APONTAMENTOS DE ÁLGEBRA LINEAR E GEOMETRIA ANALÍTICA

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1 UNIVERSIDADE DO ALGARVE ESCOLA SUPERIOR DE TECNOLOGIA APONTAMENTOS DE ÁLGEBRA LINEAR E GEOMETRIA ANALÍTICA (V ) ÁREA DEPARTAMENTAL DE ENGENHARIA CIVIL

2 Ídic 5 o plao o spaço 5 Itrodção 5 Gralidads sobr ctors 5 Norma d m ctor 6 54 Co-sos dirctors d m ctor 9 55 Prodto itro 0 56 Âglo tr dois ctors 57 Projcção ortogoal 5 58 Prodto xtro 7 59 Prodto misto 7

3 5 o plao o spaço 5 Itrodção Mitas gradzas físicas, como locidad, força, dslocamto implso, para srm compltamt idtificadas, prcisam, além da magitd, da dircção do stido Estas gradzas são chamadas gradzas ctoriais o simplsmt ctors Gomtricamt, ctors são rprstados por sgmtos (d rcta) oritados (sgmtos d rctas com m stido d prcrso) o plao o o spaço A pota da sta do sgmto oritado é chamado poto fial o xtrmidad o otro é chamado poto iicial o origm do sgmto oritado Sgmtos oritados com a msma dircção, msmo stido msmo comprimto rprstam o msmo ctor A dircção, o stido o comprimto do ctor são dfiidos como sdo a dircção, o stido o comprimto d qalqr m dos sgmtos oritados q o rprstam Est facto é aálogo ao q ocorr com os úmros racioais as fracçõs Das fracçõs rprstam o msmo úmro racioal s o mrador o domiador d cada ma dlas stirm a msma proporção Por xmplo, as fracçõs /, / 4 / 6 rprstam o msmo úmro racioal A dfiição d igaldad d ctors também é aáloga à igaldad d úmros racioais Dois úmros racioais a / b c / d são igais, qado ad msmo comprimto, a msma dircção o msmo stido = bc Dizmos q dois ctors são igais s possm o Como imos, os lmtos dos spaços ctoriais são dsigados por ctors Em tdo o q s sg amos cosidrar o spaço ctorial ral (clidiao) com dimsõs, todos os -plos ordados d úmros rais, = {( x, x,, x ) : x, i =,,, } os tormas aqi aprstados podrão sr gralizados a o, od os ctors têm rprstação gométrica Os lmtos d i q rprsta o spaço d As dfiiçõs, cotdo os xmplos srão limitados a têm das itrprtaçõs gométricas Podm sr itrprtados como potos, st caso cosidram-s x,, x como as coordadas do poto, o podm sr itrprtados como ctors, st caso x,, x são as compots scalars do ctor Esta distição é poco importat m trmos matmáticos Vamos rprstar os ctors d com ma sta por cima, por xmplo, (,, ), os potos por ltras maiúsclas a origm por O = 0 = (0,0,,0) /

4 5 Gralidads sobr ctors Vamos comçar por rlmbrar, d ma maira scita, algs cocitos sobr ctors Para isso, cosidrmos m o sgmto [ AB ], como s ilstra a figra Figra Rprstação d m sgmto m O sgmto [ AB ] pod sr oritado d A para B (o stido a cosidrar é d A para B) o d B para A Graficamt para s idicar o stido d sgmto sa-s ma sta Figra Rprstação d ctors m Dfiição: A m sgmto oritado [ AB ] d origm m A xtrmidad m B, d q s cohc a dircção, o stido o comprimto, dá-s o om d ctor E rprsta-s por AB Obs: Sdo [ AB ] m sgmto oritado stá implícita a dircção o stido /

5 Atraés da dfiição cocli-s q m ctor AB fica d totalmt dfiido s cohcrmos: i) o stido, por xmplo, d A para B; ii) a dircção, tr A B; iii) o comprimto, a distâcia tr os potos A B (o sja, o comprimto do sgmto [ AB ], isto é, AB ) dada pla orma do ctor rprstada por, como rmos mais adiat Obs: O ctor lo é rprstado por 0, ma z q tm comprimto lo Not-s q 0 ão tm dircção (ão stá associada qalqr dircção) O ctor é lir, o stido q ão tm posição fixa, ao cotrário do poto do sgmto oritado Por xmplo, o ctor AB pod sr rprstado por m sgmto oritado com origm o poto A Mas, podria sr rprstado por m sgmto oritado cjo poto iicial podria star m qalqr otro lgar, dst q tha a msma oritação comprimto Figra Rprstação d ctors m Todos os ctors da figra rprstam o msmo ctor, com xcpção do ctor 4, q apsar d tr a msma dircção, tm stido comprimto difrts dos dmais Dfiição: com a msma dircção dizm-s ctors coliars Dfiição: com a msma dircção, o msmo stido o msmo comprimto, dizm-s ctors qipolts /

6 Como s prtd dtrmiar m ctor plo s comprimto, dircção stido, os ctors qipolts são cosidrados igais msmo q stjam sitados m posiçõs difrts S são qipolts tão Como ilstra a figra, cosidrado m poto A m ctor aplicado m A (a origm) Somado a A o ctor, obtém-s o poto B, xtrmidad do sgmto oritado [ AB ], scr-s A + = B = B A Assim, rprsta-s m ctor pla difrça tr os potos xtrmidad origm, o sja, = AB = B A Ao somarmos ao poto A o ctor obtém-s, como imos, o poto B, dizdo-s q s fcto ma traslação, sgdo a dircção d Damos, agora, m sigificado gométrico à mltiplicação scalar, adição sbtracção d ctors Dfiição4: Sjam ctors qaisqr d + = ( +, +,, + ), a sa soma é Sjam = (, ) = (, ) dois ctors d Tdo m cota a dfiição4, a soma dsts ctors é w = + = (, ) + (, ) = ( +, + ), rprstada gomtricamt a figra4 Figra4 Adição d ctors m A figra ilstra q, s são dois ctors qaisqr, tão a sa soma é dtrmiada da maira q s sg: Colocar o ctor d maira a q o s poto iicial coicida com a xtrmidad d O ctor w = + é rprstado pla sta q ai do poto iicial d ao poto fial d A xtrmidad d w stá localizado idads horizotais idads rticais a partir da xtrmidad d Gomtricamt, a xtrmidad d w stá localizada a xtrmidad d, s sofrr ma traslação paralla a l próprio d tal forma q a sa origm coicida com a xtrmidad d Assim, pod itrprtar-s w como sdo a diagoal do parallogramo com lados 4/

7 Dfiição5: Sjam dois ctors qaisqr d a difrça tr é = + ( ) Para s itrprtar gomtricamt a difrça tr dois ctors, cosidra-s dfiição5, w = = + ( ) = (, ) + (, ) = (, ), r figra5, Pla Figra5 Sbtracção d ctors m Not-s q as compots d w são a difrça tr as compots d O ctor w tm o comprimto a dircção d m ctor q apota a partir da xtrmidad d para a xtrmidad d, como s ilstra a figra5 Por otras palaras, pod itrprtar-s w gomtricamt, pla traslação d m ctor dshado a partir da xtrmidad d para a xtrmidad d parallo a si próprio até q a sa origm stja a origm do rfrcial A discssão aprstada m cima, pod lar-os a psar o ctor q ai da xtrmidad d à xtrmidad d, como sdo, ão apas ma traslação paralla d D facto, é coit útil psar-s m trmos d traslaçõs parallas d m dado ctor, isto é, ctors q têm a msma dircção comprimtos, mas com as sas origm fora da origm do rfrcial, como rprstado o msmo ctor, mas dshados m difrts parts do spaço Dfiição6: Sjam (,, ) m ctor d difrt d zro λ \{0} Dfi-s mltiplicação scalar como sdo λ = ( λ, λ,, λ ) Dfi-s λ = 0 s λ 0 o 0 Também st caso, cosidrado λ, tmos λ = λ(, ) = ( λ, λ) O ctor \{0} λ é chamado m scalar múltiplo d, tm a msma dircção d, mas λ zs o s comprimto Caso λ > 0 os dois ctors têm o msmo stido, caso λ < 0 os ctors têm stidos opostos scalars múltiplos s dos otros como são parallos, forma m cojto liarmt dpdt 5/

8 Figra6 Mltiplicação scalar d m ctor m Caso λ =, tm-s λ =, o ctor simétrico d, q tm a msma dircção o msmo comprimto d, mas stido cotrário Sjam dois ctors com a msma dircção, é smpr possíl dtrmiar m scalar λ, tal q = λ (dsigada por codição d coliaridad d dois ctors) Como imos, têm a msma dircção; o msmo stido o stido cotrário caso o scalar sja positio o gatio Dfiição7: Os ctors dizm-s parallos s = λ o = λ para algm scalar λ 0 Obs: Um ctor pod sr rprstado m otação matricial como ma matriz liha o cola Como são spaços ctoriais, os ss lmtos rificam os axiomas dos spaços ctoriais Por xmplo, a figra4, ilstra q w = + = +, a soma d ctors é comtatia 5 Norma d m ctor O comprimto d m ctor é dfiido como sdo o comprimto d qalqr m dos sgmtos oritados q o rprstam, é chamado d orma d rprsta-s por Dfiição8: Sja = (,, ) m ctor d, dfi-s orma clidiaa d como sdo o scalar = + + Eqialtmt, = AB = B A Obs4: Há ma ifiidad d ormas q podmos dfiir m A orma clidiaa é motiada pla fórmla do comprimto d m ctor o plao, q s pod ddzir atraés do torma d Pitágoras 6/

9 Para oçõs gométricas é a mais atral, por isso, o âmbito dsta disciplia, cosidramos apas a orma clidiaa Esta graliza o cocito d módlo m Um spaço ao qal associamos ma orma, dsiga-s por spaço ormado Exmplo: Plo torma d Pitágoras, rificamos q o comprimto do ctor = (, ) = (, ) é = = = + = (, ) (, ) ( ) 0 Est alor corrspod à distâcia d O = (0,0) ao poto A = (, ), o ao comprimto do sgmto [ OA ], OA 0 Ititiamt, plo q foi aprstado, dfiir ma orma clidiaa m, prmit-os smpr, dfiir ma distâcia (o rciproco ão é rdadiro) D facto, sjam P ( x, y, z ) P ( x, y, z ) potos d, sabmos q a distâcia tr ls é d( P, P ) = ( x x ) + ( y y ) + ( z z ) Por otro lado, sdo = P P = P P = ( x x, y y, z z ), pla dfiição d orma, m PP = P P = ( x x ) + ( y y) + ( z z), o sja, d( P, P ) = P P a distâcia tr os potos P P é igal à orma do ctor por ls dfiido, P P Como coclsão, plo q foi aprstado, ma z q, os lmtos d cosidrados ctors o potos, salitam-s das sitaçõs:, podm sr S cosidrarmos potos, a orma d( P, P ) = P P rprsta a distâcia tr dois potos; Para ctors, a orma d( P, P ) = P P corrspodrá ao comprimto do ctor dfiido por P P, P P = P P Por otro lado, fctado ma traslação do ctor d maira a q tha origm a origm do rfrcial, = P P = P = d( O, P ) (a orma d P rprsta a distâcia dst poto à origm), od P = P P, o sja, o comprimto do ctor = P P é mricamt igal ao comprimto d m ctor qipolt a com origm a origm do rfrcial Vamos aprstar, sm dmostração, algmas propridads da orma clidiaa 7/

10 Torma: Sja = (,,, ) ÁREA DEPARTAMENTAL DE ENGENHARIA CIVIL (,,, ) dois ctors d =, 0 = (0,0,,0) o ctor lo λ (m scalar), tão: (i) 0 (mais prcisamt > 0 ss 0 (ii) = ; (iii) + +,, ; (i),, ; () =,, ; (i) =,, com 0 ; (ii) =, ; (iii) λ = λ,, λ = 0 ss = 0 ); A propridad (iii) é cohcida como dsigaldad triaglar pois graliza o rsltado da gomtria clidiaa q diz q a soma dos comprimtos d dois lados d m triâglo é smpr maior o igal ao comprimto do otro lado Psado m trmos d ctors d, ao cosidrar m ctor, com a sa origm a origm do rfrcial, m ctor, com a sa origm a xtrmidad d, como dois lados d m triâglo, r figra4, tão o lado q sobra é dado por +, rificado-s a dsigaldad triaglar A igaldad é atigida qado = λ o = λ, com λ > 0 Figra7 Vrsor d m ctor d, = rs( ) Um ctor com orma igal a diz-s m ctor itário ( = é m ctor itário) Normalizar m ctor é diidi-lo pla sa orma Ao ctor rsltat dá-s o om d rsor Sja por xmplo,, com, tão rs( ) = rs ( ) = (claro q, s =, tão r( ) = ) 8/

11 Dfiição9: Dado m ctor dfi-s rsor d, como sdo o ctor itário com a msma dircção stido d Portato, rs( ) = rs ( ) = λ com λ = Da propridad (iii), od s ê q a orma da mltiplicação d m scalar por é o prodto tr o módlo do scalar a orma d, s 0, tão rs ( ) = = = = =, tm ma distâcia itária a partir da origm, o q cofirma o facto do rsor tr comprimto 54 Co-sos dirctors d m ctor A figra8 ilstra q a dircção d m ctor é spcificada plo âglo α q st faz com o ixo das abcissas (ixo horizotal) o plo âglo β q st faz com o ixo das ordadas (ixo rtical) Figra8 Co-sos dirctors d m ctor m Tdo m cota q o comprimto do ctor é, da figra8, m cos β = = cosα si β = = siα Assim, apsar d m cosα o cos β, só por si dtrmiarm a dircção do ctor, jtos dtrmiam compltamt ssa dircção, são dsigados por co-sos dirctors d Dst modo, a dircção do ctor m pod sr dtrmiada por = (cos α,cos β ) =, Portato, plo q foi dito, as compots do ctor, os cosos dirctors, são os cosos dos âglos tr os ixos coordados (tr os ctors da bas caóica, porqê?) No spaço ctorial, os co-sos dirctors do ctor = (,, ) são os co-sos dos âglos tr cada m dos três ctors itários, q dfim a bas caóica d âglo tr o ctor i i é cosα i = = i, i =,,,, aalogamt a Assim, o co-so do, a dircção d m 9/

12 ctor ão lo d ÁREA DEPARTAMENTAL DE ENGENHARIA CIVIL é spcificada por,, A itrprtação dst rsltado torar-s- á mais clara qado s falar d âglos m = Obs5: Rpar-s q s = i= cosα i i,, q os cosos dirctors coicidm com as compots do rsor do ctor ão ormalizado (têm a msma dircção d ) Exmplo: O ctor = (, ) = (, ) d tm comprimto = 0 dircção spcificada por ( ) =, = (, ) 0 0 0, rpar-s q ( ) ( ) = + = + = =, o sja, é m ctor itário, ma z q o s comprimto é igal à idad 55 Prodto itro o scalar Em as oçõs habitais d âglo distâcia podm sr aprstados à csta do chamado prodto itro Comcmos por cosidrar dois ctors d prodto itro, para dpois a gralizarmos a Spoha-s = para ddzirmos a xprssão do (, ) = (, ) dois ctors d, difrts do ctor lo Sjam α β os âglos tr a part positia do ixo horizotal (das abcissas), rspctiamt, mdidos a dircção cotrária à dos potiros do rlógio (dircta) Spodo aida q α > β, sja θ = α β Etão, θ é o âglo tr mdido a dircção cotrária à dos potiros do rlógio, como ilstra a figra9 Figra9 Âglo tr dois ctors d 0/

13 Em particlar, s form ctors ão los d m spaço bi-dimsioal o tri-dimsioal, assmido q sss ctors tm a msma origm Qado s rfr ao âglo tr, qrmos dizr o âglo θ dtrmiado por q satisfaça 0θ π (o âglo tr dois ctors é dfiido como sdo o âglo mais pqo tr ls) A partir da fórmla d sbtracção para o co-so m + cosθ = cos( α β ) = cosα cos β + siα si β cosθ = + = ma z q cos α =, cos β =, siα = si β =, Aalogamt, s = (,, ) = (,, ) form dois ctors d, difrts do ctor lo s θ for o âglo positio mais pqo tr + +, tão cosθ = Gralizado, sjam = (,,, ) (,,, ) = dois ctors d, difrts do ctor lo s θ for o âglo positio mais pqo tr + + +, tão cosθ = Dfiição0: Sjam dois ctors d m spaço ctorial E qalqr, dfi-s prodto itro tr sts dois ctors por = = cosθ, od é o âglo tr os ctors Qado os ctors são dados m trmos das sas compots ão cohcmos dirctamt o âglo tr ls Por isso, prcisamos d cotrar ma forma d calclar o prodto itro q ão cssit do âglo tr os ctors Caso sjam dois ctors d cosθ =, o prodto itro, ma z q, tr sts ctors é = cos θ = (porqê?) Obs6: Escrdo como matrizs cola, U V, rspctiamt, m T T = U V = V U Not-s q o prodto itro tr dois ctors d é m scalar (m úmro q prtc a ) ão m ctor Por st motio, ao prodto itro também s dá o om d prodto scalar Pricipalmt a litratra iglsa pod aparcr a dsigação, /

14 No torma sgit aprstam-s algmas propridads, sm dmostração, do prodto itro Torma: Para qaisqr ctors, w d i) = (comtatiidad); ii) ( λ ) = λ( ) (associatiidad); iii) ( + w ) = + w (distribtiidad); i) = 0 ; ) = 0 ss = 0 ; i) (dsigaldad d Cachy-Schwarz); ii) = ; m scalar λ : Obs7: Eit o rro sgit: = w = w O corrcto é = w w = 0 ( w ) = 0 ( w ) Exmplo: Para s obtr m cotra-xmplo, rlatiamt à última obsração, cosidr-s = (,0,0), = (4,,) w = (4,,) ctors d, tmos = 4 = w apsar d w Obs8: Como foi rfrido, a orma clidiaa é a mais sada m d star associada a m prodto itro = =,, ma das razõs disso, é o facto, d facto, = (,,, ) (,,, ) = = = 5 Âglo tr dois ctors d A dfiição d prodto itro prmitir-os dfiir âglos tr dois ctors qaisqr ão los Vamos dfiir o âglo tr dois ctors d Tdo m cota q cosθ =,, ma z q, a dsigaldad d Cachy-Schwarz garat q (porqê?) para qaisqr ctors ão los d, o sja, cosθ Pod tão ciar-s a sgit dfiição /

15 Dfiição: Sjam ctors ão los d o θ = arccos, 0 θ π, tão o âglo tr é o úmro Exmplo4: Cálclo do âglo tr a diagoal d m cbo ma das sas arstas Rsolção: Sja k o comprimto d cada arsta, amos cosidrar as sgits coordadas, = ( k,0,0), = (0, k,0) = (0,0, k), como s ilstra a figra0 Figra0 Cbo com arstas d comprimto k Uma diagoal do cbo é rprstada plo ctor = ( k, k, k) = + + O co-so do âglo tr é cosθ = = = = k k k Assim, ( ) θ = arccos 54, 74º Sja θ o âglo tr, rcord-s q 0 θ π Portato, s form ctors, ão los d o, com = 0, tão pla dfição, o âglo tr π é θ = arccos(0) =, o sja, os ctors são prpdiclars, também dsigados por ortogoais O q motia a sgit dfiição Dfiição: Os ctors d o Exrcício: Mostr q = ( ) ( + ) = 7, dizm-s prpdiclars,, ss = 0 S dois ctors form prpdiclars (ortogoais) tão qalqr scalar múltiplo d m dls, λ o α, é prpdiclar ao otro, o, rspctiamt /

16 É ma coção coit a matmática ão rstrigir sta dfiição d ortogoalidad a ctors ão los Uma z q, rslta da dfiição q 0 é ortogoal a qalqr ctor d 0 = 0 Para além disso, 0 é o úico ctor d q tm sta propridad, pois Torma: Sjam ctors ão los d m spaço bi-dimsioal o tri-dimsioal, sja θ ( 0θ π ) o âglo tr ls, tão: (i) θ é agdo ( 0 θ < 90º ) ss > 0 ; (ii) θ é obtso ( 90º < θ 80º ) ss < 0 ; (iii) θ é rcto ss ( θ = 90º ) = 0 Como sabmos, dois ctors são parallos qado m dls for m scalar múltiplo ão lo do otro A partir da dmostração da dsigaldad d Cachy-Schawrz, qado são parallos, tão = (porqê?) Assim, s θ for o âglo tr, cos θ = = ±, dod, θ = 0 o θ = π, o sja, apotam a msma dircção o apotam m dircçõs opostas (têm o msmo stido o stidos opostos) Exmplo5: Os ctors = (, ) = ( λ = ) Not- s q = 0 = (, 6) = 0 40 = 0 são parallos ma z q, = Rslta q o âglo tr é θ = π, o sja, sts ctors têm a msma dircção mas stidos opostos (apotam m dircçõs opostas) Dois rsltados importats sobr triâglos m Pitágoras, amos r d q maira stão rlacioados são a dsigaldad triaglar o torma d A dsigaldad triaglar foi aprstada como sdo a propridad (iii) da orma clidiaa (torma), cit-s, s form ctors d Vamos dmostrar, tão + + sta dsigaldad isado a obtção do torma d Pitágoras Utilizado a obs8 m + = ( + ) ( + ) = + ( ) + = + ( ) +, ma z q, pla dsigaldad d Cachy-Schwarz,, rslta 4/

17 Dod ÁREA DEPARTAMENTAL DE ENGENHARIA CIVIL = = + ss = 0 ( ) (porqê?), isto é, ss Rsltado o sgit torma Torma4 (torma d Pitágoras): Os ctors d são ortogoais ss + = + Obs9: O torma4 graliza o torma d Pitágoras a Torma5:,, ão los ortogoais dois a dois forma m cojto LI Dfiição: Sja S m sbspaço d Uma bas d V costitída por ctors ortogoais dois a dois diz-s ma bas ortogoal d V Uma bas ortogoal cjos ctors têm orma diz-s ma bas ortoormada d V Uma codição cssária sficit para q os ctors,,, d costitam ma bas ortoormada é q s i j i =, = j 0, s i j o q garat q os ctors são itários, ortogoais dois a dois formam m cojto LI Exmplo6: ) A bas caóica d é ma bas ortoormada; ) As bass {(,0),(0,)} {(,),(, 6)} são bass ortogoais d, mas ão são ortoormadas 57 Projcção ortogoal Em mitas aplicaçõs é d itrss dcompor m ctor a soma (combiação liar) d dois trmos, m parallo otro prpdiclar a dtrmiado ctor S stirm posicioados d maira a q os ss potos iiciais coicidam m poto P, podmos dcompor o ctor da sgit maira (r figra): Traçar ma prpdiclar a partir da xtrmidad d até, costrir o ctor w com poto iicial m P xtrmidad a itrscção dsta prpdiclar com Por otro lado, sabmos q w = w Como ilstra a figra, os ctors w w são, parallo prpdiclar a, rspctiamt, w + w = w + ( w ) = 5/

18 Figra Projcção ortogoal O ctor w é chamado a projcção ortogoal d m o ctor compot d ao logo d é rprstado por w = proj O ctor w é chamado ctor compot d ortogoal a Como w = w, m w proj = O torma6 forc fórmlas para s calclar stas das igaldads Torma6: S são ctors d o s 0, tão: i) w = proj =, ctor compot d ao logo d ; ii) w = proj =, ctor compot d ortogoal a Obs0: (i) A projcção ortogoal d m ctor sobr m ctor ão dpd da orma d, o sja, para qalqr λ > 0, proj proj λ = (ii) Dados três ctors, w, tais q w 0, tão proj ( + ) = proj + proj w w w Exmplo7: Sjam = (,,) = (,, ) Calcl a projcção ortogoal d m o ctor compot d ortogoal a Rsolção: i) A projcção ortogoal d m (,,) (,, ) 5 é proj = = (,, ) = (,, ) 6 (,, ) ii) O ctor compot d ortogoal a 5 é proj = (,,) + (,, ) = (, 7, 4) Claro 6 6 q, proj ( proj ), d facto, (, 7, 4) ( 5,5,0) = ( ) = /

19 Uma fórmla para o comprimto da projcção ortogoal d ao logo d pod sr obtido scrdo proj proj w = = = = = Cosidrado θ o âglo tr, tão = cosθ, dod proj = cos θ A itrprtação gométrica dst rsltado é ilstrada pla figra Figra Itrprtação da projcção ortogoal Exmplo8: Sjam = (,, ) = (4,, ) Ecotr dois ctors w w tais q = w + w, w é parallo a w é prpdiclar a Rsolção: Como = 5 =, m w = proj = = ( )(4,,) = (,, ) w = w (,,) ( 7, 7, 7 ) = ( 7, 7, 7 ) 58 Prodto xtro o prodto ctorial tr dois ctors d Em mitas aplicaçõs d ctors d a problmas d gharia, gomtria física,, tm itrss costrir m ctor q é prpdiclar a dois ctors dados Como foi isto, ão xist ma gralização para s dfiir o oprador mltiplicação d ctors m, od o prodto rsltat sja m ctor da msma dimsão Vamos dfiir m tipo d mltiplicação tr dois ctors, cjo rsltado é m ctor (chamado prodto xtro o ctorial), apas com aplicação m Ddção da xprssão cartsiaa do prodto xtro Sjam = (,, ) = (,, ) dois ctors d, ão parallos Qrmos cotrar m trciro ctor w = ( w, w, w ) prpdiclar a Como stamos a spor q forma m cojto liarmt idpdt (porqê?), a 7/

20 dircção do ctor procrado é iocamt dtrmiado por Assim, como s prtd-s q w = 0 w = 0, tmos q rsolr as qaçõs w + w + w = 0 w + w + w = 0 m ordm a w, w w Como {, } é liarmt idpdt a matriz do sistma A = tm caractrística, portato, xist m dtrmiat pricipal d ordm (maior dtrmiat difrt d zro q s pod xtrair da matriz da matriz) Spohamos q = 0, assim, amos cosidrar como pricipais as icógitas w w como lir a ariál w (podriam sr otras) Como ão há dtrmiats caractrísticos xistm icógitas ão pricipais o sistma é possíl idtrmiado (tm mais icógitas do q qaçõs) Plo q foi dito w + w + w = 0 w + w = w, w + w + w = 0 w + w = w a matriz ampliada do sistma é [ A B ], od A = A = w B = w, portato w A = = ( + ) w w w A = = ( + ) w w Vido, pla rgra d Cramr, w A = = ( + ) w A w A = = ( + ) w A, como w, façamos w A = =, rsltado w = + = w = + = O procsso d obtção das compots do ctor w = (,, ) ão é úico Dfi-s w como sdo o prodto xtro o ctorial tr, rlmbr-s q st ctor é ortogoal a, por hipóts 8/

21 Dfiição4: Sjam = (,, ) = (,, ) ctors d ao ctor, = = (,, ), dfi-s prodto xtro tr Como mmóica para a xprssão, pod sar-s o dtrmiat simbólico q passamos a ddzir Como sabmos, os ctors da bas caóica, = (, 0, 0), = (0,, 0) = (0, 0,) são ctors itários (d orma igal m) parallos aos ixos coordados Todo o ctor = (,, ) d pod sr scrito como combiação liar d,, pois = (,0,0) + (0,,0) + (0,0, ) = (,0,0) + (0,,0) + (0,0,) = + + = (,, ) = + +, do msmo modo Portato, = (,, ) = + + = (,, ) = ( ) + ( ) + ( ), q é qialt a = + Rsltado obtido como cosqêcia da aplicação do torma d Laplac à primira liha do sgit dtrmiat = Obs: Não s trata d m rdadiro dtrmiat, já q a primira liha tmos os ctors, da bas caóica d ão úmros Otra maira d dtrmiar as compots d é atraés da matriz A = ( ) ª compot do prodto xtro é obtida do dtrmiat q rslta d A sprimido a ª cola; ª compot obtida do dtrmiat q rslta d A sprimido a ª cola afctado do sial gatio; ª compot obtida do dtrmiat q rslta d A sprimido a ª cola 9/

22 Exist ma difrça importat tr o prodto itro o prodto xtro d dois ctors d Eqato o primiro é m scalar, o prodto xtro (ctorial) é m ctor No torma sgit, dão-s algmas rlaçõs importats (sm dmostração) tr o prodto itro o prodto xtro Torma7 (Rlaçõs oldo o prodto itro o xtro): Sjam, w ctors d (i) ( ) = 0, ( é ortogoal a, ) (ii) ( ) = 0, ( é ortogoal a, ) (iii) = ( ) (i) ( w ) = ( w ) ( ) w () ( ) w = ( w ) ( w ) (idtidad d Lagrag) : Obs: As propridads (i) (ii) sigificam, q w = é prpdiclar ao plao formado plos ctors olts Exmplo9: Calcl o prodto xtro tr = (,,) = (,,) Rsolção: Tdo m cota a dfiição d prodto xtro, m w = = (,, ) = ( +,, ) = (5,, ) Not-s q, ( ) = (,,) (5,, ) = = 0 ( ) = (,,) (5,, ) = 5 = 0, o q mostra q ( ) ( ) É também d itrss rificar q o q s rifica para todos os ctors d Rlatiamt aos ctors da bas caóica d obtr as sgits rlaçõs: = (,, + ) = ( 5,,) = ( ),, a partir da dfiição d prodto xtro podmos = ; = = ; = =, = isto é, o prodto xtro tr dois ctors da bas caóica dá o otro ctor o o s simétrico Tm-s, aida, q = 0, = 0 = 0, ma z q os ctors são coliars tr si Tdo por bas, os rsltados do prodto xtro tr os ctors da bas caóica, aprstam-s, sm dmostração, algmas propridads do prodto xtro 0/

23 Torma8: Para qaisqr ctors, w d m úmro ral λ Tm-s (i) = ( ) (o prodto xtro ão é comtatio, é ati-comtatio) (ii) ( + w ) = ( ) + ( w ) ( + ) w = ( w ) + ( w ) (o prodto xtro é distribtio m rlação à soma d ctors) (iii) λ( ) = ( λ) = ( λ) (i) 0 = 0 = 0 () = 0, o, = 0 = λ = λ Obs: A propridad () diz q dois ctors d = são parallos ss 0 Exmplo0: Sja = (,,), = (,,) w = (,,), Vrifiq q ( ) + ( w ) ( + w ) Rsolção: Tdo m cota o xmplo atrior, = (5,, ), ma z q w = = + = (, 0, ), obtmos ( ) + ( w ) = (5,, ) + (,0, ) = (,, ) Por otro lado, como, ( + w ) = (,,) (,,4) = ( 7,,5), sai, ( ) + ( w ) ( + w ), basta tr m cota a propridad (ii) do prodto xtro O corrcto é ( ) + ( w ) = ( ) ( w ) = ( w ), o ( ) + ( w ) = ( ) + ( w ) = ( + w ) Obs4: Atção q = w = w ão é rdad (xrcício!) Como o prodto xtro é m ctor, é oritado m dtrmiada dircção, tm m stido, m comprimto A figra ilstra o prodto xtro,, tr dois ctors qaisqr d Figra Rprstação gométrica do prodto xtro /

24 Rlatiamt à dircção, imos q é prpdiclar aos ctors Qato ao stido, a partir da isalização da figra é possíl imagiar ma rgra para dtrmiar o stido do prodto xtro, dsigada por rgra da mão dirita O stido d é o do polgar qado s cra os ddos da mão dirita o stido m q s faz rodar o º ctor (st caso o ) para coicidir como o º (st caso o ), sgdo o mor âglo, θ, tr sts (pratiq sta rgra com os ctors da bas caóica) Figra4 Stido do prodto xtro, rgra da mão dirita Qato ao comprimto do ctor prodto xtro, sja θ o âglo tr Da idtidad d Lagrag rslta = ( ) = ( cos θ ) = ( cos θ ) = si θ Tm-s, portato = s θ, dsmbaraçado d qadrados,, tdo m cota q siθ 0, ma z q por dfiição d âglo tr dois ctors, 0 θ π, tm-s o sgit rsltado Torma9: S θ for m âglo tr dois ctors, d, tão = sθ Obs5: Atção q = sθ ão faz stido, ma z q é m ctor (prodto ctorial) sθ é m úmro ral (scalar) Tdo m cota o q foi dito, podmos ciar a sgit dfiição: /

25 Dfiição5: Sjam dois ctors d Dfiimos o prodto xtro, como sdo o ctor com as sgits caractrísticas: (i) Tm dircção prpdiclar a ; (ii) Tm o stido dado pla rgra da mão dirita (iii) Tm comprimto = sθ As três propridads da dfiição5 dtrmiam compltamt o ctor As propridads (i) (ii) dtrmiam a oritação, qato (iii) o comprimto Como as propridads d dpdm apas do comprimto posição rlatia d ão do sistma d coordadas tilizado, o ctor prmacrá ialtrado s itrodzirmos m difrt sistma d coordadas Est rsltado é importat qado s trabalha com difrts sistmas d coordadas ao msmo tmpo Plo q foi dito, dados dois ctors, é smpr possíl dtrmiar a oritação d Para s idtificar compltamt, gomtricamt, cssitamos apas sabr o s comprimto Itrprtação gométrica do prodto xtro O torma9 tm árias cosqêcias itrssats Uma dlas é a itrprtação gométrica da orma d S dsharmos m parallogramo com lados adjacts, figra5, a altra do parallogramo é h = h siθ (pois siθ = ), od θ é o âglo tr Rpar-s q, st caso os ctors {, } é LI, pois 0 Figra 5 A altra do parallogramo é h = siθ Dst modo, como a ára d m parallogramo é dada plo prodto tr os comprimtos da bas da altra, é igal a A = siθ, plo torma9 siθ = = A /

26 Torma0: Sjam dois ctors d Etão a ára do parallogramo com lados adjacts é mricamt igal à orma d, A = Figra6 Parallogramo d lados adjacts Corolário Sjam dois ctors d mricamt igal a A = Etão a ára do triâglo com lados adjacts é Exmplo: Calcl a ára do parallogramo dfiido plos ctors = (,,), = (,,) Rsolção: Como imos plo torma0 a ára do parallogramo dfiido por é mricamt igal ao comprimto d Como = (,, 0), a ára do parallogramo pdido é A = = (,, 0) = Rpar-s q = (,,) (,, ) = 0 π, o sja, os ctors são prpdiclars siθ = θ = Logo, sado a fórmla A = = si θ = = (,,) (,, ) = 6 = O parallogramo dfiido plos ctors = (,,) é = (,, ) é m rctâglo dfiido m A ára do triâglo rctâglo dfiido plos ctors é A = = Ititiamt, rslta q, s = 0, o parallogramo dfiido por é m rctâglo o m qadrado A = =, por otro lado, o triâglo dfiido por sts ctors é rctâglo A = = 4/

27 Exmplo: Calcl a ára d m parallogramo dfiido m tilizado o prodto xtro Rsolção: Cosidr-s m parallogramo P o plao com értics m (,), (,), (4,4) (,), rprstado a figra7 Figra7 Parallogramo com értics (,), (,), (4,4) (,) Dois lados adjacts são dados plos ctors, d (,) a (, ), isto é, = (, ) (,) = (,), d (,) a (,), isto é, = (,) (,) = (, ) Como, stamos a trabalhar com dois ctors d ão d, ão s pod calclar o s prodto xtro Cosidramos os ctors w = (,, 0) r = (,,0) q rprstam lados adjacts do msmo parallogramo stdido a d P é dado por w r = (0,0, 4 ) = (0,0,) =, Assim a ára O xmplo motia o sgit rsltado q sr como itrprtação gométrica para os dtrmiats Cosidr-s m parallogramo dfiido m plos ctors = (, ) = (, ) Plo torma0 ára d m parallogramo dfiido m é A = Como, stamos a trabalhar com dois ctors d ctors = (,,0) = (,,0) stdido a, ão d, para calclar o prodto xtro cosidramos os q rprstam lados adjacts do msmo parallogramo O prodto xtro, sado dtrmiats, é = 0 = 0, dod A = = = abs, ma z q = 5/

28 Torma: Sjam ctors d compots d Etão, a ára d m parallogramo dfiido m M a matriz ( ) cjas colas (o lihas) são as é A = dt( M ) Exmplo: Calcl a ára d m parallogramo dfiido m (,) tilizado m dtrmiat d ordm com értics (,), (,), (4,4) Rsolção: Plo xmplo, dois lados adjacts do parallogramo são dados plos ctors = (,) = (, ) (porqê?), logo a ára do parallogramo é A = = formam m cojto liarmt idpdt, o Torma: S os ctors d dtrmiat da matriz ( ) cjas colas (o lihas) são,, rspctiamt, é positio Obs6: Esta qatidad ão é la porq o cojto dos ctors é liarmt idpdt Dfiição6: Sjam, w ctors LI, rprstados por sgmtos oritados a partir da origm Dizmos q sts três ctors (por sta ordm) formam m tridro dircto s a rotação mais crta do ctor q o la a sobrpor-s ao ctor é fita, para m obsrador com os pés a origm a cabça a xtrmidad d w o stido cotrário ao dos potiros do rlógio (r figra8) Figra8 Tridro dircto Obs7: Os ctors, da bas caóica d formam m tridro dircto Torma: S {, } é m cojto LI, os ctors, formam m tridro dircto Obs8: Proa-s q, s form ortogoais com orma itária, tão, costitm ma bas ortoormada 6/

29 59 Prodto misto m ÁREA DEPARTAMENTAL DE ENGENHARIA CIVIL Pod stdr-s os rsltados do torma0 para s calclar o olm d m parallpípdo m Spoha-s, w as arstas adjacts do parallpípdo P, como s ilstra a figra9 Sabmos q o olm V d P é igal ao prodto da ára da bas,, pla altra corrspodt d P, o sja, plo comprimto da projcção d w m (porq é prpdiclar a a ) Como tm-s Figra9 Parallpípdo com arstas adjacts, w proj w = w V = w = w ( ) Dfiição7: Dados três ctors, w d, aplicados m poto A (értic do parallpípdo dfiido plos três ctors), a qatidad w ( ) (q é m scalar) domia-s por prodto misto d, w (por sta ordm),, o s módlo é mricamt igal ao olm do parallpípdo dfiido por sss ctors Obs9: Não há cssidad d parêtss a xprssão w ( ) (scalar), pois a úica forma d td-la é como o prodto itro d w (ctor) por (ctor); ão faz stido psar m prodto xtro d (ctor) por w (scalar) 7/

30 Obs0: Sdo, o olm do parallpípdo com arstas, w dado por V = w ( ), o prodto misto pod sr gatio o positio: i) w ( ) > 0, qado w faz m âglo agdo com ii) w ( ) < 0, qado w faz m âglo obtso com Vamos ddzir a xprssão cartsiaa do prodto misto m os ctors d (sistma ortoormado) Como sabmos podm sr scritos como combiação liar dos ctors da bas caóica, o sja, = (,, ) = + +, = (,, ) = + +, w = ( w, w, w ) = w + w + w assim, = (,, ) = ( ) + ( ) + ( ) Etão o prodto misto pod sr scrito como o sja, w ( ) = ( w + w + w ) ( ) + ( ) + ( ) = [ ] = ( ) w + ( ) w + ( ) w =, w ( ) = w w w w w w Tdo m cota sta igaldad, podmos itrprtar gomtricamt m dtrmiat d ordm, como sdo mricamt igal ao olm d m parallpípdo, dtrmiado plos ctors q costitm as sas lihas Torma4: Sjam, w ctors d, A a matriz ( ) cjas colas (o lihas) são, w Etão, o olm do parallpípdo dtrmiado por, w é igal a dt( A ) Obs: Atddo à dfiição d prodto itro tmos w ( ) = w ( ) cosθ, od θ é o âglo formado por w ( ) 8/

31 Exmplo4: Calcl o olm d m parallpípdo cjas as arstas são dfiidas plos ctors = (, 4,), = (,,) w = (0,,5) Rsolção: O parallpípdo P cjas arstas são dfiidas plos ctors = (, 4,), = (,,) w = (0,,5) é aprstado a figra0 O módlo do prodto misto é, mricamt igal ao olm do parallpípdo cjas arstas são dfiidas plos ctors, w Figra0 Parallpípdo com arstas = (, 4,), = (,,) w = (0,,5) Como = (4,, + ) = (, 4,), V = w ( ) = (0,,5) (, 4,) = = 6, o 0 olm d P é 6 O, atraés do cálclo do dtrmiat A = 4 V = dt( A) = 6 5 Por otro lado, a fórmla V = w ( ) prmit rificar s três ctors prtcm ao msmo plao Uma z q três ctors q ão stjam o msmo plao dtrmiam m parallpípdo com olm positio, tão V = w ( ) = 0 s só s, w stirm o msmo plao Torma5: S os ctors = (,, ), = (,, ) w = w w w (,, ) tirm os msmo potos iiciais, tão, prtcm ao msmo plao (são complaars, parallos a m msmo plao) s só s w w w w ( ) = = 0 9/

32 Aprstamos d sgida, sm dmostração, algmas propridads do prodto misto Torma6: Sjam, w ctors d Etão (i) Pla comtatiidad do prodto itro, tm-s w ( ) = ( ) w (ii) o prodto misto é lo, qado m dos ctors for lo, qado os três ctors form complaars, o qado dois ctors form coliars (parallos) w ( ) = 0, s = 0 = 0 w = 0, qado m dos ctors for lo; w ( ) = 0, s = λ = 0, qado dois ctors form coliars ( ); w ( ) = 0, s, w form complaars (podmos dizr q w ( ) = 0 ss o cojto {,, w} for liarmt dpdt) (iii) w ( ) > 0, s, só s, (,, w) satisfazm a rgra da mão dirita (i) w ( ) < 0 é ma bas dircta d, s, só s, (,, w) é ma bas irsa d, o sja, s, só s, w () O prodto misto ão s altra por prmtação circlar dos três ctors, o sja, w = w = w (ma z q, os dtrmiats q rprstam sts prodtos ( ) ( ) ( ) são igais s trocarmos das filas) (i) w ( ) = w ( ) = ( w ) = ( w ), o prodto misto é altrado, isto é, trocado a posição rlatia d dois ctors o prodto misto mda d sial; (o prodto misto mda d sial, matdo o alor absolto, qado s trocam dois dos ss ctors) (ii) w ( ) = ( w ), o prodto misto ão s altra qado s trocam tr si os siais d prodto ctorial d prodto itro, matdo a posição dos ctors (iii) w ( ) ão s altra s a m factor s adicioa ma combiação liar dos otros dois (por xmplo, w ( ) = w ( ( + α + β w )) ) (ix) w ( ) é triliar, isto é, w (( α + β ) ) = w ( α ) + w ( β ) = αw ( ) + β w ( ), w ( ( α + β )) = w ( α ) + w ( β ) = αw ( ) + β w ( ) ( αw + β w ) ( ) = αw ( ) + β w ( ) 0/

33 Obs: As propridads () (i) acima podm sr mmorizadas obsrado-s a figra Cosidrado o prodto misto d, w, por sta ordm, w ( ), sgido as stas, obtrmos o sial d + Cosidrado o prodto misto m stido cotrário ao das stas, obtrmos o sial d Qalqr prodto m msmo stido é o oposto do prodto m stido cotrário, por xmplo, ( w ) = ( w ) Figra Prodto misto /