7 Teoria da Detecção e da Estimação em Problemas de Telecomunicações

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1 7 ora da Dtcção da stmação m Problmas d lcomucaçõs Nst capítulo rmos troduzr os coctos udamtas da ora da Dtcção da stmação bm como as téccas báscas d procssamto d sal qu dcorrm da sua aplcação m problmas típcos das tlcomucaçõs. As téccas qu rmos cosdrar, mbora troduzdas aqul âmbto cotram aplcação m mutas outras áras da ghara, m partcular, a robótca. 7. Modlo Cocptual d um Sstma d Comucação Dgtal D sguda rmos abordar algus tópcos da ora da Dtcção da stmação com aplcação os sstmas d comucação dgtal qu tmos vdo a studar. Comcmos por rcordar o modlo cocptual d um sstma d comucação dgtal lustrado a Fgura 7.. Fgura 7.: Modlo cocptual d um sstma d comucação dgtal A ot d ormação gra símbolos m d um alabto M-áro a uma taa r / símbolos por sgudo (baud). Como é sabdo, o trasmssor az corrspodr a cada símbolo um sal d rga d duração ta, s. O cojuto dsts sas orma um spaço vctoral (spaço d sal) d dmsão ta N M, o qual pod sr rprstado por uma bas ortoormada d sas φ,,,, N. A cada sal s corrspod assm um vctor s s s,,,, M, (7.) s N cujos compots s obtêm por projcção ortogoal d s m cada um dos sas da bas φ t,,,, N, sto é, () m Fot rasmssor vctoral s s, φ s φ dt,,,, M,,, N. (7.) m trmos opracoas, sts compots obtêm-s rcorrdo a um baco d corrladors como s mostra a Fgura 7.-(a). Por outro lado, dado o vctor s, pod sttzar-s o sal s usado a combação lar s s rasmssor N s φ,,,, M. Modulador s Caal ruído () t Dtctor Rcptor Rcptor vctoral (7.3) mˆ Vctors matrzs srão dotados por ltras a bold músculas maúsculas, rspctvamt. 7-

2 sta opração d síts pod sr ralzada como s mostra a Fgura 7.-(b). Sublh-s ada qu, d acordo com a rlação d Parsval, a rga do sal s é dada por N s dt s,,,, M. (7.4) φ ()dt s s φ s φ ()dt s s φ s φ N ()dt s N s N φ N (a) (b) Fgura 7.: (a) baco d corrladors; (b) síts d s Sobr o caal d trasmssão assumm-s as sguts hpótss: H. é um sstma lar varat qu ão troduz dstorção sobr os sas trasmtdos; H. troduz ruído adtvo braco gaussao. Dst modo, para cada trvalo d salzação, o sal d saída do caal d trasmssão vm dado por s + W, t,,,, M, X (7.5) od W(t) rprsta o ruído d méda ula, cujas uçõs d autocorrlação dsdad spctral d potêca são, rspctvamt, R W () τ δ() τ (7.6) GW (). (7.7) O problma qu aqu s põ é o d, dada a obsrvação (t) (amostra do procsso X(t)) ou a sua rprstação quvalt o spaço d sal, dtrmar o símbolo trasmtdo m. A rprstação quvalt obtém-s por projcção ortogoal usado o baco d corrladors rprstado a Fgura 7.-(a). Na hpóts d tr sdo trasmtdo o sal, tão s + W,,,, M, H : X (7.8) a saída d cada corrlador é costtuída por uma compot dada por, φ s, φ + w, φ s + w,,, N. (7.9) s 7-

3 m otação vctoral, pod scrvr-s H : s + w,,,, M, (7.) od w rprsta o vctor d ruído cujas compots stão ddas m (7.9). A Fgura 7.3 dá cota da trprtação gométrca do modlo (7.). É a partr dst modlo qu o rcptor tm d dtcar o símbolo trasmtdo o trvalo d salzação corrspodt, aturalmt basado um crtéro d optmzação do rspctvo dsmpho, por mplo, a probabldad d rro por símbolo. Para rsolvr st problma é covt comçar por caractrzar o vctor d ruído w. (t) w(t) s w p Fgura 7.3: Rprstação do sal obsrvado (t) o spaço d sal p 7. Rsposta d um Baco d Corrladors a Ruído Braco Gaussao Da dção d produto tro (7.), cocluímos qu w φ dt,,,, N. w, φ w (7.) Not-s qu as compots d w s obtêm através d uma trasormação lar d um procsso gaussao, portato, são também gaussaas. Como W(t) tm méda ula, o vctor w tm também méda ula. Por outro lado, usado (7.) pod scrvr-s { w w m } w() µ φ () µ dµ w() ν φ () ν dν. Rarrajado trmos, prmutado o oprador valor pctávl com a tgração, tdo m cota (7.6), { w w m } { w( µ ) w( ν) } φ ( µ ) φ ( ν) δ φ ( µ ν) φ ( µ ) φ ( ν) ( µ ) φ ( µ ) dµ dν dµ dν, m dµ, m sto é, a matrz d covarâca do vctor alatóro w é dada por 7-3

4 C w { ww } I N. (7.) od I N é a matrz dtdad d dmsão N. Portato, m (7.), o vctor d ruído é gaussao, tm méda ula matrz d covarâca dada por (7.). Assm, tdo m cota qu a ução dsdad d probabldad d um vctor gaussao, N-dmsoal, d méda m matrz d covarâca é dada por C {( m )( m ) } N ( u) ( π) ( dt C) p ( u m ) C ( u m ), (7.3) a ução dsdad d probabldad do vctor d ruído a saída do baco d corrladors é w ( ) ( ) N u π p( uu ). (7.4) 7.3 Crtéro d Bays: Rcptor d Máma Vrosmlhaça Para smplcar o problma vamos cosdrar o caso d uma ot bára, M, cujos símbolos têm probabldads d ocorrêca p p, rspctvamt. Sjam H H as hpótss qu s vrcam pla trasmssão dos sas s s, corrspodts aos símbolos m m, rspctvamt. rmos assm s + w() s + w : t H (7.5) s + w() s + w : t H. (7.6) A Fgura 7.4 lustra d orma smbólca o sstma d comucação báro cujo rcptor s prtd costrur. O caal d trasmssão é rgdo por um mcasmo d trasção caractrzado plas uçõs H H, sto é, as dsdads d probabldad das obsrvaçõs codcoadas pla vrcação das hpótss H H, rspctvamt. do m cota as rlaçõs (7.5) (7.6), sabdo qu w é um vctor gaussao d méda ula matrz d covarâca dada por (7.), sto é, w ~ N w (, ( / ) I N ), (vr(7.4)), coclu-s H ~ N s, / I H ~ N s, / I, ou sja, (vr (7.3)), qu ( ( ) ) ( ( ) ) N N N ( ) ( π) H u p u s (7.7) N ( u) ( π) H p u s. (7.8) 7-4

5 H dcd H Fot Z Z Z spaço d obsrvaçõs Z H dcd H Fgura 7.4: Rprstação smbólca d um sstma d comucaçõs báro Sja Z o spaço d obsrvaçõs, o qual, o prst cotto, s dtca com o spaço d sal p. O problma d dtcação dos símbolos trasmtdos rsum-s à dtrmação d uma partção [ Z, Z ] d Z tal qu: s a obsrvação Z, tão o rcptor dcd pla hpóts H, caso cotráro, pla hpóts H. D acordo com o crtéro d Bays, as rgõs Z Z são scolhdas por orma a mmzar a ução d custo R C + C + C + C p p p Pr Pr Pr { dcdr H H é vrdadra} { dcdr H H é vrdadra} { dcdr H H é vrdadra} p Pr{ dcdr H H é vrdadra}. (7.9) Na prssão atror, C C são os actors d rsco qu palzam as dcsõs rradas, quato qu C C palzam as dcsõs corrctas. m gral, é razoávl scolhr os actors d custo d modo qu C > C C > C. m partcular, s zrmos C C p p C C p p,, tão a ução d custo (7.9) dgra a probabldad d rro P p Pr p Pr { dcdr H H é vrdadra} + ( p) Pr{ dcdr H H é vrdadra} { H Z } + ( p) Pr{ H Z } ou sja, Uma vz qu P p Z ( u) du + ( p) H ( u) du. (7.) H Z 7-5

6 Z Z Z () u du H () u du () H u, Z H du, Z Z tão mmzar (7.) é o msmo qu mmzar P p + { [( p) H ( u) p ( )] } H u du Z. (7.) A prmra parcla do lado drto d (7.) é um parâmtro o, quato qu a sguda rprsta o custo (m trmos d probabldad d rro) qu é cotrolado plos potos qu são atrbuídos à rgão Z. Por outro lado, os dos trmos tr [] são ambos postvos. tão, os vctors para os quas o sgudo dsts trmos é supror ao prmro dvm sr atrbuídos à rgãoz, pos só assm cotrbum para dmur o valor do tgral. Ao cotráro, os vctors qu cotrburam postvamt para o valor do tgral dvm sr atrbuídos à rgão Z. Nstas codçõs, a rgra d dcsão qu dv sr ralzada plo rcptor d modo a mmzar a probabldad d rro é a sgut H H H () p () ( p) H () γ λ < > < > H H, (7.3) od λ () é a razão d vrosmlhaça γ é o lmar d dcsão. Not-s qu a quação m λ() γ d a rotra tr as duas rgõs d dcsão Z Z. Nos potos qu costtum a rotra, a dcsão por H ou H é drt. No caso qu tmos vdo a studar, m qu o ruído é gaussao, é compltamt caractrzado plas dsdads d probabldad codcoas (7.7) (7.8) plo parâmtro p, a rgra d dcsão (7.3) toma a orma partcular ou ada p > p ( s s ) p, < H H H < p s s l. (7.4) > p H Falmt, s os símbolos báros orm quprovávs, p, (7.4) smplca-s para H < > H s s, (7.5) sto é, o rcptor dcd plo símbolo assocado ao vctor sal cujo ao stá mas prómo do poto obsrvado. Chama-s a atção para o acto d qu sta rgra d dcsão, sdo, dgamos assm, uma rgra tutva, é óptma (o stdo m qu mmza a probabldad d rro) apas quado o ruído é gaussao d méda ula, os símbolos grados pla ot são quprovávs. Usado a dção d orma, tmos 7-6

7 , s + s, s a rgra d dcsão (7.5) passa à orma quvalt H,,, s >, s, (7.6) < H od s,,, é a rga do sal s,,. As rgras (7.5) (7.6) são como vmos quvalts dm o rcptor d máma vrosmlhaça, caso partcular do rcptor d míma probabldad d rro qu rsulta da quprobabldad dos símbolos ot Probabldad d rro Míma A probabldad d rro pod sr calculada m trmos da probabldad d dcdr corrctamt. Num sstma M-áro, a probabldad d dcdr plo símbolo m sdo qu o st o símbolo trasmtdo é obvamt dada por Pr { m, H } p ( u) Z H du. Sdo P a a probabldad d sr tomada a dcsão corrcta, tão a probabldad d rro val P P a M p Z H ( u) du. (7.7) O cálculo da probabldad d rro m orma chada pod sr, m mutos casos, complcado ou msmo mpossívl. No tato, para os casos mas smpls, como os aprstados os parágraos sguts, é possívl obtr prssõs m orma chada. A dculdad assocada ao cálculo da probabldad d rro stá sobrtudo dpdt da orma das rgõs d dcsão Z das uçõs dsdad d probabldad codcoal ( u). H 7.3. Sas Ortogoas com Igual rga Cosdrmos os sas s s com gual rga rprstados a Fgura 7.5- (a), os quas, como s pod vrcar, são ortogoas. O spaço d sal tm assm dmsão dos é grado pla bas ortoormada ormada plos sas φ φ tas qu s φ,,. Nstas codçõs, a rgra (7.6) smplca-s ada mas H, φ >, φ < H pod sr lvada à prátca plo rcptor qu s mostra a Fgura 7.5-(c). Da prssão atror, coclu-s ada qu a rotra tr as rgõs d dcsão Z Z é dda pla 7-7

8 rcta, como s vê a Fgura 7.5-(b). D sguda, rmos calcular a prssão da probabldad d rro d trasmssão para o caso dst sstma. s / s / s Z Z s (t) φ (t) φ (t) () dt () dt + mˆ (a) (b) (c) Fgura 7.5: (a) sas ortogoas; (b) rgõs d dcsão o spaço d sal; (c) rcptor Probabldad d rro míma. No caso prst, a dsdad d probabldad da obsrvação codcoada as hpóts H ou H é, como já vmos (qs. (7.7) (7.8)), dada por ( u) ( π) p u s,,. H A orma quadrátca do pot mpõ qu sta dsdad d probabldad tha smtra crcular m toro do valor médo s, como s lustra a Fgura 7.6 od d é a dstâca tr s s. Not-s qu toda a gomtra é smétrca rlatvamt à rcta. Isto sgca qu os tgras m (7.7) são todos guas podm sr calculados usado o sstma d os u Ο. ( v Ο v ) m vz d ( u ) u v s Z d s u s Z d s Z Z v (a) (b) Fgura 7.6: (a) sstma orgal d coordadas; (b) sstma d coordadas rodado d π/4 Assm, usado (7.7) o acto dos símbolos srm quprovávs, podmos scrvr 7-8

9 P Z Z H H ( u) ( v) du dv ( ( + v ) ( π) p ( v + d ) ( π) p( v ) dv ( π) p( ( v + d ) ) Not-s qu o sstma d os ( ) v dv dv v Ο o poto s [ ] d. Na últma lha da prssão atror o tgral m v é gual a pos a tgrada é uma gaussaa d méda ula varâca. S o tgral m v zrmos a mudaça d varávl µ ( + d ) v, obtmos dv. ou sja, P ( ) d ( π) p( µ ) ( π) p( µ ) d ( ) dµ, dµ P rc, (7.8) od s z d s usou a dção da ução rro complmtar rc π ( ) p( µ ) dµ,. (7.9) Sas Atpodas com Igual rga s, d ovo, com rga. Nst caso, os dos sas são larmt dpdts, portato, o spaço d sal tm dmsão. Pod scolhr-s, por mplo, φ s para vrsor da rcta ral qu costtu o spaço d sal. Usado (7.6), a rgra d dcsão é agora Cosdrmos agora o caso m qu s ou sja,,s, φ >, φ,s H >. < H H < H A Fgura 7.7 lustra st squma d salzação (a), mostrado o spaço d sal (b) o dagrama d blocos do rcptor (c). 7-9

10 s s s φ Z Z s s () t φ() t () dt mˆ (a) (b) (c) Fgura 7.7: (a) sas atpodas; (b) rgõs d dcsão o spaço d sal; (c) rcptor Probabldad d rro míma. Nst caso, as uçõs dsdad d probabldad codcoas das obsrvaçõs são ( u) ( π) p [ u s ],,, X H od s ± como s vrca a partr da Fgura 7.7. A Fgura 7.8 mostra aqulas dsdads d probabldad. X H X H + u Fgura 7.8: Dsdads d probabldad codcoas ou sja, al como o caso studado o parágrao 7.3., a probabldad d rro é dada por H ( u) du H ( u) P du, Z Z P ( π) p [ u d ] ( π) p [ u + d ] du du, od d é a dstâca tr os sas s s. Procddo como m 7.3., obtém-s P rc. (7.3) 7-

11 É ácl vrcar qu st valor da probabldad d rro corrspod a qualqur das áras sombradas a Fgura 7.8. Comparado (7.3) com (7.8), tdo m cota qu rc é uma ução dcrsct, cocluímos qu a probabldad d rro é mor o caso da salzação atpodal. Com to, mbora a rga por bt sja a msma, st caso a dstâca tr os sas é maor do qu a salzação ortogoal. 7.4 Fltro Adaptado Nsta scção vamos studar uma ralzação quvalt do rcptor d míma probabldad d rro basada o ltro adaptado. st ltro é dshado d modo a mamzar a razão tr a rga statâa do sal d saída o stat d amostragm a potêca do ruído d saída. φ(t) h(t) H() y(t) ruído braco Fgura 7.9: Rcptor basado o ltro adaptado y() Supohamos qu a trada do ltro rprstado a Fgura 7.9 é a soma d um sal cohcdo φ com uma amostra w(t) d ruído braco gaussao W com dsdad spctral d potêca G (). A saída do ltro vm dada por W od φ N() t Y +, (7.3) h φ H() Φ() jπt φ d (7.3) é a compot d sal a saída, o ruído N tm spctro d potêca G () H() N. (7.33) O objctvo é dtrmar a ução d trasrêca H() (ou a rsposta mpulsoal h(t)) tal qu a razão SNR φ ( ) P N () Φ() H () H jπ d d (7.34) sja máma. m (7.34), P N é a potêca méda do ruído N. Para rsolvr st problma, podmos rcorrr à dsgualdad d Shwarz 7-

12 jπ () Φ() d H() d Φ() H jπ d, (7.35) od a gualdad s vrca quado H opt * jπ () K Φ () Substtudo (7.36) m (7.34), obtmos. (7.36) φ SNR opt, (7.37) od φ Φ() d é a rga do sal φ(t). Not-s qu SNR opt ão dpd da costat arbtrára K, plo qu podmos scolhr sm prda d graldad K. tão, d (7.36) tra-s qu h opt φ( t). (7.38) No caso m qu o ruído d caal é braco, a rsposta mpulsoal do ltro adaptado é uma réplca do sal φ(t), atrasada d, dda o stdo rvrso do tmpo. Na Fgura 7. mplca-s st acto. φ(t) h(t) Fgura 7.: Rsposta mpulsoal do ltro adaptado ao sal φ(t) Para coclur, podmos usar (7.38) para vrcar qu () τ h ( t τ) dτ ()( τ φ t + τ) od (t) é uma amostra do procsso d trada Como φ, t [,] y opt dτ, (7.39) φ W X +., tão (7.39) toma a orma, portato, y t ()( τ φ t + τ) t ( ) ()() τ φ τ dτ y dτ. (7.4) 7-

13 Daqu s coclu qu o sstma da Fgura 7.9 é, m trmos ucoas, quvalt a qualqur dos corrladors da Fgura 7.-(a). Assm o baco d corrladors al rprstado é quvalt a um baco d ltros adaptados como s lustra a Fgura 7.. Como s vê, cada ltro é adaptado a um dos sas da bas ortoormada qu gra o spaço d sal. s φ φ ()dt ()dt s s φ ( t) ) h s h φ ( t) ) s s φ N ()dt s N h N φ ( t) ) N s N Fgura 7.: quvalêca tr um baco d corrladors um baco d ltros adaptados 7.5 stmação d Máma Vrosmlhaça m Ruído Braco Gaussao Nsta scção armos uma trodução à tora da stmação, tratado uma class d problmas partcular com aplcação m tlcomucaçõs. Comcmos por cosdrar o sgut problma. stmação d parâmtros Dada a obsrvação s( t; ) + w, t, θ (7.4) od s ( t;θ) rprsta um sal cohcdo a mos d um cojuto d parâmtros w é uma amostra d W qu s assum sr ruído braco gaussao com spctro d potêca G W (), prtd-s dtrmar a stmatva θˆ do vctor θ. colcoados o vctor θ, A Fgura 7. lustra o problma da stmação d parâmtros. A ot gra um sal s(t) qu s assum aqu sr cohcdo plo rcptor a mos d um vctor d parâmtros θ, o qual prtc a um cojuto dsgado por spaço d parâmtros. Através d um qualqur mcasmo d trasção mposto plo caal d trasmssão, o sal (t) obsrvado é uma vrsão rudosa, vtualmt dstorcda, do sal s(t). 7-3

14 Fot (t) stmador Θ spaço d soluçõs mcasmo d trasção Z spaço d obsrvaçõs θˆ Fgura 7.: Problma da stmação d parâmtros Supohamos qu o mcasmo d trasção do caal é modlzado pla rlação (7.4). Ao stmador compt, a partr do sal obsrvado (t) mdat dtrmadas hpótss, cotrar o spaço d soluçõs (cocdt com o spaço d parâmtros), o vctor dsjado θ. Naturalmt qu o algortmo qu prmt calcular a stmatva θˆ ão é arbtráro. Ao cotráro, cuta uma rgra d stmação qu dv satsazr um dtrmado crtéro d optmaldad. A scolha dst crtéro dpd do grau d cohcmto apror dspoívl sobr o vctor d parâmtros a stmar. Podmos assm cosdrar dos tpos d abordagm do problma da stmação d parâmtros: A. stmação d parâmtros alatóros; A. stmação d parâmtros dtrmístcos. No studo qu a sgur aprstamos, vamos cosdrar apas a class d problmas A. Nst caso, a stmatva do vctor θ pod obtr-s por mamzação da chamada ução d vrosmlhaça qu troduzrmos d sguda. Por sr mas smpls, comçarmos por abordar o problma partdo d uma ormulação m tmpo dscrto Formulação m mpo Dscrto Nst caso, as obsrvaçõs ddas m (7.4) são scrtas a orma k () + w, k,,,k-, s θ (7.4) k k od w k, k,,,k-, é uma squêca braca gaussaa d méda ula varâca, ou sja, w ( w ) ( ) k W k k π p, k,,, K, (7.43) é a dsdad d probabldad da varávl alatóra W k, cuja amostra é w k. Podmos tão scrvr [ s ()] ( ) ( ) p k k θ X k θ k π, k,,, K. (7.44) 7-4

15 Uma vz qu as varávs alatóras W k, k,,,k-, são statstcamt dpdts, o msmo acotc com, k,,,k-. Ddo o vctor (colua) d amostras [,,, ] K X k, cocluímos qu a dsdad d probabldad cojuta das obsrvaçõs X, X,, X K é o produto das margas (7.44). D. 7.- Fução d vrosmlhaça. A ução d vrosmlhaça das amostras (vctor ) do vctor d parâmtros θ a stmar é dada pla dsdad d probabldad cojuta das obsrvaçõs codcoadas m θ. Sdo () θ [ s () θ,s () θ,, () θ ] s, s K tão Λ K ( ; θ) ( π) p [ k s k () θ ] K ( π) p s() θ K k (7.45) No caso prst, m qu a ução d vrosmlhaça é do tpo gaussao, podmos m altratva a (7.45) usar a chamada ução logarítmca d vrosmlhaça L K K k k k. (7.46) ( ; θ) l Λ( ; θ) l( π) [ s () θ ] K l ( π) s() θ D. 7.- stmatva d máma vrosmlhaça. A stmatva d máma vrosmlhaça do vctor d parâmtros θ é o vctor ˆ ( ) arg ma Λ( ; θ) arg ma L( θ) θ ;. (7.47) θ θ Comtáro: a stmatva d máma vrosmlhaça dpd plctamt dos dados qu são amostras d obsrvaçõs alatóras. Portato o vctor ˆθ () é l própro um vctor alatóro. Usado (7.46) m (7.47), lmado as parclas qu ão dpdm plctamt dos parâmtros a stmar, podmos almt scrvr θˆ K θ k () arg ma [ s () θ ] arg ma θ k s k () θ. (7.48) A dtrmação d ˆθ passa portato por rsolvr um problma d cálculo d trmos, por mplo, aplcado a codção cssára d stêca dsss trmos. S strm, os trmos vrcam o sstma d quaçõs 7-5

16 θ s( θ), (7.49) θ θˆ od dsga o vctor ulo θ é o oprador gradt, sto é, o vctor cujos lmtos são as drvadas parcas m ordm a cada um dos lmtos d θ. As soluçõs da quação (7.49) ão são m gral úcas, sdo cssáro dtrmar as qu costtum d acto mamzats, dstas, solar aqula qu coduz ao mámo global. Uma altratva a st método pod basar-s uma técca d busca, o qu passa por calcular a ução d vrosmlhaça para todos os valors d θ o spaço d soluçõs. Naturalmt, sta técca pod coduzr a tmpos d cálculo comportávs. mplo 7.: stmação d ampltud. Cosdrmos o caso m qu s () a as, k,,, K - s() a as k k od a ampltud a é o parâmtro qu s prtd stmar. D (7.49) vm, tão, a quação com solução úca as, a â â s ks k (7.5) K k K od s s k k é a rga do sal s k, k,,, K -. Pod vrcar-s qu a solução atror costtu d acto um mámo pos a sguda drvada da ução d vrosmlhaça aqul poto é gatva. Por outro lado, s ão stss ruído, k : k as k, d (7.5) rsultara â a, como sra d sprar Aáls d Dsmpho m dscussão atror cocluímos qu a stmatva d máma vrosmlhaça é uma quatdad alatóra. Faz, portato, todo o stdo vstgar as proprdads statístcas do rro d stmação ε θ ˆθ. (7.5) D stmador ão vzado. O stmador é ão vzado ss { ε } { θˆ } θ. (7.5) Portato, s o stmador or ão vzado, a stmatva é m méda gual ao valor omal do(s) parâmtro(s). sta ormação, sdo útl, ão é o tato suct como mdda d qualdad do stmador, pos para cojutos d obsrvaçõs drts ada dz sobr a dsprsão dos rros d stmação obtdos. Como s sab, sta mdda d dsprsão pod sr quatcada com uma aáls d sguda ordm. 7-6

17 D Matrz d Fshr. Sja N a dmsão do vctor d parâmtros θ. Os lmtos da matrz d Fshr J são dados por [] ( ; θ) L J j,, j,,, N. (7.53) θ θ j Uma vz dda a matrz d Fshr, podmos ucar o sgut acto qu aqu ão dmostrarmos. Facto 7.: Lmar d Cramér-Rao. Supohamos qu s vrca a codção (7.5) qu [] [ J ] J é o -ésmo lmto da dagoal da vrsa da matrz d Fshr. σ var( ε ) a varâca do rro d stmação do parâmtro θ. tão Sja [ ] [] σ,,,, N J, (7.54) od cada um dos [] J,,,, N, é dsgado por lmar d Cramér-Rao. st acto mostra qu st um valor tórco lmt abao do qual a varâca do rro d uma stmatva ão vzada ão pod car. D stmatvas cts. Uma stmatva ão vzada é dta ct s (7.54) s vrcar pla gualdad, sto é, quado a varâca do rro atg o valor lmt stablcdo plo lmar d Cramér-Rao. mplo 7. (cotuação). Sdo vm, portato as + w â s, od s s, d (7.5) ( as + w ) s w s ε a (7.55) { ε }, (7.56) pos s são quatdads dtrmístcas o vctor d ruído w tm méda ula. Portato, a stmatva d máma vrosmlhaça da ampltud é ão vzada. Partcularzado (7.46) L K as, ( ;a) l( π) d (7.53), tdo m cota o Facto 7., obtmos o lmar d Cramér-Rao LCR as a. (7.57) 7-7

18 Por outro lado, d (7.55) (7.56), rcordado ada qu as amostras d ruído são statstcamt dpdts têm gual varâca, tramos σε w s s s K I s { ww } s o qu, d acordo com a D. 7.5, mostra qu a stmatva é ct Formulação m mpo Cotíuo Dadas as obsrvaçõs ddas plo modlo (7.4), tmos ˆ θ, (7.58) () arg ma [ () ( )] t s t; θ dt θ o qu costtu uma gralzação mdata d (7.48). A solução pod sr obtda rcorrdo à mtodologa dual da prssa m (7.49), [ () ( )] θ t s t; θ dt, (7.59) θ θˆ ou ada usado um método d busca austvo. No qu dz rspto à aáls d dsmpho, a dscussão aprstada o parágrao pod sr drctamt trasportada para o prst cotto, tdo m atção a dualdad d (7.58) (7.59) rlatvamt a (7.48) (7.49), rspctvamt. mplo 7.: stmação da as d uma portadora susodal. Cosdrmos o modlo d obsrvaçõs c cos( π t + θ) + w( t), t, od s matêm as hpótss ormuladas o íco da scção 7.5. Aqu [ π +π] s + ( t; θ) cos( π t + θ), t, ( >> ) c c (7.6) θ, é o parâmtro a stmar. stamos portato a assumr qu θ s matém costat durat o trvalo d obsrvação d duração. Usado (7.59), tdo m cota qu ( π t + θ) s( π t + θ) dt + c cos c c, 7-8

19 obtmos Ddo s( π t + θˆ ) c dt. (7.6) tão (7.6) é quvalt a, portato, I Q s cos( π t) c s( π t) c dt dt ( θˆ ) ( ˆ I cos θ ) Q, θˆ Q ata. (7.6) I A Fgura 7.3 lustra o dagrama d blocos do sstma qu mplmta o stmador MV da as da portadora susodal dda m (7.6). () dt (t) φ Q (t) ata() Q ˆθ φ I (t) () dt I Fgura 7.3: stmador MV da as d uma portadora susodal A partr das hpótss ormuladas podmos coclur qu as varávs alatóras X X I Q cos θ + W cos θ + W I Q são gaussaas, dpdts, têm dsdad d probabldad cojuta ( cos θ) + ( s θ) I Q ( I, Q ) ( π) p. Usado a trasormação, sugrda pla Fgura 7.3, 7-9

20 X X I Q R cos θˆ R s θˆ podmos tão calcular a dsdad d probabldad cojuta d R d, π ˆθ R ( ) ( R cos θˆ cos θ) + ( R s θˆ s θ) R, θˆ p a qual, após alguma mapulação algébrca, s pod scrvr a orma ( θ θˆ ) R cos( θ θˆ ) ( ) γ s ( R, θˆ ) R p, π od γ (7.63) orc uma mdda da SNR. Uma vz qu probabldad do rro é dada por ε θ ˆθ, tão a dsdad d γ s ( ) ε R p ( R cos ε ) π ou, azdo a mudaça d varávl ( R cos ε ) ε, dr γ s ε ( ε ) ( + γ ε ) cos d. π γ cos ε O actor tgral pod ada sr trabalhado, obtdo-s ( ε ) γ π γs + π ε γ cos ε π γ cos d ε (7.64) Para aalsar st rsultado vamos cosdrar as duas stuaçõs lmt: ruído ort ruído raco. Ruído ort (γ ) Nst caso, a sguda parcla m (7.64) aula-s, plo qu 7-

21 π ( ), ε [ π +π] ε, γ <<. Isto sgca qu a stmatva toma com gual probabldad valors m trvalos prómos ou aastados do valor omal θ, o qu corrspod a um mau dsmpho do stmador. Ruído raco (γ ) Nstas codçõs podmos assumr qu, com probabldad muto grad, a stmatva ão s aasta d θ mas do qu π/ m valor absoluto. al mplca qu cos rscrv-s do sgut modo ˆθ ε, (7.64) od γ γs ε ( ε ) + γ cos ε [ rc* ( γ cos ε )], π π rc * ( ) u π du π. >> Usado st lmt para o caso m qu γ >>, obtém-s almt γ ( ) γ cos ε ε γ >>. (7.65) π Comcmos por otar qu a ução lmt dcada m (7.65) é uma ução par o qu mplca qu o stmador é assmptotcamt ão vzado, sto é, o valor pctávl do rro td para zro quado γ crsc. Por outro, para valors do rro prómos do su valor médo assmptótco, ou sja, s ε cos ε, sε ε (7.65) é apromada por uma gaussaa d méda ula varâca γ. S calcularmos o LCR dst stmador d as obtmos actamt st rsultado. Portato, podmos também armar qu o stmador MV da as é assmptotcamt ct. Malha d Sgumto d Fas Voltmos à codção (7.6) usmos a dção do sal () t s ε cos ( π t + θ) s( π t + θˆ ) dt + w s( π t + θˆ ) dt c c c o qu é quvalt a s ε +, od corrspod a uma méda tmporal d uma amostra d ruído. Na hpóts d ruído raco, toma com lvada probabldad valors pquos pod sr trprtado como uma pqua prturbação da mdda do rro d as s ε. Por outro lado, vmos a aáls d dsmpho ta atrormt qu a hpóts d ruído raco, o rro toma com lvada Malha d sgumto d as: PLL (Phas Lockd Loop) 7-

22 probabldad valors ε, logo s ε ε, o rro d stmação dv vrcar a codção apromada ε +. (7.66) (t) s( π ˆ ct + θ ) ()dt ε VCO c Fgura 7.4: Malha d sgumto d as A Fgura 7.4 mostra o dagrama d blocos para uma mplmtação altratva do stmador d as. S a saída do tgrador o rro ε, tão a saída do VCO matém-s stablzada com θˆ θ. S o to da prturbação s zr str, por mplo, aumtado lgramt o rro, tão o VCO rlct sta varação um lgro aumto d ˆθ o qu va, aturalmt cotrbur para um dcréscmo do ovo valor d rro. Portato, stado a ucoar prto do rgm prmat od o rro é muto pquo, o PLL é capaz d ragr a pquas prturbaçõs o stdo d voltar ao poto d qulíbro. A partr da obsrvação rudosa d uma portadora susodal é assm possívl grar localmt uma réplca com scrosmo d as (a mos d um dsvo costat d π/, cuja compsação é muto smpls d ralzar). 7-