Capítulo 8. Introdução à Otimização

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1 EQE-358 MÉODO UMÉRICO EM EGEHRI QUÍMIC PROF. EVRIO E RGIMIRO Cpítulo 8 Itrodução à Otmzção o cotto d otmzção os prolms são trtdos usdo s sguts dçõs: ução otvo: é ução mtmátc cuo mámo ou mímo ds-s dtrmr. vrávs d dcsão: são s vrávs dpdts qu prcm ução otvo. Corrspodm m úmro o csso d vrávs m rlção o úmro d quçõs rstrçõs d guldd sto é o gru d lrdd do sstm. rstrçõs: são os lmts mpostos o sstm ou stlcdos pls ls turs qu govrm o comportmto do sstm qu stão suts s vrávs d dcsão. s rstrçõs podm sr d guldd quçõs ou d dsguldd quçõs. rgão d usc: ou rgão vávl é rgão do spço ddo pls vrávs d dcsão dlmtd pls rstrçõs m cuo tror ou m cu rotr s loclz o ótmo d ução otvo. Emplo 8.: o procsso d trção por solvt puro lustrdo o ds-s cotrr codção d oprção com mor lucrtvdd possívl. W W F o F F W W od W W são vzõs másscs d solvt F é vzão mássc d águ é mss d soluto por udd d mss d águ é mss d soluto por udd d mss d solvt. Um áls coômc grou sgut prssão do lucro do sstm: lucro: L = R C rct: R = P s W + W

2 8. IRODUÇÃO À OIMIZÇÃO custo: C = P W + W rstrção: R > C od P s é o prço do soluto o trto P é o prço do solvt puro. Um áls técc grou s sguts rlçõs rstrtvs: lços d mss pr o soluto: F o W F = F W F = lços d mss pr o solvt: W W s F = W + s F W s F = rlçõs d qulíro: = m = m od s é soluldd do solvt m águ mss d solvt / mss d águ m é costt d qulíro tr s ss. Portto ddos F o s m P s P o prolm d trr o soluto d águ d mr ms lucrtv possívl cosst m mmzr L m ução ds codçõs d oprção. Est mplo possu tmém 6 quçõs 4 quçõs d lço d mss quçõs d qulíro 8 vrávs W W tdo portto vrávs d dcsão ou dos grus d lrdd. Elmdo s quçõs d guldd tomdo como vrávs d dcsão rgão d usc pr o prolm d otmzção c dlmtd pls sguts rstrçõs d dsguldd: o > > > L = c / d / > od = F [P s o + P / m s] = F P s c = F P o / m d = F P / m. gur o lustr rgão d usc pr F = 4 g-águ / h o = g-soluto / g-águ s = 7-4 g-solvt / g-águ m = 4 g-águ / g-solvt P s = 4 R$ / g-soluto P = R$ / g-solvt.. vávl coomcmt.5 5 X X

3 8. CODIÇÃO DE OIMLIDDE 3 ormulção do prolm d otmzção pr st mplo é sgut: m L suto : L > o > > > 8. Codção d otmldd um ução : X. Dz-s qu * é um mímo glol ou soluto d s * X qu * é um mímo locl ou rltvo d s st > tl qu * tl qu * <. s dsguldds orm strts sto é * < tm-s mímos glos locs strtos. mímos locs mímo glol Um sucouto K d um spço vtorl X é dto covo s K : + K prst s sguts proprdds: K = { K = K } é covo pr ; K + L K L são covos pr sucouto covo L d X. K um covo ão vzo do. ução : K é dt cov s K : [ + ] + ução é strtmt cov s dsguldd or strt. Um ução é côcv s ução = or cov. m =... uçõs covs m um covo ão vzo K do tão s sguts proprdds são prstds: é cotíu m qulqur poto do tror d K; s sçõs K = { K } são coutos covos;

4 4 8. IRODUÇÃO À OIMIZÇÃO c = é um ução cov. o mímo um é strtmt cov tão é strtmt cov; d é cov pr >. s tods < K tão = m{... } é cov. é cov tão um mímo locl é tmém glol s ução é strtmt cov o mímo glol é úco. Pr lustrr d-s = + w = + ução cov ução côcv w w X um couto rto ão vzo do um ução drcávl m o X. é cov m o tão o o o Pr um ução drcávl m X é cov X. X um couto rto ão vzo do um ução dus vzs drcávl m o X. é cov m o tão o é postv smdd. Pr um ução dus vzs drcávl m X é cov é postv smdd X. K um couto covo ão vzo do o K d um vtor ão ulo tl qu o + d K pr um > suctmt pquo. Etão drvd drcol d o poto o o logo d drção d dotd por o d é dd plo sgut lmt cludo : o o o d d lm lm o d d o d Portto drvd drcol o poto o é dd por o d = o d. 8.. Otmzção sm rstrção o cso d otmzção sm rstrçõs od s ds cotrr os potos trmos d ução otvo:

5 8. CODIÇÃO DE OIMLIDDE 5 m ou m tm-s s sguts codçõs d otmldd. Codção cssár d prmr ordm: Pr qu * s um mímo mámo locl d ução drcávl m * é cssáro qu: * = Codção cssár d sgud ordm: Pr qu * s um mímo mámo locl d ução dus vzs drcávl m * é cssáro qu: * = qu H* * s postv gtv smdd od H* é chmd d mtrz Hss. Osrv-s qu sts codçõs são ps cssárs porqu os trmos d prmr sgud ordm podm str ulos ddo d dúvd sor turz d *. Codção suct: dus vzs drcávl m * tl qu: * = H* s postv gtv dd tão * é um mímo mámo locl strto d. Pod-s lsr codção d mtrz Hss H* pls sguts orms: Pl su cotrução o trmo d sgud ordm d psão m sér d lor m toro do poto ótmo. * * H * * Plos ss dos vlors crctrístcos d H*. Dcompodo mtrz Hss m sus vlors vtors crctrístcos: H* = V V - od V é mtrz dos vtors crctrístcos s colus é mtrz dos vlors crctrístcos dgol. Ddo z = V - - * lmrdo qu sdo mtrz Hss smétrc tão V - = V mtrz ortogol - * V = z. Dst orm psão m sér d lor pod sr scrt como: * z z z

6 6 8. IRODUÇÃO À OIMIZÇÃO 3 Plos ss dos dtrmts ds prmrs mors prcps d H* crtéro d lvstr. mor M d um mtrz H é dd como mtrz otd pl rmoção d -ésm lh d -ésm colu d H. Um mor prcpl d ordm é um mtrz otd pl rmoção d qusqur colus sus lhs corrspodts d um mtrz d ordm. prmr mor prcpl d ordm d um mtrz H dotd por M H é otd pl rmoção ds últms colus lhs d mtrz H. Osrv-s qu os dtrmts ds prmrs mors prcps d ordm... d mtrz são rspctvmt: tl sgur prst-s s rlçõs tr mtrz Hss s três orms d lsr su codção. H* lor = dt M postv smdd H postv dd H > > > gtv smdd H - gtv dd H < < - > ão dd H dos cm Dst orm pod-s rmr qu * é: poto d mímo locl s H* or postv dd > * poto d mámo locl s H* or gtv dd < * poto d sl s H* or ão dd or > * or < * s stuçõs od H* é smdd dv-s d vstgr os trmos d ordm supror d psão m sér d lor. é cov tão s codçõs d otmldd smplcm-s porqu s codçõs d sgud ordm são quvlts à covdd locl d ução. Emplo 8.: = 3 = 6 = ordm; stszm codção cssár d prmr 3 H = 3 6 H = 6; H = ; H 3 = stszm codção cssár d sgud ordm; cotudo somt stsz codção suct. st cso uvrávl 3 são potos d lão como pod sr vsto o gráco o ou vldo o vlor d drvd trcr d sts potos: 3 = = = 48.

7 8. CODIÇÃO DE OIMLIDDE Emplo 8.3: tão * = * = : H H* sto é um mtrz postv smdd. O gráco o lustr ução od s osrv qu * = ão é um poto d mímo. Fzdo msm áls com mudç d vrávl vrc-s qu orgm é um poto sl Otmzção com rstrçõs g: o prolm d otmzção suto rstrçõs d guldd h dsguldd

8 8 8. IRODUÇÃO À OIMIZÇÃO suto : m h = =... m g =... p X od g h C. O couto d todos os potos vávs é ddo por: K = { X / h = g } Um rstrção d dsguldd g é chmd d tv m um poto vávl s g = cso cotráro l é um rstrção tv. s rstrçõs tvs rstrgm rgão d vldd quto qu s tvs ão mpõm rstrção lgum vzhç do poto dd pl hprsr d ro m toro dst poto dotd por B. Um vtor d é chmdo d vtor d drção vávl prtr do poto s st um hprsr d ro tl qu: + d {B K} pr todo. d O couto d vtors d drçõs vávs prtr d é chmdo d co d drçõs vávs d K o poto. gur o lustr sts dçõs. d tão dv stszr s sguts codçõs: d h = d g pr s g tvs pos g g gd s d < tão d é um drção vávl promssor sto é + d < pr todo pos d. d = * é um poto d mímo locl do prolm tão pr um suctmt pquo tm-s: * * + d.

9 8. CODIÇÃO DE OIMLIDDE 9 dé chv pr dsvolvr s codçõs cssárs sucts pr um prolm d otmzção com rstrçõs é trsormá-lo m um prolm d otmzção sm rstrçõs plcr s codçõs pr st cso. Um orm d zr st trsormção é trvés d trodução d um ução ulr chmd d ução d Lgrg L dd como: L = + h + g od são os multplcdors d Lgrg ssocdos com s rstrçõs d guldd dsguldd rspctvmt são tmém cohcdos como multplcdors d Kuh- ucr. Dst o o prolm trsormdo tor-s: m m L od os multplcdors ssocdos com s rstrçõs d guldd h = ssumm ss postvos qudo h gtvos qudo h. o poto ótmo tm-s: L* * * = * Cd multplcdor d Lgrg dc o quão ssívl é ução otvo m rlção à rstrção ssocd. Por mplo s s rstrçõs d guldd são prturds por um vtor sto é h = tão: * = *. ot qu st cso ução d Lgrg tm orm: L = + [h ] su ssldd m rlção o prâmtro é dd por: L = [ + h ] + [h ] Como os trmos tr colchts d prssão cm dvm sr ulos o poto ótmo codção cssár d prmr ordm tão: L* * = * * = * pos L* * = * + [h * ] + h * * * h = h = I Portto o vlor d umt ou dmu prtr d * com um umto ou dmução m dpddo do sl d *. Por sso os multplcdors d Lgrg são tmém cohcdos como shdow prcs ou custos mrgs ds rstrçõs porqu mudç o vlor ótmo d ução otvo por udd d créscmo o ldo drto d rstrção d guldd é ddo por *. Emplo 8.4: o sgut prolm d otmzção com rstrção m = suto : h = = Itroduzdo um prturção rstrção d guldd do tpo: = tão ução d Lgrg tom orm:

10 8. IRODUÇÃO À OIMIZÇÃO L = cuo grdt ulo com rlção lv o sgut sstm d quçõs: 5 + = 5 = = rsultdo solução ótm: * = 5 + / * = 5 / * =. Dst o * = / * = = *. Pr tdr orgm d ução d Lgrg o ótmo do mplo cm dv stszr s sguts codçõs: d = + = dh = h + h = oss um ução sm rstrção tão s sus dus drvds prcs srm uls o poto ótmo d* sr ulo pr qusqur vlors ds vrçõs. Etrtto como s vrávs stão rstrts ão são dpdts s dus drvds prcs d ão podm sr rtrrmt gulds zro. Cotudo dv sr um trmo o poto ótmo portto d* =. sgud codção dh* = st porqu h =. Pr s otr um solução ão trvl do sstm d quçõs cm mtrz dos cocts do sstm: h h dv tr dtrmt ulo ou s s lhs d mtrz são lrmt dpdts: h + = h + Etão ddo um ução ulr: L = + h s codçõs cm são ststs s: L =. Pr qu rstrção d guldd h = s tmém stst é cssáro qu L =. Portto o poto ótmo é cssáro qu L* * =. stêc dos multplcdors d Lgrg dpd d orm ds rstrçõs strá grtd s somt s os grdts ds rstrçõs d dsguldd tvs g * ds rstrçõs d guldd h* orm lrmt dpdts. Por mplo o cso d um prolm somt com rstrçõs d guldd codção cssár d prmr ordm pr L c: + [ h] = =

11 8. CODIÇÃO DE OIMLIDDE cu solução pr strá somt s mtrz h possur posto complto m sto é str compost por m vtors lrmt dpdts. Codção cssár d prmr ordm d Krush-Kuh-ucr KK: Pr qu * s um ótmo locl do prolm com rstrçõs com g h drcávs m * é cssáro qu: os grdts ds rstrçõs d dsguldd tvs g * ds rstrçõs d guldd h* sm lrmt dpdts qulcção d sgud ordm ds rstrçõs qu s sguts codçõs sm ststs: L* * * = * + * h* + * g* = h* = g* * g * = =... p codçõs d complmtrdd * codção do grdt ulo L* * * = mplc m: * h* + * g* = * qu trprtd grcmt gur o mostr qu o vtor * prtc o co ds drçõs vávs ormdo plo gtvo dos grdts ds rstrçõs d guldd dsguldd tvs um vz qu * = pr s rstrçõs tvs. upodo qu * c or do co ds drçõs vávs tão hvr um drção d tl qu d * < d g* d h* = sto é str um poto mlhor qu * como lustr gur o.

12 8. IRODUÇÃO À OIMIZÇÃO Codção cssár d sgud ordm d KK: Pr qu * s um mímo locl do prolm com rstrçõs com g h dus vzs drcávs m * é cssáro qu: codção d prmr ordm d KK s stst qu mtrz Hss d ução d Lgrg L* * * s postv smdd pr todo vtor ão ulo d tl qu: d h * = =... m d g * = pr s g * tvs sto é d L* * * d. Codção suct d KK: Pr qu * s um mímo locl do prolm com rstrçõs com g h dus vzs drcávs m * é suct qu: codção d prmr ordm d KK s stst qu mtrz Hss d ução d Lgrg L* * * s postv dd pr todo vtor ão ulo d tl qu: d h * = =... m d g * = pr s g * tvs {g * = * > } d g * pr s g * tvs {g * < * = } sto é d L* * * d >. postvdd d mtrz Hss com rstrção sto é:

13 8. CODIÇÃO DE OIMLIDDE 3 d L* * * d > d {d / d h * = d g * = d } é grtd s tods s rízs do polômo crctrístco I L M p M orm postvs od M é mtrz ormd plos grdts d h* g* tvs sto é mtrz tl qu d M = com m+p < com posto complto p é o úmro d rstrçõs g tvs. O msmo crtéro s plc pr smpostvdd gtvdd smgtvdd com os rspctvos ss ds rízs. Emplo 8.5: Vrcr s codçõs cssárs sucts pr o sgut prolm Edgr & Hmmllu 988 pg. 34: m = + suto : g = / 4 Emplo 8.6: Vrcr s codçõs cssárs sucts pr o prolm com msm ução otvo do mplo 8.5 ms usdo sgut rstrção: g =

14 4 8. IRODUÇÃO À OIMIZÇÃO 8. Métodos drtos st tto ordrmos somt lgus métodos d otmzção sm rstrção cuo prolm sr rsolvdo é: como m m é quvlt ou m m os métodos dscrtos sgur são pr prolms d mmzção. Os métodos stts pr solução dst prolm podm sr grupdos m dus ctgors: métodos qu ão usm drvds métodos d usc métodos drtos; métodos qu usm drvds métodos lítcos métodos d métrc vrávl métodos drtos. Como rgr grl solução d prolms sm rstrção os métodos qu usm drvds covrgm ms rpdmt qu os métodos d usc. Por outro ldo os métodos d usc ão rqurm rgulrdd cotudd d ução otvo prcplmt o cálculo d drvds prmr ou sgud d. 8.. Método d sção áur É um método d usc moovrávl od cd trção o trvlo d usc é rduzdo por um tor chmdo d rzão áur otdo pl rlção gométrc o rtâgulo áuro: 5-68 Outrs scolhs do tor lvrm métodos smlrs como por mplo o método d ssção pr = 5. Cotudo vtgm d rzão áur stá rdução do úmro d cálculos d ução otvo m ução d proprdd dst método d cosrvr o rtâgulo áuro cd trção. Outro método com crctrístcs smlrs sção áur é usc d Focc. lgortmo Dtrmr o trvlo d usc [L o U o ] qu cotém o poto d mímo Fzr o U o L o o o o o o L L L L o o o o o U U U U 3 U L tão + L U U L U L são + U L L U L 4 Fzr + U L U

15 8. MÉODO DIREO 5 tão U L L L L L U são U U U 5 > tolrâc tão r pr 3 são FIM. 8.. Método ds promçõs poloms sucssvs vrdd é um clss d métodos d usc moovrávl qu prom ução por um trpolção poloml P : P od são os trpoldors d Lgrg. Qudo drvd d stá dspoívl tão l tmém é usd promção poloml: h h P od h são os trpoldors d Hrmt. h Itrpolção qudrátc ou método d Coggs ou DC-Powll O método d G.F. Coggs 964 ou d Dvs-w-Cmp-Powll 964 prom ução por um trpolção qudrátc P : P clculdo o mímo dst ução qudrátc sto é d dp tm-s: # L U U L U L L U L U L U

16 6 8. IRODUÇÃO À OIMIZÇÃO lgortmo Dtrmr o trvlo d usc [ 3 ] Clculr / # Clculr 3 # # # < pr lgum = 3 tão FIM. 5 3 # # > tão são 3 6 # < tão 7 4- # 4- # r pr 3. P # # Método d Hoo & Jvs É um método d usc multvrávl dvddo m dus ss R. Hoo.. Jvs 96: s d plorção: s d progrssão: stmr drção provávl do trmo prtr d um poto cl poto s. progrdr drção provávl do trmo quto o vlor d ução otvo or dmudo plorção lgortmo Prtd: Dtrmr rgão d usc [L U ] =... lcor o poto s cl o =... 3 Clculr o vlor o o d ução otvo m o progrssão

17 8. MÉODO DIREO 7 4 lcor os crmtos cs s rspctvs tolrâcs =... 5 omr prmr drção d usc Fs d Eplorção: 6 Clculr stdo gtvo o o 7 o stvr or d rgão d usc tão sucsso m - r pr 8 Clculr o vlor d o o 9 tão sucsso m - o o são sucsso m - zr o o o o r pr 4 Clculr o o stdo postvo o stvr or d rgão d usc tão sucsso m + r pr 4 + Clculr o vlor d 3 tão sucsso m + o o o o são sucsso m + zr o o o o 4 á orm plords tods s drçõs = tão r pr 5 são tomr drção sgut + r pr 6 5 houv sucsso m lgum drção tão r pr 7 6 tão FIM. são / tl qu r pr 5 Fs d Progrssão: 7 omr o opcolmt pr tods s drçõs qu houv sucsso 8 stvr or d rgão d usc tão sucsso progrssão r pr 6 9 Clculr o vlor d o tão sucsso progrssão r pr 5 são sucsso progrssão zr o o r pr Método d usc d lmts mor dos métodos d usc csst d dção do trvlo d usc qu cotém o poto trmo pr grtrm dtrmção do ótmo. gu o um lgortmo d usc pr dtrmção d um trvlo [ o ] qu cotém um poto d mímo. lgortmo Escolhr um poto cl o um psso cl clculr o o Clculr o + 3 o tão + r pr 6 4 o o + 5 o > tão r pr 4 são r pr 7 6 < tão r pr 7 o o + I [ o ] FIM.

18 8 8. IRODUÇÃO À OIMIZÇÃO 8..5 Método dos poldros lívs É um método d usc multvrávl J.. ldr R. Md 964 od o por vértc d um poldro com + vértcs é susttuído por um ovo vértc colr com o vértc tgo o ctród como lustr gur o. X X s coordds do ctród são dds por: h od h é o por vértc. O lgortmo volv qutro oprçõs d usc qu pr o cso d mmzção d ução otvo têm s sguts orms: Rlão: Epsão: R h od h m R m h h tão E R E R tão h E ï s ão h ï R ï + r pr ïî

19 8. MÉODO DIREO 9 tão 4 Rdução: r pr O crtéro usdo por ldr Md pr trmr usc é o sgut: R h Métodos stocástcos ão métodos od cmhos ltóros são costruídos sqüêc dos pssos m usc do ótmo. Est um o vrdd d métodos qu s qudrm st ctgor ts como os lgortmos gétcos usc ltór dpttv smultd lg PO tc. O Prtcl wrm Optmzto PO é um lgortmo qu tm como udmto o comportmto d orgsmos socs ts como um rvod d pássros ou um crdum d ps od cd dvíduo d populção prtícul c su posção com o tmpo grção. vlocdd posção d um prtícul são cds d cordo com prêc do dvíduo dos dms compots d populção vldo-s d su mlhor posção mlhor posção do couto dds por: v wv c p c g v od é posção d prtícul trção v su vlocdd p su mlhor posção té trção g é mlhor posção dtro tods s prtículs té trção são úmros ltóros tr w tor d érc c c são prâmtros d sto do método. Pr vlors lvdos d w tm-s um mlhor usc glol pr vlors pquos tm-s um mlhor usc locl. c > c vorc o rmto d solução á otd ou s usc locl o psso qu c < c vorc usc glol á qu cd prtícul sgu o su própro cmho. lgortmo Iclzção: costrução d v ltormt =. vl-s ptdão d cd prtícul tulz-s p g. 3 Clcul-s ov vlocdd v posção + 4 < úmro mámo d trçõs tão r pr o psso 4 pod-s tmém dotr outros crtéros d prd como por mplo um dtrmdo úmro d trçõs sm hvr mudç o vlor d g.

20 8. IRODUÇÃO À OIMIZÇÃO 8.3 Métodos drtos od Ests métodos têm como qução ásc pr o procsso trtvo: + = W é o tmho do psso d = W é o vtor drção W é mtrz drção vrs d mtrz Hss ou um promção dst Em qulqur método d otmzção um o drção d usc dv rduzr pr o cso d mmzção o vlor d ução otvo sto é + <. l drção d stsz o sgut crtéro m cd poto: d < ou m outrs plvrs o âgulo ormdo tr os vtors d mor qu 9 º ou s: d = d cos < > 9 º dv sr smpr Como otmzção sm rstrçõs é quvlt cotrr solução do sstm d quçõs ão-lrs F = = dí vm orgm do om dos métodos drtos pod-s utlzr todos os métodos dspoívs pr solução d F =. Por mplo utlzção do método d wto-rphso mtrz Jco é própr mtrz Hss Métodos grdts Utlzm somt prmr drvd d ução otvo cso m qu W = I: + =

21 8.3 MÉODO IDIREO Qudo é scolhdo d o mmzr: g = > tm-s o método d mor dscd stpst dsct cuo lgortmo ásco pod sr scrto d sgut orm. lgortmo Escolhr um poto cl o Clculr d 3 Ecotrr tl qu + d = m g = + d 4 Clculr + + d 5 o crtéro d covrgêc ão o ststo tão + r pr 6 FIM.. L g.5 X. o.5 g X mmzção d g cohcd como ução d mérto tmém chmd d usc m lh lsrch pod sr rlzd com o uso d qulqur método d mmzção uvrávl. Pr lustrr st ução gur o mostr ução g do prolm cm:

22 8. IRODUÇÃO À OIMIZÇÃO g promdo por um ução qudrátc: H ou d orm smlr: g d d d H d dg qu mmzdo m rlção rsult: d d d d * d H d d H d Cotudo qução cm ão é utlzd pr o cálculo d os métodos grdts pos gr o cálculo d sgud drvd d ução otvo. st cso s utlz m grl métodos d usc pr su slção Método d wto Fz uso d sgud drvd d ução otvo cso m qu W = [H ] - : + = [H ] - qu é rsultdo d mmzção d promção d por um ução qudrátc: H od = drção sto é: = [H ] -

23 8.3 MÉODO IDIREO 3 st cso ou é um prâmtro d rlção do procsso trtvo < ou é um tor d corrção d vrs d mtrz Hss cso st ão s tulzd m tods s trçõs. postvdd d mtrz Hss dv str smpr grtd pr vtr mgrção pr um poto sl. E pr ssgurr covrgêc do método d wto corrção dv sr tl qu + <. Um mr d ssgurr postvdd d mtrz Hss é trvés d cção d Lvrg-Mrqurdt qu dco um tor ustávl dgol d mtrz Hss ou m su vrs: ~ H = H + I > m{ } W = [H ] - + I > m{/ } od são os vlors crctrístcos d H. Em prtculr qudo o método d wto é utlzdo pr solução d prolms d mímos qudrdos l é comumt rrcdo ltrtur como método d Guss- wto. do qu um ds plcçõs é solução d sstms d quçõs ão-lrs F = trsormdos m prolms d mímos qudrdos o procurr mmzr o qudrdo dos rsíduos sto é m F F st cso = J F H = J J + Q od mtrz Jco do sstm m Q H J H é mtrz Hss d ução. Qudo pr * tão Q td zro s drçõs d usc do método d Guss-wto pr o prolm d mímos qudrdos: m J d F d são quvlts s drçõs do método d wto ou s: d = [ J J ] - J F [H ] - é

24 4 8. IRODUÇÃO À OIMIZÇÃO Método do grdt cougdo Utlz somt prmr drvd d ução otvo grdo um sqüêc d drçõs qu são comçõs lrs do grdt: d + = + d + od ov drção é cougd com drção tror com rspto Hss: d + H d = + = + d od é otdo d orm smlr o método d mor dscd. Pr clculr + z-s promção qudrátc d d od otém-s: + H portto: + = H + = H d qu multplcdo por d + à squrd rsult: d + [ + ] = d + H d = susttudo qução pr d + prssão cm tm-s: [ + d + ] [ + ] = ms dvdo ortogoldd tr drção d usc o grdt d ução otvo o mímo dst drção d + = pr promção qudrátc + = rsultdo m: d últm guldd rsult do to d d = d - qu multplcdo por à drt: d = d - = pos d - = pl msm rzão cm. lgortmo Escolhr um poto cl o Clculr d o o 3 Ecotrr tl qu + d = m g = + d 4 Clculr + + d + 5 o crtéro d covrgêc o ststo tão FIM. 6 Clculr d d + 7 = sto é rlzou drçõs L.I. tão zr o r pr são r pr 3

25 8.4 MÉODO DO MÍIMO QUDRDO Método dos mímos qudrdos um rlção volvdo m vrávs dpdts... m com um vrávl dpdt : sdo... os chmdos + prâmtros do lo. ssm: pr =.... ss cso dz-s qu ução é lr os prâmtros. Ds-s dtrmr os prâmtros do lo qu mmzm ução otvo qu é som dos qudrdos dos rros: p p p p Logo: p p Ou s: p p p dotdo otção mtrcl: ; ; p p p p p p p p p. ssm: p lh p p lmto p Rsultdo o sstm lr: p p Um orm d ust stt mprgd é o ust poloml st cso: pr =... ssm: p p

26 6 8. IRODUÇÃO À OIMIZÇÃO o cso prtculr d = tm-s o ust lr qudo: p p ssm: ou s: p p p p p p p p p p p p p p p p p dvddo mos os mmros por p ddo os vlors médos: p p p p p p p p p p p rsult: p p Qudo qução do lo é ão-lr os prâmtros pod s procdr d sgut mr método d Guss-wto: cosdrdo o vlor do vtor dos prâmtros trção lrz-s qução do lo m toro d rsultdo m: o lrzd ˆ sdo ˆ O vlor d próm trção + é tão clculdo por: p do: p p p p p p p ˆ ˆ ˆ

27 8.4 MÉODO DO MÍIMO QUDRDO 7 p Coorm osrvdo sção tror qudo o método d wto é utlzdo pr solução d prolms d mímos qudrdos l é comumt rrcdo ltrtur como método d Guss-wto. Ddo tão ução rsíduo: ução otvo pod sr scrt como: p p R st cso = R H = p R R R p Q od H é mtrz Hss d ução R. Qudo R tão Q td zro s drçõs d usc do método d Guss-wto pr o prolm d mímos qudrdos: R d m d são quvlts s drçõs do método d wto ou s: d = R [H ] - p Q R H Csos Prtculrs d Modlos ão Lrs os Prâmtros Modlos Epocs: p st cso s os potos prmts são gulmt spçdos sto é: h pr =... p tm-s: p c c p sdo: c p p p h Dss o m cd poto prmtl s tm: R c p p Vlors prlmrs dos prâmtros c p podm sr otdos cosdrdo qu: p p R c p c p cosdrdo qu p p...p são os vlors crctrístcos d um qução d drçs d ordm + lr d cocts costts

28 8 8. IRODUÇÃO À OIMIZÇÃO homogê d orm: Y Y Porém os potos prmts tl qução ão é stst totlmt ssm d-s o rsíduo: p α pr J p m p Os vlors d... são dtrmdos d o mmzr ução: J m m Fα p p F α ssm: J m m J J m sdo J m p m p p p m p p pr m =.... p p p3 r r + rízs do polômo: P r sm sts rízs: p p. Ms m vst d p ou s: p p p3 p4 p p 3 Ddo: 3 p4 p p5 M p 3 v p 4 tm-s: m p J m p J p J m p p p p M M M v com os vlors dos cocts... dtrmm-s s p p h lp pr =.... ssm h p como gor qução do lo é lr os cocts... dtrmdos pós dção d: p p p p p p p p p p prmtdo dtrmr: p p p p p p sts são Como mplo do procdmto cosdr-s = sto é: p.

29 8.4 MÉODO DO MÍIMO QUDRDO 9 Rsultdo m: p p 3 p p p p p M M M p p p p p 4 p 3 p p v M v. Dss o: p p p p p p p p p p l p h h p E p p p Pr rr os vlors d ssm procd-s: Mmz-s ução: p p sdo: Com: p p p p p p p p p Ess últm prssão pós susttução d m ução d é um ução ão-lr ps d qu é rsolvd umrcmt por um método dqudo. Mutos trlhos ltrtur utlzm ução p m su orm logrítmc ssm: Y l l sdo l.

30 3 8. IRODUÇÃO À OIMIZÇÃO Ess ov ução é cosdrd como qução do lo os vlors d são clculdos d msm orm qu o ust lr ssm: p p Y Y sdo p p p p p l l l Y Ess procdmto é domdo rromt d lrzção su mprgo ão é rcomdávl qudo s ds um om ust dos ddos. Porém os vlors d ssm stmdos podm sr utlzdos como vlors cs pr o procdmto ms rgoroso. Modlo Hprólco: D orm smlht d t com o lo pocl cm st lo pod tmém sr prsso orm: Y sdo:. Os vlors d são clculdos d msm orm qu o ust lr ssm: p Y Y p sdo p p p p p Y. st cso tmém vl s dus osrvçõs ts cm. Pr um ust qu mmz d to som dos qudrdos dos rros dv-s tr: Mmz-s ução: p p sdo: Com p p p p p p p p p Ess últm prssão pós susttução d m ução d é um ução ão-lr ps d qu é rsolvd umrcmt por um método dqudo. Procdmto smlht pod tmém sr plcdo à ução:

31 8.4 MÉODO DO MÍIMO QUDRDO 3 Y X X sdo: X 3 Modlo Gométrco: Erro! ão é possívl crr otos prtr d códgos d cmpo d dção. D orm smlht d t com o lo pocl cm st lo pod tmém Y X l X l sr prsso orm: X sdo l. Os vlors d são clculdos d msm orm qu o ust lr ssm: X X X Y p Y p sdo l p l p Y p. l p p st cso tmém vl s dus osrvçõs trors. Pr um ust qu mmz d to som dos qudrdos dos rros dv-s tr: p Mmz-s ução: sdo: p p Com: p p p p p p l p l p Ess últm prssão pós susttução d m ução d é um ução ão-lr ps d qu é rsolvd umrcmt por um método dqudo. Lst d rcícos Dtrm prtr d dção d cocvdd covdd cocvdd ou covdd ds uçõs: 3 o domío: ; o domío:. 3 Dtrm loclzção turz dos potos stcoáros ds uçõs o dtrm tmém m cd cso o mámo o mímo glos:

32 3 8. IRODUÇÃO À OIMIZÇÃO pr ; s pr - ; c s pr ; 3 d 3 3 ; pr. 3 Rsolv utlzdo multplcdors d Lgrg cd um dos prolms o: Mmz: tl qu : 4; Mmz: 3 tl qu : ; 3 3 c Mmz: 3 tl qu : ; d Mmz: tl qu :. 4 s coordds stão rlcods por: ch os potos sor lpsód: 3 qu s cotrm rspctvmt ms prómo ms stdo d orgm. 5 Dtrm s dmsõs do prllpípdo cu dgol tm um comprmto d qu prst o mor volum. 6 st s codçõs cssárs sucts do prolm o. m = suto : g 5 7 Em um rtor químco é coduzd um rção químc rrvrsívl d sgud ordm o procsso é m tld. O lço d mss do rgt é dscrto pl qução drcl: dc t c t com c c dt vrção d coctrção do rgt com o tmpo é mdd costrudo-s tl: t m c mol/l

33 8.4 MÉODO DO MÍIMO QUDRDO 33 Bsdo sts ddos stm os vlors d d c. c Dc: solução d EDO é: c t cosdr: c c dtrm os c t prâmtros como dcdo m sção 7.4 pr lo hprólco. t 8 tsdd d rdção d um ot rdotv é prss por: I t I. Dtrm os vlors d I d qu mlhor ustm os ddos prmts o: t It Dc: ot qu os potos stão gulmt spçdos cosdr tão qu: I t p I sdo t pr = t 9 é um ução d dd pl tl o s-s qu st dpdêc é prss por: B. Dtrm os vlors d B Dc: ot qu os potos stão gulmt spçdos cosdr tão qu: t t c t sdo t 4 pr =...7. Os vlors d c são dtrmdos d o mmzr ução: 5 t t c t com os vlors d c dtrmm-s s rízs r r d p p c sdo r l r r l r é um ução d dd pl tl o s-s qu st dpdêc é prss por: C s. Dtrm os vlors d C Dc: ot qu os potos stão gulmt spçdos cosdr tão qu: t t c t sdo t pr = do m vst qu s s pod-s ssm trprtr como s o polômo crctrístco ssocdo prst um pr d rz compl cougd. pós s rízs srm dtrmds o vlors cs dos prâmtros srm: l r 5 r rgr 5 r l h h rg é um ução d dd pl tl o s-s qu st dpdêc é prss por: B. Dtrm os vlors d B

34 34 8. IRODUÇÃO À OIMIZÇÃO Dc: ot qu os potos stão gulmt spçdos cosdr tão qu: t t t sdo t pr =.... Com o vlor d dtrmm-s s rízs d p p p p sts rízs são: r r 5l. Clculm-s tão B por rgrssão lr. trvés d otogrs strooscópcs d pqus olhs d r é possívl mdr o prl d vlocdd próm à prd d um tuo o qul sco um ludo. Com um úmro d Rolds d com um tuo d polgd d dâmtro tro os sguts potos prmts são otdos: dstâc à prd cm u vlocdd cm/s dstâc à prd cm u vlocdd cm/s ução qu mlhor ust o prl d vlocdd é: cm dtrm os vlors d p q. u p q sdo os ddos 3 Os cocts d trsrêc d clor m trocdors d clor são dqudmt ldos por prssão do tpo: u R Pr r Od u R Pr são rspctvmt os úmros d usslt Rolds Prdt r é rzão tr vscosdd à tmprtur méd do ludo à tmprtur d prd; são costts. Os sguts ddos prmts stão dspoívs: u R Pr r

35 8.4 MÉODO DO MÍIMO QUDRDO 35 Estmr os vlors d qu mlhor ustm os potos cm. 4 Ecotr o mímo ds sguts uçõs otvo usdo os métodos drtos drtos dscrtos s sçõs compr os rsultdos m trmos do úmro d uçõs otvo vlds por cd método: = + = [5 ] + [5 ] + [65 3 ] c = 4 + d = p = = g = +