1.6- MÉTODOS ITERATIVOS DE SOLUÇÃO DE SISTEMAS LINEARES PRÉ-REQUISITOS PARA MÉTODOS ITERATIVOS

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1 .6- MÉTODOS ITRATIVOS D SOLUÇÃO D SISTMAS LINARS PRÉ-RQUISITOS PARA MÉTODOS ITRATIVOS.6.- NORMAS D VTORS Defção.6.- Chm-se orm de um vetor,, qulquer fução defd um espço vetorl, com vlores em R, stsfzedo s segutes codções: N ) 0 e 0 se e somete se 0. N ) λ λ pr todo esclrλ. N ) y y (desguldde trgulr). Como eemplos de orms o R de uso frequete temos: ), b) m, c) Vmos mostrr que X I é um orm bem defd o R, sto é, vmos N I mostrr que s codções N, N, N estão stsfets. (A prov de que b) e c) defem orms o R fc crgo do letor). Assm: N ) 0 (evdete) 0 0 0, θ N ) λ λ λ λ λ 5

2 N ) y ( y ) ( y ) ( y )... ( y ) y y y y y y y y Usdo desguldde de Schwrtz: y y ; temos: y y y y ( y ) Portto: y ( y ) trdo-se rz qudrd de mbos os membros, temos que y y Logo, é um bo defção de orm. emplo de cálculo de orm. 0 Se 4 0 ( ) 0 4 ( 0) 56 m (, 0,, 4, 0 )

3 Defção.6. Dus orms e são dts equvletes se estem costtes k e k ts que k k ',. b b Como eemplos de orms equvletes, temos: ) b) c) Vmos verfcr que ; verfcção ds dems fc crgo do letor. Temos: m k m {,,, } k k k { k k k } m k. Defção.6.: Dd um seqüêc de vetores (k) e um orm sobre, dzemos que seqüêc { (k) } coverge pr se ( ) k 0, qudo k..6.- Norm de mtrzes. O couto ds mtrzes (), com s operções de som de mtrzes e produto de um esclr por um mtrz form um espço vetorl de dmesão. Podemos etão flr em orm de um mtrz A. Algums orms de mtrzes: ) A m b) A m (orm lh) (orm colu) 7

4 c) A, (orm eucld) A verfcção de que ) b) e c) cm são orms bem defds o espço vetorl ds mtrzes, fc crgo do letor. emplo de cálculo de orms: Se: A 6 4 A 6 4 A 6 0 A ( ) ½ 9 São válds s segutes desgulddes: ) A A A b) A A A c) A A d) A A Verfcção crgo do letor. Pr s orms de mtrzes,,, vle: AB A B pr qusquer mtrzes A e B. (Prove). Defção.6.4: Norms subordds. Dd um orm de vetor o R, podemos defr um orm de mtrzes, que será dt subordd el, por: A sup A A orm de mtrz ssm defd pode ser terpretd como sedo o comprmeto do mor vetor o couto mgem {A} d esfer utár { / } pel trsformção A. 8

5 Defção.6.5: Norms cosstetes. Dd um orm o R e um orm de mtrzes dzemos que els são cosstetes se, pr qulquer, A A Observção: Notemos que 0 tl que A o A 0. Nests codções: A m k tl que A k. Se um orm de mtrzes é subordd um orm do R els são cosstetes. (Prove)..7- Sstems leres - Métodos Itertvos. Um método é dto tertvo qudo forece um seqüêc de promte d solução, cd um dos qus obtdos dos terores pel repetção do mesmo tpo de processo. Um método tertvo é dto estcoáro se cd promte é obtdo do teror sempre pelo mesmo processo. Qudo os processos vrm de psso pr psso ms se repetem cclcmete de s em s pssos ele é dto s-cíclco. Agrupdo-se os s pssos de cd cclo um úco psso composto, obtemos um método estcoáro. Notção: m todo esse cpítulo usremos s segutes defções e otções: Sedo Ab um sstem ler, deotremos su solução por e su solução promd por. e - será dto erro Result: Ae r. De fto: r b - A será dto resíduo Ae A( - ) A - A b - A r sto é, o erro é solução do sstem ode os termos cohecdos form substtuído pelos resíduos. 9

6 .7.- Método de Jcob-Rchrdso Se resolver o sstem ler A b. Defmos L, D e R por: L, ; d, ; r, 0, 0, 0, Podemos etão escrever: A L D R. Supodo det (D) 0, podemos trsformr o sstem orgl em ( L D R) b D - (L R) b - D - (L R) D - b. O processo tertvo defdo por: (k) - D - (L R) (k) D - b é chmdo de Jcob-Rchrdso. Por hpótese os 0. Podemos etão dvdr cd equção pelo correspodete elemeto d dgol prcpl, o que result D I. Assm, o processo se escreverá (k) - ( L R ) (K) b ode os elemetos de L são l 0 os de R são r 0, e,,, os de b são b b,,,...,. Ou se, ddo o sstem ler: 0

7 ... b... b b O método de Jcob-Rchrdso cosste determção de um sequêc de promtes de ídce K k) prtr de vlores cs (, ( k),..., ( k), k,,,... 0) (, ( o),..., o) ( trvés do processo tertvo defdo por: (k ) (k ) 0 - (k) - k ( ) (k) b (k) b (k ) - (k) - (k)... 0 b Crtéro de covergêc Fzedo B - ( L* R*) o crtéro gerl de covergêc e escolhedo sucessvmete s orms e obtemos os crtéros: ) o método de Jcob-Rcchrdso coverge se:.) ou m (crtéro ds lhs).) m Observção: O processo tertvo pr qudo (crtéro ds colus)

8 ( k ) ( k ) ε ( k ) ode ε é um úmero postvo prevmete estbelecdo. emplo.7.: Resolver o sstem: (erro reltvo) pelo método de Jcob-Rchrdso com (0) ( 0.7, -.6, 0.6) t e ε < 0 -. Solução: Dvddo cd equção pelo correspodete elemeto d dgol prcpl obtemos: Temos: m 0.5 < portto temos o crtéro de covergêc stsfeto. Neste cso o crtéro ds colus, m 0.5 <, tmbém está stsfeto.. fetudo-se s terções defds por: (k ) (k ) (k ) -0. ( k) (k) k) ( (k) k) ( (k)

9 prtr de (0) ( 0.7, -.6, 0.6) t, resultm os segutes vlores: K 0 4 X X X Observções: - Pr ε < 0 - temos que solução do sstem é: X ( 0.99 ; -.99 ; 0.99) t ; - A solução et do sstem proposto é (, -, ) t.