xprssa como S φdv = S φδv S φ,δv. (III-15) δv ara trmo font S φ dpndnt da própria grandza φ, faz-s [4, 5] uma linarização da forma S φ, = S c + S φ. (III-16) III.2.5. Forma final da quação algébrica Introduzindo na EGT intgrada sobr o VC, Eq. (III-2), todas as discrtizaçõs aprsntadas nos itns III.2.1 a III.2.4, chga-s após algumas manipulaçõs algébricas à quação a φ = a W φ W + a E φ E + a S φ S + a N φ N + b. (III-17) ara a discrtização com bas no squma FBDC, os coficints são dados por 9

14 [ ] W [ w ] [ n ] n S [ s ] a = max C,0 + D a = max C,0 + D E a = max C,0 + D a = max C,0 + D a = a + a + a + a S δv N w s E W N S (III-18) ond o fluxo difusivo, para a fac lst por xmplo, é dado por D y = µ δ x. (III-19) O trmo b contém contribuiçõs do trmo font do trmo rfrnt à dfrrd corrction DC DC DC DC DC ( ) b = S δv + λ a φ + a φ + a φ + a φ a φ (III-20) c ond os coficints dsta última contribuição são dados por W W E E DC [, 0] x, W [ w, 0] w( 1 x,w ) DC [ n, ] n y, S [ s, ] s ( y, S) DC a = max C C f a = max C + C f E S DC a = max C 0 C f a = max C 0 + C 1 f. (III-21) N DC DC DC DC a = a + a + a + a E W N DC S ara a discrtização com bas no squma WUDS, os coficints o trmo font são S N N 1 ae = C D aw w Cw w Dw a ae aw an as S v + = 1 + α β α + β = δ an = n Cn n Dn as s Cs sds b Sc v + = 1 + α β α + β = δ 2 2 (III-22) III.3. TRATAMENTO DOS TERMOS FONTES III.3.1. Trmo font da EGT para a quantidad d movimnto Conform visto no Cap. II, o trmo font na quação para a quantidad d movimnto só rcb contribuição do gradint d prssão. Na dirção x, a intgração do gradint d prssão sobr o VC da Fig. III-2 lva à d v = ( w ) δy (III-23) x δv com os valors d nas facs calculados sgundo uma intrpolação ou xtrapolação linar, isto é, pontos intrnos: = (1 f x, ) + f x, E, w = (1 f x,w ) W + f x,w (III-24) pontos d frontira: = + ( W )(1 f x,w ), w = ( E ) f x, (III-25) Analogamnt, para a dirção y tm-s d v = ( n s ) δx (III-26) y δv 10

15 pontos intrnos: n = (1 f y, ) + f y, N, s = (1 f y,s ) S + f y,s (III-27) pontos d frontira: n = + ( S )(1 f y,s ), s = ( N ) f y, (III-28) Com rlação à Eq. (III-16), as contribuiçõs dadas plas Eqs. (III-23) (III-26) são guardadas m S c δv faz-s S = 0. III.3.2. Trmo font da EGT para a nrgia Em MGCSTERM não são considradas fonts intrnas d calor. Dss modo, S T = 0. III.4. TRATAMENTO DAS CONDIÇÕES DE CONTORNO Com bas no qu foi discutido na sção II.3, a Tab. III-1 rsum como as condiçõs d contorno são matmaticamnt aplicadas mostra as consqünts altraçõs na EGT discrtizada, Eq. (III-17), no programa MGCSFORT. É tomada a frontira sul como xmplo (subscrito s), mas a implmntação as altraçõs para as dmais facs podm sr infridas por analogia. Tab. III-1 Condiçõs d contorno implmntadas rspctivas altraçõs na EGT discrtizada. Tipo d frontira condição d contorno Modificaçõs na quação algébrica suprfíci sólida U s = V s = 0 U linha d simtria y s = V = 0 s U S = U s = 0 a S s x = µ δ δy / 2 V S = V s = 0 a S = 0 U S = U a S = 0 V S = V s = 0 a S s x = µ δ δy / 2 s x prfil d ntrada U s, V s prscritos US = U O VS = VO as = µ δ δ y / 2 prfil d saída U y s V = = 0 U y S = U V S = V a S = 0 s Além disso os fluxos mássicos d saída são corrigidos m rlação aos fluxos d ntrada d modo a prsrvar a consrvação d massa no intrior do domínio: C saida = cf. C, cf saida m = & m& ntrada saida (III-29) 11

16 ond &m ntrada &m saida corrspondm ao somatório d todos os fluxos mássicos d ntrada d saída plas frontiras do domínio, rspctivamnt. Em MGCSTERM somnt é mprgada a condição d contorno d Dirichlt (valor prscrito, msmo qu nulo). Assim, na Eq. (III-17) scrita para a tmpratura, dv-s introduzir o valor T S = T s, o qual é obtido impondo-s α s = ½ na xprssão para T s 1 1 Ts = + α s TS + α s T. (III-30) 2 2 or sua vz, β s é avaliado com s sndo calculado com y s = δy / 2. Os novos valors dsts dois parâmtros são ntão lvados às Eq. (III-22). Em [8] são ncontrados maiors dtalhs acrca da aplicação implmntação das condiçõs d contorno aqui aprsntadas. III.5. ACOLAMENTO RESSÃO-VELOCIDADE O acoplamnto prssão-vlocidad adotado m MGCSFORT é basado no algoritmo SIMLE (Smi-Implicit Mthod for rssur-linkd Equations) dsnvolvido por atankar Spalding [12]. O algoritmo é composto das sguints tapas: a) Valors iniciais das grandzas são stimados para s avaliar os coficints (fluxos convctivos difusivos) das EGTs na forma discrtizada as difrnças d prssão. b) As quaçõs da quantidad d movimnto são montadas rlaxadas, rsultando nos campos U V, qu não satisfazm a continuidad. c) É drivada uma quação qu fornça corrçõs para a prssão, cuja obtnção rsulta m corrçõs às vlocidads, visando satisfazr a continuidad. d) Caso stjam sndo rsolvidas, as dmais grandzas do scoamnto são agora tratadas. ) Toma-s o valor corrigido da prssão como nova aproximação o algoritmo é rtomado a partir do passo (b), até atingir a convrgência. III.5.1. Equação d corrção da prssão Manipulando-s a quação da continuidad, Eq. (II-1), as quaçõs para a quantidad d movimnto, Eqs. (II-2) (II-3), chga-s a quação algébrica [8] a = aww + aee + ass + an N Sm. (III-31) Esta é a quação para a corrção da prssão, cujos coficints são dados por a W w y y s x n x = ρ δ 2, ae = ρ δ 2, as = ρ δ 2, an = ρ δ 2, a = a + a + a + a ( a ) ( a ) ( a ) ( a ) w s 12 n W E S N (III-32)

17 o trmo font S m rprsnta o dsbalanço d massa, dcorrnt da avaliação da quação da continuidad usando valors intrmdiários (aproximados) das vlocidads nas facs do VC, ρu δy ρwu wδy + ρnvn δx ρsvs δx = S m. (III-33) Como m MGCSFORT as variávis são armaznadas sgundo um arranjo colocalizado, um squma spcial d intrpolação dv sr adotado para s calcular U, U w, V n V s d modo a vitar o dsacoplamnto da vlocidad com a prssão possívis soluçõs oscilatórias [5]. ara a vlocidad na fac lst por xmplo, st squma lva a ( 1 x, ) ( ) y y y δ E U = ( f x, ) U + ( w ) f x, U E E ( ) a a + + δ δ 1 f a + f a x, E. (III-34) Maiors dtalhs sobr a aplicação do algoritmo SIMLE m MGCSFORT são ncontrados m [8]. III.5.2. Condiçõs d contorno para a quação da corrção da prssão As condiçõs d contorno aplicadas dizm rspito a valors conhcidos para as vlocidads normais, as quais não ncssitam, portanto, srm corrigidas. Tal é o caso dos tipos d frontiras considradas m MGCSFORT: pards sólidas, linhas d simtria prfis d ntrada / saída. Do ponto d vista numérico, tal situação corrspond a uma condição d contorno d von Numann d gradint nulo, d modo qu na Eq. (III-31) dv-s impor a = 0 para a frontira m qustão. III.5.3. Atualização da prssão, das vlocidads dos fluxos mássicos Após a quação da corrção da prssão tr sido rlaxada, as componnts da vlocidad, a prssão m si os fluxos mássicos são atualizados sgundo U C δy δx = U ( w ) V = V ( n s ) = + a a 2 2 ρ δy ρ δx = C E n = n N ( a ) ( a ) n ( ) C C ( ) n. (III-35) Ests novos valors satisfazm a continuidad mas não mais satisfazm as quaçõs da quantidad d movimnto srvm como aproximação inicial para o próximo passo itrativo. III.6. ARÂMETROS DE SUB-RELAXAÇÃO Em virtud da não-linaridad das quaçõs para a quantidad d movimnto, do acoplamnto prssão-vlocidad do fato d alguns trmos srm dsprzados na ddução da quação para a corrção da prssão [8], o algoritmo SIMLE pod divrgir caso não sja mprgada alguma forma d sub-rlaxação. 13

18 Em MGCSFORT, ao invés da Eq. (III-35), a prssão é corrigida sgundo = + ξ (III-36) ond ξ é o fator d sub-rlaxação para a prssão. ara as componnts da vlocidad, a subrlaxação é aplicada sgundo [8] ( φ ) a a avz vz b ξ φ = φ ξ ξ φ (III-37) φ vz ond ξ φ simboliza ξ U ou ξ V quando φ rprsntar U ou V, rspctivamnt. φ III.7. MÉTODO MULTIGRID Introduzindo os índics i j para localizar o ponto nodal na malha computacional sgundo as dirçõs x y rspctivamnt, a Eq.(III-17) pod sr rscrita na forma a φ ij a W φ i 1j a E φ i+1j a S φ ij 1 a S φ ij+1 = b ij. (III-38) romovndo a varrdura d todos os índics i j, as Eqs. (III-38) rsultants formam um sistma d quaçõs algébricas xprsso na forma matricial por A k Φ k = b k, (III-39) ond A k é a chamada matriz dos coficints, Φ k é a matriz das incógnitas b k é a matriz qu acomoda os trmos fonts. O índic k rfr-s ao nívl d malha m qustão. Quando o sistma é rsolvido m apnas uma malha, st índic torna-s dsncssário. od-s rsolvr o sistma (III-39) com a aplicação d algum método itrativo. Em métodos clássicos (Jacobi, Gauss-Sidl, TDMA), a vlocidad d convrgência da solução numérica é lvada no início dos cálculos, dcaindo snsivlmnt à mdida qu o procsso itrativo volui. Através d uma anális spctral, mostra-s qu sts métodos são ficints somnt na suavização (rmoção) d componnts d Fourir do rro d altas frqüências, o msmo não ocorrndo para o spctro d baixas frqüências [3, 4, 5]. Sgu daí qu as componnts do rro d baixas frqüências (cujos comprimntos d onda são maiors qu o spaçamnto da malha) são as rsponsávis pla lnta convrgência dmonstrada plos procssos itrativos qu usam um único nívl d malha. ara qu componnts do rro d longos comprimntos d onda (baixas frqüências) possam sr liminados com ficiência, o método multigrid utiliza uma sqüência d malhas cada vz mais grossas. Assim, comprimntos d onda qu são longos m malhas finas, são transformados m curtos m malhas grossas, ond ntão o rro pod sr suavizado. Em cada nívl d malha, as 14

19 componnts do rro corrspondnts são ficintmnt rduzidas, aclrando o procsso d convrgência. Dpndndo d como o sistma d quaçõs algébricas é oprado nas malhas mais grossas, há dois modos d s construir o algoritmo multigrid: na formulação corrction storag (CS) na formulação full approximation storag (FAS). O primiro é rcomndado para a solução d problmas linars, nquanto qu o sgundo para problmas não-linars [4, 13, 14]. Ainda assim, Jiang t al. [15] rlataram a obtnção d bons rsultados com a aplicação do método multigrid CS na solução d alguns problmas bidimnsionais d mcânica dos fluidos foi com bas nss prcdnt qu foi laborado o programa MGCSFORT. Uma vantagm do algoritmo multigrid CS frnt ao FAS é qu, na passagm d uma malha fina para uma mais grossa (opração d rstrição), rqur-s apnas a manipulação dos rsíduos das quaçõs na malha fina, sm s rqur a manipulação das grandzas, ncssária na formulação FAS [8]. Computacionalmnt, a rstrição dos rsíduos é bm mais simpls do qu a rstrição das grandzas o algoritmo torna-s ntão d fácil implmntação. III.7.1. Formulação corrction storag - CS Nst squma, procura-s obtr nas malhas grossas aproximaçõs para a corrção da grandza do scoamnto, a qual é rsolvida unicamnt na malha mais fina. Em outras palavras, Φ k na malha mais fina guarda aproximaçõs da própria grandza nquanto qu nas dmais guarda aproximaçõs da sua corrção (dond o nom corrction storag). Após um crto númro d itraçõs aplicadas ao sistma (III-39), obtém-s uma aproximação Φ k, acompanhada da rspctiva corrção φ k O rsíduo r k é dfinido como sndo Mostra-s [8] qu a corrção φ k é a solução d φ k = Φ k Φ k Φ k = Φ k + φ k. (III-40) r k = b k A k Φ k. (III-41) A k φ k = r k. (III-42) A Eq. (III-42) acima é rsolvida por mio d aproximaçõs ralizadas m malhas mais grossas k 1 ond r k 1 é obtido através do oprador d rstrição I k A k 1 φ k 1 = r k 1, (III-43) r k 1 k 1 = I r. (III-44) k k 15

20 Est oprador lva valors da malha k para a malha k 1 srá discutido m itm postrior. Dpois d obtida, a aproximação da corrção φ k 1 m malha grossa é lvada d volta para malhas mais finas através do oprador d prolongamnto I k k 1 (também discutido adiant) φ k = I k k 1φ k 1, (III-45) d forma a rfinar a aproximação Φ k sgundo Φ nw k = Φ + φ. (III-46) k k D um modo abrangnt, todo o procdimnto pod sr rsumido na xprssão ( ) nw k 1 k 1 Φ = Φ + I A I b A Φ. (III-47) k k k 1 k 1 k k k k Uma brv aprsntação da formulação FAS pod sr ncontrada m [8]. III.7.2. Transfrência d valors ntr as malhas Conform visto no itm antrior, a transfrência d valors ntr as malhas s dá mdiant o k uso d opradors d rstrição ( I 1 k k ) d prolongamnto ( I k 1 ). Em MGCSTERM MGCSFORT, a rstrição do rsíduo é fita através da composição do rsíduo do VC da malha grossa somando-s os rsíduos dos 4 VCs da malha fina nl contidos [8, 15, 16, 17, 18, 19, 20], como mostra a Fig. III-3(a). Matmaticamnt, I J i j i j+1 i+1 j i+1 j+1 rk 1 = rk + rk + rk + rk. (III-48) Fig. III-3 Esqumas do procdimnto d (a) rstrição d (b) prolongamnto. 16

21 ara ralizar o prolongamnto é adotada a intrpolação bilinar [6, 14, 15, 16, 17, 18, 19], gnralizada ao uso d malhas não-uniforms. Do ponto d vista computacional, a idéia é construir uma malha intrmdiária ntr as malhas fina grossa, dfinindo um novo conjunto d pontos nodais, ond ficam armaznados tmporariamnt os valors Φ aux rsultants da aplicação do oprador I k k 1 sobr Φ k 1 sgundo uma única dirção coordnada. Em sguida, I k k 1 é aplicado sobr Φ aux sgundo a dirção coordnada rmanscnt d modo a obtr Φ k. A Fig. III-3(b) procura ilustrar sta sqüência d opraçõs. Considrando a malha auxiliar já construída, a opração d prolongamnto para s obtr os valors na malha fina é ralizada através da xprssão i j I j I+1 j φ = ( 1 f ) φ + f φ (III-49) k ond o fator d intrpolação linar f, com bas no squma xibido na Fig. III-4 (cuja simbologia nomnclatura sgum as da Fig. III-3), é dado por aux aux f x = = X x x x x i 1+ii i 2 ii i+ 2 ii i 2 ii. (III-50) Fig. III-4 Dtalhs do procdimnto d prolongamnto. O índic ii, acrscntado d modo a gnralizar a varrdura do índic i, é calculado sgundo ii = mod(i 1, 2), (III-51) ond o oprador mod(a,b) dvolv o rsto da divisão d a por b, ambos númros intiros. Além disso, o índic I na Eq. (III-49) rfrnt à malha grossa é dado pla opração I i = (III-52) ralizada m aritmética d númros intiros. Os valors φ aux são obtidos a partir da malha grossa m procdimnto análogo aplicado, porém, sgundo a dirção y. As grandzas Φ k são armaznadas m um único vtor unidimnsional, sqüncialmnt dsd o nívl k = 1 até k = M = númro d malhas, conform ilustra a Fig. III-5. 17

22 Φ 1 Φ 2... Φ k... Φ M Fig. III-5 Modo d armaznamnto das grandzas plos vários nívis d malha. ara tanto, os índics i, j k são condnsados sgundo a xprssão ij = acum(k) + (i 1) NJ + j, (III-53) ond acum(k) guarda o númro d VCs acumulados dsd o nívl k = 1 até o dado nívl k. Em MGCSFORT, os vtors unidimnsionais rfrnts a U, V são agrupados d modo a formar uma matriz (cada vtor corrspondndo a uma linha dsta matriz). ara a manipulação dos valors Φ k são dfinidas matrizs d trabalho φ(i, j) (com os índics dsacoplados) dimnsionadas d acordo com o tamanho da malha mais fina. Estas matrizs dvolvm para rcbm do vtor unidimnsional os valors Φ k do nívl d malha m qustão, sndo implmntadas para ralizar stas tarfas uma rotina d importação (do vtor para a matriztrabalho) outra d xportação (da matriz-trabalho para o vtor). III.7.3. Obtnção da matriz dos coficints m malhas mais grossas As Eqs. (III-18) (III-22) mostram qu os trmos da matriz A k contm uma contribuição convctiva outra difusiva, as quais são calculadas na malha mais fina, ponto d partida do algoritmo multigrid CS m MGCSTERM MGCSFORT. À mdida qu vão s procdndo as rstriçõs, A k é obtida m nívis mais grossos tratando-s sparadamnt stas contribuiçõs [15, 17, 18]. As difusivas, por dpndr da gomtria da malha, são rcalculadas a cada mudança d nívl d malha. Os fluxos mássicos nas intrfacs (contribuiçõs convctivas) são somados d modo a compor os rspctivos fluxos na malha grossa, conform mostra a Fig. III-6 (fluxos rfrnts às facs w s foram omitidos por simplicidad). III.7.4. Tratamnto das coordnadas da malha computacional Fig. III-6 Combinação dos fluxos mássicos nas intrfacs MGCSTERM MGCSFORT usam malhas computacionais struturadas ortogonais, podndo ou não sr uniforms (a malha uniform é um caso particular). Nls, a malha mais fina é construída mdiant um algoritmo qu calcula as coordnadas das facs dos VCs d modo qu as 18

23 dimnsõs dos msmos formm uma progrssão gométrica (G) crscnt ou dcrscnt. As dmais malhas são obtidas rcursivamnt a partir dsta, à mdida qu vão ocorrndo as rstriçõs. Um parâmtro important é a razão d spaçamnto RE dfinida como a razão ntr as dimnsõs (não-nulas) m uma dada dirção coordnada do primiro do último VC da malha ou d um trcho da malha. Com o auxílio da Fig. III-7, tm-s para a dirção x RE x δx = δx 2 NI 1. (III-54) ara valors crscnts d i, a G é dcrscnt s RE x > 1 ou crscnt s RE x < 1. Fig. III-7 Rprsntação d uma malha não-uniform. Sndo N = NI 2 o númro d VCs d dimnsõs não-nulas o comprimnto L x dfinido como mostra a Fig. III-7, mostra-s qu a razão da G q x a dimnsão inicial δx 2 são dadas rspctivamnt por q x N qx = x2 Lx N δ =. (III-55) RE 1 q x 1 x As dmais dimnsõs são obtidas rcursivamnt sgundo δx i = q x δx i 1, i = 3, NI 1. (III-56) A malha uniform corrspond ao caso RE x = q x = 1 δx 2 =... = δx i =... = δx NI 1 = L x / N. ara a dirção y, aplica-s procdimnto smlhant. ara promovr um rfinamnto nas proximidads d ambas as frontiras do domínio a partir da linha média (ou, ao contrário, rfinamnto junto à linha média a partir das frontiras), dv-s primiramnt dividir o domínio ao mio construir uma malha não-uniform para cada mtad sgundo o procdimnto antriormnt dscrito. Em um dos trchos a razão da G é q x, nquanto qu na outra mtad é q 1 x. No procdimnto d rstrição, as coordnadas da malha grossa X I são obtidas promovndos as igualdads X I = x i, ond os índics da malha fina i variam d 1 até NI 1, prcorridos d 2 m 2 (i = 1, 3, 5,..., NI 1), ao passo qu os da malha grossa são contados d 1 m 1 a partir d 1 19

24 nquanto durar a varrdura dos índics i. Ao término dsta, é fita a igualdad ntr as coordnadas coincidnts X NI = X NI 1 (vr Fig. III-1). No prolongamnto, as coordnadas coincidnts podm sr rcupradas por procdimnto similar àqul dscrito no parágrafo antrior, nquanto qu as coordnadas intrmdiárias são rcupradas através da xprssão x i = q x + q x x i 1 i x. (III-57) Insrindo q x = 1 na xprssão acima, obsrva-s qu o caso uniform (divisão ao mio) é satisfito, podndo a msma sr usada m qualqur situação. As coordnadas x i y j são armaznadas m um único vtor são rcalculadas a cada mudança d malha. Est tipo d tratamnto tm, pois, a vantagm d s conomizar mmória qu pod sr significativa m problmas qu xijam vários VCs /ou nívis d malha. Tm, porém, a dsvantagm d acarrtar m um sforço computacional xtra a cada mudança d malha. III.7.5. Estratégia d mudança d nívl d malha A sqüência d como os procdimntos (III-47) são concatnados ntr nívis conscutivos d malha caractriza os chamados ciclo-v ciclo-w. A Fig. III-8 mostra a sqüência d opraçõs m cada ciclo durant uma itração multigrid complta. As opraçõs são d pré-suavização (s), d rstrição (r), d itração m malha grossa (g) d prolongamnto (p). As opraçõs d póssuavização (ralizadas após o prolongamnto) não são aprsntadas por simplicidad. Fig. III-8 Sqüência d opraçõs m itração multigrid complta com 4 malhas. Duas stratégias podm sr adotadas para s dtrminar o momnto d s mudar d malha. Uma dlas consist m monitorar a taxa d convrgência da solução numérica (critério dinâmico), a qual pod sr dtrminada pla razão das normas dos rsíduos d duas itraçõs sucssivas. A outra, adotada m MGCSTERM MGCSFORT, consist m spcificar a stratégia d ciclo, isto é, spcificar o númro d itraçõs m cada nívl k. Em [8] é aprsntada uma discussão sobr as vantagns dsvantagns d cada uma. 20

25 IV. DESCRIÇÃO DOS ROGRAMAS IV.1. FLUXOGRAMA DO ALGORITMO MULTIGRID CS rviamnt à dscrição dos programas MGCSTERM MGCSFORT, convém discutir m dtalhs o algoritmo multigrid CS, cujo fluxograma [1] é mostrado na Fig. IV-1. Est algoritmo é a bas dsts programas, stando implmntado como o módulo principal (main.for) qu grncia as chamadas às dmais sub-rotinas. Fig. IV-1 Fluxograma do algoritmo multigrid na formulação CS. O algoritmo comça na malha mais fina (k = M), ond é arbitrado uma aproximação inicial φ o à(s) variávl(is) sndo rsolvida(s). O contador d itraçõs multigrid (itr) o tmpo d CU (t) são zrados ao passo qu é atribuído o valor γ ao contador d itraçõs por nívl d malha (it k ). Est parâmtro γ dtrmina o tipo d ciclo multigrid: as scolhas γ = 1 γ = 2 lvam aos ciclos- V W, rspctivamnt. 21

26 Em sguida, é ralizado um númro ν pré d pré-suavizaçõs nquanto a malha mais grossa não for atingida (ou sja, nquanto k > 1 ). Ao término dstas opraçõs, o rsíduo é calculado rstrito para o nívl d malha abaixo (k 1), na qual as corrçõs são inicialmnt zradas (φ k = 0). Quando k = 1 (malha mais grossa), o algoritmo é dsviado o sistma algébrico é submtido a um númro ν gr d itraçõs rlativamnt maior, dpndndo da scolha do usuário, através d um método itrativo difrnt. Nst nívl d malha, não é ncssário calcular o rsíduo. A sguir são iniciadas as opraçõs d prolongamnto para o nívl d malha acima (k é acrscido d 1 o contador it k é rduzido d 1) o sistma é pós-suavizado m um númro ν pós d itraçõs. S o contador it k não stivr zrado (o qu dpnd da scolha d γ ), o algoritmo é dsviado para uma nova sqüência d rstriçõs; caso contrário, é dsviado para o nívl suprior. Quando a malha mais fina é alcançada novamnt, são calculados o tmpo d CU gasto o rsíduo normalizado nsta malha R M, o contador itr é acrscido d 1 o algoritmo é dsviado para o tst d parada / convrgência. Sndo vz os índics qu s rfrm aos VCs vizinhos do VC ij m qustão, o rsíduo normalizado é calculado sgundo 2 ( ) ( )( ) ij R = r NI NJ r = A T A T 2 2, ij vz vz. (IV-1) ij É vrificado no tst s R M stá acima d um dado limit (divrgência) ou abaixo d uma crta prcisão (convrgência) s o tmpo d computação t ou o contador itr xcdram sus limits rspctivos. A vracidad d apnas um dsts tsts provoca o término da xcução do algoritmo multigrid. Caso contrário, a aproximação na malha mais fina é atualizada o algoritmo é rtomado. Os programas MGCSTERM MGCSFORT foram scritos m linguagm FORTRAN90, no ambint Microsoft Dvlopr Studio, são compostos d vários sub-programas fonts sparados (xtnsão.for). O arquivo xcutávl (xtnsão.x) é grado a partir da linkagm dos arquivosobjtos (xtnsão.obj) rsultants da compilação. Os sub-programas fonts mais rlvants são dscritos a sguir. As listagns compltas d MGCSTERM MGCSFORT, contndo todos os módulos, ncontram-s à disposição m arquivo Word sob os noms mgcstrm.doc mgcsfort.doc (localizados no trminal ENE-NT3 c:\usrs\jrabi). A sção IV.4 aprsnta o significado dos principais parâmtros variávis dos msmos. vz IV.2. ROGRAMA MGCSTERM Est programa busca a solução numérica d um problma térmico, m rgim prmannt m coordnadas cartsianas 2-D, com propridads constants condiçõs d contorno d Dirichlt. 22

27 IV.2.1. Módulo principal grnciador - MAIN A organização do módulo principal sgu a strutura do algoritmo multigrid CS aprsntado na sção IV.1. O programa comça com a chamada à sub-rotina INUT para a ntrada d constants parâmtros d control do algoritmo para a construção da malha no nívl l = M. (No programa, o nívl d malha é indicado por l para não conflitar com K = condutividad térmica.) O contador ITER é zrado, assim como a variávl IFIN (qu controla o término da xcução do algoritmo multigrid), o instant inicial é stablcido pla sub-rotina intrínsca GETTIM é abrto o arquivo d saída para rgistro do comportamnto dos rsíduos m rlação ao tmpo d CU. O algoritmo multigrid stá comprndido plo laço DO WHILE - ENDDO tm início na malha mais fina (l = M). Como é admitido sr o campo d vlocidads conhcido constant, a matriz dos coficints passa a dpndr somnt da gomtria da malha, portanto, só varia a cada mudança d nívl. Assim, a sua dtrminação é ralizada uma única vz pla sub-rotina COEFIC o sistma algébrico é pré-suavizado ν pré vzs (laço DO - ENDDO). O rsíduo é calculado rstrito plas sub-rotinas RESID RESTRI, rspctivamnt. assa-s ntão para a malha imdiatamnt mais grossa (l 1), ond as corrçõs são inicializadas m zro pla sub-rotina ZERA o procsso d pré-suavização é rtomado pla instrução GOTO 10. Atinigida a malha mais grossa (l = 1), o programa é dsviado para a linha 30. É fita a chamada à sub-rotina COEFIC para o cálculo da matriz dos coficints o sistma algébrico é suavizado ν gr vzs. Caso stja sndo mprgado um único nívl d malha (l = M), calcula-s o rsíduo pla sub-rotina RESID; do contrário st cálculo é dsncssário. Em sguida, passa-s para a malha mais fina imdiata (l+1). A corrção é prolongada pla sub-rotina ROLON, d modo a atualizar os valors nst nívl através da sub-rotina CORREC. É fita nova chamada à COEFIC o sistma é pós-suavizado ν pós vzs. O contador d itraçõs por nívl d malha it l é subtraído d 1, dpndndo d s star mprgando ciclo-v ou -W, o algoritmo continua promovndo pós-suavizaçõs (GOTO 40) ou é dsviado para novas présuavizaçõs (GOTO 20). Quando o algoritmo rtorna à malha mais fina (l = M), o rsíduo normalizado RABS é calculado por RESID, com vistas ao tst d convrgência / parada. Rtomada a malha mais fina (linha 50), o contador ITER é acrscido d 1 o tmpo d CU gasto TIME (m sgundos) é calculado pla função CUT. São aprsntados na tla os valors d ITER, TIME, RABS um valor d rfrência do campo T ij. No arquivo d saída são gravados somnt os dois primiros valors. É fito o tst d convrgência / parada qu visa altrar o valor do parâmtro d control IFIN. A manutnção d IFIN = 0 dá sqüência ao algoritmo; caso contrário, o tipo d intrrupção é xibido o campo T ij é rgistrado m arquivo. 23

28 IV.2.2. Módulo d ntrada d dados - INUT Nsta sub-rotina são dfinidos todos os valors ncssários para a xcução do programa, como constants físicas (K, C p, ρ), dimnsõs do domínio (L x, L y ), campo d vlocidads (U, V), condiçõs d contorno, parâmtros do ciclo multigrid (γ, ν pré, ν pós, ν gr ) parâmtros d control do tst d convrgência / parada (TIMAX, MAXIT, SORMAX, SLARGE). São também dfinidos para cada dirção coordnada o númro d VCs NI NJ, as razõs R x R y os tipos G x G y d spaçamnto. Com bas nsts valors, a malha mais fina é construída através d chamadas sucssivas à função GRID (dscrita no itm sguint), qu dvolv as razõs da G q x q y. Nst nívl d malha os fluxos convctivos são calculados nquanto qu o acumulador d VCs por nívl d malha ACUM é dtrminado a partir da malha mais grossa (l = 1). IV.2.3. Módulo d construção da malha computacional - GRID Esta função calcula as coordnadas das facs dos VCs para uma dada dirção. No início, os parâmtros são idntificados as facs d frontiras, dtrminadas. ara uma razão d spaçamnto RE 1, a malha é irrgular (não-uniform) a idntificação do tipo d spaçamnto plo parâmtro G torna-s ncssária. A scolha G = 2 corrspond ao spaçamnto junto às pards (RE < 1) ou m torno da linha média do domínio (RE > 1) nquanto qu G = 1 lva ao spaçamnto sgundo uma única dirção. ara G = 2, o domínio é dividido ao mio o algoritmo dscrito m III.7.4 é aplicado nsta primira mtad: a razão q o primiro lmnto da G A 1 são calculados a rlação rcursiva (sub-rotina GGRID) é aplicada a partir do VC da xtrmidad ost / sul (Ns = 1) até o VC ants da linha média. Em sguida, a razão é invrtida aplica-s o algoritmo para a outra mtad a partir do VC dpois da linha média (Ns = N + 1, N = mtad do total d VCs) até o VC da outra xtrmidad lst / nort (nova chamada à GGRID). ara G = 1, o algoritmo é simplsmnt aplicado d uma xtrmidad (ost / sul) à outra (lst / nort). ara uma malha uniform RE = 1, o valor assumido por G torna-s indifrnt, a razão da G é igualada a 1 todos os VCs passam a tr a msma xtnsão. Não é fita chamada à GGRID. or sr uma função (usr-dfind function), GRID dv sr associado a algum valor (d msmo tipo). No caso, é razão da G q, a qual srá usada postriormnt m ROLON. IV.2.4. Módulo d cálculo da matriz dos coficints - COEFIC Nsta sub-rotina são montadas as matrizs AE i j, AW i j, AN i j, AS i j A i j qu guardam os coficints a E, a W, a N, a S a d cada um dos VCs do domínio. A varrdura xtrna é sobr o índic i (associado a uma dada coluna) a intrna, sobr o índic j (por linhas). 24

29 ara cada VC (xcto os d frontira), calculam-s as dimnsõs δx δy as distâncias intrnodais x, x w, y n y s, bm como os fluxos convctivos C, C w, C n, C s difusivos D, D w, D n, D s. Com bas nsts fluxos os númros d clt, w, n, s são dtrminados, prmitindo o cálculo dos rspctivos coficints α β do squma d intrpolação WUDS. A partir dsts coficints novamnt dos fluxos convctivos difusivos, os coficints a E, a W, a N, a S a são dtrminados. IV.2.5. Módulo d suavização do sistma algébrico - SMOOTH Do modo como stá laborada sta sub-rotina, o método itrativo d Gauss-Sidl é aplicado na suavização do sistma algébrico, ponto a ponto, m todos os nívis d malha xcto na mais grossa (ou sja, para l > 1). Nst último nívl (l = 1), aplica-s o método TDMA para a solução d cada coluna-i através da sub-rotina TDMACOL (qu xig um armaznamnto spcífico dos coficints sgundo dscrito m [4, 5]). Val ainda salintar qu, dvido à xistência d VCs nulos na frontira, o algoritmo TDMA tm início com índic = 2 não 1, ao contrário do usual. IV.2.6. Módulo d cálculo do rsíduo - RESID O rsíduo é calculado com bas na Eq. (III-41). Na malha mais fina (l = M), é fita a normalização sgundo a Eq. (IV-1) para uso no tst d parada / convrgência (m MAIN). IV.2.7. Módulo d rstrição - RESTRI rimiramnt, os valors corrnts (malha fina) são transfridos da matriz-trabalho para o vtor unidimnsional (Fig. III-5) através da sub-rotina EXORT as dimnsõs da malha grossa imdiata são dtrminadas. Em sguida, é fita a rstrição do rsíduo conform a Eq. (III-48) a rstrição dos fluxos convctivos através da soma dos fluxos nas intrfacs (Fig. III-6). or último, as novas coordnadas da malha computacional são dtrminadas d acordo com o procdimnto dscrito no itm III.7.4. Os índics da malha fina são prcorridos d 2 m 2 (laço DO-ENDDO), nquanto qu os da malha grossa, d 1 m 1. No final da varrdura, é fita a coincidência ntr as últimas facs dvido à xistência dos VCs nulos d frontira as dimnsõs da malha são atualizadas. IV.2.8. Módulo d prolongamnto - ROLON D início, as dimnsõs da malha grossa são guardadas. Em sguida, as novas dimnsõs são dtrminadas as coordnadas coincidnts da malha fina são rcupradas d acordo com o dscrito m III.7.4 (novamnt os índics da malha fina são prcorridos d 2 m 2 os da malha grossa, d 1 m 1), nquanto qu as facs intrmdiárias são rcupradas conform a Eq. (III-57). 25

30 Então, o oprador prolongamnto é aplicado sobr a matriz-trabalho T sgundo a dirção y d modo a obtr a matriz-auxiliar T a (vr sção III.7.2). O oprador é dpois aplicado sobr sta última matriz sgundo a dirção x d modo a obtr a matriz-prolongada T c. Val salintar qu os valors corrspondnts às xtrmidads são simplsmnt injtados (m outras palavras, copiados) para as rspctivas xtrmidads no nívl d malha mais fino. or fim, os valors rfrnts à malha fina são transfridos do vtor unidimnsional para a matriz-trabalho via sub-rotina IMORT para postrior atualização através da sub-rotina CORREC, conform a Eq. (III-46). IV.2.9. Módulo d transfrência d valors - TRANSFER Est sub-programa é composto plas sub-rotinas IMORT EXORT qu promovm rspctivamnt a transfrência d valors do vtor unidimnsional (Fig. III-5) para a matriztrabalho a transfrência no sntido oposto, para as variávis T ij, b ij, Cx ij (fluxos convctivos na dirção x) Cy ij (fluxos convctivos na dirção y). É smpr important lmbrar qu na malha mais fina (l = M) T ij b ij armaznam a própria grandza o trmo font, rspctivamnt, nquanto qu nas dmais malhas (l < M) T ij rprsnta as corrçõs o trmo font b ij guarda o rsíduo rstrito. As rotinas IMORT EXORT opram d modo similar. Nlas, o acumulador d VCs por nívl d malha ACUM é mprgado para localizar no vtor unidimnsional (BAUF, BAUB, BAUX, BAUY) o início da varrdura, a qual s dá através da aglutinação dos índics i j (somados ao valor d ACUM(l) ) m um único índic. or outro lado, sts índics prmancm dsacoplados na matriz-trabalho, o qu é intrssant para a implmntação das rotinas RESTRI ROLON. IV.3. ROGRAMA MGCSFORT Est programa busca a solução numérica d problmas d scoamntos laminars, m rgim prmannt m coordnadas cartsianas bidimnsionais, com propridads constants condiçõs d contorno variadas. Tm strutura composição smlhants ao programa MGCSTERM, ao ponto d algumas sub-rotinas srm idênticas (GRID, GGRID, CUT). Outras sofrram pqunas modificaçõs d modo a acomodar o novo conjunto d grandzas sndo rsolvido (ZERA, IMORT, EXORT, TDMACOL, CORREC). Estas duas classs d rotinas não são aprsntadas a sguir. As sub-rotinas rmanscnts tivram altraçõs significativas para atndr às novas caractrísticas físicas 26

31 numéricas do problma m qustão, o qual xigiu também a incorporação d novas rotinas. Todas stas são aqui abordadas. IV.3.1. Módulo principal grnciador - MAIN A strutura dst módulo é smlhant à daqul dscrito m IV.2.1. A ntrada d dados é fita agora através da litura d um arquivo xtrno na sub-rotina INUT. art dsts dados rcémlidos são utilizados m INIT para promovr a inicialização d grandzas do scoamnto. Outra difrnça diz rspito ao cálculo das matrizs dos coficints. Na malha mais fina (na qual d fato s opra com as grandzas propriamnt ditas), as matrizs dvm sr atualizadas ao término d cada ciclo itrativo, uma vz qu, d acordo com as Eqs. (III-35), novos valors dvm sr mprgados para o cálculo dos coficints. Est cuidado é lvado m conta dntro das subrotinas CALCUV CALC. or outro lado, nas malhas mais grossas (l < M) além d s oprar com as corrçõs, o trmo font contém o rsíduo rstrito (qu é constant), d modo qu as matrizs podm sr dtrminadas uma única vz para todo procsso itrativo m um msmo nívl d malha. A xcção para sta rgra ocorr quando apnas um nívl d malha é mprgado tm-s l = M = 1. Nst caso, a malha mais grossa passa a não sr tratada como tal é fita a atualização das matrizs a cada itração, assim como também é fito o cálculo do rsíduo (dsncssário para o caso d tr M > 1, no qual ntão l = 1 corrspond d fato à malha mais grossa). Na tla são aprsntados os valors d ITER, TIME os rsíduos normalizados d U, V. Ests msmos valors (com xcção a ITER) são gravados m arquivo d saída. ara o tst d convrgência / parada é lvado o maior dntr sts rsíduos (RESMAX). O campo d vlocidads é rgistrado através da sub-rotina VIEWUV m arquivo a sr lido plo pacot gráfico VIEW. IV.3.2. Módulo d ntrada d dados - INUT A difrnça é qu agora a ntrada d dadas é fita pla litura d um arquivo criado por um programa pré-procssador. São lidas informaçõs sobr as constants físicas, as dimnsõs do domínio, o valor inicial do campo d vlocidads, os tipos d condiçõs d contorno rspctivos valors parâmtros do algoritmo do método numérico (incluindo novos). A malha é construída d manira igual. A strutura do arquivo d dados é aprsntada na sção IV.5. IV.3.3. Módulo d inicialização d grandzas do scoamnto - INIT Valors rlacionados ao scoamnto (campo d vlocidads, d prssão fluxos mássicos) são inicializados pla sub-rotina INIT, nquanto qu a sub-rotina RESET inicializa as grandzas cujos valors acompanham as dimnsõs da malha computacional (fators d intrpolação linar, 27

32 Eq. (III-8), propridads do fluido) qu, pois, mudam (d valor ou d indxação) d nívl para nívl. IV.3.4. Módulo d tratamnto do campo d vlocidads - CALCUV Est módulo é composto plas sub-rotinas CALCUV COEFUV para lidar com o campo d vlocidads. A primira raliza a sub-rlaxação a suavização (via TDMA m todos os nívis) do sistma algébrico, Eq. (III-37), o cálculo dos rspctivos rsíduos (xcto na malha mais grossa), Eq. (III-41) ou (IV-1). Caso a malha sja a mais fina (l = M) ou haja um único nívl d malha (l = M = 1), a matriz dos coficints é rcalculada a cada chamada, os rsíduos são normalizados, Eq. (IV- 1) é fito o ajust dos fluxos mássicos com vistas à continuidad, Eq. (III-29), por mio da subrotina FLOWBC. Nsta última, numa primira part os fluxos são somados ao longo d todas as intrfacs, numa sgunda, corrigidos d acordo com o somatório inicial. A rotina COEFUV é qum monta a matriz dos coficints, sgundo uma varrdura (xtrna) por coluna qu s inicia na frontira ost prcorr linha a linha no sntido sul-nort (varrdura intrna), até atingir a frontira lst. Indpndntmnt do nívl d malha, os fluxos difusivos são calculados d acordo com a Eq. (III-19) somados às contribuiçõs convctivas, Eqs. (III-6) d modo a compor os coficints, Eqs. (III-18). Na malha mais fina, o trmo font rcb contribuiçõs dos gradints d prssão, Eqs. (III- 23) (III-26), calculados pla sub-rotina CALCD, do trmo rfrnt ao squma FBDC, Eq. (III-20). Nas dmais, o trmo font é o próprio rsíduo rstrito. or último, a sub-rotina ACCUV aplica as condiçõs d contorno xistnts para U V, qu do ponto d vista computacional implica m algumas modificaçõs aos coficints ( também ao trmo font), conform rg a Tab. III-1. Uma dscrição dtalhada da implmntação numérica dstas altraçõs é ncontrada m [21]. IV.3.5. Módulo d tratamnto do campo d corrçõs para a prssão - CALC A strutura dst módulo assmlha-s à do módulo CALCUV, ond COEFUV é substituído por COEF são mantidos os msmos procdimntos d atualização da matriz dos coficints d cálculo do rsíduo. Difrntmnt, a suavização é via Gauss-Sidl. Na malha mais fina, o trmo font é associado ao dsbalanço d massa, Eqs. (III-31) (III-33), nas dmais, ao rsíduo rstrito. Em todas as malhas, os coficints são montados d acordo com a Eq. (III-32) a aplicação das condiçõs d contorno (itm III.5.2) é fita antriormnt à chamada a CALC (coficints são todos inicialmnt nulos). 28

33 Ao final d CALC (, portanto, do algoritmo SIMLE), as corrçõs aos campos d vlocidad prssão aos fluxos, conform a Eq. (III-35), são ralizadas através da sub-rotina UDATE. Esta, por sua vz, faz chamada à rotina CALCD qu opra d modo análogo a CALCD, aplicado porém ao campo. Ambas são brvmnt dscritas a sguir. IV.3.6. Módulo d cálculo d gradint d prssõs - CALCD Est módulo é composto plas sub-rotinas CALCD CALCD qu aplicam as Eqs. (III- 24), (III-25), (III-27) (III-28) rspctivamnt aos campos d prssão d corrção da prssão, ou sja, aos campos. IV.3.7. Módulos d prolongamnto d rstrição - ROLON RESTRI Estas duas sub-rotinas possum strutura smlhant às antriors, stndidas porém para acomodar o novo conjunto d grandzas sndo rsolvido para oprar (rstringir / prolongar) sobr os tipos d condiçõs d contorno nas frontiras. Inclusa também stá uma chamada à rotina RESET para atualizar os valors qu s altram a cada mudança d nívl d malha (vr itm IV.3.3). IV.4. LISTA DAS VARIÁVEIS EMREGADAS NOS ROGRAMAS A lista a sguir contém as principais variávis mprgadas m MGCSTERM MGCSFORT stá dividida m cinco colunas qu corrspondm a: 1 a coluna nom da variávl 2 a coluna tipo da variávl, simbolizado por uma ltra (I = INTEGER, R = REAL8, L = LOGICAL, C = CHARACTER) 3 a coluna dimnsão da variávl, simbolizada por um númro (0 = valor simpls, 1 = vtor unidimnsional, 2 = matriz bidimnsional) 4 a coluna local d ocorrência, simbolizado por uma ltra (T = variávl usada m MGCSTERM, F = variávl usada m MGCSFORT) 5 a coluna brv dscrição do significado / função da variávl NX, NY I 0 T, F Dimnsõs da malha computacional mais fina, (incluindo VCs nulos d frontira) M I 0 T, F Númro d nívis d malhas mprgados NVAR I 0 F Númro d grandzas do scoamnto rsolvidas (no caso NVAR = 3 U, V, ) 29

34 NI, NJ I 0 T, F Dimnsõs da malha computacional m uso, (incluindo VCs nulos d frontira) NIM, NJM I 0 T, F NIM = NI 1, NJM = NJ 1 i, j I 0 T, F Índics d varrdura na malha computacional m uso NIG, NJG, NIMG NJMG, IG, JG I 0 T, F Corrspondnts a NI, NJ, NIM, NJM, i j na malha imdiatamnt mais grossa (m rlação à malha m uso) IR, JR I 0 F Índics do VC d rfrência para a corrção à prssão l I 0 T, F Índic do nívl da malha computacional m uso Gx, Gy I 0 T, F Idntificadors do tipo d malha não-uniform ACUM I 1 T, F Acumulador d VCs por nívl d malha (total d VCs xistnts até a malha m qustão dsd a mais grossa) Lx, Ly R 0 T, F Dimnsõs do domínio físico m studo Rx, Ry R 0 T, F Razõs d spaçamnto da malha qx, qy R 0 T, F Razõs da progrssão gométrica (dimnsõs dos VCs) X, Y R 1 T, F Abcissas ordnadas das facs dos VCs da malha m uso FX, FY R 2 F Fators d intrpolação linar da malha m uso dx, DX, DXw dy, DYn, Dys R 0 T, F Dimnsõs distâncias intrnodais do VC m qustão T R 2 T Matriz-trabalho para tmpratura ou suas corrçõs multigrid U, V R 0 T Valors (constants) das componnts da vlocidad no intrior do domínio para o problma térmico alfaw, alfa, alfas alfan, btaw, bta btas, btan R 0 T Coficints α β do squma WUDS w,, s, n R 0 T Númros d clt do VC (squma WUDS) AE, AW, AN, AS A R 2 T Coficints da quação algébrica para T ou suas corrçõs multigrid B R 2 T Matriz-trabalho para o trmo font na quação algébrica para T ou suas corrçõs multigrid 30

35 Ta, Tc R 2 T Matriz-auxiliar matriz das corrçõs prolongadas para T R R 2 T Matriz-trabalho do rsíduo na quação algébrica para T ou suas corrçõs multigrid CX, CY R 2 T, F Matrizs-trabalho para os fluxos mássicos BAUT, BAUB, BAUX, BAUY R 1 T Vtors unidimnsionais para T ( corrçõs multigrid), trmo font fluxos mássicos U, V, R 2 F Matrizs-trabalho para as vlocidads para a corrção da prssão ( ) ou rspctivas corrçõs multigrid R 2 F Matriz-trabalho para a prssão m si (na malha mais fina) AEU, AWU, ANU, ASU, AU AEV, AWV, ANV, ASV, AV AE, AW, AN, AS, A AE1, AW1, AN1, AS1, A1 R 2 F Coficints da quação algébrica para U ou suas corrçõs multigrid R 2 F Coficints da quação algébrica para V ou suas corrçõs multigrid R 2 F Coficints da quação algébrica para ou suas corrçõs multigrid R 2 F Coficints da contribuição do squma FBDC UCDS, VCDS R 0 F Contribuiçõs do squma FBDC (para U V ) BU, BV, B R 2 F Matrizs-trabalho para os trmos fonts nas quaçõs algébricas para U, V ou suas corrçõs multigrid RESU, RESV, RES R 2 F Matrizs-trabalho para os rsíduos nas quaçõs algébricas para U, V ou suas corrçõs multigrid DX, DY R 2 F Gradints d prssão m cada dirção coordnada SU, SV R 2 F Contribuição ao trmo font da quação algébrica para U V ; guardam coficints zrados na aplicação das condiçõs d contorno Ua, Va, a Uc, Vc, c BAUF, BAUB, BAUC R 2 F Matrizs-auxiliars matrizs das corrçõs prolongadas para U, V R 2 F Vtors unidimnsionais (agrupados m forma matricial, cada linha corrspondndo a U, V, ) para as grandzas ( corrçõs multigrid), trmo font fluxos mássicos UIN, VIN, IN R 0 F Valors (aproximaçõs) iniciais para U, V 31

36 TCCE, TCCW, TCCN, TCCS I 1 F Guardam os tipos d condição d contorno nas frontiras: 1 = ntrada, 2 = saída, 3 = linha d simtria, 4 = pard NSW I 1 F Númro d itraçõs intrnas para U, V URF R 1 F Fators d sub-rlaxação para U, V GDS R 1 F Fators d combinação linar λ do squma FBDC para U, V DENS, VISC R 0 F Valors (constants) da dnsidad da viscosidad DEN, VIS R 2 F Campo d distribuição da dnsidad da viscosidad VISW R 0 F Valor da viscosidad xtrapolado para a pard K, cp, ro R 0 T Valors (constants) da condutividad térmica, do calor spcífico da dnsidad nipr, nipos, nicgc gama I 0 T, F arâmtros da stratégia d ciclo multigrid rfrnts a ν pré, ν pós, ν gr γ it I 1 T, F Contador d itraçõs por nívl d malha ITER I 0 T, F Contador d itraçõs multigrid MAXIT I 0 T, F Númro máximo (limit) d itraçõs multigrid TIME R 0 T, F Tmpo d xcução (tmpo d CU) TIMAX R 0 T, F Limit no tmpo d xcução (tmpo d CU) rs L 0 F Controlador d cálculo do rsíduo RABS R 0 T Rsíduo normalizado d T RESID R 1 F Rsíduos normalizados d U, V RESMAX R 0 F Maior ntr os rsíduos normalizados d U, V SORMAX, SLARGE R 0 T, F rcisão para convrgência limit d divrgência para o rsíduo normalizado IFIN I 0 T, F Controlador da xcução do algoritmo multigrid FLOWIN R 0 F Fluxo mássico total d ntrada FAC R 0 F Fator d corrção global do fluxo mássico 32

37 fn C 0 F Nom do arquivo d ntrada d dados Am, Bm, Cm, Dm R 1 T, F Coficints para algoritmo TDMA IV.5. ESTRUTURA DO ARQUIVO DE DADOS A ntrada d dados m MGCSFORT é fita através da litura d arquivo d dados contndo as informaçõs ncssárias à xcução do programa com bas no problma físico m qustão. Est arquivo pod sr criado por qualqur ditor d txto dv sr gravado sob o nom i.dat. Altrnativamnt, no trminal ENE-NT3 c:\usrs\jrabi\mkdatmgf\dbug ncontra-s o programa mkdatmgf.x qu gra tais arquivos já no dirtório c:\usrs\jrabi\mgcsfort, ou sja, gra os arquivos prontos para srm lidos por MGCSFORT. D qualqur modo, a composição a strutura a srm obdcidas por sts arquivos d ntrada são dscritas a sguir. O significado das variávis sgu ao qu foi aprsntado na sção antrior. As condiçõs d contorno são spcificadas nas linhas do tipo NJTCCW, qu podm comportar mais d um tipo d condição. or xmplo, para o scoamnto com xpansão abrupta do itm V.2.2 (adiant) scrv-s (ntrada + pard). Os valors d ntrada das vlocidads são spcificados nas últimas linhas, m um númro corrspondnt ao total d condiçõs d contorno d ntrada. GDS(U) GDS(V) GDS( ) URF(U) URF(V) URF( ) NSW(U) NSW(V) NSW( ) DENS VISC UIN VIN IN TIMAX MAXIT IR JR SORMAX SLARGE Lx Ly Rx Ry Gx Gy NI NJ gama nipr nipos nicgc NJTCCW NJTCCE NITCCS NITCCN U( 1, j ) V( 1, j ) (tantas linhas quantas xistirm TCCW = 1) 33

38 U(NI, j ) V(NI, j ) (tantas linhas quantas xistirm TCCE = 1) U( i, 1 ) V( i, 1 ) (tantas linhas quantas xistirm TCCS = 1) U( i, NJ) V( i, NJ) (tantas linhas quantas xistirm TCCN = 1) 34

39 V. EXEMLOS V.1. SOLUÇÃO DE ROBLEMA TÉRMICO O problma térmico studado rfr-s a um caso d condução-convcção sobr um domínio rtangular com tmpratura prscrita m suas frontiras. O rgim é prmannt, não há fonts r intrnas d calor o campo d vlocidads V no intrior do domínio é conhcido mantido constant, conform mostra a Fig. V-1. Foram adotados os valors K/C = 1 kg/m.s ρ = 1 kg/m 3, para o caso aqui aprsntado, U = V = 10 m/s Fig. V-1 roblma térmico studado. Fig. V-2 Isotrmas para o caso U= V=10 m/s. As soluçõs multigrid aprsntadas mprgam o ciclo-v sgundo uma stratégia d númros fixos d pré- pós-suavizaçõs (no caso, 2 itraçõs Gauss-Sidl) d itraçõs na malha mais grossa (5 itraçõs TDMA). A malha mais fina das soluçõs multigrid com 3, 4, 5 ou 6 nívis (3m_cv, 4m_cv, tc.) contém NI x NJ VCs, NI = 130 NJ = 194 (incluindo os d frontira), o msmo ocorrndo para a malha da solução m único nívl (1m), sndo ambas uniforms. O campo d tmpratura para U = V = 10 m/s obtido a partir d solução multigrid é mostrado na Fig. V-2. 35

40 1E-2 1E-3 _x = _y = R 1E-4 1E-5 1E-6 1E-7 1E-8 1E-9 1E-10 1E-11 1E-12 1E-13 1E-14 1E tmpo d cpu (s) 1m 3m_cv 4m_cv 5m_cv 6m_cv Fig. V-3 roblma térmico: rsíduo m 1 malha m multigrid ciclo-v, U= V=10 m/s. Na Fig. V-3 são comparados o comportamnto dos rsíduos normalizados nas divrsas soluçõs. Obsrva-s o mlhor dsmpnho das soluçõs multigrid frnt ao da solução m malha única. Os númros d clt xibidos (_x, _y), Eq. (III-13), são basados nos spaçamntos uniforms da malha mais fina ( x, y constants) nos valors adotados para as constants físicas vlocidads. Em [8] podm sr ncontrados os rsultados rfrnts a outros valors assumidos plas vlocidads a outras stratégias d solução multigrid. V.2. SOLUÇÃO DE ROBLEMAS HIDRODINÂMICOS V.2.1. Escoamnto laminar ntr placas planas parallas Est problma é intrssant do ponto d vista d validação numérica das soluçõs multigrid, uma vz qu o prfil dsnvolvido da vlocidad é um rsultado bastant conhcido [22]. As dimnsõs do domínio d cálculo as condiçõs d contorno mprgadas são squmatizadas na Fig. V-4. Os valors adotados foram L y = 0.05 m, L x = 1.0 m U O = 0.1 m/s. Quanto às propridads, foi considrado um fluido fictício com ρ = 1.0 kg/m 3 µ = 10 4 kg/m.s, rsultando m um númro d Rynolds R = 200 [8], condiznt com a hipóts d scoamnto laminar. 36

41 Fig. V-4 Escoamnto ntr placas planas parallas. Nst problma os maiors gradints ncontram-s próximos à rgião d ntrada à pard. Foi ntão usada uma malha não-uniform com 162 x 34 VCs (incluindo os d frontira), stando os msmos mais concntrados nstas rgiõs. As razõs d spaçamnto usadas foram RE x = 0.5 RE y = 2: a xtnsão δx do primiro VC (rgião d ntrada) é a mtad da xtnsão do último VC (rgião d saída) a xtnsão δy do VC junto à linha d simtria é o dobro da xtnsão do VC junto à pard. Quando o scoamnto ncontra-s totalmnt dsnvolvido, tm-s V = 0 o prfil da componnt U da vlocidad ao longo da sção transvrsal é dada por [22] 3 y U( y) = U O 1 2 Ly 2 (V-1) com y mdido a partir da linha d simtria. A Fig. V-5 compara o rsultado obtido com o uso d 4 malhas computacionais m ciclo-v com o prfil dado pla Eq. (V-1). Vê-s qu a solução multigrid possui boa concordância com a solução analítica. A Fig. V-6 compara o comportamnto dos rsíduos d U, V na obtnção dsta solução multigrid (4m) m malha única (1m). Foram adotados ξ U = 0.8, ξ V = 0.6, ξ = 0.05 para os fators d sub-rlaxação para a solução multigrid foram mprgados ν pré = ν pós = 1 ν gr = 5. Nst problma, adotou-s também λ = 0 (UDS puro). Obsrva-s novamnt o mlhor dsmpnho da solução multigrid frnt ao da solução m malha única. 37

42 U / Uo 0.6 prfil dsnvolvido 0.3 solução multigrid (4 malhas) y / Ly Fig. V-5 Escoamnto ntr placas: validação numérica da solução multigrid. 1E-4 rsíduos 1E-5 1E-6 1E-7 1E-8 1E-9 1E-10 R(U)_4m R(V)_4m R(')_4m R(U)_1m R(V)_1m R(')_1m 1E-11 1E-12 1E-13 1E-14 1E tmpo d cpu (s) Fig. V-6 Escoamnto ntr placas: rsíduos m 1 malha m 4 malhas ciclo-v. 38

43 V.2.2. Escoamnto ntr placas com xpansão abrupta O próximo caso aprsntado é o d scoamnto laminar ntr placas com xpansão abrupta (backward facing stp flow), cujo squma é mostrado na Fig. V-7. ara st problma foram adotados L y = 0.05 m, L x = 0.5 m, U O = 0.2 m/s, ρ = 1.0 kg/m 3 µ = 10 4 kg/m.s, d modo a tr R = 100 [8]. Fig. V-7 Escoamnto ntr placas com xpansão abrupta. Emprgou-s uma malha não-uniform com 146 x 50 VCs (incluindo os d frontira) razõs RE x = RE y = /3, com RE y calculada com bas no VC próximo à pard o VC junto à linha média (ou sja, há maior concntração junto às pards mnor junto à linha média). ara a sub-rlaxação foram adotados ξ U = 0.8, ξ V = 0.6, ξ = 0.03 a stratégia para as soluçõs multigrid m ciclo-v foi ν pré = ν pós = 1 ν gr = 5. Novamnt, adotou-s λ = 0 (UDS puro). A Fig. V-8 abaixo contém a visualização dos vtors vlocidad na rgião próxima à ntrada, obtidos a partir da solução 4m m ciclo-v. Vê-s qu qualitativamnt a aplicação do método não compromtu o padrão dos rsultados. Fig. V-8 Escoamnto com xpansão abrupta: visualização da rgião d ntrada. 39