1 CONJUNTO DOS NÚMEROS NATURAIS: IN

Transcrição

1 1 CONJUNTO DOS NÚMEROS NATURAIS: IN Os números naturais surgiram da necessidade de contar objetos. Por isso, às vezes são chamados de números de contagem. Representa-se o conjunto dos números naturais por IN. IN = {0, 1, 2, 3,...} IN* = IN {0} = {1, 2, 3,...} Números Naturais I Pares = {0, 2, 4, 6,...} = {x IN x = 2n e n IN} II Ímpares = {1, 3, 5, 7,...} = {x IN x = 2n +1e n IN} III Primos = {2, 3, 5, 7, 11, 13,...} Um número natural é primo quando admite somente dois divisores distintos: 1 e ele mesmo. ATENÇÃO! O único natural primo e par é o número 2. Operações Fundamentais em IN: Adição e sua inversa, Subtração; Multiplicação e sua inversa, Divisão; Potenciação e sua inversa, Radiciação. I Adição Propriedades estruturais da Adição em IN a) Comutativa: a + b = b + a b) Associativa: (a + b) + c = a + (b + c) c) Elemento neutro: a + 0 = 0 + a = a II Multiplicação Propriedades estruturais da multiplicação em N a) Comutativa : a. b = b. a b) Associativa : (a. b). c = a. (b. c) c) Elementos neutro : a. 1 = 1. a = a d) Distributiva a (b + c) = ab + ac e a (b - c) = ab - ac O zero na multiplicação é o fator anulador do produto: a. b = 0 se a = 0 ou b = 0 1

2 III - Divisão A operação divisão é usada quando a meta é repartir uma quantidade em partes iguais ou quando deseja-se saber quantas vezes uma quantidade cabe em outra quantidade. D IN (dividendo) d IN* (divisor) q IN (quociente) r IN (resto) Se r = 0 Divisão exata (q IN) d é divisor de D ou D é múltiplo de d, isto é D = q. d Se r 0 Divisão não exata e neste caso q IN É bom lembrar que, se r 0, o maior valor do resto r é uma unidade a menos que o valor do divisor. IV - Potenciação a n = a 1.a.a.a.a...a n vezes Importante: Propriedades estruturais da potenciação em IN a) a m. a p = a m + p b) a m : a p = am p (m p) c) (a. b) m = a m. b m d) (a m ) p = a m. p 2

3 Expressões Numéricas em IN Uma sequência de operações matemáticas é uma expressão numérica. Para resolver segue-se uma prioridade de símbolos (parênteses, colchetes e chaves) e de operações. 1º Potenciações 2º Multiplicações ou divisões, obedecendo a ordem em que aparecem, da esquerda para a direita. 3º Adições e subtrações, obedecendo a ordem em que aparecem, da esquerda para a direita. 4º Se houver parênteses, colchetes e chaves, a simplificação começa pelas expressões contidas no interior de cada sinal de associação, a partir do mais interno, estando um dentro do outro. EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 01) Uma torneira goteja 7 vezes a cada 20 segundos. Determine, o número de vezes que essa torneira goteja em uma hora. Solução: 1h = 3600s e 3600 : 20 = x 7 = 1260 Resposta: 1260 vezes ) Determine o valor de [ 5 ( )] 3 + [ 2 ( ) + 2 ] ( ) 2. Solução: [125 ( )] : 9 + [32 : ( 64 48) + 1] (1 + 1) : 2 = [ ] : 9 + [32 : ] 2 : 2 = 9 : 9 + [2 + 1] 1 = = 3 03) Um restaurante popular apresenta dois tipos de refeição: a comum e a especial. A refeição comum custa R$ 4,00. Num certo dia, foram servidas 32 refeições comuns e 14 refeições especiais. Nesse dia o restaurante arrecadou R$ 226,00. Calcule o preço da refeição especial. Solução: 32 R$ 4,00 = R$ 128,00 3

4 R$ 226,00 R$ 128,00 = R$ 98,00 R$ 98,00 : 14 = 7 Resposta: R$ 7,00 cada refeição especial. EXERCÍCIOS PROPOSTOS 01) Determine o valor da expressão. [( ) 2 + (25 : 5) 3 (39 : 3) 2 ] 2 : ( ) 5 Resp) 25 02) Calcule o valor da expressão: ( ) : 7 + [2. ( ) ( ) : 13] : 37 Resp) 14 03) Determine a metade de Resp) ) Um determinado medicamento deve ser administrado a um doente três vezes ao dia, em dose de 5 mililitros cada vez, durante 10 dias. Se cada frasco contém 100 mililitros do medicamento, quantos frascos são necessários? Resp) 2 frascos TESTES 01) Numa adição de três parcelas, a primeira é 1268, a segunda tem 936 unidades a mais que a primeira e a terceira tem 195 unidades a menos que a segunda. A soma das três parcelas é: a) 2204 b) 2009 c) 4018 d)

5 02) A metade do número é igual a: a) b) c) d) e) ) A afirmação correta é: a) O resto de uma divisão é sempre maior que o divisor. b) O resto de uma divisão é sempre igual ao divisor. c) O resto de uma divisão é sempre menor que o divisor. d) O resto de uma divisão é sempre zero. 04) Sejam as afirmações I) Numa divisão, o dividendo é igual ao divisor, que é 0; então, o quociente é igual a 1. II)Qualquer número natural elevado a expoente zero é igual a 1. III)Qualquer potência de expoente 1 é sempre igual a 1. Associando-se V ou F a cada afirmação, obtemos a) V, F, V b) V, V, F c) V, F, F d) F, F, F 05) A calculadora de Pedro é bem diferente. Ela tem uma tecla T que triplica o número escrito no visor, e uma tecla D que apaga o algarismo das dezenas do número no visor. Pedro digitou 145 e, em seguida, somou este número com Depois de obtido o resultado, apertou a tecla D, depois a tecla T e, na sequência, duas vezes a tecla D e uma vez a tecla T. A soma dos algarismos do número obtido é igual a: a) 0 b) 6 c) 15 d) 45 e) ) Numa divisão não exata, o divisor é 4, o quociente é 12 e o resto é o maior possível. Então, o dividendo é a) 48 b) 49 c) 50 d) 51 5

6 07) Numa divisão exata, o divisor é 6 e o quociente é 0. Então, o dividendo é a) 0 b) 1 c) 6 d) 12 08) O produto de um número natural de três algarismos por 3 tem como resultado um número terminado em 907. A soma dos valores absolutos dos algarismos desse número natural de três algarismos vale: a) 26 b) 25 c) 24 d) 18 e) 16 09) O número pelo qual devemos multiplicar a diferença entre 382 e 190 para obter o número 4224, é: a) 12 b) 22 c) 24 d) 32 10) Um número natural de três algarismos inicia-se com 6. Se esse primeiro algarismo for colocado depois dos outros dois, o dobro do novo número formado terá 75 unidades a menos que o original. A soma desses três algarismos é: a) 14 b) 15 c) 16 d) 17 11) O algarismo das unidades da potência do número é: a) 0 b) 1 c) 3 d) 9 12) O número natural representado pela expressão ( ) : 10 2 ( ) : 5 2 é a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 6

7 13) Considerem-se todas as divisões em que os seus termos são naturais. O divisor é 253 e o quociente é igual ao resto. O número de tais divisões é: a) 124 b) 180 c) 200 d) 240 e) ) Ao copiar um problema envolvendo multiplicação de dois números naturais, um aluno cometeu um engano e escreveu um dos números como 54 ao invés de 45. Sua resposta estava 198 unidades maior do que deveria ser. A resposta correta para o problema de multiplicação é: a) 405 b) 945 c) 990 d) 1188 Instrução: Leia o texto abaixo e responda às questões de 16 e 17. (...) Objetos inanimados também representavam o rei, em especial suas moedas, que traziam sua imagem e por vezes, seu nome (o Louis de ouro valia cerca de 15 libras). No mesmo caso estava o seu brasão e seu emblema pessoal, o sol. E também seu leito, ou a mesa posta para sua refeição, mesmo que ele estivesse ausente. Era proibido, por exemplo, portar chapéu na sala em que a mesa do rei estava posta. (...) Os soberanos eram imagens vivas de Deus, os representantes da majestade divina. (...) Fonte: BURKE, Peter. A fabricação do Rei. Rio de Janeiro: Jorge Zahar editor, 1994, p.20 e 21. Antigamente, os impostos eram cobrados por um súdito do rei, chamado de coletor de impostos, que ia para a vila dos aldeões recolher as moedas de ouro. Para responder às questões abaixo, suponha que a moeda vigente seja o Louis. 15) Supondo que o coletor de impostos deposite 6 moedas por minuto em uma caixa, enchendo-a em 4 horas, quanto tempo levará, em horas, para encher a mesma caixa se depositar 8 moedas por minuto? a) 2,0 b) 2,4 c) 3,0 d) 5,3 7

8 16) Suponhamos que um coletor de impostos consiga, em uma tarde, coletar 600 moedas. Destas, ele resolve doar 80 para um mendigo, que passava na rua. Chegando ao castelo, ele conta ao rei o que havia feito. O rei acha o gesto nobre e resolve ficar com apenas 4/5 do que sobrou e dar o restante para o coletor de impostos. Então, o número de moedas que o coletor ganhou foi a) 104 b) 120 c) 416 d) ) O valor da expressão {[14+(6 x 2³ 5 x x 7²) : 11] : 5²} 1 é: 28 a) 55 b) 0 c) d) 25 18) Um número natural n foi divido por 12 e deu resto 5. A soma dos restos das divisões de n por 4 e por 3 é igual a: a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 19) Ana e Carlos são atletas profissionais que correm sempre a uma velocidade constante: Ana corre 6km/h, enquanto Carlos corre 8km/h. Se Carlos corresse por 3 horas seguidas, quanto tempo Ana deveria correr de modo a percorrer a mesma distância que Carlos? a) 1h b) 3h c) 2h d) 4h 1) D 2) A 3) C 4) C 5) B 6) D 7) A 8) C 9) B 10) B 11) D 12) A 13) E 14) C 15) C GABARITO 16) A 17) B 18) B 19) D 8

9 Múltiplos e Divisores em IN Conceito de Múltiplo e Divisor Se b. k = a b é divisor ou fator de a K é divisor ou fator de a a é múltiplo de b e de k. I Múltiplos Dizemos que a é múltiplo de b se existe c natural tal que a = b.c. Ex: M(4) = {0, 4, 8, 12, 16,...} Propriedades dos Múltiplos Todo número natural é múltiplo dele mesmo. 0 (zero) é múltiplo de todo número natural. Todo número natural é múltiplo de 1 (um). O conjunto dos múltiplos de um número (diferente de zero) é infinito. II Divisores Dizemos que a é divisor de b se b é múltiplo de a. Ex: D(12) = {1, 2, 3, 4, 6, 12} Propriedades dos Divisores Todo número natural diferente de zero é divisor dele mesmo. Todo número natural diferente de zero é divisor de zero. 1 (um) é divisor de qualquer número natural. O conjunto dos divisores de um número é finito. Ex: Determine o conjunto dos divisores de 24, em IN. D(24) = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24} Ex: Determine o conjunto dos divisores primos de 24, em IN. 24 = 2 12 = = {2,3} III Fatoração de Um Número Natural Fatorar um número natural é decompor este número no produto de seus fatores primos. 9

10 Ex: Fatorando o número 24, tem-se: 24 = ou 24 = Critérios de Divisibilidade em IN Divisibilidade por 2 Um número é divisível por 2 quando terminar em 0, ou 2, ou 4, ou 6, ou 8, isto é, quando for par. Exemplos: 126 é divisível por 2 (termina em 6). 460 é divisível por 2 (termina em 0). 943 não é divisível por 2 (termina em 3). Divisibilidade por 3 Um número é divisível por 3 quando a soma dos valores absolutos dos seus algarismos for um número divisível por 3. Exemplos: 147 é divisível por 3 ( = 12 e 12 é divisível por 3). 648 é divisível por 3 ( = 18 e 18 é divisível por 3) não é divisível por 3 ( = 11 e 11 não é divisível por 3). Divisibilidade por 4 Um número é divisível por 4 quando terminar em dois zeros ou quando o número formado pelos dois últimos algarismos da direita for divisível por 4. Exemplos: é divisível por 4 (termina em dois zeros). 624 é divisível por 4 (24 é divisível por 4). 738 não é divisível por 4 (38 não é divisível por 4). Divisibilidade por 5 Um número é divisível por 5, quando terminar em 0 ou 5. Exemplos: 320 é divisível por 5 (termina em 0). 765 é divisível por 5 (termina em 5). 623 não é divisível por 5 (não termina em 0 ou 5). Divisibilidade por 6 Um número é divisível por 6 quando for divisível por 2 e 3, ao mesmo tempo. 10

11 Exemplos: 642 é divisível por 6 (é divisível por 2 e 3, ao mesmo tempo). 596 não é divisível por 6 (é divisível por 2, mas não por 3). 963 não é divisível por 6 (é divisível por 3, mas não por 2). Prof. Luiz Carlos Moreira Santos Divisibilidade por 8 Um número é divisível por 8 quando terminar em três zeros ou quando o número formado pelos três últimos algarismos da direita for divisível por 8. Exemplos: é divisível por 8 (termina em três zeros) é divisível por 8 (672 é divisível por 8) não é divisível por 8 (516 não é divisível por 8). Divisibilidade por 9 Um número é divisível por 9 quando a soma dos valores absolutos dos seus algarismos for um número divisível por 9. Exemplos: 648 é divisível por 9 ( = 18 e 18 é divisível por 9) não é divisível por 9 ( = 16 e 16 não é divisível por 9). Divisibilidade por 10, 100, Um número é divisível por 10, 100, quando terminar em um zero, dois zeros, três zeros,..., respectivamente. Divisibilidade por 11 Um número é divisível por 11 quando a diferença entre as somas dos valores absolutos dos algarismos de ordem ímpar e par for igual a zero ou for um número divisível por 11. Exemplos: é divisível por 11 (2 + 8 = 10 e = 10 e = 0) é divisível por 11 (1 + 3 = 4 e = 15 e 15 4 = 11) não é divisível por 11 (7 + 2 = 9 e = 10 e 10 9 = 1). Divisibilidade por 12 Um número é divisível por 12 quando for divisível por 3 e por 4, ao mesmo tempo. Exemplos: 528 é divisível por 12 (é divisível por 3 e por 4) não é divisível por 12 (é divisível por 3, mas não por 4). 11

12 Divisibilidade por 15 Um número é divisível por 15 quando for divisível por 3 e por 5, ao mesmo tempo. Exemplos: 1860 é divisível por 15 (é divisível por 3 e por 5). 365 não é divisível por 15 (é divisível por 5, mas não por 3). Divisores de Um Número Em IN Técnicas para determinar: Conjunto dos divisores de um número natural. Seja determinar todos os divisores de 180. Quantidade de divisores de um número natural não-nulo O número de divisores de a é igual ao produto dos expoentes dos fatores primos de a, acrescidos de uma unidade. Ex: Determine o número de divisores de = (2 + 1) (2 + 1) (1 + 1) = = 18 O número 180 tem 18 divisores. Máximo Divisor Comum (m.d.c.) Conceito a) Consideremos os conjuntos dos divisores dos números 20 e 30. D(20) = {1, 2, 4, 5, 10, 20} D(30) = {1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30} 12

13 b) Os divisores comuns de 20 e 30 são: 1, 2, 5, 10 c) O maior divisor comum de 20 e 30 é 10. Prof. Luiz Carlos Moreira Santos Então, o número 10 é denominado máximo divisor comum de 20 e 30, e que representamos por: m.d.c. (20, 30) = 10 Logo, podemos dizer que: Dados dois ou mais números, não nulos, denomina-se máximo divisor comum (m.d.c.) desses números o maior dos seus divisores comuns. Técnicas para o cálculo do m.d.c. Decomposição em fatores primos 1º) Decompõe-se cada número em seus fatores primos. 2º) Calcula-se o produto dos fatores comuns, cada um deles com o menor expoente. O produto assim obtido será o m.d.c. procurado. Exemplo: Seja determinar o m.d.c. (60,24) = = m.d.c (60,24) = = 4.3 = Divisões sucessivas (ou algorítmo de Euclides) Divide-se o maior número pelo menor; a seguir, divide-se o menor pelo primeiro resto; a seguir, divide-se o primeiro resto pelo segundo resto; e assim por diante, até obter-se uma divisão exata. O último divisor é o m.d.c. procurado. 13

14 Exemplo: Calcular m.d.c. (60, 24) m.d.c. (60,24) = 12 Observação: Para calcular o m.d.c. de 3 números, por exemplo, calcula-se o m.d.c. de 2 deles e depois calcula-se o m.d.c. do terceiro número com o m.d.c. dos 2 números tomados inicialmente. Exemplo: Calcular o m.d.c. (52, 39, 65) Logo, m.d.c. (52, 39, 65) = 13 Propriedade Dados dois ou mais números, se um deles for divisor comum dos outros dois, então esse número será o m.d.c. dos números dados. Exemplo: Seja determinar m.d.c. (9, 18, 36) Observa-se que 9 é divisor comum de 18 e

15 Números primos entre si Exemplos: Dois ou mais números são primos entre si quando o m.d.c entre eles é igual a 1 Logo: 16 e 9 são primos entre si. 32 e 25 são primos entre si. Mínimo Múltiplo Comum (m.m.c.) Conceito Consideremos os conjuntos dos múltiplos de 4 e 6. M(4) = {0, 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40,...} M(6) = {0, 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42,...} Os múltiplos comuns de 4 e 6 são 0, 12, 24, 36,... O menor múltiplo comum de 4 e 6, diferente de zero, é 12. Então, o número 12 é denominado mínimo múltiplo comum de 4 e 6, que representamos por Podemos dizer então que: m.m.c. (4, 6) = 12 Dados dois ou mais números, diferentes de zero, denomina-se mínimo múltiplo comum (m.m.c.) desses números o menor de seus múltiplos comuns, diferente de zero. 15

16 Técnicas para o cálculo do m.m.c. Podemos determinar o m.m.c. de dois ou mais números diferentes de zero por meio da decomposição em fatores primos: 1º) Decompõe-se cada número em seus fatores primos. 2º) Calcula-se o produto dos fatores comuns e não comuns cada um deles elevado ao maior expoente. O produto assim obtido será o m.m.c., procurado. Exemplo: Calcular m.m.c. (60, 24) m.m.c. (60, 24) = 2 3 x 3 x 5 = 8 x 3 x 5 = 120 De modo prático, as decomposições podem ser feitas simultaneamente, pois desta maneira já se obtém os fatores comuns e não comuns com o maior expoente. Exemplo: Calcular o m.m.c. (60, 24) m.m.c. (60, 24) = 2 3 x 3 x 5 = 8 x 3 x 5 = 120 Propriedades a) Dados dois ou mais números diferentes de zero, se um deles for múltiplo de todos os outros, então esse número será o m.m.c. dos números dados. 16

17 Exemplo: Seja calcular o m.m.c. (4, 6, 12) b) Dados dois ou mais números que são primos entre si, então o m.m.c. entre eles será o produto dos números dados. Exemplo: Seja calcular o m.m.c. (4, 9) Observa-se que 4 e 9 são números primos entre si. RELAÇÃO ENTRE O M.M.C E M.D.C O produto de dois números, diferentes de zero, é igual ao produto do m.d.c. pelo m.m.c. dos mesmos números.. Exemplo: Sejam os números 60 e 24. Temos: m.m.c. (60, 24) = 120 m.d.c. (60, 24) = 12 a) O produto dos números dados: 60 x 24 = 1440 b) m.d.c. (60, 24) x m.m.c. (60, 24) = 12 x 120 = 1440 Observamos que: 60 x 24 = m.d.c. (60, 24) x m.m.c. (60, 24) m.d.c. (a, b) x m.m.c. (a, b) = a. b (a 0 e b 0) 17

18 EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 01) Determine o maior elemento do conjunto A = {x IN x < 5000} que é divisível por 7. Solução: Resposta) ) Decompondo 240 em fatores primos obtém-se 2 x.3 y.5 z Determine o valor de x + y + z Solução: 240 = = 2 x.3 y.5 z x = 4, y = 1 e z = 1 Logo, x + y + z = 6 Resposta) 6 03) Se x é o número de divisores de 40, determine o valor de x 2. Solução: 40 = x = (3 + 1).(1 + 1) = 8 Se x = 8, então x 2 = 64 Resposta) 64 04) Duas tábuas devem ser cortadas em pedaços de mesmo comprimento e tamanho maior possível. Se uma delas tem 196cm e a outra tem 140cm, determine a medida de cada pedaço e o número de pedaços obtidos após essa operação Solução: Medida de cada pedaço m.d.c. (140, 196) m.d.c. (140, 196) = 28cm 18

19 2º) = 7 pedaços e = 5 pedaços Total de pedaços obtidos: = 12 pedaços Resposta) Cada pedaço mede 28cm e o total de pedaços é ) Um colecionador possui um número de moedas antigas compreendido entre 150 e 200. Agrupando-as de 12 em 12, de 15 em 15 ou de 36 em 36, sempre sobram 10 moedas. Determine o número de moedas desse colecionador. Solução: m.m.c. (12, 15, 36) = = 190 Resposta) 190 moedas 06) Se o m.d.c. (a, 120) = 24 e m.m.c. (a, 120) = 480, determine o valor do número a. Solução: m.d.c. (a, 120). m.m.c. (a, 120) = a.120 Logo, 120a = 24 x 480 a = 96 Resposta) a = 96 EXERCÍCIOS PROPOSTOS 01) Sejam os números A = n e B = Determine o menor valor de n para que A seja divisível por B. Resposta) n = 5 02) O número 2 m.3 2 tem 15 divisores. Determine o valor de m. Resposta) m = 4 03) Um terreno de forma retangular tem as dimensões de 24m de frente por 56m de fundo. Calcule o valor da maior medida, em metros, de uma corda que sirva para medir exatamente as dimensões desse terreno. Resposta) 8m 04) Três fios têm comprimentos de 36 m, 48 m e 72 m. Deseja-se cortá-los em pedaços menores, cujos comprimentos sejam iguais, expressos em número inteiro de metros, e sem que haja perda de material. Calcule o menor número total possível de pedaços. Resposta) 13 19

20 05) Um certo planeta possui dois satélites naturais: lua A e lua B. O planeta gira em torno do sol e os satélites em torno do planeta, de forma que o alinhamento sol-planeta-lua A ocorre a cada 18 anos, e o alinhamento sol-planeta-lua B ocorre a cada 48 anos. Se o ano em que estamos ocorrer o alinhamento sol-planeta-lua A-lua B, determine daqui a quantos anos esse fenômeno se repetirá. Resposta) 144 anos. TESTES 01) Sejam as afirmações: I) Todo número que não é divisível por 2 é divisível por 3. II) Todo número divisível por 9 é também divisível por 3. III) Todo número que termina em 5 é divisível por 3. São verdadeiras: a) I e II. c) somente a II. b) I e III. d) somente a III. 02) O m.d.c. dos números e 2 n é 36. O valor de n é: a) 1 c) 3 b) 2 d) 4 03) Sendo A = e B = , o m.m.c. de A e B é a) c) b) d) ) O número 2 n tem 50 divisores. O valor de n é a) 1 c) 3 b) 2 d) 5 05) Considere-se o número composto de 9 algarismos, dos quais o algarismo das unidades é n e todos os demais são iguais a 2, isto é, o número n. O menor valor de n a fim de que este número seja divisível por 3 é a) 0 c) 2 b) 1 d) 3 06) O conjunto A é formado por todos os divisores de 10 e por todos os divisores de 15. Então, o conjunto A tem a) 6 elementos c) 8 elementos b) 7 elementos d) 9 elementos 07) Sabendo-se que a x b = e que m.m.c. (a, b) = 504, então m.d.c. (a, b) é igual a a) 21 c) 31 b) 26 d) 36 20

21 08) Seja A o conjunto dos múltiplos de 6 e seja B o conjunto dos múltiplos de 15. Então, A B é o conjunto de todos os múltiplos de a) 30 c) 60 b) 45 d) 90 09) O m.m.c. e o m.d.c. dos números 14 e 42 são, respectivamente a) 7 e 42 c) 42 e 14 b) 42 e 7 d) 14 e 42 10) Duas peças de tecidos devem ser cortadas em pedaços de tamanhos iguais, sendo esse tamanho o maior possível. Se uma peça mede 90 m e a outra 70 m, cada pedaço mede, em metros, a) 10 c) 2 b) 5 d) 1 11) Um carro e uma moto partem juntos do ponto inicial de um autódromo. O carro percorre o circuito em 210 segundos e a moto em 280 segundos. O carro e a moto passarão juntos novamente no ponto inicial depois de a) 360 segundos c) 720 segundos b) 480 segundos d) 840 segundos 12) O produto de dois números naturais, a e b, é e o m.d.c (a, b) = Então, o m.m.c.(a, b) é: a) 6 c) 72 b) 64 d) 96 13) O número m = 488a9b, onde b é o algarismo das unidades e a, o algarismo das centenas. Sabendo-se que m é divisível por 45, (a + b) é igual a: a) 7 c) 16 b) 9 d) 18 14) Três cidades brasileiras A, B e C realizam grandes festas. Na cidade A, estas festas ocorrem de 15 em 15 meses; em B, de 8 em 8 meses; e, finalmente, em C, de 9 em 9 meses. Se essas festas coincidiram em setembro de 1982, coincidirão novamente em setembro de: a) 2018 b)1994 c) 2012 d) 2018 e) ) Das afirmativas abaixo, a única verdadeira é a) o número 1 é primo b) Se m = b.5, n = e m é múltiplo de n, então b> 2 c) mdc(258,204) < 6 d) o número x = tem 30 divisores 21

22 16) Para que o número n = x tenha 15 divisores, o valor de x deverá ser igual a: a) 4 b) 3 c) 2 d) 1 17) Sendo s e y inteiros positivos e primos entre si, pode-se afirmar que a) 3y é múltiplo de 2x. b) o m.d.c de 2x e 3y é 1. c) O m.m.c de 2x e 3y é 6 d) O produto entre 2x e 3y é impar. 18) Em um treinamento da equipe de atletismo do COLTEC, três atletas correm em uma pista. Eles partem ao mesmo tempo do ponto de largada e combinam parar de correr quando passarem juntos novamente pela marca de largada. Sabendo-se que o atleta A leva sempre 60 segundos, para dar uma volta na pista, que o atleta B, para dar a mesma volta, sempre gasta 70 segundos, e o atleta C dá uma volta em 90 segundos. Então, o número de voltas que o atleta mais rápido deu foi A) 2. B) 6. C) 12. D) ) Um subconjunto A de números naturais contém os dez menores múltiplos de 4, os oito menores múltiplos de 6, os seis menores múltiplos de 12 e sete números ímpares. O número de elementos de A é: a) 23 b) 24 c) 25 d) 26 20) Se A e B são dois números naturais e primos entre se, então o mínimo comum entre A e B vale: a) A b) A x B c) B d) A + B 21) Numa loja de material elétrico, existem três rolos de fio, cujos comprimentos são 180 m, 240m e 330m. Deseja-se recortar todo o fio em pedaços com o maior comprimento possível, sem deixar sobrar. O número de pedaços obtido é a) 20 b) 25 c) 30 d) 36 22

23 22) Seja o número a = 83 41m, onde m é o algarismo das unidades. Sabendo-se que a é divisível por 15, o valor de m é a) 1 b) 3 c) 5 d) 7 1) C 2) B 3) A 4) D 5) C 6) A 7) A 8) A 9) C 10) A 11) D 12) C 13) A 14) C 15) D 16) E 17) B 18) D 19) A 20) B 21) B GABARITO 23