UNIVERSIDADE COMUNITÁRIA DA REGIÃO DE CHAPECÓ (UNOCHAPECÓ) Curso de Graduação. Aline Marchi e Eliane Trevisan

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1 UNIVERSIDADE COMUNITÁRIA DA REGIÃO DE CHAPECÓ (UNOCHAPECÓ) Curso d Grdução Al Mrc El Trvs MÉTODOS NUMÉRICOS APLICADOS A RESOLUÇÃO DE INTEGRAIS Cpcó-SC,

2 ALINE MARCHI E ELIANE TREVISAN MÉTODOS NUMÉRICOS APLICADOS A RESOLUÇÃO DE INTEGRAIS Rltóro d psqus prstdo à Uocpcó como prt dos rqustos pr provção o compot currculr Psqus II. Ortdor: GrzllVssolrRutz Cpcó SC, Jul.

3 Às osss Fmíls E os mgos vrddros

4 AGRADECIMENTOS Agrdço tods s dculdds qu rt, ão oss por ls u ão tr sído do lugr. As cldds os mpdm d cmr. Msmo s crítcs os ulm muto. Cco Xvr Gostrímos d grdcr prmrmt s osss míls, ps, mãs, rmãos, mrdo los, plo poo, cro, ctvo prcplmt pl comprsão os momtos d usêc. Aos mgos, qu são míl qu Dus os prmt scolr. Não os trvrímos ctr oms, porqu crtmt squcrímos d lguém, ms os vrddros sm qum são, sm prcplmt o quão mportts orm st logo cmo qu á prcorrmos prcplmt, o quão sscs são dqu pr rt. A prossor Grzll Vssolr Rutz, plo tmpo ddcdo, plos smtos, pl pcêc porqu ão, pl mzd. A todos qu d mr ou outr os udrm, o osso muto orgd. E grdcmos Dus, pos sm El crtmt ão srmos d, l, é El qum os proporco cocr pssos qu rlmt zm drç m osss vds.

5 RESUMO A áls umérc vm s dsvolvdo dsd os séculos XVIII XIX, os prmros prolms rlcodos tgrs são os d qudrtur. A dculdd m clculr ltcmt sts tgrs, srvu d mpulso pr dstcr st ár. A tgrção umérc é usd pr otr soluçõs d prolms mtmátcos d orm ms promd tm como d ásc susttur ução () por um polômo qu prom os potos um trvlo [, ]..Os métodos umércos são usdos prcplmt qudo ão é possívl rsolvr um tgrl ltcmt ou qudo msm é muto trlos,pod sr usd tmém qudo ão s coc prssão lítc d ução tgrl, ou s, qudo os ddos são orcdos trvés d tls. Nst trlo é prstd um comprção dos drts métodos umércos studdos com solução lítc tmém drç tr sts métodos. Os rsultdos otdos podm sr osrvdos s tls grácos qu sgum, sdo possívl ssm dtcr qul método é ms cz pr cd prolm d tgrção.como poos o uso dsts métodos umércos d tgrção podm sr usdos sotwrs, como é o cso do Mtl, qu possu um lgugm d progrmção clr d ácl comprsão. Pr st trlo utlzou-s vrsão 5 do Mtl qu cotr-s dspoívl os lortóros d ormátc d Uocpcó. Plvrs-Cv: Itgrção Numérc. Métodos umércos.mtl.

6 Lst d Grácos Fgur. Apromção pl rgr trpzodl Fgur. Apromção por Smpso Fgur. Fórmul cd d Nwto-Cots.... Fgur. Fórmul rt d Nwto-Cots.... Fgur 5. Sudvsão dos trvlos Fgur 6. Apromçõs d qução (.) Fgur 7. Aplcção d rgr d Smpso.... Fgur 8. Apromção rduzd d Equção (.6).... Fgur 9. Rt d tgrl Fgur. Apromção d tgrl d ução plos métodos d Smpso Trpézos.... Fgur. Potos qu trpolm o polômo o trvlo [, ].... Fgur. Polômo trpoldor.... Fgur. Lmtção d ár sr clculd.... Fgur. Itrvlo com sudvsõs.... Fgur 5. Itrvlo com sudvsõs.... Fgur 6. Apromção pr ução y ( )( ) com potos qu srão trpoldos... 5 Fgur 7. Itrvlo [,] com sudvsõs d ução y ( )( )... 5 Fgur 8. Métodos d Smpso Trpézos comdos Fgur 9. Um ogut lçdo o spço... 9 Fgur. Apromção d Itgrl Prolm Físco Fgur. Ár Prolm Físco por Smpso Trpézos.... 5

7 Lst d Tls Tl. Comprção tr o vlor to s rgrs do Trpézo Smpso pr lgums uçõs cocds Tl. Aprst os rsultdos otdos prtr d Equção (.5) Tl. Vlors d c ds rízs dos polômos d Lgdr pr Tl. Comprção tr rsultdo lítco plos métodos pr lgums uçõs cocds.... Tl 5. Covrgêc dos métodos.... Tl 6. Apromçõs pr ução y ( )( )... 6 Tl 7. Solução prolm ísco Tl 8: Apromçõs pr o cálculo d cêc lumos.... 5

8 SUMÁRIO INTRODUÇÃO... 9 CAPÍTULO I.... REVISÃO BIBLIOGRÁFICA.... Uso do Mtl Itgrção Numérc... CAPÍTULO II.... MÉTODOS ESTUDADOS.... Elmtos d Itgrção Numérc.... Itgrção Numérc Compost.... Itgrção d Romrg Métodos d Qudrtur Adpttv....5 Qudrtur d Guss... CAPÍTULO III.... ANÁLISE E INTERPRETAÇÃO DOS RESULTADOS.... Aprstção d rsultdos.... Aprstçõs Grács.... Clculdo o Erro Rsolução d uçõs dds por tls Prolm Físco Cálculo d Ecêc Lumos... 5 CONCLUSÃO REFERÊNCIAS APÊNDICES Apêdc I Algortmo Método d Smpso Apêdc II Algortmo Método d Trpézo... 6

9 Apêdc III Algortmo Qudrtur d Guss... 6 Apêdc IV Algortmo Método d Romrg... 6 Apêdc V Algortmo pr o gráco d ução ( ) s( ) plo método d Smpso... 6 Apêdc VI Algortmo pr o gráco d ução ( ) s( ) plo método d Trpézos Apêdc VII Algortmo pr o gráco d ução ( ) ( )( ) plo método d Smpso Apêdc VIII Algortmo pr o gráco d ução ( ) ( )( ) plo método d Trpézos... 7 Apêdc IX Algortmo pr o gráco do Prolm Físco plo método d Smpso... 7 Apêdc X Algortmo pr o gráco do Prolm Físco plo método d Trpézos... 7 Apêdc XI Algortmo pr o gráco d Smpso Trpézos comdos Apêdc XII Algortmo pr os Métodos d Smpso Trpézos comdos ANEXOS Ao I Algortmo pr Método d Nwto... 8

10 INTRODUÇÃO A áls umérc stud um couto d rrmts ou métodos cmdos métodos umércos. Ests métodos covrgm pr tdds mtmátcs cu stêc o dmostrd. Um método umérco prst um sucssão d promçõs qu covrgm pr o vlor to. É possívl clculr promção com um úmro to d oprçõs lmtrs, trvés dsts, tmém é possívl clculr o gru d rro pr cd método. Sdo ssm, áls umérc tm como otvo cotrr sucssõs qu promm dos vlors tos com um úmro mímo d oprçõs lmtrs. Est psqus tm como tm o studo d métodos umércos pr tgrs, o prolm osrvdo é qu muts tgrs ão podm sr rsolvds por métodos lítcos cocdos, csstdo ssm d métodos umércos proprdos pr su rsolução. Pod-s dzr tão qu os métodos umércos são d ms qu um couto d órmuls, métodos dsvolvdos com ldd d otr um solução promd pr prolms mtmátcos, plcdos prcplmt quls m qu ão é possívl cotrr solução t por métodos lítcos, ou d od ução é dd trvés d orm tld. Porém é prcso tomr cuddo com vrdcdd dsss rsultdos, com o rro qu ls prstm s possívs lmtçõs d cd método, sdo possívl ssm, lsr dstcr s vtgs possívs dsvtgs d s utlzr sts métodos, trvés d mplos. Srão studdos dvrsos métodos umércos pr tgrção uscdo lsr qus os ms proprdos pr cd stução, poddo ssm, plcá-lo á rsolução d prolms volvdo cálculo d árs tr outros. Est trlo ustc-s pl mportâc dos métodos umércos rsolução d prolms, ou s, umrcmt é smpr possívl dtrmr solução d tgrs dds, á ltcmt sr mpossívl rsolvr lgums tgrs. Ests métodos torm-s um

11 rrmt sutl pr s otr solução d prolms mtmátcos d orm promd. Portto áls umérc dsvolv métodos pr promção d solução d prolms complos, ou s, m cotrst com dculdd d s clculr ltcmt um tgrl, o cálculo umérco pod sr tvdo d orm rltvmt smpls. Pr tto, é prcso cotr d com o poo d sotwrs, com o qus é possívl dsvolvr os cálculos d rprstr os rsultdos otdos trvés d grácos. Nst cso, r-s-á uso d vrsão 5 do sotwr mtmátco Mtl, dspoívl os lortóros d Uocpcó. Est psqus stá dvdd m três cpítulos, dos qus o prmro prst um trodução os métodos umércos, cotdo um pouco d stór dos msmos o uso d sotwrs como poo o dsvolvmto dos cálculos. Já o sgudo cpítulo trz o dtlmto d todos os métodos studdos, sus vtgs dsvtgs, m como lgus mplos os procdmtos usdos psqus. No trcro últmo tmos os rsultdos, prstdos trvés d tls grácos, st, d prstm-s s trprtçõs álss dsts rsultdos otdos trvés do uso do Mtl.

12 CAPÍTULO I. REVISÃO BIBLIOGRÁFICA Os métodos lítcos pr rsolução d tgrs plcm-s ps crtos tpos d prolms, por sso usmos com mor rquêc métodos umércos pr otr soluçõs d prolms ms complos, ou msmo qudo os ddos são tldos ão por mo d uçõs. Os prmros prolms qu prcm stór rlcodos com tgrção são os prolms d qudrtur. O to d qu s tgrs d uçõs ão podrm sr clculds ltcmt, o psso qu sus drvds são clmt otds, srvu d mpulso pr dstcr st ár d áls umérc á os séculos XVIII XIX. Dtr sts prolms, o ms tgo rtdo plos grgos, r mdção d suprícs com ldd d cotrr sus árs. Os tgos gômtrs o studr s árs d gurs pls s rlcovm com ár do qudrdo, por sr gur pl ms smpls. Qudrtur é um trmo tgo qu s torou sômo o procsso d dtrmr árs. As qudrturs qu scvm os gômtrs rm s d gurs curvlís, como o círculo, gurs lmtds por rcos d outrs curvs. N tgudd, orm troduzds lgums ds do cálculo tgrl, mor ão t vdo um studo ms rgoroso do ssuto. A ução ásc do cálculo tgrl é d clculr volums árs, pod sr rmtd o Ppro Egípco d Mosco, od um gípco trlou o volum d um rustum prmdl. Lz o um dos qu cou com tgrção, sgudo d Lsgu qu ms trd grlzou oção d tgrl.

13 A tgrl dd é um procsso qu vrt drvd d uçõs. Já tgrl dd, cocd como Som d Rm, stlc lmts d tgrção, ou s, é um procsso stlcdo tr dos trvlos ddos. A tgrção umérc (qudrtur) é usd pr otr soluçõs d prolms mtmátcos d orm ms promd, m cálculos od solução ão é t. Ou d, od ução é dd trvés d tl d potos, ão d um orm lítc. A d ásc d tgrção umérc é susttur ução por um polômo qu prom os potos o trvlo [, ]. Sgudo P (995) tgrção umérc é o procsso d otr vlors promdos d um ução ƒ o trvlo Ω = [, ] rt rl, ou s, otr promçõs pr I ; d Pr Sprdo, () us-s tgrção umérc qudo ão s coc prssão lítc d ução tgrl, somt os vlors dscocdos, ou msmo cocdo orm lítc us-s tgrção pr cltr torr mos trloso o cálculo. Algus métodos grtm qu tgrção umérc produz um rro ror crt tolrâc pré-stlcd, são ls: o método dpttvo ão trtvo, método dpttvo trtvo órmul d Eulr-Mclur qul stlc lgção tr tgrl d um ução um trvlo um somtóro d vlors d msm ução m potos qudstts dss trvlo. O Método d Romrg prmt cotrolr o rro utlzdo rgr do trpzód compost utmt com stmtv d rro trvés d órmul d Eulr-Mclur. Estm tmém métodos pr rsolução d tgrl d um ução com dus vrávs, cmd, tgrl dupl, são ls: Rgr dos Trpézos compost Rgr compost, qu srvm pr clculr o vlor promdo d d I, c ydyd d Smpso Est d um clss d métodos cocd como órmuls d Nwto-Cots, st clss pod d sr dvdd m dos tpos: órmul d Nwto-Cots cd órmul d Nwto-Cots rt. Dom-s órmul d Nwto-Cots cd, porqu s clu s

14 trmdds do trvlo, como ós, quto rt usm como ós ps potos o trvlo, otdo um promção d d. A Etrpolção d Rcrdso é um método sdo plcção rptd ds órmuls d tgrção d Nwto-Cots, uscdo um mlor o rsultdo. Itgrção d Romrg é sd d d trpolção d Rcrdso, qu us um comção ds órmuls d Nwto-Cots pr mlorr promção d tgrção umérc. A Qudrtur d Guss posslt otr órmuls d tgrção, s qus são ts pr polômos d gru suprors. Esss métodos são Qudrtur d Guss-Lgurr Guss- Hrmt.. Uso do Mtl Itgrção Numérc O Mtl o dsvolvdo o m dos os 97 plo tão prsdt d cêcs d computção d Uvrsdd do Novo Méco, Clv Molr. Trt-s d um sotwr d lto dsmpo qu tgr áls umérc, mtrzs, procssmto d ss costrução d grácos. Prmt solução d mutos prolms umrcmt m um rção d tmpo muto mor do qu s lvr pr cotrr solução trdcolmt. Ao cotráro d outros progrms, orc prolms soluçõs como são scrtos mtmtcmt, d um mr ácl d usr comprdr. Sdo ssm, o sotwr os srá d trm mportâc pr dsvolvr st trlo, pos prmt clculr por város métodos, utlzdo lgus lgortmos, tods s tgrs qu orm cssárs. Sgudo Cu (), lgums uçõs do Mtl podm sr utlzds tgrção umérc, o cso d uçõs orcds m tls ou msmo d uçõs ms compls. Usdo outros rcursos do sotwr, tmém é possívl rsolvr tgrs d uçõs com dus vrávs.dsvolvdo lgus lgortmos pod-s cotrr solução plos métodos d Smpso Trpézos, ou d qulqur outro método dsdo, pr lgus é prcso crr um M- ucto, pr outros o rsultdo é drto. É possívl d dsvolvr lgortmos qu dsm d mr rápd prátc, grácos pr qulqur ução ou tl d ddos.além dsso, o progrm tmém prst um lgugm clr, mtmtcmt possívl d sr comprddo utlzdo.

15 CAPÍTULO II. MÉTODOS ESTUDADOS A sgur são prstdos rsultdos cotrdos ltrtur sor os drts métodos umércos pr tgrção. Como tgrção stá drtmt lgd à drcção, muto mor ão sm otos d studo dst psqus uscou-s proprr dsts cocmtos tmém.. Elmtos d Itgrção Numérc Cm-s d qudrtur umérc o método utlzdo pr clculr tgrl d uçõs cu ução prmtv é stt ou dícl d otr. Utlzdo som cotrr um promção d d. Sdo A um couto qulqur,,..., m,, é possívl tgrr o polômo trpoldor d Lgrg pr P L o trmo do rro d trucmto m,, otdo d L d! d! d

16 5 m qu stá m [, ] Portto tm-s, d od o rro é ddo por, pr cd L d, E pr cd,,...,.! d. Utlzdo o prmro o sgudo polômos d Lgrg com potos qu prstm o msmo spçmto, são produzds órmuls ormlmt prstds m uls d cálculos: Rgr do Trpézo Rgr d Smpso. Pr promção d lr d Lgrg: d, qudo,,, utlzmos o polômo P o Assm, d d d (.) Como o sl d ão mud m, podmos plcr o Torm do Vlor, Médo com Pso pr Itgrs o trmo d rro, com m,,

17 6 d d 6 D qução (.) otém-s: d como, tm-s: d qu é cmd rgr do Trpézo, cu promção stá rprstd grcmt Fgur. Fgur. Apromção pl rgr trpzodl. Fot: Burd (8).

18 7 O rro pr st rgr é clculdo pl, sdo ssm, rgr do Trpézo orc o rsultdo to smpr qu plcd um polômo cu é gul zro. Otém-s rgr d Smpso tgrdo o sgudo Polômo d Lgrg m,, com,,,, od su rprstção pod sr osrvd Fgur. Fgur. Apromção por Smpso. Fot: Burd (8). Logo, d o d 6 d Porém, dst mr, tm-s ps um trmo d rro volvdo. Supodo qu s pdd o polômo d Tylor d gru três sor, é possívl dsvolvr um órmul ltrtv, dduzdo ssm, um trmo d rro d ordm supror o prmro,, volvdo. Pr cd m, st um m,, od:

19 8 6 d 6 d. (.) Smos qu Pso pr Itgrs tm-s: é postvo m, tão, plo Torm do Vlor Médo com, 5 pr m,. tão, d d Como, otém-s ] Assm, pod-s scrvr qução (.) como: d 5. 6 Susttudo qução, Drcção Numérc tm-s: otd d 5 6

20 Nst ução, pod-s susttur por um úco m,, ssm: 5 9 d. cocd como rgr d Smpso, ssm como rgr do Trpézo, orc o rro to smpr qu plcd um polômo cu Cosdrdo um ução m,tm-s: Rgr do Trpézo: d é gul zro. Rgr d Smpso: d Alsdo Tl pod-s prcr qu rgr d Smpso orc smpr um rsultdo ms promdo do to: Tl. Comprção tr o vlor to s rgrs do Trpézo Smpso pr lgums uçõs cocds. Vlor Eto,667 6,,958 6,89 6,,666 Trpézo, 6,,6 8,89 6,, Smpso, ,96 6, 6,,666 A ordm d tdão, ou d prcsão, d um órmul d qudrtur é o mor tro postvo tl qu órmul s t pr K, pr cd k,,...,. (BURDEN, 8.) D dção tror sgu qu rgr do Trpézo tm gru d prcsão um rgr d Smpso gru três. Como tgrção dção são oprçõs lrs tm-s qu:

21 gd d g d g g, pr qulqur g tgrávs costts rs. Coclu-s qu ordm d prcsão d um órmul d qudrtur é s somt s o rro k ms P gru,,...,, pr polômos d gru. P pr os polômos P com Como rgr d Smpso volv um cálculo d poto-médo, pod-s dzr qu prst um promção mor do qu rgr do Trpézo. Ams prtcm um clss d métodos, cmd órmuls d Nwto-Cots. Pod-s d dvdr s órmuls d Nwto-Cots m dos tpos: A órmul d Nwto-Cots cd d potos us os ós, com,,...,, od,. D Form: Od L d, d d. Dom-s órmul d Nwto-Cots cd, porqu s clu s trmdds do trvlo cdo, como ós, quto rt usm como ós ps potos o trvlo, otdo um promção d cd d Nwto-Cots dlmtd tr : Fgur. Fórmul cd d Nwto-Cots. d.a Fgur mostr promção pl órmul

22 Fot: Burd (8). Pr um áls dtld do rro sgu o Torm.: Torm.: Supo qu potos com, s or pr C, s or ímpr C,.. dot órmul cd d Nwto-Cots d. Est, d d pr o qul!! t t t... t dt, t... t dt, Pod-s osrvr qu qudo é pr, tm-s ordm d prcsão o cso d ímpr tm-s ordm. A sgur são prstds lgums órmuls cds d Nwto-Cots com sus trmos d rro: : Rgr do Trpézo od. d, (.) : Rgr d Smpso

23 od. 5 d, (.) 9 : Rgr d Smpso dos /8 od. 5 d, (.5) 8 8 : d, (.6) 5 95 od. A órmul d Nwto-Cots rt, rprstd Fgur, us os ós, com,,..., od ddo.. Logo, tão s trmdds são dcds. Fgur. Fórmul rt d Nwto-Cots. Fot: Burd (8). Assm, d d,

24 m qu L d. Torm.: Supo qu potos com, d dot órmul cd d Nwto-Cots d. Est,! pr o qul t t... t dt, s or pr C,. d s or ímpr C,.. rro:! t t... t dt, A sgur são prstds lgums órmuls rts d Nwto-Cots com sus trmos d : Rgr do Poto Médo od. d, (.7) : od. d, (.8) : od. 5 (.9) 5 d,

25 : od (.) 5 d,. Itgrção Numérc Compost As órmuls d Nwto-Cots são dquds pr rsolução d grds trvlos d tgrção dvdo à osclção dos polômos d gru lvdo como pod sr osrvdo os mplos o. Ecotrr um promção pr d. Com rgr d Smpso od tm-s A rspost t st cso é d ( ² ) = 56, ctávl. Pr rsolvr ss prolm, dvd-s,m, vzs, od. Tdo - = 5,5985, o rro d -,7 é mor qu o, d d d 5,8685. usdo rgr d Smpso dus O rro o d -,657. Sudvddo ovmt os trvlos,, utlzdo rgr, ms com d, tm-s d d d d

26 5 5, Ess promção tm um rro d -,87. É possívl grlzr ss procsso usdo um úmro tro pr. Sudvddo o trvlo, m sutrvlos plcdo rgr d Smpso m cd pr d trvlos, como rprstdo Fgur 5. Od / pr cd,,...,, tm-s d d, 9 5 pr qulqur com, dsd qu. C, Pr cd,,...,, / prst-s qu prc o trmo qu corrspod o trvlo, o trmo corrspodt o trvlo,, rduzdo som m. 9 5 d Assocdo ss promção tm-s um rro d, 9 5 E Od pr cd,,...,. Fgur 5. Sudvsão dos trvlos.

27 6 Fot: Burd (8). S C,, o Torm do Vlor Etrmo prvê qu ssum vlors mámos mímos m,. Com Tm-s mí, má,,, mí, má mí, má, Plo Torm do vlor Itrmdáro st um vlor, Sdo ssm E tl qu 5 8, Com /, E. 8 Otdo-s tão o sgut rsultdo:

28 7 Torm.: S C,, Est um vlor, com su trmo d rro como pr, / pr cd,,...,. od rgr Compost d Smpso pr trvlos pod sr scrt d 8.. Itgrção d Romrg O lgortmo d Romrg prmt qu s clcul com grd prcsão tgrl com um sorço computcol rltvmt pquo, comprávl o d tgrção por trpézos. O poto d prtd do método é própr rgr dos trpézos. Pr ss tgrção us-s rgr Trpzodl Compost pr cotrr um promção prév, utlzdo sgur o procsso d trpolção d Rcrdso mlordo ssm s promçõs. Ess trpolção pod sr cutd com qulqur procdmto d promção d orm Com K K,..., H M N, costts d trucmto ss órmul é domdo por órmul dê promçõs. K K... H, N um promção d vlor dscocdo M. O rro K qudo é pquo, o qu z com qu A rgr Trpzodl Compost pr promr o vlor d tgrl d um ução m um trvlo, utlzdo m sutrvlos é Od, m ( ) ( ) d ( ) ( ) ( ) - ( k ). k < <. = ( ) / m pr cd =,,..., m. As promçõs são clculds pl rgr Trpzodl Compost, od m, m, m,... m, pr tro postvo. Com dgru k qu corrspod k m k k / m k /. É possívl scrvr

29 8. ) ( ) ( ) ( k k k k d k (.) od k é um úmro m ], [ Utlzdo k, R pr dcr porção d Equção (.) qul é utlzd pr promção tm-s R,, R ;, R ;,, R R grl,,,, k k k k R R (.) Pr.,,..., k Fgur 6. Apromçõs d qução (.). Fot: Burd (8).

30 9 É possívl mostrr qu C,, rgr Trpzodl Compost srá scrt com um rro ltrtvo d R K K K, k, Pr K qu dpd d k dpddo ps k k (.) k usdo rgr Trpzodl pod-s lmr o trmo qu volv k k /, tdo comdo qução com k susttudo por Kk Kk Kk d Rk, K. k (.) Sutrdo smplcdo qutro vzs Equção (.) d Equção (.) tm-s d R k, R k, R k, K k Aplcdo trpolção ss órmul otém o rsultdo R k, R k, R pr cd,,...,, com dção sgur K k k, R k,, k R, k, Rk Rk, Rk,. (.5) Os rsultdos podm sr osrvdos Tl : Tl. Aprst os rsultdos otdos prtr d Equção (.5). k. k R, R, R, R, R, R, R, R, R, R, R, R, R,, Fot: Burd (8). R... R,

31 A prmr colu do trâgulo é dd pl órmul dos trpézos, s colus sguts são costruíds com rlção d rcorrêc. A técc d Romrg os prmt clculr um ov l tr tl utlzdo um plcção d rgr Trpzodl Compost, utlzdo méd dos vlors clculdos otdo ssm trd sucssv l. Pr costrução d tl o utlzdo um método qu clcul s trds ordm R,, R,, R,, R,, R,, R,... Portto, o método d Romrg ão volv sustclmt ms cálculos qu rgr dos trpézos, é muto ms prcso. N prátc, é ms covt clculr os trmos do trâgulo l por l, o vés d colu colu, prdo o procsso qudo crt prcsão or lcçd.. Métodos d Qudrtur Adpttv Pr utlzção ds órmuls composts é cssáro o uso d ós gulmt spçdos. Isso ão é proprdo pr tgrr uçõs m qu o trvlo t muts rgõs com grds vrçõs ucos como rgõs com pqus vrçõs ucos. Dstrudo o rro d promção m trvlos prs z-s cssáro um dgru mor d rgõs com grd vrção do qu s rgõs mors. Há um técc pr vrcr ss tpo d prolm, cpz d prvr qutdd d vrção ucol dptr o tmo do gru, sss método são os métodos d qudrtur dpttv. Pr promr ( ) d com um tolrâc d >, prmro dv sr plcd rgr d Smpso com o tmo d gru ( ) /, rprstd Fgur 7. Assm, 5 () ( ) d S(, ) ( ), pr lgus m (, ), (.6) 9 od, S(, ) ( ) ( ) ( ). Fgur 7. Aplcção d rgr d Smpso.

32 Fot: Burd (8). A sgur srá dtrmd um promção d prcsão qul ão rqur, plcdo rgr d Smpso Compost od tmo d dgru, / tdo qução (.7) (.7) pr ~ m., Assm, S 6,. 6, S A promção d qução (.7) pod sr osrvd Fgur 8. ~ 8 6 d

33 Fgur 8. Apromção rduzd d Equção (.7). Fot: Burd (8). A Equção (.7) pod d sr rscrt d sgut mr:. ~ 9 6,, 5 S S d (.8) A vlção d rro clcul-s tdo qu ~, ou tdo qu, ~ ms o sucsso técco dpd d prcsão qu supomos. Sdo prcs é possívl qucor s tgrs s quçõs (.6) (.8), 9, ~ 9 6,, 5 5 S S S Logo,.,,, S S S Utlzr st stmtv Equção (.8) stm um rro S S d,,.,,, 5 S S S

34 Isto sgc qu S, / S /, prom qu com o vlor cocdo S,. Assm d m 5 vzs mlor ssm, S, S, S, 5, d S, S,, (.9) (.) S, S, Pod-s dzr qu é um promção stt prcs pr d. S s promçõs m (.9) são drts d 5, srá plcdo à rgr d Smpso m dvdul cd um dos trvlos, / /,.. Usdo stmtv d rro pr dtrmr s promção stá dtro d tolrâc d. Isso ocorrdo som-s s promçõs rduzdo pr d tdo tolrâc. Fldo promção m um dos trvlos stdo or do tolrdo sudvd-s ss suspço rplcdo o procsso os dos dtrmdo ssm promção d cd trvlo dtro do tolrdo. Grlmt os prolms são rsolvdos d um mr qu tolrâc ão é lcçd, ms msmo ssm técc é m sucdd, pos cd sudvsão umt prcsão d proporção d 6 qudo s rqur um umto d..5 Qudrtur d Guss A qudrtur d Guss posslt clculr tgrl d um ução d um mr ltrtv. Drt ds dms órmuls d Nwto-Cots, trvés d qudrtur guss é possívl tgrr d mr t polômos com grus suprors.

35 A qudrtur d Guss ão scol potos gulmt spçdos. Buscdo mmzr o rro promção, são scoldos ós,..., c,...,, c c orm:, m um trvlo, cocts d c Como os cocts c, c,..., c são rtráros os ós,,..., tão o trvlo,, sdo ssm, pod-s scolr prâmtros. Cosdrdo os cocts d um polômo como prâmtros, otêm-s polômos d gru o mámo como mor clss pr qul órmul podrá sr t. Escoldo vlors costts proprdos, otém-s um promção t. Usdo trvlo d tgrção,, é possívl dtrmr mr corrt d s scolr os cocts ós. É prcso scolr c, c, d modo qu orç rsultdo to smpr qu qudo pr costts,,. Como d c c tvr gru mor ou gul à, d d d d sdo ssm, órmul orc rsultdo to smpr qu É prcso cotrr c, c, pr prssão: é d c c ou s,,. zdo com qu ss prssão s t pr,,, polômos d grus. Sdo qu os vlors tos d tgrl, pr s qutro uçõs srão os sguts,,, cógts,, c, c :. Estlcdo ssm um sstm d quçõs ão-lrs, pr s d

36 5 c c c c c c c c Osrvdo sgud qução tm-s c c. S susttur c c qurt qução, por c, c.. c c tdo,. Como s pod osrvr os potos d tgrção são dsttos, úc solução. Susttudo st rsultdo sgud qução, otêm-s c c, logo, pl prmr qução, c c. Emprgdo trcr qução, tm-s. Dst modo os potos d tgrção,com os vlors c. c Há um dsvtgm pr rsolução d sgud ordgm, pos l prcs sr rsolvd por um sstm ão-lr. Usdo um sstm lgérco, cotrmos como solução: c, c,,, o qu os lv órmul. d (.) qu orc rsultdo to pr polômos com gru mor gul três, ou s, possu ordm d prcsão três. Atrvés dst técc tmém é possívl dtrmr os ós cocts pr polômos d gru mor. Pr udr rsolvr osso prolm utlz-s o couto d polômos d Lgdr, P,..., P P,..., od:,. Pr cd P,, é um polômo môco d gru.

37 6. PP d smpr qu P or um polômo d gru mor qu. Os polômos môcos têm o coct domt gul. Adr-Mr Lgdr (75-8) troduzu st couto d polômos m 785. El tv úmrs dsputs d prordd com Guss, prcplmt m rzão do to d Guss ão pulcr mutos d sus trlos orgs té muto dpos d dscor-los.(burden, 8) A sgur os prmros polômos d Lgdr: P P, P, P, 5 P Ests polômos possum rízs dstts, o trvlo,, ls são smétrcs orgm sdo scol corrt pr dtrmr os prâmtros qu rsolvm o prolm. Sgudo o torm qu sgu, os ós, são rízs do polômo d Lgdr d gru.,..., Torm: Supo qu,..., qu pr todo,,...,, os úmros c sm ddos por, sm rízs do -ésmo polômo d Lgdr P c d. S P é qulqur polômo d gru mor qu, tão P d c P. rscrvr Dmostrção: cosdrdo P como um polômo d Lgdr gul, o rsultdo dst ormul srá to. Assm, P um polômo com gru mor qu. Podmos -ésmo polômo d Lgdr com ós s rízs do ésmo P. Como o trmo d rro volv ésm drvd d P qu é

38 7 P P P d P d dp c P o qu vrc o rsultdo pr polômos d gru mor qu. Qudo dvdmos o polômo polômo d Lgdr, P d gru mímo, ms mor qu, plo ésmo P otmos dos polômos Q QP R. P R com gru mor qu : Como é rz d P, pr todo,,...,, tmos: P Q P R Q R R.. Smos qu o gru d Q é mor qu, tão, pl proprdd, tmos: P d Q () como o gru R é mor qu, () mplc qu R d c R () P : Jutdo () (), vrcmos qu ormul trá rsultdo to pr o polômo P d Q P Rd Rd c R c P.

39 8 Atrvés do Torm cm é possívl cotrr s costts c pr órmul d qudrtur Guss. A Tl rlco vlors d c ds rízs dos polômos d Lgdr pr Tl. Vlors d c ds rízs dos polômos d Lgdr pr. Rízs Cocts,577569, -,577569,, , ,, , , Um tgrl d m utlzdo mudçs d vrávs.a rt d tgrl m, st rprstd Fgur 9. Fgur 9. Rt d tgrl., pod sr trsormd m um tgrl m, Fot: Burd (8). t t. Assm, Qudrtur Guss pod sr plcd m qulqur trvlo,, pos: d t dt. (.)

40 9 A sgur é prstdo um mplo utlzdo qudrtur guss. Cosdr o prolm d cotrr promçõs pr,5 pls órmuls d Nwto-Cots, com st css dcms srá,96. d. O vlor to d tgrl Aplcdo Qudrtur d Guss, d é prcso trsormr qustão m um prolm com trvlo d tgrção,. Usdo qução (.) tmos:,5 d t5 /6 dt. D Tl têm-s s promçõs d Qudrtur d Guss pr ss prolm:,5 d (5, ) 6 (5, ) 6,9,5 5, , d, ,96., ,

41 CAPÍTULO III. ANÁLISE E INTERPRETAÇÃO DOS RESULTADOS Form mplmtdos os métodos d Romrg, Trpézos, Smpso Qudrtur d Guss pr 5, sdo possívl ssm, zr um comprtvo tr os msmos, o qu pod sr osrvdo squêc trvés d grácos tls. Além dsts mplmtçõs, orm usdos lgus lgortmos ulrs, cssáros pr o ucomto dos métodos umércos. Todos os métodos utlzdos pr rsolução dos mplos qu sgum costm os os.. Aprstção d rsultdos Aprstmos qu, um qudro comprtvo tr o rsultdo lítco o cotrdo por mo dos lgortmos dos métodos umércos studdos, s uçõs usds cotrm-s o lvro Cálculo A d Dv M. Flmg. Pr rsolução orm usds sudvsõs pr os métodos d Smpso, Trpézos Romrg 5 sudvsõs pr Qudrtur d Guss, com os trvlos dcdos pr cs ução. Tl. Comprção tr rsultdo lítco plos métodos pr lgums uçõs cocds. Fução Itrvlo Rsultdo Alítco Smpso Trpézos Métodos Qud. Guss Romrg y y, 57,, 56, 57 y 8, 8 6 7, 667 7, 69 7, 667 7, 667

42 Osrv-s pl Tl, qu todos os métodos cotrm rsultdos muto prómos do rsultdo lítco. É possívl osrvr d, qu o método ms prcso é o d Qudrtur d Guss, sgud plos métodos d Smpso d Romrg, tdo como mos prcso o método d Trpézos. Tmém é possívl osrvr qu pr ução do º gru, todos os métodos umércos clculm solução t. Usdo ução, o trvlo, prst-s Tl 5 um comprção tr os métodos, usdo drts vlors pr (úmro d sudvsõs). Sdo qu ltcmt 5, Tl 5. Covrgêc dos métodos. Métodos Númro d Sudvsõs () 5 Smpso Trpézos Qud. Guss Atrvés dos ddos d Tl 5, é possívl osrvr covrgêc dos métodos, ou s, qudo ms sudvsõs são cosdrds o trvlo, ms to é o rsultdo cotrdo, ou s, qudo mor o vlor d, mor srá o rro comtdo plo método.. Aprstçõs Grács Com o poo do sotwr Mtl usdo lgums mplmtçõs dst psqus, é possívl prstr grcmt s promçõs plos métodos d Smpso Trpézos d qulqur ução trvlo dsdo. O gráco é costruído psso psso, sdo possívl osrvr como o método d Smpso prst um mlor promção com rlção o rsultdo to. Pr tto, é cssáro o poo d um M-ucto od ução () é prstd.

43 A sgur, tm-s o psso psso d costrução do gráco qu prom ução y s o trvlo d, 5 plos métodos d Smpso Trpézos, ssm é ácl prcr vtgm do método d Smpso or d zr um comprtvo, mostrdo qu o rro pr o método d Trpézos é smpr mor. No prmro psso o lgortmo plot o gráco d ução y s : Fgur. Apromção d tgrl d ução plos métodos d Smpso Trpézos. N squêc do lgortmo ds potos qu trpolm ução o trvlo dsdo. Pr o método d Smpso, é cssáro o poo d um lgortmo com o método d Nwto, qu clcul o polômo trpoldor d gru. Pr o método d Trpézo us-s o comdo trp do própro Mtl, mrcdo os potos d um polômo d gru. São plotdos três potos pr o método d Smpso dos potos pr o método d Trpézos. N squêc é possívl osrvr o polômo qu trpol os potos cotrdos. Fgur. Potos qu trpolm o polômo o trvlo [, ].

44 Fgur. Polômo trpoldor. É possívl osrvr como o polômo dsdo plo método d Smpso é ms prómo d tgrl d ução do qu o polômo dsdo plo método d Trpézos, o qu prov qu Smpso é ms prcso.porém,como o método d Smpso é váldo ps pr sutrvlos prs, m lgus csos, srá cssáro o uso d mos, o qu ustc mportâc d studrmos tmém o método d Trpézos. Ms um comdo o lgortmo ds ár sr clculd, cdo d ms clr vtgm d Smpso. Como s s, quto ms sudvsõs orm usds pr tur os cálculos, ms prómo do vlor to srá o rsultdo cotrdo plos métodos, sdo ssm, os prómos pssos prstm dz dpos cm sudvsõs pr o trvlo dsdo. Fgur. Lmtção d ár sr clculd.

45 Dz sudvsõs: Fgur. Itrvlo com sudvsõs. Cm sudvsõs Fgur 5. Itrvlo com sudvsõs.

46 5 Modcdo lgus ddos vlors do lgortmo, é possívl dsr grcmt um promção pr qulqur ução. É possívl d usr qutos pssos dsr pr dsr sss grácos, st plcr o comdo pus pr qu s ç um prd o poto lmdo. Como osrvdo o pr ução y ( )( ). Fgur 6. Apromção pr ução y ( )( ) com potos qu srão trpoldos plos polômos. Fgur 7. Itrvlo [,] com sudvsõs d ução y ( )( ).

47 6 Usdo st ução o trvlo d [,], otêm-s os rsultdos pr tgrl Tl 6. Pr os métodos d Smpso, Trpézos Romrg orm usdos pr Qudrtur d Guss. Tl 6. Apromçõs pr ução y ( )( ) Métodos Smpso Trpézos Romrg Qud. Guss Rsultdo,667,65,666,667 No cso dst ução y ( )( ) o rsultdo é ácl d sr cotrdo tmém d mr lítc, sdo qu ltcmt ( ) d, Clculdo o Erro Os métodos umércos são usdos prcplmt qudo ão é possívl rsolvr um tgrl ltcmt, sdo ssm, é prcso lmrr qu ls orcm um rsultdo promdo, ou s, prstm um rro. Pr o método d Romrg, o crdo um lgortmo qu lém d cotrr o rsultdo promdo d tgrl, prst d um stmtv pr o rro comtdo o cálculo d ár. O lgortmo stm st rro, tomdo como to o rsultdo cotrdo pl Qudrtur d Guss.Tomdo ução ( ) ³ o trvlo [,] tmos o sgut rsultdo pr Romrg:

48 7 Apromção =.6 Et =.6 Erro Asoluto = Et Apromção EA =.6.6 = EA = Erro Rltvo ER= (Et Apromção) / Et * ER= /.6 * =.5797 ER=.5797 Como é possívl osrvr, o rsultdo promdo cotrdo plo método d Romrg é,6 com um rro soluto d -,9799 um rro rltvo d,5797. Usdo ução y ( )( ) do tm., o trvlo [,], otmos como promção pr o método d Romrg drç tr o vlor to promção, st cso (),666. Tdo ssm, como rro soluto,89.. Já o rro rltvo, clculdo trvés d dvsão do rro soluto plo vlor to, st d multplcdo por cm, tão o Erro Rltvo pr y ( )( ) é promdmt,96.. Lmrdo smpr qu o lgortmo usdo pr st método tom como rsultdo to promção t pl Qudrtur d Guss, sdo ssm, o rro é clculdo com rlção à Qudrtur.. Rsolução d uçõs dds por tls Como é d cocmto, os métodos umércos podm sr utlzdos qudo ão tmos um ução, ms sm um tl d ddos. Além dsso, podm sr usdos ms d um método pr qu o rsultdo cotrdo ot um rro ror. Podmos por mplo usr os métodos d Smpso Trpézos comdos pr otr um rsultdo ms prcso. V: Dd tl:,,,,6,8, (),,8,575,,6965,78

49 8 Sdo qu rgr d Smpso é ms prcs do qu d Trpézos, qul mr ms dqud d clculrmos ( ) d usdo tl cm? Como o própro prolm dz, o método d Smpso é ms prcso do qu o método d Trpézos, porém, s-s qu Smpso ps pod sr usdo qudo o úmro d sutrvlos or pr, o qu ão é o cso d tl cm, qu possu cco sutrvlos. Portto pr cotrr um rsultdo ms prómo do to, é cssáro usr o método d Trpézos pr clculr tgrl o prmro trvlo pr os dms trvlos, o método dsmpso. Grcmt, tm-s: Fgur 8. Métodos d Smpso Trpézos comdos. Pr qu oss possívl rsolvr st mplo, s z cssáro crr um ovo lgortmo, sdo qu os utlzdos té qu, ps cotrm rsultdos prtr d um ução. Est ovo lgortmo (Ao XV), clcul tgrl o trvlo [,.] usdo o método d Trpézos o trvlo [.,. ] plo método d Smpso, cgdo rsultdo l pl som ds promçõs cotrds pr cd trvlo. Dpos d tudos os dvdos comdos o sotwr Mtl os orc o sgut rsultdo pr tl: ( ) d,965

50 9.5 Prolm Físco O prolm ísco qu srá utlzdo, o dptdo d umrclmtods.g.us.du trz o sgut prolm: Um ogut é lçdo pl comustívl um vlocdd m/s, com um t d cosumo d kg/s. A mss cl do ogut é d. kg. S o ogut prt do rpouso mt sgudos, como posso clculr dstâc prcorrd plo ogut prtr d t 8 t sgudos? Fgur 9. Um ogut lçdo o spço Solução: S m mss cl do ogut m t (kg) q t à qul o comustívl é pldo (kg/sg) u vlocdd com qu o comustívl stá sr pldo (m/s)

51 5 Em sgud, um vz qu o comustívl é pldo do ogut, mss do ogut s mtém dcrsct com o tmpo. A mss do ogut,, m m qulqur tmpo t m m As orçs rcds sor o ogut, m qulqur momto são cotrds trvés d plcção d sgud l d Nwto. Etão: qt uq mg m F m od uq m qtg m qt g clrção d grvdd (m/s²)g uq g m qt d dt uq g m qt d dt u log m qt gt C Um vz qu o ogut prt do rpouso d dt mt m C u log C u log m Por sso d dt u log m qt gt u m log d dt u log m gt m qt Etão, à dstâc prcorrd plo ogut d t t pr t t é,

52 5 t t u log Fzdo s dvds susttuçõs, otêm-s: u m / s m kg q kg/ s g 9,8m / s t 8s s t m gtdt m qt Clculdo tgrl o, otêm-s dstâc prcorrd plo ogut tr 8 sgudos. l 9,8t dt 8 t Utlzdo os métodos umércos studdos lgortmos mplmtdos, prst-s Tl 7 os rsultdos pr st tgrl: Tl 7. Solução prolm ísco. Métodos Rsultdos Romrg 6. Smpso 6 Trpézo 7 Qud. Guss 6 Sdo ssm, à dstâc prcorrd plo ogut prtr d t 8 t sgudos é promdmt 6u.m. Pod-s d rprstr trtór do ogut grcmt: Fgur. Apromção d Itgrl Prolm Físco.

53 5 Fgur. Ár Prolm Físco plos métodos d Smpso Trpézos. Como o prolm ão dc um úmro mímo m mámo d sudvsõs, podm sr usr tts quto s zr cssáro, sdo ssm, o método ms dcdo pr st prolm é o Método d Smpso, tdo m vst o to d qu é, grlmt, o ms prcso dtr os

54 5 métodos studdos. Lmrdo smpr, qu pr o método d Smpso studdo st psqus, o úmro d sudvsõs dv sr pr..6cálculo d Ecêc Lumos Tdo como udd d mdd o Lúms por Wtt (lm/w), Ecêc Lumos dc cêc com qu rg létrc é covrtd m luz. O prolm qu srá rsolvdo gor, é dptdo do rtgo Téccs d Itgrção Numérc, trzdo o sgut: Um corpo gro (rddor prto) mt rg m um t proporcol à qurt potêc d su tmprtur solut T (mdd m Klv), d cordo com qução d St- Boltzm. Um prt dst rg orm o spctro vsívl, corrspoddo o comprmto d od tr cm. A cêc lumos é dd como rlção d rg o spctro vsívl pr rg totl. Multplcdo por pr otr st rg orm prctul, o prolm quvl clculr 6,77 EFF = T d (,/(T. )-) A otção EFF dot cêc lumos, mdd m W/cm, é o comprmto d od, p( ) dot ução pocl. Como tgrl d ução cm ão pod sr clculd ltcmt, srão utlzdos os métodos umércos pr tl. Supodo um tmprtur T 5k : Usdo os msmos lgortmos á crdos sguts promçõs pr o prolm: 7 5 6,77 d () 5 (,/(5.) -) tmos s 5 5 Tl 8: Apromçõs pr o cálculo d cêc lumos. N Smpso Trpézos Romrg Qud. Guss 6,5,5, ,5

55 5 Sgudo o método d Romrg, tm-s d um rro soluto d 7,79. um rro rltvo d Sdo ssm, tm-s qu cêc lumos d um corpo gro um tmprtur d 5K é promdmt,5%. Como o cso do prolm ísco, o prolm ão trz um lmtção pr o úmro d sudvsõs d ár sr clculd, sdo ssm, o método ms ct pr qustão, por tor, é o método d Smpso.

56 CONCLUSÃO Ao l dst psqus, osrv-s mportâc d tgrção umérc pr ár ds cêcs ts, os métodos são d grd vl prcplmt os csos od o cálculo s torr trloso dms, ou tlvz, ão s possívl rsolvê-lo ltcmt. Atrvés do uso do sotwr Mtl o possívl dsvolvr rpdmt cálculos ms complos, utlzdo smpr um lgugm plusívl d sr tdd. É clro qu o uso dss sotwr tmém g um grd sorço, prcplmt m csos od ão s tm m msmo um s sor computção. A tgrção umérc pod sr utlzd m psqus d drts árs, prcplmt s grs, á qu prolms dsts árs muts vzs são rsolvdos umrcmt. Os métodos lgortmos dsvolvdos st psqus podm sr utlzdos o compot currculr d Cálculo Numérco do curso d Mtmátc, m como m compots currculrs ds Egrs Cvl Mcâc od prolms d codução d clor, por mplo, rcm rsolução d tgrs umércs. Os otvos dst psqus orm lcçdos, qus qu m pltud, rstdo como sugstõs pr trlos uturos, uscr cocr mlor outros métodos ão mplmtdos st, plcdo tmém outros prolms d dvrss árs do cocmto.

57 REFERÊNCIAS ARENALES, Slm; DAREZZO, Artur. Cálculo umérco: prdzgm com poo d sotwr. São Pulo: Tomso, 8. BARROSO, Lôds Cocção (Et. AL.). Cálculo umérco. São Pulo: Hrr, 98. X, 8 p. BURDEN, Rcrd L.; FAIRES, J. D. Aáls umérc. São Pulo: Cgg Lrg, 8. CUNHA, M Crst C.. Métodos umércos.. d. rv. mpl. Cmps: Ucmp Uvrsdd Estdul d Cmps C,. 76 p. FLEMMING, Dv Mríl. Clculo A:uçõs, lmt, drvds tgrs. São Pulo: Prso, 6. FRANCO, Nd Brtold. Cálculo Numérco. São Pulo: Prso Prtc Hll, 6. GAELZER; Rud. Itrodução à ísc computcol. Dspoívl m: <mrv.upl.du.r/~rud/grd/modcomp/mtnum/apostl.tml#apostlcl.tml>. Acsso m: 5 st.. AGUIAR; Crlos.Método d Romrg. Dspoívl m: <oms..ur.r/~crlos/scomp/clcum/rom/rom.tml>. Acsso m: go.. ARAUJO; Mtus Tozo d;boaventura; Murílo.Métodos umércos pr rsolução d quçõs drcs. Dspoívl m: <prop.usp.r/_cc/7_99589.pd >. Acsso m: 5 st..

58 57 MOTERLE, Smo; KIST, Mlto. Rsolução umérc d quçõs drcs ordárs. 6.. Moogr (Coclusão do curso d Mtmátc) -- Uvrsdd Comutár Rgol d Cpcó, 6. OURIQUE, Luz Edurdo; NARDI, Rodrgo Mllo. Téccs d Itgrção Numérc. Dspoívl m: <sm.com.r>. Acsso m: 6 ul.. Pyscl Prolm or Itgrto Grl Egrg. Dspoívl m: <umrclmtods.g.us.du>. Acsso m: 5 r.. PINA, Htor. Métodos umércos. Lso: McGrw-Hll, c p. RUGGIERO, Márc A. Goms. Cálculo umérco: spctos téccos computcos.. d. São Pulo: Mkro Books, 7. 6 p. SCHEID, Frcs. Aáls umérc.. d.lso: McGrw-Hll, p. SPERANDIO, Déco; MENDES, João Tr; SILVE, Luz Hry Mok. Cálculo umérco: crctrístcs mtmátcs computcos dos métodos umércos. São Pulo: Prso,. 5 p. THOMAS. Gorg B. Cálculo. Volum.. d. São Pulo: Addso Wsly,.

59 APÊNDICES

60 59 Apêdc I Algortmo Método d Smpso ucto mtodo_smpso(,,) %====================================================== % %Itgrção Numérc - %Método d Smpso(com ms d dos sutrvlos) % %====================================================== % %Etrds - ução d tgrção % - lmt ror % - lmt supror % - úmro d sutrvlos (>=) % %====================================================== % % Ddos d Etrd % %====================================================== I=; =(-)/; t=; t=; or k=:(-) (-)^k> =+*k; t=t+*(); ls =+*k; t=t+*(); d d Is=*(()+()+t+t)/

61 6 Apêdc II Algortmo Método d Trpézo ucto mtodo_trpzo(,,) %====================================================== % %Itgrção Numérc - %Método d Trpézo (com ms d dos sutrvlos) % %====================================================== % %Etrds - ução d tgrção % - lmt ror % - lmt supror % - úmro d sutrvlos(>=) % %====================================================== % % Ddos d Etrd % %====================================================== =(-)/; t=; or k=:(-); =+*k; t=t+(); d It=*(()+())/+*t

62 6 Apêdc III Algortmo Qudrtur d Guss ucto Ig=qudguss(,,,) %================================================= %Itgrção Numérc %Qudrtur d Guss (té 5 potos): %Ig=c*()+c*()+c*()+c*()+c5*(5) % %================================================= % %Etrds - ução tgrd tr como um % ução '' % - é o lmt ror d tgrção % - é o lmt supror d tgrção % - é o úmro d potos (=,, ou 5) % %================================================= % t é mtrz com os ós d Guss (ªcolu->= % ªcolu->= %...) t = [ ; ; ; ; ]; % c é mtrz com os psos d Guss(ªcolu->= % ªcolu->= %...) c = [ ; ; ; ; ]; (:) =.5*((-).*t(:,-)+ + ); y = vl(,); cc( : ) = c( :, -); cd = cc'; Ig = y*cd*(-)/;

63 6 ApêdcIV Algortmo Método d Romrg clr ll clc %======================================================= %Itgrção Numérc - %Método d Romrg (com ms d sgmtos): % %======================================================= % %Etrds - ução d tgrção % - é o lmt ror d tgrção % - é o lmt supror d tgrção % - é o úmro d sgmtos (>=) %Síds - Tl com s promçõs pr IR, rro soluto rro %rltvo %======================================================= % Ddos d Etrd %======================================================= % Ao dgt () á sr tgrd umrcmt plo método d Romrg %======================================================= *log(./(-*))-9.8*); s() 5*-; /*((+(.^)).^(/)); (/)*.^+(/*); *(sqrt(.^))+; -(.*p()) -((+).*(-)); (6.77./5.^).*(./((.^5).*(p(../(5.*))-))); =*^(-5) ; %, lmt ror d tgrção =7*^(-5) ; %, lmt supror d tgrção =6 ; %, mámo d sgmtos %======================================================= % Etrds qu stão sdo usds: %======================================================= dsp(sprt(' (), ução d tgrção')) dsp(sprt(' = %g, lmt ror',)) dsp(sprt(' = %g, lmt supror',)) dsp(sprt(' = %g, úmro d sgmtos, cssrmt dv sr mor qu ',)) ormt sort g %======================================================= % Ao, prst-s smulção do método d Romrg:

64 6 %======================================================= dsp(sprt('\*******************************smulção********************** ***********\')) sum= ; %(usr som) dsp('a órmul sgur clcul um promção pr tgrl plo método d Romrg') dsp(' ') dsp(' R(k,) = R(k-,+) + [R(k-,+) - R(k-,)] / [^(k-) - ]') dsp(' ') stp = loor(log())+ ; % é o trvlo, stp(psso) loor(dr) Psso d tgrção; dsp(' ') or =:stp R(,)=.5*(()+()) ; =(-)/(^(-)) ; or =:^(-)- R(,)=R(,)+(+*) ; d R(,)=*R(,) ; dsp(sprt(' % colu, R(,%) = %g',^(-),,r(,))) d dsp(' ') dsp(' ') % Itrçõs plo método d Romrg u = stp-; or k = [:stp] or = [:u] R(k,)=R(k-,+) + (R(k-,+)-R(k-,))/(^(k-)-) ; dsp(sprt(' R(%,%) = R(%,%) + (R(%,%) - R(%,%))/%g',k,,k-,+,k-,+,k-,,^(k-)-)) dsp(sprt(' = %g + (%g - %g)/%g',r(k-,+),r(k-,+),r(k-,),^(k-)-)) dsp(sprt(' = %g',r(k,))) dsp(' ') d u = u - ; d pro = R(stp,) ; % Aprstção dos Rsultdos dsp(sprt('\\**************************rsultdos************************ ****')) % Ao cotr-s solução t pr comprção t = qud(,,) ; dsp(sprt('\ Apromção = %g',pro)) dsp(sprt(' Et = %g',t)) dsp(sprt('\ Erro Asoluto = Et - Apromção')) dsp(sprt(' = %g - %g',t,pro)) dsp(sprt(' = %g',t-pro)) dsp(sprt('\ Erro Rltvo')) dsp(sprt(' = ( Et - Apromção ) / Et * ')) dsp(sprt(' = %g / %g * ',t-pro,t)) dsp(sprt(' = %g\\',s( (t-pro)/t )*))

65 6 ApêdcV Algortmo pr o gráco d ução ( ) s( ) plo método d Smpso %========================================================== %%%%GRÁFIDO DA FUNÇÃO y=*s() PELO MÉTODO DE SIMPSON%%%% %========================================================== %Prmrmt plot-s o gráco d ução gur(); cl; ttl('apromção d tgrl d ução ()=*s() o trvlo [p/,*p/5] plo método d Smpso'); =:.:p; y=.*s(); plot(,y,''); old o dsp('prsso ENTER pr sslr os potos qu promm ução dd m [p/,*p/5] '); pus; %pus pr olr o gráco qu stá s ormdo %Plot-s três potos pr trpolr um polômo d gru %o trvlo [p/,*p/5] =[p/ (p/+*p/5)/ *p/5]; y=.*s(); plot(,y,'o'); dsp('prsso ENTER pr dsr o polômo d gru qu trpol os potos ssldos'); pus; %pus pr olr o gráco qu stá s ormdo %Clcul plot o polômo d gru plo método d Nwto p=wto(,y); =lspc(p/,*p/5); y=polyvl(p,); plot(,y,'r'); dsp('prsso ENTER pr dsr ár sr clculd '); pus; %pus pr olr o gráco qu stá s ormdo %Ds ár sr clculd, lmtd plo trvlo [p/,*p/5] plot([p/ p/],[(p/)*s(p/) ],'r'); %p/ pr, (p/) pr y p/ pr, zro pr y plot([*p/5 *p/5],[(*p/5)*s(*p/5) ],'r'); %*p/5 pr, (*p/5) pr y *p/5 pr, zro pr y plot([p/ *p/5],[ ],'r'); %p/ pr, zro pr y *p/5 pr, zro pr y dsp('prsso ENTER pr dsr sudvsõs o trvlo [p/,*p/5]'); pus; %pus pr olr o gráco qu stá s ormdo %Ds dz sudvsõs o trvlo [p/,*p/5]

66 65 or =:: plot([() ()], [ y()], ':r'); d dsp('prsso ENTER pr dsr sudvsõs o trvlo [p/,*p/5]'); pus; %pus pr olr o gráco qu stá s ormdo %Ds cm sudvsõs o trvlo [p/,*p/5] or =: plot([() ()], [ y()], ':r'); d %Tmos ssm um promção d ár d ução ()=*s()o trvlo [8,] %plo método d Smpso com sudvsõs.

67 66 ApêdcVI Algortmo pr o gráco d ução ( ) s( ) plo método d Trpézos %================================================================== %%%%%%%GRÁFIDO DA FUNÇÃO y=.*s()pelo MÉTODO DE TRAPÉZIO%%%%%%%% %================================================================== %Prmrmt plot-s o gráco d ução gur(); cl; =:.:p; y=.*s(); plot(,y,''); old o dsp('prsso ENTER pr sslr os potos qu promm ução dd m [p/,*p/5] '); pus; %pus pr olr o gráco qu stá s ormdo %Plot-s dos potos pr trpolr o polomo d gru %o trvlo [p/,*p/5] plot([p/ *p/5],[(p/)*s(p/) (*p/5)*s(*p/5)],'o'); %p/ pr, (p/) pr y *p/5 pr, (*p/5) pr y dsp('prsso ENTER pr dsr o polômo d gru qu trpol os potos ssldos'); pus; %pus pr olr o gráco qu stá s ormdo %Plot o polômo d gru qu trpol os potos ssldos plot([p/ *p/5],[(p/)*s(p/) (*p/5)*s(*p/5)],'r'); %p/ pr, (p/) pr y *p/5 pr, (*p/5) pr y dsp('prsso ENTER pr dsr ár sr clculd '); pus; %pus pr olr o gráco qu stá s ormdo %Ds ár sr clculd, lmtd plo trvlo [p/,*p/5] plot([p/ p/],[(p/)*s(p/) ],'r'); %p/ pr, (p/) pr y p/ pr, zro pr y plot([*p/5 *p/5],[(*p/5)*s(*p/5) ],'r'); %*p/5 pr, (*p/5) pr y *p/5 pr, zro pr y plot([p/ *p/5],[ ],'r'); %p/ pr, zro pr y *p/5 pr, zro pr y dsp('prsso ENTER pr dsr sudvsõs o trvlo [p/,*p/5]'); pus; %pus pr olr o gráco qu stá s ormdo %Ds dz sudvsõs o trvlo [p/,*p/5] = lspc(p/,*p/5,); y=trp([p/ *p/5],[(p/)*s(p/) (*p/5)*s(*p/5)],, 'lr'); or =: plot([() ()], [ y()], ':r');

68 67 d dsp('prsso ENTER pr dsr sudvsõs o trvlo [p/,*p/5]'); pus; %pus pr olr o grco qu stá s ormdo %Ds cm sudvsõs o trvlo [p/,*p/5] = lspc(p/,*p/5,); y=trp([p/ *p/5],[(p/)*s(p/) (*p/5)*s(*p/5)],, 'lr'); or =: plot([() ()], [ y()], ':r'); d %Tmos ssm um promção d ár d ução ()=*s() %o trvlo [p/,*p/5]plo método d Trpézo com sudvsõs.

69 68 ApêdcVII Algortmo pr o gráco d ução ( ) ( )( ) plo método d Smpso %=================================================================== %%%%%%GRÁFIDO DA FUNÇÃO y=-(+).*(-)pelo MÉTODO DE SIMPSON%%%%%%% %=================================================================== %Prmrmt plot-s o gráco d ução gur();cl; ttl('apromção d tgrl d ução ()=-(+).*(-) o trvlo [,] plo método d Smpso'); = lspc(-,.5); y=-(+).*(-); plot(,y,''); old o dsp('prsso ENTER pr sslr os potos qu promm ução dd m [,]'); pus; %pus pr olr o gráco qu stá s ormdo %Plot-s três potos pr trpolr o polômo d gru %o trvlo [,] =[.5 ]; y=-(+).*(-); plot(,y,'o'); dsp('prsso ENTER pr dsr o polômo d gru qu trpol os potos ssldos'); pus; %pus pr olr o gráco qu stá s ormdo %Clculo Plot o polômo d gru plo método d Nwto p=wto(,y); =lspc(,); y=polyvl(p,); plot(,y,'r'); dsp('prsso ENTER pr dsr ár sr clculd '); pus; %pus pr olr o gráco qu stá s ormdo %Ds ár sr clculd, lmtd plo trvlo [,] plot([ ],[ -(+).*(-) ],'r'); %zro pr, () pr y zro pr o, zro pr y plot([ ],[ -(+).*(-) ],'r'); %um pr, () pr y um pr o, zro pr y plot([ ],[ ],'r'); % zro pr, pr y um pr, zro pr y dsp('prsso ENTER pr dsr sudvsõs o trvlo [,]'); pus; %pus pr olr o gráco qu stá s ormdo %Ds dz sudvsõs o trvlo [,] or =:: plot([() ()], [ y()], ':r');

70 69 d dsp('prsso ENTER pr dsr sudvsõs o trvlo [,]'); pus; %pus pr olr o gráco qu stá s ormdo %Ds cm sudvsõs o trvlo [,] or =: plot([() ()], [ y()], ':r'); d %Tmos ssm um promção d ár d ução ()=-(+).*(-) o trvlo [,] %plo método d Smpso com sudvsõs.

71 7 ApêdcVIII Algortmo pr o gráco d ução ( ) ( )( ) plo método d Trpézos %================================================================== %%%%%%%GRÁFIDO DA FUNÇÃO y=-(+).*(-)pelo MÉTODO DE TRAPÉZIO%%%%%%%% %================================================================== %Prmrmt plot-s o gráco d ução gur();cl; =lspc(-,.5); y=-(+).*(-); plot(,y,''); old o dsp('prsso ENTER pr sslr os potos qu promm ução dd m [,] '); pus; %pus pr olr o gráco qu stá s ormdo %Plot-s dos potos pr trpolr o polomo d gru o trvlo [,] plot([ ],[-(+).*(-) -(+).*(-)],'o'); %zro pr, () pr y um pr, () pr y dsp('prsso ENTER pr dsr o polômo d gru qu trpol os potos ssldos'); pus; %pus pr olr o gráco qu stá s ormdo %Plot o polomo d gru qu trpol os potos ssldos plot([ ],[-(+).*(-) -(+).*(-)],'r'); %zro pr, () pr y um pr, () pr y dsp('prsso ENTER pr dsr ár sr clculd '); pus; %pus pr olr o gráco qu stá s ormdo %Ds ár sr clculd, lmtd plo trvlo [,] plot([ ],[ -(+).*(-) ],'r'); %zro pr, () pr y zro pr, zro pr y plot([ ],[ -(+).*(-) ],'r'); %um pr, () pr y um pr, zro pr y plot([ ],[ ],'r'); %zro pr, zro pr y um pr, zro pr y dsp('prsso ENTER pr dsr sudvsõs o trvlo [,]'); pus; %pus pr olr o gráco qu stá s ormdo %Ds dz sudvsõs o trvlo [,] = lspc(,,); y=trp([ ],[-(+).*(-) -(+).*(-)],, 'lr'); or =: plot([() ()], [ y()], ':r'); d dsp('prsso ENTER pr dsr sudvsõs o trvlo [,]'); pus; %pus pr olr o gráco qu stá s ormdo

72 %Ds cm sudvsõs o trvlo [,] = lspc(,,); y=trp([ ],[-(+).*(-) -(+).*(-)],, 'lr'); or =: plot([() ()], [ y()], ':r'); d %Tmos ssm um promção d ár d ução ()=-(+).*(-) %o trvlo [,]plo método d Trpézo com sudvsõs. 7

73 7 ApêdcIX Algortmo pr o gráco do Prolm Físco plo método d Smpso %======================================================================= %%%%GRÁFIDO DA FUNÇÃO y=(*log(./(-*))-9.8*)%%%%% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%PELO MÉTODO DE SIMPSON%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %======================================================================= %Prmrmt plot-s o gráco d ução gur();cl; ttl('apromção d tgrl d ução ()=(*log(./(- *))-9.8*) o trvlo [,8] plo método d Smpso'); =:.:8; y=(*log(./(-*))-9.8*); plot(,y,''); old o dsp('prsso ENTER pr sslr os potos qu promm ução dd m [8,] '); pus; %pus pr olr o gráco qu stá s ormdo %Plot-s três potos pr trpolr o polômo d gru %o trvlo [8,] =[8 9 ]; y=(*log(./(-*))-9.8*); plot(,y,'o'); dsp('prsso ENTER pr dsr o polômo d gru qu trpol os potos ssldos'); pus; %pus pr olr o gráco qu stá s ormdo %Clculo Plot o polômo d gru plo método d Nwto p=wto(,y); =lspc(8,); y=polyvl(p,); plot(,y,'r'); dsp('prsso ENTER pr dsr ár sr clculd '); pus; %pus pr olr o gráco qu stá s ormdo %Ds ár sr clculd, lmtd plo trvlo [8,] plot([8 8],[ (*log(./(-*8))-9.8*8) ],'r'); %oto pr, (8) pr y oto pr, zro pr y plot([ ],[ (*log(./(-*))-9.8*) ],'r'); %trt pr, () pr y trt pr, zro pr y plot([8 ],[ ],'r'); %oto pr, zro pr y trt pr, zro pr y dsp('prsso ENTER pr dsr sudvsõs o trvlo [8,]'); pus; %pus pr olr o gráco qu stá s ormdo %Ds dz sudvsõs o trvlo [8,] or =::

74 7 plot([() ()], [ y()], ':r'); d dsp('prsso ENTER pr dsr sudvsõs o trvlo [8,]'); pus; %pus pr olr o gráco qu stá s ormdo %Ds cm sudvsõs o trvlo [8,] or =: plot([() ()], [ y()], ':r'); d %Tmos ssm um promção d ár d ução ()=(*log(./(-*))-9.8*) %o trvlo [8,] plo método d Smpso com sudvsõs.

75 7 ApêdcX Algortmo pr o gráco do Prolm Físco plo método d Trpézos %======================================================================= %%%%GRÁFIDO DA FUNÇÃO y=(*log(./(-*))-9.8*)%%%%% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%PELO MÉTODO DE TRAPÉZIO%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %======================================================================= %Prmrmt plot-s o gráco d ução gur();cl; ttl('apromção d tgrl d ução ()=(*log(./(- *))-9.8*) o trvlo [,8] plo método d Trpézo'); =:.:8; y=(*log(./(-*))-9.8*); plot(,y,''); old o dsp('prsso ENTER pr sslr os potos qu promm ução dd m [8,] '); pus; %pus pr olr o gráco qu stá s ormdo %Plot-s dos potos pr trpolr o polômo d gru o trvlo [8,] plot([8 ],[(*log(./(-*8))-9.8*8) (*log(./(-*))-9.8*)],'o'); %oto pr, (8) pr y trt pr, () pr y dsp('prsso ENTER pr dsr o polômo d gru qu trpol os potos ssldos'); pus; %pus pr olr o gráco qu stá s ormdo %Plot o polmo d gru qu trpol os potos ssldos plot([8 ],[(*log(./(-*8))-9.8*8) (*log(./(-*))-9.8*)],'r'); %oto pr, (8) pr y trt pr, () pr y dsp('prsso ENTER pr dsr ár sr clculd '); pus; %pus pr olr o gráco qu stá s ormdo %Ds ár sr clculd, lmtd plo trvlo [8,] plot([8 8],[ (*log(./(-*8))-9.8*8) ],'r'); %oto pr, (8) pr y oto pr, zro pr y plot([ ],[ (*log(./(-*))-9.8*) ],'r') %trt pr, () pr y trt pr, zro pr y plot([8 ],[ ],'r') %oto pr,o pr y trt pr, zro pr y dsp('prsso ENTER pr dsr sudvsõs o trvlo [8,]'); pus; %pus pr olr o grco qu stá s ormdo %Ds dz sudvsõs o trvlo [8,] = lspc(8,,); y=trp([8 ],[(*log(./(-*8))-9.8*8) (*log(./(-*))-9.8*)],, 'lr');

76 75 or =: plot([() ()], [ y()], ':r'); d dsp('prsso ENTER pr dsr sudvsõs o trvlo [8,]'); pus; %pus pr olr o grco qu stá s ormdo %Ds cm sudvsõs o trvlo [8,] = lspc(8,,); y=trp([8 ],[(*log(./(-*8))-9.8*8) (*log(./(-*))-9.8*)],, 'lr'); or =: plot([() ()], [ y()], ':r'); d %Tmos ssm um promção d ár d ução ()=(*log(./(-*))-9.8*) %o trvlo [8,] plo método d Trpézo com sudvsõs.