Álgebra Linear e Geometria Analítica. Vectores no plano, no espaço e em IR n
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- Oswaldo Eugénio Affonso
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1 Álgbra Linar Gomtria Analítica Vctors no plano, no spaço m IR n
2
3
4 ( +, + ) (, ) (, )
5
6
7 (k,k ) k (, )
8 Prodto intrno (, ); (, ). +
9 Prodto intrno norma (, ); (, ). + +.
10 Prodto intrno m IR n (,,, 4..., n ); (,,, 4..., n ); n n n. i i i
11 Propridads do prodto intrno...( + w). +. w α(. ) (α).. (α)
12 Prodto intrno norma m IR n (,,, 4..., n ); n L
13 EXEMPLOS (, 6, 0, -, 0, ) (-, 0,,, 0, -). (-) (-) (-)
14 EXEMPLOS (, 6, 0, -, 0, ) (-, 0,,, 0, -). (-) (-) (-) ( )
15 EXEMPLOS (, 6, 0, -, 0, ) (-, 0,,, 0, -). (-) (-) (-) ( )
16 Propridads da norma 0 > α α + + Dsigaldad trianglar. + Dsigaldad Cachy-Schwartz
17 A B
18 A B A A+B Dsigaldad trianglar B
19 B A+B B A A
20 B A+B B A S os ctors são prpndiclars, plo torma d Pitágoras: A
21 B A+B B A S os ctors são prpndiclars, plo torma d Pitágoras: A A + B A + B
22 A + B ( A + B)(. A + B) A. A + A. B + B. A + B. B A. A + B. B + ( A. B ) A + B + ( A. B)
23 Ortogonalidad: Dfinição: Dois ctors são ortogonais s o s prodto intrno for nlo
24 Ortogonalidad: Dfinição: Dois ctors são ortogonais s o s prodto intrno for nlo Exmplo: (,,, 4) ; (-4, -,, )
25 A B
26 A tb B
27 A tb B tb é a projcção do ctor A sobr B
28 C A tb B
29 C A tb + C tb B
30 C A tb + C tb B A. B (tb + C). B t B. B + C. B t B.B
31 C A tb + C tb B A. B (tb + C). B t B. B + C. B t B.B A. B t B. B A. B B
32 C A tb + C θ tb B
33 C A tb + C θ tb B cosθ tb A t B A
34 C A tb + C θ tb tb t B A. B cos θ A A A B B
35 Dfinição d projcção d m ctor sobr otro: Sjam ctors d IR n A projcção d sobr é o ctor αsndo α...
36 Dfinição d ânglo d dois ctors: Sjam ctors não nlos d IR n O ânglo ntr os ctors é θtal q cos θ.
37 Dfinição d ânglo d dois ctors: Sjam ctors não nlos d IR n O ânglo ntr os ctors é θtal q cos θ. θ arccos.
38 Limits do alor d cosθ cos θ....
39 Exmplo: (,,,0, ) (,,, 6,0). 4 9
40 Exmplo: (,,,0, ) (,,, 6,0). 4 9 cosθ
41 Exmplo: (,,,0, ) (,,, 6,0). 4 9 cosθ θ π
42 Prodto xtrno Só s dfin prodto xtrno m IR (,, ) (, ),, sn θ (, )
43 Prodto xtrno Só s dfin prodto xtrno m R ( ) ( ) ( ),,,,,, ( ),, ( ) ( ) ( ) 0,0, 0,,0,0,0
44 Rgra prática: ( ) ( ) ( ) "dt" 0,0, 0,,0,0,0
45 Rgra prática: (,0,0 ) ( 0,,0 ) ( 0,0, ) (,, ) ( 4,5,6) "dt" 4 5 6
46 Rgra prática: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) "dt" 4,5,6,, 0,0, 0,,0,0,0 5 4 dt 6 4 dt 6 5 dt "dt" +
47 Rgra prática: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) "dt" 4,5,6,, 0,0, 0,,0,0,0 ( ) ( ) ( ) 0,0, 0,,0 6) (,0,0 5 4 dt 6 4 dt 6 5 dt
48 Rgra prática: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) "dt" 4,5,6,, 0,0, 0,,0,0,0 ( ) ( ) ( ) ( ),6, 0,0, 0,,0 6) (,0,0 5 4 dt 6 4 dt 6 5 dt "dt" +
49 Propridads do prodto xtrno: -( ) ( + w) + w α( ) (α).( ) 0.( ) 0 (. ) 0 linarmnt dpndnts
50 Propridads do prodto xtrno: O prodto xtrno não é associatio! Exmplo: ( )
51 Propridads do prodto xtrno: O prodto xtrno não é associatio! Exmplo: ( ) ( ) ( ) 0 0
52 Propridads do prodto xtrno: linarmnt indpndnts {,, } linarmnt indpndnt Qalqr ctor ortogonal a a é múltiplo d
53 Propridads do prodto xtrno: linarmnt indpndnts {,, } formam bas d IR
54 Propridads do prodto xtrno: (. )
55 Propridads do prodto xtrno: (. ). cosθ
56 Propridads do prodto xtrno: (. ). cosθ (. ) cos θ
57 Propridads do prodto xtrno: (. ). cosθ (. ) cos θ cos θ
58 Propridads do prodto xtrno: (. ). cosθ (. ) cos θ cos θ ( cos θ)
59 Propridads do prodto xtrno: (. ). cosθ (. ) cos θ cos θ ( cos θ) sn θ
60 A A snθ θ B
61 A A snθ θ B Ára do parallogramo: : A B A B snθ
62 Prodto misto O prodto misto só s dfin m IR,, w IR O prodto misto d, w é:.( w)
63 Rgra prática para calclar o prodto misto,, w IR dt ).( w dt ).( w w w w
64 Propridads do prodto misto,, w IR. ( w) 0 {,, w} linarmnt dpndnt.( w) ( ). w. ( w). (w ). ( w) -. (w ) -. ( w)
65 Intrprtação gométrica: ( ). w dá o olm do parallpípdo dtrminado por, w.
66 Intrprtação gométrica: ( ). w dá o olm do parallpípdo dtrminado por, w. S dfinm a bas, é a ára da bas
67 Intrprtação gométrica: ( ). w dá o olm do parallpípdo dtrminado por, w. S dfinm a bas, é a ára da bas w cosϕ dá a altra, sndo ϕo ânglo ntr w
68 Intrprtação gométrica: ( ). w dá o olm do parallpípdo dtrminado por, w. S dfinm a bas, é a ára da bas w cosϕ dá a altra, sndo ϕo ânglo ntr w Volm w cosϕ ( ). w
69 w
70 w
71 w
72 altra w
73 Altra w cosϕ w ϕ
74 Altra w cosϕ w ϕ Ára da bas
75 Bass ortonormadas Um conjnto d ctors diz-s ortogonal s os ctors form ortogonaisdoisadois. Um conjnto d ctors diz-s ortonormado s for ortogonal todos os ctors tirm norma nitária
76 Bass ortonormadas Um ctor q tir norma igal a mdiz-snitário. Dadomqalqrctornãonlo, é possíl constrir m ctor nitárioapartirdfazndo:
77 Como obtr ma bas ortogonal? Sja {,,..., n } ma bas d m spaço ctorial d dimnsão n. Obtém-s a partir daqi ma bas ortogonal {,,..., n } aplicando o chamado procsso d ortogonalização d Gram-Schmidt q consist m:
78 Ortogonalização d Gram-Schmidt
79 Ortogonalização d Gram-Schmidt.
80 Ortogonalização d Gram-Schmidt.....
81 Ortogonalização d Gram-Schmidt. j n j j j n n n... M
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