A soma de dois números pares, obtém um resultado que também é par. Sendo, p=2q e r=2n, temos p+r = 2q+2n = 2(q+n) = 2k.

Transcrição

1 Teoria dos Núeros Resuo do que foi estudado nas aulas de Teoria dos Núeros, inistradas pelo Prof. Dr. Antonio Sales. Acadêica: Sabrina Aori Araujo Núeros pares e ípares Coo saber se u núero é par ou ipar. Os núeros pares são aqueles pode ser agrupados de dois e dois, não sobrando resto, pode ser representados na fora 2k; Já os núeros ipares são aqueles que agrupados de dois e dois resta u eleento, e pode ser escritos na fora 2k+1. Podeos observar alguas propriedades: A soa de dois núeros pares, obté u resultado que tabé é par. Sendo, p=2q e r=2n, teos p+r = 2q+2n = 2(q+n) = 2k. A soa de dois núeros ipares, resulta e u núero par: Sendo, i=2q+1 e i1= 2n+1, teos i+i1 = 2q+1+2n+1 = 2q+2n+2= 2(q+n+1) = 2k A ultiplicação de dois núeros ipares, resultará e u núero ipar. Sendo a e a1 núeros ipares, teos a.a1 = (2k+1)(2n+1)= 4kn+2k+2n+1= 2(2kn+k+n)+1 = 2k+1 O produto de u núero qualquer por u núero par, resulta e u núero tabé par. O produto de dois núeros pares, resulta e núero que tabé é par. U dos grandes debates que se estende até a atualidade, é saber se o núero 0 é u núero par ou u núero ipar. Podeos dizer que o zero é considerado u núero par, apesar de não se encaixar nas condições necessárias para que seja par, pois não pode ser agrupado de dois e dois. Mas se olharos pelas propriedades conseguios provar que seja par. Sendo, par+par = par ipar+ipar = par ipar+par = ipar Então, 0+ par = par I 0+ ipar = ipar II Olhando para II, podeos observar que necessariaente 0 é par, senão a soa não resultaria e u núero ipar.

2 Divisibilidade U núero é considerado divisível por outro quando o resto da divisão entre eles é igual a zero. O resto de ua divisão de u nuero natural, é u outro nuero natural enor ou igual ao antecessor do seu divisor. A divisão não está definida no conjunto dos núeros naturais, ou seja, o conjunto não é fechado para a divisibilidade. Ex: Seja abcd, u núero de quatro algarisos. Coo saber então se esse núero é par ou ipar? Podeos escrever esse eso nuero da seguinte fora: 1000a+ 100b+ 10c+d se d for u nuero par, então o algariso forado por abcd tabé é par, se d for ipar, o algariso será ipar. Regras de Divisão Divisão por 2 Todo nuero par é divisível por 2,isto é, todos os núeros terinados e 0, 2, 4, 6 e 8. Ex: 32/ 2 = 16 (32 é par, portanto é divisível por 2) 98/2 = 49 (98 é par, portanto é divisível por 2) 47/2 = 23 e deixa resto 1 (47 é ipar, portanto não é divisível por 2) Divisão por 3 U núero é divisível por 3 quando a soa de seus algarisos constitui u núero divisível por 3. Exeplo: 66 : 3 = 22, pois = : 3 = 20, pois = 6 81 : 3 = 27, pois = : 3 = 186, pois = 18 Podeos representar u nuero últiplo de 3 coo sendo 3q. A partir dessa afiração, podeos verificar que: Soando dois núeros últiplos de 3, obté u núero que tabé será u últiplo de 3. Deonstração: Teos dois núeros últiplos de 3, 3q+ 3q1 = 3 (q+ q1) = 3k que é u últiplo de 3. k Soando dois núeros que divididos por 3 deixa resto 1, o resultado dessa soa gerara u nuero que dividido por 3 deixara resto 2. Deonstração: 3q+1+3q1+1= 3(q+q1)+2 = 3k +2 Soando dois núeros que divididos por 3 deixa u resto 2, o resultado dessa soa dividido por 3 deixa resto 1. Deonstração:

3 3q+2+3q1+2= 3(q+q1)+4 = 3(q+q1)+3+1= 3(q+q1+1)+1 = 3k +1 A soa de dois núeros divisíveis por 3 que deixa resto 1 e 2, resulta e u nuero últiplo de 3. Deonstração: 3q+1+3q1+2= 3(q+q1)+3 = 3k O produto entre u últiplo de 3 e qualquer outro nuero, resulta sepre e u últiplo de 3 Deonstração: 3k x a = 3 (ka)= 3q Divisão por 4 Para saber se u núero é divisível por 4, basta olhar e seus dois últios algarisos, se o nuero forado pelos dois for u últiplo de 4, esse nuero será u últiplo de 4, alé disso, quando se te núeros terinados e 00, o nuero tabé será u últiplo de 4. Exeplo: abcdef A x 10^5+ b x 10^4+ c x 10^3+ d x 10² + e x 10 + f --- se ef for u últiplo de 4, ou for 00, então abcdef será u últiplo de 4. Divisão por 5 Para saber se u núero é divisível por cinco, basta olhar para seu ultio algariso, se for 0 ou 5, então o núero é divisível por 5. Divisão por 6 Para u núero ser últiplo de 6, ele te que ser u últiplo de 2 e de 3 necessariaente. Ex: o núero 24, é divisível por 6, pois tabé é divisível por 2 e por 3 siultaneaente. 24/6= 4 24/2=12 24/3= 8 Divisão por 8 Se o núero for forado por três 0 (zeros) no final ou os três últios algarisos fore últiplos de 8, então ele será u núero divisível por 8. Ex: se 679 for u nuero últiplo de 8, então será u últiplo de 8. Neste caso não é u últiplo de 8. Divisão por 9 Para u nuero ser últiplo de 9 e consequenteente divisível por 9, a soa de seus algarisos te que resultar e u nuero que tabé seja últiplo de 9.

4 Ex: = = 27 que é u últiplo de 9, então é divisível por 9. Divisão por 11 Para saber se u núero é divisível por 11, basta alternar seus sinais e se o resultado for u últiplo de 11, então o núero será divisível por 11 Ex: = -7, então não é u últiplo de = 0, então o núero é u últiplo de 11. Congruência ódulo Aprendeos que a congruência só é válida para os núeros inteiros. Por exeplo: 13= 6x2+1, assi coo 15=7x2+1 e 27=13x2+1, logo (od 2) (od 2) 13 1 (od 2), onde significa côngruo e od= divisor. Dizer que u núero é côngruo a outro e u deterinado ódulo, é a esa coisa que dizer que esses dois núeros divididos pelo valor do ódulo, deixa restos iguais. Definição: a, b e Z 0 Dizeos que a b (od ) se a= q 1 +r b= q 2 +r a b a-b= q 1 +r - (q 2 + r) a-b= q 1 - q 2 a-b= (q 1 - q 2 ) a b = (q 1 - q 2 ) Podeos afirar que se a b (od ) e c d (od ) então a+c b+d (od ), pois a-b= q c-d= q a+c (b+d) = q 1 + q 2 a-b+c-d= (q 1 - q 2 ) a+c b+d (od ) Agora provareos que ac bd (od ), a-b= q c-d= q a= b+q 1 c= d+q 2

5 ac= (b+q 1 )( d+q 2 ) bd+ (bq 2 + dq 1 + q 1 q 2 ) ac-bd=(bq 2 + dq 1 + q 1 q 2 ) chaando (bq 2 + dq 1 + q 1 q 2 ) de k, teos ac-bd = k, portanto ac bd (od ) Exeplos: 01 - Observe que: 1²=1 1 (od 8) 3²=9 1 (od 8) 5²=25 1 (od 8) Prove que o quadrado de todo núero ípar é côngruo a 1 od 8. Coo é u núero ípar, então é representado por 2k+1, logo seu quadrado será (2k+1)² = 4k²+4k+1 (daí já podeos afirar que todo núero ao quadrado é côngruo a 4 od 8) U núero ípar tabé pode ser escrito na fora 4k+1, o que é ais conveniente para o que quereos encontrar, logo: (4k+1)² = 16k²+8k+1 8(2k²+k)+1 = 8k+1, logo provaos que todo núero ipar ao quadrado é côngruo a 1 od Prove que todo núero na fora 6k+2 tabé é da fora 3n+2. 6k+2= 3(2k)+2, considerando 2k=n, teos 3n Prove que todo nuero ipar ao quadrado é côngruo a 1 ou 9 od 12. (6k+1)² (36k²+12k+1) 12(3k²+k)+1 12n+1 (6k+3)² (36k²+36k+9) 12(3k²+k)+9 12n+9.

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