Neste capítulo usaremos polinômios interpoladores de primeiro e segundo grau, que substituirão uma função de difícil solução por um polinômio.

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1 CAPÍULO INEGRAÇÃO NUMÉRICA. INRODUÇÃO Neste cpítulo usremos polômos terpoldores de prmero e segudo gru, que substturão um ução de dícl solução por um polômo. Sej :, b um ução cotíu em, b. A tegrl ded I () d, represet áre sob curv () lmtd pels rets e b e o eo o. Porém, muts vezes, tegrl ão possu prmtv ou é dícl de ser determd, etão são utlzdos métodos umércos pr su relzção. Podemos clculr áre I pel dvsão do tervlo bem, mutos tervlos meores, ecotrdo áre promd de cd um dos tervlos e somdo sus áres. Usremos dos métodos pr esse m.. REGRA DO RAPÉZIO :, Sej b um ução cotíu em, be clculemos áre dcd. b () b Dvdmos o tervlo b, em tervlos gus de medd. Cosderemos um tervlo geérco,. A áre etre curv () lmtd pels rets e = b e o eo o est dcd gur. () C ( ) B ( ) E A D Sedo grde e sucetemete pequeo, etão áre é dd por: AB CD I ( ) d áre do trpézo ABCD=., sto é, 7

2 I. ( ), com e b. Lembrdo que tegrl c b c ( ) d ( ) d ( ) d, se b c e podemos escrever que áre totl é dd por: b I I (... ) ou d A (... ) Eemplo : Determr áre lmtd pel ução () o tervlo [,], pr =. Solução: Ess ução é clmete tegrável e podemos escrever: d u. Usremos gor órmul do trpézo, ssm: () Se () o tervlo [,], pr =, Etão:,5,5,5,5,75,75 b Aplcdo órmul, segue A (... ) = (,5,5,75 ) = 8 u. Portto vleu guldde com o uso tto d tegrl como d órmul do trpézo. Eemplo : Clculr o vlor promdo d ) [;,] sej dvddo em 7 prtes., d de modo que b) Usr regr do rpézo. Solução: Usremos o gráco pr oretr determção d mgem dos potos. 8

3 ,,,6 ( ),5,98,797,9,8,,,,5,,767,55 Aplcdo órmul, segue A (... ) =,,5,55 (,98,797,9,5,,767) = =,[,855+.,655]=,.(,855+5,86)=,6859. ERRO DE RUNCAMENO COMEIDO COM O USO DA REGRA DO RAPÉZIO Sej :, b um ução cotíu em,,, como o dcdo gur que segue. be cosderemos o tervlo C Sej ( ) e ( ),e sej B ( ) A ( ) D b o erro cometdo qudo do uso d órmul do trpézo e áre verdder pr -ésmo tervlo, sto é, dereç d áre etre o rco BC e cord BC,ou d: ABCD. ( ) d - áre do trpézo Como observmos o co, pode tegrl ão possur prmtv ou presetr grde dculdde de resolução. Nesse cso desevolvemos ução dd em sere de lor. Vejmos como podemos desevolver um ução e sére de lor o poto. Assm, podemos escrever: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) '( )( ) "( ) "'( )... ( )!!! Pr ecotrrmos o erro devemos desevolver ução em sére de lor os potos e ou e ( ) e ( ), ssm () ' " ''' ( ) ( )...!! 9

4 ' () ( )' " ''' ( ) ( )... e seprdo!! " " '' ' ( ) '...!!! O desevolvmeto em sére de () e ( )' são mbs válds, etretto tomremos ' ( ) ( ) méd etre els pr cegrmos o osso objetvo. Assm, (). ' ' '' '' ( ) ' '' ''... Dess mer pssmos coecer ução () por meo do desevolvmeto de lor, que é um polômo e portto tegrável. Clculdo áre com uso d tegrl o tervlo, e substtudo, segue ' ' '' '' [ ' d ( ' ' '' '' ) = ' ''... ( d ' ' '' ) ''... = " '' d ' '... 6 '' ''...] d = " '' d = ' ' ( )... Est equção os orece um 6 estmtv do verddero vlor d tegrl o tervlo, e áre do trpézo é dd por: = A, etão o erro cometdo é dereç ds áres A d, sto é = = - " '' ' ' ( )... 6 " '' ' ' ( )... = 6 Outros utores presetm o erro em ução só do tervlo [,b] e do úmero de dvsões do tervlo, etão se m "( ) etão o erro será por ecesso. se m "( ) etão o erro será por lt.

5 Eemplo : Clculr tegrl Solução: d A tegrl cm possu prmtv dd por:, usdo Regr do trpézo pr =. () (), rctg rctg rctg Aplcdo regr do rpézo ecotrmos A,7875 Vejmos o cálculo do erro, determdo prmermete m "( ) ( ) A ução é dd por '( ) 6 e tem como dervds: ''( ) ( ) ( ), e portto o tervlo [,]: 6 "() e "() /. Logo m "( ) =/ e ( ) 8 ( b ) otl [m "( ) ].,58. 9 A A,7875,5,7775 Eemplo : Clculr tegrl,6 d,usdo regr do trpézo e pr =6. Observção: Neste cso tegrl é medt e ão temos dculdde de determr su prmtv, ssm:,6 d,6,6 = l l,6 l l l, 8 u. Com o uso d regr do trpézo segue: ()=/,,,,58,,5,,,,9 5,5,857 6,6,7778

6 ,6, 6 A (... ) =, =,,7778 (,58,5,,9,857,85 Clculdo o erro devemos ecotrr prmermete m "( ) () '( ) "() / 7,7 "( ) "(,6),8 Portto ()> (,6) e m "( ) =,7 e ( b ) (.),6 otl Eemplo 5: [m "( ) ].,7, e portto,.6 d = A,85,,8 Clculr tegrl e d,usdo regr do trpézo e pr,. Solução: Como o eucdo ão orece o úmero de dvsão do tervlo, determemos em prmero lugr esse úmero. Sedo () e determemos o vlor m "( ), ssm '( ) e ( ) logo, ução é decrescete em [,], "( ) e ( ) pos, e e, etão ução tem cocvdde voltd pr cm. Assm: Pr = "() e () / e,75 Pr = "() e ( ) m "( ) logo, ( b ) ( ). [m "( ) ].(),, ssm otl 6,6,7 5,logo deve ser mor que, sej =5. Portto o eucdo deve ser: Clculr tegrl e d,usdo regr do trpézo e pr,e =5. Se o peddo osse clculr tegrl e d,usdo regr do trpézo e pr, deverímos mpor. otl, segue, 66,6,9. 6

7 Usdo =5, segue:,,,6,8 A (... ) A,,,,58,,5,,,,9 5,5,857 5,6788 (, ,69768,579 = A,,6788 (,79),(7,68),77. REGRA DE SIMPSON Outr mer de clculr tegrl I () d b é trocr ução :, b cotíu em bpor, um trômo do segudo gru. Pr sso, dvdmos o tervlo em um b úmero pr de prtes gus de medd. A B C () I b b Etão tegrl I () d = I ( ) d. Sej um mudç de vrável Com orgem o poto e ssm, segue:,

8 () A B C () Pr ( ) A B c () c () A B c - Clculdo áre do trpézo prbólco, segue: - b A A B A B A ( A B C) d ( B C) C C A C A C, ess epressão só depede de A e C. (II) A A C. De (I) podemos escrever: A C ou A ou e substtudo em (II), segue: A A C 6 Lembrdo que pr áre I tem-se A ( ) ( ) ( ), logo:, portto: A A ( ) ( ) ( ), zedo vrr de, segue: A = ( ( ) ( ) ( )) ( ( ) ( ) ( ))... ( ) A ( ) ( b) ( ) p ímpres ppres ou d

9 A ( ) ( b) ímpres pres Cálculo do erro pr Regr de Smpso. Adotmos o erro como: b 5 () má ( ), b 8 Eemplo 6: Clculr 9 d usdo órmul de Smpso pr = 8. Resolução: Motmos tbel com s mges dos potos, sedo o tervlo ddo por: b b ,5,,5,,6667,86,5, A ( ) ( b) ( ) p ímpres ppres = = ( ) ( 8) b {,5 (,5,5,6667,5),,,86 }, Clculo do erro: Qul deve ser o úmero de dvsões pr que o erro sej meor que,, sto é, b 5 má ( ), se b, 8 determemos prmermete s dervds. () '( ) " ( ) ''' ( ) 6 e () () 5 9 (9) ( ) 5 () (),portto, ,6 m(;),, segue:, Observção: Como ós usmos =8 e ão >5 o erro obtdo ão é sgctvo, sto é, ão serve como erro verddero. Usdo =8 o erro obtdo é ddo por -,6667. Eemplo 7: 5

10 Clculr l d usdo órmul de Smpso. Determemos o úmero de dvsões, sto é, o vlor de pr que o erro sej meor que, b 5 8 determemos prmermete s dervds. ( ) l '( ) má ( ), se " ( ) ''' ( ) e,75 6 () () 6 () ( ) 6 () () 5 ( ) Logo,.6,,,,,,ssm 8 dotemos por eemplo =. Resolução: b /,5 e motemos tbel ds mges d dvsão, ssm: = b,5,5,75,,57,5596,69 Substtudo os vlores órmul de Smpso, segue: A ( ) ( b) ( ) p ímpres ppres =,5 = ( ) ( b ) =,8,69 (,,5596).,57 = =,8[,69+,+,89]=,8.,658=,86. Logo áre é dd por,86. A tegrl l d possu prmtv e é dd por: l d = = ( l ) (l ) (l ) l,869, logo se vê que o cálculo do erro é de,86-,869=,5, bem meor que o vlor egdo. Eemplo 8: 6

11 d Clculr usdo órmul de Smpso. Estmos propodo ovmete este eemplo que já o eto usdo regr do trpézo, pr comprção etre os métodos, ver pág 8. Determemos o úmero de dvsões, sto é, o vlor de pr que o erro sej meor que,. b 5 () 8 dervds. ( ) má ( ), se A ução é dd por '( ) 6 ''( ) ( ) ( ), ''' ( ) do tervlo e, segue: e () 88 8, determemos prmermete s e tem como dervds: ( ) e 8, logo o vlor 8 6 5, substtudo os etremos b m ( ) = e substtudo em má ( ), se 8, 5.,., 6,7. Portto 6,7 e deve ser pr e mor que 6,7. Usremos =8 e o erro será..., b / 8,5 e motemos tbel ds mges d dvsão, ssm: = b,5,5,75,5,65, 75, , Substtudo os vlores órmul de Smpso, segue: A ( ) ( b) ( ) p ímpres ppres =,5,5,986,8767,79,5667,98,8,6 = 7

12 ,67,5,68,88,67,5 7,956,7856 Observção: Comprdo os três resultdos segue: Usdo regr do trpézo ecotrmos: A,7875 Usdo regr de Smpso ecotrmos: AS,7856 Determdo prmtv que é dd por: () (), rctg rtg rtg Assm rctg rtg () rtg(),78598,7856,6. Eercícos de plcção 5: Clculr s tegrs usdo ) Regr do rpézo. b) Regr de Smpso. ) ) ) ) 5) cos d, sedo =6 (Resp: A,5 e AS,97 ( cos ) d ) sedo = (Resp: A,95 e AS,9589 ) sed sedo = e se = use ()= (Resp: A,9 e AS,5 ) ( ) d sedo = (Resp: A,58,889 e AS ) e ( ) d sedo = (Resp: A,7 e AS,797 ) l 6) d 7 5 sedo = (Resp: A,957,98 e AS ) 7) sedo = (Resp: A,9659 e AS,9659 ) e d 8

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