Proposta de resolução do Exame Nacional de Matemática A 2016 (1 ạ fase) GRUPO I (Versão 1)

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1 Propost de resolução do Eme Nconl de Mtemátc A 06 ( ạ fse) GRUPO I (Versão ). Sbemos que P(A) =, P(B) = e P(A B) = Assm, P(A B) P(A B) = = 6 P(B) 6 P(A B) = 6 0 P(A B) = 6 0 P(A B) = 0 Tem-se que P(A B) = P(A) + P(B) P(A B). Então P(A B) = P(A B) = P(A B) = 0 Opção (C). X ~ N(0, d) Sbemos que P(7 < X < 0) = 0, e tendendo que 0 é o vlor médo d vrável letór X, concluímos que P(0 < X < ) = 0, e que P(X > 0) = 0,5. 0,5 0, 0, 0, 0, 7 0 Logo, P(X > ) = P(X > 0) P(0 < X < ) = = 0,5 0, = = 0, Opção (B) Edções ASA, Mtemátc A, 06

2 0 0 e. (e lm = Æ lm ) = Æ ( )( + ) e = lm = Æ + e = lm lm = Æ 0 Æ lmte notável = = Opção (B) 4. Sbemos que D f = R e que o gráfco de f dmte um ssíntot oblíqu. Se y = m + b um equção dess ssíntot (m, b R). Tem-se que lm Æ f() lm Æ e + = f() e lm + lm = Æ f() 0 lm + = Æ f() lm + 0 = Æ f() lm = Æ Æ f() + e =. Então, Logo, o declve dess ssíntot é gul. Opção (D) 5. A [OPQR] = Q R + O P P Q sen + A [OPQR] = cos = sen = cos = sen = cos = = cos sen cos Cálculo ulr: Se I o ponto de nterseção de QR com O. Tem-se que: Q R = Q I + R I = + ( sen), pos R I > 0, ms sen < 0 á que pertence o 4.º qudrnte. Opção (D) Edções ASA, Mtemátc A, 06

3 6. csq é o compleo smétrco de csq: z = csq = cs(q + p) p 5p Como p < q <, então p < q + p <, sto é, p + q pertence o prmero qudrnte, ou se, mgem geométrc do compleo z pertence o prmero qudrnte. Opção (A) 7. B A B C = = B A B C cos(abˆc) = = cos0º = = = = Cálculo ulr: Como o trângulo [ABC] é sósceles, AĈB = BÂC = 75º. Logo, ABˆC = 80º BÂC BĈA = = 80º 75º 75º = = 0º Opção (C) kn + kn k 8. lm (u n ) = lm = lm = lm = n n n lm (v n ) = lm ln + = ln lm + = ln e = n n 44 e k Como lm (u n ) = lm (v n ), vem que =, sto é, k =. n k Opção (B) Edções ASA, Mtemátc A, 06

4 GRUPO II. Cálculo ulr: + = ( ) + ( ) = + = 4 = Se um rgumento de +. Então, tg = º Q tg = º Q p Então, por eemplo, = p Assm, + = cs 8 csq Então, z 8 csq = 4 csq + cs p p Logo, p z = 4 cs q. Donde, p z z = 4 cs q cs(q) = p = 4 cs q + q = p = 4 cs + q p p z z é um número rel se e somente se + q = kp, k Z, ou se, q = + kp, k Z. Cálculo ulr: p p k = q = + p = ]0, p[ p 4p k = q = + p = ]0, p[ p k = 0 q = ]0, p[ p Como q ]0, p[, então q =.... Se X: produto dos números ds dus bols retrds. Os produtos possíves são: = = 4 = 4 = 4 4 = 8 4 Edções ASA, Mtemátc A, 06

5 Assm, P(X = ) = 4 C 6 C 6 6 P(X = ) = 4 C 4 C 6 C 6 P(X = 4) = 4 C C + 4 C 0 5 C 6 8 P(X = 8) = 4 C C 4 C 6 Logo, 4 8 P(X = ) º Processo 8 C 5 C 4 = 80 Pr que o número obtdo se ímpr, posção do lgrsmo ds unddes terá que ser ocupd por um bol numerd com o número, o que pode ser feto de um únc mner. Depos de colocd, restm oto posções pr desss escolermos três pr colocr s restntes bols numerds com o número, o que pode ser feto de 8 C mners possíves. Por cd um dests mners estem cnco posções pr desss escolermos qutro pr colocr s bols numerds com o número, o que pode ser feto de 5 C 4 mners possíves. E por cd um dests mners, este pens um modo de colocr bol numerd com o número 4..º Processo 8! = 80! 4! Pr que o número obtdo se ímpr, posção do lgrsmo ds unddes terá que ser ocupd por um bol numerd com número, o que pode ser feto de um únc mner. Sobrm, ssm, três bols numerds com o número, qutro com o número e um com o número 4. 8! é o número de mners dstnts de permutr oto elementos dstntos entre s. Porém, como s três bols numerds com o número são gus e s qutro bols numerds com 8! o número tmbém são ndstnguíves, consdermos o quocente.! 4!... Um vez que superfíce esférc tem centro no ponto A(,, ) e é tngente o plno Oy, (z = 0), o seu ro é gul. Assm, um condção que defne superfíce esférc é: ( + ) + (y ) + (z ) =, sto é, ( + ) + (y ) + (z ) =. Edções ASA, Mtemátc A, 06 5

6 .. Como prâmde [ABCDV] é qudrngulr regulr e su bse [ABCD] é prlel o plno Oy, bcss e ordend do ponto V são gus à bcss e à ordend, respetvmente, do ponto médo, M, do segmento de ret [AC]. + + M [AC] =,, = (,, ) Então, s coordends de V são de form V(,, c), com c R. Atendendo que V pertence o plno BCV, s sus coordends têm que stsfzer condção y + z 0 = 0. Assm, + c 0 = 0 c = 0 6 c = 4. Logo, V(,, 4)....º Processo Comecemos por determnr um equção crtesn do plno. Como é perpendculr à ret AC, então o vetor A C é um vetor norml o plno. A C = C A = (,, ) (,, ) = (,, 0) Assm, o plno é defndo por um equção do tpo: + y + 0z + d = 0, sto é, + y + d = 0 Como P(,, ) pertence o plno, vem que + ( ) + d = 0 Logo, 4 + d = 0 d = 6 Tem-se, então, que um equção crtesn do plno é: + y + 6 = 0, sto é, + y + = 0 Se r ret de nterseção dos plnos e BCV. A ret r é defnd por: + y + = 0, e tem-se que: y + z 0 = 0 y = + y = 0 z = y = 0 z y 0 y = y = 0 z z 0 Logo, ret r pss no ponto de coordends (, 0, 0) e tem dreção do vetor r (,, ). Portnto, um equção vetorl d ret r pode ser (, y, z) = (, 0, 0) + k(,, ), k R..º Processo Comecemos por determnr um equção crtesn do plno. Como é perpendculr à ret AC, então o vetor A C é um vetor norml o plno. A C = C A = (,, ) (,, ) = (,, 0) 6 Edções ASA, Mtemátc A, 06

7 Assm, o plno é defndo por um equção do tpo: + y + 0z + d = 0, sto é, + y + d = 0 Como P(,, ) pertence o plno, vem que + ( ) + d = 0 Logo, 4 + d = 0 d = 6 Tem-se, então, que um equção crtesn do plno é: + y + 6 = 0, sto é, + y + = 0 Se r ret de nterseção dos plnos e BCV. A ret r é defnd por: + y + = 0, e tem-se que: y + z 0 = 0 = y z = 0 y = + y z = 0 y Assm, s coordends de um ponto genérco d ret são do tpo ( + y, y, 0 y) com y R. Assm, um equção vetorl d ret r pode ser (, y, z) = (, 0, 0) + k(,, ), k R Clculemos os etremos d função em [0, ], começndo por determnr epressão nlítc de : (t) = 0 + cos(pt) + (t sen(pt)) = p = 0 + (cos(pt)) + t sen(pt) + t (sen(pt)) = p = ( p) sen(pt) + sen(pt) + t (p) cos(pt) = p = sen(pt) + sen(pt) + pt cos(pt) = = pt cos(pt) Zeros de em [0, ]: pt cos(pt) = 0 pt = 0 cos(pt) = 0 t = 0 pt = p + kp, k Z p kp t = 0 t = +, k Z p p k t = 0 t = +, k Z 4 Em [0, ], os zeros de são 0, (pr k = 0) e (pr k = ). 4 4 Edções ASA, Mtemátc A, 06 7

8 t Snl de Monoton de p (0) mín. 4 Má. 4 mn. () Má. Os mínmos reltvos d são: (0) = 0 + cos0 + 0 sen0 = 0 + 0,6 p p = 0 + cosp + senp = 4 p p p = 0 + cos + sen = p 4 = ( ) = p 4 =,5 Os mámos reltvos de são: = 0 + cosp + senp = 4 p p p = 0 + cos + sen = p 4 = = p 4 = 0,5 () = 0 + cos(p) + sen(p) = ,6 p p Assm, o mámo bsoluto de é M = 0,5 e mínmo bsoluto de é m =,5. Logo, A = M m = 0,5,5 =, sto é, A = metro. 8 Edções ASA, Mtemátc A, 06

9 4.. Consderndo nel de vsulzção em que [0, ] e y [, ], obtém-se segunte representção gráfc d função e d ret de equção y =,5: y y =,5 O b t Tem-se que 0,606 e b 0,877. Logo, b 0,7. No conteto do problem, tl sgnfc que durnte o mnuto em que se medu osclção de tbulero d ponte, dstânc de um ponto P do tbulero um ponto fo do vle fo nferor,5 metros durnte promdmente 0,7 mnutos Sbe-se que p é o vlor d dervd d função f em =. f() f( ) Assm, p = lm = f ( ) = Æ + = e (( ) + ( ) + ) = = e = e Logo, q = = = e p e Como p corresponde o declve d ret tngente o gráfco de f no ponto de bcss, e q =, então q é o declve de qulquer ret perpendculr à ret tngente o gráfco de f p no ponto de bcss. 5.. Comecemos por determnr epressão nlítc de f. f () = (e. ( + + )) = = (e ). ( + + ) + e. ( + + ) = = e. ( + + ) + e. ( + ) = = e ( ) = = e ( + + ) Edções ASA, Mtemátc A, 06

10 Zeros de f em R: e ( + + ) = 0 e = = 0 equção mpossível = ± 4 + = = + Snl de f Sentdo ds concvddes do gráfco de f PI PI O gráfco d função f tem concvdde voltd pr cm em ], [ e em ], + [, e concvdde voltd pr bo em ], [. Ns bcsss dos pontos de nfleão do gráfco de f são e Como f é um função contínu no seu domíno, ], [ ], + [, vsto resultr de operções entre funções contínus neste domíno, então pens s rets de equção = e = poderão ser ssíntots do gráfco de f. Assm: lm f() = lm ln = ln = ln(+ ) = + Æ Æ + 0 Logo, ret de equção = é ssíntot vertcl do gráfco de f. 0 lm f() = lm ln = ln + = ln(0 + ) = Æ + Æ + + Logo, ret de equção = é ssíntot vertcl do gráfco de f. 6.. Determnemos equção d ret secnte o gráfco de f nos pontos (, f()) e (, f( )), começndo por clculr o seu declve, m. ln ln f() f( ) + + m = ( ) + + ln + ( ) ( + ) ln ( + ) ( ) 0 Edções ASA, Mtemátc A, 06

11 ( ) ( ) ln ( + ) ( + ) ( ) ln ( + ) ln + ln + ln + f() =, que é gul. f() Assm, ret tem equção y = + b. Como o ponto (, f()) pertence est ret, vem que: f() f() = + b f() = f() + b b = 0 Como ordend n orgem (b) é zero, podemos conclur que est ret pss n orgem do referencl. Edções ASA, Mtemátc A, 06