k 0 4 n NOTAS DE AULA A Integral Definida

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1 NOTS DE UL Itegrl Defd Som de Rem Teorem Fudmetl do Cálulo: Itegrl Defd Áre so um Curv [Eemplos e plções] Comprmeto de um Curv Pl Ls [ou Suve] Teorem do Vlor Médo pr Itegrs SOM DE RIEMNN Notção: k k Eemplos: 6 k k 5 6 k ( ) k k ( ). ( ). ( ). ( ) otíu R. Vmos lulr [promr] áre so urv f ( e o eo Cosdere fução pr o tervlo [, ] trvés ds áres dos retâgulos. Som Superor S áres retâgulos S. h. h. h. h S,5 (,5,5 ),75. S rel S dos retâgulos [ som superor ] Som Iferor S áres retâgulos S. h. h. h. h S,5 (,5,5),75. S rel S dos retâgulos [ som feror ] Pág de 7

2 Som om Regr dos Potos Médos S áres retâgulos S. h. h. h. h S,5 (,65,565,565,65),65 S rel S dos retâgulos [ regr do poto médo]. INTEGRL DEFINID COM LIMITE D SOM DE RIEMNN Som de Rem: S h S f ( ) Lmte d Som de Rem: S lm f ( ) Itegrl Defd: Ode: Sl [símolo] de tegrção defd Lmte feror de tegrção Lmte superor de tegrção f Pr defd de ( ( lê-se: tegrl f de té. O TEOREM FUNDMENTL DO CÁLCULO Se f ( é um fução otíu o tervlo [, ] e F ( é um tdervd (ou prmtv) de ( F ( pr qulquer [, ], etão: f, sto é, F( ) F( ) F( ) F( ) F( F( F( ) F( ) Pág de 7

3 Cosderdo o so lsdo terormete, pr fução o tervlo [, ] : Logo, áre prourd é:. S ou S,6. Prps Propreddes d Itegrção Defd: ) k k ) f ( g( g( ) v), pr v) [ so f ( ) ] EXEMPLOS E PLICÇÕES: ) Clule s tegrs dds segur e represete grfmete d so. ) ) Resolução: Resolução: () () () ( ) Portto: Portto: Grfmete: f( = Grfmete: f( = Pág de 7

4 ) Cosdere fução qudrát que é otíu R [oforme o gráfo o]. ) Clule tegrl de f ( o tervlo, ] [. ) Clule áre so o gráfo de f ( o tervlo, ] [. Resolução: ) pldo tegrl defd, temos: I ( 7.9. ) Como o tervlo ddo, plmos tegrl defd om sl egtvo pr otermos o vlor postvo d áre. ssm temos: Áre ( ) Sej fução ( se ( f otíu R. ) Determe áre etre o gráfo dest fução e o eo o tervlo [, ]. ) Determe áre etre o gráfo dest fução e o eo o tervlo, ] [. ) Resolução: Como o tervlo ddo [vej gráfo o ldo], plmos dretmete tegrl defd. ssm temos: se ( os( [ os( )] [ os()] se ( [ ( )] [ ()] [ ] [ ] Logo, áre prourd é. Pág de 7

5 ) Resolução: Modo : T [pos regão superor é gul à regão feor fução se ( ] T se( []. Modo : T T se( se( ([os( )] [os( )] ) T T T [ os( ] ( [] [ ] ) [os( ] ( ) T T Logo, áre totl prourd é T. Oservção: tegrção defd por prtes: u dv u v v du COMPRIMENTO DE UM CURV PLN LIS [OU SUVE] Se f for um fução otumete dervável o tervlo fehdo [, ] suve] f (, de té, é ddo por:, etão o omprmeto L d urv ls [ou L d ou L f [ ( )] f() B f( f() Pág 5 de 7

6 De form álog, podemos lulr o omprmeto L de um urv g( ) o tervlo fehdo [, d ] : L d d ou L g d d [ ( )] d d D Oservção: g() Cso sej oveete ou eessáro, podemos dvdr um urv em prtes pr fltr o proesso. C g() g(d) EXEMPLO: Determe o omprmeto L do ro d urv gerd pel fução / pr, ] Fç um represetção gráf pr lustrr stução. [. Pág 6 de 7

7 TEOREM DO VLOR MÉDIO PR INTEGRIS Sej um fução f ( otíu o tervlo [, ] tervlo em questão, tl que:. Etão este um Vlor Médo f M pr os vlores de ( f o M f M f ou d f ( ) om [, ] EXEMPLO: Determe o vlor médo de ( que orrespode o vlor médo luldo. f pr o tervlo, 5 ] [ e eotre tmém o vlor do domío R se puderes... Pág 7 de 7