3 Solução Analítica Exata para Viga Infinita no Caso Linear

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Laura de Caminha
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1 37 3 Solução Alítc Ext pr Vg It o Cso Lr st cpítulo são borddos os procdmtos pr rsolução d qução (.4, pr o cso spcíco d um vg prsmátc d comprmto to. st sstm os dslocmtos rotçõs tdm pr o zro à mdd qu s sçõs lsds s stm d zo d crrgmto, ssm como os sorços d cort momtos. As codçõs d cotoro pr um vg t são portto: 3 w( ±, w( ±, w( ±, w ( ±, (3. 3 η η η 3.. Solução por Trsormd Dupl d ourr Usdo um procdmto smlr o dotdo por rýb (97 Km (5, qu s z uso do cocto d trsormd d ourr pr dr o cmpo d dslocmtos w(η,, ução d crrgmto q(η,, bm como s sus trsormds, rspctvmt W ( ξ, ( ξ,. Portto, pod-s dr s sguts rlçõs: ξη (, w(,. d dt (3. W ξ η η ξη ( ξ, q( η,. dηdt (3.3 od ξ Ω são s coordds trsormds d η t rspctvmt. Pr s obtr trsormd d qução (.4, mprgm-s lgums proprdds d trsormd d ourr pr uçõs udmsos, sbr:

2 38 S um ução (η, su trsormd é dd como: ( η ηξ dη ( ξ (3.4 S ução (η tm vlors ulos pr η±, tm-s qu: d ( η dη ηξ dη ξ ( ξ, pr (± (3.5 S lém d vlors ulos ução, tmbém são ulos os vlors ds drvds d ordm té ordm -, pod-s grlzr qução (3.5, obtdo-s: d ( η d η ηξ dη ξ ( ξ, d( ± d ( ± d ( ± s ( ±,... (3.6 dη d η d η As proprdds dds s quçõs (3.5 (3.6 podm sr usds por log pr trsormr qução (.4, trsormdo prmro coordd do spço móvl η dpos coordd do tmpo t. Tm-s ssm qu: ( ( ξ, W ξ, Ω (3.7 4 Ω Vξ ( + r ξ + C( Ω Vξ od W ( ξ, ( ξ, stão dds s quçõs (3. (3.3. Sdo ξ Ω s coordds trsormds d η t, rspctvmt. A qução (3.7 d rspost do sstm s prmt do movmto, o domío ds coordds trsormds ξ Ω. Pr obtção d rspost s coords orgs η t, mprg-s trsormd vrs d ourr, qu, pr o cso udmsol, é dd por: obtém-s: ( η ( ξ ηξ dη (3.8 π Clculdo trsormd dupl vrs d ourr d qução (3.7, ( (π ( ξ, Ωt 4 Ω Vξ ( + r ξ + C( Ω Vξ ξη dξdω (3.9 A qução (3.9 d rspost do sstm s prmt do movmto, o domío ds coordds do spço móvl η do tmpo t. A vlção umérc d qução (3.9 srá bordd m um tm postror, á qu,

3 39 prmro, dv sr dtrmd trsormd d ução d crrgmto ( ξ,. 3.. Rspost pr Crg Coctrd: Cosdr qu o crrgmto s um crg coctrd qu s dsloc o logo do xo x, com vlocdd costt V com mpltud qu vr o tmpo sgudo ução (, como mostrdo gur 3.. η gur 3. Vg submtd crg móvl coctrd. A ução d crrgmto m coordds do spço xo é dd por: q( x, δ ( x V. ( (3. od δ ( x V rprst ução dlt d Drc qu d posção d crg o tmpo. A ução do crrgmto dd m (3. é dscrt coordd móvl por: q( η, δ ( η. ( (3. st cso trsormd do crrgmto é dd por: ξη ( ξ, δ ( η. (. dηdt (3. A qução (3. tm um solução lítc xt pr trsormção do spço η, sdo dd por:

4 4 (ξ, ( dt ( Rspost pr Crg Coctrd Hrmôc S vrção d mpltud ( é dd por um ução hrmôc d orm: ωt ( (3.4 od ω é rqüêc crculr d xctção, qução (3.3 pod sr scrt como: ( ξ, ( Ω ω t dt πpδ ( Ω ω Substtudo qução (3.5 qução (3.9, obtém-s: (3.5 ( π δ( Ω ω 4 Ω Vξ ( + r ξ + C( Ω Vξ Usdo s proprdds d ução dlt d Drc, sb-s qu: ξη Ωt dξdω (3.6 δ x x ( x ( (3.7 ( x Etão qução (3.6 pod sr rduzd : ωt ( π ξη dξ (3.8 4 ω Vξ ( + r ξ + C( ω Vξ A qução (3.8 d rspost pr um crg móvl coctrd com mgtud com vrção hrmôc d rqüêc ω Rspost pr crg coctrd costt o cso d crg tr mpltud costt, rspost pr um crg móvl coctrd é dd por:

5 4 ( π ξη dξ ( k + m( Vξ ( + r ξ C( Vξ 3.3. Rspost pr Crg Uormmt Dstrbuíd Cosdr gor o crrgmto trsvrsl uormmt dstrbuído um trcho to d comprmto, com tsdd d crg q, tdo por um vrção d tsdd o tmpo (, tl como mostr gur 3.: gur 3. Vg submtd crg móvl uormmt dstrbuíd. A ução d crrgmto m coords do spço xo é dd por: [ H( x Vt + H ( x Vt ] ( q( x, q t (3. od H x Vt + H ( x Vt é ução d Hvsd qu d posção ( d crg o tmpo. A ução d crrgmto, m coordds movs, é dd por: [ H ( η + H ( ] ( q( η, q η t (3. Substtudo qução (3. m (3.3, obtém-s: ξ s( ( ξ, q ξ ( dt (3.

6 Rspost pr crg dstrbuíd uorm hrmôc S d msm orm qu pr o cso d crg coctrd vrção d crg o tmpo or hrmôc, com rqüêc crculr d xctção ω, substtus ução ( dd qução (3.4 m (3., obtdo-s: ξ s ( ( ξ, qπ δ ( Ω ω (3.3 ξ Substtudo qução (3.3 qução (3.9, rsolvdo tgrl o tmpo, obtém-s rspost pr crg dstrbuíd uorm com vrção d mpltud hrmôc: q 4π s( ( ωt ξ ξ 4 ω Vξ ( + r ξ + C( ω Vξ ξη dξ ( Rspost pr crg dstrbuíd uorm costt S rqüêc d xctção or ul, mpltud d crg tor-s costt, sto s dá qudo ω é zro. Substtudo ω, qução (3.4, obtém-s: q 4π ξ s( ξ 4 + k + m( Vξ ( + r ξ C( Vξ ( ξη dξ (3.5 A qução (3.5 rprst rspost prmt pr crg dstrbuíd uorm com mpltud costt Avlção umérc d Rspost Alítc Ext por T IT A obtção d um solução lítc d qução (3.9 dpd d xstêc d um xprssão lítc pr trsormd do crrgmto (ξ,, ds trsormds vrss. Cso cotráro, é cssáro usr um procdmto umérco. Pr sto, z-s útl o mprgo do método umérco d trsormd dscrt rápd d ourr, dsgd pl sgl T (st ourr Trsorm, d trsormd rápd vrs dsgd pl sgl IT (Ivrs st ourr Trsorm. prst dssrtção são usdos os lgortmos dsvolvdos pr

7 43 vlção d T qu s cotrm s publcçõs d Pld Lu (976, Brghm (974 Rohl (. o cso ds soluçõs lítcs xts, dds pls quçõs (3.8, (3.9, (3.4 (3.5, ão há xprssõs xts pr trsormção vrs do spço. Portto, st dssrtção, pr os xmplos umércos, s quçõs (3.8, (3.9, (3.4 (3.5 orm vlds usdo o método d trsormd dscrt rápd vrs d ourr, IT Trsormd dscrt rápd vrs IT udmsol Como os csos ds rsposts obtds os ts , rst ps vlção d trsormção vrs pr voltr o domío do spço móvl η. O uso d IT udmsol tor-s útl pr vlr umrcmt ts rsposts. Pr sto vl-s o vlor d ução m potos dscrtos, sdo um potêc tr d, sbr: od: + ( Y + W. Z,... ( Y W. Z,... (3.6 Y π /. Z π /. + π W (3.7 Pr o cálculo d IT, mprg-s o msmo lgortmo qu pr o cálculo d T. A drç é qu, pr s dtrmr o pr cougdo complxo do vlor obtdo, dv-s multplcá-lo por, tl como dtlhdo sgur: co ( y + W z, com.../- + co ( y W z, com.../- (3.8

8 44 com y π /. π + /, z. π W (3.9 od co(... d o oprdor qu clcul o pr cougdo do vlor complxo qu st dtro do oprdor. S o vlor dtro do oprdor co(... or rl, o vlor rsultt srá o msmo vlor cl Avlção umérc d rspost por IT udmsol o cso ds soluçõs obtds os ts , ls podm sr xprsss como um multplcção qu tm como tors um ução só do tmpo t, trsormd vrs d ourr d um ução qu dpd ps d coordd trsormd ξ, ou s: w( η, T(. I ( ( ξ (3.3 od T ( é um ução qu dpd ps d t I ( ( ξ d trsormd vrs d ourr d um ução (ξ qu dpd só d ξ. O produto d trsormd vrs é um ução qu dpd só d coordd móvl η. Etão s pod scrvr sgut rlção: w ( η, T(. ( η, od ( η I ( ( ξ (3.3 A vlção d I ( ( ξ ( η é t por mo d IT udmsol, dd trormt. Ddo qu s trt d um vg t, prcs-s dr pr dscrtzção um comprmto suctmt logo l/ d cd ldo d orgm ds coordds, como lustrdo gur 3.3. o prst trblho, orgm cocd com o ctro do crrgmto. gur 3.3 Porção d vg t vld IT.

9 45 Est comprmto l é dscrtzdo m trvlos d comprmto l, obtdo-s + vlors dscrtos d ução (ξ. Assm, o vlor d ução dscrt m um poto é ddo por: ( η ( l. l / η, com... - (3.3 Os + vlors dtrmr pr, corrspodts os vlors d ução cotíu (ξ, são clculdos trvés d sgut xprssão: ( ξ, com... - (3.33 π ξ. l dscrtos Clculdos os - vlors d d ução o spço (ξ., clcul-s, por mo d IT, os vlors Cb sltr qu, pr vlção umérc d trsormd, tm-s qu scolhr um úmro d vlors dscrtos tmho d trvlo d dscrtzção do spço ts qu grtm stbldd do cálculo. prst dssrtção orm usdos os sguts prâmtros vlção d IT: lm, 4 l m.

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