Números inteiros: alguns critérios de divisibilidade

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1 Númros intiros: alguns critérios d divisibilidad ANDRÉ FONSECA E TERESA ALMADA UNIVERSIDADE LUSÓFONA andrfonsca@ulusofonapt, talmada@ulusofonapt 36 GAZETA DE MATEMÁTICA 170

2 O inclum vários critérios d divisibilidad d númros naturais d divisibilidad para númros intiros tm uma dmonstração muito simpls qualqur númro primo com 10 a qu possa sr lido msmo por qum stá a iniciar-s no studo da matmática PRELIMINARES Dmonstração Comcmos por dmonstrar o rsultado para d q d tal modo qu a difrnça ncontrar o lmnto mínimo do conjunto é um númro intiro Como os lmntos do conjunto X prtncm a, s st X Como, ntão, ou sja, é um lmnto do conjunto X, portanto, o conjunto X é não vazio Sja r o lmnto mínimo do conjunto X sja q um númro intiro tal qu, ou sja, Dmonstrmos qu S, ntão Como prtnc a X, q r rfridas dmonstrando qu s q, q, r r com com, ntão Suponhamos qu Como, tm-s Como concluímos qu, ou sja, isto é, Como d prtnc a, trá d sr, ou sja, Então, portanto, S, ntão q r, únicos, tais qu, com com Dividndo Divisor Quocint Rsto tira no conjunto dos númros intiros Comçamos por vr qu ralmnt é possívl ftuar a divisão intira m - d num númro a - d a quando é qu a difrnça Dizr qu há q vzs d m a qu q é mínima, ou sja, Proposição 1 S a d são númros intiros d é não nulo, q r, únicos, d tal modo qu NÚMEROS INTEIROS: ALGUNS CRITÉRIOS DE DIVISIBILIDADE André Fonsca Trsa Almada 37

3 Dados a d númros intiros supondo qu d é difrnt d zro, dizmos qu d é um divisor d a, ou qu d divid a, ou ainda qu a é divisívl por d, ou até msmo qu a é um múltiplo d d, s o rsto da divisão intira d a por d é zro, isto é, s q d tal modo qu a é divisívl por um produto d númros intiros não nulos, ntão é divisívl por cada um dos fators Com fito, s, ntão No ntanto, um númro intiro a sr divisívl por por a sja divisívl plo produto qu um númro ao sr divisívl por dois númros é também qu srá aprsntada mais à frnt, nvolv os concitos d - rsultados prliminars S n é um númro intiro, rprsntamos por o conjunto d todos os múltiplos d n O conjunto dos múltiplos d n pridads: 1 O conjunto é não vazio, pois ; 2 S a prtnc a b prtnc a, ntão prtnc a 3 S a prtnc a m prtnc a, ntão ma prtnc a tm as propridads (1) a (3), dizmos qu é um idal d com stas propridads chamamos um idal d, isto é, um idal d é um subconjunto I d com as propridads: 1 O conjunto I é não vazio; 2 S a b são lmntos d I, ntão é um lmnto d I; 3 S a é um lmnto d I é um númro intiro qualqur, ntão é um lmnto d I Obsrvamos qu o conjunto o conjunto são idais d, já qu Um númro intiro d não nulo é divisor d um intiro a s, só s, a é um lmnto d Est facto vidncia o papl dos idais na toria da divisibilidad Obsrvamos qu s I é um idal d, ntão zro é um lmnto d I D facto, por I a m I Da propridad 2 rsulta qu é um lmnto d I a é um lmnto d I, o msmo acontc com, pois s a é um lmnto d I, ntão, pla propridad 2, é um lmnto d I Proposição 2 Um subconjunto I d é um idal d s, n d tal modo qu Dmonstração Do qu obsrvámos ants dcorr qu os conjuntos da forma são idais d I é um idal d n d tal modo qu Sja I um idal d S, ntão Suponhamos qu sja a um lmnto não nulo d I Ou ou, plo qu o conjunto P é não vazio os sus lmntos são númros naturais Sja n o lmnto mínimo d P vjamos qu d idal, qualqur múltiplo d n é um lmnto d I, já qu sndo n um lmnto d P, n é também um lmnto d I a um lmnto d I vjamos qu a é um múltiplo d n Como n é difrnt d zro, pla proposi- q r d tal modo qu S, ntão sria Como a n são lmntos d I, o msmo acontc com - é um lmnto positivo d I, portanto, um lmnto d P Dado qu n é o lmnto mínimo d P, tm-s qu, contrariando o facto d s tr, portanto, é um lmnto d Esta proposição prmit mostrar qu dados dois númros - Dados númros intiros a b, não ambos nulos, um númro intiro positivo d diz-s máximo divisor comum d a b s 38 GAZETA DE MATEMÁTICA 170

4 1 d é divisor d a d b, ou sja, d é divisor comum d a b; 2 S c é divisor d a d b, ntão c é um divisor d d Proposição 3 S a b são númros intiros não ambos nulos, a b Dmonstração Considrmos o conjunto I y são númros intiros arbitrários} I é um idal d I plo, são lmntos d I S são lmntos d I, ntão, o qu prova qu é um lmnto d I, s é um lmnto d I z é um númro intiro, ntão é um lmnto d I I é um idal d Como a b são lmntos d I a b não são ambos nulos, d d tal modo qu d comum d a b Como a b são lmntos d, concluímos qu d é um divisor comum a a a b Suponhamos qu c é um divisor d a d b Então, a b são lmntos d, como st conjunto é um idal, todos os lmntos d são lmntos d, m particular o númro é um lmnto d, o qu prova qu c é um divisor d d Quanto à unicidad, obsrv-s qu s d d são ambos má- a d b d divid d qu d divid d Em, tm-s ou, mas como um concluímos qu S a b são númros intiros não ambos nulos, scrvmos d d a b Corolário Idntidad d Bézout S a b são númros intiros não ambos nulos d = mdc(a,b) ros x y tais qu Dmonstração Da dmonstração da proposição antrior dcorr qu d é um lmnto do conjunto y são númros intiros arbitrários} x y tais qu Étiènn Bézout ( ) Obsrvamos qu os númros intiros x y rfridos na idnti- plo, mdc (4, 6) = 2 Étiènn Bézout, autor d várias obras, das quais dstacamos Théori général ds équations algbriqus p s diz primo s p dois divisors positivos distintos, a sabr: o númro 1 o númro, 0 1 não são númros primos, pois nquanto qualqur númro intiro positivo é divisor d 0 visor comum qu s p é um númro primo a é um númro intiro não divisívl por p, ntão mdc Dois númros intiros a b dizm-s primos ntr si s mdc Proposição 4 Sjam a, b p númros intiros suponhamos qu p é distinto d, d 0 d 1 O númro p é um númro primo s, só s, p dividir a ou dividir b, smpr qu p divida o produto ab Dmonstração Suponhamos qu p é um númro primo admitamos qu p divid o produto ab não divid a Qurmos mostrar qu p divid b Como p é primo não divid a, ntão mdc intiros tais qu Então, NÚMEROS INTEIROS: ALGUNS CRITÉRIOS DE DIVISIBILIDADE André Fonsca Trsa Almada 39

5 é Como p divid o produto ab q d tal modo qu Substituindo ab, obtmos qu, p divid b p divid um produto, ntão p divid um dos fators provmos qu p é um númro primo Dmonstrmos qu s d é um divisor positivo d p, ntão ou Sja d um divisor positivo d p ro intiro k d tal modo qu Todo o númro intiro p divid dk plo qu, usando a hipóts, s tm p divid d ou p divid k S p divid d q 1 d tal modo qu Substituindo d k, obtmos, ou sja, k ou k S k, ntão S k = 1, ntão S p divid k q 2 d tal modo qu Substituindo k k, obtmos, dond, consquntmnt, d = 1 ALGUNS CRITÉRIOS DE DIVISIBILIDADE Proposição 5 Sjam a, númros intiros suponhamos qu são númros primos ntr si Tm-s qu o produto é um divisor d a s, só s, os númros são divisors d a Dmonstração Conform foi obsrvado antriormnt, s a é divisívl por, ntão divisívl por por Suponhamos qu um númro intiro a é divisívl por por com primos ntr si dmonstrmos qu a é divisívl por Sjam númros intiros tais qu Critério d divisibilidad por 12 Um númro intiro é divisívl por 12 s, só s, é divisívl por 3 por 4 Critério d divisibilidad por 14 Um númro intiro é Critério d divisibilidad por 15 Um númro intiro é divisívl por 15 s, só s, é divisívl por 3 por 5 Critério d divisibilidad por 18 Um númro intiro é Critério d divisibilidad por 21 Um númro intiro é CONGRUÊNCIAS S a, b n são númros intiros, dizmos qu a é congrunt com b módulo n s a b intira por n Nst caso scrvmos a, b c são númros intiros, ntão 1 ; 2 Simtria: s, ntão ; 3 Transitividad: s, ntão tm as propridads (1) a (3), dizmos qu a rlação é uma rlação d quivalência Uma rlação d congruência compatívl com a opração d adição com a opração d multiplicação Proposição 6 S a, b n são númros intiros n é positivo, ntão s, só s, n é um divisor d Como númros intiros x y tais qu Tm-s, o qu prova qu o produto divid a Esta proposição prmit dduzir vários critérios d divi- dsss critérios Dmonstração Suponhamos qu Então, a b n tm númros intiros q 1, q 2 r tais qu, com Como concluímos qu n divid n é um divisor d sja q um númro intiro tal qu Critério d divisibilidad por 6 Um númro intiro é divisívl por 6 s, só s, é divisívl por 2 por 3 Sjam q 1, q 2, númros intiros tais qu, com, 40 GAZETA DE MATEMÁTICA 170

6 Suponhamos qu Então Como, ntão, pla unicidad do rsto, obtmos qu, ou sja Proposição 7 Sjam a, b, c, d n númros intiros com n positivo S, ntão Dmonstração Suponhamos qu Então, são múltiplos d n CRITÉRIO GERAL DE DIVISIBILIDADE Obsrvamos qu, dados númros intiros a d, com d não nulo, provar qu a é divisívl por d é mostrar qu a divisão intira d a por d ro pod sr rprsntado na forma Na vrdad, qualqur númro intiro pod sr scrito naqula forma S é a rprsntação no sistma dcimal d um númro intiro a, ntão é um múltiplo d n, portanto, é múltiplo d n,, portanto, S a n são númros intiros n é positivo, rprsntamos por o conjunto d todos os númros intiros con- a módulo n class d congruência módulo n do númro intiro a, isto é, o conjunto a na divisão intira por n Tm-s s, só s, É d notar qu s a é um númro intiro, ntão i d, com d difrnt d zro, rprsntamos por o rsto da divisão intira d por d Do qu dissmos ants, rsulta qu Proposição 8 Critério gral d divisibilidad Sjam d númros intiros suponhamos qu d é não nulo Tm-s qu o númro a é divisívl por d s, só s, o númro intiro é divisívl por d Dmonstração O númro a é divisívl por d s, só s, ond r é o rsto da divisão intira d a por n Como os rstos possívis na divisão intira por n são os númros intiros d 0 a n classs d n distintas,,, n uma opração d adição Mas s, só s,, portanto, a é divisívl por d s, só s, o númro intiro é divisívl por d NÚMEROS INTEIROS: ALGUNS CRITÉRIOS DE DIVISIBILIDADE André Fonsca Trsa Almada 41

7 Corolário 1 Critério d divisibilidad por 2 Um númro intiro das unidads, a 0, é um númro par Dmonstração Como smpr qu i > 0, ntão, portanto, d acordo com a proposição antrior, a é divisívl por 2 s, só s, a 0 é divisívl por 2 ou, quivalntmnt, a 0 é um númro par Corolário 2 Critério d divisibilidad por 3 Um númro intiro é divisívl por 3 s, só s, o númro é divisívl por 3 Dmonstração Como, qualqur qu sja o i, ntão a é divisívl por 3 s, só s,, é divisívl Corolário 3 Critério d divisibilidad por 4 Um númro intiro é divisívl por 4 s, só s, o númro a 1 a 0 é divisívl por 4 Dmonstração Como,, smpr qu i sja maior do qu 1, ntão a é divisívl por 4 s, só s, a proposição 8, é divisívl por 4 s, só s, é divisívl por 4, ou sja, um númro intiro é divisívl por 4 s, só s, o númro constituído plos sus dois últimos Corolário 4 Critério d divisibilidad por 5 Um númro intiro das unidads,, é zro ou cinco Dmonstração Como, smpr qu, ntão a é divisívl por 5 s, só s, ou das unidads é 0 ou 5 Corolário 5 Critério d divisibilidad por 6 Um númro intiro mo das unidads é um númro par a soma é divisívl por 3 Dmonstração D acordo com a proposição 5, o númro a é divisívl por 6 s, só s, é divisívl por 2 por 3 O rsultado dcorr dos corolários 1 2 Corolário 6 Critério d divisibilidad por 8 Um númro intiro é divisívl por 8 s, só s, o númro é divisívl por 8 Dmonstração Como,, smpr qu com, ntão é divisívl por 8 s, só s, o msmo acontc, ou sja, um númro intiro é divisívl por 8 s, só s, o númro constituído plos sus Corolário 7 Critério d divisibilidad por 9 Um númro intiro Dmonstração O rsultado dcorr imdiatamnt da proposição 8 do facto d qualqur qu sja o Corolário 8 Critério d divisibilidad por 10 Um númro intiro é divisívl por 10 s, só s, Dmonstração d s tr smpr qu CRITÉRIO DE DIVISIBILIDADE POR UM NÚMERO PRIMO SUPERIOR A 5 Sja a um intiro suponhamos qu Notmos qu o númro intiro Proposição 9 Critério d divisibilidad por 7 Um númro intiro tiro Dmonstração Suponhamos qu Então, Vjamos qu 42 GAZETA DE MATEMÁTICA 170

8 númro intiro k p d tal modo qu sja um múltiplo d p S p é um númro primo suprior a 5, ntão p não divid 10,, portanto, p x y d tal modo qu Então Considrmos vjamos qu é um múltiplo d p Ora, o qu prova qu o númro Então, multiplicando ambos os mmbros por 10, obtmos, o qu prova qu Colo- d d Bézout não são dtrminados d modo único Como mar para valor d o rsto da divisão intira d por p O rsto é dtrminado d forma única No ntanto, s, srá qu o msmo rsto na divisão intira por p? Vjamos qu sim O qu qurmos provar é qu D acordo com a proposição 6, tudo o qu trmos d mostrar é qu é um múltiplo d p dcorr qu da rsulta qu Obsrvamos qu st critério pod sr aplicado sucs- a-, intiro tc com o númro intiro Qual é o papl do númro 2 na dmonstração dst critério? o facto d primo p produto p divid o p não divid 10, pla proposição 4, p divid p stá rsolvida: dado um númro primo p suprior a 5 númros intiros x y d tal modo qu 10x+py =1, tomamos para valor d k p o rsto da divisão intira d por p k p p (nº primo) 10x+py=1 (Id d Bézout) p-x (divisão d p x por p) k p =r NÚMEROS INTEIROS: ALGUNS CRITÉRIOS DE DIVISIBILIDADE André Fonsca Trsa Almada 43

9 Proposição 10 Critério d divisibilidad por um númro primo suprior a 5 Sja p um númro primo suprior a 5 py=1 Sja o rsto da divisão d p p Tm-s qu um númro intiro é divisívl por p s, só s, o númro intiro é divisívl por p Dmonstração Suponhamos qu Então, Vjamos qu é divisívl por p Ora, é divisívl por p Obsrvamos qu da anális à dmonstração qu acabamos d aprsntar s conclui qu o critério d divisibilidad pod sr stndido a qualqur númro intiro qu sja primo com 10 O númro é divisívl por 11 D facto, o valor d k 11 é = =11 Concluímos, uma vz qu 11 é divisívl por 11, qu é divisívl por 11 O númro é divisívl por 13 Nst caso, o valor d k 13 é 1 Como é um múltiplo d p, ntão é d forma mp m Concluímos, uma vz qu 13 é divisívl por 13, qu o msmo o qu prova qu O númro é divisívl por 17 Basta atndr a qu o valor d k 17 é 1 númros: 5 5 = = = Então, multiplicando ambos os mmbros por 10, obtmos O númro é divisívl por 19 D facto, o valor d k 19 é 17 Como é um múltiplo d p, ntão, m O númro é divisívl por 23 Notmos qu o valor d k 23 é 16 númros: 16 = =184 Dado qu 184 = 8 sívl por GAZETA DE MATEMÁTICA 170

10 O númro é divisívl por 29 Notmos qu o valor d k 29 é 26 SHOR TXH FRQVLGHUDQGR D VHJXLQWH VHTXrQFLD GH númros, Z ² = Z ² =26= Z ² = FRQFOXtPRV TXH p GLYLVtYHO SRU O númro é divisívl por 31 Nst caso, o valor d k 31 é 3 &RQVLGHUDQGR D VHJXLQWH VHTXrQFLD GH Q~PHURV Z ² =3 = Z ² = Z =31 SRGHPRV DÀUPDU TXH p GLYLVtYHO SRU BIBLIOGRAFIA 1LYHQ, =XFNHUPDQ + 0RQWJRPHU\ + An Introduction to th Thory of Numbrs WK (GLWLRQ :LOH\ 6RQV 9DQ GHU :DHUGHQ % Algbra 6SULQJHU 9HUODJ OS AUTORES André Fonsca obtv o grau d Doutor (PhD) m Matmática, no ano d 2004, na Univrsidad d Licstr, Rino Unido, ftuou um pós-doutoramnto na Univrsidad d Chicago durant o ano 2005 Atualmnt é Profssor no Dpartamnto d Matmática da Univrsidad Lusófona d Lisboa Dsnvolv invstigação na ára da Toria d Rprsntaçõs Trsa Almada tm o grau d Doutor m Matmática pla Univrsidad d Lisboa dsd 1994 É dirtora do Dpartamnto d Matmática da Univrsidad Lusófona d Lisboa Dsnvolv invstigação m Toria dos Rticulados m Álgbras da Lógica Dsd longa data qu Trsa Almada s intrssa por qustõs rlacionadas com o nsino da Matmática, a qu tm ddicado algum do su tmpo NÚMEROS INTEIROS: ALGUNS CRITÉRIOS DE DIVISIBILIDADE r André Fonsca Trsa Almada 45