TP062-Métodos Numéricos para Engenharia de Produção Sistemas Lineares Métodos Iterativos
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- Victor Gabriel Wagner Deluca
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1 TP6-Métodos Numércos pr Egehr de Produção Sstems Leres Métodos Itertvos Prof. Volmr Wlhelm Curt, 5
2 Resolução de Sstems Leres Métodos Itertvos Itrodução É stte comum ecotrr sstems leres que evolvem um grde porcetgem de coefcetes ulos. Esses sstems são chmdos de sstems esprsos. Pr esses tpos de sstems, o método de Elmção de Guss ão é o ms proprdo, pos ele ão preserv ess esprsdde, que pode ser útl por fcltr resolução do sstem. Métodos tertvos são ms ecoômcos o que tge memór dos computdores Podem ser usdos pr reduzr os erros de rredodmeto solução otd por métodos etos Em lgus csos podem ser plcdos pr resolver coutos de equções ão leres (Ruggero, pág 5) Prof. Volmr - UFPR - TP6
3 Resolução de Sstems Leres Métodos Itertvos Itrodução Um método é tertvo qudo forece um sequêc de promções d solução. Cd um ds promções é otd ds terores pel repetção do mesmo processo. Precsmos sempre ser se sequêc otd está covergdo ou ão pr solução desed. Ddos um sequêc de vetores { () }, dzemos que sequêc { () } coverge pr se (), qudo. Prof. Volmr - UFPR - TP6
4 Resolução de Sstems Leres Métodos Itertvos Itrodução Portto, como todo processo tertvo, estes métodos sempre presetrão um resultdo promdo, que será tão prómo do resultdo rel coforme o úmero de terções relzds. Pr determr solução de um sstem ler por métodos tertvos, precsmos trsformr o sstem ddo em um outro sstem ode poss ser defdo um processo tertvo. A solução otd pr o sstem trsformdo deve ser tmém solução do sstem orgl (sstems leres devem ser equvletes). Prof. Volmr - UFPR - TP6
5 Resolução de Sstems Leres Métodos Itertvos Algortmo Escrever o sstem A =, de form equvlete = F + d (tl como f() = g() pr terções de poto fo). Escolher um promção cl (). Começdo com (), gerr um sequêc de promções { } de form tertv trvés de X ( + ) = F () + d fzedo () = F () + d, () = F () + d e ssm sucessvmete. Oservção A represetção de F e d depede do tpo de método usdo. Assm, pr métodos tertvos dferetes, F e d são otdos prtr de A e de forms dferetes. Prof. Volmr - UFPR - TP6 5
6 Resolução de Sstems Leres Métodos Itertvos Algortmo Como, seqüêc { () } coverge pr o vetor solução so lgums codções d mtrz F. Isto mpõe codções dferetes mtrz A pr dferetes métodos. Pr mesm mtrz A, um método pode covergr, equto outro pode dvergr. Portto, pr cd processo, relção etre A e F deve ser ecotrd pr decdr sore covergêc. Prof. Volmr - UFPR - TP6 6
7 Resolução de Sstems Leres Métodos Itertvos Algortmo Qudo Prr? Se sequêc { () } estver sufcetemete prómo de (-) prmos o processo. Dd um precsão ε, qudo () < ε etão () é solução do sstem ler. Computcolmete, um úmero mámo de terções tmém é crtéro de prd. Prof. Volmr - UFPR - TP6 7
8 Resolução de Sstems Leres Método Itertvo Guss-Jco Prof. Volmr - UFPR - TP6 8
9 9 Prof. Volmr - UFPR - TP6 Resolução de Sstems Leres Método Itertvo Guss-Jco Motvção Se um sstem com vráves e equções
10 Prof. Volmr - UFPR - TP6 Resolução de Sstems Leres Método Itertvo Guss-Jco Se () um solução cl pr este sstem. Clculdo o segudo vlor, (), d sequêc { () } prtr de ()...
11 Prof. Volmr - UFPR - TP6 Resolução de Sstems Leres Método Itertvo Guss-Jco Clculdo o vlor de ordem (+) d sequêc { () } prtr de () Equção gerl...
12 Resolução de Sstems Leres Método Itertvo Guss-Jco Se o sstem... Cosderdo que (+) = F () + d, etão temos / F... /... / / / /... / / d... / Prof. Volmr - UFPR - TP6
13 A terção + = F + d pr o método Guss-Jco A mtrz A pode ser rescrt como A=L+D+U (ão é decomposção) A = (L + D + U) = D + = [ (L+U) ] + = (/D)*[ (L+U) ] D é mtrz dgol formdo pelos elemetos d dgol de A U mtrz trgulr superor formd pelos elemetos cm d dgol de A L mtrz trgulr feror formd pelos elemetos o d dgol de A Fzedo Q = (U + L ), e cosderdo D tl que A = (L + D + U) Prof. Volmr - UFPR - TP6 Resolução de Sstems Leres Método Itertvo Guss-Jco Q D
14 Resolução de Sstems Leres Método Itertvo Guss-Jco Pseudo-Algortmo. Sem A e. Costru s mtrzes Q e D tl que Q = (U + L) e A = (L + D + U). Fç () = ; = ; Erro = If; Tolerc = -5 ;. whle Erro > Tolerc Q D = + ; Erro = A ; ed Prof. Volmr - UFPR - TP6
15 Resolução de Sstems Leres Método Itertvo Guss-Jco Crtéro de Covergêc ds lhs Crtéro ds lhs. Ddo o sstem A =, se α, / Se α mα, etão o método de Guss-Jco ger um sére covergete pr solução do sstem depedetemete d escolh de (). pr,,..., (mtrz dgolmete domte) Se A é um mtrz dgolmete domte, etão o método Jco coverge pr qulquer vetor cl (). Prof. Volmr - UFPR - TP6 5
16 Resolução de Sstems Leres Método Itertvo Guss-Jco Crtéro ds lhs Eemplo A 5 Crtéro ds lhs: α, α 5, α,5 Como α mα,5 logo, sequêc coverge Prof. Volmr - UFPR - TP6 6
17 Resolução de Sstems Leres Método Itertvo Guss-Jco Eemplo A mtrz dos coefcetes é dgolmete domte A 6, ,75,65 8 5, 5,75,65, A,5 Prof. Volmr - UFPR - TP6 7
18 Resolução de Sstems Leres Método Itertvo Guss-Jco Eemplo ,65,6565,75, ,75,65,5 5,656,875,5 A 6,7 7,875,5,665,6565,5, ,6565,875,8875 5,665,985,8875 A,95 A mtrz é um dgolmete domte, etão o método Jco coverge. Prof. Volmr - UFPR - TP6 8
19 A A,,, 7/5 7/5 7/5 /D d,,,,,,,,, F,,, () 9 Resolução de Sstems Leres Método Itertvo Guss-Jco Eemplo Prof. Volmr - UFPR - TP6 F d q d Solução et, A Erro:
20 Resolução de Sstems Leres Método Itertvo Guss-Jco Eemplo, () () F d,, A,897,8 () () F d,8,8 A,999,6 () () F d,6,6 A,77596,97 () () F d,97,97 A,8, (5) () F d,, A 5,67,9959 (6) (5) F d,9959,9959 A 6,97 Prof. Volmr - UFPR - TP6
21 Resolução de Sstems Leres Método Itertvo Guss-Sedel Prof. Volmr - UFPR - TP6
22 Prof. Volmr - UFPR - TP6 Resolução de Sstems Leres Clculdo o vlor (+) d sequêc { () } prtr de () Guss-Jco Guss-Sedel......
23 ... Resolução de Sstems Leres Método Itertvo Guss-Sedel Prof. Volmr - UFPR - TP6
24 Resolução de Sstems Leres Método Itertvo Guss-Sedel Prof. Volmr - UFPR - TP6 A = (L + D + U) = U L D +...
25 Resolução de Sstems Leres Método Itertvo Guss-Sedel Pseudo-Algortmo. Sem A e. Costru s mtrzes D, L e U tl que A = (L + D + D). Fç () = ; = ; Erro = If; Tolerc = -5 ;. whle Erro > Tolerc L U D K = + ; Erro = A ; ed Prof. Volmr - UFPR - TP6 5
26 Resolução de Sstems Leres Método Itertvo Guss-Sedel Crtéro de Covergêc Guss-Jco coverge pr qulquer vetor cl, se mtrz A é um mtrz dgol domte. Guss-Sedel coverge pr qulquer vetor cl se A é um mtrz defd postv. A Mtr é defd postv se T A > pr todo dferete do vetor ulo. A mtrz é defd postv, se todos os utovlores são postvos. Ms o crtéro ser dotdo pr covergêc do método Guss-Sedel será o de SASSENFELD. Prof. Volmr - UFPR - TP6 6
27 Resolução de Sstems Leres Método Itertvo Guss-Sedel Crtéro de Covergêc Crtéros de Covergêc; ) Crtéro ds lhs pr o método GAUSS-JACOBI; ) Crtéro de Sssefeld pr o método GAUSS-SEIDEL. Os crtéros cm estelecem codções sufcetes pr covergêc. Crtéro de Sssefeld Sem s qutddes dds por: β β β,,,..., Se β m{β } rápd é covergêc. o método de Guss-Sedel covergrá. Quto meor, ms Prof. Volmr - UFPR - TP6 7
28 Resolução de Sstems Leres Método Itertvo Guss-Sedel Crtéro de Sssefeld Sem e β β [ β β β ]/ β,, Se β m{β }. Se <, o método de Guss-Sedel ger um sequêc covergete pr qulquer (). Quto meor, ms rápd covergêc. Prof. Volmr - UFPR - TP6 8
29 Resolução de Sstems Leres Método Itertvo Guss-Sedel Crtéro de Covergêc de Sssefeld Eemplo A β β β β β β β β β β Se β m β. Se é meor que etão o método tertvo Guss-Sedel rá covergr pr solução do sstem. Prof. Volmr - UFPR - TP6 9
30 Resolução de Sstems Leres Método Itertvo Guss-Sedel Crtéro de Sssefeld Eemplo,,,,6,6, 7,8,,,,,,8,6 A,,,,,,6,8,,, β m β β β β β,,,6,7,6,,7,,7,,,,,7,,,8,58 m,7,,,,58,,76,7,,58 Como <, sequêc gerd pelo método de Guss-Sedel coverge pr solução do sstem A =.,76 Prof. Volmr - UFPR - TP6
31 Resolução de Sstems Leres Método Itertvo Guss-Sedel Eemplo A mtrz dos coefcetes é dgolmete domte A 6, ,75,75,5 8 5,75,5, 5,75,5, A GJ: A,,5 Prof. Volmr - UFPR - TP6
32 Resolução de Sstems Leres Método Itertvo Guss-Sedel Eemplo ,5,875,875, ,875,975,965 5,875,975,965 A GJ: A,765 6,7 7,975,965,997,997,965,99 8 5,997,99,999 5,997,99,999 A GJ: A,8,95 Qudo mos Jco e Guss-Sedel covergem, Guss-Sedel coverge ms rápdo. Prof. Volmr - UFPR - TP6
33 Resolução de Sstems Leres Método Itertvo Guss-Sedel Eemplo () F (), d,,896 () F (),9968 d,,996 () F (),996 d,, () F (),9996 d,, (5) F (), d,, Prof. Volmr - UFPR - TP6
34 Resolução de Sstems Leres Métodos Itertvos Guss-Jco e Guss-Sedel Comprção Implemetção prlel: Guss-Jco Guss Jord: L U D Guss Sedel : L U D Prof. Volmr - UFPR - TP6
Método de Gauss- Seidel
.7.- Método de Guss- Sedel Supohmos D = I, como fo feto pr o método de Jco-Rchrdso. Trsformmos o sstem ler A = como se segue: (L + I + R) = (L + I) = - R + O processo tertvo defdo por: é chmdo de Guss-Sedel.
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étodo de Elmção de Guss A de ásc deste método é trsformr o sstem A um sstem equvlete A () (), ode A () é um mtrz trgulr superor, efectudo trsformções elemetres sore s lhs do sstem ddo. Cosdere-se o sstem
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![( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Fatorial [ ] = A. Exercícios Resolvidos. Exercícios Resolvidos ( ) ( ) ( ) ( )! ( ).](/thumbs/48/23882340.jpg "( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Fatorial [ ] = A. Exercícios Resolvidos. Exercícios Resolvidos ( ) ( ) ( ) ( )! ( ).")
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