CAPÍTULO 9 CORRELAÇÃO E REGRESSÃO

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3 CAPÍTULO 9 CORRELAÇÃO E REGRESSÃO Exst um cojuto d métodos statístcos qu vsam studar a assocação tr duas ou mas varávs alatóras. Dtr tas métodos, a tora da rgrssão corrlação ocupa um lugar d dstaqu por sr o d uso mas dfuddo. Nst capítulo srão abordados os fudamtos dos métodos statístcos da corrlação rgrssão, com vstas à sua aplcação m hdrologa. O objtvo dst capítulo é o d aprstar os coctos báscos qu prmtam ao ltor ralzar studos d corrlação rgrssão lar tr duas ou mas varávs alatóras hdrológcas. Na ghara d rcursos hídrcos, algumas qustõs rfrm-s ao cohcmto da assocação do grau d assocação tr duas ou mas varávs, como por xmplo, as rlaçõs () tr as tsdads, as duraçõs as frqüêcas das prcptaçõs tsas () tr as vazõs médas auas as áras d dragm ou () tr as alturas auas d prcptação as alttuds dos postos pluvométrcos. Nsss studos, o prmro objtvo é o d aalsar o comportamto smultâo das varávs, tomadas duas a duas, vrfcado s a varação postva (ou gatva) d uma dlas stá assocada a uma varação postva (ou gatva) da outra, ou msmo, s ão há huma forma d dpdêca tr las. Nss stdo, uma prmra abordagm xploratóra é a laboração d um dagrama d dsprsão tr as obsrvaçõs smultâas das varávs. O dagrama d dsprsão prmt vsualzar o grau d assocação tr as varávs a tdêca d varação cojuta qu aprstam. A Fgura 9. aprsta algus xmplos d varação cojuta tr duas varávs. Fgura 9. Exmplos d rlacoamto (Adaptado d Hlsl Hrsh, 99) 355

4 A mdda da varação cojuta das varávs ou co-varação obsrvada m um dagrama d dsprsão é a corrlação tr as duas varávs. Essa mdda é ralzada umrcamt por mo dos cofcts d corrlação qu rprstam o grau d assocação tr duas varávs cotuas. As mddas gércas d corrlação, frqütmt são dsgadas por, são admsoas varam tr - +. No caso d =, ão xst corrlação tr as duas varávs. Quado >, a corrlação é postva uma varávl aumta quado a outra crsc. A corrlação é gatva, <,quado as varávs varam m drçõs opostas. A corrlação é chamada d mootôca s uma das varávs aumta ou dmu sstmatcamt quado a outra dcrsc, com assocaçõs qu podm tr forma lar ou ão lar. A Fgura 9. aprsta xmplos d corrlaçõs mootôcas ão lars ão mootôcas. Fgura 9. Exmplos d corrlaçõs (Adaptado d Hlsl Hrsh, 99) É mportat saltar qu varávs altamt corrlacoadas ão aprstam cssaramt qualqur rlação d causa fto. A corrlação rprsta smplsmt a tdêca qu as varávs aprstam quato à sua varação cojuta. Assm, a mdda da corrlação ão dca cssaramt qu há vdêcas d rlaçõs causas tr duas varávs. As vdêcas d rlaçõs causas dvm sr obtdas a partr do cohcmto dos procssos volvdos. Obvamt havrá casos m qu uma varávl stá a orgm da outra, tas como aquls qu assocam a prcptação o scoamto suprfcal m uma dada baca. Etrtato, xstrão stuaçõs m qu as varávs aprstam a msma causa, como, por xmplo, a vtual fort corrlação tr as vazõs médas msas d duas bacas vzhas ão sgfca qu a mudaça da vazão d uma dlas é causada pla altração da outra; crtamt, as altraçõs são causadas por fators comus às duas bacas. 356

5 9. Cofct d Corrlação Lar d Parso Duas varávs aprstam uma corrlação lar quado os potos do dagrama d dsprsão s aproxmam d uma rta. Essa corrlação pod sr postva (para valors crscts d, há uma tdêca a valors também crscts d Y) ou gatva (para valors crscts d, a tdêca é obsrvarm-s valors dcrscts d Y). As corrlaçõs lars postvas gatvas cotram-s lustradas a Fgura 9.3. Fgura 9.3 Corrlaçõs Lars Postvas Ngatvas O cofct d corrlação lar, também chamado d covarâca ormalzada rprstado por, é xprsso por:,y,y Y (9.) od,,y é a covarâca tr as varávs Y; Y são os dsvos-padrão das varávs Y, rspctvamt. Quado duas varávs, Y, são statstcamt dpdts, o cofct d corrlação lar é gual a zro, =. Etrtato a rcíproca ão é vrdadra, ou sja, s o cofct d corrlação lar é gual a zro, =, sso ão sgfca qu as varávs são dpdts. Trata-s d uma dcorrêca do fato d qu o cofct d corrlação lar,, é uma mdda da dpdêca lar tr as varávs Y,, m algumas stuaçõs, Y podm aprstar dpdêca fucoal ão lar. A covarâca tr duas varávspod sr stmada pla quação 9. rprsta uma mdda possívl do grau do sal da corrlação. 357

6 s,y x xy y (9.) od, s xy é a covarâca amostral tr as varávs Y; x y são as médas artmétcas d cada uma das varávs; é o tamaho da amostra; x y são as obsrvaçõs smultâas das varávs. Etrtato, admtdo-s qu a dstrbução cojuta das varávs Y é uma dstrbução ormal bvarada, tora-s covt utlzar, como mdda da corrlação, o chamado cofct d corrlação lar d Parso cujo stmador é aprstado a sgur: s,y r (9.3) s sy Na quação 9.3, r é cofct d corrlação lar (- r ), s Y é covarâca tr as varávs, s s Y são os dsvos-padrão das amostras calculados plas quaçõs: s = = ( x x) (9.4) s Y y y (9.5) O cofct d corrlação lar d Parso é admsoal vara tr - +, o qu ão ocorr com a covarâca. Assm, as udads adotadas plas varávs ão aftam o valor do cofct d corrlação. Caso os dados s alhm prftamt ao logo d uma rta com dclvdad postva trmos a corrlação lar postva prfta com o cofct d Parso gual a. A corrlação lar gatva prfta ocorr quado os dados s alham prftamt ao logo d uma rta com dclvdad gatva o cofct d corrlação d Parso é gual a -. O sgfcado d valors trmdáros é faclmt prcbdo. A Fgura 9.4 aprsta algus dagramas d dsprsão com os rspctvos valors do cofct d corrlação. 358

7 Fgura 9.4 Exmplos d cofcts d corrlação Rssalta-s, ovamt, qu um valor do cofct d corrlação alto, mbora statstcamt sgfcatvo, ão mplca cssaramt uma rlação d causa fto, mas, smplsmt dca a tdêca qu aqulas varávs aprstam quato à sua varação cojuta. Outro cudado qu s dv tomar a aáls d duas varávs é com a ocorrêca d corrlaçõs spúras, ou sja, qualqur corrlação apart tr duas varávs qu ão são corrlacoadas d fato. As causas mas frqüts da ocorrêca dssas corrlaçõs são: a dstrbução ão qulbrada dos dados, como stá aprstada a Fgura 9.5; a rlação tr quocts d varávs qu aprstam o msmo domador, lustrado a Fgura 9.6, a rlação d varávs qu foram multplcadas por uma dlas, tal como mostrado a Fgura 9.7. Fgura 9.5 Dstrbução ão qulbrada dos dados 359

8 Fgura 9.6 Corrlação tr quocts d varávs Fgura 9.7 Corrlação tr produto d varávs 9.. Tsts d Hpótss sobr o Cofct d Corrlação É possívl tstar a hpóts d qu o cofct d corrlação lar é gual a zro, ou sja: H H : : Como dcorrêca d algumas hpótss dstrbutvas, a statístca aproprada para ss tst é a sgut: t r r (9.6) 36

9 od, t é a statístca do tst; é o tamaho da amostra r é a stmatva do cofct d corrlação lar. A statístca do tst, t, sgu uma dstrbução t d Studt com ( ) graus d lbrdad, sob a plausbldad da hpóts ula H : =. A hpóts ula é rjtada s: t t /, (9.7) od, t /, é o valor crítco para a statístca do tst blatral para um ívl d sgfcâca, com ( ) graus d lbrdad. Tstar hpótss para o cofct d corrlação,, dfrt d zro, coform aprstado a sgur, é um pouco mas complcado. H H : : Sgudo Motgomry Pck (99), para amostras d tamaho razoávl (5), a statístca: Z arcta h r l é aproxmadamt ormalmt dstrbuída com méda r r (9.8) arcta h Z varâca 3 Z l (9.9) (9.) Para tstar a hpóts ula, =, pod sr calculada a statístca Z arcta h r arcta h 3 (9.) A hpóts ula srá rjtada s: Z Z / (9.) Z / od, é o valor crítco para a statístca do tst blatral, a qual é dada pla 36

10 varávl ctral rduzda da dstrbução ormal padrão assocada a um ívl d sgfcâca. Sgudo os msmos autors, também é possívl costrur um trvalo d cofaça, (-), para utlzado a trasformação obtda pla quação (9.8). Nss caso, o trvalo d cofaça é dado por tah arcta h Z 3 / / r tah arcta h r (9.3) od r é o cofct d corrlação stmado, Z / é o quatl da dstrbução ormal padrozada com um ívl d sgfcâca, é tamaho da amostra tah u u u u u Z 3 (9.4) 9. Rgrssão Lar Smpls Mutas vzs, a smpls vsualzação do dagrama d dsprsão sugr a xstêca d uma rlação fucoal tr as duas varávs. Essa obsrvação troduz o problma d s dtrmar uma fução qu xprma ss rlacoamto. A aáls d rgrssão é uma técca statístca cujo scopo é vstgar modlar a rlação tr varávs. Cosdrado qu xsta um rlacoamto fucoal tr os valors Y, rsposávl plo aspcto do dagrama, ssa fução dvrá xplcar parcla sgfcatva da varação d Y com. Cotudo, uma parcla da varação prmac xplcada dv sr atrbuída ao acaso. Colocado m outros trmos, admts a xstêca d uma fução qu xplca, m trmos médos, a varação d uma das varávs com a varação da outra. Frqütmt, os potos obsrvados aprstarão uma varação m toro da lha da fução d rgrssão, dvdo à xstêca d uma varação alatóra adcoal domada d varação rsdual. Portato, ssa quação d rgrssão forc o valor médo d uma das varávs m fução da outra. Obvamt, caso s supoha cohcda a forma do modlo d rgrssão, a aáls srá facltada. O problma, tão, stará rstrto à stmação dos parâmtros do modlo d rgrssão. Ess caso ocorrrá s xstrm razõs tórcas qu prmtam sabr prvamt qu modlo rg a assocação tr as varávs. Gralmt, a forma da lha d rgrssão fca apart a própra aáls do dagrama d dsprsão. 36

11 Admtdo sr uma rta a lha tórca d rgrssão, a fução tr Y é a sgut: Y (9.5) od, Y é a varávl dpdt, é a varávl dpdt, são os cofcts do modlo dota os rros ou rsíduos da rgrssão. Os cofcts da rta tórca são stmados através dos dados obsrvados forcdos pla amostra, obtdo uma rta stmatva a forma ŷ = a + bx (9.6) od a é a stmatva do cofct ( ˆ a ); b é a stmatva d ( ˆ = b ); ŷ é o valor stmado da varávl dpdt x é o valor obsrvado da varávl dpdt. Exstm város métodos para a obtção da rta dsjada. O mas smpls d todos, qu podmos chamar d método do ajust vsual, cosst smplsmt m traçar drtamt a rta, com auxílo d uma régua, o dagrama d dsprsão, procurado fazr, da mlhor forma possívl, com qu ssa rta pass por tr os potos. Etrtato, ss procdmto subjtvo, somt srá razoávl s a corrlação lar for muto fort. Um dos procdmtos objtvos mas adquados é a aplcação do método dos mímos quadrados, sgudo o qual a rta a sr adotada dvrá sr aqula qu tora míma a soma dos quadrados dos rros ou rsíduos da rgrssão. 9.. Método dos Mímos Quadrados O objtvo do método dos mímos quadrados é cotrar a fução d rgrssão qu mmz a soma das dstâcas tr a fução ajustada os potos obsrvados como aprstado a Fgura 9.8. Adotado um modlo lar como da quação 9.5, os cofcts da rta tórca podm sr stmados através dos potos xprmtas forcdos pla amostra, obtdo uma rta stmatva a forma da quação 9.6. A dstâca,, tr o valor obsrvado o valor stmado pla rta d rgrssão é dado por: y ŷ (9.7) 363

12 od y é o valor obsrvado da varávl dpdt ŷ é o valor stmado da varávl dpdt. Substtudo a quação 9.7 o valor stmado pla quação 9.6, ŷ, obtéms: y a bx (9.8) Fgura 9.8 Lha d Rgrssão O método dos mímos quadrados cosst m mmzar o somatóro dos quadrados dos dsvos tr o valor obsrvado y o valor stmado ŷ. Para o poto dxado por, o dsvo quadrátco é dado por y a bx y y a y bx a abx b x (9.9) Para todos os lmtos da amostra, Z Como Z f a,b a (9.), os valors d a b qu mmzam a quação acma são aquls obtdos calculado-s as drvadas parcas, m rlação a a b, gualado-as a zro, Z Mímo d Z Z a b y y b x y a ab Calculado as drvadas para 9., obtém-s o sgut sstma d quaçõs x b x (9.) 364

13 CAPÍTULO 9 - CORRELAÇÃO E REGRESSÃO 365 (9.) Multplcado as quaçõs do sstma acma por (-/) cotra-s as quaçõs ormas da rgrssão lar smpls: (9.3) A rsolução do sstma d quaçõs ormas prmt a stmatva dos parâmtros do modlo d rgrssão lar smpls a partr dos dados amostras: (9.4) (9.5) 9.3 Cofct d Dtrmação Após a stmatva dos cofcts da rta d rgrssão, é cssáro vrfcar s os dados amostras são dscrtos plo modlo da quação 9.6, além dsso, dtrmar a parcla da varabldad amostral qu fo, d fato, xplcada pla rta d rgrssão. Essas qustõs podm sr aalsadas cosdrado a Fgura 9.9, a qual possblta a ddução da sgut rlação smpls: y y y y y y ˆ ˆ (9.6) A partr dssa quação, é possívl dmostrar qu y y y y y y ˆ ˆ (9.7) O prmro mmbro da quação 9.7 pod sr trprtado como proporcoal à varâca total d Y, quato o sgudo mmbro rflt a soma d trmos bx y x b y a x x x y y x b x b x a y x b Z x b a y a Z x b x a y x x b a y

14 proporcoas às suas varâcas rsdual xplcada plo modlo d rgrssão. Em outros trmos, SQT SQ R s SQ R g (9.8) od SQT é a soma quadrátca total; SQ Rs é soma dos quadrados dos rsíduos SQ R g é a soma dos quadrados dvdos à rgrssão. Fgura 9.9 Compots d Y O cofct d dtrmação é dado pla rlação tr a soma dos quadrados dvdos à rgrssão ( SQ R g ) a soma total dos quadrados (SQT), ou sja r Varâca Explcada Varâca Total SQ R g SQT y y ŷ y (9.9) od r² é o cofct d dtrmação r, y é o valor obsrvado da varávl dpdt, ŷ é o valor stmado da varávl dpdt y é a méda da varávl dpdt. O cofct d dtrmação é smpr postvo dv sr trprtado como a proporção da varâca total da varávl dpdt Y qu é xplcada plo modlo d rgrssão qu também pod sr stmado por: r = b s s Y (9.3) 366

15 od s é a varâca amostral d ; sy é a varâca amostral d Y b é o cofct agular da rta d rgrssão calculado pla quação 9.5. O cofct d corrlação amostral, r, stá rlacoado ao cofct d dtrmação, r², através da sgut quação: r = ± r (9.3) od o sal d r é o msmo do d b. 9.4 Hpótss Báscas da Aáls d Rgrssão Lar Smpls (RLS) As prcpas hpótss da aáls d rgrssão lar smpls são a lardad, a ormaldad a homoscdastcdad dos rsíduos. A hpóts d lardad df qu a rlação tr as varávs aalsadas dv sr lar, quato qu o prssuposto d ormaldad stablc qu os valors d Y são ormalmt dstrbuídos para cada valor d, coform lustrado a Fgura 9.. Fgura 9. Hpóts d ormaldad A hpóts d homoscdastcdad stablc qu os rsíduos ou rros, y x, são ralzaçõs d uma varávl alatóra dpdt ormalmt dstrbuída, com méda zro varâca costat. A hpóts d homoscdastcdad dos rsíduos mplca as sguts afrmaçõs: a) O valor sprado da varávl rro é gual a zro, E b) A corrlação tr j com j é é gual a zro 367

16 Var Var j, para j, a Var( ) ão vara com x, ou sja, a varâca dos rsíduos é costat. c) Como O modlo d rgrssão lar smpls srá prfto s todos os potos da amostra utlzados a stmatva dos parâmtros stvrm sobr a rta ajustada. Etrtato, a ocorrêca d um modlo prfto dfclmt srá obsrvada. A rgrssão lar smpls possblta uma stmatva aproxmada d um valor d Y para um dado valor d. Sdo assm, é mportat uma mdda da varabldad dos potos amostras acma abaxo da rta d rgrssão, tal como a dsprsão squmatcamt lustrada a Fgura 9.8. Itrscamt ao procsso d stmação dos parâmtros da rta d rgrssão, fo fta a prmssa d qu os rros são ralzaçõs d uma varávl alatóra dpdt ormalmt dstrbuída com méda zro, ou sja, E a varâca dos rros ou rsíduos srá: Var E E E, varâca. Como E, (9.3) Uma stmatva ão vsada da varâca dos rsíduos m toro da rta d rgrssão pod sr obtda por: ˆ s y ŷ (9.33) A raz quadrada da varâca dos rsíduos é chamada d rro padrão da stmatva,, md a dsprsão dos rsíduos m toro da rta d rgrssão. O rro padrão da stmatva pod sr stmado por ˆ s y yˆ (9.34) Dvdo à varabldad amostral, a rta d rgrssão obtda da amostra xtraída da população é uma das mutas rtas possívs. Os valors calculados para a b

17 são stmatvas potuas dos parâmtros populacoas. As rtas da população da amostra são parallas quado b trão apas um poto cssaramt cocdt, a sabr, a méda da amostra x a méda da amostra y, quado b. Os trvalos d cofaça para os cofcts da rta d rgrssão são stmados por a t s a t a,, s a (9.35) b t s b t b,, s b (9.36) od t é valor do t d Studt para (- ( ) graus d lbrdad;, a b são os stmadors dos parâmtros da rta d rgrssão; s a é o dsvopadrão da stmatva do parâmtro a dca quão afastado o parâmtro stmado stá do parâmtro populacoal. A quação utlzada para o cálculo d s a é dada por: s a s x x x (9.37) s b é dsvo-padrão da stmatva d b, calculado por: s b x x s (9.38) o cálculo d s a s b tm-s: s (9.39) od y yˆ ; é o tamaho da amostra; x é a méda da varávl dpdt; é o valor obsrvado da varávl dpdt. x 369

18 9.5. Itrvalos d Cofaça para a Lha d Rgrssão Lar Smpls A rta obtda por mímos quadrados é uma stmatva da fução d rgrssão dada pla quação 9.5. D forma qu, para um valor fxo x ', o ŷ ' calculado pla rlação a bx', corrspod a uma stmatva do valor qu sra obtdo plo modlo d rgrssão lar, y = + x'. A costrução d um trvalo d cofaça para α + βx' pod s basar m sua stmatva, ŷ'. Cosdrado um valor x ' qu ão fo utlzado o cálculo dos parâmtros da rta d rgrssão, dmostra-s qu: μ ˆ ( ŷ' ) = α + βx' ŷ' ˆ x' x x x (9.4) (9.4) O trvalo d cofaça para a rta d rgrssão é dado por: ŷ' t s, x x x' x (9.4) od ŷ' t, a bx', é valor do t d Studt, para (- ( ) graus d lbrdad; s é calculado pla quação Aalsado a quação 9.4, obsrva-s qu a ampltud do trvalo srá míma quado x for gual ao valor médo da amostra utlzada a dfção da quação d rgrssão. Além dsso, prcb-s qu quato mas dstat x stvr da méda mas amplo srá o trvalo. O lmt fror supror do trvalo d cofaça df a rgão d cofaça m toro da rta d rgrssão, ou sja, tm-s um ívl d cofaça, -, d qu a rta tórca, y x, stará cotda dtro dssa rgão. A Fgura 9. lustra a rgão d cofaça m toro da rta d rgrssão. 37

19 9.5. Itrvalos d Cofaça para um Valor Prvsto pla RLS Também é trssat stmar um trvalo com ívl d cofaça -, o qual stará cotdo um valor prvsto d y, calculado para um crto valor spcfcado d x. ' Os trvalos d cofaça para um valor da varávl dpdt a sr ' ' prvsto, ŷ,utlzado um valor x, são stmados por: ŷ' t od, ŷ' s x' x (9.43) a bx', é valor do t d Studt para (- ( ) graus; s é calculado pla quação t, x x ' ŷ ŷ' t, x' x x x Varado x' a quação 9.43 obtêm-s a rgão d prvsão para y '. Comparado as quaçõs vrfca-s qu o trvalo d cofaça para um valor prvsto é mas amplo qu o stmado para a rta d rgrssão, como pod sr vsualzado a Fgura 9.. s Fgura 9. Itrvalos Cofaça 37

20 9.6 Avalação da Rgrssão Lar Smpls A aáls d rgrssão é uma das téccas mas úts a hdrologa, mas xg crto cudado a sua aplcação. Icalmt dvm sr vrfcadas as hpótss da rgrssão, ou sja, avalar a lardad tr as varávs Y, a dpdêca dos rsíduos s sts sgum uma dstrbução ormal com méda zro varâca costat. A lardad pod sr avalada por mo do gráfco d dsprsão tr as varávs Y plo xam do valor da stmatva do cofct d corrlação d Parso. A xstêca d rlação lar tr as varávs Y também pod sr avalada a partr d um tst d hpóts sobr o cofct agular da quação 9.5. As hpótss ula altratva podm sr xprssas da sgut forma: H : (ão xst rlação lar) H : (xst rlação lar) A statístca do tst, t, é gual a dfrça tr a clação stmada a partr dos dados amostras, b, a clação da população,, dvdda plo rro padrão da clação, s b, calculado pla quação 9.38, ou sja, b t s b (9.44) No caso da plausbldad da hpóts ula, H :, obtém-s b t s b A hpóts ula, H, é rjtada s t > t,, od, (9.45) t é valor do t d Studt para um ívl d sgfcâca tst blatral) ( ) graus d lbrdad. Outra mara d s avalar a xstêca d uma rlação lar tr as varávs é ralzada a partr do trvalo d cofaça do parâmtro, cuja stmatva fo dtalhada o tm 9.5. O tst cosst m vrfcar s o valor zro stá cotdo dtro do trvalo d cofaça d. S o valor zro stvr cotdo dtro do trvalo d cofaça, ão xst rlação lar tr as varávs. A dpdêca dos rsíduos pod sr vrfcada com gráfcos dos rsíduos m rlação à varávl prvsta, Y. A Fgura 9. lustra duas stuaçõs: uma od s 37

21 vrfca a dpdêca dos rsíduos a outra a qual s obsrva a ocorrêca d dpdêca. Fgura 9. Vrfcação da dpdêca Os métodos d aáls d frqüêca, dscrtos o captulo 8, assm como a laboração d gráfcos d probabldad Normal dos rsíduos possbltam a vrfcação da hpóts d ormaldad. Cotudo, para amostras pquas, as dfçõs sobr a ormaldad dos rsíduos gralmt ão são coclusvas. No caso da homoscdastcdad, a hpóts d méda ula para os rsíduos é garatda por costrução. Etrtato, a hpóts d varâca costat,, dv sr vrfcada por mo d aáls gráfca tr os rsíduos a varávl dpdt. A Fgura 9.3 aprsta stuaçõs d vrfcação volação d varâca costat. Fgura 9.3 Vrfcação da varâca dos rsíduos 373

22 Uma mdda da qualdad da rgrssão pod sr obtda pla comparação do rro padrão da stmatva, s, com o dsvo padrão da varávl dpdt Y, s Y. Ambos, s Y s, aprstam as msmas udads são, portato, drtamt comparávs, mbora s tha apas - graus d lbrdad s Y tha -. Caso a quação d rgrssão s ajust bm aos dados amostras, o rro padrão da stmatva s aproxma d zro. Etrtato, s o rro padrão da stmatva tvr valor próxmo do dsvo padrão d Y, o ajust tr os dados amostras a quação d rgrssão srá muto rum. Assm, o rro padrão da stmatva dv sr comparado m sus xtrmos, a sabr, zro s Y. Além dsso, dv sr avalado o cofct d dtrmação r, qu xprssa a proporção da varâca total da varávl dpdt Y qu é xplcada pla quação d rgrssão. Outro aspcto mportat o uso d modlos d rgrssão é a sua xtrapolação. D uma forma gral, ão é rcomdada a xtrapolação da quação d rgrssão para além dos lmts dos dados amostras utlzados a stmatva dos parâmtros do modlo d rgrssão lar. O dsstímulo à xtrapolação aprsta bascamt dos motvos. O prmro stá assocado ao fato do trvalo d cofaça sobr a lha d rgrssão alargar, à mdda qu os valors da varávl dpdt s afastam da méda, como pod sr vsto a Fgura 9.. A outra razão é qu a rlação tr as varávs Y pod ão sr lar para valors qu xtrapolam os dados utlzados a rgrssão, como lustrado a Fgura 9.4. f Fgura 9.4 Extrapolação do modlo d rgrssão 374

23 9.7 Rgrssão Não-Lar com Fuçõs Larzávs Algumas fuçõs podm sr larzadas mdat o uso d trasformaçõs adquadas prmtdo a aplcação da rgrssão lar smpls. Um xmplo pod sr a fução potcal a sgur: b y ax Ralzado a aamorfos logarítmca dssa fução, obtém-s: l y l ax b l y l a l x b l y l a bl x (9.46) (9.47) (9.48) (9.49) Altrado as varávs d forma qu z l y, k = l a v = l x, a quação 9.49 s trasforma a quação da rta: z = k + bv (9.5) Trabalhado com as varávs trasformadas z = l y v = l x, é possívl stmar os parâmtros k b com as quaçõs , rspctvamt. Calculado o atlogartmo d k stma-s o parâmtro a da quação x D forma aáloga, a fução y = ab pod sr rsolvda utlzado as varávs x a trasformada l y. Exstm mutas outras fuçõs larzávs, como por xmplo, y a b. x, qu stão lstadas o Axo. Porém, como o procsso d larzação pod volvr a trasformação da varávl dpdt Y, m algus casos as hpótss da rgrssão podm ão sr atddas, após a modfcação, prjudcado a aplcação dos tsts statístcos dscrtos atrormt. Exmplo 9. Na Tabla 9. stão aprstados os valors médos d vazõs máxmas auas as rspctvas áras d dragm d staçõs fluvométrcas qu compõm uma rgão homogêa d um studo d rgoalzação d vazõs máxmas da baca do alto São Fracsco o qual fo aplcado o método dx-flood, ou cha-ídc, a sr dscrto o capítulo. Nss studo as médas das vazõs máxmas auas foram utlzadas como fator d admsoalzação das sérs. Establcr uma rgrssão tr as médas das vazõs máxmas auas as áras d dragm, d 375

24 forma a prmtr a stmatva da cha-ídc (ou dx-flood) m locas qu ão possuam staçõs fluvométrcas. Tabla 9. Ára d dragm médas das vazõs máxmas auas Est Ára (Km²) 69, 48,3 95,8 55, 8,7 75,7 93,5, 558, 54, 546,3 Q (m³/s) 3, 49,7, 9,7 54,3 7,8 99,, 7, 63,8 483,8 l A 5,5958 6,7649 7,8657 6,963 7, , , ,6 7,356 7,8568 8,599 l Q 3,4474 3,956 4,677 4, ,3857 5,59 5,9376 5,396 5, ,575 6,86 Est Ára (Km²) 7378,3 9939,4 8734, 885,6 8986,9 3, 7,6 388,8 48, 67,9 6553, Q (m³/s) 539,4 67,4 69, 694, 74,8 753,5 83,3 889,4 3,4 336,9 964,8 l A 8,963 9,46 9,7498 8, ,35 9,3375 9,798 9, , ,7447,869 l Q 6,938 6,594 6, ,544 6,643 6,6469 6,7336 6,795 6, ,98 7,583 Solução: Icalmt é laborado um dagrama d dsprsão, coform stá aprstado a Fgura 9.5. Fgura 9.5 Dagrama d dsprsão Aalsado ss dagrama, prcb-s qu a rlação tr as varávs ára d dragm méda da vazão máxma aual pod sr xprssa por uma fução potcal como a quação 9.46, ou sja, b Q = ka (9.5) Os parâmtros k b podm sr stmados por mo da rgrssão lar smpls, após a larzação da quação 9.5. A larzação é ralzada 376

25 por aamorfos logarítmca como aprstado a sgur: lq l k bl A (9.5) Assm, para cocrtzação da rgrssão lar smpls é cssáro calcular os logartmos da ára d dragm das médas das vazõs máxmas auas, como aprstado a Tabla 9.. A lardad tr as varávs, m coordadas logarítmcas, pod sr vsualzada a Fgura 9.6.,875l A Fgura 9.6 Lardad tr as varávs Utlzado as quaçõs os logartmos da Tabla 9., calculas os parâmtros da quação 9.5, b =,875 a = l(k) = -,46. A quação 9.5 é rscrta da sgut forma: l Q = _,46 +,875.l A (9.53) A quação 9.53 prmt a stmatva d l Q m fução do logartmo da ára d dragm. O ajust tr os logartmos das médas das vazõs máxmas auas a rta d rgrssão da quação 9.53 stá aprstado a Fgura 9.7 As dfrças ou os rsíduos tr os valors obsrvados os calculados pla rta d rgrssão stão a Tabla

26 Fgura 9.7 Ajust tr as obsrvaçõs a rta d rgrssão Tabla 9. Rsíduos Est. l Q Prvsto Rs. 3,447 3,49 -,493 3,956 3,9988 -,93 3 4,67 4,795 -,88 4 4,6978 4,6856, 5 5,386 5,54 -,54 6 5,59 5,6, ,938 5,44, ,39 5,454, ,3336 5,68,369 5,575 5,44,33 6,86 6,88,68 Est l Q 6,94 6,594 6,5369 6,544 6,64 6,647 6,734 6,795 6,9396 7,98 7,583 Prvsto 6,3877 6,6484 6,5353 6,4678 6,563 6,769 6,739 6,948 6,9594 7,37 7,583 Rs. -,973 -,39,6,746,5 -,36 -,5 -,53 -,97,944,748 Os valors obsrvados os calculados com a quação d rgrssão prmtm a stmatva dos trmos da quação 9.7, ou sja, os somatóros dos quadrados total, dos rsíduos os dvdos à rgrssão. Os valors dsss somatóros stão aprstados a Tabla 9.3. Tabla 9.3 Somatóros dos Quadrados Rgrssão Rsíduo Total Graus d Lbrdad Somatóros dos Quadrados 4,776,83 5,59 O cofct d dtrmação r² é calculado através da quação 9.9. SQ R g 4, 776 r = = =, 989 SQT 559, O cofct d corrlação, r, é gual a,994. (9.54) 378

27 Após o cálculo dos parâmtros dos rsíduos é possívl vrfcar as hpótss da rgrssão. A sgur é vrfcada a hpóts d homoscdastcdad dos rsíduos. Avalado a Fgura 9.8 obsrva-s qu os rsíduos parcm sr dpdts qu a varâca pod sr cosdrada aproxmadamt costat. Fgura 9.8 Rsíduos Como o somatóro dos rsíduos é gual a zro, a sua méda também é gual a zro. A raz quadrada da varâca dos rsíduos ou o rro padrão da stmatva é calculado pla quação y ŷ (9.55) SQ R s, 83 ˆ s 84, A Fgura 9.9 aprsta o ajust tr os rsíduos uma dstrbução ormal d méda zro dsvo padrão gual a,84. Fgura 9.9 Ajust dos rsíduos à dstrbução ormal 379

28 Os trvalos d cofaça para os cofcts da rta d rgrssão são stmados com as quaçõs Adotado um ívl d sgfcâca d 5% obtém-s:, 7745, 496, 8368 β, 985 No calculo dos lmts dsss trvalos foram utlzadas os sguts valors: t, 86 t, 975,, s x s a s 746, sb, 8 x x x x A rlação lar tr as varávs l Q l A também pod sr avalada através d um tst d hpóts com o cofct agular da rta d rgrssão, como dscrto o tm 9.5. Nst xmplo, a statístca do tst é dada por: b, 875 t 4, 7 s, 8 b (9.56) Como t > t, pos t, 975,, 86, a hpóts ula, =, é rjtada, a um ívl d sgfcâca d 5%, ou sja, a rlação tr as varávs pod sr cosdrada lar com uma cofaça d 95%. As tapas atrors dscrvram a rgrssão lar smpls das varávs trasformadas, trtato, para stmatva do fator dx-flood utlza-s a quação a forma potcal como dscrto acma. Assm, o parâmtro k da quação 9.5 é dfdo da sgut forma: k xp a xp, 46, 45 (9.57) A quação 9.5 é rscrta como: Q ka b, 45A, 875 (9.58) Falmt é ralzada uma comparação tr os valors obsrvados os stmados com a quação 9.58 como stá aprstado a Tabla 9.4 Fgura

29 Tabla 9.4 Dsvos Prctuas (DP) Qobs (m³/s) Qcalc (m³/s) DP (%) Qobs (m³/s) Qcalc (m³/s) DP (%) 3, 3,8 5, 539,4 594,5, 49,7 54,5 9,8 3 67,4 77,6 4,9 3,,9,7 4 69, 689, -, 4 9,7 8,4 -, 5 694, 644, -7, 5 54,3 73,, 6 74,8 76,5-4,9 6 7,8 66,7-3, ,5 863,4 4,6 7 99, 83,9-7,6 8 83,3 83,8, 8, 89,7-6, 9 889,4 33,6 6, 9 7, 5,4-6,4 3,4 53,, 63,8 3,9 -,5 336,9 6,4-9, 483,8 454,3-6, 964,8 83, -7, Fgura 9. Vazõs calculadas vrsus obsrvadas dsvo prctual 9.8 Rgrssão Lar Múltpla Na rgrssão múltpla studa-s o comportamto d uma varávl dpdt Y m fução d duas ou mas varávs dpdts. S a varávl Y varar larmt com as varávs, pod-s adotar um modlo gral com a sgut forma: Y L P P (9.59) od Y é a varávl dpdt ou prvsta;,, L, são as varávs P dpdts ou xplcatvas,, L, são os cofcts d rgrssão. P A partr d um cojuto d valors da varávl Y, assocados às obsrvaçõs corrspodts das P varávs dpdts, utlzado a quação 9.59, pod-s scrvr 38

30 Y = Y = Y =,,, + + M +,,, + L+ + L+ P + L+ P P,P,P,P (9.6) o qual Y é o -ésmo valor da varávl dpdt,j é a -ésma obsrvação da j-ésma varávl dpdt. O sstma d quaçõs 9.6 pod sr rprstado a forma d matrz: Y, Y, M M Y,,, M, L L L L,P,P M,P. M (9.6) ou m otação matrcal, Y. (9.6) Y é um vtor ( x ) das obsrvaçõs da varávl dpdt; é uma matrz ( x P) com as obsrvaçõs d cada uma das P varávs dpdts, é um vtor (P x ) com os parâmtros dscohcdos. A quação 9.6 trá um trmo d trcpto,, s, ; doravat, o prst txto, adota-s a codção d, = para d até. od ˆ D mara aáloga à rgrssão lar smpls, os cofcts dscohcdos podm sr stmados pla mmzação do somatóro dos rros quadrátcos, od,, Y Ŷ Y P ˆ j, j (9.63) Em rprstação matrcal, T T Y ˆ Y ˆ (9.64) Dfrcado a quação 9.64, m rlação a ˆ, gualado a drvada parcal a zro, obtém-s o sstma T T Y ˆ (9.65) 38

31 qu rprsta as quaçõs ormas d rgrssão. As soluçõs da quação 9.65 T. são cotradas pla multplcação dos trmos da quação por Dss modo, o vtor ˆ pod sr stmado por: [β]=([] T []) - [] - [Y] (9.66) D mara smlhat à rgrssão smpls, o somatóro total dos quadrados pod sr aprstado m três parclas: Y Ŷ Ŷ Y Y Y (9.67) ou, m otação matrcal, como: T T ˆ T Y Y Y Y T T ˆ T Y. Y Y Y (9.68) ˆ T T Y Frqütmt, ssas parclas dos somatóros dos quadrados são aprstadas a forma d uma tabla d aáls d varâca (ANOVA), tal como a lustrada a Tabla 9.5. O quadrado médo, a Tabla 9.5, rsulta da dvsão do somatóro dos quadrados plo rspctvo úmro d graus d lbrdad. Fot Rgrssão Rsíduos Total Tabla 9.5 Tabla ANOVA da rgrssão múltpla Graus d lbrdad Somatóro dos quadrados Quadrado médo T P ˆ T SQ R g SQ R g Y Y QM R g P T T P - ˆ T SQ R s SQ R s Y Y Y QM R s P T - SQT Y Y Y O cofct d dtrmação múltpla R² é dfdo pla sgut rlação: R SQ R g SQT T ˆ T Y T Y Y Y Y (9.69) O cofct d dtrmação múltpla vara tr a xprssa a proporção da varâca qu é xplcada plo modlo d rgrssão. O cofct d corrlação múltpla é calculado pla xtração da raz quadrada da quação Uma stmatva ão vsada da varâca dos rros, Var ou, é dada por s qu é calculada plo quadrado médo dos rsíduos, coform stá aprstado a sgur. 383

32 T T ˆ T Y Y Y SQ R s s QM R s P P O rro padrão da quação d rgrssão lar múltpla, o qual é calculado pla raz quadrada da quação 9.7. (9.7), é stmado por s, 9.8. Tst da Sgfcâca da Equação d Rgrssão Lar Múltpla A xstêca d uma rlação sgfcatva tr a varávl dpdt as varávs dpdts ou xplcatvas, pod sr avalada plo sgut tst d hpótss: H : L (a rlação tr as varávs ão é lar) H : plo mos um Ess tst é cohcdo como tst do F total, o qual é utlzado para tstar a razão tr duas varâcas, assm, pod sr mprgado para vrfcar a hpóts ula. A statístca do tst é a rlação tr a varâca dcorrt da rgrssão lar múltpla varâca dos rsíduos, ou sja, QM R g F (9.7) QM R s Os quadrados médos da rgrssão dos rsíduos ( QM R g QM R s ) podm sr calculados plas quaçõs aprstadas a Tabla 9.5. A hpóts ula srá acta s F F,P, p (9.7) od é o ívl d sgfcâca, P P são os graus d lbrdad da dstrbução F d Sdcor, sdo qu P é o úmro d varávs dpdts Tst d Parts d um Modlo d Rgrssão Lar Múltpla A cotrbução d uma varávl xplcatva ao modlo d rgrssão múltpla pod sr dtrmada plo crtéro do chamado tst do F parcal. D acordo com ss crtéro, avala-s a cotrbução d uma varávl xplcatva para a soma dos quadrados dvdo a rgrssão, dpos qu todas as outras varávs dpdts foram cluídas o modlo. Sdo assm, a cotrbução d uma varávl k para SQ R g, cosdrado qu as outras k a soma dos quadrados da rgrssão, 384

33 varávs stão cluídas, é stmada pla dfrça dada por SQ R g k = SQ R g (todas as varávs com k ) - SQ R g (todas as varávs sm k ) (9.73) A vrfcação s a clusão d uma varávl k mlhora sgfcatvamt o modlo d rgrssão é ralzada por mo d um tst com as sguts hpótss ula altratva: H : a varávl k ão mlhora sgfcatvamt o modlo H : a varávl k mlhora sgfcatvamt o modlo A statístca do tst é dada pla rlação tr a cotrbução da varávl k à soma dos quadrados dvdo a rgrssão, SQ R g k, calculada pla quação 9.73, a varâca dos rsíduos cosdrado o modlo com todas as varávs clusv k, qu é stmada plo quadrado médo dos rsíduos aprstado a Tabla 9.5. Formalmt, F P SQ R g QM R s k (9.74) A hpóts ula dv sr rjtada s a statístca F P for maor qu o valor crtco da dstrbução F d Sdcor, com P graus d lbrdad, ívl d sgfcâca, od é o tamaho da amostra P é o úmro d varávs xplcatvas cludo k, ou sja, rjta-s H s F P F,, p (9.75) Cofct d Dtrmação Parcal O cofct d dtrmação múltpla, R², avala a proporção da varâca da varávl dpdt Y qu é xplcada plas varávs dpdts. Todava, também é mportat avalar a cotrbução d cada varávl xplcatva m rlação ao modlo d rgrssão múltpla. A proporção da varâca da varávl dpdt Y qu é xplcada por uma varávl dpdt k, quato s matém costat as outras varávs xplcatvas, é stmada plo cofct d rgrssão parcal RYk P k. Para um modlo d rgrssão múltpla com P varávs xplcatvas, o cofct d dtrmação parcal para a k-ésma varávl é dado por: SQ R g k RYk Pk (9.76) SQT SQ R g SQ R g k 385

34 od SQT é a soma dos quadrados total, SQ R g é a soma dos quadrados da rgrssão com todas as varávs clusv k, ambos calculados plas fórmulas aprstadas a Tabla 9.5, SQ R g k é a cotrbução da varávl k para a soma dos quadrados da rgrssão stmada pla quação Ifrêcas sobr os Cofcts da Rgrssão Lar Múltpla Nss tm também srão admtdas as hpótss qu os rsíduos ou rros são dpdts ormalmt dstrbuídos com méda zro varâca. A varâca d ˆ é stmada pla sgut rlação: Vˆar ˆ ˆ ˆ Sˆ C ˆ C é o -ésmo lmto da dagoal d T od varâca dos rros. (9.77) ˆ á stmatva d S o modlo stvr corrto, tão ˆ S ˆ é dstrbuído coform t d Studt, com P graus d lbrdad, od s é uma stmatva d calculada por: ˆ (9.78) s ˆ C s s é uma stmatva da varâca dos rsíduos, tal como calculada pla quação 9.7. Um tst d hpóts para vrfcar s, od é um valor costat cohcdo, pod sr mplmtado com as sguts hpótss ula altratva: ˆ H H : : Para tas hpótss, a statístca do tst é calculada pla rlação: ˆ t s ˆ (9.79) A hpóts ula H dv sr rjtada s t t (9.8),P od é o ívl d sgfcâca (tst blatral), é tamaho da amostra P é úmro d varávs dpdts do modlo. 386

35 Um tst para a hpóts ula, H :, hpóts altratva, H :, é quvalt a tstar a sgfcâca da -ésma varávl dpdt a xplcação da varâca da varávl dpdt. A statístca do tst é calculada pla quação 9.79 cosdrado a vrfcação da hpóts é ralzada com a quação 9.8. Caso a hpóts ula sja acta,, sdo rcomdávl qu a - ésma varávl xplcatva sja rtrada do modlo. Vrfca-s faclmt qu a statístca do tst F parcal, quação 9.74, a statístca t, quação 9.79, aprstam a sgut rlação: F (9.8), gl t gl od gl é são os graus d lbrdad. Os trvalos d cofaça para os cofcts da rgrssão,, são dados por: ˆ t,p s ˆ (9.8) Itrvalos d Cofaça da Rgrssão Lar Múltpla h, são dfdos a partr da h varâca d Ŷ h. Nst caso, Ŷ h é uma stmatva d Y (um scalar), o poto [ h ] (um vtor x P) o spaço P dmsoal [ˆ ]é um vtor cotdo as stmatvas d β. A varâca d é calculada por: Os lmts d cofaça d Y h, od Y ˆ Ŷ h Var T Ŷ T h h h (9.83) od é a stmado por s através da quação 9.7. Os lmts d cofaça d Ŷ são stablcdos por: h ˆ t VarŶ h,p h Os trvalos d cofaça d um valor dvdual prvsto quação a sgur: ˆ t Var Ŷ h, P h (9.84) são stmados pla (9.85) od Var (Y h ) é a varâca d um valor dvdual prvsto d Y calculado com Ŷ h 387

36 h, sdo stmada por: T Ŷ ˆ Vˆ ar h h T h (9.86) Trasformaçõs d um Modlo d Rgrssão Múltpla Em algus casos, a volação do prssuposto d homoscdastcdad dos rsíduos pod sr suprada, por mo da trasformação da varávl dpdt, das varávs xplcatvas ou d ambas. Além dsso, a trasformação d varávs pod prmtr a larzação d uma rlação ão lar. D uma forma gral, a modfcação das varávs para alcaçar os crtéros d homoscdastcdad ão é uma tarfa fácl. As trasformaçõs mas utlzadas são a d raz quadrada, a logarítmca a rcíproca, coform aprstado a sgur: Y L (9.87) Y l l L (9.88) L Y (9.89) As trasformaçõs d modlos ão lars podm sr obtdas por mo d aamorfos logarítmca, tal como xmplfcado a sgur. Modlo multplcatvo do tpo Y (9.9) Após a trasformação obtêm-s: ly l l l l (9.9) No caso d um modlo xpocal Y (9.9) A trasformação logarítmca rsulta m: ly l (9.93) 388

37 9.8.7 Comtáros Sobr a Rgrssão Múltpla Em stuaçõs od as varávs xplcatvas são fortmt corrlacoadas podm ocorrr problmas a rgrssão múltpla. Varávs colars ão forcm ovas formaçõs, dfcultado a trprtação dos cofcts obtdos a rgrssão, pos m algus casos o sal do cofct d rgrssão pod sr o oposto do sprado. Por sso é fortmt rcomdávl a motagm d uma matrz d cofcts d corrlação smpls tr as varávs xplcatvas para vrfcar a xstêca d uma possívl colardad tr ssas varávs. Um modo xpdto d vtar a colardad é a lmação d uma, tr cada cojuto d duas varávs xplcatvas qu aprstarm cofcts d corrlação suprors a,85. Dss modo, spra-s qu as varávs matdas o modlo d rgrssão cotrbuam sgfcatvamt para xplcar a varabldad d Y. O úmro d obsrvaçõs dspoívs para a aáls d rgrssão dv sr o mímo 3 a 4 vzs maor qu o úmro d cofcts da quação rgrssão qu srão stmados. Esta rgra procura vtar um falso ajust causado plas osclaçõs qu podm ocorrr as varávs dpdts qu são d dfícl dtcção as amostras muto pquas. Exstm algus procdmtos qu facltam a laboração dos modlos d rgrssão múltpla, do poto d vsta da slção d varávs xplcatvas. Dtr os város métodos podm sr dstacado o d todas as quaçõs possívs o da rgrssão passo a passo. As dfrts combaçõs das varávs dpdts prmtm a costrução d város modlos d rgrssão. Caso as quaçõs d rgrssão tham um trcpto,, podm sr dfdos P modlos, od P é o úmro d varávs dpdts. A dfção plo mlhor modlo stá assocada à aáls d cada um sparadamt. A rgrssão passo a passo cosst a corporação ao modlo d uma varávl, a cada vz, com o objtvo d xplcar a maor part da varâca qu ada ão fo xplcada plo modlo. Ess método ca-s com a varávl dpdt qu aprsta o maor cofct d corrlação smpls com a varávl dpdt. Em sguda, é acrsctada uma varávl dpdt à quação, a cada passo, com a avalação da sgfcâca do modlo laborado d suas varávs xplcatvas, por mo do tst do F parcal. S a cotrbução d uma das varávs xplcatvas ão for cosdrada sgfcatva, la é rtrada do modlo. A dfção sobr qual a mlhor quação d rgrssão a sr adotada volv 389

38 crta subjtvdad. Etrtato, a avalação da quação d rgrssão pod sr ralzada objtvamt a partr das cosdraçõs dscrtas a sgur. O rro padrão da stmatva dv sr fror ao dsvo padrão da varávl dpdt, S S Y, plos msmos motvos apotados para a rgrssão lar smpls. O cofct d dtrmação dv s aproxmar d, pos quato maor o valor dss cofct, maor srá a proporção da varâca xplcada plo modlo. Os tsts F total, F parcal o tst t dos cofcts da rgrssão dvm sr aplcados para avalar a sgfcâca d cada prdtor do modlo. O sal do cofct d corrlação tr uma varávl xplcatva ( ) a varávl dpdt (Y) dv sr o msmo do cofct da rgrssão assocado a ssa varávl dpdt. Os rsíduos dvm sr xamados através d gráfcos com as varávs dpdts dpdts, para dtfcar dfcêcas a quação d rgrssão cofrr as hpótss da rgrssão. E falmt, comparar os valors prvstos com a quação d rgrssão dados obsrvados. Uma mara d s avalar os rsultados da quação d rgrssão é vrfcar a capacdad do modlo prvr a varávl dpdt a partr d obsrvaçõs das varávs xplcatvas qu ão foram utlzadas a stmatva dos cofcts da rgrssão. Obvamt, para s fazr ssa avalação é cssáro qu os dados obsrvados sjam sparados alatoramt m dos grupos, um para stmar os cofcts da rgrssão o outro para vrfcar o modlo. Etrtato, a maora dos casos, o úmro rduzdo d obsrvaçõs ão prmt ss procdmto. Exmplo 9. Em um studo d rgoalzação d vazõs mímas com 7 das d duração a baca do ro Paraopba, o qual fo aplcado o método dx-flood, dfu-s uma rgão homogêa com 5 staçõs fluvométrcas. Nss studo as médas das vazõs mímas auas com 7 das d duração foram utlzadas como fator d admsoalzação das sérs. Dfa um modlo d rgrssão qu prmta a stmatva do fator dx-flood m locas qu ão possuam staçõs fluvométrcas utlzado como provávs varávs xplcatvas as aprstadas a Tabla 9.6. Tabla 9.6 Vazõs mímas, ára d dragm, dclvdad dsdad d dragm Estação Qm méd (m³/s) Ára (Km²) I quv (m/km) DD (Juçõs/Km²) Estação Qm méd (m³/s) Ára (Km²) I quv (m/km) DD (Juçõs/Km²),6 46,69,98 9,6 3939,,34,49 9 3,94,79 3,6 544,8,8 3, ,,9 8,53 568,,4 4 3, ,8,, ,5,64 5,37 93,44,3 3,43 84,7,3 6,53 486,5, , 8734,66,43 7 5, 465,8, ,6,33 8 6, 76,59,37 39

39 Solução: Icalmt avala-s a xstêca d colardad tr as varávs xplcatvas através da matrz d corrlaçõs como aprstado a sgur. Qm méd (m³/s) Ára (Km²) I quv (m/km) DD (Juçõs/Km²) Tabla 9.7 Matrz d corrlaçõs Qm méd (m³/s) Ára (Km²) I quv (m/km),99 -,65,4 DD (Juçõs/Km²) Aalsado a Tabla 9.7 obsrva-s qu ão xst colardad tr as varávs dpdts qu apartmt as médas das vazõs mímas com 7 das d duração aprstam uma fort rlação lar com a ára d dragm. Assm, para vrfcar a lardad tr as varávs a possívl ocorrêca d corrlaçõs spúras foram laborados os dagramas d dsprsão da Fgura 9.. -,594,86 -,49 Fgura 9. Dagramas d dsprsão Os rsultados da Tabla 9.7 os gráfcos da Fgura 9. dcam qu o modlo d rgrssão a sr adotado trá obrgatoramt como uma das varávs xplcatvas a ára d dragm. Sdo assm, o problma s rstrg a avalar s a clusão d ovas varávs trará mlhora sgfcatva aos rsultados do modlo. O modlo d rgrssão adotado srá do tpo multplcatvo como aprstado a sgur: Q A 3 3 (9.94) Após a trasformação logarítmca obtêm-s: lq l l A l 3 l 3 (9.95) Assm, para calcular os parâmtros da quação 9.95 é cssáro calcular os logartmos das varávs dpdts dpdts coform stá aprstado a Tabla

40 Estação Qm méd (m³/s) Ára (Km²) I quv (m/km) DD (Juçõs/Km) Estação Qm méd (m³/s) Ára (Km²) I quv (m/km) DD (Juçõs/Km²) Tabla 9.8 Logartmos das varávs,9555 6,343,9895 -, ,5 8,787,96 -,77,3988 5,6737,37 -,538 3,498 8,5968,77-4,8 3,3577 5,497,974 -,99 3,35 8,6448, -,964 4,355 6,364,569 5,348 5,68,89 6,98 6,87,3 7,76 7,8,5933 -,89 -,977 -,9974 -,95,85 5, ,844 4, ,6666 9,75 5 3,867 9,93,585 -,743,39 -,37 -,455 -,58 -,9465 -,7 8,7856 7,93,4637 -,998 A dfção sobr quas srão as varávs xplcatvas qu comporão o modlo d stmatva das vazõs mímas é ralzada através da aáls das quaçõs d rgrssão qu cotham as sguts varávs dpdts: somt a ára d dragm (QA); a ára d dragm a dclvdad (QAI); a ára d dragm dsdad d dragm (QADD); ára d dragm, a dclvdad a dsdad d dragm (QAIDD). A avalação da clusão d uma ova varávl ao modlo QA é ralzada através do tst da sgfcâca da quação d rgrssão lar múltpla do tst d parts d um modlo d rgrssão lar múltpla. Icalmt aalsa-s o modlo qu utlza somt a ára d dragm como varávl dpdt, ou sja, Q A lq l l A (9.96) (9.97) A Tabla 9.9 aprsta os somatóros dos quadrados a statístca F do tst d sgfcâca da quação d rgrssão a forma d uma tabla ANOVA. Tabla 9.9 ANOVA modlo QA Rgrssão gl SQ MQ 33,43 33,43 F 95,798 Rsíduo 3,473,33 Total 4 33,953 O modlo QA é cosdrado sgfcatvo, pos a hpóts ula do tst,, é rjtada uma vz qu: 39

41 F F, 5; ; , 67 (9.98) Os parâmtros do modlo QA, o cofct d dtrmação o rro padrão stão a Tabla 9.. A clusão da dclvdad como mas uma varávl xplcatva o modlo da quação 9.96 rsulta m: Q A I lq l l A l I (9.99) (9.) Os parâmtros do modlo QAI, o cofct d dtrmação o rro padrão stão a Tabla 9.. A statístca F do tst d sgfcâca da quação d rgrssão os somatóros dos quadrados do modlo QAI stão a Tabla 9.. Tabla 9. ANOVA modlo QAI gl SQ MQ F Rgrssão 33,798 6, ,9 Rsíduo,755,9796 Total 4 33,953 O modlo QAI também é cosdrado sgfcatvo pos a statístca do tst é maor qu o valor d rfrêca para um ívl d sgfcâca d 5%, ou sja, F 688 F, 5; ; 3, 89. A cotrbução da varávl dclvdad para a soma dos quadrados da rgrssão, SQ R g I, cosdrado qu a varávl ára d dragm já stá cluída, é stmada pla quação , 7 33, 4, 3 SQ R g I A statístca do tst d parts d um modlo d rgrssão lar múltpla é calculada pla quação Sdo assm, F P SQ R g MQ R s I Como, 4 F, 5; ;, 3 3, 4, 98 F P 3 4, 75, a clusão da varávl dclvdad ão mlhora sgfcatvamt o modlo quado s cosdra um ívl d sgfcâca d 5%. 393

42 Acrsctado a dsdad d dragm como mas uma varávl xplcatva o modlo da quação 9.96 obtêm-s: Q A DD lq l l A l DD (9.) (9.) Os parâmtros do modlo QADD, o cofct d dtrmação o rro padrão stão a Tabla 9.. A statístca F do tst d sgfcâca da quação d rgrssão os somatóros dos quadrados do modlo QADD stão a Tabla 9.. Tabla 9. ANOVA modlo QADD gl SQ MQ F Rgrssão 33,4797 6, ,935 Rsíduo,4557,88 Total 4 33,953 O tst da sgfcâca da quação d Rgrssão Lar Múltpla dcou qu o modlo QADD pod sr cosdrado sgfcatvo para um ívl d F 39, 9 F, 5; ; 3, 89. sgfcâca d 5%, uma vz qu A cotrbução da varávl dsdad d dragm para a soma dos quadrados da rgrssão, SQ R g DD, cosdrado qu a varávl ára d dragm já stá cluída, é stmada pla quação A statístca do tst d parts d um modlo d rgrssão lar múltpla é calculada pla quação Sdo assm, SQ R g I, 5 FP, 4 MQ R s, 88 A clusão da varávl dsdad d dragm ão mlhora sgfcatvamt o modlo quado s cosdra um ívl d sgfcâca d 5%, pos, 4 F, 5; ; 4, 75. F P 33, 48 33, 43, 5 SQ R g DD Acrsctado a dsdad d dragm como mas uma varávl xplcatva o modlo da quação 9.99 obtêm-s: 394

43 Q.A.I DD 3 lq l l A l I 3 l DD (9.3) (9.4) Os parâmtros do modlo QAIDD, o cofct d dtrmação o rro padrão stão a Tabla 9.. Etrtato, como a clusão das varávs dclvdad dsdad d dragm mostrou-s ão sgfcatva, ão é cssáro avalar o modlo a três varávs xplcatvas, uma vz qu tríamos um modlo sgfcatvo, mas com xcsso d varávs xplcatvas qu ão cotrbum sgfcatvamt para a xplcação da varâca total da vazão míma com 7 das d duração. Modlo QA QAI QADD QAIDD Tabla 9. Parâmtros dos modlos l ( ) ( ) ( ) ( 3 ) Erro Padrão -5,696-5,739-5,45-5,7579,9889,55,9884,54,344 -,348,93 -,3,9956,9965,9957,9965,65,99,9,5 Aalsado os rsultados atrors vrfca-s qu a clusão das varávs dclvdad dsdad d dragm ão traz gahos sgfcatvos ao modlo d stmatva das vazõs mímas médas com 7 das d duração. Dssa forma, o mlhor modlo é o qu adota somt a ára d dragm como varávl xplcatva, ou sja, a quação A partr do comportamto dos rsíduos a Fgura 9. vrfca-s qu os rsíduos são dpdts qu a varâca pod sr cosdrada aproxmadamt costat. A Fgura 9. aprsta o ajust tr os rsíduos uma dstrbução ormal d méda zro dsvo padrão gual a,65. A aáls d rgrssão fo ralzada com dados trasformados, sdo assm, é cssáro ralzar a opração d vrsão do parâmtro l para dfr o modlo a forma da quação Q, 596A l xp 5696, 569 xp,,

44 Fgura 9. Rsíduos Exrcícos Dduzr a quação 9.8 Mostrar qu a corrlação tr a varávl dpdt, Y, a sua stmatva, Ŷ, é quvalt ao cofct d corrlação da rgrssão smpls. 3 A Tabla 9.3 aprsta os valors da ára d dragm a vazão méda d logo trmo d staçõs fluvomércas da baca do alto ro São Fracsco. Estm a quação d rgrssão lar cosdrado a ára d dragm (km²) como a varávl dpdt. a) Vrfcar s os dsvos atdm a hpóts d homoscdastcdad b) Calcular o rro padrão o cofct d dtrmação c) Plotar os trvalos d cofaça d 95% da lha d rgrssão do valor prvsto. Q Tabla 9.3 Áras d dragm vazõs médas d logo trmo Exrcíco 3 Estação Ára (km ) Q mlt (m 3 /s) Estação Ára (km ) Q mlt (m 3 /s) Estação Ára (km ) Q mlt (m 3 /s) 83,9 88,3 79,4 48,3 675,7 769,7 875,8 964,,3,9 4,4 7,34 8,7 8,49 8,9 8, ,9 743,5 4,4 377,4 44,9 4874, , 9,3 34, 4,9 65,3 75, 77, 77,5 86, , ,5 388,8 48, 9366,8 85, (Adaptado d Haa,979) Estm a quação d rgrssão do xrcíco 3 cosdrado a vazão méda d logo trmo como varávl dpdt. a) O modlo obtdo cocorda com o stmado o xrcíco atror b) Os modlos dvram cocordar? Por quê? 396

45 5 Utlzado os dados da Tabla 9.3, stm a quação d rgrssão cosdrado uma rlação potcal tr a vazão méda d logo trmo a ára d dragm, ou sja, Q = ka C. Compar os rsultados do modlo com os obtdos o xrcíco 3. 6 Em mutos casos é mas covt utlzar um modlo d rgrssão do tpo Y = ax, ou sja, a rta d rgrssão passa pla orgm o parâmtro b é gual a zro. a) Dduza a quação ormal para ssa stuação b) Calcul a rta d rgrssão passado pla orgm para os dados do xrcíco 3. 7) Dduzr as quaçõs ormas para o sgut modlo parabólco Q = a + bh + ch, o qual Q dota as dscargas H os ívs d água m uma stação fluvométrca. 8) A Tabla 9.4 aprsta uma lsta d mdçõs d dscargas ralzadas m um posto fluvométrco. Q a bh ch H (m),,8,9,56 Tabla 9.4 Lsta d mdçõs d dscargas do xrcíco 8 Q (m 3 /s) 4 9 H (m) Q (m 3 /s) H (m) Q (m 3 /s) H (m) Q (m 3 /s),9,36,7 4, ,73 4,87 5,84 7, , 8,84 9, a) Faça um gráfco dos potos cota-dscarga com H m ordadas Q m abcssas. b) Estm a rlação cota-dscarga (curva chav), usado os sguts modlos d rgrssão: Q a bh ch Q a H h od h rprsta a cota para a vazão ula. c) Dsh o gráfco do tm (a) as duas curvas ajustadas. Dcda qual é o mlhor modlo d rgrssão a partr da comparação da varâca rsdual, dada pla fórmula S k obs st Q Q, od é o tamaho da amostra, k é o úmro rs d varávs xplcatvas os ídcs obs st rfrm-s aos valors obsrvados stmados, rspctvamt. d) Uma pot srá costruída ss local, o qual stua-s a crca d 5 m a jusat d uma barragm. O tabulro dssa pot dvrá tr uma altura sufctmt grad para prmtr a passagm da dscarga d projto do 397

46 vrtdor da barragm qu é d 5 m 3 /s. Dtrm a cota altmétrca míma do tabulro da pot, sabdo qu o RN-, d cota arbtrára 5,673 m m rlação ao zro da régua, possu cota altmétrca 73,9 m. Fgura 9.3 Exrcíco 8 9 A curva d dupla massa é muto utlzada m ghara d rcursos hídrcos para dtctar problmas a cosstêca d dados pluvométrcos. Essa curva prmt a comparação gráfca tr os valors acumulados das prcptaçõs auas (ou msas) obsrvadas a stação m aáls os valors acumulados das prcptaçõs auas (ou msas) rgoas, qu são stmadas como as médas artmétcas d váras staçõs vzhas. A Tabla 9.5 aprsta os totas auas d uma stação m aáls da méda rgoal. Graf a prcptação acumulada rgoal o xo das abscssas a prcptação acumulada da stação m aáls o xo das ordadas. a) A partr d qu ao parc havr uma mudaça a clação da curva d dupla massa? b) Calcul as claçõs das rtas d rgrssão cosdrado dos cáros dsttos. O prmro, com os dados atrors a apart mudaça d clação o outro utlzado os dados postrors a ssa altração. c) Tstar a hpóts das claçõs srm sgfcatvamt dfrts. Tabla 9.5 Dados do xrcíco 9 Ao 96 Aalsada (mm) Méda Rgoal (mm) Em um studo d rgoalzação d vazõs máxmas, o qual fo aplcado o método dx-flood, dfu-s uma rgão homogêa com 3 staçõs 398

47 fluvométrcas. Nss studo as médas das vazõs máxmas foram utlzadas como fator d admsoalzação das sérs. Dfa um modlo d rgrssão qu prmta a stmatva do fator dx-flood m locas qu ão possuam staçõs fluvométrcas utlzado como possívs varávs xplcatvas as aprstadas a Tabla 9.6. Calcular o rro padrão plotar os trvalos d cofaça d 9% do plao d rgrssão do valor prvsto. Tabla 9.6 Dados do xrcíco Estaçõs Q max médo Ára (Km) P médo (m) I quv (m/km) L (km)l (km),6 83,9,436,7 8 9,8 88,3,46 3, 6,4 3 3,4 44,466 7, 8,3 4 35,5 73,53 4, ,5 9,,46 3,94 3,7 6 64,7 46,4,4, ,9 486,4,369,5 47,3 8 78, 578,5,464 3,8 4,6 9 74,5 675,,485,96 53,8 4,6 465,,49,8 88,9 437, 3939,,4, 87,4 54,7 544,,448,8 8, 3 534, 568,4,449 36,33 399

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