APLICAÇÕES DO PEQUENO TEOREMA DE FERMAT

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1 Encontro d Ensino Psquisa Extnsão Prsidnt Prudnt 20 a 23 d outubro APLICAÇÕES DO PEQUENO TEOREMA DE FERMAT APPLICATIONS OF THE FERMAT'S LITTLE THEOREM Vanssa d Fritas Travllo 1 ; Luana Batriz Cardoso¹; Juliano Frrira Lima¹; Thiago Mariano Viana¹; Antonio Carlos Tamarozzi² Univrsidad Fdral d Mato Grosso do Sul UFMS Três Lagoas MS -mail: 1 Bolsista do Grupo PET MATEMÁTICA Matmática/CPTL/UFMS ²Tutor do Grupo PET MATEMÁTICA Matmática/CPTL/UFMS RESUMO - O Pquno Torma d Frmat é um rsultado d impacto para a divisibilidad na Toria dos Númros O tma foi insrido como part d um projto d iniciação cintifica dsnvolvida plos autors como uma das atividads do grupo PET/Matmática da UFMS/Campus d Três Lagoas O dsnvolvimnto do projto foi ralizado através d lvantamnto bibliográfico studo tórico do assunto discussõs aprsntaçõs d sminários com a orintação do tutor laboração do rlatório final O trabalho propiciou contato com algumas das técnicas comumnt utilizadas m problmas introdutórios da toria dos númros mais spcificamnt a anális d congruências Como aplicaçõs foram stablcidas divrsas congruências importants algumas dlas d impacto para o dsnvolvimnto da Toria dos Númros O studo pod sr stndido a rsultados com a função d Eulr m consquência pod sr aprsntado o funcionamnto do método criptográfico RSA qu constitui uma aplicação xtrmamnt podrosa dsta toria Matmática Palavras-chav - Tst d Primalidad Criptografia Toria dos númros ABSTRACT - Frmat's Littl Thorm is a rsult of impact for divisibility in Numbr Thory Th thm was insrtd as part of a rsarch projct dvlopd by th authors as on of th activitis of th group PET/Math UFMS/CPTL Th dvlopmnt projct was conductd through a litratur rviw thortical study of th subjct discussions and sminar prsntations with guidanc from th tutor and prparing th final rport Th work ld to contact with som of th tchniqus commonly usd in introductory problms of numbr thory spcifically th analysis of congruncs As applications svral important congruncs som impact to th dvlopmnt of th Thory of Numbrs wr stablishd Th study was xtndd to rsults with th Eulr function thrfor th opration of th RSA cryptographic mthod that is an xtrmly powrful Maths application of this thory can b displayd Kywords - Primality tst Cryptography numbr thory Colloquium Exactarum vol 6 n Espcial Jul Dz 2014 p ISSN: DOI: /c2014v6nsp000077

2 Encontro d Ensino Psquisa Extnsão Prsidnt Prudnt 20 a 23 d outubro INTRODUÇÃO Pirr d 2 METODOLOGIA Frmat não ra um O trabalho é rsultado d uma matmático d fato prstava srviço como psquisa tórica dsnvolvido através d juiz ddicava-s à Matmática m suas discussõs do tma com o orintador horas d lazr Assim foi considrado um aprsntaçõs d sminários como part das matmático amador conhcido como o atividads do programa PET - Matmática no Príncip dos Amadors A influncia d studo d Introdução à Toria dos númros Frmat na matmática foi limitada pla não O trabalho incluiu uma tapa d publicação d sus trabalhos dscobrtas litura Assim como outros matmáticos suas dsnvolvimnto das atividads propostas psquisas ram conhcidas através d cartas um rlatório dissrtativo dos rsultados anotaçõs nviadas a amigos também obtidos matmáticos dsnvolvidas foram avaliados através da Frmat studou divrsas áras da rsoluçõs O studo d xrcícios as atividads aprsntação d sminários d discussõs matmática mas foi graças aos sus studos m Toria dos Númros qu l ficou 3 RESULTADOS famoso Foi o primiro a dscobrir nunciar O rsultado d Pirr d Frmat o Pquno Torma d Frmat apsar d conhcido como Pquno Torma d qu a dmonstração d tal torma tr sido Frmat pod sr assim nunciado: dada por Eulr Est trabalho tm como objtivo o aprimoramnto das torias algébricas com 31 TEOREMA DE FERMAT - Dados intiros com bas m congruência suas aplicaçõs A primo ntão xcução dst trabalho como método d Para a dmonstração dss torma invstigação cintifica propiciou a insrção dos alunos do PET Programa d Educação utilizamos o lma: Sja um númro primo Tutorial nvolvidos na psquisa Matmática Os númros da forma ond através do dsnvolvimnto d frramntas são todos divisívis por introdutórias para a toria dos númros m consquência a ramos importants da Dmonstração do torma - Vamos provar o Matmática rsultado por indução sobr com rsultado val claramnt para Colloquium Exactarum vol 6 n Espcial Jul Dz 2014 p ISSN: DOI: /c2014v6nsp O pois

3 Encontro d Ensino Psquisa Extnsão Prsidnt Prudnt 20 a 23 d outubro Supondo o rsultado válido para irmos prova-lo para Pla formula do binômio d Nwton TEOREMA FERMAT um primo qu Plo lma aprsntado acima pla hipóts d indução o sgundo mmbro da igualdad acima é divisívl por Qu é o qu quríamos provar Dmonstração - Plo Pquno Torma d Frmat 31 tmos qu como qu Notação: utilizarmos sgu-s imdiatamnt divid para dsignar o máximo divisor comum ntr os númros Obsrvação: Tmos como consquência dss torma o tst d não primalidad qu é dado por: Sja Pod-s mostrar qu a rcíproca do fato considrando ntão Not ssa condição é quivalnt a pois qu não é primo torma d Frmat srão aprsntadas duas proposiçõs importants d congruência A proposição sguint é um rsultado Por outro lado tal qu s divisibilidad d númros primos s Ants d aprsntar as aplicaçõs do tal qu com com xistir um Pquno Torma d Frmat não é valida D SEGUNDA tm-s intiros DE VERSÃO - Dados não divid 32 clássico qu caractriza os númros primos portanto plo pquno torma d Frmat 33 PROPOSIÇÃO Sjam primo S para todo tal qu Mas 561 qu ntão xist tal Vamos supor qu com ntão ou Dmonstração - S Sgu-s daí qu 561 divid Assim xist ntão tais qu não é primo Multiplicando O Pquno Torma d Frmat m ambos os lados da igualdad acima tmos qu adquir outro formato qu pod sr assim dscrito: Colloquium Exactarum vol 6 n Espcial Jul Dz 2014 p ISSN: DOI: /c2014v6nsp000077

4 Encontro d Ensino Psquisa Extnsão Prsidnt Prudnt 20 a 23 d outubro substituindo por nsta última igualdad tmos qu Torma d Frmat para mlhor ntndimnto do concito dado 1 portanto Sja primo maior qu 2 provarmos qu D forma análoga suponhamos qu chgamos qu Portanto ou Prova: Vamos analisar a congruência d cada uma A proposição consquências sguint importants tm para das parclas do primiro mmbro st trabalho: com não ambos nulos tmos qu quival qu Dmonstração - tmos qu implica qu com como sgu qu qu assim o ou sja Portanto somando congruências obtmos qu qu implica qu como tmos Assim prossguindo obtmos similarmnt tmos qu Logo assim qu qu tmos 34 PROPOSIÇÃO - Dado assim Dado qu o rsultado sgu sgu por transitividad qu Obsrvação: Um caso particular da proposição 34 é o sguint rsultado: dados com qu Então primos ntr si tais 2 Encontrar o rsto da divisão d por 17 Com o trabalho d psquisa xploramos algumas aplicaçõs do Pquno Tmos qu 17 é primo não divid 2 ntão plo Pquno Torma d Frmat Colloquium Exactarum vol 6 n Espcial Jul Dz 2014 p ISSN: DOI: /c2014v6nsp000077

5 Encontro d Ensino Psquisa Extnsão Prsidnt Prudnt 20 a 23 d outubro O rsultado sgu da sguint fatoração mas = Portanto [ ] Assim tmos plo Pquno Torma por é haja vista qu plo pquno torma d Frmat d Frmat qu o rsto da divisão d tmos qu 4 Mostrarmos qu para todo 3 Usamos o Torma para mostrar qu é natural o númro: para todo númro intiro Tmos qu 42 é divisívl por sndo sts númros primos ntr si D Prova: Eftuamos inicialmnt a sguint simplificação da xprssão dada: acordo com a proposição 34 é suficint vrificarmos qu cada um dls divid Esta vrificação srá fita nos itns a b c qu sgum: a por Frmat Tmos plo Pquno Torma d Frmat qu é divisívl por 5 ou sja sja Tmos é divisívl por 3 ou Assim xistm tais qu uma aplicação dirta do Pquno torma d b logo substituindo m * trmos: Plo Pquno Torma d Frmat tmos qu qu é suficint para trmos o assim tmos qu c númro natural para todo Colloquium Exactarum vol 6 n Espcial Jul Dz 2014 p ISSN: DOI: /c2014v6nsp é um

6 Encontro d Ensino Psquisa Extnsão Prsidnt Prudnt 20 a 23 d outubro Podmos vrificar qu para todo Como sabmos 5 é primo Tmos qu 15 é divisívl por 3 5 logo basta provar qu sgu qu o qu srá fito nos itns sguints: b S a ntão Tmos plo Pquno Torma d Tmos claramnt qu Como sabmos d acordo com o Pquno Torma d Frmat Logo sgu qu mas é divisívl por 5 sndo o msmo ocorrndo com ntão Frmat qu s sgu da proposição 33 qu b 7 Mostrarmos qu divisívl por 13 s Tmos qu porqu é divisívl por 3 plo pquno torma d Frmat Dado qu é imdiato Mostrarmos são primos com 13 também divisívl por 91 s é qu é são primos com 91 Solução: Sndo a sgu qu 3 também divid a soma ou sja b um divisor Logo pla proposição 34 tmos qu 15 c Uma anális similar mostra qu 5 também é mostrmos qu Mas para qualqur 6 Sja a S ntão Como Mostrmos qu: Frmat qu s ntão mas sgu do Pquno Torma d Frmat Tmos plo Pquno Torma d Em particular tmos qu 13 também divid o oposto ou sja 13 Portanto Colloquium Exactarum vol 6 n Espcial Jul Dz 2014 p ISSN: DOI: /c2014v6nsp000077

7 Encontro d Ensino Psquisa Extnsão Prsidnt Prudnt 20 a 23 d outubro d E sgu imdiatamnt o rsultado Tmos qu 91 é divisívl somnt por ii 7 13 qu são primos ntr si Logo é suficint mostrarmos qu 7 13 são divisors d Obsrvmos qu Assim plo Pquno torma d Frmat tmos qu Logo Agora basta provarmos qu tmos a soma d dois produtos divisívis por 7 Como ntão logo iii tmos plo Pquno torma d Frmat qu = Da msma forma o somando assim assgurado qu Assim plo Pquno torma d Frmat é divisívl por 7 Como 7 divid as duas parts da soma já tmos rsulta tmos qu Logo como dsjado iv 8 Provarmos qu para todo o númro dfinição Assim plo Pquno torma d Frmat Da é divisívl por 2 3 d congruência tmos qu tmos qu Logo Tmos qu 273 é divisívl por 37 13; assim basta mostrarmos qu divid i v proposição 34 Essa é uma aplicação dirta do pquno torma d Frmat vi Colloquium Exactarum vol 6 n Espcial Jul Dz 2014 p ISSN: DOI: /c2014v6nsp000077

8 Encontro d Ensino Psquisa Extnsão Prsidnt Prudnt 20 a 23 d outubro Tmos 273 é fatorávl por TEOREMA DE EULER-FERMAT Sjam Pla proposição 34 por ii iv v tmos com qu Dmonstração: ntão Sja sistma rduzido módulo Aprsntarmos agora uma pquna introdução ao torma d Eulr qu é uma xtnsão do torma aprsntado nst um sistma rduzido módulo trabalho Ncssitamos da dfinição da Portanto Dfinição: para todo Dsignarmos por 2 qu corrspond à quantidad d númros Como Sgu qu naturais ntr 0 m -1 qu são primos com m Pondo o forma númro d lmntos d um sistma rduzido d rsíduos módulo sja E como ntão função phi d Eulr ou um stá dfinida uma important função : conhcida como função phi d Eulr Um important rsultado da função d Eulr é dado por: Sjam Obsrvamos qu rsulta dirtamnt ntão da dfinição qu para todos tais qu Tal rsultado não srá dmonstrado nss trabalho 35 PROPOSIÇÃO - S ntão s somnt s for primo Exmplos 1 Dtrminmos Dmonstração: D fato s é primo ntão o sistma rduzido modulo é formado por: Tmos qu 1024 = assim Como 2 é primo usando a consquência da proposição 35 trmos Utilizando a proposição antrior uma contagm simpls podmos mostrar qu s é primo ntão Logo Colloquium Exactarum vol 6 n Espcial Jul Dz 2014 p ISSN: DOI: /c2014v6nsp000077

9 Encontro d Ensino Psquisa Extnsão Prsidnt Prudnt 20 a 23 d outubro 2014 Assim 2 Ach o rsto da divisão 34 Tmos qu Então plo torma d Eulr-Frmat Portanto 13 é o rsto da divisão d 34 4 DISCUSSÃO por Ao longo do trabalho studamos congruências divisibilidad sob a ótica do Pquno Torma d Frmat A partir dst rsultado obtmos aprsntaçõs d problmas da álgbra básica com maior lgância prcisão alm d possibilitar gnralizaçõs importants 5 CONSIDERAÇÕES FINAIS O trabalho propiciou contato com algumas das técnicas comumnt utilizadas m problmas introdutórios da toria dos númros mais spcificamnt a anális d congruências Como aplicaçõs foram stablcidas divrsas congruências importants algumas dlas d impacto para o dsnvolvimnto da Toria dos Númros A continuidad do studo dst tma pod sr stndido a rsultados com a função d Eulr qu visa gnralizar o Pquno Torma d Frmat para quaisqur númros intiros utilizando para isso a função d Eulr m consquência pod sr aprsntado o funcionamnto do método criptográfico RSA qu constitui uma aplicação toria Matmática xtrmamnt podrosa dsta A squência didática aprsntada nst trabalho tv rsultados d impacto motivador para o studo da Matmática dsnvolvido com alunos do curso d Licnciatura m Matmática AGRADECIMENTOS Os autors agradcm ao programa d Educação Tutorial PET-MAT o apoio financiro REFERÊNCIAS COUTINHO Svrino C Númros Intiros Criptografia RSA Séri Computação Matmática SBM 1997 DOMINGUES Hygino HÁlgbra modrnasão Paulo: Atual 2003 HEFEZ Abramo Elmntos d Aritmética 2 d Rio d Janiro RJ: SBM 2006 iv 169 txtos univrsitários MARTINEZ Fabio Brochro; t al Toria dos númros: um passio com primos outros númros familiars plo mundo intiro 2 d Rio d Janiro: IMPA 2011 SANTOS José Plínio d Olivira Introdução à Toria dos Númros Rio d Janiro Instituto d Matmática Pura Aplicada CNPq Colloquium Exactarum vol 6 n Espcial Jul Dz 2014 p ISSN: DOI: /c2014v6nsp000077

10 Encontro d Ensino Psquisa Extnsão Prsidnt Prudnt 20 a 23 d outubro 2014 SCHEINERMAN Edward R Matmática discrta: uma introdução Tradução da 2 Ed Nort amricana São Paulo: Cngag larning Colloquium Exactarum vol 6 n Espcial Jul Dz 2014 p ISSN: DOI: /c2014v6nsp000077

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