Matemática C Extensivo V. 1

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1 Matemática C Extensivo Exercícios 0) B Corretas: I e II 0) 0 Basta calcular o MMC entre, 0 e 8: Após 0 anos os planetas se encontrarão nas mesmas posições do momento da observação 0) /08/00 às h Preferível transformar horas em minutos para facilitar os cálculos A: a cada h0min 0 minutos B: a cada h 0 minutos C: a cada h 0 minutos MMC (0,0,0): 0) B 8 8 MDC(,,) Total de cadernos que cada família recebeu: : cadernos 0) m e n MDC(80,00) (80 0) ( )000 (m,n)(, ) 0) 8 Portanto, depois de 00 minutos vai ocorrer a coincidência de verificação dos sistemas de segurança: 00 minutos dias e horas Isto é, ocorrerá no dia /08/0 às h Divisores de 80: D(80),,,,,,, 0,,, 8, 0, 0,,, 0, 0, 80 Total: 8 divisores Obs: Podemos ainda calcular o número de divisores de outra maneira, que pode ser mais eficiente na maioria das ocasiões Decompor 80 em fatores primos: Matemática C

2 ( + + ( n ) 0, ) n ( + 0, n 0, ) n 0) O número possui fatores primos Os fatores e possuem expoente e o fator expoente Para calcular o número de divisores de 80 basta somar a cada expoente e efetuar a multiplicação: (+)(+) (+)8 divisores K D(80) D() 08) B D(80) 80 mn Divisores de 80: (m + )(n + ) ( + )( + ) 0 K D(80) D() K 0 8 D() m Divisores de : m + Do estudo de progressões aritméticas, utilizaremos as fórmulas: Soma: S n ( A + An) n Termo Geral: A n A + (n )r em que, A A, r, 0, S n ( S n A A n + n) S n ( A A ( n )) r n + + (,8 + 0,n)n 0,n +,8n 0 ( 0,) n + n 0 0 n' n" 0 (não serve) portanto, n 0) 0 ramalhetes, contendo cada um rosas brancas e rosas vermelhas 0) B ) E MDC (00,0) 0 Total de ramalhetes: 0 Em cada ramalhete tem-se: Brancas: 00 0 ermelhas: 0 0 O mínimo múltiplo comum entre e k deve ser um número múltiplo de obviamente Agora, um múltiplo de que seja maior do que e menor do que é somente o número MMC(,k) N ABCDE P ABCDE Q ABCDE P Q ABCDE (ABCDE) Observe que o produto de por E será um número com final Nesse caso o único algarismo multiplicado por que resulta num número de final é o, pois Assim, possui no algarismo da dezena e no processo de multiplicação esse é acrescentado ao campo das dezenas Então, multiplicado por D mais resultará num número de dois dígitos com final Isto é, D + X Pelo mesmo motivo, qual algarismo que multiplicado por e adicionado com resulta num número de final? Observe as opções para compreender o processo: Matemática C

3 ) C 8 8 Temos que D, pois multiplicado por mais resultará num número () com final Um cuidado especial é perceber que até agora E e D, mas que o produto de pela dezena D mais resultará num número de final e deverá ser acrescentado ao campo das centenas Agora, multiplicado por C mais resultará num número de final Observe as opções: C + _ Assim, constatamos que C 8, isto é, o algarismo das centenas é 8 ) 0 a b 0 MDC (a,b) 8 Aplicando a fórmula que relaciona MMC com MDC, obtemos: MMC (a, b) MDC (a, b) a b ab MMC (a, b) MDC(a,b) 0 8 MMC (a,b) 0 ) {0, 0} MMC (, 8, 0) 80 Os múltiplos de 80 são divisíveis pelos números, 8 e 0, simultaneamente, que são: 80, 0, 0, 0, sendo que apenas 0 e 0 estão entre 00 e 00 requerido no exercício ) C ) A MMC (8,, 8) é divisível simultaneamente por 8, e 8 Isto é, o resto da divisão é zero Para que o resto seja, basta adicionar ao que fica Biologia: em semanas Química: em semanas Física: 0 em 0 semanas MMC (,, 0) 0 Após 0 semanas o laboratório será utilizado simultaneamente MMC (, 0) 80 Turma A: em minutos Turma B: 0 em 0 minutos Tempo de permanência no local: 8 horas A cada 80 minutos, ou seja, horas, as turmas irão se encontrar Como irão ficar apenas 8 horas no local, então as duas turmas irão se encontrar duas vezes, após e horas respectivamente Matemática C

4 ) D 8) A ) D Como o MMC (, 0,, ) 0 e sempre sobram parafusos, logo a quantidade é 0 + unidades Basta considerar o sentido de cada seta equivalente: Unidade Dezena Centena Milhar Logo, kwh 0 0) B 8 00 Com 00 laranjas pode-se fazer sacos de unidades x 0 e portanto sobrarão laranjas Homens H Mulheres M Primeira parada: H e M : (H ) M H M + M h M H H + M M H M 8 M 0 + H 8 H 8 Segunda parada: (H ) + 8 (M ) + H + M H M ) A MMC (,, ) 0 0 dias 0 horas 0 0 ) a) b) a), pois x, que é numero máximo de pontos de falta gravíssima b) Grave: pontos Média: pontos Total Após esses pontos, no máximo será possível cometer faltas gravíssimas, ou seja, no máximo 8 pontos oriundos de falta gravíssima ) d 0 Q R 0 Pelo teorema fundamental da divisão: Q D + R 0, onde Q Quociente d Divisor R Resto 0 Dividendo R Q + d R 8Q + Q(8Q+) + Q + 0 8Q + Q + Q 8 Q + Q 0 Pela fórmula de Báscara, Q e d 0 R 0 ) 8 x q x q + 8q x + 8q q + + q q ) 0 folhas / 0 selos x q + x + x 8 Sendo x o número de folhas e y o número de selos, o número de folhas (x) menos que sobraram, multiplicando pelo número de selos de cada página deve ser igual ao número total de selos do álbum, ou seja, 0(x ) y () O número de folhas (x) multiplicado por selos mais 0 selos (que sobraram) é igual ao número de selos do álbum, ou seja, x + 0 y () Matemática C

5 ) C ) D 8) E ) C Isolando () e () temos: 0(x ) x + 0 0x 0 x + 0 0x x x 0 folhas Aplicando x0 na equação (), y x + 0 y y 0 selos x y, y D d Q + R y + y 8 sendo D R d Q x 8+ x Logo, x tem que ser divisível por com 0 tem que ser par, logo resta ; soma dos algarismos tem que ser divisível por, logo ( ) resta ; para ser divisível tem que terminar em 0 ou, logo 0 resta ; soma dos algarismos tem que ser divisível por, logo ( ) resta 8; 0 só é divisível uando terminar em zero Assim, 0 0 resta Resposta (,,,8,) D dq + R, onde D d; Q e R d d d + (d ) d d + d d + d + d D Portanto, como R d R R 0 n 0 0 n 0(0 ) n 0( ) n 0() Das opções observe que indicando que não é múltiplo de n, pois não é um dos fatores de n 0) d + Q 8 Q d () R (d ) D? Sendo d + Q 8, d + d 8 d 8 d 8 d ) x e y 0 x8y ( + + x y) y 0 ou y y x x + (x + ) para x ( + ) 8 y + + x x + (x + ) para x ( + ) Logo, os menores valores para x e y são x e y 0 ) 0 O resto da divisão de 0 por é igual a Sendo o resto da divisão de n por igual a, ao somarmos ( + ) 0, o resto da divisão de 0 por é Dividindo n por sobra, e para obtermos um número próximo divisível por teríamos que acrescentar 0, mas foi acrescentado 0 : Conclui-se que, ao acrescentar 0, o número continua divisível por, sendo também Logo, ao acrescentar o número, este passou a ser o resto da divisão n + 0 por ) x? o final tem que ser 0 ou x ; x ; x ; x, soma dos algarismos divisíveis por x é divisível por Mas não é divisível por x é divisível por Mas não é divisível por x é divisível por Mas que não é divisível por x é divisível por e é divisível por Logo, x Matemática C

6 ) 0 As despesas do condomínio são divididas igualmente para todos os condôminos Nessas condições, N Número de condôminos alor unitário de cada condômino 000/N Então é óbvio que N 000, significando que o valor foi dividido igualmente a todos os envolvidos e cada um pagou devidamente Ocorre que condôminos deixam de pagar, acarretando aumento de 0 reais para cada um dos pagantes Assim, os que pagaram deverão quitar o débito de R$ 000,00 ou seja, (N ) ( + 0) 000: N 000 ( N )( N N (N )( + 0) 000 (N ) N (N )( N) 000N 000N + 0N N 000N N 0 N 0 N' 0 N'' Como N não serve, temos que: N 0 ) Numa divisão D R d q D Dividendo d divisor q quociente R Resto D d q + R Com q D d + R Para que a divisão tenha o maior resto possível, então este deve ser igual ao divisor menos Isto é, R d D d + R D d + d D d Mas, D + d D d ) 0 Um número é divisível por se for divisível por e por ao mesmo tempo Divisível por : Necessariamente o número n deverá ser zero ou par, ou seja: n 0, n, n, n, n 8 Divisível por : A soma dos algarismos deverá ser divisível por n n + n n Não serve n + Não serve n é divisível por, logo n n + 0 Não serve n Não serve ) x e y Para ser divisível por, o número deverá ser divisível por e simultaneamente Divisibilidade por : Algarismos de xy8: + x y x + y M() Múltiplo de 0 + x + y x + y Divisibilidade por Soma dos algarismos de ordem ímpar (contando da direita para esquerda): x + x Soma dos algarismos de ordem par (contando da direita para esquerda): y + + y + PAR IMPAR: ( + x) (y + ) + x y + x y Pela divisibilidade por : +x y x y Agora, da divisibilidade por e temos: x+ y x y + x Portanto, d d d + d + d d D + d D d D D D d D d x x x + y + y y y Matemática C

7 8) D ) B 0) A ) C Para ser divisível por a soma dos algarismos deve ser múltiplo de : a + b + a + b Para que + a + b seja divisível por, então: + a + b não serve + a + b 8 serve + a + b não serve + a + b serve Logo, como a soma deve ser máxima, então: + a + b a + b a + b Para que o número x seja divisível por, e ao mesmo tempo, o número então deve ser par (divisível por ), divisível por (terminar em 00 ou x divisível por ) e por Divisível por : OK, o número é par Divisível por : x: x OK x Como estamos procurando o menor valor, verificamos se com x, o número x é divisível por Observe que + + que é divisível por Então, o número é divisível por, e simultaneamente Divisores de entre 0 e 0: e Divisores de 0 entre 0 e 0: 0,, 0, e 0 Divisores comuns (0, ) e Cada capítulo pode ter e páginas, mas não temos condições de afirmação se é ou Logo, só é válida a opção A pode ter páginas x multiplicado por : x Subtrair : x Multiplicar por : (x ) Dividir por : ( x ) Resulta em : ( x ) ( x ) x 0 08 x 0 8 x 08 x 08 x ) B Custo por quilômetro rodado:, 0, 0 Total de quilômetros rodados: Custo com combustível: 80, Mas ainda existem as despesas com pedágios:,0 +,0 +,0 Expressão válida: 80, +,0 +,0 +,0 ) E ) B 0 ml 0, litros Quantidade de xícaras: bilhões Como cada xícara é de 0, litros, então a quantidade de litros consumidos em bilhões de xícaras é: 0,, bilhões de litros O consumo foi aumentado em :, + de,, +,, +,, bilhões ou aproximadamente 8 bilhões de litros Pastilhas pretas P 0 Custo P: 00 R$ 00,00 Pastilhas brancas B 0 Custo de B: 08 R$80,00 Total de pastilhas: P +B 00 alor total: R$80,00 Como foram gastos ao todo R$80,00 com o revestimento de 00 pastilhas, logo os custos unitários ficam: 80 8, 0 00 ) Matemática C

8 ) / / / // / / ) 8 Primeiro herdeiro: A Segundo herdeiro: B Terceiro herdeiro: C A B B C A + B Total para A, B e C é 0, logo: A + B + C 0 B + B + A + B 0 B B + B + + B 0 B+ B+ B+ B 0 0B 0 B 0 0 B A B A A A 8 Portanto, a parte do primeiro herdeiro é 8 reses 8) 0 Total de refrigerantes: x Crianças: x Sobraram x x x x x Adultos: de x x x Sobram: 0 x x + x + 0 x x 0 x x x 0 x x 0 0 x 0 ) Considerando como x o número maior temos que o número menor é x Assim, x + x x+ x x 80 x 80 0 x 8 Portanto o número menor é: x 8 0) 0 Tomates: x Domingo: Estragaram 8 de x x 8, restando x x 8 8 x x x tomates bons 8 8 Segunda: Estragaram mais dos tomates bons: x x 8 Tomates estragados: Domingo + Segunda x 8 + x Tomates bons: 0 x x 8 + x Matemática C

9 ) C x x 8 x 0 x 0 0 x x 0 Lúcia: x x Tânia: x x As duas comeram a mesma quantidade ) inho inicial: Bebeu, restou Completou com de água + água Bebeu + água Restou + água Completando com de água: + água + água Bebeu + água + água + água + água e restou + água Completando de água + água + água, obtemos: água + água água Na relação vinho água // 8 // 8 vinho água ) B x 000 x(serviço) 000 x(transporte) 00 Total gasto ) a) 80% b) Não, os gráficos informam apenas os percentuais em cada estado Nada dizem sobre quantidades a) 0,8 80% Portanto, a produção de trigo do Estado A corresponde a 80% da produção de grãos de A b) Se 0,8 80% 0, % Logo, não podemos afirmar que a produção de trigo do Estado A é maior que a de B ) ) E p + q + p q p q p q p + q + 0, x + x x x 0 x (homens) x 0 (mulheres) Se 0% dos candidatos aprovados: 0 0, aprovados Aprovados ) a) R$,0 b) Antes das 0 h 0 melões; entre as 0 h e h 0; após h 0 a) 80%,00,0 Matemática C

10 b) 00 0 melões antes das 0 h 0,00 +,0x +,0(0 x) 00 +,0x +,0x 0,0x x 0 entre 0 e Logo, após as h: melões Resposta: Antes das 0 h 0 melões Entre 0 h h 0 melões Após as h 0 melões 8) a) Companhia B b) Sim, pois o preço ficará menor que o da companhia B a) Companhia A: a cada 0 passagens é grátis, logo pago pelo preço de 0 0 x 0,00x Companhia B: ganha passagem a cada pagas, logo pago 0 pelo preço de 0 x 0,x Resposta: A companhia B Se A anda 0 menos: 0 0 0/ x 0/ x x 0,88 b) Sim, pois o preço ficará menor que o da companhia B ) B º) x 8 º) x 8 x 8 + x x x 8 8 Resposta: B metade do preço 0) NB corresponde a de AB AB x NB x x 8 x 0x x NB NB x ) a) b) ) D a) + + b) 0, 0, de 0,,0 litros de oxigênio de,0 0,08 litros de oxigênio absorvido 0,08 0 (uma hora),8 litros por hora ) a) semanas b) 0 semanas a) quilos semanas q kg s semanas q s 8 kg X semanas 0, q x s 0 8 kg Leva semanas para perder 8 kg b) kg ,x ,x 0,x x 0 semanas ) a) b) 0 8 c) 00 a), 0x, 00x, 00x, 0x, 0x 0 x 0 x x 0 0 Matemática C

11 ) C ) E b), 0x, 00x, 00x, 0x, 0x x x 0 0 c), 00 A: + 0,8x B: + 0,x 8 00 A > B: + 0,8x > + 0, x 0,0x > 0 x > 0 A > B x < 0 Basta ordenar os diâmetros: 8 < 8,00 < 8,0 < 8,0 < 8,0 < 8, Logo, o diâmetro que mais se aproxima de 8 mm é 8,00 mm ) a) Não b) tipo A:, kg tipo B: kg a) Como kg de bolo A consomem 0,, kg de farinha e 8 kg do bolo B consomem 8 0,, kg de farinha, seriam necessários, +,,8 kg de farinha Logo não é possível produzir os bolos dos tipos A e B nas quantidades especificadas, pois a confeitaria só dispõe de kg de farinha b) Se a for o número de quilogramas de bolo do tipo A e b o do tipo B, então: 0, a+ 0, b 0 a+ b 00 0, a+ 0, b a+ b 0 a+ b 0 a+ b 0 a+ b 0 b 0 a, b 8) D 0, ,, + + // /// /// 00 / ) ,8 Se pulos do cachorro pulos da lebre, logo pulo do cachorro equivale à, pulos da lebre Assim, pulos do cachorro equivale a,, pulos da lebre A cada sequência de pulos do cachorro ele se aproxima, 0, pulos (da lebre) Sendo a distância entre eles igual a 0 pulos (da lebre), para vencer o cachorro deverá dar 0 00 sequências de pulos 0, (do cachorro) ou seja, pulos 0) A dólar,8 reais 000 dólares x x 800 reais dólar,0 reais 000 dólares x x' 00 reais Lucrou 00,00 ) a) R$,00 b) y x + c) 8 ) E a) DDs 0,00 cada,00 x,00 0,00 fixo b) y x + c),00 y x + x + x x x 8,0 Logo, consegue alugar 8 DDs x, y 0, x + y, ) p q 0, p 0 0 q q 0 0 P, Matemática C

12 ) 0, (,, 0,8) (8,,) (, ) () 0, 0, ), 0, A,0 B, C Área rótulo A π, A π A A 80) C π π 0,0 0,0 Área rótulo A π A π 0 peças A,0 8 peças B, peças C 80, Total:, 00,, 00 0, 0, 0 00, 00,, 0, 0, 8) q, m e p ou q, p e m ) E ) B m,n m(0) 0 m(), m, n Uma situação seria: m p q + 0,00 m p q Para ser decimal exato, o denominador deve contar apenas fatores e O número de casas decimais será determinado pelo maior expoente Assim, q, m e p ou q, m e p 8) E moeda 0, nota 0, moeda 0, x m 000,00 x m 8, nota 0, x n 000,00 x n 88, x n x m 0 8 x x x bilhões de sacolas em 0 Obs: as sacolas diminuem proporcionalmente ano a ano A cada ano diminui 8 bilhões de sacolas De 00 a 0 são anos, ou seja, diminuirá 8 bilhões de sacolas, restando 0 bilhões ) B olume Cilindro πr h π, π olume Cilindro (r h) πr h π πr r π r r 8) m + n 0 O número de algarismos na parte não periódica será determinado pelos fatores e (o maior expoente) Assim, m m n m n Z Menor soma natural: m + n 0 8) C 00, x+ y+ 0, z 0 ( ) x+ y+ z 0 x+ y+ z 0 x+ y+ z 0 ( ) y + z 0 y 0 z x y z impossível impossível Logo, fichas de RS,00 Matemática C