Aula 1b Problemas de Valores Característicos I

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1 Unversdde Federl do ABC Aul b Problems de Vlores Crcterístcos I EN4 Dnâmc de Fludos Computconl EN4 Dnâmc de Fludos Computconl

2 . U CASO CO DOIS GRAUS DE LIBERDADE EN4 Dnâmc de Fludos Computconl

3 Vbrção em um estrutur de ço =45 g y 4 m =6 g y F 4 m Desejmos estudr o efeto d vbrção extern em um rmção de ço. A forç extern é plcd pens n peç e vle F sn t As peçs horzonts são muto rígds com relção às vertcs, ue têm rgdez = = N/m EN4 Dnâmc de Fludos Computconl

4 Vbrção em um estrutur de ço =45 g Usremos notção =6 g 4 m dy dt y d y dt y 4 m Euções do movmento: Pr peç superor Pr peç nferor y y ( y y y ( y y F snt EN4 Dnâmc de Fludos Computconl

5 Vbrção em um estrutur de ço =45 g No cso especl em ue F = 4 m (será obtd função complementr =6 g ( y y y y 4 m ( y y y Supondo ue s dus peçs horzonts estejm sncronzds, podemos estbelecer ue y f ( t e y f ( t Com e os vlores máxmos ds mpltudes de osclção. EN4 Dnâmc de Fludos Computconl

6 Vbrção em um estrutur de ço Assm, teremos f ''( t [ ( ] f ( t f ''( t ( f ( t Quluer ds dus euções produz o resultdo f''(t/f(t= constnte. Portnto fz sentdo escolher mesm constnte pr cd eução e ddo ue estmos esperndo um comportmento peródco, decdremos ue constnte sej -. Assm, um possível solução pr f(t é: f ( t Asnt B cost C sn( t EN4 Dnâmc de Fludos Computconl

7 Vbrção em um estrutur de ço Agor, escolhemos orgem dos tempos de tl form ue =. Como e são constntes multplctvs, podemos tmbém decdr ue C=. Dess form, chegmos f ( t sn t e f ''( t sn t Voltndo o sstem de euções, teremos ( snt [ ( ]sn t ( snt ( sn t Ou, smplesmente [ ( ] EN4 Dnâmc de Fludos Computconl (

8 EN4 Dnâmc de Fludos Computconl Temos dus euções e três ncógnts (, e. Podemos reduzr o número de ncógnts se nos contentrmos com / em vez de e. Assm, dvdndo s dus euções por : Vbrção em um estrutur de ço ( ( Podemos então obter s relções

9 EN4 Dnâmc de Fludos Computconl Fzendo o produto Cheg-se à eução crcterístc do sstem: Vbrção em um estrutur de ço ( As rízes dest eução são s rízes crcterístcs do sstem e drão orgem às freuêncs nturs às us o sstem vbrrá. ( 4

10 EN4 Dnâmc de Fludos Computconl Retomndo s euções orgns e ftorndo em termos de e : Vbrção em um estrutur de ço Assm, o sstem pode ser renterpretdo como ( ] (

11 Vbrção em um estrutur de ço 4 ( Fzendo s conts: = = N/m =6 g =45 g ( 6 4,7 99, Cujs rízes são 65,5 rd/s 5, rd/s EN4 Dnâmc de Fludos Computconl

12 odos de vbrção O prmero modo de vbrção corresponde à menor freuênc. Como, Nesse modo, peç superor move-se em sncron com peç nferor, ms mpltude do movmento é cerc de,5 mor. O segundo modo de vbrção corresponde e está ssocdo à rzão / =-,87. Neste modo s peçs se movem em sentdos opostos, e peç nferor tem um movmento mor (em mpltude ue superor. EN4 Dnâmc de Fludos Computconl

13 odos de vbrção Prmero modo,54 Segundo modo,87 EN4 Dnâmc de Fludos Computconl

14 Vbrção fxd Se gor consderrmos um forç peródc F sn Wt plcd à peç nferor, s euções ue governm o movmento poderão ser reduzds. Deve-se consderr função tempo como sendo sn Wt. Obter-se-á prte ntegrl prtculr. O ue fo obtdo nterormente fo função complementr pr vbrção lvre. As euções serem resolvds são: W ( F W ( EN4 Dnâmc de Fludos Computconl

15 EN4 Dnâmc de Fludos Computconl Isolndo e cheg-se Vbrção fxd ( W ( F W ( ( ( F W W W ( ( F W W Not: se W= ou W=, o denomndor se nul: ressonânc!

16 EN4 Dnâmc de Fludos Computconl Expressões orgns: Em form de mtrz: Fzendo Formulção mtrcl ( y y y t F y y y y sn ( y y y ( A y y y W sn t F F W sn ( t F y y y y F Ay y T

17 EN4 Dnâmc de Fludos Computconl Pode ser ms útl começrmos por Fzendo teremos E podemos reescrever s euções: Outr formulção mtrcl ( (

18 EN4 Dnâmc de Fludos Computconl mtrcndo : ou Pr encontrr solução, resolve-se Outr formulção mtrcl B ( B I I B

19 EN4 Dnâmc de Fludos Computconl Consdere-se o determnnte No cso de obtém-se As soluções podem ser obtds resolvendo Resolvendo o sstem mtrcl

20 Vlores crcterístcos de B Os vlores pr os us s euções B= têm solução não trvl (= são os vlores crcterístcos d mtrz B. Pr cd vlor crcterístco exste um solução não nul, chmdo de vetor crcterístco ssocdo. No cso em estudo, os vlores crcterístcos são obtdos resolvendo-se ( ( As soluções são: 5 5,8 e, 68 EN4 Dnâmc de Fludos Computconl Qul dels é solução?

21 EN4 Dnâmc de Fludos Computconl Como E chegmos N verdde, temos pens um eução e não dus euções ndependentes. Se houvesse ms de um solução, mtrz B ser um cso degenerdo. Obtendo s mpltudes ( B I ( (,8 5

22 . U CASO CO TRÊS GRAUS DE LIBERDADE EN4 Dnâmc de Fludos Computconl

23 O rotor de motor jto Whtney Incorported EN4 Dnâmc de Fludos Computconl

24 odelo EN4 Dnâmc de Fludos Computconl

25 odelo Queremos estudr osclção rdl o longo do exo. A rgdez do exo entre cd ponto notável é dd por C (gus pr todos os grupos. Os momentos de nérc de cd grupo de pás são denotdos por J (gus pr todos os grupos. Os deslocmentos ngulres de cd grupo de pás são denotdos por. EN4 Dnâmc de Fludos Computconl

26 EN4 Dnâmc de Fludos Computconl As euções do movmento são: odelo ( ( ( ( C J C C J C J

27 EN4 Dnâmc de Fludos Computconl Cheg-se Formulção mtrcl ( ( ( ( C J C C J C J C J Como esper-se um movmento de osclção, pode-se dotr Introduzndo, tl ue Aθ θ

28 EN4 Dnâmc de Fludos Computconl Ests euções tem um solução não trvl se A-I =. Logo Formulção mtrcl lterntv θ A I ( ] ( [( ( ( ( ou Os vlores crcterístcos de A são, e

29 EN4 Dnâmc de Fludos Computconl Encontre os vlores crcterístcos de Exemplo 5 4 D. Escreve-se eução crcterístc D-I =: 5 4. Resolve-se eução em : (6 ( (4 ] ( [ [(5 ] (5 [( (4. Os vlores crcterístcos são, 4 e 6.

30 Vetores crcterístcos Voltndo o problem orgnl: Os vlores crcterístcos são, e As euções não são lnermente ndependentes! Teremos ue nos contentr em obter pens relções entre, e. EN4 Dnâmc de Fludos Computconl

31 EN4 Dnâmc de Fludos Computconl Pr = : Exste um número nfnto de vetores. O vetor ms smples é Vetores crcterístcos θ (,,

32 EN4 Dnâmc de Fludos Computconl Pr = : Novmente, exste um número nfnto de vetores. O vetor ms smples é Vetores crcterístcos,, θ (

33 EN4 Dnâmc de Fludos Computconl Pr = : Novmente, exste um número nfnto de vetores. Os vetores ms smples são ou Vetores crcterístcos,, ( θ 6, 6, 6 θ

34 Vetores crcterístcos trz orgnl: A Vlores crcterístcos de A: =, e = θ (,, = θ (,, = θ (,, ou θ 6, 6, 6 EN4 Dnâmc de Fludos Computconl

35 Vetores crcterístcos: Interpretção = = = θ (,, θ (,, θ (,, θ ou,, EN4 Dnâmc de Fludos Computconl

36 Vetores crcterístcos: Interpretção = = = θ (,, θ (,, θ (,, θ ou,, O movmento oscltóro lvre será um combnção lner deste modos norms: A cos t B E sn t cos t F G sn t cos t H sn t EN4 Dnâmc de Fludos Computconl

37 EN4 Dnâmc de Fludos Computconl Lembrndo ue Cheg-se Vetores crcterístcos: Interpretção,, J C J C /, /, t H t G t F t E t B t A sn cos sn cos sn cos t J C H t J C G t J C F t J C E B t A sn cos sn cos A B E F G H dependem ds posções e velocddes ncs.

38 EN4 Dnâmc de Fludos Computconl Pr mtrz os vlores crcterístcos são, 4 e 6. Exemplo 5 4 D A eução crcterístc deve ser resolvd pr cd. 5 4 x x x

39 Comprção de sstems Trem Lner Se escolhermos s coordends x, x e x os deslocmentos ds msss de sus posções de eulíbro então eução ue rege o movmento pode ser escrt Ax=x, onde = /. Os prâmetros do sstem são s msss s constntes elástcs ds mols. EN4 Dnâmc de Fludos Computconl

40 Comprção de sstems Rede Elétrc Pr est rede elétrc podemos escrever AI=I, onde d I /dt = - I. Os prâmetros do sstem são s ndutâncs e s cpctâncs. EN4 Dnâmc de Fludos Computconl

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