MATEMÁTICA ENSINO FUNDAMENTAL

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1 CEEJA MAX DADÁ GALLIZZI PRAIA GRANDE - SP PARABÉNS!!! VOCÊ JÁ É UM VENCEDOR! Voltar a estudar é uma vitória que poucos podem dizer que conseguiram. É para você, caro aluno, que desenvolvemos esse material. Foi pensando em seu sucesso e em auxiliá-lo nas redescobertas da "arte matemática" que elaboramos o conteúdo e os exercícios contidos nesta coleção de apostilas. MATEMÁTICA ENSINO FUNDAMENTAL Os tópicos aqui abordados são muito importantes para o início e o sucesso de nossa jornada. Leia com atenção, resolva todos os exercícios que achar necessário. Procure-nos assim que surgirem as primeiras dificuldades, nós estaremos sempre prontos para ajudá-lo. 02 Página 01

2 Divisibilidade Em uma divisão existem alguns termos: dividendo (número que será dividido), divisor (número que divide), quociente (resultado da divisão) e resto (o que sobra da divisão), quando o resto é igual a zero dizemos que a divisão é exata. O conceito de divisibilidade, que é o conjunto de condições que os números Naturais têm de preencher para que um possa ser dividido por outro de forma exata, é derivado do conceito de múltiplo de um número. Embora simples, esses conceitos são de grande importância no desenvolvimento matemático e nos auxiliam na solução de questões práticas. Se num país, por exemplo, o presidente é eleito de quatro em quatro anos e os senadores, de seis em seis, qual o período de tempo que separa as eleições conjuntas para ambos os cargos? Múltiplos de um número Um número é múltiplo de outro quando, ao dividirmos o primeiro pelo segundo, o resto é zero. O número 10 é múltiplo de 2; pois 10 dividido por 2 é igual a 5 e resta zero. O número 12 é múltiplo de 3; pois 12 dividido por 3 é igual a 4 e resta zero. O número 15 também é múltiplo de 3; pois 15 dividido por 3 é igual a 5 e resta zero. Página 02 O número 9 não é múltiplo de 2; pois 9 dividido por 2 é igual a 4 e resta 1. O número 15 não é múltiplo de 4; pois 15 dividido por 4 é igual a 3 e resta 3. Vamos agora escrever o conjunto dos múltiplos de 2, indicado por M(2), e dos múltiplos de 5, isto é, M(5): M(2) = {0,2,4,6,8, }. M(5) = {0,5,10,15,20, } Para lembrar: O conjunto dos múltiplos de um número Natural não nulo é infinito e podemos consegui-lo multiplicando-se o número dado por todos os números Naturais. Observe: M(3) = {3 x 0, 3 x 1, 3 x 2, 3 x 3, 3 x 4, 3 x 5, 3 x 6, } = ={0,3,6,9,12,15,18, } Observe também que o menor múltiplo de todos os números é sempre o zero. OBSERVAÇÃO: Quando um número é múltiplo de mais de um número, dizemos que o primeiro é um múltiplo comum dos segundos números. múltiplos de 2: 0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20,... múltiplos de 3: 0, 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, múltiplos comuns de 2 e 3: 0, 6, 12, 18, Página 03

3 Exercício 01 Escreva os múltiplos dos seguintes números: a) M(4) = e) M(8) = b) M(5) = f) M(9) = c) M(6) = g) M(12) = d) M(7) = h) M(25) = Exercício 02 O conjunto dos múltiplos de um número é finito ou infinito? Exercício 03 Qual é o número que é múltiplo de qualquer número? Exercício 04 Do conjunto dos números naturais, quais são os múltiplos de 5 menores que 37? Exercício 05 Qual o menor múltiplo de 7 compreendido entre 100 e 500? E o maior? Divisores de um número Quando um número é múltiplo de outro, este chama-se divisor do primeiro. Por exemplo: 8 é múltiplo de 4, então 4 é divisor de 8 6 é múltiplo de 3, então 3 é divisor de 6 12 não é múltiplo de 5, então 5 não é divisor de 12 Diremos que um número é divisor de outro se o segundo for múltiplo do primeiro. Indicamos divisores por D D(12) = {1, 2, 3, 4, 6, 12} D(15) = {1,3,5,15} Observe que o conjunto dos divisores de um número Natural não-nulo é sempre um conjunto finito, em que o menor elemento é o 1 e o maior é o próprio número. Exercício 06 Calcule os múltiplos comuns de 3 e 4, 3 e 5, 4 e 5. Página 04 Página 05

4 Exercício 07 Escreva os divisores dos seguintes números: a) D(4) = e) D(10) = b) D(5) = f) D(12) = c) D(8) = g) D(18) = d) D(9) = h) D(24) = Exercício 08 O conjunto dos divisores de um número é finito ou infinito? Exercício 09 Qual é o número que é divisor de qualquer número? Exercício 10 Qual é o menor e o maior divisor de um número? Exercício 11 Qual é o menor e maior divisor de 14? Critérios de Divisibilidade Encontraremos aqui alguns critérios que nos ajudarão para saber quando é que um número é divisível por outro. o Divisibilidade por 2 Um número é divisível por 2 quando termina em 0, 2, 4, 6 ou 8, isto é, quando for par é divisível por 2, porque termina em não é divisível por 2, porque não termina em 0, 2, 4, 6 ou 8. o Divisibilidade por 3 Um número é divisível por 3 quando a soma dos valores absolutos de seus algarismos for divisível por 3, ou seja, quando a soma for múltiplo de é divisível por 3, porque a soma de seus algarismos (2+3+4=9) é divisível por não é divisível por 3, porque a soma de seus algarismos (4+2+7=13) não é divisível por 3. Página 06 Página 07

5 Exercício 12 Sem efetuar divisões, diga quais dos seguintes números são divisíveis por 2. a) 113 d) 3338 b) 250 e) c) 555 f) Exercício 13 Escreva os números naturais divisíveis por 2 que estão entre 519 e 529. Exercício 14 Dos números a seguir, quais são divisíveis por 3? a) 123 d) 681 b) 331 e) 712 c) 508 f) 888 Exercício 15 Diga por que 1234 não é divisível por 3, sem efetuar a divisão. Exercício 16 Dos números naturais entre 136 e 146, quais são divisíveis por 3? o Divisibilidade por 4 Um número é divisível por 4 quando os dois últimos algarismos forem 0 ou formarem um número divisível por é divisível por 4, porque termina em é divisível por 4, porque o número formado pelos seus dois últimos algarismos é 16, que é divisível por é divisível por 4, porque o número formado pelos seus dois últimos algarismos é 08, que é divisível por não é divisível por 4, porque 22 não é divisível por 4. o Divisibilidade por 5 Um número é divisível por 5 quando termina em 0 ou é divisível por 5, porque termina em é divisível por 5, porque termina em não é divisível por 5, porque não termina em 0 nem em 5. Página 08 Página 09

6 Exercício 17 Considere os números: 540, 1336, 4775, 5313, 6308, 9894 e Diga quais deles são divisíveis por: a) 4: b) 5: Exercício 18 O número é divisível por 4? E por 5? Exercício 19 Diga se o 1370 é ou não é divisível pelos números abaixo: a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 Exercício 20 O mês de fevereiro, dependendo do ano, pode ter 28 ou 29 dias. Ele só tem 29 dias nos anos bissextos. Os números dos anos bissextos, como 1980 por exemplo, são números divisíveis por 4. Mas há exceções: um ano terminado em 00 só é bissexto quando seu número for divisível por 400. a) De 1990 a 2000, que anos foram bissextos? b) 1900 foi um ano bissexto? o Divisibilidade por 6 Um número é divisível por 6 quando for divisível por 2 e por 3 ao mesmo tempo é divisível por 6, porque é divisível por 2 (termina em 8) e por 3(a soma dos seus algarismos é =18, que é divisível por 3) não é divisível por 6, porque não é divisível por 3. o Divisibilidade por 7 Existe uma regra de divisibilidade por 7, mas ela é pouco prática. Para saber se um número é divisível por 7, o melhor é dividi-lo por 7. o Divisibilidade por 8 A regra de divisibilidade por 8 é, até certo ponto, parecida com a da divisibilidade por 4. Primeiro, note que 1000 é divisível por 8. Então 2000, 3000, 4000, 5000,... também são. Um número natural maior que 999 é divisível por 8 quando o número formado pelos seus três últimos algarismos for divisível por é divisível por 8, porque o número formado pelos seus três últimos algarismos é 104, que é divisível por não é divisível por 8, porque 010 não é divisível por 8. Página 10 Página 11

7 o Divisibilidade por 9 Um número é divisível por 9 quando a soma dos valores absolutos de seus algarismos for divisível por 9, ou seja, quando a soma for múltiplo de é divisível por 9, porque a soma dos seus algarismos é =27, que é divisível por não é divisível por 9,porque =12. o Divisibilidade por 10 Um número é divisível por 10 quando termina em 0 (zero) é divisível por 10, porque termina em não é divisível por 10, porque não termina em 0. Exercício 22 Qual dos números abaixo é divisível por 2, 3 e 5 ao mesmo tempo? Exercício 23 Qual dos números abaixo é divisível por 2 e 9 ao mesmo tempo? Exercício 24 Considere o número A, onde A representa o algarismo das unidades. Se esse número é divisível por 4, então qual é o maior valor que A pode assumir? Exercício 21 Considere os números 3456, 4567, 5678, 6789 e Diga quais deles são divisíveis por: a) 6: b) 8: c) 9: d) 10: Exercício 25 Seja o número 51b8. Qual o menor algarismo que se pode colocar no lugar da letra b para que o número seja divisível por 3? Página 12 Página 13

8 Números Primos Números primos são os números naturais que têm apenas dois divisores diferentes: o 1 (um) e ele mesmo. Exemplos: 2 tem apenas os divisores 1 e 2, portanto 2 é um número primo. 17 tem apenas os divisores 1 e 17, portanto 17 é um número primo. 10 tem os divisores 1, 2, 5 e 10, portanto 10 não é um número primo. Observações: 1 não é um número primo, porque ele tem apenas um divisor que é ele mesmo. 2 é o único número primo que é par. Os números que têm mais de dois divisores são chamados números compostos. 15 tem mais de dois divisores => 15 é um número composto. Reconhecimento de um número primo Para saber se um número é primo, dividimos esse número pelos números primos 2, 3, 5, 7, 11 etc. até que tenhamos: => ou uma divisão com resto zero e neste caso o número não é primo, => ou uma divisão com quociente menor que o divisor e o resto diferente de zero. Neste caso o número é primo. Exemplos: 1) O número 161: não é par, portanto não é divisível por 2; = 8, portanto não é divisível por 3; não termina em 0 nem em 5, portanto não é divisível por 5; por 7: 161 / 7 = 23, com resto zero, logo 161 é divisível por 7, e portanto não é um número primo. 2) O número 113: não é par, portanto não é divisível por 2; = 5, portanto não é divisível por 3; não termina em 0 nem em 5, portanto não é divisível por 5; por 7: 113 / 7 = 16, com resto 1. O quociente (16) ainda é maior que o divisor (7); por 11: 113 / 11 = 10, com resto 3. O quociente (10) é menor que o divisor (11), e além disso o resto é diferente de zero (o resto vale 3), portanto 113 é um número primo. Página 14 Página 15

9 Tabela de números primos Vamos construir a tabela dos números primos de 1 a 50, usando o método de Eratóstenes, um matemático grego que viveu há mais de 2000 anos. 1º) Escreva os números naturais de 1 até 50. 2º) Risque o número 1: ele não é um número primo. 3º) Circule o próximo, que é 2: ele é um número primo. Mas risque os outros números divisíveis por 2. Portanto, risque 4, 6, 8, etc. 4º) Circule o próximo número, que é 3: ele é um número primo. Mas risque os outros números divisíveis por 3. Portanto, risque 6, 9, 12, etc. 5º) O próximo número é 4, que já foi riscado. Circule então o próximo, que é 5: ele é um número primo. Mas risque 10, 15, 20, etc. 6º) Continue assim, até que não se tenham mais números a serem riscados. Exercício 26 O que é um número primo? Exercício 27 Quais são os dez primeiros números primos? Exercício 28 Qual é o único número par que é primo? Exercício 29 Explique por que: a) 25 não é um número primo. b) 1 não é um número primo. c) Por que todos os números naturais pares maiores que 2 não são primos? Exercício 30 Considere os números 15, 16, 17, e 18. Quais deles são primos? Tabela dos Números Primos de 1 a Página 16 Página 17

10 Mínimo Múltiplo Comum (mmc) Um país tem eleições para presidente de 4 em 4 anos, e para senador de 6 em 6 anos. Supondo que neste ano, essas duas eleições coincidam, daqui a quantos anos elas voltarão a coincidir? Vamos resolver esse problema. O país terá eleições para presidente dentro de 4, 8, 12, 16,... anos. E para senador dentro de 6, 12, 18, 24,... anos. Comparando esses números, chegamos à resposta: as eleições voltarão a coincidir daqui a 12 anos. Observe que, nesse problema, procura-se um número assim: Ele deve ser múltiplo de 4 (eleições para presidente); Ele deve ser múltiplo de 6 (eleições para senador); Ele deve ser o menos possível, excetuando o zero. Este número é chamado de mínimo múltiplo comum de 4 e 6. Ele é indicado assim: mmc (4,6) Para encontrar o mmc (4,6), escrevemos o conjunto dos múltiplos de 4 e o dos múltiplos de 6: M(4) = {0, 4, 8, 12, 16, 20, 24,...} M(6) = {0, 6, 12, 18, 24, 30,...} Depois, procuramos os números que pertencem aos dois conjuntos, isto é, os múltiplos comuns de 4 e 6. Múltiplos Comuns de 4 e 6 = {0, 12, 24,...} O menor elemento desse conjunto, sem contar o 0, é o mínimo múltiplo comum de 4 e 6. Então: Mmc (4,6) = 12 As eleições voltarão a coincidir daqui a 12 anos. Tendo-se dois ou mais números naturais não-nulos, o mínimo múltiplo comum deles é o menor numero não-nulo que seja múltiplo de todos eles Página 18 Vamos obter o mmc(6,15). M(6) = {0, 6, 12, 15, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54, 60,...} M(15) = {0, 15, 30, 45, 60,...} Múltiplos comuns de 6 e 15 = {0, 30, 60,...} Agora, escolhemos o menor elemento desse conjunto, com exceção de 0. Portanto: mmc(6,15) = 30 Agora é a sua vez! Exercício 31 Obtenha: a) mmc (2,3) = b) mmc (3,4) = c) mmc (4,5) = d) mmc (5,6) = e) mmc (8,10) = f) mmc (8, 12) = g) mmc (9,12) = h) mmc (15,20) = i) mmc (18,30) = j) mmc (20,50) = Exercício 32 Numa estação rodoviária, os ônibus para cidade A partem de 6 em 6 horas, e para cidade B, de 8 em 8 horas. Numa ocasião, um ônibus para a cidade A partiu junto com outro para a cidade B. Quanto tempo depois isso acontecerá de novo? Página 19

11 Maximo Divisor Comum (mdc) Veja estes conjuntos: os divisores de 24 e os divisores de 60. D(24) = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24} D(60) = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60} Os divisores comuns de 24 e 60 = {1, 2, 3, 4, 6, 12} Então, o maior divisor comum de 24 e 60 é 12. Indicamos: mdc(24,60) = 12 Exercício 33 Obtenha: a) mdc (6,10) = b) mdc (10,15) = c) mdc (10,20) = d) mdc (12,21) = e) mdc (16,30) = f) mdc (18,27) = g) mdc (21,35) = h) mdc (24,42) = i) mdc (27,36) = j) mdc (45,54) = Tendo-se dois ou mais números naturais não-nulos, o máximo divisor comum deles é o maior número natural divisor de todos eles Vamos obter o mdc(20,30). Exercício 34 Um professor dá aulas numa 6º ano, de 30 alunos, e numa 7º ano, de 18 alunos. Em cada sala, ele formou grupos, e todos os grupos tinham o mesmo número de alunos. Qual é o maior número de alunos que cada grupo pode ter? D(20) = {1, 2, 4, 5, 10, 20} D(30) = {1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30} Divisores comum de 20 e 30 = {1, 2, 5, 10} Agora, escolhemos o maior elemento desse conjunto intersecção. Portanto: mdc(20,30) = 10 Página 20 Página 21

12 Gabarito Exercício 01: a) M(4) = {0,4,8,12,16,20,24,28,32,36,40,...} b) M(5) = {0,5,10,15,20,25,30,35,40,45,50,...} c) M(6) = {0,6,12,18,24,30,36,42,48,54,60,...} d) M(7) = {0,7,14,21,28,35,42,49,56,63,70,...} e) M(8) = {0,8,16,24,32,40,48,56,64,72,80,...} f) M(9) = {0,9,18,27,36,45,54,63,72,80,...} g) M(12) = {0,12,24,36,48,60,72,84,96,...} h) M(25) = {0,25,50,75,100,...} Exercício 02: infinito Exercício 03: o número 0 (zero) Exercício 04: {0,5,10,15,20,25,30,35} Exercício 05: menor = 105 ; maior = 497 Exercício 06: M(3) = {0,3,6,9,12,15,18,21,...} M(4) = {0,4,8,12,16,20,24,...} M(5) = {0,5,10,15,20,25,...} mmc(3,4) = 12 ; mmc(3,5) = 15 ; mmc(4,5) = 20 Exercício 07: a) D(4) = {1,2,4} b) D(5) = {1,5} c) D(8) = {1,2,4,8} d) D(9) = {1,3,9} e) D(10) = {1,2,5,10} f) D(12) = {1,2,3,4,6,12} g) D(18) = {1,2,3,6,9,18} h) D(24) = {1,2,3,4,6,8,12,24} Exercício 08: finito Exercício 09: o número 1 Exercício 10: menor = 1 ; maior = o próprio número Exercício 11: menor = 1 ; maior = 14 Exercício 12: b) 250 d) 3338 f) Página 22 Exercício 13: {520,522,524,526,528} Exercício 14: a) 123 d) 681 f) 888 Exercício 15: =10, a soma dos algarismos não é divisível por 3 Exercício 16: 138, 141, 144 Exercício 17: a) 1336, 6308, b) 540, 4775, Exercício 18: É divisível por 4 e não é divisível por 5 Exercício 19: a) 2 : sim b) 3 : não c) 4 : não d) 5 : sim Exercício 20: a) 1992, 1996, 2000 b) não Exercício 21: a) 3456, 7890 b) 3456 c) 3456 d) 7890 Exercício 22: 180 Exercício 23: 2556 Exercício 24: A = 6 Exercício 25: b = 1 Exercício 26: é o número que só tem dois divisores, o 1 e ele mesmo Exercício 27: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29 Exercício 28: 2 Página 23

13 Exercício 29: a) Porque 25 tem 3 divisores: 1, 5, 25 b) Porque 1 só tem 1 divisor, que é ele mesmo c) Porque possuem mais de 2 divisores Exercício 30: 17 Exercício 31: a) mmc (2,3) = 6 b) mmc (3,4) = 12 c) mmc (4,5) = 20 d) mmc (5,6) = 30 e) mmc (8,10) = 40 f) mmc (8, 12) = 24 g) mmc (9,12) = 36 h) mmc (15,20) = 60 i) mmc (18,30) = 90 j) mmc (20,50) = 100 Exercício 32: 24horas Exercício 33: a) mdc (6,10) = 2 b) mdc (10,15) = 5 c) mdc (10,20) = 10 d) mdc (12,21) = 3 e) mdc (16,30) = 2 f) mdc (18,27) = 9 g) mdc (21,35) = 7 h) mdc (24,42) = 6 i) mdc (27,36) = 9 j) mdc (45,54) = 9 Exercício 34: grupo de 6 alunos Bibliografia Os textos e os exercícios foram retirados e/ ou pesquisados nos seguintes livros: DANTE, Luiz Roberto. Tudo é Matemática. São Paulo: Ática, (5 a a 8 a séries) DI PIERRO NETTO, Scipione. Matemática Conceitos e Histórias. São Paulo: Scipione, ( 5 a a 8 a séries) GIOVANI, José Rui. Et all. A Conquista da Matemática. São Paulo: FTD, (5 a a 8 a séries). JAKUBOVIC, José. LELLIS, Marcelo. Matemática na Medida Certa. São Paulo: Scipione, (5 a a 8 a séries) Página 24 Página 25

14 Este conjunto de apostilas foi elaborado pelos professores da Área de Matemática do CEEJA, com base nos livros didáticos descritos na Bibliografia, ora transcrevendo exercícios e teoria, ora criando com base nos conteúdos observados. PROFESSORES EDNILTON FELICIANO PAULO TELES DE ARAUJO JR Página 26