DERIVADAS. Esse resultado significa que a velocidade do móvel no instante dado é de 29 km/h.

Transcrição

1 DERIVADAS Para iiciar os stdos sobr Driadas amos, iicialmt, obsrar o mplo a sgir q ilstra a sa aplicação a Física, dtr tatas otras aplicaçõs práticas q irmos abordar Um íclo, m moimto, obdc à sgit ção: st = t + 5t+, od s m qilômtros, t m horas t No istat t = horas, dtrmi a locidad a aclração do íclo Qado ocê tm o spaço prcorrido por m íclo rprstado por ma ção, d calclar iicialmt a driada primira, q rprsta a ção locidad, m sgida, sbstitir o alor do príodo dado o problma O rsltado alcaçado sigiica a locidad do mól ss príodo st = t + 5t + s t = 6t + 5 ção locidad s = s = 9 Ess rsltado sigiica q a locidad do mól o istat dado é d 9 km/h Para cotrar a ção aclração, dmos calclar a driada primira da ção locidad o a driada sgda da ção do spaço, m sgida, sbstitir o alor do príodo dado o problma st = t + 5t+ s t = 6t + 5 s t = 6 ção aclração s = 6 Ess rsltado sigiica q a aclração do mól o istat dado é d 6 km/h

2 Em síts, ao calclar a primira driada da ção do spaço, cotramos a ção locidad, ao dtrmiar a sgda driada, tmos a ção aclração Obsr o mplo abaio, otra aplicação da driada, ss caso, a Ecoomia - Sja Lq = -q + q + 5 a ção q dá o lcro, m rais, d ma dtrmiada ábrica a prodção/da d crta qatidad d m prodto m ção do úmro d mão-d-obra q tilizada Prgta-s: a Qal a Fção Lcro Margial a cotratação da 7ª idad? b Itrprt o rsltado Solção: a Para cotrar a Fção Lcro Margial, dmos calclar a ª driada da Fção Lcro, para dtrmiar o alor do lcro margial, dmos sbstitir a qatidad prodzida Lq = -q + q + 5 L q = -q + Fção Lcro Margial L 7 = -7 + L 7 = 96 Lcro Margial = R$ 96, b Com tilização da 7ª mão-d-obra, a ábrica trá m Lcro d R$ 96, Nota: toda z q or calclar a Fção Lcro Margial, Fção Csto Margial tc, d-s cotrar a driada primira da ção Após ssa itrodção, od mostramos algmas aplicaçõs das driadas, amos dá iício ao stdo sobr as msmas, sgido o rotiro; Taa Média d Variação d ma Fção o Dcliidad da Rta Scat Taa D Variação Istatâa o Dcliidad da Rta Tagt Driada d ma Fção m Poto

3 Rgra Gral para o Cálclo das Driadas 5 Itrprtação Gométrica da Driada 6 Rgras d Driação 7 Driada d Fção Composta 8 Driada das Fçõs Trigoométricas 9 Driadas das Fçõs Trigoométricas Irsas Driada da ção = Aplicaçõs Aplicação da driada a coomia Elasticidad Aplicação da Driada a Gomtria Aalítica Driadas Scssias 5 Fção Crsct Dcrsct 6 Aplicação da Driada a Física 7 Máimos, Míimos Poto d Ilão 8 Aplicaçõs sobr Máimos Míimos 9 Rda, Cosmo Popaça Nacioais Rgra d L Hôpital-Brolli - Taa Média d Variação d ma Fção o Dcliidad da Rta Scat: É a ariação média sorida plos alors da ção tr dois potos qado o alor d passa para, cjo rsltado é obtido pla tagt do âglo q a rta scat orma com o io dos tg = Obsr o gráico: Emplo - Calclar/itrprtar a Taa d Variação Média d cada ção tr os potos idicados:

4 a =, tr b =, tr c = - +, tr 5 Soção a = Como, é ma ção costat, podmos airmar q, para qalqr alor atribído a ariál idpdt, o rsltado alor mérico d srá smpr igal a No osso mplo, tmos q calclar No itralo [,] a ção é costat, isto é, para cada idad acrscida a, a ção ão s altra b = Como, é a ção idtidad, podmos airmar q, a altração q s dá a ariál idpdt, rslta ma ariação d igal proporção m No osso mplo, tmos q calclar No itralo [,] para cada idad acrscida a, a ção crsc m média ma idad c = - + 5

5 No itralo [,5] para cada idad acrscida a, a ção dcrsc m média ma idad - Taa D Variação Istatâa o Dcliidad da Rta Tagt: É o limit da Taa d Variação Média da Fção qado Nota: É rlat obsrar q a taa d ariação média d ma ção é dtrmiada m itralo [, ] a taa d ariação istatâa é calclada m m poto, Obsr o gráico: Aplicaçõs ª Cada ção abaio rprsta a ção csto associada à prodção d q idads d crto prodto Dtrmi o csto da prodção médio m idad d milhar o csto ariál médio a taa d ariação média da ção csto qado q = q = 5 idads: a Cq = q + 5 b Cq = 5 5 q c Cq = 5 q q q

6 6 Solção a Cq = q + 5 a Cmq = C q q 5 q 5 5 q q q q q idad d milhar C 5 C a Cmq = 5 No itralo [,5] para cada idad acrscida a q, a ção csto crsc m média, 6 b Cq = q 5 5 b Cm q C q q 5 5 idad d milhar q q b Cmq = C 5 C = 5,9,6,9 No itralo [,5] para cada idad acrscida a q, a ção csto crsc m média 9, q q 5 q c Cq = c Cmq = milhar q q q q 5 q 5 q q q q q 5 q q ,7, idad d c Cm q, 5 No itralo [,5] para cada idad acrscida a q, a ção csto crsc m média, ª A qação q = -p + 9 rprsta a dmada d m dtrmiado bm, od q rprsta a qatidad dmadada p o prço do bm, cotr: a a rcita total m ção da qatidad dmadada; b a rcita média m ção da qatidad dmadada; c a taa d ariação média da ção rcita para as q primiras idads

7 7 Solção a q = -p + 9 p = -q + 9 Rtq q q q q q p 9 9 Rtq = q q 9 b Rmq = 9 9 q q q q q q Rt c Rmq = q q q q q q q q q q q R q R Rmq = 9 q ª Vriiq s as çõs abaio são crscts a taas crscts o crscts a taas dcrscts: a = + b Solção a = + Para >, calclmos a taa média d ariação da ção qado assm otro alor Como = +, tmos: = + = + + = + Não altrado o alor, riica-s q a ção crsc d acordo com o crscimto do alor d, logo, a ção = + é ma ção crsct a taas crscts b =

8 8 Como = +, tmos: Não altrado o alor, riica-s q a ção dcrsc d acordo com o crscimto do alor d, logo, a ção é ma ção crsct a taas dcrscts Ercícios: ª Calclar/itrprtar a Taa Média d Variação d cada ção tr os potos idicados: a =, tr d = +, tr 5 b =, tr C =, c = -, tr =, tr - g =, tr ª Cada ção abaio rprsta a ção csto associada à prodção d idads d crto prodto Dtrmi o csto da prodção médio o csto ariál médio taa média d ariação da ção csto tr os potos idads: a C = + 6 c C = 5 5 b C = + d C = - DERIVADA DE UMA FUNÇÃO NUM PONTO: - Diição: Sja a ção = rprstada plo gráico

9 9 A driada d, m rlação a, é o limit, qado ist, do qocit da ariação [ ] da ção plo acréscimo corrspodt da ariál, qado td para zro: Assim, a driada d ma ção é o limit, caso ista, q orc o alor da dcliidad da rta tagt ao gráico d = m qalqr poto, q, por sa z, rprsta a taa d ariação dssa ção m poto idicado A driada d ma ção o poto é rprstada plas otaçõs:, d, o d lê-s: driada d m rlação a d d - REGRA GERAL PARA O CÁLCULO DAS DERIVADAS Para driar ma ção atraés da rgra gral, dmos tilizar os sgits passos: º Sbstiti-s por + dtrmia-s o alor da oa ção + º Sbtrai-s o alor da ção do oo alor cotrado, achado-s º Diid-s por º Dtrmia-s o limit do qocit /, qado td para zro q, pla diição, qial a ª driada, logo,

10 = = = d d *Lê-s: driada d m rlação a Emplos - Driar as sgits çõs aplicado a rgra gral diição: a = d b =, m = c = Solção a = º passo: = + = + + = [ + + ] + = º passo: º passo: + = = 6 + º passo:

11 b = º passo: º passo: º passo: º passo: = mi dt ação r i Como tmos m limit idtrmiado, amos latar ssa idtrmiação mltiplicado o limit por q é o ator racioalizat c = - º passo: + = = +

12 º passo: + = + = = º passo: º passo: limit d ma costat é a própria costat - Dada a ção qadrática = : a calcl a sa driada; b Calcl o alor da driada m = itrprt o rsltado Solção a = º passo: + = = º passo: + = = + º passo:

13 º passo: = b = = Est rsltado sigiica q, ss caso, a tdêcia da ção =, o poto dado =, é d crscimto Aplicação - Usado a rgra gral diição, dtrmi as driadas das çõs: = + = - = = = = 8 9 = - = = + - = = -/ = ddsr 9 6 =/ a = 5- INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA DA DERIVADA - Sja = ma ção rprstada plo gráico: Vamos scolhr m poto qalqr P,, atraés dl, traçar ma tagt à cra

14 Dado a ariál idpdt m acréscimo, riicamos q a ção também sor m acréscimo, aparcdo, m sgida, o poto P Atraés dos potos P P tracmos ma scat Prst atção o triâglo rtâglo P ÂP, ormado o gráico Pla rlação métrica o triâglo rtâglo, podmos airmar q: P A catto oposto Tg P A catto adjact Como P A = P A =, tão: Tg * * Tg é o coicit aglar da rta scat ao gráico q rprsta gomtricamt a taa d ariação média Obsr q, qado tdr para zro, o poto P td a s codir com o poto P, o sja, a scat passa sr a tagt à cra o poto P ormado com o io- m âglo, logo, tg

15 5 6- REGRAS DE DERIVAÇÃO Como, driar çõs tilizado o cocito d driada tora-s m procsso logo, oram itrodzidas algmas rgras objtiado ma maior rapidz as solçõs das msmas Etão, a partir d agora, tilizarmos algmas rgras práticas para calclar driadas d çõs ª Driada d ma Fção Costat: a driada d ma ção costat é smpr igal a zro = k = k rprsta ma costat Emplo - Driar as çõs: a = - = b = 5 = c = a + = d p = - p =

16 6 Para tdr o rsltado lo, obsr o gráico da ção = - abaio q, qado a ariál idpdt aprsta ma ariação d para, a ção, ão aprsta modiicação, isto é, =, logo: = = ª Driada da Fção Idtidad: a driada da ção idtidad é igal a m O gráico abaio mostra q, a ariação dada à ariál idpdt rslta m ma ariação d igal alor a ariál dpdt =, logo: = ª Driada d ma Fção Potêcia = Apliqmos a rgra gral das driadas, ista o iício, para chgarmos a ssa órmla: º passo: º passo:

17 7 º passo: º passo: Portato: = = - Emplo: - Driar as çõs: a = d = 5 b q = q 6, m = 8 c = -5 Solção a = = - = b q = q 6 q = 6 6- p = 8 5 c = -5 = -5 - = -5 = -5

18 8 d 5 5 a k a k = = - - o = b a b a 8, 8 8 ª Driada d ma Fção Epocial = a a > L La a a L = log = Emplo Calclar a driada d cada ção: a = c = b = /, m = d = - Solção a = La a = L

19 9 = / L/ = L / b = / a La = / L/ c = L = L = d = - L = - L = - 5ª Driada d ma Fção Logarítmica = Log a a > Log L a La L Emplo Ecotrar a driada d cada ção: a = Log, m = ½ b = Log / c = 7L, m = 7/ Solção a = Log La = L

20 / = L L b = Log / = L / La = L / c = 7L =7 L 7/ = 7 = 7 6ª Driada d ma Soma Algébrica Dmos driar cada trmo da soma, como sg: = + g + h + = + g + h + Emplo Driar as çõs: a = 7 b = 5 + 6, m = - c = Solção a = 7 = b = = = = - c = =

21 7ª Driada do Prodto d Fçõs = = + Emplo Driar a ção =, m = Solção = 6 = = + Sbstitido os alors cotrados m, tmos: = + 6 Coloca-s m idêcia = + Sbstitido o alor d =, tmos: = + = 8 Obs: F = UVZ F = UVZ + UV Z + U VZ 8ª Driada do Qocit d Fçõs = = Emplo Driar a ção =, m = Solção = = = Sbstitido os alors cotrados m, tmos:

22 = = : Sbstitido o alor d =, tmos: = Ercícios - Calcl a driada d cada ção: a = b = - c = a d b = = - Ecotr a driada primira das sgits çõs: a = b p = p c q = -5q d = / =, m = 9 g h, m = - Dtrmi a driada primira d cada ção: a = b = / c = Log d Log ½ - Calcl a driada d cada ção: a = + 5 b = 75 5 c = d = 5 + 6, m = - = 6 + 8, m = - p = 5p - 5- Driar as çõs: p - 5, para p = g p = p 5 p 6 + a = L b = d = Ercícios d Aprdizagm L = p + L c =, m = - Após sss stdos iiciais sobr driadas, amos rsolr algs problmas práticos q olam as msmas - A ção qadrática = rprsta ma parábola com cocaidad oltada para cima a Atraés da diição d driada, calcl o poto = ; b Calcl a dcliidad da rta tagt ao gráico d, m, -6; c Ecotr a qação para a rta tagt ao gráico d m, -6; d Esboc o gráico d da tagt à cra o poto, -6

23 Solção a = ` Para =, tmos: 7 7 b Para calclar a dcliidad coicit aglar da rta tagt, dmos cotrar a ª driada, m sgida, sbstitir o alor da abscissa do poto, -6, od a tagt toca o gráico aglar coicit m Est alor - rprsta a tagt do âglo 5º q a rta tagt orma com o io positio do c A qação da rta tagt é dtrmiada pla órmla m, od m rprsta o coicit aglar da rta tagt, sdo calclado pla driada da ção = 7 + 6, o poto = 6 m

24 d Sja a ção qadrática = 6 + 5, cjo gráico é ma parábola q aprsta cocaidad oltada para cima a Atraés da diição d driada, calcl o poto = ; b Calcl a dcliidad da rta tagt ao gráico d, m, ; c Dtrmi a taa d ariação da ção qado = 5; d Ecotr a qação para a rta tagt ao gráico d m, ; Esboc o gráico d da tagt à cra o poto, A ção Pt = -t + t + t rprsta as prdas m milhars d rais acmladas por ma rd d drogaria m razão d projtos mas scdidas, od t é o tmpo m aos t = corrspod ao iício d Prgta-s: a a q locidad s acmlaam os prjízos o iício d? b a q locidad s acmlaam os prjízos o iício d 6? c costra o gráico d Pt Solção: a Pt = -t + t + P`t = -t + P` = - + P` = -6 + P` = R No iício d, os prjízos acmlaam m R$, b Pt = -t + t + P`7 = -6 +

25 5 P`7 = - R No iício d 6, os prjízos dimiíam m toro d R$, c As projçõs são d q o PIB d m dtrmiado país sja d Nt = t + t + 5 t 5 bilhõs d dólars daqi a t aos Qais srão as taas d ariação do PIB dss país daqi a aos daqi a aos? 7- DERIVADA DE FUNÇÃO COMPOSTA Sja a ção = U, od U é ção d ma úica ariál - Driada da Fção Potêcia Emplo - Driar cada ção abaio: = = - a = 6 5, m = c b d Solção a = Sbstitido o alor d =, tmos: b / /

26 6 o c / / o d o - Driada da Fção Epocial L La a a Emplo - Driar as çõs: a = b = 5 c = m = d = / Solção a = a La a L

27 7 b = 5 a c = a d a o Driada da Fção Logarítmica L L La Log a Emplo - Ecotrar a driada primira d cada ção abaio: a = L - b = Log c = L 5, m = d = L Solção a = L - 6

28 8 = 6 b = Log = Log Log Propridad do prodto = Log Log Log Log Propridad da potêcia Aplicado a driada da ção costat da ção logarítmica, tmos: = L = L c = L 5, m = = 5L Propridad da potêcia Aplicado a driada da ção logarítmica, tmos: = 5 = = d = L L = L Propridad da potêcia = L L Propridad do qocit Aplicado a driada da ção logarítmica, tmos: = = [mmc = --]

29 9 = = = DERIVADA DAS FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS 8 Driada da Fção So: A driada da ção so é a ção cosso a = s = cos ção simpls b = s = cos ção composta : ção d ma úica ariál Dmostração = s Aplicado a diição d driada s s s s s Aplicado a órmla sp sq cos p q s p q, tmos: cos s cos s cos s cos s cos s

30 cos s d cos d d d cos Aplicado a Rgra da Cadia, tmos: d d d d d d d d d d cos = cos Nota: As órmlas sgits também podm sr dmostradas atraés da diição d driada Driada da Fção Cosso: A driada da ção cosso é igal a ção so gatia a = cos = -s b = cos = - cos Driada da Fção Tagt: A driada da ção tagt é igal ao qadrado da ção scat a = tg = sc b = tg = sc Driada da Fção Cotagt: A driada da ção cotagt é igal ao qadrado da ção cosscat acompahado do sial gatio a = cotg = -cossc b = cotg = - cossc

31 5 Driada da Fção Scat: A driada da ção scat é igal ao prodto da ção scat pla ção tagt a = sc = sctag b = sc = sctag 6 Driada da Fção Cosscat: A driada da ção cosscat é igal ao prodto da ção cosscat pla ção cotagt acompahado do sial gatio a = cossc = -cossccotag b = cossc =- cosccotag D poss dssas rgras, amos calclar a driada das sgits çõs: a = s, m / 6 b = cos - c = tag5 d = sc = cossc = cotg Solção a = s s cos cos cos cos 6 b = cos - cos s s c = tag5 tag sc 5 sc = sc sc sc tag

32 sc tag = cossc cos c cos sc cot g = cotg cos sc cot Iicialmt é importat lmbrar q cotg = cotag cotag = cotg = cotag cot ag Aplicado a órmla da potêcia, tmos: =cotg -cossc =-cotg cossc cos c 9- DERIVADAS DAS FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS Driada da Fção Arcso a b arcs arcs Dmostração arcs s driado d d cos irtdo d d cos d d d d cos isolado d d

33 s s d d d d cos cos cos cos Otra maira d dmostrar diição d driada cos cos cos s s s s s s s s s arcs

34 d d cos irtdo d d cos d d d d cos isolado d d d d d d cos cos cos s cos s Driada da Fção Arccosso a b arccos arccos Driada da Fção Arctagt a arcta g b arcta g Driada da Fção Arccotagt a arc cot g b arc cot g 5 Driada da Fção Arcscat a b arc sc arc sc 6 Driada da Fção Arccosscat a b arccos sc arccos sc

35 5 Após os stdos das rgras acima, amos driar as sgits çõs: a arcs b cos ar c arc sc d arctag 5 Solção a arcs 9 arcs b cos ar arccos c arc sc sc arc d 5 5 arctag arctag arctag

36 6 5 5 arctag arctg - DERIVADA DA FUNÇÃO = Sja a ção =, od são çõs d ma msma ariál Para cotrar a driada dssa ção, apliqmos o logaritmo: L L L Driado potêcia da proprida L L L L L L L L L Obsr q para driarmos =, dmos driar como s oss ma ção potêcia = -, m sgida, como s oss ma ção pocial = L, adicioado os rsltados D poss dssa órmla, amos calclar a primira driada d cada ção: a = b = s Solção a = b = s cos s L L

37 7 L L L L L L o s cos s L s s s cos s L s s cot g s L s s cot g L s - APLICAÇÕES - Driar as sgits çõs: = 5 +, m = = =, m = s 8 9 cos 5 L s sc 5 cos sc 6 = tg 7 = cotg+ 8 = Lcos 9 = Ltg = s = 5 = 5, m = = = 5 = = L : L 8 Y 9 = 5 q = q = L 6 L t,5 t 8 P q 6 q 9 t,, L A K L = L K A K L cos 5 = scos

38 8 6 s cos tg cot g 7 s 8 cos 8 s 9 = sl 5 = arcs 5 = arccos- 5 = arctg 5 = arcsl 5 = arcas 55 = + 56 = = cos, m = 6 s 6 = L 6 = = cos 9 66 = tg 67 = cotg 68 = cosscl 69 - s 7 7 = s- 7 = sc 7 = cos 5 7 = cos 5 75 = s-cos, = 76 = L 77 L 78 = L 79 = s 8 = tg 8 s 8 = cotg 8 = cos 8 L = -L 88 = Ls 89 = + 9 = 9 s cos s 9 tg 9 cos s 9 L 95 L 5 96 tg L 99 = s tg =cos tg = tg+ = sa cosa =sas 5 = La 6 = s - 7 = s

39 9 8 t = s +cos t- 9 L s arctg a a arcs a 5 arcs 6 t= t cost 7 = a sb 8 L cos 9p=Lp p L = sc 5 a = cos 9 = s = s - Problmas - Drat os stdo sobr limits, imos q a ção St = t + 5t + rprsta a posição m km d crto tipo d íclo m m dtrmiado istat t Etão, calcl iicialmt, a locidad média do íclo os itralos d tmpo [;,] [;,], m sgida, a locidad istatâa dss íclo qado t = horas A locidad média é calclada plo qocit da ariação do spaço com a ariação do tmpo, como sg: Vm S t S t S t t S t t 5t S 5 Vm Vm t t 5t t 5t t Como, t = ão stá diido o domíio da ção Vm, calclmos a locidad média para t =, t =,

40 Vm t 5t t, 5, Vm,, km / h,, 5, Vm, km, / h Agora, dtrmimos a locidad istatâa do íclo qado t = Nst caso, dmos cotrar a driada primira da ção locidad média o poto t =, o sja, o limit, qado ist, da locidad média qado t s aproima d, da sgit maira: Vm Vm t 6 t 5 5 t t Vm 6 5 Vm km / h km/h é a locidad istatâa do íclo qado t = hs - Spoha q a distâcia m km prcorrida por m atomól ao logo d ma strada t horas após partir do rposo é dada pla ção St = t t 8 Calcl: a a locidad média do atomól os itralos d tmpo [6; 7], [6;6,], [6; 6,] b a locidad istatâa do atomól qado t = 6 - A altitd m pés d m ogt é alcaçada após t sgdos m ôo é dada por St = -t + 96t + 95t + 5 t a Dtrmi a prssão da locidad do ogt m qalqr tmpo t b Calcl a locidad do ogt qado t =,, 5, 65 7 Itrprt os rsltados c Dtrmi a altitd máima alcaçada plo ogt sboc o gráico - A ção dmada d crta marca d rádio é dada por p q 5 q od q é a qatidad orcida p é o prço itário m dólars

41 a Dtrmi dp dq b Qal é a taa d ariação do prço itário qado a qatidad orcida or d idads q =? 5- O alor m milhõs d dólars stimado a da d ma dtrmiada marca d azit d olia t aos após s laçamto o mrcado mdial é 5t S t t a Dtrmi a taa d ariação do alor das das o tmpo t b Com q rapidz os alors das das stão mdado o istat m q o prodto é laçado t =? E três aos após a data d laçamto? 6- Sja Lq = -q + 9q + a ção q dá o lcro, m rais, d ma dtrmiada ábrica a prodção/da d m crto úmro d carro m ção da qatidad d mão-d-obra q tilizada Prgta-s: a Qal a Fção Lcro Margial? b Qal o lcro margial ao cotratar a 6ª mão-d-obra? cqais os itralos d crscimto dcrscimto da ção Lcro? Itrprt o rsltado 7- O rio Mrbira oi polído por m azamto d combstíl proit d m aio Uma irma s protiico a rmor q por cto dss combstíl mostrado q o csto, m milhõs d rais, para azr ssa opração, é dado por C,5 q q q Dtrmi C 8, C 9 C 98 itrprt os rsltados - ELASTICIDADE Elasticidad: Em gral, a lasticidad rlt o gra d ração o ssibilidad d ma ariál qado ocorrm altraçõs m otra ariál, cotris paribs prmacdo as dmais costats

42 - Elasticidad-Prço da Dmada: É a ariação prctal a qatidad dmadada do bm X m rlação a ma ariação prctal m s prço, cotris paribs E pd ar ar iação iação prctal prctal m m Q P Q P, P a, b E pd dq P dp Q m poto * A lasticidad-prço da dmada é gatia m ção da rlação irsa tr prço qatidad dmadada Para itar problma com o sial, a lasticidad é colocada m módlo Emplo: Obsr os dados abaio: P o = Prço iicial = R$, P = Prço ial = R$ 6, Q = Qatidad dmadada ao prço P => Q = Q = P => Q = 9 P Q P Q P P Q Q 9,, o o % % Calclado a Elasticidad-Prço da Dmada E pd, tmos: E PD Q P %,5 o % E PD,5 Sigiica q, dada ma qda d % o prço, a qatidad dmadada amta m,5 z os %, o sja, % A lasticidad pod ariar para dirts potos do itralo dado, tão, para rsolr ss problma bscamos ajdo m limit da sgit maira

43 Calclamos o limit do qocit tr a ariação d Q Q Q a ariação d P P P qado P td para zro Q Q P P = P P Q Q P = P Q P P Q P P dq = E PQ Q dp P P Q é o limit d ma costat, tão o rsltado é a própria P costat P Q P Q P qial a primira driada q rprstamos por dq dp - TIPOS DE DEMANDA - Dmada Elástica: A ariação da qatidad dmadada spra a ariação do prço, o E PD - Dmada Ilástica: A ariação da qatidad dmadada é mor q a ariação do prço, o E PD - Dmada Uitária: A ariação da qatidad dmadada é a msma q a ariação do prço, o E PD Emplos - A ção Q = 8,6P rprsta a qatidad dmadada d crto prodto Calclar/itrprtar o alor da lasticidad da dmada ao íl d prço P = R$,, P = R$ 5, P = R$, P = R$,

44 Calclado dq dp, tmos: Q = 8,6P dq = -,6 dp dq P E pd dp Q = -,6 P,6 =, 5 8,6 P 8,6 Ess rsltado sigiica q, amtado d % o prço itário do prodto trmos m acréscimo d,5% a qatidad dmadada, cosqütmt, m amto da rcita P = R$ 5, dq P E pd dp Q = -,6 P 8,6 P,6 5 =, 8,6 5 Um amto d % o prço itário do prodto irá acarrtar m acréscimo d % a qatidad dmadada, cosqütmt, a rcita ão aria P = R$, dq P E pd dp Q = - = - 6, 8,6 P,6 P,6 8,6 Um amto d % o prço itário do prodto irá acarrtar m dcréscimo d 6% a qatidad dmadada, cosqütmt, ma dimiição da rcita - A ção Q = P md a procra d dtrmiado bm Calclar itrprtar o alor da lasticidad da procra ao íl d prço P=$, - A ção Q = -P rprsta a ção dmada d m dtrmiado prodto Calclar/itrprtar o alor da lasticidad da dmada ao íl d prço P = R$, - A dmada smaal d ma dtrmiada Marca d som é stimada pla qação pq= -,q + q 5, od p rprsta o prço itário por atacado m rais q a qatidad dmadada Sabdo q a ção csto Cq = -6 q - - q + q + 7 rais

45 5 a Dtrmi a ção rcita R a ção lcro L b Dtrmi a ção csto margial, a ção rcita margial a ção lcro margial c Dtrmi a ção csto médio margial d Calcl C, R P, itrprt ss rsltados Vriiq s a dmada é lástica, itária o ilástica qado P = qado P = - APLICACAO DA DERIVADA NA GEOMETRIA ANALÍTICA Dtrmiação das rtas tagt ormal a ma cra Para dtrmiar as qaçõs das rtas Tagt Normal a ma cra atraés da driada, dmos, iicialmt, obsrar o gráico abaio: - A rta prpdiclar à rta tagt à cra é domiada d rta ormaln - O coicit aglar m t d ma rta tagt a ma cra m m poto dado, é dtrmiado atraés da primira driada m t = ` - O prodto dos coicits aglars d das rtas prpdiclars al - - Sdo m t o coicit aglar da rta tagt, tão, o coicit aglar da rta ormal srá: m t m = - m = -/m t m = -/

46 6 Já calclados os coicits aglars das rtas Tagt Normal a ma cra m m poto P,, podmos agora scrr sas rspctias qaçõs: ` ` rta rta ta ormal gt Agora, amos obsrar os mplos abaio: - Ecotr a qação da rta tagt à cra = + o poto = Solção: Cálclo do poto P Cálclo do m t P, ` ` ` m t Cálclo da qacão ` da Tg - Ecotr a qação da rta ormal à cra = tg o poto = / Solção:

47 7 Cálclo do poto P Cálclo do m t tg tg / ` sc tg / ` / sc / P /, ` / m m t m t Cálclo da qacão da rta Normal m / / rta ormal - DERIVADAS SUCESSIVAS Imagimos q ma ção = admita a primira driada = ; a sgda driada = ; ; a -ésima driada = A ssas driadas domiamos d driadas scssias q srão idicadas plas sgits otaçõs: Driada sgda " ; " ; ; Driada trcira: ;, ; d d d d d d d d Driada d ordm d d ; ; ; d d Para iarmos mlhor ss procdimto amos rsolr os sgits mplos: º Calclar a ª driada d cada ção abaio: a = + 5, m = b = + Solção

48 8 a = + 5 b = + = = = 8 = 6 + = 8 = = 8 = + = Ecotrar a ª driada d cada ção: a = b = s, m = /8 Solção a = b = s = 6 + = cos = =cos = = -s = = -8cos = 6s E rlat obsrar q a driada primira d ma ção m dtrmiado poto md a taa d ariação dssa ção aql poto, a sgda driada md a taa d ariação da primira driada da ção A trcira driada da ção md a taa d ariação da sgda driada, assim por diat 5- FUNÇÃO CRESCENTE E DECRESCENTE Sja = ma ção rprstada plo gráico:

49 9 Obsrado o gráico, riicamos q > a para qalqr maior q a a ção é crsct; da msma orma, < a, a ção é dcrsct Porém, podmos cotrar o itralo od a ção crsc o itralo od la dcrsc bastado para isso tilizar o Torma d Frmat El mprga a a driada para cotrar sss itralos da sgit maira: A ção = é ma ção crsct, qado a a driada é positia [ >] A ção = é ma ção dcrsct, qado a a driada é gatia[ <] *A ção = é diida o itralo abrto ]a, b[ Após ss stdo sobr o Torma d Frmat amos, atraés d mplos, dtrmiar os itralos d crscimto dcrscimto d ma ção Ecotrar os itralos d crscimto dcrscimto das çõs abaio: = Para dtrmiar os itralos solicitados, amos prcorrr os sgits camihos: 9 = a Dtrmia-s a ª driada = = 6 b Calcla-s a raiz da ª driada, alado-a = 6 = =

50 5 c Estda-s o sial da ção driada cotrada,,[, ],, o o d A ção crsc o itralo ], + dcrsc o itralo -, [ Obsr graicamt " b a,,, o s s o s d A ção é crsct o itralo -,[ ],+ dcrsct o itralo ],[ Obsr o gráico

51 5 Sja Lq= -q + 8q + a ção q dá o lcro m rais d ma dtrmiada idústria a prodção/da d crto úmro d carro m ção da qatidad d mão-d-obra q tilizada Ecotr os itralos d crscimto dcrscimto dssa ção, m sgida, sboc o gráico d Lq Solção a Calcla-s a ª driada Lq= -q + 8q + L q = -q + 8 Fção Lcro Margial b Calclam-s as raízs da ª driada -q + 8 = - q 8 = q 6 q " 6 ão sr c Estda-s o sial d L q L q, s q 6 L q, s q 6 o q 6 L q, s q 6 o q 6 d Como, os itralos dcrscimto dcrscimto dssa ção dpdm da qatidad d mão-d-obra, podmos airmar q a Fção Lcro crsc o itralo ],6[ dcrsc o itralo ]6, + Obsr o gráico abaio

52 5 6- APLICAÇÃO DA DERIVADA NA FÍSICA CINEMÁTICA Vimos o iício dos stdos sobr driadas q, para calclar a locidad istatâa t d m mól, m m dtrmiado istat t, dmos cotrar a driada primira da ção horária s t o istat t, para cotrar a aclração, tiliza-s a ª driada driada scssia da ção horária o istat dado o a ª driada da ção locidad Para tdr mlhor a plicação acima, amos rsolr o sgit problma: - Um poto mól, m moimto, obdc a sgit ção: st = t t m horas s m qilômtros No istat t = horas, qal a locidad do mól? Qal a aclração do mól? Solção st = t Calcla-s a ª driada s t = t Sbstiti-s o alor d t a ª driada s = s = 6 Ess rsltado sigiica q, qado o tmpo or igal a horas, a locidad do mól chga a 6km/h = s = 6km/h Agora, para calclar a aclração m t = horas, d-s calclar a ª driada d st o a ª driada d t, da sgit maira: s t = t s t = s = Ess rsltado sigiica q, qado o tmpo or igal a horas, a aclração do mól chga a km/h s = 6km/h

53 5 7- MÁXIMOS, MÍNIMOS E PONTO DE INFLEXÃO - Sjam as çõs g, rprstadas plos ss rspctios gráicos, diidas m cojto D, od os potos a, b, c, d, prtcm a D g a b c d Vriiqmos q a ção assm alors máimos os potos a c, pois, sss potos, a ção passa d crsct [ > ] para dcrsct [ < ]; já os potos b d, a ção assm alors míimos, pois a ção, sss potos, passa d dcrsct para crsct, logo, todos os trmos d ma ção são máimos o míimos dssa ção Agora, prst atção o poto do gráico d g acima Nss poto, a cra ão aprsta cocaidad m para cima míimo m para baio máimo, o sja, é o poto od acotc a mdaça d cocaidad da cra A st poto domiamos Poto d Ilão Qado o gráico é limitado p h q o [p, q] s k t o [s, t], as çõs h k aprstam os potos p s, como potos d míimos absoltos q s como máimos absoltos Os otros potos são domiados máimos/míimos rlatios o, simplsmt, máimos/míimos Para tdr o sigiicado d m poto d ilão, obsr o sgit problma: - A igra abaio mostra o total d das V, m rais, d m dtrmiado prodto prodzido pla idústria ABA cotra a qatia d dihiro q q a idústria gasta aciado s prodto Obsr q o gráico mda d cocaidad o poto P Est poto é domiado d Poto d Ilão

54 5 Not q o iício as das ocorrm ltamt, porém, à mdida q amta o istimto iaciro da idústria m propagada, as das passam a crscr rapidamt Porém, chga-s a m poto P m q o gasto adicioal m propagada gra as das, ma taa d crscimto mor Est poto é domiado Poto d Ilão - Cálclo dos potos d máimo, míimo d ilão Para cotrar os potos d máimo, míimo d ilão, amos adotar os sgits passos: º Dtrmia-s a a driada [ ] º Calclam-s as raízs da a driada [ = ] º Dtrmia-s a a driada [ ] º Sbstitam-s as raízs d m, s o rsltado or positio [ > ], a ção aprsta m míimo para = ; s o rsltado or gatio [ < ], a ção aprsta m máimo para = ;, s o rsltado or lo [ = ], a ção aprsta m poto d ilão para =, caso a a driada sja dirt d zro m = [ ] Porém, s a a driada or igal a zro, o procsso s rpt, o sja, dtrmia-s a ª driada sbstitams as raízs da ª driada a ª, s o rsltado or positio, a ção aprsta m míimo para = ; s o rsltado or gatio, a ção aprsta poto d máimo para = ;, s o rsltado or lo, a ção aprsta m poto d ilão para =, caso a 5ª driada o poto = assmir alor dirt d zro, assim por diat

55 55 Em rsmo, tmos: " " " é míimo é máimo é poto d i lão s Após ssa plicação m rlação ao cálclo d máimo, míimo poto d ilão, amos riicar s istm sss potos m cada ção abaio: a 5 6 b 8 c 5 d = L Solção a 5 6 º Dtrmia-s a a driada 8 5 º Calclam-s as raízs da a driada = " º Dtrmia-s a a driada = 8 º Sbstitam-s as raízs d m 5 = = Sdo a ª driada o poto = 5 positia, podmos airmar q = 5 rprsta m míimo = 8 = -

56 56 Sdo a ª driada o poto = gatia, podmos airmar q = 5 rprsta m máimo Para q ista poto d ilão dmos dscobrir o úmro q ala a ª driada igalado-a a zro = 8 = = Como, o úmro ala a ª driada, l srá poto d ilão caso a ª driada sja dirt d zro = 8 = Sdo dirt s zro, podmos airmar q = rprsta m poto d ilão Obsr graicamt os potos cotrados b 8 º = - 8 º = 8 = = º = - 8 = Como, a ª driada já d m rsltado positio, ão há cssidad do so do º passo, tão, podmos airmar q = é m míimo Obsr o gráico

57 57 c 5 ª = 5 ª = 5 = = ª = 5 = ª = = Pod sr poto d ilão Para acotcr ss ato, a ª driada tm q sr dirt d zro, logo: = = Not q a ª driada d dirt d zro, tão, para =, tmos m poto d ilão Obsr o gráico d º = º = 6 º = 6 = = º = 6 = 7 Sbstitido =, tmos:

58 58 = 7 = Por m qato ão é poto d ilão Vamos calclar a ª driada = 7 = 7 Como, a ª driada d m úmro positio, podmos airmar q para = tmos m míimo Obsr o gráico = L º = / º = Not q ão ist alor d q al a ª driada, logo, a ção = L ão aprsta máimo, míimo poto d ilão Obsr o gráico Emplo Vriiq s ist máimo, míimo poto d ilão m cada ção: = = = -5 = / 5 = 6 = = + 8 = = +

59 59 = - + = -s = = = 5 = /L 6 = s + cos 7 = 8 = L 9 = 5 = = L = L = = s 5 = 6 = 7 = 8 8 = sc s 9 = cos / = - = = APLICAÇÕES SOBRE MÁXIMOS E MÍNIMOS Dtrmi as dimsõs d m rtâglo q tm o mor prímtro q aprsta 8cm d ára Ára Prímtro A = ab P = a + b b a - A ção Ct = q + q + 5 rprsta o csto total d ma idústria associado à prodção d m crto tipo d tlo sm-io Ct = R$ q = idads prodzidas a Dtrmi o csto margial b Ecotr o csto médio c Dtrmiar o alor d q rsposál plo mor csto médio d Vriicar s a rsposta do itm c tora o csto médio igal ao csto margial a driada

60 6 q - As çõs Ct q 5 q 6 p rprstam, rspctiamt, ção csto associada a prodção d m dtrmiado prodto ção dmada m sistma d moopólio Dtrmi a prodção q maimiza a rcita líqida - Um cojto rsidcial é composto por casas poplars Sdo Lq = -q + 76q 5 a ção q rprsta o lcro msal, m rais, obtido plo algl d q apartamtos a Admitido q 6 casas staam algadas, dtrmi o lcro ral da 6- ésima idad b Calcl o lcro margial qado q = 6 c Dtrmi o lcro médio para q = d Calclo o lcro médio margial para q = Ecotr a qatidad q q maimiza o lcro - A grêcia da compahia A plaja laçar o mrcado m dtrmiado aparlho d som A diisão d marktig dtrmio q a dmada dsts aparlhos é d p = 5q < q 8 a Ecotr a ção rcita b Dtrmi/itrprt a rcita margial para q =, 5 a Ecotr a qatidad q maimiza a rcita 5- Um ídic d prços ao cosmidor IPC é dscrito pla ção It = -,t + t + t 9 od t = corrspod ao ao d 99 Ecotr o poto d ilão da ção I discta o s sigiicado Nota: A ª driada d I md a taa d ariação da taa d ilação 6- Uma idústria cosg pla prodção/da d m dtrmiado aparlho d som m lcro dado pla ção Lq = -,q + q q a Qatas idads dss aparlho a idústria d prodzir para maimizar ss lcros?

61 6 b Epliq o rsltado c Costra o gráico 7- A ção Ct, q,8 q q 5 q, rprsta o csto total, m rais, da idústria ABA a abricação d ma qatidad q d calcladoras Ecotr o íl d prodção/dia para q a idústria alcac m csto médio míimo 8- A altitd m mtros d m ogt após t sgdos d ôo é dada por st = -t + 96t + 95t + 5 t a Dtrmi a altitd máima alcaçada plo ogt a Dtrmi a locidad máima alcaçada plo ogt 9- A rsposta da procra d m prodto ao íl d prço oi aotada, rsltado a tabla: p q a Ajstar q = p por ma qação do tipo = A + B dtrmi a rcita máima b Ajstar q = p por ma qação do tipo = máima B A dtrmi a rcita - Uma mprsa prodz m bm com csto total dscrito pla qação: Ct = q + q +6 a Dtrmi a qação do csto médio do csto margial b Calcl o csto médio o margial qado a prodção alcaçar idads dss bm a Calcl o poto d míimo do csto médio b Vriicar q o poto d míimo do csto médio, o csto médio igala o csto margial - A ção dmada d m prodto é q =, p a Rt m ção da qatidad Dtrmi:

62 6 a Rt máimo - Nm modlo d moopólio a crto prazo a ção csto total aprsta csto io, porém, a logo prazo o csto io é lo, isto é Ct = C Em ção disso, m cada m dos casos sgits, Ct rprsta o csto total d prodção d m moopolista P o prço do s prodto - Ct q q 7 q 5 P q Ct q q 8 q P 5 q Ct q,75 q 5 q P 5 6 q Ct q q q P 5 q Dtrmi: a A qatidad a sr prodzida q maimiza o lcro total do moopolista b O prço d da c O alor da rcita d O alor do csto total O alor do Lcro - O lcro total, m rais, d ma idústria pla abricação/da d q qatidads d crto prodto é dado por Lq = -,q + q q Qatas idads dss prodto a idústria d prodzir para maimizar s lcro? Esboc o gráico - A cra d csto total d m artigo é Cq = 5q 8q + q, od Cq rprsta o csto total, m rais, q rprsta a qatidad Dtrmi: a A qatidad m q o csto médio é míimo b A qatidad m q o csto médio é míimo, spodo q as codiçõs d mrcado idiqm q dm sr prodzidas tr idads q c O csto margial qado a qatidad alcaçar 8 idads

63 6 9- RENDA, CONSUMO E POUPANÇA NACIONAIS Domia-s Fção Cosmo a rlação tr a rda acioal total dispoíl o cosmo acioal total Toricamt, ma ção cosmo, admit-s q à mdida q a rda amta/dimii, o cosmo amta/dimii, com mos itsidad q a rda - Fção Cosmo: c = r, od c é o cosmo acioal total r a rda acioal total Pod-s cosidrar a rda como ma ção do cosmo: r = c - Propsão margial a cosmir/taa d ariação o cosmo qado a rda dc dispoíl aria: r dr - A rda acioal total r qial à soma do cosmo c mais popaça s: r = c + s - Popaça acioal: s = r c - Propsão margial a popar: ds dc dr dr - Mltiplicador k: É a razão tr o último acréscimo a rda o acréscimo o istimto q o origio stá rlacioado à propsão margial a cosmir k dc dr ds dr dc Obs: S k, isto é, s hma rda acioal é gasta, o dr acréscimo total a rda é igal ao dispêdio iicial; s dc, k ; isto é, dr s toda a rda adicioal é gasta, o acréscimo total a rda tora-s iiitamt grad Emplos: - A ção c,8 r, 5 r rprsta o cosmo total r a rda total dispoíl Dtrmi: a A qatia popada

64 6 b A propsão margial a cosmir c A propsão margial a popar d Costra os gráicos das çõs cosmo popaça o msmo plao cartsiao Costra os gráicos das çõs propsão margial a cosmir a popar o msmo plao cartsiao - A ção cosmo da coomia amricaa d 99 a 9 é igal a c r,7 r 95,5 od cr é a dotação pssoal para o cosmo r a rda pssoal, ambas mdidas m bilhõs d dólars Rspoda as prgtas do itm atrior - REGRA DE L HÔPITAL-BERNOULLI Qado m limit do tipo g aprsta-s a orma t idtrmiada o, dmos aplicar a driada tato o mrador, como o domiador g idpdtmt m do otro para latarmos ssa idtrmiação, s prsistir a idtrmiação o dmos calclar a ª driada do mrador do domiador, assim por diat caso prsista a idtrmiação citada A ssa rgra domiamos Rgra d L Hôpital-Brolli, g g " g " g t t t t Agora, stado d poss dssa rgra, amos rsolr os sgits limits: a 6 6 b

65 65 c / L d Solção a 6 6 = 6 6 idtrmiação Aplicado L Hôpital-Brolli, tmos: 6 6 = b = idtrmiação Aplicado L Hôpital-Brolli, tmos: = c / L = / L L idtrmiação Aplicado L Hôpital-Brolli, tmos: / L = = = d = idtrmiação

66 66 Aplicado L Hôpital-Brolli, tmos: = L É rlat otar q, drat ossos stdos sobr its, drotamos com tipos d limits q s aprstam as ormas idtrmiadas, -,, o Para rsolr os msmos pla rgra d L Hôpital-Brolli, dmos tilizar algs métodos para q ssas ormas idtrmiadas trasormm-s m idtrmiação do tipo o - Forma idtrmiada Dados os limits t t g Calclmos t g Solção t g = t t ação r i g mi dt Para rsolrmos ss limit, dmos traormá-lo m t o g t g da sgit maira: t g = t o g = t g t o

67 67 t g = t g = t t g Obsramos q, ita a trasormação, podmos aplicar a rgra d L Hôpital-Brolli Agora, d poss dss método, rsola L Solção mi dt ação r i L L L L Aplicado L Hôpital-Brolli, tmos: L L driado

68 68 L L L L L L L - Forma idtrmiada - Dados os limits t t g Calclmos t g Solção t g t t ação r i g mi dt Para rsolr ss limit, dmos primiramt, caso haja cssidad, sbstitir por g por g m sgida, rszir ao msmo domiador t g g g g g g = Notmos q, sdo, tão:

69 69 O msmo ocorr com g g Aplicado ss método, amos rsolr o limit atraés da rgra d L Hôpital-Brolli Solção mi dt ação r i Rdzido ao msmo domiador, m sgida, rsoldo o limit, tmos: mi dt ação r i Aplicado a rgra d L Hôpital-Brolli, tmos: - Formas idtrmiadas,, A ssas ormas idtrmiadas, q proém d ma ção do tipo = g, dmos aplicar o logaritmo para podrmos trasormar m algma orma idtrmiada ista atriormt Para iarmos mlhor ss procdimto, amos rsolr o limit L mi dt ação r i L L Aplicado logaritmo Tmos:

70 7 = L L = L prop L L L : t t L L l L L propridad: La = La É rlat lmbrar q L = Log Portato: Log = = = S = SÍNTESE L, tão, L = Nst tópico, ocê aprd a diir driada; stdo a itrprtação gométrica da driada; calclo driadas d çõs algébricas; aplico a Rgra d L Hopital-Brolli m limits idtrmiados, por último, istri-s a maira d calclar potos d máimos, d míimos poto d ilão Ess aprdizado q ocê absor sobr driadas, tm como objtio mostrar os camihos para a rsolção d problmas práticos q iclados a árias áras, como Ecoomia cálclo d Fção Csto Margial, Fção Rcita Margial tc, à Física, ao crscimto dcrscimto d ma ção tc Portato, ocê stá prparado para iiciar os stdos d Cálclo Dircial Itgral REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS: BARANENKOV, G E DEMITOVITH, B Problmas Ercícios d Aális Matmática Mosco: Mir, 978 GRANVILLE, W A Elmtos d Cálclo Dircial Itgral Rio d Jairo: Citíica, 95 GUIDORIZZI, Hamilto Liz Um crso d cálclo V Rio d Jairo: LTC, 8 IEZZI, Glso ET AL Fdamto da matmática lmtar São Palo: Atal, 99, LEITHOLD, Loi O Cálclo com Gomtria Aalítica São Palo: Harbra,

71 7