Conceitos fundamentais. Prof. Emerson Passos

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1 Cocetos fudmets Prof. Emerso Pssos

2 1. Espço dos vetores de estdo. Operdores leres. Represetção de vetores de estdo e operdores. 2. Observáves. Autovlores e utovetores de um observável. Medd Mecâc Quâtc. Postuldos. Relções de certez. Mudç de bse. Dgolzção. Observáves com espectro cotíuo. Posção e mometo. Fução de od.

3 Espço dos vetores de estdo O estdo do sstem é represetdo por um vetor um espço vetorl complexo, mudo de um produto esclr hermteo. Vmos dotr otção de Drc: Vetor de estdo ket, rótulo detfcdor. Dmesoldde: é determd pel turez do sstem físco cosderdo. Estrutur de espço vetorl: estão defds s operções de som de vetores e multplcção de um vetor por um úmero complexo. ) A som de dos vetores, é um tercero vetor, que stsfz s propreddes: (1) Assoctv: (2) Comuttv: (3) Vetor Nulo : pr qulquer (4) Vetor Iverso: pr todo b) O produto de um vetor por um úmero complexo c é o vetor c que stsfz s propreddes: (b1) Assoctv: (b2) Dstrbutv: c1c 2 c1 c2 c c c c (b3) 1 pr qulquer c c c Um vetor de estdo cotém tods s formções sobre o estdo físco do sstem.

4 Produto Esclr Hermteo: operção que ssoc todo pr de vetores > e > um úmero complexo que será dcdo pelo símbolo (,), stsfzedo s propreddes: (p1),,, (p2), c c, (p3),, (p4), é rel 0,, 0 Cosequêc ds propreddes: Lerdde do produto esclr com respeto o segudo rgumeto e tlerdde com respeto o prmero rgumeto, c1 c2 c1, c2, c c, c, c, Ortogoldde: Dos vetores são ortogos se, 0 Norm:, 1/ 2, 1 vetor de estdo ormlzd o

5 Se o espço dos vetores de estdo tem dmesão N, exste um bse de vetores de estdo dd por N vetores ortoorms,,, j 1, N j j, tl que qulquer vetor de estdo pode ser escrto como: N 1

6 Espço Dul. Brs Ddo um espço vetorl podemos defr fuções leres com vlores complexos dos vetores do espço, c c c c Lerdde: ) Som de fuções leres b) Produto d fução ler por um úmero complexo: (1) Assoctv: (2) Comuttv: (3) Fução Nul: 0, pr qulquer (4) Fução Ivers: = (b1) Assoctv: (b2) Dstrbutv: (b3) 1 c c c1c 2 c1 c2 c c c c c c c Estrutur de espço vetorl: Espço Dul do espço de prtd. Correspodêc dul: A cd vetor > ssocmos um fução ler < tl que o seu vlor o vetor > sej,

7 N otção de Drc, um vetor do espço dul é chmdo de br. Os produtos esclres etre dos vetores do espço vetorl precem como brckets brcket Correspodêc etre vetores do espço vetorl e do espço dul é tl que c DC DC c c DC c c c Dd um bse o espço vetorl podemos chr um bse correspodete o espço dul: DC DC tl que,

8 Operdores Leres Ação de um operdor ler um vetor do espço vetorl trsform esse vetor em outro vetor do mesmo espço: Xˆ Lerdd e : Xˆ c c c Xˆ c Xˆ ) Som de operdores leres Xˆ Yˆ Xˆ Yˆ (1) Comuttv: Xˆ Yˆ Yˆ Xˆ (2) Assoctv: Xˆ Yˆ Zˆ Xˆ Yˆ Zˆ Xˆ Yˆ Zˆ b) Produto de operdores leres XY ˆ ˆ Xˆ Y ˆ (b1) Não-Comuttv (em gerl): XY ˆ ˆ (b2) Assoctv: Xˆ YZ ˆ ˆ XY ˆ ˆ Zˆ YX ˆ ˆ

9 Represetção de vetores de estdo e operdores um dd bse:, 1,2, 1) Vetores de estdo são represetdos em termos de sus compoetes ess bse: 2) Um operdor ler é represetdo em termos de um mtrz determd trvés d ção do operdor em cd um dos vetores d bse: m m m m m m m m X X X X X ˆ ˆ ˆ bse. que represeto vetor de estdo d mtrz colu elemetos bse. ˆ d mtrz que represeto operdor elemetos ˆ X X X m m

10 Ddo um operdor Xˆ defmos o operdor hermteo cojugdo, ˆX, trvés d relção ˆ X X Represetção um dd bse mtrz complex cojugd d trspost d mtrz que represet Xˆ, X Xˆ Xˆ X m m m m Correspodêc dul Xˆ DC Xˆ Propreddes Xˆ Xˆ cxˆ c Xˆ ˆ Xˆ Yˆ Xˆ Yˆ XY ˆ ˆ Yˆ Xˆ Operdor Hermteo: Xˆ Represetção um dd bse X m X m Operdor At-hermteo: Xˆ Xˆ Xˆ

11 Resolução d detdde Operdores de projeção: Sej um vetor de estdo ormlzdo, 1. Defmos o operdor: ˆP Propreddes ) Hermteo: b) Idempotete: Pˆ Pˆ 2 Pˆ Pˆ Pˆ Qˆ 1ˆ Pˆ Qˆ Qˆ Pˆ 0 Qˆ 1ˆ Pˆ operdor de projeção complemetr à Pˆ Todo vetor de estdo pode ser decomposto som de dos vetores ortogos d form: ˆP Qˆ

12 Se é tomdo gul à um dos vetores de um bse ortoorml : Em prtculr expsão: ˆ P Pˆ Pˆ 1ˆ relção de completez Vmos exemplfcr como os operdores troduzdos e otção de Drc fcltm os cálculos MQ: ) Expsão de um vetor de estdo em termos de sus compoetes bse : ˆ P ) Represetção de um operdor ler Xˆ bse : ˆ ˆ ˆ ˆ X ˆ P X P X X m m, m m, m m m m

13 Mudç de Bse Dus bses dstts o espço de vetores de estdo: Uˆ Uˆ operdor utáro Uˆ Uˆ UU ˆ ˆ 1 ˆ Uˆ j j j j j j U Uˆ mtrz utár que represet Uˆ bse j j Ddo um ket qulquer, como se relcom os coefcetes d su expsão s U dus bses? j j j U U mtrz colu que represet o vetor bse mtrz colu que represet o vetor bse

14 Qul relção etre s mtrzes que represetm um operdor s dus bses? Xˆ Xˆ Xˆ Xˆ j j j j, j, j Xˆ U Xˆ U j k k l lj kl, X U X U X X U mtrz que represet o operdor Xˆ bse, mtrz que represet o operdor Xˆ bse, mtrz utár que relco os vetores d bse os vetores d bse. com

15 Observáves. Autovetores e utovlores de um observável.

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17 Medds MQ: Postuldos

18 A probbldde é sempre ão-egtv e som ds probblddes de se medr todos os utovlores de um observável é gul um; p(, ) 2 p(, ) 1 Vlor médo ds medds de um observável se o sstem está o estdo : Aˆ p(, ) Etão: Aˆ Aˆ Geerlzção qudo exste degeerescêc: Cso ão-degeerdo p(, ) Pˆ Pˆ Pˆ 1/ 2 Pˆ projetor o estdo 2

19 Cso degeerdo Clculmos s probblddes como mostrdo cm, ode gor o subespço degeerdo de utovlor : ˆ P é o projetor d Pˆ, k, k k1 Probbldde de um medd do observável  de chrmos o vlor : d k1 p(, ) Pˆ, k 2

20 Observáves comptíves. Cojuto completo de observáves comptíves. Como determr um bse do espço de vetores de estdo? Observáves comptíves: Dos observáves são comptíves se. Propreddes

21 Vetores d bse, b utovetores smultâeos dos observáves comptíves  e ˆB. l Dus possblddes: 1. Ddo um pr de utovlores de  e ˆB exste pes um utovetor smultâeo de  e ˆB com esse pr de utovlores. Nesse cso podemos rotulr os estdos d bse pelos pres de utovlores,, b, e os observáves comptíves  e ˆB são um l cojuto completo de observáves comptíves. 2. Qudo multplcdde permece devemos chr um sére de observáves comptíves etre s, Aˆ, Bˆ, Cˆ, tl que ddo o cojuto de utovlores desses observáves exste pes um utovetor smultâeo de Aˆ, Bˆ, Cˆ, com esse cojuto de utovlores. Nesse cso, os observáves comptíves Aˆ, Bˆ, Cˆ, são um cojuto completo de observáves comptíves.

22 Como determr um bse o espço de vetores de estdo?  e ˆB observáves comptíves Selecomos os vetores d bse fzedo medds smultâes dos observáves  e ˆB. Probbldde de s medds sucessvs cm chrmos os vlores, bl : 2 ˆ, bl P Prob Pˆ, ˆ, 1/ 2 bl P bl Pˆ 2 2

23 Observáves comptíves Medds de observáves comptíves

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27 Dgolzção. Solução d equção de utovlores pr um operdor hermteo.

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30 Relções de certez

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34 Observáves com um espectro cotíuo

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36 Operdor posção

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40 Trslção. Operdor mometo 3D.

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