Material de Apoio de Matemática Básica

Transcrição

1 Sindicato dos Servidores Públicos Municipais de São Vicente Material de Apoio de Matemática Básica Caio Ricardo Faiad da Silva Setembro/11-Novembro/11

2 Apresentação Este material foi preparado com a intenção de ajudá-lo a compreender ideias e conceitos importantes da Matemática que costumam ser cobrados em Concursos Públicos de nível Fundamental e Médio. Ele foi escrito numa linguagem simples e informal, cuja intenção é levá-lo a compreensão dos assuntos básicos da Matemática, da maneira mais clara possível. A maior parte dos textos explicativos e dos exercícios foi retirada da internet e por não ter sido revisada, está proibida a reprodução sem prévia autorização. Nossa expectativa é que esse material torne útil e interessante o seu Curso de Matemática e que seja importante no sucesso do seu Concurso Público. Bons Estudos!!

3 Conjunto Matematicamente falando, um conjunto é uma coleção de elementos. Elemento é cada objeto do conjunto. Como exemplo pode-se citar a padaria onde cada tipo de pão é um elemento do conjunto padaria. Notações P = {média, broa, cará, baguete} ou Observe que para fazer parte de um conjunto os elementos devem possuir uma característica comum. Pense agora num mercado. Se você for comprar carne você se dirige ao setor de carnes (açougue), se for comprar pão ao setor de pães (padaria), se for comprar frios ao setor de frios, e assim por diante. Dizemos então que o mercado é um conjunto e que a padaria, o açougue e o setor de frios são subconjuntos. Em outras palavras subconjuntos são conjuntos dentro de outro conjunto. Como os subconjuntos H, P e A estão contidos no conjunto M os elementos desses subconjuntos pertencem ao conjunto M. Pode-se observar

4 também no diagrama acima que maçã, pêra e abacaxi pertencem ao subconjunto H, mas não pertence ao subconjunto A, ou seja, os elementos do subconjunto H não existem no subconjunto A. Os números também são descritos em forma de conjuntos de acordo com suas características. 1. Números Naturais (N): zero e números positivos N = {0, 1, 2, 3,...} 2. Números Inteiros (Z): números positivos, negativos e o zero Z = {..., -2, -1, 0, 1, 2,...} Obs: Todo número natural é inteiro, logo N é subconjunto de Z 3. Números Racionais (Q): números que que podem ser escritos na forma de fração. Números decimais exatos são racionais, pois 0,1 = 1/10 2,3 = 23/10 Números decimais periódicos são racionais, pois 0, = 1/9 0, = 32/99 2, = 21/9 0, = 19/90 Todo número inteiro pode ser escrito em forma de fração, logo Z é subconjunto de Q 4. Números Irracionais (I): números que não podem ser expressos na forma de fração a/b, com a e b inteiros e b diferente de 0. São compostos por dízimas infinitas não periódicas, por exemplo: 5. Números Reais (R): união dos números racionais com os irracionais

5 Operações 1) Adição e Subtração Adição (+) combina dois números em um único, a soma. Já a subtração (-) é uma operação matemática que indica quanto é um valor numérico se dele for removido outro valor numérico. Lembre-se que subtração é a operação inversa da adição: Se = 25 então =10 e = 15 2) Multiplicação e Divisão Multiplicação (x ou. ou *) é uma forma simples de adicionar uma quantidade finita de números iguais. Por exemplo: 4 x 3 = = 12 Importante: qualquer número multiplicado por zero é zero 358x0 = 0 Divisão ( ou : ou /) é a operação inversa da multiplicação. O ato de dividir por um elemento só quando esse elemento for diferente de zero. Em outras palavras, na divisão 4 : 0 não existe um valor real. 3) Potenciação e Radiciação Potenciação é uma forma simples de multiplicar uma quantidade finita de números iguais. Por exemplo: 4 3 = 4 x 4 x 4 = 64 Nomenclatura Radiciação é a operação oposta a potenciação. Exemplo: Nomenclatura Para um número real a, a expressão representa o único número real x que verifica x n = a. Em, exemplo prático = 2 porque 2 3 = 2 x 2 x 2 = 8.

6 Propriedades da Potenciação e Radiciação

7 Fatoração Numérica Fatorar é o mesmo que decompor o número em fatores primos, isto é, escrever um número através da multiplicação de números primos. Na fatoração utilizamos os números primos obedecendo a uma ordem crescente de acordo com as regras de divisibilidade em razão do termo a ser fatorado. Números primos são aqueles que podem ser divididos somente por um e por ele mesmo (2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23,...). Critérios de divisibilidade mais importantes Divisibilidade por 2: Um número é divisível por 2 se ele é par, ou seja, termina em 0, 2, 4, 6 ou 8. Exemplos: O número 5634 é divisível por 2, pois o seu último algarismo é 4, mas 135 não é divisível por 2, pois é um número terminado com o algarismo 5 que não é par. Divisibilidade por 3: Um número é divisível por 3 se a soma de seus algarismos é divisível por 3. Exemplos: 18 é divisível por 3 pois = 9 que é divisível por 3, 576 é divisível por 3 pois: = 18 que é divisível por 3, mas 134 não é divisível por 3, pois = 8 que não é divisível por 3. Divisibilidade por 5: Um número é divisível por 5 se o seu último algarismo é 0 (zero) ou 5. Exemplos: 75 é divisível por 5 pois termina com o algarismo 5, mas 107 não é divisível por 5 pois o seu último algarismo não é 0 (zero) nem 5. Divisibilidade por 6: Um número é divisível por 6 se for divisível por 2 e 3 ao mesmo tempo. Exemplos: 756 é divisível por 6, pois 756 é par e a soma de seus algarismos: = 18 é divisível por 3, 527 não é divisível por 6, pois não é par e 872 é par mas não é divisível por 6 pois a soma de seus algarismos: = 17 não é divisível por 3. Divisibilidade por 9: Um número é divisível por 9 se a soma dos seus algarismos é um número divisível por 9. Exemplos: 1935 é divisível por 9 pois: = 18 que é divisível por 9, mas 5381 não é divisível por 9 pois: = 17 que não é divisível por 9. Divisibilidade por 10: Um número é divisível por 10 se termina com o algarismo 0 (zero). Exemplos: 5420 é divisível por 10, pois termina em 0 (zero), mas 6342 não termina em 0 (zero). Observe a decomposição em fatores primos dos números a seguir: 24 = 2 x 2 x 2 x 3 10 = 2 x 5 52 = 2 x 2 x = 2 x 2 x 2 x 3 x 5 x 5

8 Forma prática de fatoração O número a ser fatorado deverá ocupar a coluna da esquerda e a coluna da direita será preenchida com os fatores primos. Ao dividir o número pelo algarismo primo os resultados deverão ser colocados na coluna da direita. As divisões deverão ser efetuadas no intuito de simplificar ao máximo o número, isto é reduzi-lo ao número 1. Exemplos: Quando a fatoração é realizada simultaneamente entre dois ou mais números obtêm-se o Mínimo Múltiplo Comum (MMC). Exemplo:

9 Expressões numéricas e algébricas No cotidiano, muitas vezes usamos expressões sem perceber que elas representam expressões algébricas ou numéricas: Numa papelaria, quando calculamos o preço de um caderno somado ao preço de duas canetas, usamos expressões como 1x+2y, onde x representa o preço do caderno e y o preço de cada caneta. Ao comprar um lanche, somamos o preço de um refrigerante com o preço de um salgado, usando expressões do tipo 1x+1y onde x representa o preço do salgado e y o preço do refrigerante. Usamos a subtração para saber o valor do troco. Por exemplo, se V é o valor total de dinheiro disponível e T é o valor do troco, então temos uma expressão algébrica do tipo V-(1x+1y)=T. As expressões algébricas são encontradas muitas vezes em fórmulas matemáticas. Por exemplo, no cálculo de áreas de retângulos, triângulos e outras figuras planas. Expressão algébrica Objeto matemático Figura A = b x h Área do retângulo A = b x h / 2 Área do triângulo P = 4 a Perímetro do quadrado Expressões Numéricas: São expressões matemáticas que envolvem operações com números. Por exemplo: (5 4) : [( ).3 + (13-7) 2 : 3] : 5 Expressões algébricas Expressões Algébricas: São expressões matemáticas que apresentam letras e podem conter números. São também denominadas expressões literais. Por exemplo: 2a + 7b (3c + 4) c + 4 As letras nas expressões são chamadas variáveis o que significa que cada letra pode ser substituída por um valor numérico.

10 Prioridade das operações numa expressão algébrica Nas operações em uma expressão algébrica, devemos obedecer a seguinte ordem: 1. Potenciação ou Radiciação 2. Multiplicação ou Divisão 3. Adição ou Subtração Observações quanto à prioridade: a) Antes de cada uma das três operações citadas, deve-se realizar a operação que estiver dentro dos parênteses, colchetes ou chaves. b) A multiplicação pode ser indicada por ou por um ponto ou às vezes sem sinal, desde que fique clara a intenção da expressão. c) Muitas vezes devemos utilizar parênteses quando substituímos variáveis por valores negativos. Exemplos: 1. Consideremos P = 2A + 10 e tomemos A=5. Assim P = = = 20 Aqui A é a variável da expressão, 5 é o valor numérico da variável e 20 é o valor numérico da expressão indicada por P. Observe que ao mudar o valor de A para 9, teremos: P = = = 28 Se A = 9, o valor numérico de P = 2A + 10 é igual a Um triângulo eqüilátero possui os três lados com mesma medida. Calcular o perímetro de um triângulo equilátero cujo lado mede 5 cm, sabendo-se que o perímetro de um triangulo equilátero pode ser representado por uma expressão algébrica da forma: P = a + a + a = 3a. Substituindo a = 5cm nesta expressão, obtemos P = 3 5 cm = 15 cm. 3. Para obter a área do quadrado cujo lado mede 7cm, devemos usar a expressão algébrica para a área do quadrado de lado L que é A = L L = L². Assim, se L = 7 cm, então A = 7 7 = 49cm².

11 Operações envolvendo frações Adição e Subtração de Frações 1º Caso: Denominadores iguais Soma-se ou subtrai-se os numeradores e conserva-se o denominador. Exemplos 2º Caso: Denominadores diferentes Obtêm-se frações equivalentes com denominadores iguais ao MMC dos denominadores das frações e em seguida aplica-se a regra do 1º Caso. a) Neste caso não podemos simplesmente realizar a soma dos numeradores. Primeiramente devemos converter todas as frações ao mesmo denominador. O denominador escolhido será o mínimo múltiplo comum dos denominadores. Será o MMC(3, 5, 13): Como sabemos, o MMC(3, 5, 13) = 195. Logo todas as frações terão o denominador comum 195. O novo numerador de cada uma delas será apurado, simplesmente dividindo-se 195 pelo seu denominador atual e em seguida multiplicando-se o produto encontrado pelo numerador original: Para 1 / 3 temos que: 195 : 3. 1 = 65, logo: 1 / 3 = 65 / 195 Para 2 / 5 temos que: 195 : 5. 2 = 78, logo: 2 / 5 = 78 / 195 Para 3 / 13 temos que: 195 : = 45, logo: 3 / 13 = 45 / 195 Obtemos assim, três frações equivalentes às frações originais sendo que todas contendo o denominador 195. Agora resta-nos proceder como no primeiro exemplo: b) Como as frações não possuem os mesmos denominadores, primeiramente devemos a apurar o MMC(9, 3, 7) para utilizá-lo como denominador comum.

12 Sabemos que o MMC (9, 3, 7) = 63. Logo utilizaremos 63 como o denominador comum. Como já visto, para encontrarmos as frações equivalentes às do exemplo, que possuam o denominador igual a 63, para cada uma delas iremos dividir 63 pelo seu denominador e em seguida multiplicaremos o resultado pelo seu numerador: Para 8 / 9 temos que: 63 : 9. 8 = 56, logo: 8 / 9 = 56 / 63 Para 1 / 3 temos que: 63 : 3. 1 = 21, logo: 1 / 3 = 21 / 63 Para 2 / 7 temos que: 63 : 7. 2 = 18, logo: 2 / 7 = 18 / 63 Finalmente podemos realizar a subtração: Multiplicação e Divisão de Frações Nas multiplicações de frações multiplica-se numerador com numerador e denominador com denominador. Se necessário, simplifique o produto. Exemplos: Já na divisão de números fracionários, devemos multiplicar a primeira fração pelo inverso da segunda. Se necessário simplifique. Exemplos

13 Exercícios 1) Efetue, observando as definições e propriedades: a) (-2)³ e) 0³ i) n) b) f) 0º j) (0,5)³ o) c) 500¹ g) l) 15¹ p) d) 100º h) m) q) 2) O valor de, é: (a) 0,0264 (b) 0,0336 (c) 0,1056 (d) 0,2568 (e) 0,6256 3) O valor da expressão é: (a) -5/6 (b) 5/6 (c) 1 (d) -5/3 (e) -5/2 4) O valor de é (a) -15/17 (b) -16/17 (c) -15/16 (d) -17/16 5) Simplificando-se a expressão, obtém-se: (a) 0,16 (b) 0,24 (c) 1,12 (d) 1,16 (e) 1,24 6) O valor da expressão é: (A) -4 (B) 1/9 (C) 1 (D) 5/4 (E) 9

14 7) A expressão é igual a: (A) (B) (C) (D) (E) 8) O valor de para e (A) (B) (C) (D) (E) 9) Simplificando encontramos: (A) (B) (C) (D) (E) 10) O valor da expressão é: (A) (B) 3 (C) 3.10 (D) (E) ) O valor da expressão é: (A) (B) (C) (D) (E) 12) Calcule o valor numérico das expressões: a) b) c) d) e) f) g) h) 13) Determine o valor numérico de 5m 2x para os seguintes casos: a) m = 2 e x = 3 b) m = 4 e x = - 7 c) m = - 4 e x = 9 d) m = - 1 e x = - 2 e) m = 8 e x = - 10 f) m = 3 e x = 1/2 14) Calcule p ( p 1)( p 2) para p 5.

15 15) Calcule o valor numérico das expressões algébricas: 2 a) x 5x 8 para x 2 2 b) x 5x 8 para x 2 c) x 2 2xy para x 4 e y 0 d) x 2 2xy para x 2 e y 3 16) Se n( n 3) d, calcule o valor de d para n ) Calcule o valor numérico das expressões algébricas: 5a m a) 2 2 a 3m para a 4 e m 1 a b c b) 5 para a 3, b 9 e c 8 a b c) b a para a 8 e b 4 18) Calcule o valor numérico de x y 1 xy para 1 x e 2 1 y. 4 19) Calcule o valor numérico de 3x 2 y para x 2 e y x 20) Calcule o valor numérico de 5am a m para a 2 e m 25. quê? 21) Existe o valor numérico da expressão 5x x y para x 2 e y 2? Por 22) Qual o valor numérico da expressão 6 4 x m para 1 x e m 2? a 3a x y? 23) Sendo a 10, x 2 e y 1, qual será o valor da expressão 24) O valor numérico da expressão p( p a)( p b)( p c) para p 5, a 1, b 2 e c 3 é? 25) Se A x 2 1, qual o valor de A para 5 2 x? 5 26) Qual o valor da expressão a b ab para 1 2 a e b? 3 5

16 27) Qual o valor numérico da expressão 2 x 4 x 2 x 2 3x 2 x 1, para x 4? 28) Qual o valor numérico da expressão 3a b 1 a para a 1 e b 3? 29) Sendo A 2, B 1 e C 3, qual é o valor numérico da expressão A 2 5B? C 30) O valor da expressão a b 1 ab para a 1 e b 2? 31) Em uma cidade, os quarteirões ou quadras medem 110m de comprimento por 80m de largura. Qual é a área de um quarteirão? 32) Seu João tem um terreno retangular que mede 25m de comprimento e 15m de largura. Ele quer colocar um muro cercando este terreno, sem portão ou outra entrada qualquer. Quantos metros de comprimento terá este muro? 33) Rodrigo quer construir um retângulo cuja área mede 20cm2 e o perímetro é de 18cm. Quanto devem medir os lados desse retângulo? 34) Dê o valor de cada radical no campo dos número reais. Caso não exista, escreva: não existe. a) e) i) n) b) f) j) o) c) g) l) d) h) m) 35) Aplicação de propriedades: Exemplo 1: a) b)

17 c) d) e) Exemplo 2: f) g) h) i) j) Exemplo 3: l) m) n) Exemplos 4: ; o) p) q) r) Exemplo 5: s) t)

18 Exemplo 6: u) v) x) z) Exemplo 7: a`) b`) c`) d`) Exemplos 8: e`) f`) g`) h`) i`) 36) Racionalize o denominador de cada fração: u) z) a) f) k) p) v) b) g) l) q) a`)

19 w) c) h) m) r) b`) x) d) i) n) s) c`) t) y) d`) e) j) o) 37) (a) (b) (c) (d) (e) 38) Simplifique: Exemplo: 10x³y²/5x²y = 2xy a) 8a³b²/2ab² b) 4a³-2a²+8a / 2a c) 18x³y²/6x²y³ 39) O valor da expressão a³-3a²x²y², para a=10, x=3 e y=1 é: (a) 100 (b) 50 (c) 250 (d) -150 (e) ) Se A=(x-y)/xy, x=2/5 e y=1/2, então A é igual a: (a) -0,1 (b) 0,2 (c) -0,3 (d) 0,4 (e) -0,5