Existemcorposdeordemq se, e somente se, q éumapotência de primo.
|
|
- Silvana Beppler Porto
- 8 Há anos
- Visualizações:
Transcrição
1 Corpos Finitos U corpo é, grosso odo, u conjunto no qual podeos soar, subtrair, ultiplicar e dividir por não nulo, no qual vale todas as propriedades usuais de tais operações, incluindo a coutativa da adição e da ultiplicação. Exeplos de corpos são os racionais Q, osreaisr, os coplexos C e o conjunto dos inteiros vistos ódulo p prio Z/pZ. Exeplos de conjuntos que não são corpos são os inteiros Z, os polinôios co coeficientes e R, as atrizes quadradas de orde n e o conjunto dos inteiros vistos ódulo n coposto, Z/nZ estes exeplos são anéis. Aqui, discutios a existência de corpos finitos de orde q. Aorde de u corpo finito éoseunúero de eleentos. 1. O teorea Teorea 1.1. Existecorposdeordeq se, e soente se, q éuapotência de prio. Alé disso, todos os corpos finitos de esa orde são isoorfos, isto é, para cada par de corpos K 1, K 2 de esa orde existe ua bijeção φ: K 1 K 2, chaada isoorfiso, queanté a estrutura algébrica dos corpos, ou seja, φxy = φxφy e φx y = φx φy. Mas não deonstrareos isso aqui, a não ser para Z/pZ. Deonstração Deonstrareos esse fato co o auxílio de alguns leas. 2. Os corpos finitos deve ter p n eleentos: ua pequena incursão algébrica Definição 2.1. U espaço vetorial sobre u corpo K é u conjunto V tal que para todos u, v V etodo λ K, então u v V e λv V. Lea 2.1. Seja K L corpos. Então L é u espaço vetorial sobre K. Deonstração Fica para você, leitor. Ésó verificar que vale as propriedades da definição. Lea 2.2. Seja F u corpo finito de q eleentos e F K, sendo K outro corpo finito. Então K te q n eleentos, onde n é a diensão do espaço vetorial de K sobre F. Deonstração Sendo K e F finitos, a diensão de K sobre F é claraente finita. Seja {u 1,u 2,...,u n } ua base de K. Há q n eleentos e K: as expressões do tipo α 1 u 1 α 2 u 2 α n u n cada α i pode ser escolhido de q aneiras. Antes de continuar, ais ua definição. Definição 2.2. A característica de u corpo K éoenornúero inteiro positivo tal que, sendo a K, a = a a a =0. Setal não existir, a característica do corpo é definida coo zero. } {{ } vezes Por exeplo, Z/pZ é u corpo de característica p. Agora, vereos porque corpos tê orde potência de prio e não potência perfeita. Lea 2.3. A característica de u corpo é prio ou zero.
2 Deonstração Seja 0 a característica de u corpo. Seja 1 a unidade desse corpo e suponha que = pq, p, q inteiros aiores que 1 observe que se trocaros a unidade 1 por outro eleento a do corpo, teos a =0 a a 1 =0 1 = 0, ou seja, não perdeos generalidade. Ao desenvolveros o produto p1 q1 = } {{ } } {{ } p vezes q vezes obteos = pq uns. Logo 1 =p1 q1 =0 p1 =0ouq1 = 0, absurdo, já que éínio. Lea 2.4. Seja p prio.todososcorposdeordep são isoorfos a Z/pZ. Deonstração Seja K u corpo de orde p e 1 a sua unidade. Observe que, sendo K finito, adite característica finita, que só podeserp. Defina o isoorfiso φ: Z/pZ K, φ =1 soaos vezes a unidade e K. Se 1 =n1 então n1 = 0 p n = n, pois p < n<p. Logo os p núeros 0 1=0, 1, 2 1,...,p 11 são distintos e são os eleentos de K. Logo φ é ua bijeção. Iitando a deonstração do lea anterior, podeos provar que φ anté a estrutura algébrica de Z/pZ. Logo os corpos K e Z/pZ são isoorfos. Lea 2.5. Seja F u corpo finito. Então F te orde potência de prio. Deonstração Sendo o corpo finito, então adite característica finita: não épossível que se soaros a unidade vezes sepre resulte u núero diferente; assi 1 =t1 para<t. Daí, t1 = 0, ou seja, F te ua característica que é u divisor prio de t. Seja p a característica de F. Usando a definição de φ do lea anterior, construíos u subcorpo F 0 F isoorfo a Z/pZ. Dolea2.2,F te p n eleentos, sendo n adiensão de F sobre F 0. Pois be, provaos a ida. Mas que garante a existência de corpos finitos de orde igual a qualquer potência de prio? Vaos construir u corpo de orde p n, p prio. 3. Funções geratrizes garante a existência! Ua aneira de construir u corpo de orde p n que é utilizada para construir os corpos utilizados e códigos é toaros u polinôio px irredutível de grau n co coeficientes e Z/pZ e toaros coo eleentos desse corpo os polinôios visto ód px. A soa é a soa de polinôios e é claro que vale todas as propriedades usuais de adição e ultiplicação. E a divisão? Pelo teorea de Bezóut, para qx 0 ód. px existe polinôios ax ebx taisqueax qx bx px. Vendo ód px nota-se que ax = qx 1, de odo que qualquer eleento não nulo adite inverso. Perceba agora que a existência do corpo depende unicaente da existência de polinôios irredutíveis de grau arbitrário e Z/pZ. Para isso usaos o Teorea 3.1. Existe polinôios irredutíveis de grau arbitrário e Z/pZ. Deonstração A prova que dareos aqui é cobinatória! Contareos o núero a n de polinôios irredutíveis e Z/pZ de grau n, utilizando alguas técnicas de contage. Depois ésóprovarquea n > 0 sepre. E [3], foi deonstrado que certos anéis são doínios de fatoração única a partir do fato de sere euclidianos. Co u pouco ais de facilidade já que é trivial que a divisão de polinôios sobre corpos é
3 euclidiana, podeos deonstrar que os anéis de polinôios e Z/pZ tabé são doínios de fatoração única. Considere todos os polinôios ônicos x n c n 1 x n 1 c 0 de grau n, c i Z/pZ, i =0, 1,...,n 1. Há p escolhas para cada a i, logo há p n polinôios desse tipo. Cada polinôio P x fatora unicaente e irredutíveis. Suponha que i desses polinôios tê grau i, i =1, 2,...,n. Soando os graus dos fatores irredutíveis, obteos n n = n. Observando do lado dos polinôios irredutíveis, podeos escolher de a k polinôios irredutíveis, peritindo repetições. O núero de tais escolhas é igual ao núero de soluçõesinteirasdex 1 x 2 x ak =,queé a k 1. Assi, todos os possíveis produtos de 1 fatores irredutíveis de grau 1, 2 fatores irredutíveis de grau 2, etc, são e total de 1 k n Assi, considerando todas as soluções possíveis de n n = n, teos todas as fatorações de todos os p n polinôios, ou seja, = p n 12 2 n n=n 1 k n Isso já define ua recorrência para a n, as uito coplicada. Calculeos valores pequenos para p =2: de a 1 =2 a1 1 a 2 =4 2 a1 2 a 3 a 1 a 2 =8 3 a2 1 a1 3 a 4 a 1 a 3 = obteos a 1 =2,a 2 =1,a 3 =2ea 4 =3. Vaos siplificar significativaente essa recorrência, encontrando, eventualente, ua fórula fechada para a n. Para isso, utilizareos u pouco de funções geratrizes. Você pode encontrar ais sobre elas e [4]. Multiplique abos os ebros de port n e soe para todo n natural. No segundo ebro obteos 1 ua série geoétrica de soa foral 1 pt.assi, n 0 n 0 t n n n n=n 1 k n t 122 nn 12 2 n n=n 1 k n 12 2 n n=n 1 k n t k Teos dois soatórios: u sobre todos os naturais e outro sobre seqüências 1, 2,..., n de naturais tais que n n = n. Considerando os dois soatórios, veos que essa soa já não nos traz ais restrições. Qualquer soa finita do tipo n n é igual a u natural e portanto vai
4 aparecer na soa. O único cuidado que deveos toar é o de considerar seqüências de naturais co u núero finito de eleentos não nulos. Assi, t k 1, 2,... Colocaos u apóstrofo para indicar que a soa ésobreseqüências co u núero finito de teros não nulos. Agora, o ponto crucial de nossos cálculos. Vaos classificar os teros da fora a k 1 t k. Note que a soa acia ésobretodas as seqüências 1, 2,...counúero finito de teros não nulos. Seqüências desse tipo e produtórios coo o que aparece acia caracteriza u desenvolviento de u produto de soas. Por exeplo, vaos voltar nosso foco ao prieiro tero 1 da seqüência. Estaos ultiplicando teros da fora a 1 1 t aqui trocaos 1 por. Logo 1, 2,... 0a1 1 = 0 1a a1 1 2 t 0 t 1 t 2 0a1 1 = 0 = a ,... 2,... 2,... t 0 t k t k t k 1a1 1 1 t 1 2,... Indutivaente, podeos concluir que 1, 2,... t k t 1 2a1 1 1 t k t 2 t k 2,... t k = ak 1 t k 0 Utilizando o conceito de binoial generalizado, ou seja, a aa 1 a n 1 = para a real e n natural, n n! teos a 1 = e, pelo binôio de Newton generalizado, ak 1 0 a 1 a 2 a 3 a! a a 1 a 1 a = 1 = 1! t k = 1 ak 0 t k =1 t k a k
5 Logo 1 t k a k Poderíaos ter chegado nessa identidade u pouco ais rápido, na verdade. O estudante Huberto Silva Naves e eu estávaos discutindo para ver se conseguíaos provar essa identidade se fazer tanta conta e chegaos nesse atalho valeu Huberto!: considere a soa i 0 pi t i.oteroet i indica a quantidade de polinôios ônicos de grau i, quesão fatorados de fora única e irredutíveis ônicos. Assi, t i éu arcador do grau dos polinôios. Agora, considere 1 t k t 2k a k. Ao desenvolveros esse produto, toaos o tero t k do i-ésio fator quando toaos o i-ésio irredutível de grau k que são e total de a k. Logo, considerando todos os graus, t 1 k t 2k ak = p i t i 1 t k a k i 0 Mas, de qualquer fora, é iportante saber anipular algebricaente essas expressões, logo resolvi deixar os cálculos anteriores. Ua aneira de transforar produtórios e soatórios é tirar logaritos dos dois lados. Aqui, log indica logarito natural. Obteos então a k log1 t k = log O desenvolviento de log1 x e série de potências é log1 x =x x2 2 x3 3 = x i i i 1 Portanto a k i 1 t ik i = i 1 pt i i Basta, agora, coparar os teros e t n. No segundo ebro é p n /n. No prieiro, aparece sepre que ik = n i = n/k, ou seja, quando k divide n. Logo k n a k n/k = pn n k n ka k = p n, que é ua recorrência be ais tratável. Vaos rever os casos pequenos que estudaos antes, co p =2: a 1 =2 a 1 2a 2 =4 a 1 3a 3 =8 a 1 2a 2 4a 4 =16 Agora, proveos que a n > 0. Considere a soa k n ka k.forana n, todos os outros no áxio n 1 teros são enores que q n/2,poisjá aparecera e soas anteriores. Deste odo, ka k < n 1q n/2 na n q n < n 1q n/2 na n na n >q n/2 q n/2 n 1> 0 k n
6 Podeos encontrar ua fórula fechada para a n apartirdafórula de inversão de Möbius cuja deonstração pode ser encontrada e [5]: fn = gd, para todo n Z gn = µdf d n d n n d,paratodon Z, onde éafunção de Möbius. Teos { 1 se n =1 µn = 1 r se n é o produto de r prios distintos 0 caso contrário a n = µnp n/d d n 4. Referências bibliográficas [1] I. N. Herstein. Topics in Algebra, Wiley. U livro de Álgebra Abstrata para que quer aprender o básico e ais u pouco dessa fascinante e iportantíssia área da Mateática. Parte da deonstração do teorea sobre corpos finitos a ida foi retirada do Capítulo 7 cujo título é Selected Topics! deste livro. [2] Peter J. Caeron. Cobinatorics: Topics, Techniques, Algoriths, Cabridge Press. U livro de Cobinatória. Não o li o suficiente, as a volta do teorea sobre corpos finitos foi retirada deste livro, do Capítulo 4, sobre recorrências e funções geratrizes. [3] Guilhere Fujiwara. Inteiros de Gauss e Inteiros de Eisenstein, in: Revista Eureka! 14. Acho que éo prieiro artigo que fala de aplicações da Álgebra Abstrata fora dos tradicionais núeros ódulo. A referência [1] tabé fala de inteiros de Gauss, as essa referência é claraente ais acessível e ais didática, alé de conter fatos be ais interessante para o público olípico. [4] Eduardo Tengan. Séries Forais, in: Revista Eureka! 11. U ótio artigo para que quer coeçar a estudar funções geratrizes. Lá te u resultado iportante sobre partições e u étodo para encontrar teros gerais de recorrências coo, por exeplo, Fibonacci. Recoendo tabé o fantástico livro Concrete Matheatics, do grande Donald E. Knuth e, para calcular certos soatórios, o livro A = B, demarkopetkovšek, Herbert S. Wilf e Doron Zeilberger. Aliás, este livro pode ser baixado e ou [5] José Plínio de Oliveira Santos. Introdução à Teoria dos Núeros, IMPA. U bo livro introdutório para teoria dos núeros. Vai u pouco alé de congruências, Euler-Ferat e raízes priitivas, falando sobre funções aritéticas e partições.
x0 = 1 x n = 3x n 1 x k x k 1 Quantas são as sequências com n letras, cada uma igual a a, b ou c, de modo que não há duas letras a seguidas?
Recorrências Muitas vezes não é possível resolver problemas de contagem diretamente combinando os princípios aditivo e multiplicativo. Para resolver esses problemas recorremos a outros recursos: as recursões
Leia maisTEORIA ELETRÔNICA DA MAGNETIZAÇÃO
113 17 TEORA ELETRÔNCA DA MANETZAÇÃO Sabeos que ua corrente elétrica passando por u condutor dá orige a u capo agnético e torno deste. A este capo daos o noe de capo eletro-agnético, para denotar a sua
Leia maisAplicações de Combinatória e Geometria na Teoria dos Números
Aplicações de Combinatória e Geometria na Teoria dos Números Nesse artigo vamos discutir algumas abordagens diferentes na Teoria dos Números, no sentido de envolverem também outras grandes áreas, como
Leia maisTeorema Chinês dos Restos
Teorea Chinês dos Restos Sauel Barbosa 22 de arço de 2006 Teorea 1. (Bézout) Seja a e b inteiros não nulos e d seu dc. Então existe inteiros x e y tais que d = ax + by. Se a e b são positivos podeos escolher
Leia maisPor que o quadrado de terminados em 5 e ta o fa cil? Ex.: 15²=225, 75²=5625,...
Por que o quadrado de terminados em 5 e ta o fa cil? Ex.: 15²=225, 75²=5625,... 0) O que veremos na aula de hoje? Um fato interessante Produtos notáveis Equação do 2º grau Como fazer a questão 5 da 3ª
Leia maisCálculo Numérico Faculdade de Engenharia, Arquiteturas e Urbanismo FEAU
Cálculo Nuérico Faculdade de ngenhari Arquiteturas e Urbaniso FAU Prof. Dr. Sergio Pilling (IPD/ Física e Astronoia) VI Integração Nuérica Objetivos: O objetivo desta aula é apresentar o étodo de integração
Leia maisExercícios Teóricos Resolvidos
Universidade Federal de Minas Gerais Instituto de Ciências Exatas Departamento de Matemática Exercícios Teóricos Resolvidos O propósito deste texto é tentar mostrar aos alunos várias maneiras de raciocinar
Leia maisMatemática - UEL - 2010 - Compilada em 18 de Março de 2010. Prof. Ulysses Sodré Matemática Essencial: http://www.mat.uel.
Matemática Essencial Equações do Segundo grau Conteúdo Matemática - UEL - 2010 - Compilada em 18 de Março de 2010. Prof. Ulysses Sodré Matemática Essencial: http://www.mat.uel.br/matessencial/ 1 Introdução
Leia maisRevisões de análise modal e análise sísmica por espectros de resposta
Revisões de análise odal e análise sísica por espectros de resposta Apontaentos da Disciplina de Dinâica e Engenharia Sísica Mestrado e Engenharia de Estruturas Instituto Superior Técnico Luís Guerreiro
Leia maisMonografia sobre R ser um Domínio de Fatoração Única implicar que R[x] é um Domínio de Fatoração Única.
Universidade Estadual de Campinas Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica Departamento de Matemática Monografia sobre R ser um Domínio de Fatoração Única implicar que R[x] é um Domínio
Leia maisCIRCUITOS ELÉTRICOS REGIME PERMANENTE SENOIDAL, REPRESENTAÇÃO FASORIAL E POTÊNCIAS ELÉTRICAS
CICUIOS EÉICOS EGIME PEMANENE SENOIDA, EPESENAÇÃO FASOIA E As análises de circuitos até o presente, levou e consideração a aplicação de fontes de energia elétrica a u circuito e conseqüente resposta por
Leia maisObjetivo: converter um comando de posição de entrada em uma resposta de posição de saída.
Prof. Celso Módulo 0 83 SISTEMAS DE CONTOLE DE POSIÇÃO Objetivo: converter u coando de posição de entrada e ua resposta de posição de saída. Aplicações: - antenas - braços robóticos - acionadores de disco
Leia maisUNIVERSIDADE FEDERAL DO ESPÍRITO SANTO PROGRAMA DE EDUCAÇÃO TUTORIAL - MATEMÁTICA PROJETO FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA ELEMENTAR
UNIVERSIDADE FEDERAL DO ESPÍRITO SANTO PROGRAMA DE EDUCAÇÃO TUTORIAL - MATEMÁTICA PROJETO FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA ELEMENTAR Assuntos: Matrizes; Matrizes Especiais; Operações com Matrizes; Operações Elementares
Leia maisSomatórias e produtórias
Capítulo 8 Somatórias e produtórias 8. Introdução Muitas quantidades importantes em matemática são definidas como a soma de uma quantidade variável de parcelas também variáveis, por exemplo a soma + +
Leia maisAPLICAÇÃO DO MÉTODO DOS MÍNIMOS QUADRADOS: PROBLEMA DO PARAQUEDISTA EM QUEDA LIVRE
APLICAÇÃO DO MÉTODO DOS MÍNIMOS QUADRADOS: PROBLEMA DO PARAQUEDISTA EM QUEDA LIVRE Tatiana Turina Kozaa 1 Graziela Marchi Tiago E diversas áreas coo engenharia, física, entre outras, uitas de suas aplicações
Leia maisMétodo Simbólico. Versus. Método Diagramas de Euler. Diagramas de Venn
IV Método Sibólico Versus Método Diagraas de Euler E Diagraas de Venn - 124 - Método Sibólico Versus Método Diagraas de Euler e Diagraas de Venn Para eplicar o que é o Método Sibólico e e que aspecto difere
Leia mais1 Base de um Espaço Vetorial
Disciplina: Anéis e Corpos Professor: Fernando Torres Membros do grupo: Blas Melendez Caraballo (ra143857), Leonardo Soriani Alves (ra115465), Osmar Rogério Reis Severiano (ra134333) Ramon Códamo Braga
Leia maisMÉTODOS DISCRETOS EM TELEMÁTICA
1 MÉTODOS DISCRETOS EM TELEMÁTICA MATEMÁTICA DISCRETA Profa. Marcia Mahon Grupo de Pesquisas em Comunicações - CODEC Departamento de Eletrônica e Sistemas - UFPE Outubro 2003 2 CONTEÚDO 1 - Introdução
Leia maisAula 6 Primeira Lei da Termodinâmica
Aula 6 Prieira Lei da Terodinâica 1. Introdução Coo vios na aula anterior, o calor e o trabalho são foras equivalentes de transferência de energia para dentro ou para fora do sistea. 2. A Energia interna
Leia maisCapítulo 1. x > y ou x < y ou x = y
Capítulo Funções, Plano Cartesiano e Gráfico de Função Ao iniciar o estudo de qualquer tipo de matemática não podemos provar tudo. Cada vez que introduzimos um novo conceito precisamos defini-lo em termos
Leia maisFórmula versus Algoritmo
1 Introdução Fórmula versus Algoritmo na resolução de um problema 1 Roberto Ribeiro Paterlini 2 Departamento de Matemática da UFSCar No estudo das soluções do problema abaixo deparamos com uma situação
Leia maisPolos Olímpicos de Treinamento. Aula 2. Curso de Teoria dos Números - Nível 2. Divisibilidade II. Prof. Samuel Feitosa
Polos Olímpicos de Treinamento Curso de Teoria dos Números - Nível Prof. Samuel Feitosa Aula Divisibilidade II Definição 1. Dados dois inteiros a e b, com a 0, dizemos que a divide b ou que a é um divisor
Leia maisAula 4. Inferência para duas populações.
Aula 4. Inferência para duas populações. Teos duas aostras independentes de duas populações P e P : população P aostra x, x,..., x n população P aostra y, y,..., y Observação: taanho de aostras pode ser
Leia maisA equação do 2º grau
A UA UL LA A equação do 2º grau Introdução Freqüentemente, ao equacionarmos um problema, obtemos uma equação na qual a incógnita aparece elevada ao quadrado. Estas são as chamadas equações do 2º grau.
Leia mais2 Podemos representar graficamente o comportamento de (1) para alguns ângulos φ, que são mostrado nas figuras que se seguem.
POTÊNCIA EM CARGAS GENÉRICAS Prof. Antonio Sergio C. de Menezes. Depto de Engenharia Elétrica Muitas cargas nua instalação elétrica se coporta de fora resistiva ou uito aproxiadaente coo tal. Exeplo: lâpadas
Leia mais8 8 (mod 17) e 3 34 = (3 17 ) 2 9 (mod 17). Daí que 2 67 + 3 34 8 + 9 0 (mod 17), o que significa que 2 67 + 3 34 é múltiplo de 17.
Prova Teoria de Números 23/04/203 Nome: RA: Escolha 5 questões.. Mostre que 2 67 + 3 34 é múltiplo de 7. Solução: Pelo teorema de Fermat 2 6 (mod 7 e 3 7 3 (mod 7. Portanto, 2 67 = 2 64+3 = ( 2 6 4 8 8
Leia maisSobre Domínios Euclidianos
Sobre Domínios Euclidianos Clarissa Bergo Bianca Fujita Lino Ramada João Schwarz Felipe Yukihide Setembro de 2011 Resumo Neste texto, apresentaremos formalmente o que vem a ser domínio euclidiano, alguns
Leia maisQUESTÕES COMENTADAS E RESOLVIDAS
LENIMAR NUNES DE ANDRADE INTRODUÇÃO À ÁLGEBRA: QUESTÕES COMENTADAS E RESOLVIDAS 1 a edição ISBN 978-85-917238-0-5 João Pessoa Edição do Autor 2014 Prefácio Este texto foi elaborado para a disciplina Introdução
Leia maisUNIVERSIDADE FEDERAL DO PARANÁ PIBID-PROGRAMA INSTITUCIONAL DE BOLSAS DE INICIAÇÃO A DOCÊNCIA PROVAS E DEMONSTRAÇÕES EM MATEMÁTICA
1 DOCÊNCIA UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARANÁ PIBID-PROGRAMA INSTITUCIONAL DE BOLSAS DE INICIAÇÃO A PROVAS E DEMONSTRAÇÕES EM MATEMÁTICA Fabio da Costa Rosa Fernanda Machado Greicy Kelly Rockenbach da Silva
Leia maisF. Jorge Lino Módulo de Weibull MÓDULO DE WEIBULL. F. Jorge Lino
MÓDULO DE WEIBULL F. Jorge Lino Departaento de Engenharia Mecânica e Gestão Industrial da Faculdade de Engenharia da Universidade do Porto, Rua Dr. Roberto Frias, 4200-465 Porto, Portugal, Telf. 22508704/42,
Leia mais:: Física :: é percorrida antes do acionamento dos freios, a velocidade do automóvel (54 km/h ou 15 m/s) permanece constante.
Questão 01 - Alternativa B :: Física :: Coo a distância d R é percorrida antes do acionaento dos freios, a velocidade do autoóvel (54 k/h ou 15 /s) peranece constante. Então: v = 15 /s t = 4/5 s v = x
Leia mais5 Equacionando os problemas
A UA UL LA Equacionando os problemas Introdução Nossa aula começará com um quebra- cabeça de mesa de bar - para você tentar resolver agora. Observe esta figura feita com palitos de fósforo. Mova de lugar
Leia mais= C. (1) dt. A Equação da Membrana
A Equação da Mebrana Vaos considerar aqui ua aproxiação e que a célula nervosa é isopotencial, ou seja, e que o seu potencial de ebrana não varia ao longo da ebrana. Neste caso, podeos desprezar a estrutura
Leia maisEquações do segundo grau
Módulo 1 Unidade 4 Equações do segundo grau Para início de conversa... Nesta unidade, vamos avançar um pouco mais nas resoluções de equações. Na unidade anterior, você estudou sobre as equações de primeiro
Leia maisR domínio de fatoração única implica R[x] também
R domínio de fatoração única implica R[x] também Pedro Manfrim Magalhães de Paula 4 de Dezembro de 2013 Denição 1. Um domínio integral R com unidade é um domínio de fatoração única se 1. Todo elemento
Leia maisMaterial Teórico - Módulo de Divisibilidade. MDC e MMC - Parte 1. Sexto Ano. Prof. Angelo Papa Neto
Material Teórico - Módulo de Divisibilidade MDC e MMC - Parte 1 Sexto Ano Prof. Angelo Papa Neto 1 Máximo divisor comum Nesta aula, definiremos e estudaremos métodos para calcular o máximo divisor comum
Leia maisDicas para a 6 a Lista de Álgebra 1 (Conteúdo: Homomorfismos de Grupos e Teorema do Isomorfismo para grupos) Professor: Igor Lima.
Dicas para a 6 a Lista de Álgebra 1 (Conteúdo: Homomorfismos de Grupos e Teorema do Isomorfismo para grupos) Professor: Igor Lima. 1 /2013 Para calcular Hom(G 1,G 2 ) ou Aut(G) vocês vão precisar ter em
Leia maisUniversidade Federal Fluminense ICEx Volta Redonda Introdução a Matemática Superior Professora: Marina Sequeiros
. Conjuntos numéricos Objetivo: aprender sobre conjuntos numéricos, suas operações e propriedades..1 Conjunto dos números naturais (IN) O conjunto dos números naturais é representado por IN e IΝ{0;1;;;...}.
Leia maisEstruturas de Betão Armado II 10 Lajes Fungiformes Análise Estrutural
Estruturas de Betão Arado II 10 Lajes Fungifores Análise Estrutural A. P. Raos Out. 006 1 10 Lajes Fungifores Análise Estrutural Breve Introdução Histórica pbl 1907 Turner & Eddy M (???) 50 1914 Nichols
Leia mais(a) u D sse u d para todo o d D. (b) Qualquer associado de uma unidade é uma unidade. (c) Qualquer associado de um elemento irredutível é irredutível.
Exercícios 29 Exercícios 1.1. Mostre que num domínio de integridade D: (a) a b sse b a. (b) a = b sse a b. (c) a = D sse a D. (d) D[x] = D. 1.2. Mostre que num domínio de integridade D: (a) u D sse u d
Leia maisTeoria dos Números. A Teoria dos Números é a área da matemática que lida com os números inteiros, isto é, com o conjunto
Teoria dos Números 1 Noções Básicas A Teoria dos Números é a área da matemática que lida com os números inteiros, isto é, com o conjunto Z = {..., 4, 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3, 4...}. Ela permite resolver de
Leia maisO ESPAÇO NULO DE A: RESOLVENDO AX = 0 3.2
3.2 O Espaço Nulo de A: Resolvendo Ax = 0 11 O ESPAÇO NULO DE A: RESOLVENDO AX = 0 3.2 Esta seção trata do espaço de soluções para Ax = 0. A matriz A pode ser quadrada ou retangular. Uma solução imediata
Leia maisSistema de Numeração e Aritmética Básica
1 Sistema de Numeração e Aritmética Básica O Sistema de Numeração Decimal possui duas características importantes: ele possui base 10 e é um sistema posicional. Na base 10, dispomos de 10 algarismos para
Leia mais[a11 a12 a1n 4. SISTEMAS LINEARES 4.1. CONCEITO. Um sistema de equações lineares é um conjunto de equações do tipo
4. SISTEMAS LINEARES 4.1. CONCEITO Um sistema de equações lineares é um conjunto de equações do tipo a 11 x 1 + a 12 x 2 +... + a 1n x n = b 1 a 11 x 1 + a 12 x 2 +... + a 1n x n = b 2... a n1 x 1 + a
Leia maisficha 3 espaços lineares
Exercícios de Álgebra Linear ficha 3 espaços lineares Exercícios coligidos por Jorge Almeida e Lina Oliveira Departamento de Matemática, Instituto Superior Técnico 2 o semestre 2011/12 3 Notação Sendo
Leia maisRecordamos que Q M n n (R) diz-se ortogonal se Q T Q = I.
Diagonalização ortogonal de matrizes simétricas Detalhes sobre a Secção.3 dos Apontamentos das Aulas teóricas de Álgebra Linear Cursos: LMAC, MEBiom e MEFT (semestre, 0/0, Prof. Paulo Pinto) Recordamos
Leia maisAula: Equações polinomiais
Aula: Equações polinomiais Turma 1 e 2 Data: 05/09/2012-12/09/2012 Tópicos Equações polinomiais. Teorema fundamental da álgebra. Raízes reais e complexas. Fatoração e multiplicação de raízes. Relações
Leia mais94 (8,97%) 69 (6,58%) 104 (9,92%) 101 (9,64%) 22 (2,10%) 36 (3,44%) 115 (10,97%) 77 (7,35%) 39 (3,72%) 78 (7,44%) 103 (9,83%)
Distribuição das 1.048 Questões do I T A 94 (8,97%) 104 (9,92%) 69 (6,58%) Equações Irracionais 09 (0,86%) Equações Exponenciais 23 (2, 101 (9,64%) Geo. Espacial Geo. Analítica Funções Conjuntos 31 (2,96%)
Leia mais2 O Preço Spot de Energia Elétrica do Brasil
2 O Preço Spot de Energia Elétrica do Brasil Inicialente, vai se expor de ua fora uita sucinta coo é criado o preço spot de energia elétrica do Brasil, ais especificaente, o CMO (Custo Marginal de Operação).
Leia maisCurso Profissional de Técnico de Energias Renováveis 1º ano. Módulo Q 2 Soluções.
Curso Profissional de Técnico de Energias Renováveis 1º ano Docuento de apoio Módulo Q 2 Soluções. 1. Dispersões 1.1. Disperso e dispersante Dispersão Ua dispersão é ua istura de duas ou ais substâncias,
Leia maisMaterial Teórico - Aplicações das Técnicas Desenvolvidas. Exercícios e Tópicos Relacionados a Combinatória. Segundo Ano do Ensino Médio
Material Teórico - Aplicações das Técnicas Desenvolvidas Exercícios e Tópicos Relacionados a Combinatória Segundo Ano do Ensino Médio Prof Cícero Thiago Bernardino Magalhães Prof Antonio Caminha Muniz
Leia maisRevisão para a Bimestral 8º ano
Revisão para a Bimestral 8º ano 1- Quadrado da soma de dois termos Observe: (a + b)² = ( a + b). (a + b) = a² + ab+ ab + b² = a² + 2ab + b² Conclusão: (primeiro termo)² + 2.(primeiro termo). (segundo termo)
Leia maisAula 4 Estatística Conceitos básicos
Aula 4 Estatística Conceitos básicos Plano de Aula Amostra e universo Média Variância / desvio-padrão / erro-padrão Intervalo de confiança Teste de hipótese Amostra e Universo A estatística nos ajuda a
Leia maisUniversidade Estadual de Santa Cruz. Departamento de Ciências Exatas e Tecnológicas. Especialização em Matemática. Disciplina: Estruturas Algébricas
1 Universidade Estadual de Santa Cruz Departamento de Ciências Exatas e Tecnológicas Especialização em Matemática Disciplina: Estruturas Algébricas Profs.: Elisangela S. Farias e Sérgio Motta Operações
Leia maisBases Matemáticas. Aula 2 Métodos de Demonstração. Rodrigo Hausen. v. 2013-7-31 1/15
Bases Matemáticas Aula 2 Métodos de Demonstração Rodrigo Hausen v. 2013-7-31 1/15 Como o Conhecimento Matemático é Organizado Definições Definição: um enunciado que descreve o significado de um termo.
Leia maisResumo com exercícios resolvidos do assunto: Sistemas de Partículas
www.engenhariafacil.weebly.co Resuo co exercícios resolvidos do assunto: Sisteas de Partículas (I) (II) (III) Conservação do Moento Centro de Massa Colisões (I) Conservação do Moento Na ecânica clássica,
Leia maisALGUNS TóPICOS DE CONTAGEM E PROBABILIDADE
ALGUNS TóPICOS DE CONTAGEM E PROBABILIDADE MAT30 200/ O objetivo destas notas é ilustrar como a ideia de fazer aproximações permite uma compreensão melhor de diversos problemas de combinatória e probabilidade..
Leia maisDisciplina: Introdução à Álgebra Linear
Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia do Rio Grande do Norte Campus: Mossoró Curso: Licenciatura Plena em Matemática Disciplina: Introdução à Álgebra Linear Prof.: Robson Pereira de Sousa
Leia maisDefinição. A expressão M(x,y) dx + N(x,y)dy é chamada de diferencial exata se existe uma função f(x,y) tal que f x (x,y)=m(x,y) e f y (x,y)=n(x,y).
PUCRS FACULDADE DE ATEÁTICA EQUAÇÕES DIFERENCIAIS PROF. LUIZ EDUARDO OURIQUE EQUAÇÔES EXATAS E FATOR INTEGRANTE Definição. A diferencial de uma função de duas variáveis f(x,) é definida por df = f x (x,)dx
Leia maisRESOLUÇÃO DAS QUESTÔES DE MATEMÁTICA DO VESTIBULAR DA UNICAMP 2006. 1 POR PROFESSORA MARIA ANTÔNIA C. GOUVEIA.
RESOLUÇÃO DAS QUESTÔES DE MATEMÁTICA DO VESTIBULAR DA UNICAMP 006. POR PROFESSORA MARIA ANTÔNIA C. GOUVEIA. 5. O gráfico ao lado ostra o total de acidentes de trânsito na cidade de Capinas e o total de
Leia maisAfinação e Temperamento
Hidetoshi Arakawa Afinação e Teperaento Teoria e rática Hidetoshi Arakawa 00 Edição do Autor Capinas, Brasil upleento Hidetoshi Arakawa Caixa ostal 0 Capinas, 08-90 arakawah@correionet.co.br 00 refácio
Leia maisSUMÁRIO 1. AULA 6 ENDEREÇAMENTO IP:... 2
SUMÁRIO 1. AULA 6 ENDEREÇAMENTO IP:... 2 1.1 Introdução... 2 1.2 Estrutura do IP... 3 1.3 Tipos de IP... 3 1.4 Classes de IP... 4 1.5 Máscara de Sub-Rede... 6 1.6 Atribuindo um IP ao computador... 7 2
Leia maisConceitos e fórmulas
1 Conceitos e fórmulas 1).- Triângulo: definição e elementos principais Definição - Denominamos triângulo (ou trilátero) a toda figura do plano euclidiano formada por três segmentos AB, BC e CA, tais que
Leia maisCalculando probabilidades
A UA UL LA Calculando probabilidades Introdução evento E é: P(E) = Você já aprendeu que a probabilidade de um nº deresultadosfavoráveis nº total de resultados possíveis Nesta aula você aprenderá a calcular
Leia maisBreve referência à Teoria de Anéis. Álgebra (Curso de CC) Ano lectivo 2005/2006 191 / 204
Breve referência à Teoria de Anéis Álgebra (Curso de CC) Ano lectivo 2005/2006 191 / 204 Anéis Há muitos conjuntos, como é o caso dos inteiros, dos inteiros módulo n ou dos números reais, que consideramos
Leia maisFunções algébricas do 1º grau. Maurício Bezerra Bandeira Junior
Maurício Bezerra Bandeira Junior Definição Chama-se função polinomial do 1º grau, ou função afim, a qualquer função f de IR em IR dada por uma lei da forma f(x) = ax + b, onde a e b são números reais dados
Leia maisSó Matemática O seu portal matemático http://www.somatematica.com.br FUNÇÕES
FUNÇÕES O conceito de função é um dos mais importantes em toda a matemática. O conceito básico de função é o seguinte: toda vez que temos dois conjuntos e algum tipo de associação entre eles, que faça
Leia maisCurrículo da Disciplina de Matemática - 7º ano. Funções, Sequências e Sucessões (FSS) Organização e Tratamento de Dados (OTD)
Domínios de conteúdos: Números e Operações (NO) Geometria e Medida (GM) Funções, Sequências e Sucessões (FSS) Álgebra (ALG) Organização e Tratamento de Dados (OTD) Domínio NO7 9 GM7 33 Números racionais
Leia mais13 ÁLGEBRA Uma balança para introduzir os conceitos de Equação do 1ºgrau
MATEMATICA 13 ÁLGEBRA Uma balança para introduzir os conceitos de Equação do 1ºgrau ORIENTAÇÃO PARA O PROFESSOR OBJETIVO O objetivo desta atividade é trabalhar com as propriedades de igualdade, raízes
Leia mais3.3. O Ensaio de Tração
Capítulo 3 - Resistência dos Materiais 3.1. Definição Resistência dos Materiais é u rao da Mecânica plicada que estuda o coportaento dos sólidos quando estão sujeitos a diferentes tipos de carregaento.
Leia maisa 1 x 1 +... + a n x n = b,
Sistemas Lineares Equações Lineares Vários problemas nas áreas científica, tecnológica e econômica são modelados por sistemas de equações lineares e requerem a solução destes no menor tempo possível Definição
Leia maisA Teoria dos Jogos é devida principalmente aos trabalhos desenvolvidos por von Neumann e John Nash.
Teoria dos Jogos. Introdução A Teoria dos Jogos é devida principalente aos trabalhos desenvolvidos por von Neuann e John Nash. John von Neuann (*90, Budapeste, Hungria; 957, Washington, Estados Unidos).
Leia maisÁlgebra Linear I - Aula 1. Roteiro
Álgebra Linear I - Aula 1 1. Resolução de Sisteas Lineares. 2. Métodos de substituição e escalonaento. 3. Coordenadas e R 2 e R 3. Roteiro 1 Resolução de Sisteas Lineares Ua equação linear é ua equação
Leia maisNotas de Aula de Física
Versão preliinar 7 de setebro de 00 Notas de Aula de ísica 05. LEIS DE NEWON... ONDE ESÃO AS ORÇAS?... PRIMEIRA LEI DE NEWON... SEGUNDA LEI DE NEWON... ERCEIRA LEI DE NEWON... 4 APLICAÇÕES DAS LEIS DE
Leia maisANÁLISE DO LUGAR DAS RAÍZES
VII- &$3Ì78/ 9,, ANÁLISE DO LUGAR DAS RAÍZES 7.- INTRODUÇÃO O étodo de localização e análise do lugar das raízes é ua fora de se representar graficaente os pólos da função de transferência de u sistea
Leia maisTEORIA DOS CONJUNTOS Símbolos
1 MATERIAL DE APOIO MATEMÁTICA Turmas 1º AS e 1º PD Profº Carlos Roberto da Silva A Matemática apresenta invenções tão sutis que poderão servir não só para satisfazer os curiosos como, também para auxiliar
Leia maisSoluções de Questões de Matemática do Centro Federal de Educação Tecnológica Celso Suckow da Fonseca CEFET/RJ
Soluções de Questões de Matemática do Centro Federal de Educação Tecnológica Celso Suckow da Fonseca CEFET/RJ. Questão Sistemas de Numeração No sistema de numeração de base 2, o numeral mais simples de
Leia maisUMA HEURÍSTICA PARA RESOLUÇÃO DO PROBLEMA DE CARREGAMENTO DE CONTAINER
Pesquisa Operacional na Sociedade: Educação, Meio Aente e Desenvolviento 2 a 5/09/06 Goiânia, GO UMA HEURÍSTICA PARA RESOLUÇÃO DO PROBLEMA DE CARREGAMENTO DE CONTAINER E. Vendraini Universidade Estadual
Leia maisEquações do primeiro grau
Módulo 1 Unidade 3 Equações do primeiro grau Para início de conversa... Você tem um telefone celular ou conhece alguém que tenha? Você sabia que o telefone celular é um dos meios de comunicação que mais
Leia maisContagem. Prof. Dr. Leandro Balby Marinho. Matemática Discreta. Fundamentos Inclusão/Exclusão Princípio da Casa dos Pombos Permutações Combinações
Contagem Prof. Dr. Leandro Balby Marinho Matemática Discreta Prof. Dr. Leandro Balby Marinho 1 / 39 UFCG CEEI Motivação Contagem e combinatória são partes importantes da matemática discreta. Se resumem
Leia maisNeste pequeno artigo resolveremos o problema 2 da USAMO (USA Mathematical Olympiad) 2005: (x 3 + 1)(x 3 + y) = 147 157 (x 3 + y)(1 + y) = 157 147 z 9
Ésófatorar... Serámesmo? Neste equeno artigo resolveremos o roblema 2 da USAMO (USA Mathematical Olymiad) 2005: Problema. Prove que o sistema x 6 + x + x y + y = 147 157 x + x y + y 2 + y + z 9 = 157 147
Leia maisIvan Guilhon Mitoso Rocha. As grandezas fundamentais que serão adotadas por nós daqui em frente:
Rumo ao ITA Física Análise Dimensional Ivan Guilhon Mitoso Rocha A análise dimensional é um assunto básico que estuda as grandezas físicas em geral, com respeito a suas unidades de medida. Como as grandezas
Leia maisMedidas de Desempenho em Computação Paralela
Universidade Tecnológica Federal do Paraná (UTFPR) Capus Curitiba Prograa de Pós-graduação e Engenharia e Inforática (CPGEI) Laboratório de Bioinforática Medidas de Desepenho e Coputação Paralela Heitor
Leia maisO Problema do Troco Principio da Casa dos Pombos. > Princípios de Contagem e Enumeração Computacional 0/48
Conteúdo 1 Princípios de Contagem e Enumeração Computacional Permutações com Repetições Combinações com Repetições O Problema do Troco Principio da Casa dos Pombos > Princípios de Contagem e Enumeração
Leia maisExpansão linear e geradores
Espaços Vectoriais - ALGA - 004/05 4 Expansão linear e geradores Se u ; u ; :::; u n são vectores de um espaço vectorial V; como foi visto atrás, alguns vectores de V são combinação linear de u ; u ; :::;
Leia maisPOLINÔMIOS. x 2x 5x 6 por x 1 x 2. 10 seja x x 3
POLINÔMIOS 1. (Ueg 01) A divisão do polinômio a) x b) x + c) x 6 d) x + 6 x x 5x 6 por x 1 x é igual a:. (Espcex (Aman) 01) Os polinômios A(x) e B(x) são tais que A x B x x x x 1. Sabendo-se que 1 é raiz
Leia maisMATERIAL MATEMÁTICA I
MATERIAL DE MATEMÁTICA I CAPÍTULO I REVISÃO Curso: Administração 1 1. Revisão 1.1 Potência de Epoente Inteiro Seja a um número real e m e n números inteiros positivos. Podemos observar as seguintes propriedades
Leia maisMaterial Teórico - Módulo de Métodos sofisticados de contagem. Princípio das Casas dos Pombos. Segundo Ano do Ensino Médio
Material Teórico - Módulo de Métodos sofisticados de contagem Princípio das Casas dos Pombos Segundo Ano do Ensino Médio Prof. Cícero Thiago Bernardino Magalhães Prof. Antonio Caminha Muniz Neto Em Combinatória,
Leia maisEx 4.3 O anel é construído pelos polinômios S 1 1 S 2. x S 3. x 1 S 4. x 2 S 5. x 2 1 S 6. x 2 x S 7. x 2 x 1 S 8. x 3 S 9
Ex. 4.1 As palavras código são c 0 = [0 0 0 0 0 0 0], c 1 = [0 0 0 1 1 0 1], c 2 = [0 0 1 1 0 1 0], c 3 = [0 0 1 0 1 1 1], c 4 = [0 1 1 0 1 0 0], c 5 = [0 1 1 1 0 0 1], c 6 = [0 1 0 1 1 1 0], c 7 = [0
Leia maisCorpos. Um domínio de integridade finito é um corpo. Demonstração. Seja D um domínio de integridade com elemento identidade
Corpos Definição Um corpo é um anel comutativo com elemento identidade em que todo o elemento não nulo é invertível. Muitas vezes é conveniente pensar em ab 1 como sendo a b, quando a e b são elementos
Leia mais5 Controle de Tensão através de Transformador com Tap Variável no Problema de Fluxo de Potência
5 Controle de Tensão através de Transforador co Tap Variável no Problea de Fluxo de Potência 5.1 Introdução E sisteas elétricos de potência, os ódulos das tensões sofre grande influência das variações
Leia maisUma lei que associa mais de um valor y a um valor x é uma relação, mas não uma função. O contrário é verdadeiro (isto é, toda função é uma relação).
5. FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL 5.1. INTRODUÇÃO Devemos compreender função como uma lei que associa um valor x pertencente a um conjunto A a um único valor y pertencente a um conjunto B, ao que denotamos por
Leia maisDepartamento de Matemática - UEL - 2010. Ulysses Sodré. http://www.mat.uel.br/matessencial/ Arquivo: minimaxi.tex - Londrina-PR, 29 de Junho de 2010.
Matemática Essencial Extremos de funções reais Departamento de Matemática - UEL - 2010 Conteúdo Ulysses Sodré http://www.mat.uel.br/matessencial/ Arquivo: minimaxi.tex - Londrina-PR, 29 de Junho de 2010.
Leia mais¹CPTL/UFMS, Três Lagoas, MS,Brasil, oliveiralimarafael@hotmail.com. ²CPTL/UFMS, Três Lagoas, MS, Brasil.
Encontro de Ensino, Pesquisa e Extensão, Presidente Prudente, 22 a 25 de outubro, 2012 36 INTRODUÇÃO A CRIPTOGRAFIA RSA Rafael Lima Oliveira¹, Prof. Dr. Fernando Pereira de Souza². ¹CPTL/UFMS, Três Lagoas,
Leia maisEQUAÇÕES E INEQUAÇÕES DE 1º GRAU
1 EQUAÇÕES E INEQUAÇÕES DE 1º GRAU Equação do 1º grau Chamamos de equação do 1º grau em uma incógnita x, a qualquer expressão matemática que pode ser escrita sob a forma: em que a e b são números reais,
Leia maisNotas de Cálculo Numérico
Notas de Cálculo Numérico Túlio Carvalho 6 de novembro de 2002 2 Cálculo Numérico Capítulo 1 Elementos sobre erros numéricos Neste primeiro capítulo, vamos falar de uma limitação importante do cálculo
Leia maisMÓDULO 4 DISTRIBUIÇÃO DE FREQÜÊNCIAS
MÓDULO 4 DISTRIBUIÇÃO DE FREQÜÊNCIS Como vimos no módulo 1, para que nós possamos extrair dos dados estatísticos de que dispomos a correta análise e interpretação, o primeiro passo deverá ser a correta
Leia maisPrincípio da Casa dos Pombos I
Programa Olímpico de Treinamento Curso de Combinatória - Nível 2 Prof. Bruno Holanda Aula 7 Princípio da Casa dos Pombos I O princípio da casa dos pombos também é conhecido em alguns países (na Rússia,
Leia maisEventos independentes
Eventos independentes Adaptado do artigo de Flávio Wagner Rodrigues Neste artigo são discutidos alguns aspectos ligados à noção de independência de dois eventos na Teoria das Probabilidades. Os objetivos
Leia maisAULA 6 LÓGICA DOS CONJUNTOS
Disciplina: Matemática Computacional Crédito do material: profa. Diana de Barros Teles Prof. Fernando Zaidan AULA 6 LÓGICA DOS CONJUNTOS Intuitivamente, conjunto é a coleção de objetos, que em geral, tem
Leia mais