Álgebra Geométrica do Espaço: Introdução

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1 Prof Carlos R Paiva Dpartamnto d Engnharia Elctrotécnica d Computadors Instituto Suprior Técnico Maio d 008

2 Álgra Gométrica do Espaço: Introdução At first sight it may sm asurd to add two dirctd numrs with diffrnt grads That may hav dlayd Grassmann from considring it For cnturis th notion that you can only add lik things has n rlntlssly imprssd on th mind of vry schooloy It is a kind of mathmatical taoo its ral justification unknown or forgottn It is supposdly ovious that you cannot add appls and orangs or ft and squar ft On th contrary, it is only ovious that addition of appls and orangs is not usually a practical thing to do unlss you ar making a salad David Hstns Vctors, produto gométrico ivctors Ests apontamntos dstinam-s a fazr uma rv introdução à álgra gométrica do spaço ordinário tridimnsional radicada no spaço linar sta álgra gométrica Comcmos por considrar um vctor Dsignarmos por C r O su comprimnto é dado plo rspctivo módulo r Tm-s, usando a métrica uclidiana associada ao produto intrno haitual, métrica uclidiana d r = r r Nw Foundations for Classical Mchanics, Kluwr Acadmic Pulishrs, Dordrcht, nd d, p 0, 999

3 Carlos R Paiva O nosso ponto d partida é o sguint: prtnd-s introduzir um novo produto ntr vctors a qu chamarmos produto gométrico qu prmita rcuprar r Como notação a adoptar far-s-à símolo para dsignar st novo produto rr, r = rr, i, não s utiliza qualqur spéci d Axioma ásico: Considra-s, por dfinição, produto gométrico r = rr = r r = r Não impondo, à partida, qualqur rstrição algérica no qu rspita à comutatividad do novo produto, façamos r = a+ com a, Virá ntão r = rr = a+ a+ = a + + a+ a r = r r = a+ a+ = a + + a plo qu, atndndo a qu a = a =, s infr rlação ntr o produto a = ( a+ a) = α intrno o produto gométrico rspitando-s, dst modo, a simtria inrnt ao produto intrno, i, a = a Exrcício: Mostr qu, s α acx,,,, ntão a solução da quação α x+ ( x a) = c é o vctor ca x= c α α + a

4 Álgra Gométrica do Espaço: Introdução Exmplo: Vjamos, dsd já, uma aplicação gométrica dst rsultado Considrmos o triângulo da Fig como sndo a xprssão da soma vctorial a+ + c = 0 Então a = a, =, c= c β a c γ α li dos co-snos c= a+ c a a = + + = + cos c a a γ Figura Triângulo corrspondnt à soma vctorial a+ + c = 0 Um caso particular dsta li da trigonomtria plana corrspond ao torma d Pitágoras: γ = π c = a + Exmplo: Mostrmos qu o ângulo inscrito numa smi-circunfrência é um ângulo rcto (Fig ) Not-s qu asta, para ss fito, mostrar qu o vctor a é ortogonal ao vctor c, i, qu 0 a c = c a ( a) ( c) = ( a) ( + a) = a = 0 Figura O ângulo inscrito numa smi-circunfrência é rcto É portanto possívl, dsd já, dfinir o invrso do vctor r qu s dsignará por Com fito, sndo ˆr o corrspondnt vctor unitário, tm-s r

5 4 Carlos R Paiva invrso d um vctor r rˆ = r r rˆ r rˆ = r = = r Tntmos, agora, avriguar qual a vrdadira naturza do rsultado do produto gométrico ntr dois vctors a, produto gométrico u = a = ( a+ a) + ( a a) α B O primiro trmo α = a é conhcido: trata-s d um scalar prtncnt ao corpo ond o spaço linar stá dfinido O sgundo trmo, rsultado d uma nova opração dsignada produto xtrior (não confundir com produto xtrno) produto xtrior B= a = a a é, por nquanto, d naturza dsconhcida Adopta-s a notação B= a para dsignar o produto xtrior d dois vctors No ntanto é óvio qu anti-simtria a= ( a a) = a = B dond dcorr imdiatamnt qu a a= a a a a =0 Dfinamos, agora, o rvrso do ojcto (por nquanto não idntificado) u = a qu dsignarmos por u = a (trata-s do produto gométrico dos msmos dois vctors mas m ordm invrsa) Tm-s, portanto, sucssivamnt

6 Álgra Gométrica do Espaço: Introdução 5 u = a= a + a a = a a u = a= a a a = a a = = B a a a a a a ( a ) = a a+ a a aa a B = a = a a Mas, m, xist uma intrprtação gométrica para o produto intrno m trmos do ângulo θ = ( a, ) a cos( θ ) ( ) ( θ ) significado d a = B m B = a a = a sin 0 Como, quando θ 0, s tm B < 0, infr-s qu o ojcto gométrico B não pod sr nm um scalar nm um vctor É um ojcto d tipo novo qu dsignarmos por ivctor qu rsulta do produto xtrior d dois vctors Conclusão important: Em o quadrado d um ivctor é smpr um númro ngativo O ivctor nulo, para θ = 0, é um caso trivial cujo quadrado é tamém nulo produto gométrico a = a + a multivctor notação produto intrno a = α scalar produto xtrior a = B ivctor ára d um parallogramo B = β = a sin ( θ ) Assim β rprsnta a ára do parallogramo da figura anxa Podmos portanto concluir qu o ivctor B codifica um plano orintado cuja ára é dada por β

7 6 Carlos R Paiva a θ B= a sin ( θ ) a β = B = a = a cos( θ ) sin ( θ ) Figura O ivctor B= a rprsnta uma ára orintada Nsta figura mostra-s como B corrspond à ára do parallogramo cuja diagonal é a+ Tm-s a+ = a + + a Nota: Apsar d sr tr considrado qu o ivctor B corrspond ao parallogramo orintado da figura, a forma xacta é irrlvant: apnas intrssa o plano m causa, a orintação a ára Um círculo orintado com a msma ára pod, tamém, rprsntar o msmo ivctor O parallogramo orintado é, contudo, mais sugstivo a B= a B= a a Figura O ivctor B= a é anti-simétrico: a= a Na figura da squrda rprsnta-s B, na da dirita, o ivctor B Srá B = 0 quando a

8 Álgra Gométrica do Espaço: Introdução 7 Assim como foi possívl dfinir o invrso d um vctor, é agora possívl introduzir o invrso d um ivctor B qu s dsignará por B ivctor unitário, tm-s Sndo ˆB o corrspondnt invrso d um ivctor ˆ B B = B B Bˆ ˆ B B = B = = B Nota important: Est rsultado mostra qu B tm a orintação oposta à d B Fica, assim, clarificada a naturza do ojcto u = a qu srá dsignado (como, d rsto, qualqur lmnto gnérico da nossa álgra C ) por multivctor: trata-s da soma (graduada) d um scalar com um ivctor multivctor soma graduada u = a = a + a produto scalar ivctor gométrico ˆ a α = a B= u = a= α + βbˆ C a β = a invrtiilidad do produto gométrico u = a a= u = a u Assim, é possívl calcular facilmnt u para u = a Vm ( )( ) u = a u = u a u = u a u a a a u = a = = a a

9 8 Carlos R Paiva Podmos introduzir a opração projcção d grau r d um multivctor u C dsignar o rspctivo rsultado por u r scalar grau zro u = α = a 0 u = a = u + u 0 ivctor grau dois u = B= a Nota: O produto intrno diminui o grau dos vctors intrvnints (ojctos d grau um) para o grau zro uma vz qu dá origm a um scalar O produto xtrior, por sua vz, lva o grau ao produzir um ojcto d grau dois (um ivctor) Dados dois multivctors uv, C, a rspctiva soma dv rspitar a strutura graduada d cada um dos intrvnints u = α+ β ˆ B u+ v= v = α ˆ + βb scalar ivctor ( α α) ( βbˆ ˆ βb) u+ v = u + v u+ v = u + v Numa as ortonormada {,, } do spaço linar, tm-s dlta d Kronckr, i j = δij = 0, i = i j j plo qu = + = δ + i j i j i j ij i j = + = δ j i j i j i ij i j as ortonormada d i j + ji = δij = i j j i ij ond s fz

10 Álgra Gométrica do Espaço: Introdução 9 convnção ij = i j Exmplo: Considrmos o caso d = Vm sucssivamnt = = + = 0 = = = = = = = = = = A invrtiilidad do produto gométrico tm uma clara intrprtação gométrica Suponhamos, m tudo o qu s s sgu, qu o vctor a é um vctor conhcido Considrmos, m primiro lugar, qu tamém s conhc o scalar α tal qu ra =α, sndo r um vctor qualqur dsd qu satisfaça sta quação Então, fazndo α = a, vm ainda ( r ) a = 0 Facilmnt s vrifica qu o afixo dos possívis vctors r qu osrvam sta quação s ncontra no plano π (visto d prfil) na Fig 4 Isto significa qu o vctor r, tal qu ra = α, não fica caractrizado univocamnt: qualqur ponto m π é solução dst primiro prolma O a r r plano π Figura 4 O plano π é o lugar gométrico dos afixos dos vctors r tais qu ra = α, i, tais qu ( r ) a = 0 m qu s introduziu um vctor com α = a = a

11 0 Carlos R Paiva Considrmos, m sgundo lugar, qu (além do vctor a ) s conhc o ivctor B tal qu = quação Então, fazndo = r a B, sndo r um vctor qualqur dsd qu satisfaça sta B a, vm ainda ( ) = 0 r a Facilmnt s vrifica qu o afixo dos possívis vctors r qu osrvam sta quação s ncontra na linha rcta da Fig 5 Novamnt, isto significa qu o vctor r, tal qu r a= B, não fica caractrizado univocamnt: qualqur ponto m é solução dst sgundo prolma Figura 5 A linha rcta é o lugar gométrico dos afixos dos vctors r tais qu r a= B, i, tais qu O a r plano π ( r ) a = 0 m qu s introduziu um r vctor com B= a linha ponto P Ou sja: nm o produto intrno nm o produto xtrior são invrtívis Porém, ao considrar o produto gométrico ra= r a+ r a, somos conduzidos à intrscção do plano π com a linha rcta, i, ao ponto P da Fig 5 Portanto, nst caso, somos univocamnt conduzidos a um único vctor r tal qu r = Isto mostra a invrtiilidad do produto gométrico: a solução rprsntada plo vctor r é, agora, uma solução única

12 Álgra Gométrica do Espaço: Introdução Trivctors, contracçõs duais d Clifford Assim como o produto gométrico gra a álgra gométrica, invntada por Clifford, tamém o produto xtrior gra uma álgra a álgra xtrior d Grassmann O produto xtrior gra ojctos dnominados lâminas As lâminas rprsntam os suspaços da álgra gométrica Dfinição: Uma lâmina é um multivctor qu rsulta do produto xtrior d r vctors Um ivctor é, assim, uma lâmina d grau dois; um vctor é uma lâmina d grau um; um scalar pod sr ntndido como uma lâmina d grau zro Podmos, agora, analisar as lâminas d grau três: os trivctors Notação: As lâminas são rprsntadas a ngrito por ltras maiúsculas É o caso do ivctor (lâmina-) B= a As xcpçõs são: (i) os vctors (lâminas-), qu são rprsntados por ltras minúsculas a ngrito: (ii) os scalars (lâminas-0), qu são rprsntados por ltras grgas, g, α = a Os trivctors rsultam do produto xtrior d três vctors Sjam ac,, O trivctor V = a c pod sr ntndido d duas formas distintas: (i) dfinindo o ivctor B = a, vm V = B c ; (ii) dfinindo o ivctor B = c, vm V = a B Está-s, naturalmnt, a admitir a associatividad do produto xtrior, i, qu s tm B c= a B associatividad do produto xtrior a ( c) = ( a ) c Assim como um ivctor codifica uma ára orintada num dtrminado plano, um trivctor codifica um dtrminado volum orintado Not-s qu s podm dfinir tridros com duas orintaçõs distintas: tridros diritos tridros squrdos Na figura anxa mostra-s como o trivctor V s pod otr: (i) através d V = B c, fazndo dslizar o ivctor B = a ao longo do vctor c (figura da squrda); (ii) através d

13 Carlos R Paiva V = a B, fazndo dslizar o ivctor B = c ao longo do vctor a (figura da dirita) A associatividad é óvia através da osrvação da figura c a a a c c Figura 6 O trivctor V = a c é rprsntado gomtricamnt por um volum orintado Na figura da squrda V otém-s fazndo dslizar o ivctor a ao longo do vctor c Na figura da dirita V otém-s fazndo dslizar o ivctor ao longo do vctor a c A anti-simtria a associatividad do produto xtrior garantm qu: a c= c a= c a = c a= a c = a c Uma lâmina d grau r (uma lâmina- r ) A r pod dar origm a duas novas lâminas através d dois tipos d involuçõs: (i) involução d grau; (ii) rvrsão involuçõs da lâmina A r involução d grau: A A = A r rr ( ) r r r rvrsão: A A = A r r r Not-s qu, dst modo, a= a O rvrso d uma lâmina corrspond a invrtr a ordm dos vctors, i,

14 Álgra Gométrica do Espaço: Introdução xmplos d rvrsão ~ a = a= a ~ a c = c a= a c tndo-s, oviamnt, a = a Estamos, agora, m condiçõs d aprsntar a álgra gométrica C como a soma dircta dos suspaços ond rsidm as suas lâminas álgra gométrica do spaço C = suspaço dos scalars: suspaços da álgra gométrica C suspaço dos vctors: suspaço dos ivctors: suspaço dos trivctors: multivctor gnérico da álgra u = u = u + u + u + u C r= 0 r 0 u 0 = α u = a lâminas d C u C = α + a+ B+ V u = B u = V Tm particular rlvância o trivctor unitário qu s rprsnta por Numa as ortonormada {,, } do spaço linar, tm-s trivctor unitário rvrso do trivctor unitário = = = = involução d grau: 0 involuçõs m C rvrsão: u = u + u u u 0 conjugação d Clifford: u = u u + u u u = u u u + u 0

15 4 Carlos R Paiva Vamos agora invstigar qual é a naturza do produto gométrico d um vctor a com um ivctor B= c C u = ab= a c Vm sucssivamnt a ( c) = ac ( c) = ( ac ) ( ac ) = a ac ac ca = ( ac ) ( ac ) ( ac ca) Mas, por outro lado, ( ac ca) = ( ac) c( a) = a c ca c a a = ( a c) ( a ) c ( ca ca) = ( ac ) ( ac ) ( c ca ) = ac ac ca plo qu, após sustituir sta última xprssão no rsultado prcdnt, vm ( ) = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) a c ac ac ac ac ca a c ca= ac ac conclusão = ab Ba a c a c Dfin-s, ntão, a contracção à squrda

16 Álgra Gométrica do Espaço: Introdução 5 contracção à squrda a B= ( ab Ba) Dsta dfinição rsulta imdiatamnt rgra fundamntal da contracção à squrda a c = a c a c Exist uma forma altrnativa d dduzir sta rgra fundamntal qu srá important para a sua gnralização Esta forma altrnativa consist na aplicação sucssiva d a = ( a ) a Considrmos, ntão, o produto gométrico aaa d três vctors sucssivamnt aa a Virá,, aa a = a a a a aa = aa a aa a+ aaa aa a a a a= a a a a a a Mas, por outro lado, tm-s por dfinição a ( a a ) = ( ) ( ) a a a a a a Admitindo agora qu a a = 0, vm aa = a a Logo aa a a a a= a a a a a a= a a a a a a dond s infr fctivamnt a rgra fundamntal da contracção à squrda a a a a a a a a a ( ) = ( ) ( )

17 6 Carlos R Paiva Est tipo d ddução prmit facilmnt a gnralização para o produto gométrico aaaa d quatro vctors aa a a Vjamos,,, ( aa) aa ( aa) aa aaaa aaaa = aa aa aaaa = + = aa aa aa aa+ aa aa aaaa aaaa + aaaa= a a aa a a aa + a a aa Admitamos, agora, qu a a = 0, a a = 0 a a = 0 Vm ntão ( aa) aa ( aa) aa ( aa) aa ( aa)( a a) ( aa)( a a) ( aa)( a a) aa a a + a a a a = a a a a + a a a a = + = + contracção à squrda d um trivctor com um vctor a ( a a a ) = ( ) + ( ) a a a a a a a a a a a a = aa a a aa a a + aa a a Facilmnt s vrifica a sguint idntidad d Jacoi: idntidad d Jacoi a c + c a + c a = 0 Uma outra consquência important dsta rgra é qu, m rlação à as ortonormada {,, } do spaço linar, s pod infrir qu 0 0 = = 0

18 Álgra Gométrica do Espaço: Introdução 7 Analogamnt dfin-s uma contracção à dirita contracção à dirita B a= Ba ab anti-simtria ntr a contracção a B= B a à squrda a contracção à dirita Considrmos a sguint dcomposição m parts par ímpar: produto gométrico d u = ab= ( ab Ba) + ( ab+ Ba) um vctor com um ivctor part ímpar part par O produto gométrico d um vctor a por um ivctor B é, m gral, a soma (graduada) d um vctor com um trivctor Para ntndr sta afirmação asta considrar a dcomposição a= a + a m qu a s ncontra no plano dfinido por B Então, considrando um vctor prpndicular a a ( a = 0) m B, tal qu B= a = a, vm ab tamém localizado = a qu é um vctor Mas, por outro lado, ab= a a = aa é o produto d três vctors ortogonais ntr si, ab= a + a B= a + a a consquntmnt, é um trivctor Ou sja, fctivamnt a soma d um vctor com um trivctor (Fig 7) é u = ab= ( ab Ba) + ( ab+ Ba) vctor trivctor ab Ba = a B ab+ Ba = a B

19 8 Carlos R Paiva a= a + a a a B= a = a Figura 7 O vctor a pod sr dcomposto numa componnt paralla, a, ao ivctor B numa componnt prpndicular, a É possívl dfinir um vctor, ortogonal a a mas tamém parallo a B, tal qu B= a= a simtria do produto xtrior d um vctor com um ivctor produto gométrico d um vctor por um ivctor a B= B a ab= a B+ a B Ba= B a+ B a Vrifica-s, dst modo, qu s tm: a ( ) = ( ) ( ) a + a = + = ( ) a a a a = ( a+ a)

20 Álgra Gométrica do Espaço: Introdução 9 a ( c ) = ( ) ( ) a c ca = ( ) ( ) a c ca = a c a c = a c a c a ( c) = a c + c a = ( ) + ( ) = ac c c ca a c ac ca = ( ac ca) a c= a c+ c a+ c a = + + ( ac ca) ( ca ac) ( ca ac) a c= ac+ ca+ ca ca ac ac 6 Clarifiqumos a intrprtação gométrica associada às duas contracçõs Notmos, para ss fito, qu ( ) a= a BB = ab B = a B B + a B B a a = ab a B ˆ B = B B ( ˆ) ˆ = a = ab B = ab B a B a B ˆ ˆ ˆ ( ˆ) ˆ B = B a = = a B B = a B B ab ab B a ˆ ˆ B= a B ( ) ( a) a = a B B = Bˆ Bˆ

21 0 Carlos R Paiva Na Fig 8 mostra-s a dcomposição do vctor a m duas componnts: uma componnt a contida no ivctor B ; uma componnt a prpndicular ao ivctor B Not-s qu o vctor a é a contracção à squrda ab= a B sndo, portanto, diamtralmnt oposto à contracção à dirita Ba= a B a a a a = a a B= a = a = a B= a B Figura 8 Rprsntação gométrica do vctor = ab= a B a partir d um vctor a= a + a a = a B B aritrário Tm-s = ( ) a a B B Nota important: Quando a= a (i, o vctor a é prpndicular a B ) vm a B= 0 Quando a= a (i, o vctor a ncontra-s no plano dfinido por B ) vm a B = 0 Voltando novamnt à as ortonormada {,, } sucssivamnt do spaço linar, otém-s

22 Álgra Gométrica do Espaço: Introdução = = + = = + 0 = = Conclusão important: O trivctor unitário é tal qu trivctor (ou psudoscalar) unitário = = Em gral, para qualqur trivctor, é ntão possívl scrvr = V = V V = V = V = = = = = V = V = V invrso d um trivctor V = V = V V Uma outra opração important é a dualidad na álgra gométrica qu faz corrspondr a cada multivctor u C o su dual d Clifford u C O dual d um scalar é um trivctor (tamém dsignado por psudoscalar) O dual d um vctor é um ivctor dual d Clifford u u Considrmos uma as ortonormada {,, } do spaço linar Vm

23 Carlos R Paiva a= a + a + a 0, i j c = c + c + c, i = j i j = δij = vctors d = + + = = duais d Clifford = = = = = scalar a = a+ a + a = = ivctor a = a a a = = trivctor a a a a c= c c c = = Figura 9 Bas dos ivctors d C Qualqur ivctor B é uma cominação linar dos três ivctors d as: {,, } = = Por xmplo, tm-s

24 Álgra Gométrica do Espaço: Introdução = Figura 0 Qualqur trivctor V pod sr scrito na forma V = γ, com γ Nsta figura rprsnta-s o trivctor unitário = = Aprsnta-s, d sguida, a tala multiplicativa da álgra gométrica C TABELA MULTIPLICATIVA DE C Exmplo: Calculmos o quadrado do multivctor u = a+ Vm ( a ) ( a )( a ) u = + = + + = a + a+ a = a + a

25 4 Carlos R Paiva Nota: Na álgra C xistm divisors d zro, i, multivctors p, q C tais qu pq= 0 mas ond p 0 q 0 Com fito, asta considrar q= p ( p é o conjugado d Clifford d p ) com ( nˆ é um vctor unitário, com ˆ = n ) p = ( + nˆ ) divisors d zro pp= pp= 0 p = ( nˆ ) Os paravctors (chama-s paravctor ao multivctor qu rsulta da soma d um scalar com um vctor) considrados são idmpotnts, i, tm-s p = p p = p Not-s qu p+ p = p p = n ˆ Além disso, introduzindo o ivctor unitário Bˆ = n ˆ ortogonal a ˆn (i, com nˆ B= ˆ 0 plo qu nb ˆ ˆ = Bn), ˆ ˆ vm p+ pbˆ = p p + p pbˆ ppbˆ = p p = n ˆ o qu mostra qu um vctor pod tr raízs quadradas Logo k ˆ ˆ k ˆ k+ k ˆ B = B = B = B k k+ ( ˆ k k B ) = ( π pbˆ) = + p ( ) + pbˆ k= ( k ) k= ( k ) π π π xp xp! +! ( π) Bˆ ( π) = + p cos + p sin = p π ( ˆ xp ) = ˆ n n o qu mostra qu s pod, tamém, calcular o logaritmo d um vctor

26 Álgra Gométrica do Espaço: Introdução 5 Vjamos, agora, qual é a dimnsão da álgra gométrica do spaço as d C Bˆ = u ˆ u = α + a+ βu ˆ + γ ˆ uˆ = B = u = γ βuˆ + a + α scalar vctors ivctors psudoscalar multivctor u = u + u + u + u + u + u + u + u C u u u u 0 0 ( C ) = = 8 dim 8 Atndndo a qu s tm k k+ ˆ ˆ ˆ ˆ u = u = u = u k k+ k k = = = infr-s qu xp ( θbˆ ) xp( θu ˆ ) = = ( θu ˆ ) ( k) k = 0 ( θ u ˆ ) ( θu ˆ ) ( k+ ) k k u ˆ k k ( k+ ) ( θ) u ˆ sin ( θ) k k+ k= 0 k= 0 k= 0 = 0 k! = +!! k k+ θ θ = +!! = cos + k ( θ u ˆ ) = ( θ) + u ˆ ( θ) gnralizaçõs gométricas da xp cos sin fórmula d Eulr xp ˆ cos ˆ sin ( θb) = ( θ) + B ( θ)

27 6 Carlos R Paiva u = a = a + a = α + βbˆ ˆ a B= = u ˆ a = cos( θ) + Bˆsin ( θ) = xp ( θ Bˆ ) α = a = cos β = a = sin ( θ) ( θ ) β θ a = = = α a ( a) tan tan, α β = + = a ( θ) ˆ sin ( θ) u = a = a cos + B Nota: Confirma-s, dst modo, qu o produto gométrico d dois vctors é comutativo quando sts são parallos anti-comutativo quando sts são prpndiculars θ = 0 a a = 0 a= a π θ = a a = 0 a= a Nas duas figuras anxas (Fig ) rprsntam-s graficamnt: (i) o ivctor qu é o dual (d Clifford) d um vctor; (ii) o vctor qu é o dual (d Clifford) d um ivctor dual (d Clifford) d um vctor: dual (d Clifford) d um ivctor: a A= a B = B Considrmos um multivctor gnérico u C Vjamos como calcular o rspctivo invrso u C Sndo u C o rspctivo rvrso u C o conjugado d Clifford, vm sucssivamnt u = α + a+ + β u = α + a β u = α a + β

28 Álgra Gométrica do Espaço: Introdução 7 a = B A= a B Figura O dual d um vctor é um ivctor o dual d um ivctor é um vctor Na figura da squrda rprsnta-s o vctor a o su dual d Clifford A= a Na figura da dirita rprsnta-s o ivctor B o simétrico do su dual d Clifford = B a ( a ) uu = uu= α β + + αβ invrso d um multivctor d C u = u uu α a + β u = uu = u u = ( α β a + + αβ a ) Por outro lado, tm-s uu = α + β + a + + αa+ β a uu α β = + + a norma (ou comprimnto) d um multivctor d C u = uu u = α + β + a + 0 Mostra-s qu uv, C uv u v

29 8 Carlos R Paiva Em gral, pod-s scrvr (com uv, C ) ( ) ( ) dfiniçõs grais u v= u v das contracçõs m C u v= u v ainda, com a, au = a u+ a u ua= u a+ u a a( u v) = ( au) v+ u ( av) ( u v) a= u ( va) + ( ua) v tndo-s, m particular, u u k k k a u = au ( ) ua k a u = au+ ( ) ua k ua= ua ( ) au k u a= ua+ ( ) au k k + k k + k u u v = u v+ u v k ( ) ( ) a a a k v u v = u v + u v k a ( a) ( a) uma vz qu, u = ( ) k u quando u k (i, quando u é uma lâmina- k ) Not-s ainda qu, no caso m qu B é um ivctor, vm (com u C )

30 Álgra Gométrica do Espaço: Introdução 9 ub= u B+ ( ub Bu) + u B Bu = B u+ ( Bu ub) + B u Estas quaçõs rduzm-s às fórmulas já conhcidas ab= a B+ a B Ba= Ba+ B a Exmplo: Facilmnt s dtrminam as componnts α, β, γ da dcomposição d um vctor r m trmos d outros três vctors conhcidos portanto, rsolvr o sistma d quaçõs linars ac,, Prtnd-s, sistma linar r = α a+ β+ γ c m ordm a α, β, γ Vm sucssivamnt r a= β a + γ c a r a = γ c a r = α a + γ c r c= α a c = α + β r c a c c r c a= β c a r c r c a r a solução α =, β =, γ = a c a c a c Esta é a xprssão da rgra d Cramr m álgra gométrica Exrcício: Sando qu o vctor x é tal qu a x= B cx = α, mostr qu α a+ c B x = ca c a x c a x c x a Sugstão: Not qu ( ) = ( ) ( )

31 0 Carlos R Paiva Exmplo: Sando qu a ˆ, ˆ são dois vctors unitários (i, com aˆ = ˆ = ) tais qu a ˆ ˆ = xp( θ ˆ) B ond ˆB é um ivctor unitário (i, com ˆ B = ), tm-s ( aˆ ˆ ) + = 4cos ( aˆ ˆ ) θ θ = 4sin Notando qu ˆ+ ˆ = ( ˆ+ ˆ) ˆ ( ˆ+ ˆ) = ( ˆ+ ˆ) ˆ ˆ( ˆ+ ˆ) = ( + ˆ ˆ)( + ˆ ˆ) a a a a a aa a a a, vm ( aˆ + ˆ) = + xp( θbˆ) + xp( θbˆ) 4cos ( ˆ θ ) ˆ θ θ ˆ B ( θ ˆ B B B) = + xp xp xp + xp θ xp ˆ θ xp ˆ = B + B θ ˆ = B Prolma: Dtrminar a solução da quação α x+ x B= a Solução: Notando qu ( x B) B= 0 α + =, vm x xb x B a, rsulta α α x+ xb a B = a, ou sja, α x B = a B Logo, d x= a+ a B α + α B α B + = + = α B α B α B α B ( α B) ( ) α a+ α a B a B B x = α B

32 Álgra Gométrica do Espaço: Introdução Nota final: Facilmnt s dmonstra qu não xistm lâminas-4 m C Ou sja, dados quatro vctors acd,,, tm-s ncssariamnt = 0 a c d Com fito, m só três vctors é qu podm sr linarmnt indpndnts Isto significa qu, g, o vctor d é ncssariamnt uma cominação linar dos outros três α, β, γ d= αa+ β+ γ c Mas ntão, com fito, tm-s a c d= a c a+ + c = 0 ( α β γ ) ( α ) ( β ) ( γ ) = a c a + a c + a c c

33 Carlos R Paiva Produto xtrno O produto xtrno não faz part da álgra gométrica C Porém, atndndo à sua grand utilização qur m física qur m ngnharia, vai-s agora stalcr a sua dfinição m como a sua rlação com os ojctos d C Dfinição: Sjam a, Dfin-s um vctor a, dnominado produto xtrno dos vctors a, qu osrva as sguints propridads: a = a sin ( θ ) ( aa ) ortogonalidad: a a, a comprimnto igual à ára: tridro dxtrorso (ou dirito):,, Ou sja, o comprimnto a é igual à ára do parallogramo corrspondnt ao ivctor a Na figura anxa mostra-s a rlação gométrica ntr o vctor a o ivctor a a B= a a Figura O ivctor B= a o vctor a O produto xtrno ncssita d uma métrica (nst caso, a métrica uclidiana) O produto xtrior é indpndnt d qualqur métrica a = a a = a a = a = a a

34 Álgra Gométrica do Espaço: Introdução Nota: Esta última quação pod sr considrada como uma simpls xprssão do torma d Pitágoras ( θ) sin ( θ) a = a cos + a torma d Pitágoras ( θ) ( θ) sin cos + = ( θ ) ( θ ) a = a cos, a = a sin a + a = a torma d aa a a = Pitágoras a a sin ( θ ) = a a θ cos( θ ) Figura Torma d Pitágoras Vrifica-s, dst modo, qu xist uma rlação d dualidad ntr o produto xtrno o produto xtrior dualidad ntr o produto xtrno o produto xtrior a = a a = a Numa as ortonormada {,, } do spaço linar, com a orintação dirita, pod otr-s o produto xtrno d acordo com o dtrminant formal produto xtrno a = a a a = a a + a a + a a Tal como o produto xtrior o produto xtrno é anti-simétrico mas, ao contrário dst, não é associativo anti-simtria: não associatividad: a = a ( a ) c a ( c)

35 4 Carlos R Paiva Comntário: Na dfinição do vctor a é ncssária uma métrica para dtrminar a dircção prpndicular ao ivctor a qualqur métrica O ivctor a, porém, é indpndnt d O spaço linar dotado do produto xtrno consitui uma álgra d Li: o produto xtrno não é aliano (ou comutativo), não é associativo, não tm lmnto nutro odc à idntidad d Jacoi anti-simtria: a = a ( α β ) α β álgra d Li distriutividad: a + c = a + a c idntidad d Jacoi: a c + c a + c a = 0 A distriutividad no primiro argumnto rsulta da anti-simtria: ( α + β ) = ( α + β ) = α( ) β( ) = α( ) + β( ) a c c a c a c a c c Usando a rgra ( ) = ( ) ( ) a c ac ac dduzida antriormnt tndo m considração a dualidad, vm sucssivamnt { } { ( ac ) ( ac ) } a c = a c = a c = rgra fundamntal do produto xtrno a c = a c a c Usando sta rgra é fácil vrificar qur a não associatividad (no caso gral) não associatividad do produto xtrno ( a ) c a ( c) ( c a ) = qur a idntidad d Jacoi

36 Álgra Gométrica do Espaço: Introdução 5 a c = a c a c c a = a c c a a c + c a + c a = c a = c a a c 0 A idntidad d Jacoi é, d crta forma, a propridad qu sustitui a associatividad numa álgra d Li Nota: Usando a rgra fundamntal do produto xtrno é tamém possívl scrvr o produto intrno d dois vctors xclusivamnt m trmos do su produto xtrno dsd qu sts dois vctors não sjam parallos Vjamos a a = a a a a a = a a a a a a a = a = a a O produto xtrno tm, numa rflxão spcular, um comportamnto pculiar rlacionado com o facto d um tridro orintado sr um ojcto quiral: numa rflxão fac a um splho, um ojcto quiral não coincid com a sua imagm Com fito, um tridro dxtrorso (ou dirito) tm, como imagm num splho, um tridro sinistrorso (ou squrdo) Na figura anxa da página sguint o tridro (,, ) spcular do tridro ( ac,, ); porém, nquanto qu = a c é a imagm c a, tm-s c = a Mas o produto xtrno padc d uma dificuldad mais grav: só xist, como tal, m três dimnsõs Em duas dimnsõs não é possívl sair do plano para introduzir um vctor prpndicular ao plano; m quatro dimnsõs a dirccção ortogonal ao plano não stá univocamnt dtrminada Todas stas dificuldads podm sr supradas s, m vz da álgra d Li associada ao produto xtrno, s adoptar uma nova álgra a álgra gométrica proposta por Clifford

37 6 Carlos R Paiva c = a X c= a a a c X c Figura 4 Produto xtrno c= a As imagns no splho XX dos vctors a, c são os vctors a, c Contudo, c = a, i, o produto xtrno não s comporta m numa rflxão spacial Not-s qu o produto xtrior tm o comportamnto corrcto uma vz qu a imagm d B= a é B = a Nota: Além do dual d Clifford é tamém usual dfinir o dual d Hodg O dual d Hodg d um vctor a é o ivctor ø a o dual d Hodg d um ivctor B é o vctor ø B, tais qu duais d Hodg øa= a a = ø a øb= B a = ø a

38 Álgra Gométrica do Espaço: Introdução 7 Nota important: O produto xtrno, tal como aqui dfinido, só xist m Com fito, st é o único spaço ond o dual d um ivctor é um vctor É, no ntanto, possívl gnralizar o concito d produto xtrno para spaços d maior dimnsão: é o caso do spaço 7 ond é possívl tal gnralização para o produto xtrno d dois vctors como s mostra nas páginas do livro Prtti Lounsto, Clifford Algras and Spinors (Camridg: Camridg Univrsity Prss, nd d, 00) Porém, m 7, tal gnralização do produto xtrno não vrifica a idntidad d Jacoi, consquntmnt, não prmit construir uma álgra d Li (ao contrário d ) O produto xtrno tm, tradicionalmnt, rlvância no chamado produto misto d três vctors ac,, qu s rprsnta por α = a c Nota: Não xist amiguidad na scrita adoptada para o produto misto já qu a única altrnativa xquívl é α = a c= a ( c ) uma vz qu ( a) c não tm sntido No âmito d C tal rlvância dsaparc dado qu produto misto α = a c= a c = ( ) + ( ) a c ca = a c o dual do produto misto é um trivctor a c= a c a a a a c = c c c

39 8 Carlos R Paiva Ou sja, a c corrspond ao volum do parallpípdo formado plos três vctors (Fig 6) Vamos agora analisar uma aplicação do produto xtrno: a rotação d um vctor r r Fazndo r = x + y + z a= a + a + a α = a = a + a + a vrifica-s facilmnt qu 0 a a x a r = Ar = a 0 a y a a 0 z A r A quação caractrística da matriz A é ( I A) dt λ = 0 qu conduz a λ + α λ = 0 D acordo com o torma d Cayly-Hamilton, qualqur matriz quadrada satisfaz a sua quação caractrística Portanto λ + α λ = 0 A + α A= 0 Daqui infr-s qu k k k k A = α A, k =,,, k+ k A = α A, k = 0,,, dond

40 Álgra Gométrica do Espaço: Introdução 9 xp ( A) ( k ) k k k+ A A A = = + k! k! k! ( + ) k= 0 k= 0 k= 0 k+ k+ A A α A k= 0 k= 0 k sin( α ) = = +! α k+! α k k A A α = I! α! ( k) k= 0 k= k ( k ) A A = I + α α k k = 0 A = I + cos α k ( k ) ( α ) α! A A xp( A) = I + sin ( α) cos ( α) α + α Agora, notando qu a a a a a a = aa aa a a A a a a a a a infr-s, ainda, qu s tm A r = a a r = a r a a r É ntão possívl dfinir a sguint rotação spacial rotação r r = xp A r qu s ilustra na Fig 5

41 40 Carlos R Paiva a= α aˆ r r B= a r α r Figura 5 Rotação do vctor r para r = xp( A) r A matriz A dscrv a rotação cujo ixo é o vctor a= α a ˆ A componnt paralla d r, r, roda um ângulo α no plano do ivctor B= a Com fito, tm-s sucssivamnt ( α) ( α) ( A A ) sin cos r = r+ r + r α α ( α) ( α) sin cos r = r+ a r + ( ) α α a a r ( α) ( α) sin cos r = cos( α ) r + + α a r α a r a Convnhamos qu não s trata d uma xprssão nm muito concisa nm muito transparnt Mais adiant vrmos como é possívl usar o concito d rotor m C d forma a prmitir tornar st tipo d opração muito mais simpls d scrvr Vr-s-à, nomadamnt, qu s pod scrvr simplsmnt (vr Fig 9)

42 Álgra Gométrica do Espaço: Introdução 4 r = RrR R = xp a Finalmnt, é ncssário stalcr uma prcisão important: o produto xtrno (usual, i, tal como s dfiniu no início dsta scção) não corrspond xactamnt ao dual d Clifford d um produto xtrior como s scrvu atrás Na vrdad a dualidad inscrita nas quaçõs dualidad ntr o produto xtrno o produto xtrior a = a a = a não rspita a rgra da formação do produto xtrno numa involução spacial m qu s altra a orintação do spaço fazndo involução spacial = = = = = simtria ímpar c = a = a = a = a = c Nota: Uma involução spacial coincid, na álgra C, com uma involução d grau, i, tm-s a = a Com fito, d acordo com sta involução spacial, dvria tr-s simtria par c = a = a = c d acordo com (a intrprtação passiva)

43 4 Carlos R Paiva c = a = a a a = a a a = a a a = c Nota important: Estas considraçõs mostram qu a dfinição a = ( a ) não stá d acordo com a dfinição tradicional do produto xtrno Nsta nova dfinição (dntro da álgra gométrica asada na dualidad d Clifford) o produto xtrno tm uma simtria ímpar numa involução spacial; na dfinição tradicional o produto xtrno tm uma simtria par numa involução spacial Dvido a st tipo d comportamnto assimétrico do produto xtrno (dfinido tradicionalmnt), há autors qu falam d vctors polars ou vctors vrdadiros d vctors axiais ou psudovctors Na ralidad, tal distinção só é ncssária dvido à assimtria do produto xtrno numa involução spacial Ao liminar a dfinição tradicional tal amiguidad dsaparc: na álgra gométrica todos os vctors são polars Not-s, contudo, qu as considraçõs da Fig 4 continuam válidas, i, prmanc uma assimtria intrínsca (ou quiral) rlacionada com as rflxõs spculars m amas as dfiniçõs d produto xtrno Nota: Facilmnt s vrifica qu a simtria par da dfinição tradicional d produto xtrno coincid com a simtria (tamém) par dos ivctors numa involução spacial Isto mostra qu o papl tracionalmnt rsrvado aos vctors axiais dv sr dsmpnhado plos corrspondnts ivctors O psudoscalar tradicional (não confundir com o trivctor da álgra C ) associado ao produto misto α = a c dv agora sr dsmpnhado plo trivctor V = a c No âmito da nova dfinição d produto xtrno, com fito, o produto misto tm uma simtria par (numa involução spacial) o qu mostra qu s trata d um scalar vrdadiro; só na dfinição tradicional d produto misto é qu, numa involução spacial, s osrva uma simtria ímpar

44 Álgra Gométrica do Espaço: Introdução 4 4 Rflxõs rotaçõs A álgra gométrica prmit analisar, d forma muito lgant concisa, as rflxõs as rotaçõs É o qu, agora, irmos vr Comcmos por dtrminar a rflxão d um vctor r m rlação a um dado vctor a : r r Os três vctors r, a r prtncm ao msmo plano r r r r r Figura 6 Rflxão do vctor r m rlação ao vctor a a r = r + r r = r r r = r a a ( ra ) ( r a) a r = r r = raa r a a = r a a = ( ar a ra ) ara r = r r = r a a r a a = + = rflxão do vctor r m rlação ao vctor a r r = ara P r r P O r P a Figura 7 Rotação d uma vctor r r como o rsultado d duas rflxõs sucssivas: primiro m rlação ao vctor a, r r = ara, dpois m rlação ao vctor, r r r =

45 44 Carlos R Paiva Uma rotação do vctor r para o vctor r pod sr analisada como a cominação d duas rflxõs sucssivas tal como s indica na Fig 7 Not-s qu r r = r cos ( α ) r r = r cos( β ) Logo, fazndo = cos( θ ) θ = α + β Infr-s, dst modo, qu a a, vm o ângulo ntr r r é o doro do ângulo ntr a ( α β) ( θ) rr rcos r cos = + = A rotação r r d um ângulo θ, m qu θ = ( a, ), é ntão tal qu r r = ara r = r r = ara = a r a uma vz qu a = a No caso d os vctors a srm vctors unitários, i, a= a ˆ = ˆ com ˆ aˆ = =, vm aˆ = a ˆ ˆ = ˆ Mas ntão R = a ˆ ˆ R = a ˆ ˆ r r = RrR ˆ ˆ ˆ a ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ θ cos ˆ θ θ sin xp ˆ B= a= a + a = + = ˆ ˆ B B a R ˆ ˆ θ xp ˆ R ˆ ˆ θ xp ˆ = a = = = B a B Ao multivctor R, tal qu RR= qu prmit dtrminar r a partir d r, dá-s o nom d rotor rotação d r para r através do rotor R = a ˆ ˆ r r = RrR

46 Álgra Gométrica do Espaço: Introdução 45 Nota important: Como o vctor r s ncontra no plano dfinido plo ivctor ˆB, vrifica-s qu r anti-comuta com ˆB Com fito, rb ˆ = r B ˆ + r B ˆ = r B ˆ = B ˆ r = B ˆ r B ˆ r= Br ˆ 0 rr = Rr Mas ntão, ainda s pod scrvr, ( θ ) r r = R r = xp B r ˆ Tal como s dtrminou a rflxão d um vctor m rlação a um ixo (vctor), é tamém possívl dtrminar a rflxão d um vctor m rlação a um plano (ivctor) tal como s indica na Fig 8 a = r ara r B= a r = ara Figura 8 Rflxõs do vctor r m rlação ao ixo caractrizado plo vctor a ( r r ) m rlação ao plano caractrizado plo ivctor = r = r B a ( r r ) Tm-s Nst caso, m qu r r = r + r, vm sucssivamnt

47 46 Carlos R Paiva = = r ara B r B ( B ) r( B ) ( B ) r( B ) = = = BrB rflxão do vctor r m rlação ao ivctor B= a r r = BrB Not-s qu, fazndo B= β B ˆ m qu ˆ = B, ainda vm ˆ ˆ ˆ ˆ B = B r r = BrB u= B r r B r θ r Figura 9 Rotação do vctor r para = R R r r O rotor R xp( ˆ θ ) = B dscrv a rotação dirctamnt m trmos do plano do ângulo O sntido da rotação é dtrminado plo ivctror unitário ˆB Na Fig 9 dscrv-s a rotação r r = RrR m qu o rotor R, tal qu RR =, é dado por

48 Álgra Gométrica do Espaço: Introdução 47 B ˆ θ xp ˆ θ R cos ˆ θ = = = sin B B Nota: A dmonstração d qu RR = é imdiata Vm ~ R= a ˆ ˆ RR = a ˆ ˆ a ˆ ˆ = aa ˆ ˆ ˆ ˆ = aˆ ˆ = As rotaçõs consrvam o comprimnto dos vctors rodados A prova é imdiata: suponhamos qu r r = Rr R r r = RrR Vm sucssivamnt r r = ( r r + r r ) = ( RrRR rr+ RrRR rr) = + = + = = r r ( Rrr R Rrr R ) R( rr rr ) R ( r r)( RR ) O rotor ˆ ˆ R = a pod sr dtrminado com as na xprssão construção do rotor + nm ˆˆ ˆˆ R = + R = nm R= a partir d R nm ˆˆ nm ˆ ˆ Com fito, dado qu RR =, vm R+ R R= R + Mas, por outro lado, é R + R = R 0 Assim, vm fctivamnt ( + nm ˆˆ)( + mn ˆˆ) + R + nm ˆˆ + ˆ ˆ R= = RR n m = = = R R 4 R R nm ˆ ˆ + nm ˆ ˆ R = R= 0 nm ˆ ˆ ( + ) Logo, tm-s

49 48 Carlos R Paiva + nm ˆˆ ˆ ˆ θ xp ˆ θ R cos ˆ θ = = a= B = Bsin ( + nm ˆ ˆ ) θ + nm ˆ ˆ cos = + ˆ ˆ ( nm) ˆ θ mˆ nˆ B sin = + ˆ ˆ ( nm) Nota: A xprssão ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ θ + nm + nm a = cos = = + ( nm ˆ ˆ ) não é mais do qu uma variant d θ + cos( θ ) cos = uma vz qu mn ˆ ˆ = cos( θ ) Por outro lado, a xprssão ˆ θ mˆ nˆ B sin = + ˆ ˆ ( nm) não é mais do qu uma variant d ˆ ˆ aˆ mˆ nˆ B = = θ sin sin ( θ )

50 Álgra Gométrica do Espaço: Introdução 49 5 Considraçõs finais A álgra gométrica do spaço, a álgra C, foi dsnvolvida a partir do produto gométrico d dois vctors Exist uma rlação ntr a álgra gométrica (d Clifford) C a álgra xtrior (d Grassmann) a álgra = Hrmann Güntr Grassmann ( ) William Kingdon Clifford ( ) Essa rlação é qu amas as álgras são associativas os rspctivos suspaços são os msmos Contudo, apnas s dfin o produto xtrior na álgra d Grassmann, i, nsta álgra não s dfin o produto gométrico Isto significa, por xmplo, qu não é possívl dfinir o invrso d um vctor a m, mora tal como s viu isso sja possívl m C A difrnça tm ssncialmnt a vr com o sguint:

51 50 Carlos R Paiva a = a sin θ a a = a + a = a Com fito, m C tm-s u = a u = a a uu aa aa a a 0 0 u = = = = = = A contrapartida é qu o produto gométrico dpnd da métrica através do produto intrno; o produto xtrior não dpnd d qualqur métrica Ou sja: a álgra C dpnd da métrica (uclidiana); pod sr stalcida msmo qu sor é indpndnt da métrica dfinida m não stja dfinida squr uma métrica, i, A álgra d Gis, i, a álgra usual do spaço tridimnsional é, por sua vz, uma álgra d Li: trata-s da álgra ond s dfin o produto xtrno d dois vctors Josiah Willard Gis (89-90) Como s viu, a álgra d Gis não é associativa, assim, não pod sr isomórfica a uma qualqur álgra matricial Além disso, a álgra d Gis é tal como a álgra gométrica dpndnt d uma métrica (a métrica uclidiana) A álgra gométrica C tamém dpnd da métrica uclidiana mas é possívl construir outras álgras gométricas com métricas não uclidianas Por xmplo: para studar a toria da rlatividad rstrita no spaço-tmpo d Minkowski, é possívl ( até dsjávl) considrar a álgra gométrica C, com uma métrica lorntziana smi-dfinida

52 Álgra Gométrica do Espaço: Introdução 5 (ngativa, nst caso) O studo da toria da rlatividad rstrita no âmito da álgra d Gis não é natural: m primiro lugar, porqu s trata d uma álgra xclusivamnt tridimnsional (não é possívl dfinir o produto xtrno usual sm sr m três dimnsõs); m sgundo lugar, porqu é rcomndávl qu sja stalcida uma difrnça clara ntr vctors rlativos (a um dado osrvador) vctors próprios (indpndnts d qualqur osrvador) tal distinção só é possívl no âmito da álgra gométrica Nota: É possívl studar a toria da rlatividad rstrita usando a álgra C sm havr ncssidad d rcorrr à álgra C, Esta é a prspctiva adoptada por Baylis no livro William E Baylis, Elctrodynamics A Modrn Gomtric Approach (Boston: Birkhäusr, 999) Um acontcimnto é dscrito como um paravctor (dsigna-s por paravctor o multivctor qu rsulta da soma graduada d um scalar com um vctor) Com fito, sja a o paravctor r a= ct+ = ct+ x + y + z Então, introduzindo o su conjugado d Clifford r, a = ct = ct x y z otém-s o invariant fundamntal (qu corrspond à invariância do intrvalo ntr dois acontcimntos no spaço d Minkowski) s = aa = ( ct+ )( ct ) r r invariant fundamntal da rlatividad rstrita s c t r c t x y z = =

53 5 Carlos R Paiva Vjamos, agora, um isomorfismo ntr a álgra C uma álgra matricial Considrmos a álgra matricial (sta dsignação significa qu s trata d uma álgra d matrizs dfinida sor o corpo ) asada nas matrizs d spin d Pauli Vai-s mostrar o isomorfismo C As matrizs d Pauli são 0 0 i 0 σ =, σ =, σ = 0 i 0 0 Estas matrizs osrvam as sguints propridads σ σ + σ σ = δ I, σ σ = iσ j k k j jk σ σ = iσ σ σ = iσ ond I é a matriz idntidad d sgunda ordm O isomorfismo C pod sr stalcido com as nas sguints corrspondências: σ, σ, σ Nstas circunstâncias, vm ntão: C I σ σ σ σ σ σ σ σσ σσσ Not-s, porém, qu xist uma difrnça ssncial ntr stas duas álgras: na álgra C distigu-s um suspaço particular, o spaço linar (ou vctorial), no qual o quadrado d um vctor é igual ao quadrado do su comprimnto, i, r = r Esta

54 Álgra Gométrica do Espaço: Introdução 5 propridad fundadora da álgra gométrica não tm parallo na álgra matricial cuja caractrística distintiva é sr constituída por matrizs hrmitianas com traço nulo A álgra gométrica do spaço, C, comprnd dois suspaços importants: O suspaço par C +, cujos lmntos rsultam do produto gométrico d um númro par d vctors O suspaço ímpar C, cujos lmntos rsultam do produto gométrico d um númro ímpar d vctors C = C C + Chama-s o cntro da álgra rprsnta-s por Cn ( C ), o suspaço constituído plos lmntos d C qu comutam com quaisqur lmntos d C ( C ) { x y x y } cntro da álgra Cn = = +, + { } suspaço par C = = w+ x + y + z w, x, y, z { } suspaço ímpar C = = x + y + z + w x, y, z, w Qur o cntro da álgra qur o su suspaço par constitum, tamém, suálgras Como é fácil d vrificar o suspaço ímpar não constitui uma álgra: por xmplo, o produto gométrico d dois vctors dá, no caso gral, um multivctor qu contém um scalar um ivctor qu prtncm à suálgra par O corpo (dos complxos) o anl d divisão H (dos quatrniõs d Hamilton) são isomórficos a suálgras spcíficas d C : Cn ( C ) H C + Cn C = C + H =

55 54 Carlos R Paiva Cn ( C ) i H C + i j k ( H) ( C ) ( H ) dim =, dim = 4, dim = dim dim = 8 Nota: No âmito da álgra gométrica C é portanto possívl dsignar qualqur multivctor u C + como um quatrnião já qu st suspaço par é uma suálgra isomófica ao anl (d divisão) constituído plos quatrniõs Analogamnt, é possívl dsignar qualqur multivctor u Cn ( C ) como um númro complxo Emora os matmáticos, rgra gral, prfiram atriuir o nom d «spinor» a ojctos matmáticos muito spcíficos qu, historicamnt, stão rlacionados com o concito d spin m mcânica quântica, é corrcto advogar qu a suálgra C + é, tamém, a álgra dos spinors (ou álgra spinorial) da álgra gométrica do spaço Idntifica-s, dst modo, o concito d spinor com o d quatrnião, não ostant o concito d quatrnião star mais associado a uma quantidad nquanto a d spinor a um oprador

56 Álgra Gométrica do Espaço: Introdução 55 Nota: Na litratura matmática é comum a idntificação ntr «spaço linar» «spaço vctorial» Em álgra gométrica, porém, impõ-s uma distinção ntr os dois concitos uma vz qu o produto gométrico ntr vctors vm altrar, d forma radical, o próprio concito d vctor tornando-o mais spcífico do ponto d vista gométrico Assim, m álgra gométrica, considra-s qu um spaço vctorial é um spaço linar d vctors O trmo spaço linar fica rsrvado, apnas, para o concito mais gral Nst sntido a álgra C é um spaço linar mas não é um spaço vctorial; o suspaço C é um spaço vctorial mas não é uma suálgra A álgra gométrica do plano, a álgra C, é um spaço linar d dimnsão quatro ( C ) C = dim = = 4 mas não é um spaço vctorial Not-s, porém, qu o suspaço ímpar C = é o spaço vctorial dntro do spaço linar constituído pla álgra gométrica do plano; não constitui, porém, uma suálgra Já o suspaço par C + = é uma suálgra mas não é um spaço vctorial No caso da álgra C, o suspaço C + constitui a álgra spinorial rspctiva qu é idntificávl à álgra dos complxos através da idntificação i O lmnto = = + = é o psudoscalar (ou ivctor) unitário da álgra Not-s, porém, qu xist uma distinção important ntr nquanto corpo C + nquanto álgra ral (i, dfinida sor o corpo ): dado um vctor a, nquanto qu ia= a i já, por outro lado, = a a Not-s qu ( ) Cn C = Com fito, a= a + a a = a + a = a + a a= a + a = a a

57 56 Carlos R Paiva Sir William Rowan Hamilton ( ) Adnda: Os quatrniõs d Hamilton Hamilton invntou os quatrniõs m 84 Os quatrniõs são númros hiprcomplxos da forma { } q= w+ ix+ jy+ zk H dim H = 4, i, j, k as m qu wxyz,,, as unidads imaginárias gnralizadas i, j, k satisfazm as rlaçõs i = j = k = ij= ji= k, jk= kj= i, ki= ik= j A multiplicação é, por dfinição, não comutativa mora sja associativa: H é um anl d divisão mas não é um corpo (um corpo é um anl d divisão aliano ou comutativo) As rgras d multiplicação antriors podm sr sinttizadas na forma = = = = i j k ijk Dfinição: q = w+ ix+ jy+ zk H q = w ix jy zk H quatrnião conjugado

58 Álgra Gométrica do Espaço: Introdução 57 q = q w x y z w ix jy kz q = qq = w + x + y + z q w ix jy kz = = = q w+ ix+ jy+ kz w + x + y + z q wq+ q = 0 Dfin-s a part ral R( q) = w a part pura Pu ( q) = ix+ jy+ kz 0 0 notação q= q + q H, q = R q, q= Pu q H = a = a0 + a H = 0 + H a= a a + a + a+ a a a= ai+ aj+ ak = = 0 quatrniõs puros = i+ j+ k 0 0 a = a + a + a a = ( a a ) i + ( a a ) j + ( a a ) k a= a + a a = Pu a produto xtrno d Gis Nota histórica: O produto xtrno foi introduzido por Gis m 90 A scrita usual das quaçõs d Maxwll (8-879) é, portanto, postrior ao próprio Maxwll

59 58 Carlos R Paiva Hamilton s choic of th nam quatrnion is unfortunat, for th nam mrly rfrs to th comparativly insignificant fact that th quatrnions compos a linar spac of four dimnsions Th nam quatrnion divrts attntion from th ky fact that Hamilton had invntd a gomtric algra ( ) Quatrnions today rsid in a kind of mathmatical limo, caus thir plac in a mor gnral gomtric algra is not rcognizd Th prvailing attitud toward quatrnions is xhiitd in a iographical sktch of Hamilton y th lat mathmatician E T Bll Th sktch is titld An Irish Tragdy, caus for th last twnty yars of his lif, Hamilton concntratd all his normous mathmatical powrs on th study of quatrnions in, as Bll would hav it, th quixotic lif that quatrnions would play a cntral rol in th mathmatics of th futur Hamilton s judgmnt was asd on a nw and profound insight into th rlation twn algra and gomtry Bll s valuation was mad y survying th mathmatical litratur narly a cntury latr But union with Grassmann s algra puts quatrnions in a diffrnt prspctiv It may yt prov tru that Hamilton looking ahad saw furthr than Bll looking ack ( ) By th nd of th 9th cntury a livly controvrsy had dvlopd as to which systm was mor suital for th work of thortical physics, th quatrnions or vctor algra A glanc at modrn txtooks shows that th votaris of vctors wr victorious Howvr, quatrnions hav rappard disguisd as matrics and provd to ssntial in modrn quantum mchanics Th ironic thing aout th vctor-quatrnion controvrsy is that thr was nothing sustantial to disput ( ) Th whol controvrsy was foundd on th failur of vryon involvd to apprciat th distinction twn vctors and ivctors Indd, th word vctor was originally coind y Hamilton for what w now call a ivctor Gis changd th maning of th word to its prsnt sns, ut no on at th tim undrstood th ral significanc of th chang h had mad David Hstns Nw Foundations for Classical Mchanics, Kluwr Acadmic Pulishrs, Dordrcht, nd d, pp

60 Álgra Gométrica do Espaço: Introdução 59 P Lounsto, Clifford Algras and Spinors (Camridg, UK: Camridg Univrsity Prss, nd d, 00) C Doran and A Lasny, Gomtric Algra for Physicists (Camridg, UK: Camridg Univrsity Prss, 00) D Hstns, Nw Foundations for Classical Mchanics (Dordrcht, Th Nthrlands: Kluwr Acadmic Pulishrs, nd d, 999) D Hstns and G Soczyk, Clifford Algra to Gomtric Calculus: A Unifid Languag for Mathmatics and Physics (Dordrcht: Kluwr Acadmic Pulishrs, 984) L Dorst, D Fontijn, and S Mann, Gomtric Algra for Computr Scinc (Amstrdam: Morgan Kaufmann Pulishrs, Elsvir, 007) B Jancwicz, Multivctors and Clifford Algra in Elctrodynamics (Singapor: World Scintific, 988) David Orlin Hstns (9-)