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1 robabilidad Estatística I ntonio Roqu ula 15 Rgra d ays Considrmos o sguint problma: ab-s qu a taxa d ocorrência d uma crta donça m uma população é d 2 %, ou sja, o númro d pssoas da população com a donça dividido plo númro total d pssoas da população é igual a 0,02. uponhamos ainda qu s saiba qu 80 % daquls qu têm a donça aprsntam um crto conjunto d sintomas, mas qu 10 % das pssoas qu não têm a donça também aprsntam o msmo conjunto d sintomas. Isto qur dizr qu um msmo conjunto d sintomas é compartilhado tanto por pssoas com a donça como por pssoas sm a donça uma situação muito comum. uponhamos agora qu uma pssoa da população vá a uma clínica fazr alguns xams qu sja constatado qu la aprsnta o conjunto d sintomas m qustão. O problma qu s qur rsolvr é: Dado qu a pssoa tm o conjunto d sintomas, qual a probabilidad d qu la tnha a donça? ara formular st problma matmaticamnt, vamos dfinir: D vnto m qu uma pssoa tnha a donça; D vnto m qu uma pssoa não tnha a donça; vnto m qu uma pssoa aprsnt o conjunto d sintomas; vnto m qu uma pssoa não aprsnt o conjunto d sintomas. Então, o qu s sab é: 1

2 robabilidad Estatística I ntonio Roqu ula 15 D 0,05 5 % D 1 - D 0,95 95 % D 0,80 80 % D 0,10 10 %. E o qu s qur calcular a partir do qu s sab é: D. Not qu st é um dos problmas cntrais d toda a mdicina, qual sja, o d dtrminar a probabilidad d qu uma pssoa tnha uma dada donça a partir d um quadro sintomático aprsntado. Em gral, os livros txto d mdicina aprsntam uma donça dpois dscrvm os sus sintomas, com as rspctivas frqüências d ocorrência. Essas frqüências constitum probabilidads calculadas mpiricamnt, ou sja, las são obtidas após a anális d muitos pacints para os quais já s sab qu ls têm a donça. Na prática, porém, um médico só tm acsso aos sintomas aprsntados por uma pssoa tm qu infrir qual a donça mais provávl a partir dls. tarfa do médico é stimar uma probabilidad d qu um pacint tnha uma crta donça dado qu l aprsnta um conjunto dtrminado d sintomas. Na litratura statística, a probabilidad D é chamada d probabilidad a priori, pois na ausência d qualqur outra informação sobr um pacint a probabilidad d qu l tnha a donça é a forncida por st valor. Em gral, st é um valor pidmiológico obtido a partir d studos statísticos com amostras contndo milhars d pssoas rtiradas d uma população. Est valor é chamado d prvalência da donça na população. Já a probabilidad qu s dsja conhcr, D, é chamada d probabilidad a postriori, pois srá stimada dpois qu s sab qu o pacint tm os sintomas. 2

3 robabilidad Estatística I ntonio Roqu ula 15 Notm a difrnça: D D. s duas nos dão a probabilidad d qu uma pssoa tnha a donça D. primira não lva m considração nnhum dado a mais, apnas o qu s sab d antmão sobr a incidência da donça D na população a prvalência. or isto la é chamada d probabilidad a priori. sgunda lva m considração o fato d qu s dtctou, após os xams fitos, qu o pacint tm os sintomas. or isto la é chamada d a postriori. Vamos mostrar como manipulaçõs da fórmula da probabilidad condicional nos prmitm chgar a uma xprssão para a probabilidad a postriori D m função da probabilidad a priori D das dmais probabilidads conhcidas D, D D. Da dfinição d probabilidad condicional, tmos: D D D D. Tmos também qu: D D D D D D. Ora, D D, pois a ordm dos fators não altra a probabilidad conjunta. Logo: D D D D D D Os dados do problma nos dão D D. ortanto, para calcular a xprssão acima nos falta obtr, a probabilidad d qu uma pssoa da população tnha o conjunto d sintomas.. 3

4 robabilidad Estatística I ntonio Roqu ula 15 uma pssoa tm o conjunto d sintomas, há duas possibilidads para la: ou la tm a donça D, ou la não tm a donça D. ortanto, uma pssoa qu aprsnt o conjunto d sintomas pod sr classificada como D ou como D. Not qu stas duas classs são mutuamnt xclusivas. Então, podmos scrvr a probabilidad através da rgra da adição para vntos mutuamnt xclusivos: D ou D D + D. ubstituindo nsta xprssão as rspctivas fórmulas para as probabilidads condicionais, obtém-s: D D.D D D. D, D.D + D. D. ubstituindo sta xprssão para na fórmula obtida para D: D D D D D D D + D D Esta é a chamada Rgra d ays. ubstituindo os valors das probabilidads do nosso xmplo na rgra d ays: 0,8 0,05 D 0,30. 0,80 0,05 + 0,10 0,95 Ou sja, caso a pssoa tnha os sintomas há 30 % d chancs d qu la tnha a donça D. Com bas nsta stimativa, o médico pod dfinir uma stratégia para a solicitação d novos mais spcíficos xams, visando vrificar s d fato o pacint tm a donça. 4

5 robabilidad Estatística I ntonio Roqu ula 15 Caso s tivss conhcimnto das probabilidads a priori da ocorrência d todas as possívis donças D na população, fossm conhcidas as probabilidads condicionais d ocorrência d todos os possívis sintomas, m qualqur númro, nas difrnts donças, o uso da Rgra d ays prmitiria qu s stimass as probabilidads a postriori d todas as donças dados quaisqur sintomas aprsntados por um pacint. Dsta manira, o trabalho d diagnóstico d um médico consistiria m rfazr as contas da rgra d ays a cada novo sintoma qu foss dscobrto no pacint, para diagnosticar a donça mais provávl. dificuldad d s usar a Rgra d ays como bas d diagnósticos é qu, m gral, é difícil obtr boas stimativas das probabilidads ncssárias. Em gral, a probabilidad a priori d um vnto médico é associada à prvalência do vnto. prvalência d uma donça ou sintoma é uma mdida da frqüência com qu a donça ou sintoma ocorr na população d intrss. or xmplo, a prvalência d hpatit na população brasilira stá ntr 60 80%. Já a prvalência d hpatit C stá m torno d 2%. Exmplos da Rgra d ays: 1. Um grupo d psquisadors dsja calcular a probabilidad d sobrvida d 5 anos ou mais para mulhrs com câncr d mama qu tnha s ramificado até as glândulas linfáticas. Fz-s um studo rtrospctivo m qu foram analisados os históricos d mulhrs qu fizram mastctomia radical. Dstas, 90 % tivram uma sobrvida d 5 anos ou mais. Obsrvou-s ainda qu, dstas mulhrs, 17 % aprsntavam d 1 a 3 nodos linfáticos com células cancrosas. or outro lado, a probabilidad d s ncontrar nodos linfáticos aftados nas mulhrs qu não sobrvivram por mais do qu 5 anos é d 72 %. 5

6 robabilidad Estatística I ntonio Roqu ula 15 Chammos d a um vnto m qu s ncontr d 1 a 3 nodos linfáticos m uma mulhr qu fz mastctomia radical. Chammos d a um vnto m qu a mulhr qu fz mastctomia radical sobrviva por mais do qu 5 anos. Chammos d aos vntos não- não-, rspctivamnt. Então: 0,17; 0,72; 0,90; 0,10. Logo, pla Rgra d ays: 0,17.0,90 0, ,17.0,90 + 0,72.0,10 ortanto, a probabilidad d qu uma mulhr tnha sobrvida d 5 anos ou mais dado qu la fz mastctomia radical aprsnt d 1 a 3 nodos linfáticos é d 68%. 2. uponha qu xista uma pssoa qu tnha atingido a idad adulta acrditando m apai Nol. or xmplo, la passou toda a infância adolscência vivndo apnas com os pais m uma comunidad rural, sm contato com muitas pssoas, rcbndo ducação básica dos próprios pais, m casa. cada Natal, no dia 24 d dzmbro, sus pais lh falavam qu la dvria ir para a cama após a cia qu, durant a noit, nquanto la dormia, apai Nol viria do ólo Nort lh trazr um prsnt. D fato, smpr qu a pssoa acordava no dia 25 lá stava, ao pé da árvor d Natal, o su prsnt. uponha qu isso smpr tnha ocorrido com a pssoa, dsd sua mais tnra infância até la compltar 20 anos. uponha qu, após compltar 20 anos, a pssoa tnha um dsntndimnto com os pais por algum motivo rsolva sair d casa morar m outro lugar. Outro xmplo: 6

7 robabilidad Estatística I ntonio Roqu ula 15 Você trabalha m um banco tm qu stimar a probabilidad d qu a cotação do dólar frnt ao ral sja maior amanhã do qu hoj. or volta do mio dia, com bas nas informaçõs d qu você dispõ, você stima a probabilidad d subida m 20%. Esta srá considrada a probabilidad a priori d qu o dólar suba. Em trmos d probabilidads, dólar subir; dólar não subir : 0,2 0,8. or volta das 15 hs os mios d comunicação anunciam qu um fundo d invstimntos nort-amricano aumntou o su risco-rasil. Com bas nos dados statísticos disponívis no su banco você constata qu, no passado, m 30% das vzs m qu o dólar subiu d um dia para o outro houv um anúncio d aumnto do risco-rasil fito por ss fundo d invstimntos. or outro lado, m 5 % das vzs m qu o dólar baixou ou ficou stávl houv um anúncio d aumnto do risco-rasil fito plo fundo d invstimntos. ortanto, chamando d ao vnto anúncio do aumnto do risco-rasil fito plo fundo d invstimntos, você tm agora: 0,30 0,05. Com bas nsts dados, você pod usar a rgra d ays para rcalcular a sua stimativa d subida do dólar: 0,30.0,20 0, ,30.0,20 + 0,05.0,80 Com bas na informação adicional qu você obtv às 15 hs, a sua stimativa inicial da probabilidad d qu haja aumnto na cotação do dólar subiu para 60%. uponha agora qu às 17 hs saia uma notícia d qu o anco Cntral vai vndr uma grand quantidad d dólars amanhã. Est é um novo dado qu vai altrar a sua stimativa da probabilidad d aumnto da cotação do dólar d hoj para amanhã. sua stimativa atual,, srá tratada como a nova probabilidad a priori d qu o dólar aumnt você vai usar a rgra d ays para calcular o fito qu o 7

8 robabilidad Estatística I ntonio Roqu ula 15 8 vnto anúncio d vnda d grand quantidad d dólars plo anco Cntral amanhã trá sobr la. ortanto, você vai usar a fórmula: + Consultando novamnt os lvantamntos statísticos fitos plo su banco, você constata qu m 10 % das vzs m qu o dólar subiu d um dia para o outro m qu o fundo d invstimntos nort-amricano anunciou aumnto do risco-rasil na véspra do aumnto houv anúncio d vnda d grand quantidad d dólars plo anco Cntral. Já m 85% das vzs m qu o dólar baixou d um dia para o outro m qu o fundo d invstimntos nort-amricano anunciou aumnto do risco-rasil na véspra houv anúncio d vnda d grand quantidad d dólars plo anco Cntral. Ests dados lh forncm as sguints probabilidads, 0,85 0,10, d manira qu a sua nova stimativa da probabilidad d aumnto na cotação do dólar passa a sr, 0,15. 0,85.0,40 0,10.0,60 0,10.0, Com bas na nova informação, a sua stimativa da probabilidad d qu haja aumnto na cotação do dólar d hoj para amanhã cai para 15%, qu é mnor até qu a sua stimativa inicial das 12 hs, fita sm lvar m conta os novos fatos do dia. Est xmplo ilustra como a rgra d ays pod sr usada como um mcanismo d atualização d probabilidads m função d novas vidências.

9 robabilidad Estatística I ntonio Roqu ula 15 9

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