4 Modelos de Fronteira Estocástica

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1 4 Modlos d Frotra Estocástca 4.. Cosdraçõs Gras 7 A prodção d qalqr bm o srço é m procsso od m cojto d smos (pts) é trasormado m m cojto d prodtos (otpts). Esta trasormação pod sr ta d drsas maras, todas rprstadas o cojto d possbldads d prodção (CPP), coorm lstrado a gra, para o caso d x dads d m tpo d pt sr sado a prodção d y dads d m tpo d prodto (Vara, 999). Fgra. Cojto d possbldads d prodção rotra d prodção y(x). Na gra qalqr poto (x,y) CPP dca ma mara tcologcamt ál d trasormar ma qatdad x d smo m ma qatdad y d prodto, mas ddo às rstrçõs d atrza tcológca, o CPP é lmtado pla ção rotra d prodção ( y(x) ), ma ção q dca a máxma qatdad d prodto q pod sr obtda a partr d ma qatdad x 7 Est capítlo s baso m stdo to por Pssaha & Soza (3) domado Modlos d Frotra Estocástca a Dção d Mtas Globas d Cotdad das Dstrbdoras d Erga Elétrca.

2 Modlos d Frotra Estocástca 4 d pts. Portato, para ma tcologa dada, a ção rotra d prodção caractrza o mímo cojto d pts cssáros para prodzr qatdads xas d áros tpos d otpts (ortação sgdo a ótca dos pts), o d orma aáloga, a rotra d prodção caractrza a máxma prodção possíl dada ma qatdad xa d pts (ortação sgdo a ótca dos otpts). Assm, todo prodtor localzado a rotra é classcado como tccamt ct 8, qato os dmas prodtors do CPP são cosdrados tccamt cts. Por xmplo, a gra, o prodtor A é tccamt ct, qato os prodtors B C são tccamt cts. Obsr q m prodtor stado o poto A é ct, pos com a msma qatdad d smo cosmda m A pod-s obtr ma prodção gal a do prodtor B, spror a prodzda m A. D orma aáloga, o íl d prodção m A pod sr obtdo com ma qatdad d smo gal a do prodtor C, mor q a sada m A. Spodo q são cohcdos os prços, w R, d m tor d pts x R, m prodtor racoal procra prodzr m cojto d otpts y R m com o mor csto d prodção possíl. Nst caso, o padrão cotra o qal a prormac do prodtor é aalada dsloca-s da rotra d prodção para a rotra d csto a cêca passa a tr das compots : técca alocata 9 (Kmbhakar & Loll, ; Vara, 999). A ção rotra d csto é ma rprstação altrata da tcologa d prodção dca o mímo csto cssáro para prodzr m cojto d otpts, dados o íl d prodção, os prços dos pts a tcologa xstt. O csto d m prodtor ct é maor q o mímo ddo pla rotra d csto, tão, os prodtors cts stão localzados acma da rotra d 8 Sgdo a dção Parto-Koopmas m procsso d prodção é tccamt ct s m crmto a qatdad d qalqr prodto, rqr m crmto a qatdad d plo mos m smo o a rdção d plo mos a qatdad d otro prodto. D orma aáloga, m procsso d prodção é tccamt ct s a rdção a qatdad d qalqr smo rqr o crmto a qatdad d otro smo, para matr o msmo íl d prodção, o a rdção a qatdad d algm prodto. Obsr q os potos B C a gra satsazm a dção d Parto-Koopmas para a cêca técca. 9 Um prodtor tccamt ct ão aprsta cssaramt a cêca coômca, pos pod tlzar m cojto d pts q ão sja o d mor csto. Para sr coomcamt ct, o prodtor d sr tccamt ct também tlzar os smos d mor csto, sto é, tr cêca alocata.

3 Modlos d Frotra Estocástca 43 csto, qato os prodtors cts stão a rotra, coorm mostra a gra 3. Fgra 3. Frotra d csto A rotra d prodção a rotra d csto coam como ma rrêca, o mlhor, m bchmarkg cotra o qal podm sr comparados os dsmphos d drts prodtors o DMU's (Dcso Makg Uts) q atam o msmo sgmto da dústra. Uma smpls comparação com a ção rotra prmt dscrmar os prodtors m das catgoras: cts o cts. Os dsos m rlação à ção rotra rltm alhas a otmzação do procsso d prodção. Isto sgr q o gra d cêca rlata d m prodtor pod sr aalado por mo da dstâca rtcal tr l a ção rotra, coorm a métrca radal proposta por Dbr (Kmbhakar & Loll, ). Esta métrca é m úmro o tralo [,] o prodtor é cosdrado ct s a métrca assm m alor táro, caso cotráro l é cosdrado ct. Sgdo sta métrca radal, a cêca técca d m prodtor q prodz m tor d otpts y, a partr d m tor d pts x é a razão TE y/(x), od (x) y é a máxma prodção possíl, spccada pla ção rotra d prodção. D orma aáloga, admtdo q os prços dos pts (tor w) sjam cohcdos, o csto d prodção é Ew T x a cêca coômca do prodtor é a razão CE c(y,w)/e, od c(y,w) E é o mímo csto d prodção ddo pla ção rotra d csto.

4 Modlos d Frotra Estocástca 44 Na prátca ão s cohc plamt o CPP, portato, a rotra d prodção o csto é dscohcda a cêca d cada prodtor ão pod sr msrada drtamt. D ato, a maora das zs, os pocos dados dspoís lmtam-s às obsraçõs acrca das qatdads prços d pts otpts d ma amostra tpo cross-scto com I prodtors q atam o msmo sgmto da dústra. Uma das abordags sadas para stmar o gra d cêca d cada m dos prodtors cosst m stmar a ção rotra por mo d modlos coométrcos, tradcoalmt classcados m modlos d rotra dtrmístca modlos d rotra stocástca (Kmbhakar & Loll, ). A sgr são aprstados algs modlos coométrcos sados a stmação das çõs rotra d prodção rotra d csto. 4.. Estmado a Frotra d Prodção A sgr são aprstadas das xtsõs do modlo d rgrssão lar sadas a stmação da rotra d prodção: mímos qadrados corrgdos rotra stocástca, ambas obsram a prmssa mcrocoômca q a ção rotra ão é ma lha d tdêca ctral, mas ma ção lop q rprsta a máxma prodção possíl. No método dos mímos qadrados corrgdos, a qação da rotra é m modlo d rgrssão lar stmado por mímo qadrados ordáros, od o trcpto é corrgdo para atdr a prmssa mcrocoômca. Por sa z, o modlo d rotra stocástca, a rotra é m modlo d rgrssão com rro assmétrco, cjos cocts são stmados por máxma rossmlhaça Mímos Qadrados Corrgdos Cosdr q cada prodtor, m ma amostra tpo cross-scto com I prodtors tlz tpos d smos rprstados plo tor d qatdads d smos x R,,I, a prodção d ma qatdad y d m úco tpo d prodto. Como sto a sção 4., a mdda d cêca técca com ortação otpt para o -ésmo prodtor (TE ) é dada por :

5 Modlos d Frotra Estocástca 45 TE y ( x ) (4.) Arrajado os trmos da galdad 4., tm-s q : y ( x, β ) TE (4.) od (x,β) é a rotra dtrmístca d prodção q d a maor qatdad possíl d otpt prodzda com o tor d pts x, β é o tor d parâmtros da ção d prodção a sr stmada TE. Aplcado ma trasormação logarítmca m 4., tm-s a sgt qação : Ly L β ( x, ) LTE Ly L ( x β ), (4.3) od - L TE é ma mdda da cêca técca, pos -TE. Etão, a cêca técca do -ésmo prodtor é dada por : TE Admtdo q a ção d prodção sja lar os logartmos das (4.4) arás pts, por xmplo, ma ção Cobb-Doglas dotado por ε -, m trmo alatóro, tm-s o sgt modlo d rgrssão lar : Ly β... Lmbrado q o gra d cêca técca é xprsso plo dso da β Lx β Lx ε (4.5) prodção obsrada m rlação à prodção dal, dda pla ção d prodção, é ácl prcbr q a abordagm coométrca st dso é ddo por ε. No modlo d rgrssão lar m 4.5, o trmo alatóro tm méda ão la (E(ε )< ) admt-s q st rro tha arâca costat, ão tm atocorrlação sral é dpdt d todas as arás xplcatas. Para trasormar o modlo 4.5 m m modlo d rgrssão lar clássco, az-s a sgt trasormação : Ly [ β E( ε )] βlx... β Lx ε E( ε ) Fazdo β β E( ε ) ε ε E( ε ) rgrssão lar : (4.6) Ly, obtém-s o sgt modlo d β βlx... β Lx ε (4.7) Y β X β β Fção Cobb-Doglas : X

6 Modlos d Frotra Estocástca 46 No modlo d rgrssão trasormado 4.7, o oo trmo alatóro ε tm dstrbção ormal, pos é xprsso pla drça tr ma arál alatóra a sa méda. Assm, com xcção do trcpto β, os cocts d rgrssão podm sr stmados d orma cosstt por mo dos mímos qadrados ordáros (OLS - Ordary Last Sqars). Para garatr q a rotra d prodção stmada ola todos os prodtors pass plo prodtor mas ct, o trcpto stmado por OLS é ajstado até q todos os rsídos, xcto m, sjam gatos, coorm mostra a gra 4. Est procdmto é cohcdo como mímos qadrados corrgdos o COLS ( Corrctd OLS ). Fgra 4. Frotras d prodção stmadas por OLS COLS Os rsídos corrgdos a stmata corrgda do trcpto são dadas por : β ε (4.8) COLS β max COLS ε ε maxε (4.9) Falmt, a stmata da cêca do -ésmo prodtor é dada por : COLS ε (4.) TE A stmação da rotra plo método COLS é aclmt mplmtada, trtato, como apas o trcpto é corrgdo, a rotra d prodção stmada é paralla à lha d tdêca ctral stmada plo OLS, ma hpóts poco plasíl mto rstrta (Kmbhakar & Loll, ). Para scapar dsta rstrção, d-s tlzar m modlo d rotra stocástca.

7 Modlos d Frotra Estocástca Modlo d Frotra Estocástca Nos modlos d rotra dtrmístca qalqr dso m rlação à rotra d prodção é atrbído à cêca técca do prodtor. Tas modlos goram o ato d q a prodção pod sr atada por choqs alatóros ora do cotrol do prodtor, por xmplo, grs codçõs ambtas sob a prodção. Um aaço st stdo são os modlos d rotra stocástca trodzdos, smltaamt, m 977, por Agr, Loll & Schmdt (ALS) Ms & a d Brock (MB) (Kmbhakar & Loll, ), cja prcpal rtd stá o ato dls rcohcrm q os dsos m rlação à rotra d prodção podm tr orgm a cêca técca dos prodtors o são casados por choqs alatóros ora do cotrol dos prodtors. Tas modlos são spccados como : od ( ) y ( x, β ) TE (4.) x, β é a rotra d prodção stocástca é ma arál alatóra rrstrta m sal. A rotra stocástca é composta d das parts : a rotra dtrmístca (, β ), comm a todos os prodtors, m trmo, cja aldad é captrar x o to d choqs alatóros q ata spccamt o -ésmo prodtor. Pla qação 4.4, tm-s q scrta como: TE ( ) x, logo a qação 4. pod sr y, β (4.) A partr d 4. tm-s q a mdda d cêca técca do -ésmo prodtor é dda pla razão tr a prodção obsrada a máxma prodção possíl, spccada pla rotra stocástca d prodção, m m ambt caractrzado por, o sja: TE x Admtdo q (, β ) ( x, β ) y (4.3) sja lar os logartmos, tm-s o sgt modlo, após a aplcação d ma trasormação logarítmca m 4. o 4. : od Ly β βlx... β Lx LTE (4.4) Ly β βlx... β Lx (4.5) LTE.

8 Modlos d Frotra Estocástca 48 Na qação 4.5, o dso tr o íl d prodção y a part dtrmístca da rotra d prodção é dado pla combação d das compots:, m rro q assm apas alors ão gatos q captra o to da cêca técca, m rro smétrco q captra qalqr choq alatóro ora do cotrol do prodtor. A hpóts d smtra da dstrbção d é sportada plo ato d q codçõs ambtas dsaorás aorás são galmt proás (Kmbhakar & Loll, ). Fazdo ε tm-s : Ly β β Lx... β Lx ε (4.6) Admtdo q sja..d. com dstrbção smétrca, salmt ma dstrbção ormal, q sja dpdt d, tão, dsd q smpr assm m alor posto, a dstrbção do rro composto ε é assmétrca. Portato, modlos d rgrssão com rro smtrcamt dstrbído com méda zro ão são aproprados para stmar a ção rotra stocástca. A stmação do modlo 4.6 por OLS prodz stmatas cosstts dos cocts d rgrssão, com xcção do trcpto, dsd q E(ε ) -E( ) <. Embora os rsltados obtdos por OLS ão prmtam stmar a cêca técca d cada prodtor, a aáls dos rsídos ordos dsta stmação proê ma orma smpls d tstar a prsça d cêca técca. S, tão o rro é smétrco (ε ) os dados ão sportam a hpóts d cêca técca. Etrtato, s >, tão, ε, é gatamt assmétrco a hpóts d cêca técca é acta. Isprados sta déa Schmdt L propsram a sgt statístca d tst (Kmbhakar & Loll, ): b m ( m ) 3/ 3 (4.7) od m m 3 são rspctamt os momtos d sgda trcra ordm dos rsídos da stmação por mímos qadrados. Dsd q tm dstrbção smétrca, m 3 é o momto d trcra ordm d. Etão m 3 < dca q os rsídos são gatamt assmétrcos sgr a prsça d cêca técca. Por otro lado, qado m 3 >, os

9 Modlos d Frotra Estocástca 49 rsídos são postamt assmétrcos, o q ão az stdo st caso, portato, dca problmas d spccação do modlo. Como a dstrbção d b ão é pblcada, Coll propôs a sgt statístca d tst, asstotcamt dstrbda como ma N(,) (Kmbhakar & Loll, ): m 3 6m 3 / (4.8) Para stmar a cêca técca d cada prodtor é cssáro xtrar da stmata d ε as stmatas d. Isto rqr algma sposção sobr as dstrbçõs das das compots d rro. Estas sposçõs prmtm a tlzação do método d máxma rossmlhaça a stmação dos parâmtros do modlo d rgrssão também são mportats o procdmto d stmação da cêca técca dos prodtors, basado a dstrbção codcoal d dado ε. Na ormlação básca dos modlos d rotra stocástca, o trmo alatóro sg ma dstrbção Normal, qato, tm dstrbção Hal- Normal, sto é: (H) d N(, ) ~ (H) d N (, ) ~ (H3) é dpdt d (Hal-Normal ão gata) () ( ) π π (H4) são dpdts d x A partr da hpóts H3 tm-s q a dstrbção cojta d é o prodto das dsdads margas m H H : ( ) π, (4.9) Lmbrado q ε -, obtém-s aclmt a dstrbção cojta d ε : ( ) ( ε ), ε π (4.)

10 Modlos d Frotra Estocástca 5 Itgrado a ção dsdad 4. m rlação a, obtém-s a dstrbção margal d ε, dada por : ( ) (,ε )d ε od λ, π ε ελ ε ελ Φ a dstrbção acmlada d ma N(,). φ Φ (4.) φ Φ são rspctamt a dsdad Coorm mostra a gra 5, a dstrbção d ε é gatamt assmétrca, sdo q a méda a arâca são dadas por : E( ε ) E( ) π (4.) π V ( ε ) π (4.3) Fgra 5. Fção dsdad do rro composto o modlo Normal/Hal-Normal Lmbrado q ε Ly β β j Lx j sado a ção dsdad j 4., o logartmo da ção d rossmlhaça dado ma amostra com I prodtors é scrto como: ε λ l L costat I l l Φ ε (4.4) As stmatas d máxma rossmlhaça, são os alors d, β j para j, q maxmzam a qação 4.4. Estas stmatas são asstotcamt cosstts.

11 Modlos d Frotra Estocástca 5 Em 977, Batss Cora (Kmbhakar & Loll, ) paramtrzaram o logartmo da rossmlhaça m trmos d ( ) [,] γ /. Esta oa paramtrzação aprsta atags a maxmzação da ção d rossmlhaça. Além dsso, la aclta a trprtação do modlo, pos qado γ, a cêca é xstt, pos doma a arâca do rro composto os dsos m rlação à rotra dm-s camt a rídos alatóros, por otro lado, qado γ, doma a arâca do rro composto o dso m rlação à rotra d-s tramt a cêca. Portato, pod-s tlzar o tst da razão da rossmlhaça (LR tst) (Gr, ) para tstar a hpóts la H : γ. Porém, como γ pod car os lmts do tralo [,], a dstrbção da razão d rossmlhaça é ma mstra d q-qadrados,..,aproxmadamt ma χ. Para stmar a cêca técca d cada prodtor é prcso tr ma stmata d, a compot do rro q captra o to da cêca técca. Esta stmata pod sr obtda a partr dos rsídos εˆ, pos ε.usado as çõs dsdad m 4. 4., Jodrow t al (apd Kmbhakar & Loll, ) stmaram como sdo a méda o a moda da sgt dstrbção codcoada : ( ε ) (, ε ) ( ε ) ( µ µ ) µ Φ π ε od µ ε ~ N ( µ, ) Etão, a stmata potal d é dda pla méda d ( ε ) ˆ E ( ε ) o pla moda d ( ε ) Lmbrado q φ µ Φ técca do -ésmo prodtor : ( µ ) ( ) µ ˆ M ( ε ) ε, s ε ˆ, caso cotráro (4.5) : ( ε ) λ ε λ ( ε λ ) φ (4.6) Φ (4.7) LTE, tm-s almt a stmata da cêca TE ˆ (4.8)

12 Modlos d Frotra Estocástca 5 Em 988, Batts Coll (Kmbhakar & Loll, ) propsram a sgt altrata para stmar a cêca técca d cada prodtor: E TE E Φ ( ) ( µ ) ε µ Φ ( µ ) (4.9) As stmatas da cêca técca m são drts, pos ( ) ( ) E ε ε, m ambos os casos cosstts. Explorado o ato d q a dstrbção ε ~ N ( µ, ), Horrac Schmdt (Kmbhakar & Loll, ) draram os lmts da dstrbção d ε a srm tlzados a costrção d m tralo (L,U ) com (-α)% d coaça para od ε : L µ z L µ z U U α µ ( ) Φ Z (4.3) P > z L (4.3) α µ ( ) Φ Z > P z U (4.3) Como Z~N(,) tm-s q: Φ α µ Φ z L (4.33) Φ α µ Φ z U (4.34) A scolha da dstrbção Hal-Normal tm sdo alo d crítcas, por sta razão otras dstrbçõs tm sdo sgrdas para o rro, por xmplo, Ms & a d Brock também Agr, Loll & Schmdt (Kmbhakar & Loll, ) aprstaram a rossmlhaça algs rsltados assocados com a dstrbção xpocal para. Postrormt, m 98, Stso (Kmbhakar & Loll, ) sgr ma dstrbção Normal trcada o lgar da Hal-Normal, mas rctmt, m 99, Gr sgr a dstrbção Gama (Kmbhakar & Loll, ). Apsar d tatas ormlaçõs altratas, o modlo Normal/Hal-Normal tm domado as aplcaçõs aprstadas a ltratra técca. Na rdad a scolha da dstrbção d tm mpacto bastat

13 Modlos d Frotra Estocástca 53 rdzdo sobr as mddas d cêca dos prodtors, portato, é atral adotar modlos mas smpls como o Normal/Hal-Normal (Kmbhakar & Loll, ). No caso do modlo da Normal trcada, proposto por Stso, tm-s as sgts hpótss para as compots do rro composto: (H) d N(, ) ~ (H) d N ( µ, ) ~ (H3) é dpdt d (Normal trcada) ( ) () π Φ π ( µ / ) ( µ ) (H4) são dpdts d x A Normal trcada tm dos parâmtros (µ ) é ma gralzação da dstrbção Hal-Normal. A jstcata m dsa do so da Normal trcada é q la ão mpõ a rstrção d moda la, como az a Hal-Normal. A mposção dsta rstrção sbstma os dcadors d cêca. Na ção dsdad (), µ é a moda da dstrbção Normal, trcada m m alor gato. Obsr q s µ, () tora-s a ção dsdad d ma Hal-Normal. A partr da dsdad cojta d lmbrado q ε, é ácl obtr a dsdad cojta d ε, dada por : ( ) ( µ / ) ( µ ) ( ε ) ε π Φ (4.35), Itgrado a dsdad cojta 4.35 m rlação a, obtém-s a ção dsdad margal d ε, dada por : ( ε ) ε µ µ ελ µ φ Φ Φ λ (4.36) od, da msma orma q o caso Hal-Normal, λ. A partr d 4.36 tm-s a sgt xprssão para o logartmo da ção d rossmlhaça, dada ma amostra com I prodtors : µ µ ε l L costat Φ λ ε µ I l I l l Φ (4.37) λ

14 Modlos d Frotra Estocástca 54 od λ λ. As stmatas d máxma rossmlhaça, são os alors d, µ β j para j, q maxmzam a qação D orma smlhat ao caso com dstrbção Hal-Normal, a cêca técca do -ésmo prodtor é stmada por TE ˆ, od é dado pla méda o a moda da dstrbção codcoal d ε ~ N o ( ˆ µ, ) : ( ˆ µ ) ( ) ˆ µ ˆ µ φ ˆ E( ε ) (4.38) Φ ˆ M ( ε ) ˆ, caso cotráro µ ε od ˆ µ. µˆ, s µˆ (4.39) 4.3. Estmado a Frotra d Cstos A smpls troca do sal do rro a qação 4. cort m modlo d rotra stocástca d prodção m modlo d rotra stocástca d csto (Kmbhakar & Loll, ), dado por : E ( ) y w, C, β,,i (4.4) od, w (w,..,w ) é o tor d prços dos pts, β é o tor d parâmtros da tcologa d prodção, y é o tor d otpts prodzdos, x é o tor d pts, T E w x é o csto total corrdo plo -ésmo prodtor, C( y, w, β ) é a rotra stocástca d csto. Da msma orma q a rotra d prodção, é rrstrta m sal captra choqs alatóros ora do cotrol do prodtor, ma arál ão gata q rlt o gra d cêca do prodtor. Etrtato, drtmt do modlo d rotra stocástca d prodção, a rotra d csto o rro captra o to da cêca coômca,.., rlt as parclas alocata técca da cêca. A rotra stocástca d csto também tm das parts: ma part dtrmístca, comm a todos os prodtors, ma part spcíca d cada

15 Modlos d Frotra Estocástca 55 prodtor, dda por q captra tos d choqs alatóros m cada prodtor. A mdda d cêca coômca do -ésmo prodtor é a razão tr o mímo csto possíl C ( y w, β ),, spccado pla ção rotra stocástca d csto, E,o csto do -ésmo prodtor: CE C ( y, w, β ) E (4.4) A partr das qaçõs é ácl prcbr q a cêca coômca também é dada por: CE (4.4) Nst trabalho são aprstados modlos d rotra com qação úca, basados o csto total, a qatdad d otpts os prços dos pts. Tas modlos ão prmtm dcompor a mdda d cêca coômca as compots alocata técca (Kmbhakar & Loll, ). S a cêca alocata é assmda, o rro é rlacoado com a cêca técca os modlos aprstados stmam mddas d cêca técca, sgdo ma ortação pt. Porém s sta sposção ão é ta, a trprtação d ão é clara, pos l rprsta ma mstra d cêca técca alocata. Por sta razão a mdda d cêca obtda a partr d ma rotra d csto é domada cêca coômca. A dcomposção da mdda d cêca só é possíl por mo d modlos d qaçõs smltâas q são mas sostcados csstam d dados acrca do csto total, qatdads d otpts, prços qatdads dos pts d cada prodtor. Tas modlos stão ora do scopo dst trabalho mas dtalhs podm sr cotrados as rrêca (Kmbhakar & Loll, ). Assmdo q a parcla dtrmístca da rotra stocástca d csto, C ( y w, β ),, tha apas m otpt, pod-s adotar ma orma coal Cobb- Doglas q após a trasormação logarítmca rslta a sgt qação: LE β... β β y Ly β Lw Lw (4.43) od LCE.

16 Modlos d Frotra Estocástca 56 Ats d stmar o modlo 4.43 d-s mpor a homogdad os cocts dos logartmos dos prços: β... β β k β j j j k (4.44) O modlo rsltat é : E L β β y Ly β j wk j wk j k w (4.45) Ao cotráro do modlo d rotra stocástca d prodção, o modlo d rotra stocástca d csto, o rro composto (ε ) é postamt assmétrco. Etrtato, apsar d algmas mdaças d sal, a stmação dos modlos d rotra stocástca d csto é ta da msma orma q a stmação da rotra stocástca d prodção a técca proposta por Jodrow t al pod sr sada para stmar a cêca coômca. A sgr é aprstada a stmação por máxma rossmlhaça do modlo 4.45 assmdo q d N(, ), d N (, ) ~ ~ q sjam dpdts tr s ão corrlacoados com as arás xplcatas do modlo. D orma aáloga à qação 4., a ção dsdad do rro composto, a rotra stocástca d csto, é dada por: od ( ) (,ε )d ε λ, π ε ελ ε ελ Φ dstrbção acmlada d ma N(,). dadas por: φ Φ (4.46) φ Φ são rspctamt a dsdad a A dstrbção d ε é postamt assmétrca com méda arâca E ( ε ) E( ) (4.47) π V π π ( ε ) (4.48)

17 Modlos d Frotra Estocástca 57 Lmbrado q E w j ε L β β y Ly β j L sado a wk j wk j k ção dsdad 4.46, o logartmo da ção d rossmlhaça dado ma amostra com I prodtors é scrto como: ε λ l L costat I l l Φ ε (4.49) Noamt, as stmatas d máxma rossmlhaça, são os alors d,, β j para j, q maxmzam a qação Estas stmatas são asstotcamt cosstts. Para stmar a cêca técca d cada prodtor é prcso tr ma stmata d, a compot do rro q captra o to da cêca técca. Esta stmata pod sr obtda a partr dos rsídos εˆ, pos ε.usado as çõs dsdad m 4. 4., Jodrow t al (Tar, ) stmaram como sdo a méda o a moda da sgt dstrbção codcoada: ( ε ) (, ε ) ( ε ) ( µ µ ) µ Φ π ε ~ N (, ) µ (4.5) ε od µ Etão, a stmata potal d pod sr a méda d ( ε ) φ ( ) ( µ ) φ ε λ ˆ E ε µ o a moda d ( ε ) por: Φ ( µ ) M ( ε ) ε, s ε ˆ ˆ, caso cotráro : ( ) ε λ ( ε λ ) (4.5) Φ (4.5) Falmt a stmata da cêca coômca do -ésmo prodtor é dada CE ˆ (4.53) Da msma orma q a rotra stocástca d prodção, a mdda d cêca coômca proposta por Batts Coll (Kmbhakar & Loll, ), obtda a partr da rotra stocástca d csto é dada por:

18 Modlos d Frotra Estocástca 58 CE E ( ε ) ( µ ) ( µ ) Φ µ Φ (4.54) A grad rtd da ção Cobb-Doglas é a sa smplcdad. Etrtato, sta orma coal aprsta algs cots, como por xmplo, o ato d ão acomodar múltplos prodtos sm olar as proprdads d coxdad do spaço dos prodtos ão prmtr a modlagm d strtras d prodção mas complxas, rsltado m stmatas tdcosas da cêca d csto. Uma altrata a ção Cobb-Doglas é a ção Traslog, cja prcpal rtd stá a possbldad d acomodar múltplos otpts sm cssaramt olar as proprdads d coxdad. A sgr tm-s a qação do modlo d rotra stocástca d csto a orma coal Traslog: LE β m m m j j h j h α Ly m γ j α jh jh Lw j Ly h j j Ly Ly β Lw j h j j j h β Lw jh j Lw h (4.55) Plo torma d Yog dm sr adcoadas as rstrçõs α jh α hj β jh β hj sobr os cocts d rgrssão do modlo 4.55 também dm sr mpostas as rstrçõs d homogdad os prços dos pts: j j j (4.56) β j (4.57) β jh (4.58) γ jh Apsar d prmtr maor lxbldad, o modlo Traslog pod aprstar problmas d mltcolardad (Gr, ) s mtas arás xplcatas são clídas o modlo Drças tr os Modlos d Frotra d Prodção Frotra d Csto Como obsrado, a stmação da rotra stocástca d prodção d csto aprsta potos smlhats, ambas são stmadas por mo da

19 Modlos d Frotra Estocástca 59 maxmzação da rossmlhaça os dos casos a cêca pod sr stmada por ( ε ) E o ( ) E ε. Etrtato, dm sr dstacadas as sgts drças tr las: As mddas d cêca dradas da rotra d prodção mdm o gra d cêca técca d cada prodtor, por otro lado, a mdda d cêca obtda a partr d ma rotra d csto é ma mdda d cêca coômca q pod sr dcomposta as compots alocata técca. Na stmação da rotra d prodção adota-s ma ortação otpt, qato a rotra d csto adota-s ma ortação pt. A stmação da rotra d prodção cssta da ormação sobr as qatdads dos pts sados dos otpts prodzdos. Por otro lado, a rotra d csto d-s dspor d ormaçõs acrca do csto d prodção, dos prços dos pts, das qatdads dos otpts prodzdos das qatdads dos pts sados. Nos dos casos o rro composto (ε ) ão é smétrco ão tm méda la. No tato, a rotra d prodção o rro é gatamt assmétrco o caso da rotra d csto o rro é postamt assmétrco.