NOTA: ESCREVA AS RESPOSTAS COMO FRAÇÕES OU COM 4 CASAS DECIMAIS NOTA 2: O FORMULÁRIO ESTÁ NO FINAL DA PROVA

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1 IND 5 Ifrêca statístca Smstr 7. Tst 3//7 Nom: NOTA: SCRVA AS RSPOSTAS COMO FRAÇÕS OU COM 4 CASAS DCIMAIS NOTA : O FORMULÁRIO STÁ NO FINAL DA PROVA Problma (5 potos A quatdad d rfrgrat uma garrafa PT d ltros é, sgudo o fabrcat, sujta a alguma varação alatóra. m méda, cada garrafa cotém atamt ltros ml, com dsvo padrão 5 ml. Um fscal do govro ama um lot com 4 garrafas. S a quatdad total cotda as garrafas for mor qu 47 ltros, a mprsa srá multada. Qual a probabldad dsso acotcr? Solução Sja quatdad d rfrgrat a -ésma garrafa,,,...,4. Sja T a quatdad total as 4 garrafas, T varâca 4(5 ml. 4. tão T tm méda 4( 48 ml A probabldad dsjada é: (abao usamos o Torma Ctral do Lmt pos tmos uma soma d varávs alatóras dpdts Pr T ( T < 47 Pr < Pr Z < Pr( Z < 4.85 Φ( Problma (35 potos Cosdr os prços do ltro das gasolas adtvada prmum os postos. Uma amostra d postos rvla qu os prços por ltro da gasola adtvada têm dstrbução Normal com méda R$,5 dsvo padrão R$,5. Os prços por ltro da gasola prmum têm dstrbução Normal com méda,65 dsvo padrão R$,. A corrlação tr os prços das duas gasolas é 8%. Calcul as sguts probabldads: a D alguém pagar tr R$,75 R$,75 por um ltro d gasola adtvada. b D alguém pagar tr R$,75 R$,75 por um ltro d gasola adtvada sabdo qu st posto o ltro da gasola prmum custa R$,85. c D alguém pagar tr R$ $,75 R$,75 por um ltro d gasola adtvada sabdo qu st posto o ltro da gasola prmum custa R$,55. d Qual é a dstrbução codcoal dos prços da gasola prmum sabdo qu o prço pratcado da gasola adtvada é R$,75 por ltro? Quato um posto dv cobrar por ltro para qu a sua gasola adtvada stja tr as 5% mas baratas? f Toma-s uma amostra d 9 postos d gasola. Qual a probabldad d qu o prço médo da gasola adtvada a amostra ultrapass R$,56?

2 g Cosdr a amostra d 9 postos. Qual a probabldad do posto qu cobra mas barato a amostra cobrar mas d R$,55 pla gasola adtvada? Solução ( o prço da gasola adtvada é N(.5, (.5. Y (o prço da gasola prmum é N(.65, (.. a Pr(.75 < < Pr < < Pr.5 < Z < Φ.5 ( ( 8664 ( Φ(.5 Φ(.5 b Pr(.75 < <.75.9 < <. Y.85? A dstrbução codcoal é: N μ N.5 + ρ ( μ, ( ρ N (.85.65,(.5 (.64 Y. (.6, (.5 (.6 N(.6, ( Pr < < Pr.9.9 ( < Z <.667 Φ(.667 Φ( c Pr(.75 < <.75.9 < <. Y.55? A dstrbução codcoal é: N μ N.5 + ρ ( μ, ( ρ N (.55.65,(.5 (.64 Y. (.44, (.5 (.6 N(.44, ( Pr < < Pr.9.9 (.8333 < Z < Φ( Φ(.8333 d A dstrbução codcoal dos dos prços da gasola prmum sabdo qu o prço pratcado da gasola adtvada é R$,75 por ltro é Normal com méda:. μ + ρ ( μ ( varâca ( ( ρ (. (.64 (. (.36 (. (.6 (. Para star tr as 5% mas baratas, o prço da gasola adtvada dv sr:.5 <.645 <.5 +.5( f Cosdr agora uma amostra d 9 postos. O prço médo da gasola adtvada sts postos tm dsdad Normal com méda.5 varâca (.5 /9. A probabldad dsjada é:

3 Pr( >.56 Pr > Pr Z > Pr Z.5 / 3.5 / 3.5 ( >. Φ( g Sja U o mímo dos 9 postos a amostra. A probabldad a sr calculada é: Pr(U >.55 Pr( >.55, >.55,..., 9 >.55 { Pr( >.55 } 9 pos os s são dpdts dtcamt dstrbuídos. Mas: Pr( > Pr( >.55 Pr > Pr Z.5.5 ( >.6667 Φ( PROBLMA 3 ( potos Sja,,..., uma amostra alatóra da dsdad N(,θ. a Mostr qu o stmador d máma vrossmlhaça d θ é T b Calcul (T. Dca: Qual a dsdad d (ou d um múltplo dl? Solução a A vrossmlhaça é: L ( θ p ( πθ πθ θ / p θ A log-vrossmlhaça é: l θ ( θ log( πθ + A prmra drvada da log-vrossmlhaça é: ( θ dl dθ. + θ θ A dsdad d Z é N(,. Logo, Z θ tão : ˆ θ θ θ ( T ( θ θ é Qu - Quadrado comgrau d lbrdad assm : θ ( θ

4 4 PROBLMA 4 ( potos Sja Y ~ B(, /. a Calcul Pr(Y 9 atamt. b Calcul Pr(Y 9 apromadamt plo torma d DMovr Laplac com corrção d cotudad. c Calcul Pr(Y 7 atamt. d Calcul Pr(Y 7 apromadamt plo torma d DMovr Laplac com corrção d cotudad. Solução a Cálculo ato: Pr( soma.73 b Pr(Y 9 é, com a corrção d cotudad, apromadamt gual a Pr(Y 8.5, od sta últma é calculada a partr da dstrbução Normal. (Y p 6 VAR(Y pq 6(/ 3 Y Pr ( Y 9 Pr ( Y 8.5 Pr Φ Φ ( c Pr( Y d Pla apromação do Torma d DMovr Laplac: Y Pr( Y 7 Pr ( 6.5 Y 7.5 Pr Φ Φ Φ.866 Φ ( (

5 5 Tabla Fução d Dstrbução N(, z Φ(z z Φ (z z Φ (z, 5,%,965 83,7%,95 97,44%, 5,4%,97 83,4%,96 97,5%, 5,8%,975 83,5%,98 97,6%,3 5,%,98 83,65%,99 97,67%,5 5,99%,988 83,85%, 97,7%, 53,98%,99 83,89%, 97,78%,4 54,5%, 84,3%,5 97,79%,5 55,96%, 84,38%, 97,83%, 57,93%,67 84,54%,3 97,88%,36 58,85%,5 84,73%,4 97,93%,5 59,87%,3 84,85%,4 97,94%,887 6,36%,5 85,3%,5 97,98%,3 6,79%,553 85,44%, 98,%,35 6,85%, 86,43%,875 98,56%, ,6%,475 87,44%, 98,6%, ,59%,5 87,49%,36 98,73%,349 63,65%,553 87,6%,3 98,93%,35 63,68%,667 87,83%,363 99,%,4 65,54%, 88,49%, ,%,467 66,6%, 88,88%,4 99,8%,437 66,67%,5 89,44%,5 99,38%,45 67,36%,7 89,79%,55 99,46%,5 69,5%,86 9,%,568 99,48%,55 7,88%,3 9,3%,6 99,53%,5774 7,8%,3333 9,88%,65 99,6%,6 7,57%,375 9,54%, ,6%,65 73,4%,4 9,9%, ,64%,65 74,%,4434 9,55%,7 99,65%, ,75%,4468 9,6%,75 99,7%,7 75,8%,45 9,65%,8 99,74%,75 77,34%,5 93,3%,9 99,8%,8 78,8%,55 93,94%,95 99,84%, ,77%,6 94,5% 3, 99,87%,84 79,95%,645 95,% 3, 99,9%,85 8,3%, ,% 3,5 99,9%,866 8,68%,7 95,54% 3,667 99,9%,8666 8,69%,797 96,34% 3, 99,93%,9 8,59%,8 96,4% 3, ,99%,933 8,46%, ,66%,95 8,89%,85 96,78%,96 83,5%,9 97,3%

6 Formuláro 6 IND 5 - Ifrêca statístca Profa. Môca Barros FORMULÁRIO P Nom Dsdad ou Fução d Probabldad Méda Varâca fgm Uform Não é útl b f ( s a b b a a + ( b a pocal /λ /λ s t < λ Gama Qu-Quadrado f (.. / Normal α α β. β., od f( Γ( α s < f ( ( λ. od λ > f ( λ.p. Γ p π ( μ α β β μ λ λ t α β α ( s β β t t < t / p μ. t + Bomal.p.p.q t! f( Pr ( p ( p p ( p ( p + q!(! para,,,..., s t < / t Hprgométrca r N r f ( Pr( N r N. r r N. N N N Não é útl ( ( ( Gométrca /p q/p f Pr p p od,, 3,... t p Mt ( q t Posso λ λ λ λ. Pr( f(! t od,,,... t λ. ( ( Bomal Ngatva od Rsultados Matmátcos Sér Gométrca f ( Pr(. p r r, r +, r +,... r. q r r/p r.q/p t p M t t q ( r a + a + a + a a dsd qu a < Torma Bomal ( a b a b od a b são úmro ras, são tros Sér d Talor da pocal !! 3!! Môca Barros

7 Formuláro 7 Fução d Dstrbução (F( F( Pr( F ( 3 F( é uma fução ão dcrsct 4 Lm F( s + 5 Lm F( s - 6 S é uma v.a. cotíua, F( é cotíua. S é dscrta, F( é dscotíua df( f( d Rlação tr dsdad fução d dstrbução Dfção: -ésmo momto (. f (. f d s é v.a. cotíua (.Pr( todo todo s é v.a. dscrta ( μ ( μ. f ( d s é v.a. cotíua ( μ. f ( ( μ.pr( todo todo s é v.a. dscrta Dfção: -ésmo momto ctral m partcular, s : ( m, ou sja, o prmro momto ctral é smpr ulo.. f ( d μ (. f todo todo Méda ou Valor sprado d s é v.a. cotíua (.Pr( Dfção: s é v.a. dscrta ( μ. f ( d s cotíua VAR( (( μ todo todo Dfção: Varâca ( μ. f ( ( μ.pr( s dscrta Fórmula altratva para o cálculo da varâca VAR( ( μ Dfção: Dsvo padrão VAR( Dfção: Valor sprado d uma fução d uma varávl alatóra Proprdad lardad do valor sprado: {a.u( + b.v(} a {u(} + b {v(} ( u( u(. f ( d u(. f ( u(.pr( todo todo s é v.a. cotíua s é v.a. dscrta Proprdads Méda Varâca d costats fuçõs lars Sjam a b costats, uma varávl alatóra qualqur. tão: - (a. + b a.( + b - (a a 3- VAR(a.+ b a.var( 4- VAR(a Posso como apromação da Bomal S é Bomal(, p, od é grad p é pquo ( >.p < 5, pod-s apromar as probabldads Bomas por probabldads Posso usado uma Posso com a msma méda, sto é, usado λ.p. Môca Barros

8 Fução Gradora d Momtos (fgm t f ( d s é v.a.cotíua t M ( t ( t t. (.Pr( s é v.a.dscrta f todo todo Formuláro Rlação tr Momtos fgm ( d M ( t M ( ( dt t Fórmula da Covolução Sja Y + od são varávs dpdts com dsdad cojuta f(, f (.f (. A dsdad (ou fução d probabldad d Y é dada por: a No caso cotíuo g( f (. f( d f(. f( d b No caso dscrto Combaçõs Lars d varávs INDPNDNTS g( f (. f( f(. f( todo todo 8 Sjam,,..., dpdts com médas μ, μ,..., μ varâcas,,...,. Sja: Y a + tão, a méda d Y é: a ( Y a + a + a. μ a. a + od μ ( a. ( A varâca d Y é: VAR( Y a. VAR( a od VAR( a fgm d Y é: M ta Y. ty t( a + a a ( t ( ( ta ta ta (... ta ta (... ta como cosqüêca da dpdêca ta M ta ta ta ( (... ( ( ta M ( ta... M ( ta Combaçõs Lars d varávs DPNDNTS Supoha qu as médas varâcas dos s são como o caso atror, mas agora ls são DPNDNTS, d tal forma qu: COV(, j COV( j, ρ j.. j od ρ j é o cofct d corrlação tr j. Sja Y dfdo como acma. Y a + a tão (Y é o msmo qu o caso d varávs dpdts, MAS: ( (. ( + j, j j a aa jρj j j VAR Y a VAR a a COV. + od o o. trmo j od ρ é o cofct d corrlação tr Portfolo Combação lar d atvos od soma dos psos. Nos ossos mplos stamos supodo qu todos os psos são postvos. A méda a varâca do portfolo podm sr obtdas drtamt das prssõs acma para combaçõs lars d varávs dpdts. NOTAR qu, acma o trmo da covarâca aparcm a.a j a j.a. j j Fução Gama α Γ( α t. t dt Proprdads da Fução Gama Γ( (-.Γ(- para > Γ( (-! s é tro > 3 Γ(! 4 Γ π Môca Barros

9 Padrozação d uma varávl alatóra S tm méda a varâca b tão Z (-a/b tm méda varâca. S, além dsso, é Normal, Z também é Normal. Formuláro 9 Cálculo d probabldads para varávs Normas S é uma varávl Normal com méda μ dsvo padrão tão: a μ μ b μ a μ Pr( a b Pr Pr Z b μ Φ b μ Φ a μ Smtra da tabla da N(, Φ(-z - Φ (z s z > Combaçõs Lars d Varávs Normas Sjam,,..., varávs alatóras dpdts, od ~ N( μ, sja Y tão Y tm dstrbução Normal com méda μ varâca dadas por: μ μ Casos partculars: s todos os s acma são d com méda μ varâca tão a soma é Normal com méda.μ varâca. a méda amostral é Normal com méda μ varâca /. Dsdad Logormal S é N(μ, tão Y é Logormal. Pod-s provar qu (Y p( μ + / VAR Y ( μ ( ( p +. Dsdad Normal Bvarada É uma dsdad cojuta para duas varávs. Od μ μ μ μ R +. ρ.. f (,.p. R π ( ρ ( ρ A dsdad margal d é N(μ, A dsdad margal d é N(μ, As dsdads codcoas também são Normas. A dsdad codcoal d dado é: ( ~ N μ+ ρ.. ( μ,. ( ρ A dsdad codcoal d dado é: ( ~ N μ + ρ.. ( μ,. ( ρ Not qu as prssõs das dsdads codcoas acma já stão sdo dadas a méda a varâca codcoas. Na dsdad Normal bvarada, a codção ρ (corrlação ula é quvalt à dpdêca. Dsdad Bta Γ f ( Γ ( m + ( m Γ( S ~ Bta (m, tão: ( m m + ( m od < < m, tros VAR( Torma Sjam,,..., varávs alatóras dpdts com dsdad Uf(,. Sja Y r o r-ésmo úmro (m ordm crsct dtr os valors obsrvados d,,...,, d tal forma qu Y é o mímo, Y é o sgudo mor,..., Y é o mámo da amostra. tão Yr tm dsdad Bta com parâmtros r r +. Torma Ctral do Lmt (TCL Sjam,,..., varávs alatóras dpdts com dsdads quasqur, od ( μ VAR( ambas ftas. Sja Y tão Y, dvdamt padrozado para tr méda zro varâca é apromadamt Normal, dsd qu o úmro d trmos a soma sja sufctmt grad. O torma é mportat porqu srv para s com QUALQUR dstrbução, cotíua ou dscrta. Casos Partculars do TCL s os s são d, todos têm msma méda varâca. Torma d DMovr Laplac Caso partcular do TCL aplcado à Bomal. Hstorcamt aparcu muto ats do TCL. Usa-s quado uma Bomal tm grad p proómo d ½. S uma Bomal tm grad p pquo, é mlhor usar a apromação Posso ao vés d DMovr Laplac. Um problma a aplcação d DMovr Laplac é o fato d starmos apromado uma varávl dscrta (Bomal por uma cotíua (Normal. Daí surg a cssdad da corrção d cotudad, do cotráro ão tríamos como calcular Pr(Y, por mplo, usado a apromação. Sja Y ~ B(, p od é "grad" p ão stá prómo d zro. tão: Z Y ( Y VAR( Y Y p p( p m ( m+ + ( m+ Γ ( + m Γ ( m+ ( Γ( m Γ ( + m+ tm apromadamt uma dstrbução N(,. Môca Barros

10 Corrção d Cotudad Formuláro Quatdad dsjada a Quatdad Calculada através prssão apromada usado a dstrbução Bomal da corrção d cotudad dsdad Normal Pr(Y Pr( -.5 Y p 5. p Φ Φ pq pq Pr(Y Pr( Y +.5 Φ + 5. p pq + 5. p 5. p Pr(Y < Pr( Y - Pr( Y Φ Φ pq pq Pr( Y Pr( Y Φ. p pq Pr( Y > Pr( Y Φ. p Pr( Y + pq b+ 5. p a 5. p Pr( a Y b Pr( a -.5 Y b +.5 Φ Φ pq pq Torma Adtvdad da Qu-quadrado Sjam,,..., varávs alatóras dpdts é Qu-Quadrado com graus d lbrdad. tão Y é também Qu- Quadrado, com graus d lbrdad. Torma Rlação tr Normal Qu-Quadrado Sja Z ~ N(,. tão V Z tm dsdad Qu-quadrado com grau d lbrdad. Dfção Amostra Alatóra É um cojuto d obsrvaçõs dpdts dtcamt dstrbuídas. Torma Dstrbução da Méda da Varâca amostras uma amostra Normal Sja,,..., uma amostra da dsdad N(μ,. Sjam a méda amostral S ( a varâca amostral ( ( S tão ~ N μ, ~ χ Dst rsultado dduz-s qu: ( S 4 VAR( S A dsdad t d Studt dfção Uma varávl t com graus d lbrdad é obtda através d: T Z V / S são dpdts od Z V são dpdts, Z é N(, V é Qu-Quadrado com graus d lbrdad. À mdda qu os graus d lbrad da dstrbução t crscm, la s aproma d uma N(,. A dstrbução t amostras Normas Sja,,..., uma amostra da dsdad N(μ,. Cosdr méda varâca amostras como já dfdas. tão: T μ S / ( μ ~ t S statístca stmação Potual cotrar chuts (stmadors para parâmtros dscohcdos. Prcpas Métodos d stmação Método dos momtos Método d máma vrossmlhaça Método dos mímos quadrados Método dos Momtos a déa é gualar os momtos amostras aos momtos da dstrbução (( tatas vzs quato cssáro até cotrar uma solução úca para todos os parâmtros dscohcdos. S apas um parâmtro é dscohcdo, basta fazr sso uma vz. Fução d Vrossmlhaça (L(θ A fução d vrossmlhaça é a dsdad cojuta carada como fução do parâmtro θ. Isto é: Log-vrossmlhaça (l(θ É o logartmo a bas da vrossmlhaça. L ( θ f (,,..., f (, θ Môca Barros

11 Formuláro Método da Máma Vrossmlhaça Cosst m achar um stmador qu mamza a vrossmlhaça (ou, d modo quvalt, a log-vrossmlhaça. m gral, l é cotrado por Cálculo, rsolvdo-s a quação dl/dθ, mas stm cçõs, como a dsdad Uform. Môca Barros