Métodos Numéricos Ajuste de Curva pelo Método dos Quadrados Mínimos-MQM. Professor Volmir Eugênio Wilhelm Professora Mariana Kleina
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- Mauro Belo Graça
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1 Métodos Numércos Ajuste de Curv pelo Método dos Qudrdos Mímos-MQM Professor Volmr Eugêo Wlhelm Professor Mr Kle
2 Método dos Qudrdos Mímos Ajuste Ler Professor Volmr Eugêo Wlhelm Professor Mr Kle
3 Método dos Qudrdos Mímos Método dos Qudrdos Mímos Ajuste Ler Motvção Sej tbel de ddos -,0-0,75-0,6-0,5-0,3 0,0 0, 0,4 0,5 0,7,0 f(),0,7,5,4,0,0 4,0 3,8 4,0 5,0 4, Observ-se que os potos precem pertecer um ret. A pergut é: qul melhor ret que os promr? Qul ret y=m+b que melhor se just os ddos? 0 -,5 - -0,5 0 0,5,5 Professor Volmr Eugêo Wlhelm Professor Mr Kle 3
4 Método dos Qudrdos Mímos Método dos Qudrdos Mímos Ajuste Ler Dá lh de melhor juste pr um grupo de potos MQM procur mmzr pr todos os potos ddos s soms dos qudrdos ds dfereçs etre o vlor d fução e os vlores ddos. É ms tg form de regressão ler. Fote: Krste Buer, Reee Metzger, Holly Soper, Amd Uklesby Professor Volmr Eugêo Wlhelm Professor Mr Kle 4
5 Método dos Qudrdos Mímos Método dos Qudrdos Mímos Ajuste Ler Eemplo Sejm os potos (,y) ={(;,), (;,9), (5; 6,), (7; 8,3)}. Supohmos que ret y=m+b que melhor se just os potos é f() = 0,9 +, (,y) y=f() cotu... Professor Volmr Eugêo Wlhelm Professor Mr Kle 5
6 Método dos Qudrdos Mímos Método dos Qudrdos Mímos Ajuste Ler Eemplo... cotução Pode-se clculr o erro e etre o vlor observdo y e o vlor estmdo trvés d equção d ret, f( ). Erros o qudrdo: = y =, f()=,3 e = (,3,)² = 0,04 = y =,9 f()=3, e = (3,,9)² = 0,09 3 =5 y 3 =6, f(5)=5,9 e 3 = (5,9 6,)² = 0,04 4 =7 y 4 =8,3 f(7)=7,7 e 4 = (7,7 8,3)² = 0,36 Assm, o Erro Totl (somtóro dos qudrdos dos erros) é E = 0,04 + 0,09 + 0,04 + 0,36 = 0,53 Procurdo coefcetes ms proprdos pr um juste melhor d ret, esse erro pode ser mmzdo. Professor Volmr Eugêo Wlhelm Professor Mr Kle 6
7 Método dos Qudrdos Mímos Método dos Qudrdos Mímos Ajuste Ler Erros $300,00 $50,00 y e 5 $00,00 $50,00 e e 3 e 4 y = b + m $00,00 $50,00 e erros $ E = (e ) + (e ) + (e 3 ) + (e 4 ) +(e 5 ) - Erro Totl Professor Volmr Eugêo Wlhelm Professor Mr Kle 7
8 Método dos Qudrdos Mímos Método dos Qudrdos Mímos Fórmul do Ajuste Ler Desej-se mmzr dstâc vertcl etre os potos e ret y=m+b e 4 e e e 3 Ecotrr equção d ret que mmz o Erro Totl E = (e ) + (e ) + (e ) + (e ) E = (e )² + (e )² + (e 3 )² + +(e )² pr potos ddos E = [f( ) y ]² + [f( ) y ]² + + [f( ) y ]² E = [m + b y ]² + [m + b y ]² + + [m + b y ]² E = (m + b y )² Professor Volmr Eugêo Wlhelm Professor Mr Kle 8
9 Método dos Qudrdos Mímos Método dos Qudrdos Mímos Fórmul do Ajuste Ler Questão: como mmzr o Erro Totl E = (m + b y )² (Erro totl) Como e y são costtes, será ecessáro ecotrr m e b que mmz o erro. E/m = 0 e E/b = 0 Vsto que epressão de E é som de qudrdos que uc são egtvos (é um prbolode vrdo pr cm), sbe-se que solução será um poto de mímo. Isto pode ser provdo usdo s dervds prcs de segud ordem. Professor Volmr Eugêo Wlhelm Professor Mr Kle 9
10 Método dos Qudrdos Mímos Método dos Qudrdos Mímos Fórmul do Ajuste Ler E = (m + b y )² é mmzdo qudo s dervds prcs em relção cd vrável são uls. I.e, E/m=0 e E/b = 0 E/b = (m + b y ) = 0 m + b = y ms + b = Sy E/m = (m + b y ) (m ² + b y ) = 0 m ² + b = y ms + bs = Sy Professor Volmr Eugêo Wlhelm Professor Mr Kle 0
11 Método dos Qudrdos Mímos Método dos Qudrdos Mímos Fórmul do Ajuste Ler Em segud deve-se resolver o sstem de equções em relção às vráves m e b ms bs Sy ms b Sy Resolvedo em relção m ms + bs = Sy mss + bs = SyS ms mss = Sy SyS m(s SS) = Sy SyS multplcdo por multplcdo por S subtrdo vrável m m Sy SyS S SS b SSy SyS S SS Professor Volmr Eugêo Wlhelm Professor Mr Kle
12 Método dos Qudrdos Mímos Método dos Qudrdos Mímos Fórmul do Ajuste Ler Outr form de escrever y m b m Σy b Σ Σy Σ Σ Σy Σ m Professor Volmr Eugêo Wlhelm Professor Mr Kle
13 Método dos Qudrdos Mímos Método dos Qudrdos Mímos Fórmul do Ajuste Ler Um medd de quão bom é o juste d ret os ddos é ddo pelo Coefcete de Correlção de Perso, gerlmete deomdo de r r y y/ / y y / O coefcete de correlção r mede o gru de relção etre dus vráves. A correlção está sempre etre - e. O vlor - correspode à correlção egtv perfet e o vlor + correspode correlção postv perfet. O coefcete de correlção (zero) dc que s dus vráves ão estão correlcods lermete. Professor Volmr Eugêo Wlhelm Professor Mr Kle 3
14 Método dos Qudrdos Mímos Método dos Qudrdos Mímos Ajuste Ler Eemplo Ache promção ler trvés dos mímos qudrdos pr os ddos: (,), (,4), (3,8) m Sy SyS S SS b SSy SyS S SS y m b S = ++3= 6 S = ²+²+3² = 4 Sy = +4+8 = 3 Sy = ()+(4)+3(8) = 33 = 3 (úmero de potos) m b y Professor Volmr Eugêo Wlhelm Professor Mr Kle 4
15 Método dos Qudrdos Mímos Método dos Qudrdos Mímos Ajuste Ler Eemplo Ache promção ler trvés dos mímos qudrdos pr os ddos f() -,00,0-0,75,7-0,60,5-0,50,4-0,30,0 0,00,0 0,0 4,0 0,40 3,8 0,50 4,0 0,70 5,0,00 4,5 y =,99457,96346 Professor Volmr Eugêo Wlhelm Professor Mr Kle 5
16 Método dos Qudrdos Mímos Ajuste Qudrátco Professor Volmr Eugêo Wlhelm Professor Mr Kle 6
17 Método dos Qudrdos Mímos Método dos Qudrdos Mímos Ajuste Qudrátco Motvção Sej tbel de ddos f() -,00,0-0,75,5-0,60 0,50-0,50 0,40-0,30 0,50 0,00 0,00 0,0 0,0 0,40 0,60 0,50 0,5 0,70,0,00,0 Vemos que os potos precem um prábol. A pergut é: qul melhor prábol que os promr? cotu... Professor Volmr Eugêo Wlhelm Professor Mr Kle 7
18 Método dos Qudrdos Mímos Método dos Qudrdos Mímos Ajuste Qudrátco Motvção... cotução f() -,00,0-0,75,5-0,60 0,50-0,50 0,40-0,30 0,50 0,00 0,00 0,0 0,0 0,40 0,60 0,50 0,5 0,70,0,00,0 Professor Volmr Eugêo Wlhelm Professor Mr Kle 8
19 Método dos Qudrdos Mímos Método dos Qudrdos Mímos Ajuste Qudrátco Fórmul O método dos qudrdos mímos pode ser esteddo pr justr os ddos polômos de mor gru f() b c, Erro : E e (f( ) y ) (b c y ) m E,b,c b c y Codções ecessárs : E(,b,c) 0, E(,b,c) b 0, E(,b,c) c 0 Professor Volmr Eugêo Wlhelm Professor Mr Kle 9
20 0 Método dos Qudrdos Mímos Método dos Qudrdos Mímos Ajuste Qudrátco Fórmul 0 y c b c E(,b,c) 0 y c b b E(,b,c) 0 y c b E(,b,c) y c b,b,c m E y c b y c b y c b Professor Volmr Eugêo Wlhelm Professor Mr Kle
21 Método dos Qudrdos Mímos Método dos Qudrdos Mímos Ajuste Qudrátco Eemplo Ajuste um polômo de segudo gru os segutes ddos =5 y, 7,7 3,6 7, 40,9 6, =5, = =979 y 0 7,7 7, 8,6 63,6 305,5 =585,6 y 0 7,7 54,4 44,8 654,4 57,5 =488,8 cotu... Professor Volmr Eugêo Wlhelm Professor Mr Kle
22 Método dos Qudrdos Mímos Método dos Qudrdos Mímos Ajuste Qudrátco Eemplo... cotução 6 5 b 55 c 5, b 5 c 585, b 979 c 488,8 Resolvedo... f(),4786,3593,8607,4786, b,3593, c,8607 f(),4786,3593,8607 Professor Volmr Eugêo Wlhelm Professor Mr Kle
23 Método dos Qudrdos Mímos Ajuste Poloml Professor Volmr Eugêo Wlhelm Professor Mr Kle 3
24 4 Método dos Qudrdos Mímos Método dos Qudrdos Mímos Ajuste Poloml º) Clculr s dervds prcs d equção do Erro totl em relção cd um dos coefcetes descohecdos: p.e. dervd prcl em relção º) Ests equções são gulds zero pr mmzr o erro totl. 3º) Este cojuto de equções result em m+ equções que podem ser resolvds usdo elmção de Guss pr determr 0,,,..., m. 4º) Utlze os coefcetes 0,,,..., m pr escrever equção do polômo. ) ( totl Erro y... E m m 0 m m 0... p m m 0... y E Professor Volmr Eugêo Wlhelm Professor Mr Kle
25 Método dos Qudrdos Mímos Ajuste Gerl Professor Volmr Eugêo Wlhelm Professor Mr Kle 5
26 Método dos Qudrdos Mímos Método dos Qudrdos Mímos Ajuste Gerl Ajustr fução f(), tl que f f f... f 0 m m O Erro Totl é E f f... f y ( Erro ) 0 m m totl º) Clculr s dervds prcs d equção do Erro totl em relção cd um dos coefcetes descohecdos. º) Ests equções são gulds zero pr mmzr o erro totl. 3º) Este cojuto de equções result em m+ equções que podem ser resolvds usdo elmção de Guss pr determr 0,,,..., m. 4º) Utlze os coefcetes 0,,,..., m pr escrever equção do polômo. Professor Volmr Eugêo Wlhelm Professor Mr Kle 6
27 Método dos Qudrdos Mímos Método dos Qudrdos Mímos Ajuste Gerl Eemplo Ajustr fução f() = (l()) + bcos() + ce os ddos. y 0,4 0,3 0,65-0,3 0,95 -,0,4-0,45,73 0,7,0 0,0,3-0,9,5 0,4 Desej- seecotrr um fução d form: f() l() bcos() ce E(,b,c) Codções E(,b,c) E(,b,c) b E(,b,c) c (f( ) y ) 8 l( ) b cos() c e y 0 0 Equções Norms 0 pr justr os ddos. ecessárs pr obter o mímo : Professor Volmr Eugêo Wlhelm Professor Mr Kle cotu... 7
28 Método dos Qudrdos Mímos Método dos Qudrdos Mímos Ajuste Gerl Eemplo... cotução 4, ,3547 b 5,9 c 0, ,3547 3,6307 b 4,485 c 0, ,9 4,485 b 35,388 c,9983 Resolvedos equções cm : 0,8885, b,074, c 0,0398 Portto, f() 0,8885 l(),074 cos() 0,0398 e cotu... Professor Volmr Eugêo Wlhelm Professor Mr Kle 8
29 Método dos Qudrdos Mímos Método dos Qudrdos Mímos Ajuste Gerl Eemplo... cotução f() 0,8885l( ),074 cos() 0,0398 e Professor Volmr Eugêo Wlhelm Professor Mr Kle 9
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