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1 Módlo 5 Not bm a ltra dsts apotamtos ão dspsa d modo algm a ltra atta da bblografa prcpal da cadra Chama-s à atção para a mportâca do trabalho pssoal a ralar plo alo rsoldo os problmas aprstados a bblografa sm coslta préa das solçõs propostas aáls comparata tr as sas rsposta a rspostas propostas postror posção jto do doct d todas as dúdas assocadas. Vctors m R [Pool a 8 ; 9 a ; 89 a 9] Vctors gas. Soma d ctors. Prodto d m scalar por m ctor. Vctor lo. Vctor smétrco. Proprdads algébrcas. Prodto tro. Proprdads. Norma. Âglo tr dos ctors. Dstâca. Dsgaldad d Cachy-Schart. Dsgaldad traglar. spaço cldao. Combação lar. Idpdêca lar. Vctors ortogoas. Projcção ortogoal. Sbspaço. Bas. Dmsão. Bas ortogoal ortoormada. Mdaça d bas.

2 V C O R S M R N A G B R A U R M A R D Vctors Igas. Soma d Vctors. Prodto d m scalar por m Vctor. Vctor Nlo. Vctor Smétrco. Proprdads da Soma do Prodto por m scalar.. Sdo m tro posto df-s o spaço R como o cojto d todas as sqêcas ordadas d úmros ras dtas -plos.. al como m R R os lmtos d R podm sr trprtados como potos o como ctors m spaço - dmsoal.. m R dos ctors são gas s ordadamt cada ma das sas coordadas é gal. O ctor soma d dos ctors é o ctor cjas coordadas são a soma ordada das coordadas dos ctors 5. O prodto d m ral α por m ctor é o ctor α α α α ddo-s q é m múltplo scalar d. 6. Um ctor d R pod sr scrto m otação matrcal como ma matr lha o ctor lha o ma matr cola o ctor cola. mos assm q pod sr scrto a forma da matr lha [ ] o a forma da matr cola M 7. Utlado a otação matrcal as opraçõs ctoras d soma prodto por m scalar são dêtcas às dfdas para as matrs M M M α α α α M M α 8. O ctor lo é rprstado por df-s como 9. Sdo m ctor d R o ctor smétrco d rprsta-s por é dfdo por Prof. José Amaral AGA M5-6--7

3 V C O R S M R N A G B R A U R M A R D mplo.. As proprdads da soma d ctors do prodto d m ctor por m scalar são dêtcas às cohcdas para ctors lrs. Sdo dos ctors m R α β dos scalars tmos α β αβ α α α α β α β. R é o cojto d todos os úmros ras q rprstamos sobr m o ortado. R é o cojto d todos os pars ordados d úmros ras q salmt rprstamos gomtrcamt o plao D rcorrdo a m sstma d os cartsao y. R é o cojto d todos os tros ordados d úmros ras q salmt rprstamos gomtrcamt o spaço D rcorrdo a m sstma d os 5 6 cartsao y. R R R... R é o cojto d todos os qádrplos qítplos sêtplos -plos q ão podmos rprstar gomtrcamt mas q podmos cotar a psar como potos o ctors d m spaço D 5D 6D... D.. Dados os ctors d R o ctor é o m otação matrcal Rcorrdo ao Matab tríamos por cooma d scrta tlarmos a otação d ctor lha: >> [ - ]; >> [ - ]; >> *-* - -8 Prof. José Amaral AGA M5-6--7

4 V C O R S M R N A G B R A U R M A R D Prof. José Amaral AGA M Prodto Itro. Norma. Dsgaldad d Cachy-Schart raglar. Âglo. Dstâca. Proprdads. spaço cldao.. Sdo dos ctors m R dfmos o prodto tro tr os dos ctors como a soma do prodto ordado das coordadas d cada m dos ctors. Para ctors cola a otação matrcal do prodto tro rslta M para ctors lha M. Proprdads do prodto tro: Sdo ctors d R α m scalar tão comtata dstrbta α α α ss. Df-s a orma do ctor R como 5. Proprdads da orma: Sdo ctors d R α m scalar tão ss α α dsgaldad d Cachy-Schar dsgaldad traglar 6. Sdo ctors d R o âglo tr ls é α arccos

5 V C O R S M R N A G B R A U R M A R D mplo.. O ctor 7. A dstâca tr dos potos y y y y R também dta a dstâca tr ctors cja trmdad corrspod a sts dos potos é gal à orma do ctor tr ls dst y y y y y y 8. Proprdads da dstâca: Sdo y potos d dst y dst y ss y dst y dst y dst y dst dst y dsgaldad traglar 9. Assm dfdo o prodto tro é também dsgado por prodto tro cldao as rsltats dfçõs d orma dstâca orma cldaa dstâca cldaa. O spaço R com as opraçõs d adção prodto por scalar prodto tro como atrás dfdo é dsgado por spaço cldao o spaço com métrca cldaa. tm orma R Rcorrdo ao Matab: >> [ - - ]; >> sqrt*' O prodto tro tr os ctors ordado das coordadas d cada m dos ctors é sdo o prodto Rcorrdo ao Matab: >> [ - ]; >> [- ]; >> *' Prof. José Amaral AGA M

6 V C O R S M R N A G B R A U R M A R D as -. O âglo tr os ctors arccos α arccos arccos arccos.98 é 5 5 arccos arccos arccos. 5 Rcorrdo ao Matab: >> [ - ]; >> [- ]; >> alfaacos*'/sqrt*'**' alfa.98. A dstâca tr os ctors dst é 9 Rcorrdo ao Matab: >> [ - ]; >> [- ]; >> -; >> dsqrt*' d.77 Prof. José Amaral AGA M

7 V C O R S M R N A G B R A U R M A R D Combação ar. Idpdêca ar. mplo.. D-s q o ctor R é ma combação lar dos ctors r R s strm scalars k k kr dsgados por cofcts da combação lar tas q k k kr r r k. Dmos q m cojto d ctors d R S { k } é larmt dpdt s a qação k k k r r só poss a solção tral k k kr Caso cotráro sto é s a qação poss solção ão tral dmos q o cojto S é larmt dpdt.. Um cojto d ctors d R S { k } é larmt dpdt ss hm dos ctors é ma combação lar d otros é larmt dpdt ss m dls é combação lar d otros.. O ctor d R é ma combação lar dos ctors dado q stm scalars k k k k tas q k k k k k. O cojto d ctors { } k k k k r k k S com é larmt dpdt dado q k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k Rsoldo o sstma podmos rfcar q só st a solção tral k k k k. Prof. José Amaral AGA M

8 V C O R S M R N A G B R A U R M A R D Vctors Ortogoas. Projcção Ortogoal. mplo.. Dos ctors ão los são ctors ortogoas ss. S R R são ortogoas tão torma d Ptágoras 5. Sdo ão lo R podmos smpr dcompor o ctor a soma d dos ctors tdo a drcção d sdo ortogoal a. O ctor é chamado projcção ortogoal d sobr proj sdo proj sdo a compot ortogoal prp 6. S r R são ctors ortogoas sto é j para j tão o cojto S { r } é larmt dpdt para todo o ctor tal q r k tmos k o sja. Os ctors tmos sado ctors cola r r r k proj são ortogoas. Adoptado a otação matrcal [ ] Rcorrdo ao Matab: >> [ -]; Prof. José Amaral AGA M

9 V C O R S M R N A G B R A U R M A R D Prof. José Amaral AGA M >> [ ]; >> *' as. Sdo os ctors ortogoas podmos rfcar o torma d Ptágoras 9 Rcorrdo ao Matab: >> [ -]; >> [ ]; >> *' as >> *'*' as. A projcção ortogoal do ctor sobr o ctor é proj

10 V C O R S M R N A G B R A U R M A R D Prof. José Amaral AGA M proj O ctor proj é ortogoal a. mos proj proj proj Rcorrdo ao Matab: >> [ - -]; [ -]; proj*'/*'* proj - >> -proj*' as

11 V C O R S M R N A G B R A U R M A R D Sbspaço. Sbspaço Grado. Bas. Dmsão. ão é m sbcojto d mplo 5.. R ão é m sbspaço d 7. Sdo m sbcojto ão ao d R dmos q é m sbspaço d R s. S prtcm a tão também prtc a.. S prtc a tão α também prtc a para todo o scalar α. 8. Sdo m sbspaço d R dmos q os ctors é m k gram o q S { k } cojto d gradors d s qalqr ctor d é ma combação lar d k. Dmos também q é o sbspaço grado por k scrmos k. 9. Sdo m sbspaço d R dmos q o cojto d ctors S { k } é ma bas d s é m cojto d gradors d é larmt dpdt.. Sdo m sbspaço d R S { k } ma bas d todas as bass d têm o msmo úmro k d lmtos chamada a dmsão d dm. Qalqr cojto d k ctors larmt dpdts prtcts a é ma bas d qalqr cojto d mas d k ctors é larmt dpdt. R dado q R é o cojto d pars ordados portado R q é o cojto d tros ordados d úmros ras. No y R é m sbspaço d R. tato o plao { }. O sbspaço d R grado plo cojto d ctors S { } com é cocdt com R. scrdo m qalqr ctor como ma combação lar d tmos k k k k k k k k A rsolção do sstma é mdata dado q a matr já stá a forma scaloada rdda. Coclímos q o sstma é smpr possíl dtrmado para qalqr alor d. Assm o sbspaço grado por é costtído por todos os ctors [ ] sm rstrçõs o sja é cocdt com R R Prof. José Amaral AGA M5-6--7

12 V C O R S M R N A G B R A U R M A R D Para além d grar S é larmt dpdt dado q a qação k k k k só poss a solção tral k k k k. mos k k k k k k k k O sstma é smpr possíl admtdo apas a solção tral [ k k k k ] [ ] logo os ctors são larmt dpdts. Dado q gram R são larmt dpdts os ctors R. odas as bass d R têm ctors o sja R tm dmsão dm R. Qalqr cojto d ctors larmt dpdts prtcts a R é ma bas d R qalqr cojto d mas d ctors é larmt dpdt. Os ctors são a chamada bas caóca d R.. Os ctors R são larmt dpdts. Formam a chamada bas caóca d R. Os ctors R são larmt dpdts. Formam a chamada bas caóca d R. Os ctors... gram R são larmt dpdts. Formam a chamada bas caóca d R. R o cojto d ctors { } Prof. José Amaral AGA M5-6--7

13 V C O R S M R N A G B R A U R M A R D Prof. José Amaral AGA M Bas Ortogoal Bas Ortoormada.. Sdo { } S k ma bas dm sbspaço d R dmos q S é ma bas ortogoal s j para j o sja s os ctors da bas são ortogoas.. Sdo { } S k ma bas dm sbspaço d R dmos q S é ma bas ortoormada s para além d sr ma bas ortogoal para k mplo 6.. A bas caóca d R { } B com é ma bas ortoormada dado q todos os ctors da bas têm orma tára são ortogoas B B. Os ctors... gram R são larmt dpdts têm todos orma tára são ortogoas. São ma bas ortoormada d R chamada bas caóca R.

14 V C O R S M R N A G B R A U R M A R D Mdaça d Bas. mplo 7.. Sdo U { } { } dm sbspaço d k k das bass R m qalqr ctor do sbspaço prsso a bas U a bas rspctamt tm coordadas m cada ma das bass [] U k [ ] [ ] k k k k k rlacoadas por ma matr qadrada rglar M m j k k chamada matr d mdaça d bas U MU [] M U [] U M U [] U A matr d trasção da bas para a bas U é dada por M U [[ ] [ ] [ ] ] U m q [ ] U é o ctor cola das coordadas do ctor a bas U.. Sjam m com sja o ctor. Cosdrmos o problma d sdo cohcda a rprstação d a bas cotrar a rprstação d a bas R a bas caóca { } a bas { } U k U Dado q rslta [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] Prof. José Amaral AGA M5-6--7

15 V C O R S M R N A G B R A U R M A R D Prof. José Amaral AGA M q é a rsposta procrada q podmos rfcar a fgra. D otro modo podríamos tr m atção q sdo tão plo q O ada atddo ao cocto d matr d mdaça d bas sdo cohcdo tmos smplsmt [] [] M plo q

16 V C O R S M R N A G B R A U R M A R D Prof. José Amaral AGA M rcícos. VRIFICAR S UM CONJUNO D VCORS É OROGONA.. Mostrar q os ctors são ortogoas sto é j para j. Um modo prátco d rfcar q todos os prodtos tros crados são los cosst m dspor os ctors a forma d ma matr mltplcá-la pla sa trasposta. Sja a matr cjas colas corrspodm a cada m dos ctors U A sa trasposta é ma matr m q cada m dos ctors stá dsposto sgdo as lhas da matr U Atddo à dfção d prodto matrcal d prodto tro U U ada atddo a q coclímos q a matr rsltat é ma matr smétrca tdo as ormas dos ctors a sa dagoal os prodtos tros crados qr acma qr abao da dagoal. S a matr rsltat como é o caso for ma matr dagoal coclímos q os ctors são ortogoas U U

17 V C O R S M R N A G B R A U R M A R D Rcorrdo ao Matab: >> [ -]'; >> [ ]'; >> [- ]'; >> [ ]'; >> U[ ]; >> U'*U as VRIFICAR S UM VCOR É UMA COMBINAÇÃO INAR D UM CONJUNO D VCORS.. Dado o ctor os ctors ortogoas podmos rfcar q sdo k tmos k Atddo ao mplo atror tmos 5 plo q adoptado a otação matrcal [ k k k k ] k k 5 [ ] [ ] [ ] o sja Prof. José Amaral AGA M

18 V C O R S M R N A G B R A U R M A R D Rcorrdo ao Matab: >> [ - -]'; >> [ -]'; >> [ ]'; >> [- ]'; >> [ ]'; >> U[ ]; >> dagu'*u' >> k'*u./ k - Mas faclmt podmos tr m atção q s é ma combação lar dos ctors tão Rsoldo o sstma k [ ] k k k k k k k k k k k Rcorrdo ao Matab: >> A[ ]; >> B[ - -]'; >> rrf[a B] as - O sstma é possíl dtrmado tdo como solção O sja k k k k. Prof. José Amaral AGA M

19 V C O R S M R N A G B R A U R M A R D. Mostrar q o ctor 7 é ma combação lar dos ctors. S é ma combação lar dos ctors tão k k k k 7 k k k k é m sstma d qaçõs possíl. Rsoldo o sstma Rcorrdo ao Matab: >> A[ - ;- ; - ; -]'; >> B[7 - -]'; >> rrf[a B] as - O sstma é possíl tdo como solção k k k k. O sja. Mostrar q o ctor ão é ma combação lar dos ctors. S é ma combação lar dos ctors tão k k k k k k é m sstma d qaçõs possíl. Rsoldo o sstma Rcorrdo ao Matab: >> A[ ; ;- - ]; >> B[ ]'; >> rrf[a B] as Prof. José Amaral AGA M

20 V C O R S M R N A G B R A U R M A R D - coclímos q o sstma é mpossíl logo ão é ma combação lar dos ctors. VRIFICAR S UM CONJUNO D VCORS É INARMN INDPNDN. 5. Mostrar q os ctors são larmt dpdts o sja a qação k k k k só poss a solção tral. Rcorrdo à otação matrcal [ ] k k kr r k k k k Uk coclímos q rfcar q a qação k k k k só poss a solção tral é qalt a rfcar q o sstma homogéo Uk só admt solção tral. Rcorrdo ao método d Gass-Jorda podmos coclr q ~ portato os ctors são larmt dpdts. Rcorrdo ao Matab: >> A[ - ;- ; - ; -]'; >> B[ ]'; >> rrf[a B] as 6. Mostrar q o cojto d ctors { } S com é larmt dpdt. Prof. José Amaral AGA M5-6--7

21 V C O R S M R N A G B R A U R M A R D Os ctors são larmt dpdts s a qação k k k k só poss a solção tral k k k k. Assm k k k k k k k k Rcorrdo ao Matab: >> A[ - ;- ; - ; -]'; >> B[ ]'; >> rrf[a B] as O sstma é possíl admtdo apas a solção tral os ctors são larmt dpdts. k k k k logo 7. Mostrar q o cojto d ctors { } ão é larmt dpdt. S com Os ctors são larmt dpdts s a qação k k k só poss a solção tral k k k. Assm k k k k k k Rcorrdo ao Matab: >> A[ ; ;- - ]; >> B[ ]'; >> rrf[a B] as - Prof. José Amaral AGA M5-6--7

22 V C O R S M R N A G B R A U R M A R D Prof. José Amaral AGA M O sstma é possíl mas é dtrmado admtdo m úmro fto d solçõs para além da solção tral logo os ctors ão são larmt dpdts. DRMINAR O SUBSPAÇO GRADO POR UM CONJUNO D VCORS. 8. Dtrmar o sbspaço d R grado plo cojto d ctors { } S com. é o sbspaço grado por s qalqr ctor d é ma combação lar d k k k k k k Rsoldo o sstma rcorrdo ao método d Gass-Jorda rslta ~ ~ B A Não é cssáro cotar o procsso d scaloamto da matr. Nst momto é já possíl coclr q para q o sstma sja possíl o sja qalqr ctor d sja ma combação lar d drá sr Rcordado os coctos aprstados sobr o stdo da atra d sstmas lars coclímos q o sstma é possíl dtrmado sdo arás prcpas ma arál lr sdo Assm o sbspaço grado por é costtído por todos os ctors tas q { } : R Nota : Vrmos mas tard após a aprstação dos coctos gomtra aalítca q o sbspaço corrspod a m plao m R.

23 V C O R S M R N A G B R A U R M A R D Nota : Smpr q o sstma m aáls ão sja possíl dtrmado a aáls do problma com rcrso ao Matab rqr o acsso passo a passo ao procsso d scaloamto da matr complta. Vrmos mas tard como tal podrá sr fto >> syms >> A[ ; ;- - ]; >> B[ ].'; >> scaloar[a B] [ ] [ ] [ - - ] Passo : -* > * > [ ] [ - -*] [ - ] Passo : * > [ ] [ - -*] [ -] 9. Dtrmar o sbspaço d. R grado plo cojto d ctors S { } com é o sbspaço grado por s qalqr ctor d é ma combação lar d k k k k k k k k Rsoldo o sstma Rcorrdo ao Matab: >> syms >> A[ - ;- ; - ; -]'; >> B[ ].'; >> rrf[a B] Prof. José Amaral AGA M5-6--7

24 V C O R S M R N A G B R A U R M A R D Prof. José Amaral AGA M as [ -/*-/*--*] [ /*] [ /*/*] [ */*] coclímos q o sstma é possíl dtrmado para qalqr alor d. Assm o sbspaço grado por é costtído por todos os ctors sm rstrçõs o sja é cocdt com R R DRMINAR UMA BAS D UM SUBSPAÇO.. Dtrmar ma bas do sbspaço d R { } : y y R Uma q qalqr cojto d k ctors larmt dpdts prtcts a é ma bas d sdo k a dmsão do sbspaço a solção partclar cotrada dpd do método tlado a sa dtrmação. Dadas as rstrçõs mpostas tmos o sstmas d qaçõs y Fado y o q corrspod a cosdrar como arás lrs y como arás prcpas rslta q os ctors y prtcts ao sbspaço são da forma y O sja são ma combação lar dos ctors. Dado q são larmt dpdts fca assm dtrmada ma bas d. S aalsarmos formalmt o sstma y o sja a forma matrcal

25 V C O R S M R N A G B R A U R M A R D Prof. José Amaral AGA M y Rcorrdo ao Matab: >> A[ - ;- - ]; >> B'; >> rrf[a B] as coclímos q o sstma é possíl dtrmado sdo y arás prcpas arás lrs as solçõs do sstma são da forma y o sja y são portato ma combação lar dos ctors. Dado q são larmt dpdts fca assm dtrmada ma otra bas d. Not-s q. O sbspaço tm dmsão ; qasqr ctors larmt dpdts rsltats d ma combação lar dos ctors é ma bas d. RPRSNAR UM VCOR M BASS DIFRNS.. Vmos o mplo 7. q dados m R a bas caóca { } a bas { } com sdo cohcda a rprstação d a bas podmos cotrar a rprstação d a bas atddo ao cocto d matr d trasção [] [] M

26 V C O R S M R N A G B R A U R M A R D plo q [ ] Caso fossm cohcdos a rprstação d a bas s prtdss cotrar a rprstação d a bas dríamos tr m atção q logo [] M [] o sja. [] Sjam m sja o ctor R a bas caóca { } a bas { } Cosdrmos o problma d sdo cohcda a rprstação d a bas cotrar a rprstação d a bas U U Sdo cohcda a matr d trasção da bas U para a bas M U [[ ] [ ] ] U com dado q M U M U tmos o sja. [] M [] U U Prof. José Amaral AGA M

27 U U U V C O R S M R N A G B R A U R M A R D. Sjam m R a bas { } { } U com a bas com sdo cohcda a rprstação d a bas prtdmos cotrar a rprstação d a bas U. U Com os dados do problma é fácl dtrmar as matrs d trasção das bas U para a bas caóca M M Plo q cosdrado a rprstação trméda d a bas caóca U sdo [ ] M [] U M U M U rslta o sja. [] M M Rcorrdo ao Matab: >> [- ]'; >> [ -]'; >> '; >> [ -]'; >> M; >> M; >> '; >> M*M*.. Prof. José Amaral AGA M

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