SISTEMAS DE LEONTIEF SINOPSE 1 AS MATRIZES DE LEONTIEF E JONES. = 1, 2,..., n em proporções fixas, ou seja, a quantidade de unidades. ,..., x n.

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1 SSTEMS DE EONTEF Jorge Pulo rúo Nl de Jesus de Souz SNOPSE O oetvo deste rtgo é presetr lgus resultdos clásscos pr estêc de soluções ão egtvs pr sstems leres comus em álse de sumo-produto O teto é dvddo em dus seções N prmer é presetd mtrz dos coefcetes téccos que é o fudmeto d álse de sumo-produto são defds s mtrzes de eotef e Joes e são eplcdos os sstems fudmets N segud seção presetm-se codções pr estêc de soluções ão egtvs pr os sstems leres de eotef demostr-se o muto em cohecdo teorem de Hws-Smos defe-se rz de Froeu e otem-se sére de Newm pr mtrz de eotef e Joes Plvrs-chve: sumo-produto sstems leres S MTRZES DE EONTEF E JONES O modelo de sumo-produto fo desevolvdo décd de 930 por Wssl eotef que em 973 receeu o prêmo Noel por su crção Seu sucesso se deve o fto de utlzr ddos d ecoom rel que podem ser otdos de mer reltvmete fácl Os ecoomsts teórcos vrm ele um modelo smples de equlíro gerl dequdo pr testes empírcos; os ecoomsts voltdos pr o plemeto ecotrrem ele um ulr vloso eotef mgou ecoom dvdd em setores produzdo e cosumdo es e se fou s trocs etre esses setores s suposções áscs de seu modelo são: estem setores produzdo es dedos por que são cosumdos comerclzdos ou vestdos; cd setor produz um úco e eclusvo em; setores dferetes produzem es dferetes; em outrs plvrs este um relção um um etre es e setores; c cd setor produz o em correspodete trvés do cosumo dos es em proporções fs ou se qutdde de uddes cosumds dos es respectvmete por udde do em produzdo é costte Teor Evd Eco Psso Fudo v 6 p 5-44 ov 998

2 6 Notemos por d demd fl do em ; d represet s qutddes do em reservds pr cosumo govermetl eportção vestmeto e cosumo fmlr Sem v v v os vlores dcodos dos es Estem o modelo de sumo-produto dus epressões áscs: o sstem ler d pr que represet estrutur de produção e v pr que represet o fluo de vlores ecoom Represetmos por qutdde do em produzdo pelo setor ecessáro pr produção do em ou se represet o cosumo tersetorl Etão com se em d pr defmos o coefcete técco pr que é qutdde ecessár do em pr produzr um udde do em Portto d pr Escrevedo form mtrcl terímos d d

3 7 ou se se X D d etão X X D Portto X D ode é mtrz detdde mtrz é dt mtrz dos coefcetes téccos; o vetor D é dto vetor de demd Escrevedo o sstem X D eplctmete otemos s equções cm são chmds equções de álse terdustrl de eotef O prolem é oter o produto X em fução d demd D ou se resolver o sstem cm Se mtrz - é versível etão X - D mtrz - é chmd mtrz de eotef Ess mtrz os permte clculr s qutddes tots ecessárs dret e dretmete pr produção de em fução ds demds fs d d Se escrevemos etão represet vrção qutdde qudo umetmos demd d de um udde Por sso dz-se que o coefcete d mtrz de eotef represet o mpcto d demd pelo em produzdo o setor O mpcto totl pr trás que o setor cus ecoom é ddo por Estmos meddo s qutddes dos es produzdos s sus uddes orgs de medd ou se ferro em toelds e utomóves em uddes O coefcete técco represet qutdde do em su udde usul de medd ecessár pr produção de um udde do em tmém meddo su udde orgl N prátc sso é mpossível; por sso utlzmos em vez ds uddes orgs os fluos moetáros susttudo por d d d

4 8 p p p p Defmos um udde físc comum todos os es que correspode à qutdde físc do em que podemos dqurr com um udde moetár Nesse cso represet tto qutdde do em quto o preço dess qutdde Qudo todos os es estão epressos em uddes moetárs epressão que é desprovd de setdo se ão temos um udde comum de medd pss respresetr o totl de comprs do setor Defmos que represet frção do em cosumd produção do em ou frção do vlor desse em corpord por udde do em Oserve-se que epressão v represet dfereç de vlor etre o vlor do em e o vlor dos sumos empregdos que defmos como o vlor dcodo v Podemos escrever epressão cm como ou v v pr Escrevedo form mtrcl

5 9 ou [ ] [ ] t t X V v v ode X t e V t são os vetores X e V trspostos Se mtrz é versível etão X V t t mtrz - é dt mtrz vers de Joes prtr d epressão cm otemos v v v portto dc vrção de vlor o setor se umetr de um udde o vlor de ved do setor Dsso se deduz que dc vrção de vlor gregd o setor umetdo o vlor de ved de um udde O úmero represet o vlor pgo pr o setor pelo setor pr cd udde de produzd ou v pr Trspodo o sstem X t V t temos t - V X t X V

6 30 Escrevedo eplctmete temos: v v v EXSTÊNC DE SOUÇÕES Nos sstems presetdos questão ão se reduz ecotrr soluções ou ser se s mtrzes de eotef e de Joes estem Temos sstems leres ode 0 pr e Y 0 sto é 0 { } Queremos estelecer codções so s qus este solução X 0 Dzemos que o sstem ler B X Y é; frcmete solúvel se pr lgum Y > 0 este solução X 0 ; fortemete solúvel se Y 0 este solução X 0 Pr um mtrz B dzemos que B cumpre codção de Hws- SmoH S se

7 3 > 0 > 0 > > 0 Teorem s codções e H S são equvletes sto é H S Prov H S O sstem é frcmete solúvel Portto este Y > 0 tl que o sstem B X Y tem solução X 0 Prmermete oservemos que 0 > e > 0 pos 0 pr 0 Etão > 0 Provemos proposção por dução em Pr o resultdo é óvo pel oservção teror Supodo o resultdo pr cosderemos o sstem Como > 0 podemos elmr por lh-redução pr e oter um sstem equvlete

8 3 0 0 ode e Como 0 0 e 0 > pr etão 0 pr e 0 > pr O sstem é frcmete solúvel pos 0 Pel hpótese de dução pr 0 > ms

9 33 pos > H S prov é tmém por dução sore Pr o resultdo é óvo pos por hpótese 0 se 0 etão 0 Supodo o resultdo > váldo pr otemos Pr o sstem temos cosderemos o sstem > 0 > Etão por lh-redução pos por hpótese > 0 Portto vle H S pr o sstem de ordem e como 0 pr 0 se ; etão Por hpótese de dução o sstem é fortemete solúvel Como 0 etão e portto o sstem 0 tem solução 0 Neste cso

10 34 0 Evdetemete 0 é solução de e o resultdo é váldo pr ou se é fortemete solúvel Óvo Cosderemos sstems d form que chmmos sstem ásco e chmdo sstem dul Sem r e s Teorem Crtéros de Bruer-Solow Se > r vlem H S pr o sstem ásco Se > s vlem H S pr o sstem ásco Prov: Se

11 35 é solução desse sstem Portto o sstem ásco é frcmete covergete Oserve-se que ão é possível relr codção r > pr r Se o sstem é solução desse sstem Etão o sstem dul é frcmete covergete; portto vle H S pr o sstem dul ou se pr 0 > Como o determte de um mtrz M é gul o determte d mtrz trspost M t cocluímos que

12 36 > 0 pr ou se vle H S pr o sstem ásco Do poto de vst ecoômco é rzoável egr ou se e < pr < pr ou se < pr < pr Portto os crtéros de Bruer-Solow ssegurm estêc de soluções ão egtvs pr os sstems X D e t X V Dzemos que B stsfz e H S cso o sstem B X Y stsfç s codções e H S Se B um mtrz dzemos que B é ão egtv B 0 se 0 pr ; cso > 0 pr dzemos que B é postv e escrevemos B > 0 D mesm mer defmos um vetor X 0 ou X > 0

13 37 Teorem 3 Se B 0 mtrz tl que 0 se B - este e B 0 se e só se B stsfz H S Prov Se B - este e B 0 etão solução do sstem B X C é dd por X B C 0 Portto o sstem B X C é fortemete solúvel ou se B stsfz H S Se 0 E 0 o vetor δ δ δ δ ode 0 δ se e δ se Como vle H S etão o sstem B X E tem solução X 0 mtrz cus colus são s soluções X é mtrz vers B - Como X 0 etão B 0 Coroláro 4 Se mtrz 0 R 0 se e só se stsfz H S Se mtrz 0 R defmos o couto M { R se stsfz H S} Teorem 4 Se mtrz 0 R Prov Cosderemos s mtrzes Como M λ e 0 λ

14 38 p é um polômo utáro de gru em etão lm Portto pr vlores sufcetemete grdes de r r Î M ou se M ¹ 0 Dgmos que M se etão Como M c 0 o sstem c tem solução 0 ms c c Portto o sstem c solução 0 ode c > 0 ogo stsfz e M se M etão 0 Supohmos que < 0 se tem Provemos que etão δ δ δ pr Portto 0 0 logo ão stsfz Se f M λ Provemos que M λ Se λ M etão ddo c > 0 este 0 tl que λ c Como c > 0 este R ε tl que c ε > 0 Etão λ ε c ε > 0 ou se λ ε M o que é um cotrdção coclusão de tods s oservções cm é que M é um tervlo erto d form λ com λ 0 Teorem 6 Se 0 mtrz etão λ é utovlor de e este um utovetor 0 de ssocdo o utovlor λ Prov

15 39 Femos c > 0 Se M o sstem c solução 0 desgemos ess solução por Se > como c 0 ou tem um úc etão Portto 0 Etão 0 o que mplc Se r > r > ¼ > r m >¼ > l um seqüêc decrescete covergdo pr l Pelo que estelecemos cm temos r r ¼ r m ¼ seqüêc de vetores r m ão é lmtd em  Se ess seqüêc fosse lmtd etão ter suseqüêc lmtd pelo teorem de Bolzo-Weerstrss que ssegur que tod suseqüêc lmtd em  tem suseqüêc lmtd Se um suseqüêc covergete de r m covergdo pr ³ 0 etão m m c m λ Como c > 0 etão l e M que semos que é flso pelo teorem teror Portto m Por outro ldo m m S ode S é esfer dos vetores Weerstrss este R tl que Pelo teorem de Bolzo- m S m Etão e 0

16 40 m c m m m c ms 0 m e m m λ Portto m λ 0 ou se l é utovlor de e ³ 0 é utovetor ssocdo Se mtrz defmos ϕ sup λ λ é utovlor rel de } é rz de Froeus de Pr ³ 0 cmos de provr que l é utovlor e como pr todo r > l r Î M etão l é rz de Froeus de em 7 Se 0 e Prov Dgmos que 0 R tl que µ 0 µ λ µ c etão µ c 0 Se µ > λ o sstem µ c tem um úc solução 0 como 0 etão µ λ Teorem 8 Se Prov Se ω C é utovlor compleo de 0 ω λ C utovetor ssocdo o w sto é ω ω pr d ω pr ou

17 4 Se R etão ω o que mplc que ω λ Teorem 9 Se B mtrz tl que 0 pr B stsfz H S se e só se prte rel de todo o utovlor de B é postv Prov Se B Escolhedo r sufcetemete grde temos 0 Se l rz de Froeus de Se um utovlor de B 0 det β B det β det β etão B é utovlor de Portto β λ Rel β β λ < etão etão Rel β > 0 Supohmos que w é utovlor de B e que Relw>0 Se R B utovetor ssocdo o l etão B λ Portto λ é utovlor de B Como R etão por hpótese λ > 0 que mplc que > λ Etão B stsfz H S Teorem 0 Se 0 mtrz l rz de Froeus de etão

18 4 > λ Prov Cosderemos 3 Como λ > etão é versível Portto 3 Como 0 etão 3 é um seqüêc ão-decrescete lmtd Etão T 3 e coseqüetemete 0 sso mplc que T Coroláro Se < λ Prov

19 43 Pelos crtéros de Bruer-Solow semos que s codções H S são t t stsfets pels mtrzes e portto λ λ < ogo temos que e Podemos oter um estmtv do erro cometdo qudo trucmos sére em Se sup{ } e S etão e se S S Etão sup{ } S REFERÊNCS BBOGRÁFCS DORFMN Roert SMUESON Pul SOOW Roert er progrmmg d ecoomc lss McGrw-Hll 958 MER Rold BR Peter put-output lss: foudtos d etesos Pretce-Hll 985 NDO Huue Cove structure d ecoomc theor cdemc Press 968 SOUZ Nl de Jesus de Desevolvmeto ecoômco Edtor tls 997

20 44 SYNOPSS EONTF S SYSTEMS The oectve of ths rtcle s to preset some clssc results for the estece of oegtve solutos for commo ler sstems put-output lss t s dvded two sectos The frst secto presets the scs of put-output lss the mtr of the techcl coeffcets eotef s d Joes s mtrces re defed d fudmetl sstems re epled The secod secto presets codtos for the estece of o-egtve solutos for eotef s ler sstems the Hws-Smos s ver well-ow theorem s demostrted the Froeu s root s defed d Newm s seres for eotef s d Joes s mtr s oted e-words: put-output lss ler sstems SNOPSS SSTEMS DE EONTEF El oetvo deste rtículo es presetr lguos resultdos cláscos pr l estec de solucoes o egtvs pr sstems leres comues e álss de sumo-producto O teto es dvddo e dos seccoes E l prmer seccó es presetd l mtrz de coefcetes téccos que es el fudmeto de álss del sumo-producto so defds ls mtrces de eotef Joes so eplcdos los sstems fudmetles E l segud seccó se preset ls codcoes pr l estec de solucoes o egtvs pr los sstems leres de eotef se demuestr el mu e coocdo teorem de Hws-Smos se defe l ríz de Froeu se otee l sere de Newm pr l mtrz de eotef Joes Plrs clve: álss de sumo-producto sstems leres