6.2 Sabendo que as matrizes do exercício precedente representam transformações lineares 2 2

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1 Cpítulo Vlores própros e vectores própros. Encontrr os vlores e vectores própros ds seguntes mtrzes ) e) f). Sendo que s mtrzes do exercíco precedente representm trnsformções lneres R R, represente s rects que se trnsformm em s próprs por plcção de.. Encontrr os vlores própros e os vectores pópros pr s seguntes mtrzes ) e) f). Encontrr os vlores própros e ses pr os espços própros ds seguntes mtrzes ). Sej R R um trnsformção lner defnd por x x x x ( ) ( ) ( ) ( ) ) Encontrr os vlores própros d trnsformção. Encontrr os espços própros d trnsformção.. Sej M M,, um trnsformção lner defnd por + ) Encontrr os vlores própros de. Encontrr os vectores própros de.. Prove que exstênc de um vlor própro λ, pr um trnsformção lner, é equvlente o fcto de ser não nvertível.. Qus s dmensões dos espços própros de cd um ds mtrzes

2 ) e) not- não clcule os vectores própros.. Encontre s mtrzes untárs que dgonlzm ) em que e são res.. Sej (, ), com e, tl que, usndo norm provenente do produto nterno usul em R ; consdere representção de em termos de um vector colun,, e defn um mtrz R de tpo trvés de [ ] R.. Mostre que λ é um vlor própro de R e determne um vector própro correspondente, de norm untár.. Determne um outro vlor própro de R e um vector própro correspondente, de norm untár. (Lemre que ).. Sej U mtrz defnd "por locos " como segue R U Verfque que U U e mostre que se λ é vlor própro de R então tmém é de U. A mtrz A é d form de U com. Afrm-se que "A é dgonzvel como mtrz rel". ) Justfque frmção nteror Concretze-, ndcndo um mtrz dgonl Λ e um ortogonl P ts que Λ P AP. (Exmes). Pr cd um ds seguntes mtrzes,,, dg, justfcndo, se é verdder lgum ds seguntes frmções - A mtrz é semelhnte um mtrz dgonl rel. - A mtrz é semelhnte um mtrz dgonl complex. Se lgum dests sserções for verdder ndque um mtrz de semelhnç.

3 Not Dz-se que mtrz B é semelhnte à mtrz A se exstr um mtrz nvertível U tl que B U AU, receendo U desgnção de mtrz de semelhnç.. Sej A um mtrz complex n n tl que A* A I, em que A* A t ( trnspost conjugd d mtrz que se otém susttundo cd elemento de A pelo seu omplexo conjugdo). Mostre que se λ é vlor própro de A então λ. Sugestão Comece por mostrr que, usndo o produto nterno usul de C n, se tem Ax, Ax x, x, pr qulquer vector x C n. (Exmes). Consdere trnsformção lner F C C que, em relção à se cnónc de C, tem representção mtrcl A Clcule os vlores própros e os vectores própros de F e ndentfque, justfcndo, se exste um se de C em relção à qul representção mtrcl de F sejdgonl. Em cso frmtvo, ndque um tl se, correspondente representção mtrcl dgonl Λ e mtrz mudnç de se S tl que Λ S AS. Resolv líne precedente pr o cso em que F é defnd como ndcdo, ms susttundo C por R. Prove que exste n N tl que F n I e clcule o menor vlor de n com est propredde. Prove que A é não-sngulr e determne s mtrzes A k, pr todo o k Z, m nturlmente consderndo A ( A ) m (Exmes), pr m N.. Sej A.. Determne os vlores e os vectores própros de A.. Clcule mtrz P que represent, em relção à se cnónc de R, projecção ortogonl (utlzndo o produto nterno usul em R ) sore o espço própro de A de mor dmensão.. Represente-se por P é mtrz de permutção cuj lnh é e, o elemento α d ( α α α α ) α se cnónc de R, pr de. Clcule o determnnte d mtrz P( ) + P( ). Sendo que os vlores res γ e δ são ts que γ δ δ + γ

4 clcule (Exmes) γ δ δγ + δ δ γδ γ γ. Consdere o espço lner V de todos os polnómos, em que s operções de dção de polnómos e multplcção por um esclr são s operções usus num espço de funções. Sejm, S dus trnsformções lneres de V em V defnds por pr qulquer p V dp ( p)( x) ( dx x ) x R S( p)( x) xp( x) x R. Mostre que S S I V, em que I V represent dentdde em V.. Use líne nteror pr mostrr que não exste p V tl que p é smultnemente vector própro de e de S. (Exmes). Consdere trnsformção lner R R que em relção à se cnónc de R tem segunte representção mtrcl A ) Clcule os vlores própros d trnsformção ssm como os correspondentes espços própros. ) Indque justfcndo se exste um se de R em relção à qul representção mtrcl de sej dgonl. Em cso frmtvo, ndque um se em relção à qul sso se verfc.. Clssfcr s seguntes forms qudrátcs, em defnds postvs, semdefnds postvs, defnds negtvs, semdefnds negtvs ou ndefnds ) x + y x y ( x y) ( x y) e) x y f) xy g) x + y + z + xz + yz h) x y z + xz + yz ) x + y + z xz yz xy. Verfcr postvdde do cnddto produto nterno em P p( t), q( t) em que p( t) + t + t e q( t) + t + t.. Clssfcr s seguntes mtrzes, em defnds postvs, semdefnds postvs, defnds negtvs, semdefnds negtvs ou ndefnds

5 ). Encontrr forms cnóncs res pr s mtrzes do prolem. que não sejm dgonlzvés. Encontrr forms cnóncs de Jordn pr s seguntes mtrzes ). Sej d c A, ) Prove que A é dgonlzável num mtrz rel se ( ) d c + > Prove que A não é dgonlzável num mtrz rel se ( ) d c + <. Mostre que se < < π, então cos sn sn cos A não tem vlores própros res, dê um nterpretção geométrc desse fcto qundo A represent um trnsformção lner n se cnónc de R.