unesp ARITMÉTICA DE PONTO FLUTUANTE

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1 usp CAMUS DE GUARATINGUETÁ Computção Cálculo Numérco rof. G.J. d S - Dpto. d Mtmátc Ed.. CAÍTULO ARITMÉTICA DE ONTO LUTUANTE.. Rprstção d Númros um Sstm d Artmétc d oto lutut O Sstm Computcol d Artmétc d oto lutut é utlzdo por clculdors computdors rprstção dos úmros cução ds oprçõs. Um úmro qulqur s β m rtmétc d poto flutut d t dígtos tm form: ±. d d d β... t β - um úmro m rtmétc d poto flutut stá ormlzdo s d - o úmro mámo d dígtos d mtss t é dfdo m trmos do comprmto d plvr do computdor - ddo um úmro N, su rprstção m rtmétc d poto flutut d t dígtos é ftud por trucmto ou rrdodmto. - rros dcorrts d mpossldd d s rprstr um úmro ddo: "OVERLOW" SE "UNDERLOW" SE > < M m rsrvmos o mámo d tdão ormlzdo todos os rsultdos. E.: t m β M od. d d... d t é mtss, dj β -, j,... t é um pot o trvlo [m, M] Osrvçõs: - m, M dpdm d máqu utlzd RERESENTAÇÃO ARREDONDAMENTO TRUNCAMENTO,

2 Um rprstção com t dígtos mtss é dd str m prcsão smpls. Um sstm d prcsão dupl é um sstm d rtmétc d poto flutut com promdmt o doro d dígtos dspoívs pr mtss.. ERROS ABSOLUTOS E RELATIVOS E.:. 9 EA <. EA. ER <, 7. 9 ERRO ABSOLUTO: É dfrç tr o vlor to d um úmro su vlor promdo : EA X E.: π.,., π um vlor tomdo dtro dst trvlo, EA π π π <. lmtt supror p/ o módulo do rro y. EA y ER <. y EA y y <... E.:. 9 EA <. y. EAy <. y. 8,.,. o rro rltvo forc um dcção do gru d prcsão d rprstção... ERROS DE ARREDONDAMENTO E TRUNCAMENTO EM UM SISTEMA DE ARITMÉTICA DE ONTO LUTUANTE ERRO RELATIVO: É o quoct do rro soluto plo vlor promdo: ER EA S um ddo úmro ão tm rprstção ft s umérc mprgd um máqu, ou s o comprmto d plvr ão comport, um promção srá otd por rrdodmto ou por trucmto. Sj um sstm d rtmétc d poto flutut d t dígtos s ; pod sr scrto form:

3 .. < < t g f od g f Emplo: , g f t TRUNCAMENTO: O trmo pod tr.é o vlor mímo qu f pos. g pos é dsprzdo < < < t t t t t t f g EA ER g EA f g ARREDONDAMENTO: Arrdodmto smétrco: <,, t g s f g s f. : < < < t t t t t f g EA ER g EA g S. : < < t t t t t t t t t t t f f EA ER g g f g f EA g S

4 RESUMO r o cso d rrdodmto: TRUNCAMENTO t EA < ER < t ARREDONDAMENTO t EA < t ER < ER y y y y < t Emplo:.97 y.7 y? E.: trucmto Solução A mtss do úmro d mor pot dv sr dslocd pr drt d um úmro d css gul à dfrç tr os dos pots.. 97 y. 7 { y Sstm com t trucmto y. 98 rrdodmto y. 98 rsultdo to Emplo:.y? Solução:. y trucmto. y.9 rrdodmto. y

5 O zro m poto flutut é, m grl, rprstdo com o mor pot possívl d máqu. O mplo sgur lustr rzão dst cssdd. Emplo:. y. y... y. Sutrção -y EA EA EA y y ER y ER ER. y y y y c Multplcção:.y Emplo d zro d poto flutut:.. y EA. y EAy y EAy yea.. ROAGAÇÃO DE ERRO Otção d prssõs pr os rros soluto rltvo o rsultdo d cd um ds qutro oprçõs rtmétcs, como fuçõs d sus oprdos d sus rros. Adção y y EA y EA y EA EA y y EA EA EA y y ER y ER EA y EA EA. y y y y y ER ER. y y y y y y ER. EA y. EA. ER. y y y. EA y. EA. y ER ER ER. y y d Dvsão /y y EA y EA y EA EA y y y EA. y EA y y EA y EA y y

6 promç ão do ômo r r, p / r << EA EA y. y y y EAy EA y y y EA. EA y y y y y EA. EA y EA / y y y y. EA. EA EA / y y ER / y y. EA EA. y y y EA EA y y y t.77 β y. ú mros tmtrprstdos z.8 Eftur s oprçõs otr o rro rltvo o rsultdo rrdodmto y z d y/z - y -z. y/z c /y Solução d w { y z s s s s y EA EA y ER ER ER ER / y / y y y Emplo: Sstm d rtmétc d poto flutut s ERs < s z s.7 6

7 s ERs ERs. s z z RA s z.77 ERs <.7 ERs <. y z.7 ER y z <. Ercíco: Supodo qu é rprstdo um computdor por, od é otdo por rrdodmto, oth os lmts suprors pr os rros rltvos d u w. Rsposts: t ERu < t ERw < Ercíco: Idm pr u w Rsposts: ERu t t < ERw < Ercíco: Sjm y s rprstçõs d y otds por rrdodmto m um computdor. Dduz prssõs d lmt d rro pr mostrr qu o lmt do rro rltvo d u - y é mor qu o lmt do rro rltvo d w y. Rsposts: t 7 ERu < ERw < Emplo: t Solução do tm d do mplo tror: w {. y / z s s s s. y t ERs < ERs < s s z..8 s.6 7

8 < ERs. y / z. 6 ER. y / z < Solução do tm : w. y / z s s y s z..8 s y / z. 6 ER. y / z < E.: mplmtção com dígto d protção ou dígto d gurd: mdtmt à drt d mtss do úmro d mor pot com dígto d gurd:. 767 sm dgto d gurd:. 76 s. s s ERs ERs RA ERs < Emplo: st zro ão Emplo: é sgfctvo! ERs < Supor qu é o mor vlor possívl rprstção d máqu: 8

9 " Ovrflow " d poto trrupção. flutut.. RERESENTAÇÕES EM DIERENTES SISTEMAS DE NUMERAÇÃO dcml flutut Notção utlzd: f. f < ER ER < t < t trucmto rrdodmto f : mtss : crctrístc Optdo-s por : Optdo-s por : o dígto ER ER < < t t 6 rrdodmto trucmto.97 máqu ár f. f < orquê f pr s? c sstm hdcml f. 6 f < 6 E.: Cosdr-s o dcml :.97 ou t ER < 86 rrdodmto t ER < 66 trucmto 9

10 Ercíco: otr s prssõs dos rros rltvos pr os sstms áro hdcml. Dz-s qu um computdor dgtl tm um prcsão d t dígtos s há t dígtos mtss o úmro d poto flutut. A prcsão stá rlcod com o úmro d lgrsmos sgfctvos. Tmém s dz qu um computdor tm t dígtos sgfctvos s, qudo os úmros são trucdos, o lmt do rro rltvo é Emplo: IBM 6 7 mtss com 6 dígtos hdcms p? dígtos sgfctvos sst. dcml sst. hdcml 66 p 6 p l6 p l l6 p l td p l l6 p 7 th Ercíco: computdor áro com 7 ts mtss; p? dígtos dcms sgfctvos. t. Apêdc o cpítulo: rvs cosdrçõs sor sstms d umrção A tl sgur sumrz lgums ds crctrístcs d lgums ss d sstms d umrção: BASE DÍGITOS DENOMINAÇÃO 8 6,,,,...,7,,,...,7,8,9,,,...,9,A,B,C,D,E,, áro octl dcml hdcml Cosdr-s clmt o úmro 6 s, dotdo qu por 6 Est úmro pod sr scrto m trmos d potêcs d s como: 6 6 Mudç d um s pr outr r covrsão d um úmro d s pr qulqur um ds outrs ss, dvd-s o úmro pl s, otdo-s o quoct o rsto. Cso o quoct sj dfrt d zro, st dvrá sr dvddo pl s, otdo-s os ovos vlors d quoct rsto. O procsso dv sr cotudo té qu s oth um quoct gul. O úmro, s d trss, trá como dígtos os rstos otdos, justpostos m ordm cotrár à d grção.

11 Emplo: Covrtr 9 pr os sstm áros, octl hdcml E.: mostrr como são covrtdos s rprstçõs, pr s r covrsão d rprstção s pr s ss 8 6, st grupr os ts d rprstção ár m cojutos d 8 6 ts, rspctvmt, como lustrdo o mplo sgur D 6 r covrsão d rprstção s ss, 8 6, pr s, st utlzr rprstção do úmro m trmos d potêc ds ss, como lustrdo o mplo sgur. E.: otr s rprstçõs s ss 8 6 pr o úmro {{ 8 D 6 Os mplos sgur lustr covrsão d úmros frcoáros, d s pr s.

12 E.: otr rprstção, s, do úmro Osrvr qu covrsão pr s sgu o msmo squm prstdo pr tros, ou sj: E.: otr rprstção, s, do úmro Notr qu o úmro. ão tm rprstção t s. INTRODUÇÃO CAÍTULO RESOLUÇÃO NUMÉRICA DE EQUAÇÕES Em mutos prolms d Cêc Eghr há cssdd d s dtrmr um úmro ρ qu ul um dtrmd fução, sto é, ρ. Est úmro ρ é chmdo d rz d qução ou zro d fução y. Clssfcção: q. lgércs: E.: 6 8 q. trscdts: E.: s cos Etps o cálculo d um promção pr rz: solmto d rz: dtrmção d um trvlo [,] o mor possívl cotdo um somt um rz d qução mlhormto do vlor d rz promd té o gru d tdão rqurdo. EQUAÇÕES TRANSCENDENTES.. ISOLAMENTO DE RAÍZES - MÉTODO GRÁICO Um rz rl d um qução é scss d qulqur poto o qul fução y trcpt o o :

13 g - h E.: sj y - s - ρ Como s osrv, pr st qução, ρ od-s tmém dtfcr dus fuçõs g h prtr d fução, mpodo-s codção d qu g - h. Costrom-s os gráfcos d y g d y h. Ests s trcptm um poto cuj scss é : Emplo: solr tods s rízs d qução g s { s Gráfco d h g : - -

14 Gráfco d h s :.. cos 9 c log d tg - - Gráfcos d g h suprpostos:.. GRAU DE EXATIDÃO DA RAIZ Um vz sold um rz um trvlo [,] pss-s clculá-l trvés d métodos umércos. Ests métodos forcm um sqüêc {}d promçõs cujo lmt é rz t ρ. - - Como s osrv, há dus rízs rs, loclzds os sguts trvlos: ρ, ρ,. Ercíco: Loclz, grfcmt, s rízs ds quçõs o: TEOREMA: Sj ρ um rz sold t ρ um rz promd d qução, com ρ ρ prtcts o trvlo [,] ' m >, prtodo o trvlo[,]. Etão sgut dsguldd s vrfc: ρ ρ ρ Emplo: Sdo s, dlmtr o rro comtdo com ρ. o trvlo [,,,]. Rsolução: m

15 s ' cos Dsgdo y y cos, sorpodo-s os gráfcos dsts dus fuçõs, otém-s: L Osrvçõs: L L.. Osrv-s qu o mor vlor m d o trvlo [,.] ocorr m., ou sj: m cos.6 ρ,, ρ ρ, 7 m,6,6 ρ ρ, ρ,7.8 ρ,7 Osrv-s qu o cálculo d m é dfícl d sr ftudo mor dos csos. or st rzão, o cálculo d um promção pr um rz t ρ d um qução, cd promção otd,, utlz-s um dos crtéros o pr comprção do rsultdo otdo com um tolrâc L prfd:

16 O MÉTODO DA BISSECÇÃO Sj y um fução cotíu um trvlo [,]. < Itrprtção gométrc: Costrução d um sqüêc { },,...,,, tomdo-s ρ qudo lgum crtéro scolhdo dtr os trors, por mplo, L, for stsfto: So s hpótss do torm tror, s h ' st prsrv o sl m,, tão st trvlo cotém um úco zro d y. N plcção do método, cd otdo,, clcul-s vrfc-s stsfz lgum codção spcfcd. Torm: Sj y um fução cotíu um trvlo [,]. S. < tão st plo mos um poto ρ tr qu é zro d y. ' >, [, ] ' <, [, ]. 6

17 Aplcção do método d ssção:,. < poto médo, s. < ou, s. < ovo t rvlo Emplo: Dtrmr, usdo o método d ssção um promção pr rz d qução o trvlo,, com ε. Rsolução: ε ε. ε. ε. 6 ε. ε. ε 6 6. Assum-s pr promção d rz o últmo vlor otdo pr, ou sj, ρ.. Algortmo Iíco Df ^-s- Solct os trmos do trvlo, L, Solct prcsão L Xm/ Rpt S f*fm < Etão m São s f*fm > Etão m São Escrv rz, m r m S m S Xmm Até qu m-m Escrv promção, mm/ m.. MÉTODO DA ITERAÇÃO LINEAR MIL O MIL cosst m trsformr qução qução ϕ, tl qu ϕ, od ϕ é chmd d fução d trção. Supoh qu o corrspod um prmr promção d ρ; grmos um sqüêc do sgut modo: 7

18 o ϕ o ϕ ϕ S {} é um sq. covrgt, tão ρ tl qu lm ρ Como ϕ é cotíu: ρ lm lmϕ ϕlm ϕ ρ ortto, qudo, ϕ ρ ϕ. Ou sj, ρ ρ. ρ Emplo: Sj s. Otr fuçõs d trção pr st qução. Solução: - s - s ϕ ± s s ϕ s s s s s c / s s / s rc s ϕ rc s Emplo: Dtrmr um promção pr rz d qução s o trvlo [.,.], com gru d tdão usdo o M.I.L. Solução: ução d trção: s s ϕ s s rocsso Itrtvo: o ϕ. ϕ ε s s.. ε o o... >. 8

19 ϕ s.. 9 ε.9.78 >. ϕ s ε <. ρ 96. com gru d tdão Os.: ρ.96 s Emplo: Sj dtrmr, trtvmt, um promção pr. tttv com fução d trção smplfcd: fução d trção : ϕ ϕ. ϕ. ϕ ϕ. ϕ.... ϕ.. ϕ ão covrg pr rz d qução tttv com um fução d trção ms trlhd: ϕ. cd psso : ε TOLERÂNCIA : ε. - ϕ..7. ε

20 ϕ.7..7 ε..7.7 ϕ..6. ε.6..7 ϕ ε.6.6 < ρ.6 ρ.6 Os.:.6679K ϕ ϕ g h g h ϕ od : y ρ g g' ϕ M. I. L. ϕ ϕ ϕ pl drt é sstrz! Covrgêc o M.I.L. r o cso d qução, com o., osrvmos qu: ϕ ão covrg ϕ covrg or quê? r coclur sor sto, st vrfcr o comportmto do M.I.L. gomtrcmt. Osrv-s clmt stução lustrd fgur sgur: ' < ϕ um vzhç d ρ. Osrv-s gor stução lustrd fgur sgur:

21 Torm d Covrgêc d M.I.L.: Sj o um promção pr rz ρ d qução um vzhç I [ ρ δ, ρ δ ]. Sj ϕ um fução d trção pr qução supoh-s qu ϕ ϕ ' sjm cotíuos m I. Etão, s ϕ ' <, I, squêc grd por,,,,, K ϕ covrg pr ρ. Osrvção: como o vlor d ρ é dscohcdo, susttu-s o vlor d o drvd pr s coclur sor covrgêc. ϕ' > um vzhç d ρ. A fgur sgur lustr stução d covrgêc ltrd. Esoço d dmostrção: M.I.L. ρ ϕ ϕ ρ Torm do vlor médo: ϕ ' < ρ ϕ ϕ ρ ϕ ε ρ '

22 Sj L o vlor mámo d trvlo I. ρ L ρ Do msmo modo ρ L cotudo ρ L ρ ρ S L m todo trvlo, ϕ' ϕ' o procsso covrg o procsso dvrg ϕ o ϕ' o trvlo I, ou sj, ' L ρ L ρ ε I, umtdo ε I ρ Emplo: studr covrgêc ds fuçõs d trção do mplo tror. Rsolução:. ϕ ' ϕ ' ϕ.. >. ϕ ão covrg pr ρ ϕ ' ϕ ' ϕ.96. ϕ covrg pr ρ.6< Osrvçõs: A mor dfculdd d M.I.L. stá m cotrr um fução d trção ϕ stsfzdo o crtéro d covrgêc. O tst ϕ ' < pod lvr um go s o ão stvr sufctmt prómo d rz. A vlocdd d covrgêc dpdrá d ϕ' ρ : quto mor st vlor, ms rpdmt o procsso covrgrá. Emplo: ϕ ϕ' ρ <

23 Aplcção: ϕ ϕ ϕ ão covrg!.999 Emplo: studr covrgêc ds fuçõs d trçõs otds trormt pr qução pr. 9 s, otr um promção pr rz d qução. Sol.: ϕ ϕ ϕ s s rc s fuçõs d trção ϕ ' No poto.9 : ϕ ϕ ϕ ' ' ϕ.9.9 cos.9 ' cos.9 ϕ.9 s.9 ' ' ' ϕ > Somt ϕ dvrá covrgr. Isolmto d rz: g s.78 >.< h od g h s. Drvds: ϕ ϕ ' ' cos cos s Aplcção d M.I.L.9 ϕ ϕ s ε

24 .9 ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ Os.: s.9.88 ε. s ε.6 s ε. s.878 s.877 ρ ε. ε - é um promção pr s.877. ρ Ercícos: Clculr rz d qução l com ε.. Usr o M.I.L. R : ρ.6 Clculr rz d qução com ε.. Usr o M.I.L. R : ρ. Clculr rz d qução Algortmo: - com ε, usdo o M.I.L. R: ρ. ρ, Adptdo pr dtrmr um promção pr rz d qução s, usdo fução d trção: ϕ s Iíco * MIL* Df s Solct promção cl L Xv Solct prcsão E L E Solct o lmt d trçõs N L N r d té N ç X Xv S X Xv E Etão Escrv pro,x, com,, trcos S d rptção São XvX m S m pr S X Xv > E Etão Escrv Aplcção ão covrg ou Escrv gru d tdão ão, pod sr lcçdo com, N, trçõs m S m * MIL *

25 MÉTODO DE NEWTON - RAHSON N-R Dscrção Sj I um trvlo cotdo rz ρ d qução. Supoh-s qu ' I. ' ' ' N R,,,... ϕ ' Como o M.I.L., o ojtvo é grr um sqüêc { } prtr d um promção cl o : ϕ ' M ϕ ϕ ' M ' Ecotr-s portto um promção d ρ. Emplo: Sj clculr um promção pr rz d q. - s - o trvlo [.,.], com gru d tdão ε, utlzdo o método d N-R dotdo.. Rsolução: y s y' ' cos Equção pr trção: ' s cos.. s cos.. ε.7..7 >.7 s cos ε s cos ε < ρ.96 Itrprtção Gométrc.96

26 6 tg β tg α O método d N-R é cohcdo como método ds tgts. ',,,... R N Otção d fórmul d N-R prtr do dsvolvmto d y f m sér d Tylor....! " f f : órmul d Tylor f f,,...,,... SOBRE A CONVERGÊNCIA DO MÉTODO r qu um procsso trtvo ϕ sj covrgt, dvmos tr, I < ϕ, od I é um vzhç d rz ρ d qução. ". ". ] ".. [ ϕ ϕ ortto, o procsso srá covrgt s

27 . " ϕ < [ ] Osrv-s qu: ρ ρ ρ. " ρ ϕ ρ < [ ρ] S são cotíuos m I, ϕ é cotíu m I, portto, dsd qu ϕ ρ, st um vzhç I I tl qu ϕ < I '. Coclusão: o método d N-R, qudo pod sr plcdo, é smpr covrgt. A dfculdd stá m dtrmr st sutrvlo I od sgurmt ϕ <. Emplo: r o prolm d s dtrmr um promção pr rz d q. s o trvlo [.,.], com., studr quto à covrgêc s fuçõs d trçõs utlzds os métodos M.I.L. N.R. Rsolução: M.I.L ϕ s ϕ cos. ϕ.9< s..cos s cos s s stvr sufctmt prómo d rz, plcção do método dvrá sr covrgt. método d N-R ϕ. " s, cos, " s [. s. ][ s. ]. " ϕ [.. cos. ].9 < s stvr sufctmt prómo d rz, plcção do método dvrá sr covrgt. ALICABILIDADE DO MÉTODO N-R Torm d ourr É codção sufct pr covrgêc do método d N-R qu " ão s ulm mthm ss costts um vzhç I d um rz ρ d qução qu o procsso s c um poto I tl qu. " >. 7

28 Emplo: Clculr rz d qução s usdo o método d N-R.9; < Rsolução: s cos Codçõs pr covrgêc: cos " s s cos Coclu-s, plo método grãfco, qu ρ., com rlção :.9 " ".9 s " > s cos.9.9 ε.9 [.9 s.9 ].8767 s cos.9.78 ε [.877 s.877] cos < ρ ,. cos >.prsrv sl.ão s ul Emplo: Clculr rz d qução - cos usdo o método d N-R < Rsolução: Com rlção ":.,., " s >. 8

29 9 { { h g- cos [,.] ρ ução d trção s cos s cos s cos,,... ϕ Codçõs pr covrgêc sufcts vzhç. s ulm prsrvm o sl " [,.] [,.] cos " s ão > > ρ ". cos " cos. ". < > < > "..878 cos. " > cos.. > > Aplcção do método d N-R [ ] s. cos..... s cos [ ]....6 s.6 cos ε [ ] s. cos ε

30 ε < ρ. Ercíco Dd fução: l - pd-s clculr um promção pr su rz usdo o método d N-R com ρ.76 Ercíco: Usdo o método d N-R dtrm mor rz postv ds quçõs o. tg ρ.78 / cos ρ.7 c 6 Cosdr ε. ρ.97 Ercíco: Sj -. Otr um promção pr ρ com usdo o método d N-R ρ. 78 ε Iíco * N-R * Df -cos Df D s Solct promção cl L Xv Solct prcsão E L E Solct o lmt d trçõs N L N r d té N ç X v v/dv S X Xv E Etão Escrv pro,, com,, trcos S d rptção São XvX m S m pr S X Xv > E Etão Escrv Aplcção ão covrg ou Escrv gru d tdão ão, pod sr lcçdo com, N, trçõs m S m * N-R * Algortmo: Adptdo pr dtrmção d um promção pr rz d q. - cos trvés do método d N-R.

31 . ESTUDO DAS EQUAÇÕES ALGÉBRICAS.. INTRODUÇÃO Sj um qução lgérc poloml d gru :... od os cofcts são úmros rs TEOREMA UNDAMENTAL DA ÁLGEBRA Todo q. lgérc d gru,, tm tmt rízs, qu podm sr rs ou compls, ão cssrmt dstts. Um rz ρ d qução m ρ ρ' ρ " ρ... ρ m ρ é dt tr multplcdd m s: Emplo: Mostrr qu ρ é rz d qução lgérc 6 8 com multplcdd m Solução: ' ' " " ' '' 8 8 ''' ρ é rz tm multplcdd... VALOR NUMÉRICO DE UM OLINÔMIO Ddo um polómo o vlor umérco d pr o cálculo d rqur dçõs fto: { {... produtos produtos produto..., um prolm qu s coloc é o d clculr. Osrv-s qu, ou sj, multplcçõs. D.. A. : S com,, úmro d trmos. Etão, s o gru do polômo for lvdo dgmos,, o cálculo d, lém d s torr muto loroso, é tmém fct do poto d vst computcol.

32 Emplo: Ddo o polômo sj dtrmr. Rsolução: MÉTODO DE BRIOT-RUINI Ddo o polômo. K, dvddo-s plo ômo c, otém-s guldd: { { dvsão rsto d quoct polômo r Q c od Q é d form:. Q L Como dtrmr os cofcts,,, L o rsto r? Q r c Q L L r c c c c c r c L L L Otém-s, d rdução trmos smlhts:.... c r c c c M Ou, quvltmt,. Ruff - lgortmo d Brot. c r c EXEMLO: Sj dvdr 6 7 plo ômo, usdo o método d Brot-Ruff Solução:. Q r Q

33 Cálculo dos 's,, c. c... Cálculo do rsto: r c.6 Q r Usdo o dspostvo prátco d Brot-Ruff: 6 7 ' s { Emplo: Sj dvdr 7 6, usdo o dspostvo prátco d Brot-Ruff. lo ômo Rsolução: ' s r Q R 8 6 Osrv-s qu: Torm: o vlor umérco d dvsão d por c Dmostrção: c Q c r c c c. Q c c r r m c é gul o rsto d Emplo: Ddo o polômo sj usdo o dspostvo prátco d Brot-Ruff., clculr Rsolução:

34 Torm: o vlor umérco d drvd d c rsto d dvsão d quoct d dvsão d Dmostrção: c. Q ' r cos t t ' Q Q' c pr c, tmos : c Q c Q' c. c c Q c ' c Q c Q por, od por c. pr c é gul o Q é o polômo lo torm tror smos qu Q c é gul o rsto d dvsão d Q plo ômo c. Emplo: Ddo o polômo sj clculr ' Rsolução: usdo o dspostvo prátco d Brot-Ruff ' 6 Osrv-s qu: ' '. 6.. MÉTODO DE HORNER M L L { L L Emplo: L Ddo 8, clculr Rsolução: Horr.

35 . 8 Emplo: Ddo 6, clculr plo método d Horr. Rsolução: Osrv-s qu é possívl otr form ftord fl drtmt, m um úco psso : MÉTODO DE BIRGE-VIETA O lgorítmo otdo qudo usmos os rsultdos dos torms trors pr plcr o método d N-R é chmdo d método d Brg-Vt: ' od:,,,... é o rsto d dvsão d por ' é o rsto d dvsão do quoct otdo qudo do cálculo d dvsão d plo ômo. Emplo: Clcul um promção ρ pr rz ρ d p o trvlo, tl qu ε <, usdo o método d Brg-Vt. Assumr. como promção cl d rz. Rsolução: Cálculo d :.. ' '. Dspostvo prátco d Brot-Ruff:

36 , 9.99, ' ,. ε... Cálculo d :.. ' '. Dspostvo prátco d Brot-Ruff: ' ε... Cálculo d : p p' ' Dspostvo prátco d Brot-Ruff: p < - ρ ρ..6 NÚMERO DE ZEROS REAIS DE UM OLINÔMIO COM COEICIENTES REAIS Rgrs d Ss d Dscrts: O úmro d rízs rs posstvs d um qução lgérc é gul o úmro d vrçõs d ss sqüêc dos cofcts, ou mor qu st úmro por um tro, pr, ão gtvo, sdo qu um rz d multplcdd m é cotd como m rízs qu cofcts gus zro ão são cosdrdos. r s dtrmr o úmro rízs rs gtvs, -, plc-s rgr tror -. Emplos: 7 9 ou rízs rs postvs 6

37 7 9 - ou rízs rs gtvs ou rízs rs postvs - ou rízs rs gtvs c {{{ ou rízs rs postvs d 7 - ou rízs rs gtvs rízs rs postvs 7 - ríz rl gtv..7 LIMITAÇÃO DAS RAÍZES REAIS DE UMA EQUAÇÃO ALGÉBRICA: MÉTODO DE LAGUERRE Lmtr s rízs d um qução é dtrmr um trvlo od stão tods s rízs d qução. O MÉTODO DE LAGUERRE Sj dtrmr um úmro rl Ls tl qu, dd fução poloml y, > L >.Dz-s qu L s é um lmtt supror pr s rízs d qução lgérc. r s dtrmr L s dvd-s sucssvmt por -,,,... té qu pr um prtculr vlor d, dgmos L, tm-s todos os cofcts do quoct o rsto d dvsão postvos. Dvddo-s plo ômo - Ls otém-s: L Q R S od Q é d form: L Ovmt: S L >, >,,,,, R > tão > S L Emplo: Sj o polômo:. 7

38 7 9. Ecotrr um lmtt supror pr os sus zros. Rsolução: Dspostvo prátco d Brot-Ruff: < < < L S 7 é um lmtt supror pr os zros d fução poloml y. r s dtrmr um lmtt fror, L, pr s rízs rs ão postvs d q. lgérc, procd-s como dcdo sgur. Sj o gru d qução lgérc. Etão: s é pr, dtrm-s o lmtt supror K s d y- tom-s L K s. s é ímpr, dtrm-s o lmtt supror K s d y-- tom-s L -K s. Grfcmt: Cso : < < 8

39 Cso : Emplo: Dtrmr um lmtt fror pr os zros do polômo do mplo tror. Solução: 7 9, pr L - K s od K s lmt sup. pr - Dtrmção d Ks: 7 9 9

40 Dspostvo prátco d Brot-Ruff: < < s L s é um lmtt fror pr os zros d fução poloml y. Osrvção: s rízs d qução 7 9 são: ρ, ρ, ρ, ρ, ρ,7,,,, Emplo complto: Dd qução lgérc: pd-s dtrmr: o úmro d rízs rs postvs o úmro d rízs rs gtvs c um lmtt supror pr s rízs rs d um lmtt fror pr s rízs rs um trvlo cotdo o mímo um rz rl. f rz sold usdo o método d Brg-Vt. ou rízs rs postvs c - ou rízs rs gtvs - - L s d L - K s K s lmtt supror d L - Ks - L D c d : ρ R : ρ ρ,? -, Do tm c : > > -? Do tm d:

41 Sprção ds rízs rízs postvs? > >.? Método d Brg-Vt: '.6 rtrdo,,,, L > Nd s pod coclur sor s rízs postvs prtr dos vlors otdos. rízs gtvs? Vrfcção quto à covrgêc: , ' '' > - - < -,? ρ rl; ρ,. "..676 ϕ.9 <.7 hvrá covrgêc s stvr sufctmt prómo d ρ > ρ rl ; ρ, -. f dtrmção d rz rl gtv Cálculo d : '.6 ' ε >

42 Cálculo d : ' ' ' ε ρ? ρ d um lmtt fror pr s rízs rs form otd d plcção do método d Hor. f o vlor umérco d os potos -. Ercíco: Dd qução lgérc: 6 pd-s dtrmr: o úmro d rízs rs postvs o úmro d rízs rs gtvs c um lmtt supror pr s rízs rs d um lmtt fror pr s rízs rs form otd d plcção do método d Hor. f o vlor umérco d os potos usdo prssão otd o tm tror. Ercíco: Dd qução lgérc: pd-s dtrmr: o úmro d rízs rs postvs gtvs. um lmtt supror um lmtt fror pr s rízs rs. c form otd d plcção do método d Hor. Ercíco: Dd qução lgérc: pd-s dtrmr: o úmro d rízs rs postvs o úmro d rízs rs gtvs c um lmtt supror pr s rízs rs Ercíco: Dd qução lgérc: d-s dtrmr: o úmro d rízs postvs o úmro d rízs gtvs c um lmtt supror pr s rízs rs

43 d um lmtt fror pr s rízs rs um trvlo cotdo o mímo um rz rl postv f um rz rl postv ρ o trvlo dtfcdo o tm tror Brg-Vt g o vlor umérco d ρ. Os.: tomr ε Rsp.: ρ MÉTODO DAS SEQÜÊNCIAS DE STURM Sqüêc d fuçõs { g } g, g, g sgut modo: g o g ', : L costruíd do o, g, é gul o smétrco do rsto d dvsão d g por g O úmro d zros d fução y o trvlo, é dfrç tr o úmro d vrçõs d sl d sqüêc g,, g, L, g d sqüêc g, g, L, g. Emplo Aplcr o método ds sqüêcs d Sturm pr loclzr tods s rízs rs d:...6. Rsolução: sqüêc { g } g g...6 g ' g g.8.. g rsto g g..6.6 g g g rsto g g g g

44 g rsto g g g.8. 8 Tl d ss: Ls? L S L I? L I Tl: g g g g g VARIAÇÃO Osrvçõs sor costrução d tl cm: g 6.9 > g? g g.9 > g? g -..7 g.78 g? g -.66 g > g > c Itrprtção: Sj v o úmro d vrçõs d sl d sqüêc {g } m

45 v ρ, v v ρ, ρ, v v ρ, v d cotução d plcção do método d Sturm: g.6. > g.6? g.6.7 g.6? g.6.87 g < g.6 > Osrvção quto às rízs solds: vrfcção dos trvlos:. > ρ,. <.9 < ρ.8 > < > ρ, < ρ,.6.6 > ρ,6, > ρ,, v ρ,.6 v.6 v.6 ρ.6, v rízs d qução : ρ., ρ., ρ.8, ρ.6 Emplo complto: Dd qução lgérc.., dtrmr promçõs pr s ε. sus rízs utlzdo o método d Brg-Vt

46 Rsolução: Rgr d ss d Dscrts úmro d rízs.. ou rízs rs postvs. - rz rl gtv. Lmtts pr s rízs Método d Lgurr Ls? Ls...7 LI? L I c Isolmto ds rízs c. Método ds sqüêcs d Sturm: c.. Sqüêc { g }: g.. g.8. g.67.8 g / g g - rsto 6

47 . / / g..97 g.7 g / g g - rsto g.7 c.. Tl d ss L I -, L s g g g g VARIAÇÃO Qρ ρ, - - ρ, c. Brot-Ruff > < ρ.,. > ρ,, >. > ρ.,. 8. < 7

48 d Vrfcção quto à covrgêc. rtrdo ϕ '. " [ ' ] '....9 ". / " ϕ '. O rsto d trcr plcção do método d Brot-Ruff é gul à mtd d drvd sgud d o poto cosdrdo.. < ortto, o sufctmt prómo d rz mplcrá covrgêc d plcção do método. Cálculo ds rízs. Cálculo d ρ ρ.,. ' o '.. ε.6.. >.6.6 ' ' ε.6.6. ρ.6 Vrfcção:.6? 8

49 L m c ou sj, c. Dv sr utlzdo o squm sgur: Ercíco: otr promçõs pr s dms rízs usdo Brg- Vt Ercíco: Dd qução lgérc: pd-s: o úmro d rízs rs postvs gtvs - ; os lmtts supror Ls fror LI pr s rízs rs; c um trvlo com trmos tros cotdo tmt um rz rl postv, usdo o método ds squüêcs d Sturm; d vrfcr s o poto médo do trvlo dtfcdo m c stsfz o crtéro d covrgêc do método d Nwto; clculr um promção pr rz sold usdo o método d Brg-Vt com <. Rspost: ρ. 688 Algortmo pr o cálculo do vlor umérco d um polômo: Sj o prolm d s clculr o vlor umérco d um polômo d form: c. r c. lgortmo d Brot - Ruff trvés do qul são otdos os cofcts do polômo quoct: Q L A sgur prst-s um squm pr o cálculo d drvd d um polômo: - - c d-*c d-*c d*c d*c -d-*c -d-*c d*c d*c d- d- d- d rsto d - ; d-- - d-*c,,,...-; rsto d*c vlor umérco d drvd do polômo. 9

50 SEJAM A: VETOR DOS COEICIENTES DO OLINÔMIO: A:N B: VETOR DOS COE. DO OL. QUOCIENTE: B:N D: VETOR COE. OL. / CÁLC. DE C: D:N-!! INICIO ALGORITMO! DADOS SOLICITAR O GRAU DO OLINÔMIO LER N SOLICITAR OS COEICIENTES LER AI,I,...,N SOLICITAR C LER C!! ALICAÇÃO DO ALGORITMO DE BRIOT-RUINI: C BNAN ARA K DE ATÉ N- AÇA BN-KC*BN-KAN-K IM ARA! VALOR NUMÉRICO DO OLINÔMIO VN C*B A ESCREVA,C,, VN!! ALICAÇÃO DO ALGORITMO BRIOT-RUINI: C DN-BN ARA K DE ATÉ N- AÇA DN-K-C*DN-KBN-K IM ARA! VALOR NUMÉRICO DERIVADA C VND C*DB ESCREVA D/DX,C,,VND! IM ALGORITMO.. INTRODUÇÃO CAÍTULO SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES Um prolm d grd trss prátco é rsolução umérc d um sstm S d quçõs lrs com cógts.... ou S :... S :... j j j,,,..., Od: : cofcts, : vrávs, : cos tts, j,,.... j j So form mtrcl S pod sr rprstdo como: od: A é mtrz dos cofcts. X AX é o vtor ds vrávs

51 . t t ts tou vtor dostrmoscos é ovtor cos A mtrz [ ] A : é chmd mtrz umtd ou mtrz complt do sstm. A rsolução d um sstm lr cosst m clculr os vlors d j j,...,,, cso stm, stsfzdo s quçõs smultmt. Emplo: Ddo o sstm lr S : : S pd-s: scrvê-lo so form mtrcl dtfcr su mtrz complt c mostrr qu o vtor é o vtor solução pr o sstm Solução form mtrcl { { t vr form AX qué d ts cos trmos dos vtor X ávs d vtor A cofcts dos mtrz mtrz complt [ ] : A

52 c... AX SISTEMAS TRIANGULARES Um sstm lr S : AX é chmdo trgulr supror s mtrz j s j <,, j,,...,, ou sj: A é tl qu S j : M Um sstm lr mtrz j S AX é chmdo trgulr fror s A é tl qu j pr j, j,,..., S : M M... >, ou sj: Osrv-s qu os sstms trgulrs m qu,,..., fclmt rsolvdos por susttução rtrotv ou progrssv., são Emplo: Ecotrr o vtor solução do sstm lr S : S : Rsolução: q. : susttuçõs rtrotvs q. : q. : q. :.

53 o vtor soluçãoé X Métodos Numércos d Rsolução: Métodos drtos: são métodos qu dtrmm solução t X d um sstm lr com um úmro fto d oprçõs rtmétcs lmtrs. Métodos trtvos são métodos qu prmtm otr um solução promd X pr um sstm lr, utlzdo-s d um método trtvo pr grr um sqüêc d promçõs sucssvs X, X,... prtr d um promção cl scolhd X. Qudo um crtéro d prd é stsfto, o últmo vtor d promção X d sqüêc é tomdo pr X... MÉTODOS DIRETOS... MÉTODO DE ELIMINAÇÃO DE GAUSS... CARACTERIZAÇÃO GERAL O método d Elmção d Guss cosst m trsformr o sstm lr orgl um sstm lr quvlt trgulr supror. Emplo: Sj rsolvr o sstm: S : Rsolução: Trgulrzção do sstm orgl: sso : lmção d ds quçõs m S m : : * * sso : lmção d d qução m 6 :

54 * 7 : S Rsolução do sstm trgulrzdo: dtrmção do vtor X por susttuçõs rtrotvs: 7 : S q. : q. : 7 7 q. : 6 X Cálculo do dtrmt d A: A A dt * * A Emplo: Rsolvr o sstm: 6 7 : S Rsolução: Trgulrzção do sstm orgl: sso : lmção d ds quçõs, : m m m * * 8 * : S sso : lmção d ds quçõs m m

55 S : sso : lmção d d qução m S : *.667* :.9* Dtrmção do vtor solução X por susttuçõs rtrotvs: q. : q. :.668. q. : ALGORITMO ARA A ELIMINAÇÃO GAUSSIANA Sj S AX, A,,, j :, um sstm d quçõs lrs cógts. r,..., /* smo psso* / r,..., fm pr fm pr m j m r j,..., fm pr j j m j q. :

56 ... ESTRATÉGIAS DE IVOTEAMENTO - ELIMINAÇÃO GAUSSIANA: Estágo : lmção d ds quçõs,...,, pr. IVÔ DO ESTÁGIO K:,..., - A IVOTEAMENTO ARCIAL Escolh-s um ovo pvô pr cd stágo utlzdo o lgortmo: dtfc-s: má r s r to o h prmutco so s lhs r so prmutds tr s fm s E.: 6 S : 7 7 lmção d ds quçõs : Estrtég d pvotmto prcl: má,, S S prmutção ds lhs : / / : m m lmção d d qução :..667 Estrtég d pvotmto prcl: má.66 ão há prmutço d lh., m S : *. *.667 *.99 *. 6

57 .99 q q Emplo 6 S : 7 7 q B IVOTEAMENTO COMLETO Rsolução: sso : má, j j má, j j 7 D cordo com st strtég, o íco do stágo é scolhdo pr pvô o lmto d mor módulo dtr todos os lmtos qu d tum o procsso d lmção: Algortmo: dtfc-s: má, j j rs csos: r s : o; ão há prmutção ftur r s : prmutr colus s ; r s : prmutr lhs r ; prmutr lhs r ; r s : prmulr colus s ; fm csos. prmutr lhs ; prmutr colus. 7 7 S : 6 Elmção d ds quçõs m : m 7

58 S 7 7 : * sso : S m, j 7 7 :..87 j m, j j.997 { prmutr lhs S 7 7 : Elmção d d qução m..6 :.9* S 7 7 :...6* Dtrmção do vtor X por susttuçõs rtrotvs q. q. q Emplo: [RUGGIERO, LOES: 996]. S : 6 sstm d rtmétc d poto flutut d dígtos t Rsolução A Sm pvotmto: m S :.. * m 8

59 Vtor solução: q. :... q. : X Osrvção: Susttudo-s qução, otém-s: 6. B Com pvotmto prcl : S I lmdo-s d q. Estrtég d pvotmto prcl lhs. prmutr má má : S... m * : m S q. :..... q. :

60 X.. Os.: Susttudo s q., otém-s: O MÉTODO DE ELIMINAÇÃO DE GAUSS-JORDAN... CARACTERIZAÇÃO GERAL Dd mtrz umtd [A : : I] As trsformçõs lmtrs pr s otr um mtrz dtdd prtr d A qudo plcdos I coduzm, rspctvmt, X, vtor solução do sstm, A-, vrs d A, ou sj [A : : I] trsformçõs [I : X : A - ] lmtrs Emplo: A Mtrz umtd: A 678 } B I 678 [ A : : I] sso :.. 6. sso : sso : I { X.... / * *.7. *. /. 6 *... * A. * / 6

61 X A ALGORITMO ARA O MÉTODO DE JORDAN SEJA C A MATRIZ AUMENTADA [A : : I] ARA I DE ATE N ACA * ASSO I * IVOT CI,I * ELEMENTO DA DIAGONAL RINCIAL * ARA J DE ATE * N ACA CI,J CI,J/IVOT IM ARA * DEMAIS ELEMENTOS NA COLUNA I IGUAIS A * ARA K DE ATÉ N SE K <> I ENTAO * NÃO É LINHA DO IVOT * ENTÃO MULT -CK,I ARA J DE ATE * N ACA CK,J CK,J MULT*CI,J IM ARA IM SE IM ARA IM ARA Ercíco: Ddo o sstm lr S w y 8z 7 w 7y z : w 7 9y z 6w 8y z 9 d-s: Dtrmr o su vtor solução X vrs d mtrz dos cofcts A- usdo o método d Jord; Dtrmr o su vtor solução X o dtrmt d mtrz dos cofcts usdo o método d lmção d Guss; Rsp.: X.6.9 A Ercíco: dtrmr vrs d mtrz d Wlso 7 A Rsp.: A utlzdo o método d Jord

62 Ercíço: dtrmr o vtor solução vrs d mtrz dos cofcts do sstm o: 7 6 A MÉTODOS ITERATIVOS 6 Rsp.:... GERAL 7,8. X A. Ercíco: Ivrtr mtrz d scl A Um sstm lr é dto sr sprso qudo mtrz A dos cofcts possu um grd porctgm d lmtos ulos. r ts sstms o mprgo do método d Elmção d Gus pr su rsolução ão é coslhávl, ddo qu st método ão prsrv sprsdd, ou sj, durt o procsso d lmção mutos lmtos ulos podrão s torr ão ulos. Osrv-s qu sstms lrs d grd port são m grl sprsos. Os métodos trtvos prsrvm sprsdd d A, pos os lmtos dst mtrz ão são ltrdos. Aprstm d um outr vtgm sor o método d Elmção d Guss dd plo fto d qu são métodos rltvmt ssívs o crscmto d rros d rrdodmto. A dé ctrl dos métodos trtvos é grlzr o M.I.L. utlzdo usc d rízs d um qução, studdo trormt. Rsp.: Cosdr um sstm lr d form: 6

63 6 S : AX: : S M Otém-s prtr d S s quçõs: , M ou, quvltmt,......,, j j j j j j,...,,,.. MÉTODO DE GAUSS-JACOBI:... CARACTERIZAÇÃO Supoh-s qu: dsg promção d ordm d ; T X,...,, dsg o vtor d promção d ordm do vtor solução do sstm,,,... Clculm-s os vtors promtvos X, X,..., prtr d um vtor d promção cl X, utlzdo-s do squm:,,,...,,..., j j j j j j Emplo: Método Itrtvo d Guss-Jco Sj rsolvr o sstm lr: lo método trtvo d Guss-Jco, com ε X

64 6 Rsolução: Otção d form trtv:,,, Aplcção do método: Cálculo d X : X Cálculo d ε : X X.. m > Cálculo d X : X Cálculo d ε X X.. m >

65 Cálculo d X X : Cálculo d ε : X X m <..999 é solução do sstm lr, X.99 com., otd plo.998 método trtvo d Gss - Jco. Osrvção: solução t é o vtor: X... MÉTODO ITERATIVO DE GAUSS-JACOBI - UM CRITÉRIO DE CONVERGÊNCIA O torm sgur stlc um codção sufct pr covrgêc do método trtvo d Guss-Jco. TEOREMA crtéro ds lhs Sj o sstm lr S : AX sj α j j j / S α má α < tão o método trtvo d Guss-Jco gr um sqüêc { } X covrgt pr solução do sstm ddo, dpdtmt d scolh d promção cl, X Emplo: Estud o sstm do mplo tror quto covrgêc. Rsolução:. 6

66 66 Mtrz dos cofcts: A Cálculo d,,, α :... < < < α α α m < α α { }. covrgt srá X sqüêc Emplo: Estudr o sstm : S quto covrgêc. Rsolução: Mtrz dos cofcts: 8 6 A Cálculo d,,, α : > α rmutdo-s prmr qução com sgud otém-s o sstm lr quvlt: : S cuj mtrz dos cofcts é: 8 6 A Cálculo d,,, α : < < < α α α.8 < máα α { }. covrgt srá X sqüêc

67 .. MÉTODO DE GAUSS-SEIDEL... CARACTERIZAÇÃO Os vtors promtvos são otdos trvés do squm: j j j j j j,,...,,,,... Osrv-s qu, o procsso trtvo d Guss-Sdl, o momto d s clculr, são usdos os vlors d,...,, qu já form clculdos, os vlors,..., rstts. Emplo: Rsolvr o sstm lr: usdo o método trtvo d Guss-Sdl, com: X.7.6 ε..6 Rsolução: Otção d form trtv , Aplcção do método: Cálculo d X : X Cálculo d ε : ,,,... 67

68 X X.9.6. má.8 > Cálculo d X : X Cálculo d ε : X X m < Cálculo d ε : X X , >. má Cálculo d X : solução X do sstm lr, com ε., otd plo método trtvo d Guss-Sdl, é dd por: X X Not-s qu, d fto, solução otd stsfz o crtéro ε. 68

69 ... ESTUDO DA CONVERGÊNCIA DO MÉTODO DE GAUSS-SEIDEL A CRITÉRIO DE SASSENELD O "crtéro d Sssfld" propc um codção sufct pr covrgêc do método trtvo d Guss-Sdl. Torm: Sj S : AX um sstm lr d ordm com,,,..., sjm β j j β j β j j M β m j j,,..., A codção M < é sufct pr qu sqüêc { X } grd plo método d Guss-Sdl sj covrgt dpdtmt d promção cl X. Além dsto, quto mor for β ms rápd srá covrgêc. Emplo: Estudr o sstm lr sgut quto à covrgêc sgudo o "crtéro d Sssfld": S Rsolução: Cálculo dos β, : β...7 β M má β.7 < β β sqüêc { X } grd plo método trtvo d Guss-Sdl srá covrgt. Emplo: studr o sstm lr sgut quto covrgêc sgudo crtéro d Sssfld: 9 S 69

70 7 Rsolução: > β rmutdo-s tr s s quçõs, otém-s: 9 ' ' ' ' S > β rmutdo-s tr s colus d S ' otém-s: 9 '' S / / / β β β < má M β sqüêc { } X grd plo método trtvo d Guss-Sdl pr o sstm S '' srá covrgt. B CRITÉRIO DAS LINHAS O crtéro ds lhs dz qu s < má α α, od j j j / α, tão o método d Guss-Sdl gr um sqüêc covrgt. Emplo: Estudr o sstm lr: 9 S quto à covrgêc sgudo os crtéros d Sssfld ds lhs. Rsolução: Crtéros ds lhs: ão é stsfto. crtéro ds lhs o < α α α

71 7 Crtéro d Sssfld crtéro d Sssfld é stsfto / o < < < β β β Ercíco: Ddo o sstm lr: S d-s: Vrfcr s o crtéro d Sssfld é stsfto Rsolvr por Guss-Sdl, s possívl, cosdrdo T X,,, um prcsão ε <. Rsp.: M.8 X T Ercíco: Usdo o "crtéro d Sssfld", vrfqu pr qu vlors d s tm grt d qu o método d Guss-Sdl v grr um sqüêc covrgt pr solucão do sstm S Ercíco: Rsolv o sstm o plo método d Guss-Sdl. Cosdr T X,, um prcsão < ε. 6 S Rsp.: T X.9,.,. Algortmo: Método Itrtvo d Guss-Sdl

72 Iíco * Guss-Sdl * Solct o úmro d quçõs N L N * ltur dos lmtos: mtrz vtor * r d té N ç Solct L r j d té N ç Solct,j L,j m pr m pr Solct prcsão E L E * clzção * r d té N fç ; M * ulr: úmro d trçõs * Equto M <> ç r d té N fç Tmp S r j d té ç S <> j Etão S S,j* j m S m pr * j * X -S/, S tmp > E Etão M m s m r * * m quto r d té N ç Escrv,,, m pr m * Guss-Sdl * Agrdcmto: Ao olo Computcol do Cmpus d UNES - Gurtgutá, m prtculr à qup d dgtção, cujo poo fo sscl pr produção do prst trlho. BIBLIOGRAIA. RUGGIERO, M.A.G. & LOES, V.L.R. Cálculo Numérco Aspctos Tórcos Computcos. São ulo: MAKRON Boos, DORN, W.S. & MAcCRACKEN, D.D. Cálculo Numérco com Estudo d Csos m ortr IV. Cmpus, 978. BARROSO, L.C. & outros. Cálculo Numérco com plcçõs. Edtor Hrr Ltd, 987 7