Teoria dos Números. A soma de dois números pares é sempre um número par. O produto de dois números pares é sempre um número par.

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1 Teoria dos Números Resultado obtido nas aulas de Teoria dos Números. Números pares e números ímpares. A soma de dois números pares é sempre um número par. O produto de dois números pares é sempre um número par. A soma de dois números ímpares é sempre um número par. O produto de dois números ímpares é sempre um número ímpar. O produto de um número qualquer por um número par resulta em um número par. O resto de uma divisão é um número natural menor ou igual ao antecessor do divisor. Representação dos números pares e números ímpares. Par = 2k Ímpar = 2k + 1 Número par é todo número que pode ser agrupado de dois em dois, ou seja, múltiplo de dois. O zero é considerado par apesar de não poder ser agrupado de dois em dois. p + p = p i + i = p 0 + p = p 0 + i = i i + p = i Seja abcd um número de 4 algarismos a b + 10 c + 1d Se d é par, então o algarismo é par. Se d é ímpar, então o algarismo é ímpar. Soma: par. A soma de dois números pares sempre irá obter como resultado outro número Tomando dois números pares p e r, onde realizando a soma teremos:

2 p = 2k e r = 2n p + r = 2k + 2n p + r = 2(k + n) par. A soma de dois números ímpares sempre irá obter como resultado outro número Tomando dois números ímpares i e i1, onde realizando a soma obteremos: i = 2k + 1 i + i1 = 2k n + 1 i1 = 2n + 1 i + i1 = 2k + 2n + 2 i + i1 = 2(k + n + 1) chamando (k + n + 1) de k1, logo. i + i1 = 2k1 Múltiplos e divisibilidades. Número 3. Se somarmos dois números múltiplos de 3, iremos obter um outro número múltiplo de 3. 3q + 3q1 = 3(q + q1) chamando (q + q1) de k1 teremos, 3q + 3q1 = 3k1 de 3. O produto entre um múltiplo de 3 e qualquer outro número, resulta em múltiplo 3k.a = 3(a.k) chamando (a.k) de k1 teremos 3k.a = 3k1 Somando dois números que divididos por 3 deixam resto1, o resultado será um número que ao ser divido por 3 deixará resto 2. 3q n + 1 = 3q + 3n + 2 3q n + 1 = 3(q + n) + 2 chamando (q +n) de k, teremos que, 3q n + 1 = 3k + 2

3 Somando dois números que divididos por 3 deixam resto igual a 2, o resultado será um número que ao ser dividido por 3 deixará resto 1. 3q n + 2 = 3q + 3n +4 3q n + 2 = 3q + 3n q n + 2 = 3 (q + n +1) + 1 chamando (q + n + 1) de k, teremos que; 3q n + 2 = 3k + 1 A soma de um número que ao ser dividido por 3 deixa resto 1 com outro que ao ser dividido por 3 deixa resto 2, resulta em um número múltiplo de 3. 3q n + 1 = 3q + 3n + 3 3q n + 1 = 3 (q + n + 1) chamando (q + n+ 1) de k, teremos que; 3q n + 1 = 3k Porque podemos afirmar que um número é divisível por 3, se a soma de seus algarismos resultar em um número múltiplo de 3. Utilizando o número 7842, onde a soma de seus algarismos é igual a 21, podemos verificar da seguinte forma. 7 x x x ( ) + 8 ( ) + 4 (9 + 1) + 2 Observando que os valores que estão entre parênteses são múltiplos de 3, podemos eliminá-los e dividir os que estão fora dos parênteses por 3, após somar o resto de cada divisão para constatar que o resultado será um número múltiplo de 3. 7 / 3 deixa resto 1 8 / 3 deixa resto 2 4 / 3 deixa resto 1 2 não é divisível por 3, portanto soma-se = 6, sendo o resultado um número múltiplo de 3, podemos afirmar que o valor de 7842 é divisível por 3.

4 Número 4. Para se verificar se um número é divisível por 4 basta averiguar os dois últimos algarismos. O número que formar tem que ser múltiplo de 4. Obs: Números terminados em 00 também são divisíveis por 4. Pegando a b c d e f, como um número de 6 algarismos e fazendo: a b c d e.10 + f, como os números a b c d são múltiplos de 4, pois após serem multiplicados por 10 que elevado até no mínimo ao expoente 2, terão os dois últimos algarismos terminados em 00, podemos eliminá-los. Em seguida tomamos e.10 + f e averiguamos qual será o valor formado pelos números 10.e + f = ef tem que ser múltiplo de 4 para que satisfaça a afirmação. Um número múltiplo de 4 sempre será múltiplo de 4 mesmo após ser multiplicado por qualquer outro valor. Multiplicando dois números que divididos por 4 deixam resto 1, continua deixando resto 1. (4q + 1). (4q1 + 1) = 16q.q1 + 4q + 4q1 +1 (4q + 1). (4q1 + 1 ) = 4 (4q.q1 + q + q1) + 1, chamando (4q.q1 + q + q1) de q2, teremos que; (4q + 1). (4q1 + 1) = 4q2 + 1 Somando 2 números que após serem divididos por 4 deixam resto1, o resultado será um número que após dividido por 4 deixará resto 2. 4k m + 1 = 4k + 4m + 2 4k m + 1 = 4(k + m) + 2, chamando (k + m) de q logo teremos que; 4k m + 1 = 4q + 2 Número 5: Para saber, se um número é divisível por cinco, basta olhar o último algarismo, se for cinco ou zero, então será.

5 Número 6: Para ser múltiplo de 6, a soma de seus algarismos tem que resultar em um múltiplo de 2 e 3. Número 8: Se o número for formado de três zero no final, ou os três últimos forem múltiplos de 8, logo esse número será múltiplo de se 679 for múltiplo de 8, então será múltiplo de 8. Número 9: Para ser múltiplo de 9 a soma dos algarismos de um número tem que resultar em um múltiplo de 9. Número 11: Para saber se um número é divisível por 11, basta alternar seus sinais e se o resultado for um múltiplo de 11, então o número será divisível por = -7 não é múltiplo de = 0 então é múltiplo de 11. Congruência Módulo M Sendo a, b e m z m 0, dizemos que a b a = m.q1 + r a b = mq1 + r (mq2 + r) (mod m) se m/(a-b). b = m.q2 + r a b = mq1 + mq2 a b = m(q1 + q2) a b/m = q1 q2 Se a b(mod m) e c d(mod m) Então a + c = b + d (mod m)

6 a b = q1.m c d = q2.m a + c b + d = q1.m + q2.m então a + c b + d (mod m) a. c b. d (mod m) a b + c d = (q1 + q2). m a + c b + d = a + c b + d (mod m). Classes de Equivalência Mod 7 C0 = {...,-21,-14,-7,0,7,14,21,...} C1 = {...,-20,-13,-6,1,8,15,22,...} C2 = {...,-19,-12,-5,2,9,16,23,...} C3 = {...,-25,-18,-11,-4,3,10,17,24,...} C4 = {...,-24,-17,-10,-3,4,11,18,25,...} C5 = {...,-23,-18,-9,-2,5,12,19,26,...} C6 = {...,-22,-15,-8,-1,6,,13,20,27,...}

7 Tabela completa com todos os restos mod